2015中考数学全景透视一轮复习课件 第15讲 函数的综合应用(共123张PPT)(共123张PPT)
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中考数学全景透视一轮复习 第15讲 函数的综合应用
据函数关系式求出最值及取得最值时自变量的值．
.
(2)在求解几何图形的最大面积时，还应注意自变 量的取值范围，一定要注意题目中的每一个几何量的 可能范围，一般有几种情况：边长、周长、面积大于 0， 三角形中两边之和大于第三边，圆的周长与半径的关 系．
.
3．考查方向 (1)与三角形结合，涉及三角形面积、三角形相 似、等腰三角形和直角三角形的性质等知识的相关计 算问题； (2)与特殊平行四边形结合，涉及特殊平行四边形 的判定、某些线段长度的计算问题； (3)涉及动点的存在探究性问题．
.
∴BF＝AC＝ 5，AF＝BC＝2 5，∠BFD＝90°. ∵AD∥BC， ∴△AOH∽△BOC. ∴OAOH＝BOOC，即O1H＝42，OH＝12.
∴H0，－12.
.
设直线 AD 的函数解析式为 y＝kx＋b.
把 A(－1,0)，H0，－12代入，得 0＝－k＋b，
∴－12＝b.
.
k＝－12， 解得b＝－12.
.
解：(1)∵AB＝x m，则 BC＝(28－x)m， ∴x(28－x)＝192，解得 x1＝12，x2＝16. ∴当 x＝12 时，BC＝16 m； 当 x＝16 时，BC＝12 m. ∴x 的值为 12 m 或 16 m；
.
(2)由题意可得出 S＝x(28－x)＝－x2＋28x ＝－(x－14)2＋196，
、一
次函数y＝x＋b，得k＝1×4,1＋b＝4，
解得k＝4，b＝3，
∴反比例函数的解析式是y＝
4 x
，一次函数的解析
式是y＝x＋3.
.
(2)把 x＝－4 代入 y＝x＋3，得 y＝－1，∴B(－4， －1)．设直线 y＝x＋3 与 x 轴的交点为 C，当 y＝0 时， x＋3＝0，解得 x＝－3，
2015中考数学全景透视一轮复习课件(第11-15讲)-1
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考点二
反比例函数的图象和性质
k 1 ．反比例函数 y＝ (k 是常数， k≠0)的图象是 x 双曲线．因为 x≠0，k≠0，相应地 y 值也不能为 0， 所以反比例函数的图象无限接近 x 轴和 y 轴，但永不 与 x 轴、y 轴相交．
反比例函数的应用
解决反比例函数的实际问题时，要先确定函数解 析式，再利用图象找出解决问题的方案，要特别注意 自变量的取值范围．
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考点一 反比例函数的性质 m＋1 例 1(2014· 阜新)反比例函数 y＝ 在每个象限 x 内的函数值 y 随 x 的增大而增大，则 m 的取值范围是 ( ) A．m＜0 C．m＞－1 B．m＞0 D．m＜－1
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考点二
用待定系数法求反比例函数的解析式
k 例 2(2014· 邵阳)已知反比例函数 y＝ 的图象经过 x 点(－1,2)，则 k＝________. k k 【点拨】把(－1,2)代入 y＝ ，得 2＝ ， x －1 k＝2×(－1)＝－2. 【答案】 －2
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2．计算与双曲线上的点有关的图形面积
1 1 S△AOP＝ |k|，S△APB＝ |k|，S△APP′＝2|k|. 2 2 (注：P′是P关于原点的对称点)
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考点五
第13讲
反比例函数
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考点一
反比例函数的定义
k －1 一般地，函数 y＝ (或写成 y＝kx )(k 是常数， x k≠0)叫做反比例函数． 反比例函数的解析式还可以写成 xy＝k(k≠0)，它 表明在反比例函数中自变量 x 与其对应函数值 y 之积， 总等于已知常数 k.
2015中考数学全景透视一轮复习课件+第31讲-与圆有关的计算(共87张PPT)(共87张PPT)
∴BD＝ 52＋122＝13，∴l BB′ ＝90π18×013＝132π.
第35页，共87页。
∵l B′B″ ＝90π18×012＝6π，∴点 B 在两次旋转过程 中经过的路径的长是132π＋6π＝252π. 故选 A.
答案： A
第36页，共87页。
6．已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩 形，则其底面圆的面积为( )
＝4，分别以 A，B，C 为圆心，以12AC 为半径画弧，
三条弧与边 AB 所围成的阴影部分的面积是
.
第21页，共87页。
解析：三个扇形可合并为一个半径为 2 的半圆， 则 S 阴影＝12×4×4－12π×22＝8－2π.
答案：8－2π
第22页，共87页。
6．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，
第31页，共87页。
3．(2014·襄阳)用一个圆心角为 120°，半径为 3 的 扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为
(B)பைடு நூலகம்
1 A. 2
B．1
3 C. 2
D．2
解析：圆锥的底面周长等于扇形的弧长，设底面
半径为 r，则 2πr＝1201π80×3，解得 r＝1. 故选 B.
第32页，共87页。
D. π4＋12
解析：如图，连接 CD，作 DM⊥BC 于点 M， DN⊥AC 于点 N. ∵CA＝CB，∠ACB＝90°，点 D 为
AB
的中点，∴DC＝12AB＝1，AC＝AB·sin
B＝2×
2＝ 2
2，DM＝12AC＝
2 2.
第42页，共87页。
则 S 扇形 FDE＝903π6×0 12＝π4.∵CA＝CB，∠ACB＝90°，点 D 为 AB 的中点，∴CD 平分∠BCA.又∵DM⊥BC，DN⊥AC， ∴DM＝DN，∴四边形 DMCN 是正方形． ∵∠GDH＝ ∠MDN＝90°，∴∠GDM＝∠HDN.则在△DMG 和△DNH
第35页，共87页。
∵l B′B″ ＝90π18×012＝6π，∴点 B 在两次旋转过程 中经过的路径的长是132π＋6π＝252π. 故选 A.
答案： A
第36页，共87页。
6．已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩 形，则其底面圆的面积为( )
＝4，分别以 A，B，C 为圆心，以12AC 为半径画弧，
三条弧与边 AB 所围成的阴影部分的面积是
.
第21页，共87页。
解析：三个扇形可合并为一个半径为 2 的半圆， 则 S 阴影＝12×4×4－12π×22＝8－2π.
答案：8－2π
第22页，共87页。
6．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，
第31页，共87页。
3．(2014·襄阳)用一个圆心角为 120°，半径为 3 的 扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为
(B)பைடு நூலகம்
1 A. 2
B．1
3 C. 2
D．2
解析：圆锥的底面周长等于扇形的弧长，设底面
半径为 r，则 2πr＝1201π80×3，解得 r＝1. 故选 B.
第32页，共87页。
D. π4＋12
解析：如图，连接 CD，作 DM⊥BC 于点 M， DN⊥AC 于点 N. ∵CA＝CB，∠ACB＝90°，点 D 为
AB
的中点，∴DC＝12AB＝1，AC＝AB·sin
B＝2×
2＝ 2
2，DM＝12AC＝
2 2.
第42页，共87页。
则 S 扇形 FDE＝903π6×0 12＝π4.∵CA＝CB，∠ACB＝90°，点 D 为 AB 的中点，∴CD 平分∠BCA.又∵DM⊥BC，DN⊥AC， ∴DM＝DN，∴四边形 DMCN 是正方形． ∵∠GDH＝ ∠MDN＝90°，∴∠GDM＝∠HDN.则在△DMG 和△DNH
2015中考数学全景透视一轮复习课件(第01-05讲)
3.近似数与准确数的接近程度可以用精确度表示， 近似数最末一个数字所处的数位就是它的精确度 . 如 2.1 精确到 0.1 就叫做精确到十分位.
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考点一 相反数、倒数、绝对值 1 例 1 (1)(2014· 云南)－ ＝( 7 1 A．－ 7 1 B. 7 C．－7 ) D．7
)
5 【点拨】把－ 的分子和分母颠倒位置即可得到它 3 5 3 的倒数，即－ 的倒数是－ . 3 5 【答案】D
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方法总结： 1.求一个数的绝对值，必须遵循“先判定其正负， 再去绝对值符号”的法则. 2.求一个分数的倒数， 只需将分子、 分母颠倒即可， 与数的符号无关.
第一部分
教材梳理
阶段练习
第一章
第 1讲
数与式
实 数
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考点一 1．数轴
实数的有关概念
规定了原点、正方向和单位长度的直线，叫做 数轴．实数和数轴上的点是一一对应的． 温馨提示： 一般地，设 a 是一个正数，则数轴上表示数 a 的点在原点的右边， 与原点的距离是 a 个单位长度； 表示数－a 的点在原点的左边，与原点的距离是 a 个单位长度.
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3．倒数 1 (1)实数 a 的倒数是 ，其中 a≠0； a (2)若 a 与 b 互为倒数，则 ab＝1； (3)倒数是它本身的数有 1，－1.
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4．绝对值 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做 数a的绝对值，记作|a|. 一个正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负
2015中考数学全景透视+九年级一轮复习课件+第28讲+视图与投影(共83张PPT)(共83张PPT)
解析：由主视图可知，该几何体有上下两层，左右 三列； 由左视图可知该几何体有上下两层， 前后两排． 想 象该几何体的俯视图， 且把小正方体的个数在俯视图上 表示如下图所示． 所以组成该几何体的小正方体的个数 最少有 4 个， 最多有 7 个． 故组成该几何体的小正方体 的个数可能是 4 或 5 或 6 或 7.
第28讲
视图与投影
考点一
生活中的立体图形
1．生活中常见的立体图形：球体、柱体、锥体， 它们之间的关系可以用下面的示意图表示．
圆柱 三棱柱 四棱柱 柱体 棱柱五棱柱 „„ 立体图形 圆锥 三棱锥 四棱锥 锥体 棱锥五棱锥 „„
几何体
主视图
左视图
俯视图
3．画三视图的原则 (1)位置：俯视图在主视图的下面，左视图在主视 图的右边． (2)尺寸：主视图与俯视图的长相等，主视图与左 视图的高相等，左视图与俯视图的宽相等．
温馨提示： 画三视图时，看得见部分的轮廓线通常画成实线； 看不见部分的轮廓线通常画成虚线.
4．由三视图确定几何体 由三视图描述几何体，一般先根据各视图想象从 各个方向看到的几何体的形状，然后综合起来确定几 何体的形状，再根据“长对正、高平齐、宽相等”的 关系，确定轮廓线的位置以及各个面的尺寸，最后画 出几何体．
5．如图，是一个几何体的三视图，根据图中标注的数 据可求得这个几何体的体积为( )
A．12π
B．24π
C．36π
D．48π
解析：由几何体的三视图可知该几何体为圆柱，且高 为 6， 底面圆的直径为 4， ∴该几何体的体积为 π×(4÷ 2)2×6 ＝24π.故选 B. 答案：B
6．由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的 主视图和左视图如图所示，则组成这个几何体的小正 方体的个数可能是4或5或6或7.
2015中考数学全景透视+九年级一轮复习课件+第34讲+简单概率的计算及应用(共109张PPT)(共109张PPT)
考点三
用频率估计概率
m 1．当试验次数足够大时，事件 A 发生的频率 会 n 越来越稳定于某个常数，这个常数就可以被当作概率 的估计值． 2．一般地，在大量重复试验中，如果事件 A 发生 m 的频率 会稳定在某个常数 p 附近，那么事件 A 发生 n 的概率 P(A)＝ p .
3．频率与概率的区别与联系：频率和概率是两个 不同的概念，事件发生的概率是一个确定的值 ( 理论 值)，而频率是不确定的(试验值)，当试验次数较少时， 频率的大小摇摆不定，当试验次数较大时，频率的大 小波动变小，逐渐稳定在概率附近．
8．从 3 名男生和 2 名女生中随机抽取 2014 年南 京青奥会志愿者．求下列事件的概率： (1)抽取 1 名，恰好是女生； (2)抽取 2 名，恰好是 1 名男生和 1 名女生． 解：(1)分别用男 1、男 2、男 3、女 1、女 2 表示 这 5 名同学，抽取 1 名，有 5 种等可能的结果：男 1， 男 2，男 3，女 1，女 2，恰好是女生有 2 种等可能的 2 结果，所以 P1＝ . 5
考点四 用频率估计概率 例 4(2014· 朝阳)在一个不透明的盒子中装有 n 个 小球，它们只有颜色上的区别，其中有两个红球，每 次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜 色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后发现，摸 到红球的频率稳定于 0.2， 那么可以推算出 n 的值大约 是________．
【点拨】事件 A 是不可能事件；事件 B 是随机事 件；事件 C 是必然事件；事件 D 是随机事件． 故选 C. 【答案】 C
方法总结： 某些事件发生的可能性也许很小，但并不意味一 定不发生，这样的事件依然是随机事件.
考点二
简单事件的概率 )
例 2(2014· 北京)如图，有 6 张扑克牌，从中随机抽 取一张，点数为偶数的概率是(
2015中考数学全景透视一轮复习课件(第01-05讲)-1
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考点一
确定二次根式有意义的条件
例 1(2014· 达州)二次根式 －2x＋4有意义，则 实数 x 的取值范围是( A．x≥－2 C．x＜2 ) B．x＞－2 D．x≤2
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4．12 的负的平方根介于( B ) A．－5 与－4 之间 C．－3 与－2 之间 B．－4 与－3 之间 D．－2 与－1 之间
解析：∵－ 16＜－ 12＜－ 9， ∴－4＜－ 12＜－3.故选 B.
方法总结： 二次根式的加减运算的实质是去括号，合并被开 方数相同的二次根式；二次根式的乘除运算中，要注 意乘法运算律仍然可以应用.
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考点四 二次根式的混合运算 例 4(2014· 荆门 ) 计算： 24 × (1－ 2) . 【点拨】本题考查二次根式的混合运算，按照混 合运算的顺序进行计算． 3 2 解： 原式＝2 6× －4× ×1＝2 2－ 2＝ 2. 3 4
1．二次根式的加减 先将各二次根式化为最简二次根式，然后再将被 开方数相同的二次根式进行合并． 温馨提示： 化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几 个二次根式叫做同类二次根式.
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2．二次根式的乘除 二次根式的乘法法则： a· b＝ ab (a≥0， b≥0)； a a 二次根式的除法法则： ＝ (a≥0，b＞0)． b b 二次根式的运算结果一定要化成最简二次根式．
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1 － 4× 3
1 × 8
0
方法总结： 二次根式的混合运算要注意运算的顺序，可应用 整式的运算律改变运算的顺序，使运算简便.
2015中考数学全景透视一轮复习课件(第06-10讲)
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考点一
一元二次方程的解
例 1(2014· 陕西)若 x＝－2 是关于 x 的一元二次方 5 程 x － ax＋a2＝0 的一个根，则 a 的值为( 2
2
)
A．1 或 4 C．－1 或 4
B．－1 或－4 D．1 或 －4
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考点三
一元二次方程根的判别式
2
关于 x 的一元二次方程 ax ＋bx＋c＝0(a≠0)的根 的判别式为 b2－4ac，一般用符号 Δ 表示． (1)b － 4ac＞ 0⇔方程有两个不相等的实数根，即 －b± b2－4ac x1,2＝ ； 2a
考点三 一元二次方程根的判别式 例 3(2014· 遵义)关于 x 的一元二次方程 x2－3x＋b ＝0 有两个不相等的实数根，则 b 的取值范围是___． 【点拨】 ∵一元二次方程 x2－3x＋b＝0 有两个不 9 相等的实数根，∴b －4ac＝(－3) －4b＞0，∴b＜ . 4
2 2
9 【答案】 b＜ 4
第7讲
一元二次方程
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考点一
一元二次方程的定义
1．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，这样的整式方程叫做一元二次方程，一元二次方程 的一般形式是 ax ＋bx＋c＝0(a， b， c 是常数， 且 a≠0)． 2．一元二次方程的解：使一元二次方程两边相等 的未知数的值．
p x1＝－ ＋ 2 p2 p －q＋2 ，x2＝－ － 2
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2 － 2 －2b＋c＝4， 2 入 y＝x ＋bx＋c，得 解得 c＝－2，
b＝－1， 所以二次函数的解析式为 y＝x2－x－2.故 c＝－2，
选 A. 答案： A
3．二次函数y＝ax ＋bx＋c 的图象如图所示，则 a 反比例函数y＝ 与一次函数y＝bx＋c在同一坐标系中 x 的大致图象是( )
2 2
∴BF＝AC＝ 5，AF＝BC＝2 5，∠BFD＝90° . ∵AD∥BC， ∴△AOH∽△BOC. AO BO 1 4 1 ∴ ＝ ，即 ＝ ，OH＝ . OH OC OH 2 2 1 ∴H0，－2.
设直线 AD 的函数解析式为 y＝kx＋b. 1 把 A(－1,0)，H0，－ 代入，得 2 0＝－k＋b， ∴ 1 － ＝b. 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 答案： 4a
m 5．如图，在平面直角坐标系中，双曲线y＝ 和 x 直线y＝kx＋b交于A，B两点，点A的坐标为(－3,2)， BC⊥y轴于点C，且OC＝6BC.
(2)在求解几何图形的最大面积时，还应注意自变 量的取值范围，一定要注意题目中的每一个几何量的 可能范围， 一般有几种情况： 边长、 周长、 面积大于 0， 三角形中两边之和大于第三边，圆的周长与半径的关 系．
3．考查方向 (1)与三角形结合，涉及三角形面积、三角形相 似、等腰三角形和直角三角形的性质等知识的相关计 算问题； (2)与特殊平行四边形结合，涉及特殊平行四边形 的判定、某些线段长度的计算问题； (3)涉及动点的存在探究性问题．
【点拨】 本题考查利用二次函数求几何图形面积 最值的问题．(1)直接根据矩形的面积列出一元二次 方程，求出其解即可；(2)首先根据矩形的面积公式 建立 S 与 x 之间的函数关系式，然后配方，把二次 函数的解析式转化为顶点式，然后根据二次函数的 性质求函数的最值．
解：(1)∵AB＝x m，则 BC＝(28－x)m， ∴x(28－x)＝192，解得 x1＝12，x2＝16. ∴当 x＝12 时，BC＝16 m； 当 x＝16 时，BC＝12 m. ∴x 的值为 12 m 或 16 m；
方法总结： 是各类考试中常见的题型， 解决此类问题一般需要分类 讨论.
在同一个直角坐标系中同时考查两个函数的图象，
考点二 反比例函数与一次函数的综合应用 k 例 2(2014· 遂宁)已知：如图，反比例函数 y＝ 的 x 图象与一次函数 y ＝ x＋ b 的图象交于点 A(1,4) 、点 B(－4，n)．
(2)由题意可得出 S＝x(28－x)＝－x ＋28x ＝－(x－14) ＋196， ∵在 P 处有一棵树与墙 CD，AD 的距离分 别是 15 m 和 6 m，
x≥6， ∴ 解得 6≤x≤13. 28－x≥15，
2
2
∵a＝－1≤0，且对称轴为 x＝14， ∴在 6≤x≤13 范围内，S 随 x 的增大而 增大， ∴当 x＝13 时，S 有最大值， S 最大值＝－(13－14) ＋196＝195(m )． 答：花园面积 S 的最大值为 195 m .
【点拨】本题考查用待定系数法求二次函数的解 析式、二次函数与相似等知识的综合应用． 解：(1)把 A(－1,0)，B(4,0)，C(0,2)代入 y＝ax2＋ bx＋c，得 0＝a－b＋c， 0＝16a＋4b＋c， 2＝c.
3 解得 b＝ ， 2 c＝2.
1 a＝－ ， 2
3．建立函数模型后，往往涉及方程、不等式、相 似等知识，最后必须检验与实际情况是否符合． 4．综合运用函数知识，把生活、生产、科技等方 面的问题通过建立函数模型求解，涉及最值问题时， 要想到运用二次函数．
考点一 在同一坐标系中确定多个函数的图象 例 1(2014· 遵义 ) 已知抛物线 y ＝ ax2 ＋ bx 和直线 y＝ax＋b 在同一坐标系内的图象如图所示， 其中正确的 是( )
2 2 2
考点四
函数知识的综合应用
2
例 4(2014· 威海)如图，已知抛物线 y＝ax ＋bx＋ c(a≠0)经过 A(－1,0)，B(4,0)，C(0,2)三点．
(1)求这条抛物线的解析式； (2)E为抛物线上一动点，是否存在点E，使以A， B，E为顶点的三角形与△COB相似．若存在，试求 出点E的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线 相交于点D，连接BD，试求出∠BDA的度数．
考点三
二次函014· 成都)在美化校园的活动中，某兴趣小 组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用 28 m 长的篱笆围成一个矩形花园 ABCD(篱笆只围 AB，BC 两边)，设 AB＝x m.
(1)若花园的面积为 192 m2，求 x 的值； (2)若在 P 处有一棵树与墙 CD， AD 的距离分别是 15 m 和 6 m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑 树的粗细)，求花园面积 S 的最大值．
考点三
二次函数与几何图形结合
1．通过几何图形和几何知识建立函数模型，提 供设计方案或讨论方案的可行性． 2．利用二次函数求最大面积的方法 (1)求几何图形的最大面积，应先在分析图形的基 础上，引入自变量，用含自变量的代数式分别表示出 与所求几何图形相关的量，再根据图形的特征列出其 面积的计算公式，并且用函数表示这个面积，最后根 据函数关系式求出最值及取得最值时自变量的值．
温馨提示： 此类问题中常常涉及的数学思想有：数形结合思 想、分类讨论思想，解题时一定要根据具体题目有针 对性地分析，求解.
考点四
函数的综合应用
1．利用数形结合思想，借助函数的图象和性质， 形象直观地解决有关不等式的最大(小)值、 方程的解以 及图形的位置关系等问题． 2．利用转化思想，通过一元二次方程根的判别式 及根与系数的关系来解决抛物线与 x 轴交点的问题．
第15讲
函数的综合应用
考点一
一次函数与方程、不等式
1．解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为 0 时，求相应的自变量的值． 从图象上看， kx＋b＝0 的解就是直线 y＝kx＋b 与 x 轴交点的横坐标． 2．解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大 于(或小于)0 时，求自变量相应的取值范围．
2．如图，二次函数y＝x ＋bx＋c的图象过点 8 B(0，－2)，它与反比例函数y＝－ 的图象交于点 x A(m,4)，则这个二次函数的解析式为( A．y＝x －x－2 B．y＝x2－x＋2 C．y＝x ＋x－2 D．y＝x ＋x＋2
2 2 2
2
)
8 解析：将点 A(m,4)代入 y＝－ ，得 m＝－2，因 x 此点 A 的坐标为(－2,4)，将点 A 和点 B 的坐标分别代
∵A(－1,0)，B(4,0)，C(0,2)， ∴OA＝1，OB＝4，OC＝2，AB＝5. 在 Rt△AOC 中， 由勾股定理， 得 AC＝ AO ＋OC ＝ 12＋22＝ 5. 在 Rt△BOC 中， 由勾股定理， 得 BC＝ BO ＋OC ＝ 42＋22＝2 5.
2 2 2 2
∵AC2＋BC2＝( 5)2＋(2 5)2＝25， AB ＝5 ＝25， ∴AC2＋BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90° . ∵AD∥BC， ∴∠CAF＝90° . 又∵BF⊥AD， ∴四边形AFBC是矩形．
考点二
二次函数与一元二次方程
判别式情况 二次函 数 y＝ ax ＋bx ＋ c(a≠0) 与x轴 的交点 a＜ 0
2
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
a＞ 0
一元二次方程 ax ＋bx＋c＝0 的实数根
2
有两个不 相等的实 数根 x1， x2
有两个 相等的 实数根 x1＝x2 没有实 数根
温馨提示： 解一元二次方程实质上就是求当二次函数值为0 时的自变量x的取值，反映在函数图象上就是求抛物 线与x轴交点的横坐标.
解析：设点 P 的坐标为(x，y)，∵⊙P 与直线 y＝ －n 始终保持相切，∴⊙P 的半径为 y＋n.∵⊙P 恒过 点 F(0，n)，∴PF＝y＋n，即 x2＋(y－n)2＝(y＋n)2， x ＋y －2yn＋n ＝y ＋2yn＋n ，x ＝4yn.又∵y＝ax ， 1 ∴x ＝4ax n，∴n＝ . 4a
(1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求△OAB 的面积； (3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变 量 x 的取值范围． 【点拨】本题对反比例函数与一次函数进行综合 考查，熟练运用待定系数法、两个函数的性质是解决 问题的关键．
k 解：(1)把点A(1,4)分别代入反比例函数y＝ 、一 x 次函数y＝x＋b，得k＝1×4,1＋b＝4， 解得k＝4，b＝3， 4 ∴反比例函数的解析式是y＝ ，一次函数的解析 x 式是y＝x＋3.
①当△AEB∽△COB时，则∠ABE＝∠CBO. ∴点E与点C重合． ∴E(0,2)． ②当△BEA∽△COB时，由抛物线的对称性知， 3 此时点E是①中点(0,2)关于对称轴x＝ 的对称点． 2 ∴E(3,2)． 综上可知，点E的坐标为(0,2)或(3,2)．
(3)如图，连接AC，过点B作BF⊥AD于点F，AD 与y轴交于点H，过点D作DM⊥x轴于点M.
2
解析：由二次函数的图象可知，c＝0，a＜0，b＜ 0.所以反比例函数的图象位于第二、 四象限，一次函 数的图象经过第二、四象限和原点．故选 D. 答案： D
4．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，若动点 P 在 抛物线 y＝ax2 上， ⊙P 恒过点 F(0，n)，且与直线 y＝－n 始终保持相切，则 n＝ 表示)． (用含 a 的代数式
k 1． 若反比例函数 y＝ 与一次函数 y＝x＋2 的图象 x 没有交点，则 k 的值可以是( A．－2 B．－1 ) C．1 D．2
k 解析：∵反比例函数 y＝ 与一次函数 y＝x＋2 的 x k y＝x， 图象没有交点，∴方程组 无解， y＝x＋2 k 2 ∴方程 ＝x＋2 无解，即 x ＋2x－k＝0 无解． x ∴Δ＝4－4×(－k)＜0.解得 k＜－1.故选 A. 答案：A
b＝－1， 所以二次函数的解析式为 y＝x2－x－2.故 c＝－2，
选 A. 答案： A
3．二次函数y＝ax ＋bx＋c 的图象如图所示，则 a 反比例函数y＝ 与一次函数y＝bx＋c在同一坐标系中 x 的大致图象是( )
2 2
∴BF＝AC＝ 5，AF＝BC＝2 5，∠BFD＝90° . ∵AD∥BC， ∴△AOH∽△BOC. AO BO 1 4 1 ∴ ＝ ，即 ＝ ，OH＝ . OH OC OH 2 2 1 ∴H0，－2.
设直线 AD 的函数解析式为 y＝kx＋b. 1 把 A(－1,0)，H0，－ 代入，得 2 0＝－k＋b， ∴ 1 － ＝b. 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 答案： 4a
m 5．如图，在平面直角坐标系中，双曲线y＝ 和 x 直线y＝kx＋b交于A，B两点，点A的坐标为(－3,2)， BC⊥y轴于点C，且OC＝6BC.
(2)在求解几何图形的最大面积时，还应注意自变 量的取值范围，一定要注意题目中的每一个几何量的 可能范围， 一般有几种情况： 边长、 周长、 面积大于 0， 三角形中两边之和大于第三边，圆的周长与半径的关 系．
3．考查方向 (1)与三角形结合，涉及三角形面积、三角形相 似、等腰三角形和直角三角形的性质等知识的相关计 算问题； (2)与特殊平行四边形结合，涉及特殊平行四边形 的判定、某些线段长度的计算问题； (3)涉及动点的存在探究性问题．
【点拨】 本题考查利用二次函数求几何图形面积 最值的问题．(1)直接根据矩形的面积列出一元二次 方程，求出其解即可；(2)首先根据矩形的面积公式 建立 S 与 x 之间的函数关系式，然后配方，把二次 函数的解析式转化为顶点式，然后根据二次函数的 性质求函数的最值．
解：(1)∵AB＝x m，则 BC＝(28－x)m， ∴x(28－x)＝192，解得 x1＝12，x2＝16. ∴当 x＝12 时，BC＝16 m； 当 x＝16 时，BC＝12 m. ∴x 的值为 12 m 或 16 m；
方法总结： 是各类考试中常见的题型， 解决此类问题一般需要分类 讨论.
在同一个直角坐标系中同时考查两个函数的图象，
考点二 反比例函数与一次函数的综合应用 k 例 2(2014· 遂宁)已知：如图，反比例函数 y＝ 的 x 图象与一次函数 y ＝ x＋ b 的图象交于点 A(1,4) 、点 B(－4，n)．
(2)由题意可得出 S＝x(28－x)＝－x ＋28x ＝－(x－14) ＋196， ∵在 P 处有一棵树与墙 CD，AD 的距离分 别是 15 m 和 6 m，
x≥6， ∴ 解得 6≤x≤13. 28－x≥15，
2
2
∵a＝－1≤0，且对称轴为 x＝14， ∴在 6≤x≤13 范围内，S 随 x 的增大而 增大， ∴当 x＝13 时，S 有最大值， S 最大值＝－(13－14) ＋196＝195(m )． 答：花园面积 S 的最大值为 195 m .
【点拨】本题考查用待定系数法求二次函数的解 析式、二次函数与相似等知识的综合应用． 解：(1)把 A(－1,0)，B(4,0)，C(0,2)代入 y＝ax2＋ bx＋c，得 0＝a－b＋c， 0＝16a＋4b＋c， 2＝c.
3 解得 b＝ ， 2 c＝2.
1 a＝－ ， 2
3．建立函数模型后，往往涉及方程、不等式、相 似等知识，最后必须检验与实际情况是否符合． 4．综合运用函数知识，把生活、生产、科技等方 面的问题通过建立函数模型求解，涉及最值问题时， 要想到运用二次函数．
考点一 在同一坐标系中确定多个函数的图象 例 1(2014· 遵义 ) 已知抛物线 y ＝ ax2 ＋ bx 和直线 y＝ax＋b 在同一坐标系内的图象如图所示， 其中正确的 是( )
2 2 2
考点四
函数知识的综合应用
2
例 4(2014· 威海)如图，已知抛物线 y＝ax ＋bx＋ c(a≠0)经过 A(－1,0)，B(4,0)，C(0,2)三点．
(1)求这条抛物线的解析式； (2)E为抛物线上一动点，是否存在点E，使以A， B，E为顶点的三角形与△COB相似．若存在，试求 出点E的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线 相交于点D，连接BD，试求出∠BDA的度数．
考点三
二次函014· 成都)在美化校园的活动中，某兴趣小 组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用 28 m 长的篱笆围成一个矩形花园 ABCD(篱笆只围 AB，BC 两边)，设 AB＝x m.
(1)若花园的面积为 192 m2，求 x 的值； (2)若在 P 处有一棵树与墙 CD， AD 的距离分别是 15 m 和 6 m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑 树的粗细)，求花园面积 S 的最大值．
考点三
二次函数与几何图形结合
1．通过几何图形和几何知识建立函数模型，提 供设计方案或讨论方案的可行性． 2．利用二次函数求最大面积的方法 (1)求几何图形的最大面积，应先在分析图形的基 础上，引入自变量，用含自变量的代数式分别表示出 与所求几何图形相关的量，再根据图形的特征列出其 面积的计算公式，并且用函数表示这个面积，最后根 据函数关系式求出最值及取得最值时自变量的值．
温馨提示： 此类问题中常常涉及的数学思想有：数形结合思 想、分类讨论思想，解题时一定要根据具体题目有针 对性地分析，求解.
考点四
函数的综合应用
1．利用数形结合思想，借助函数的图象和性质， 形象直观地解决有关不等式的最大(小)值、 方程的解以 及图形的位置关系等问题． 2．利用转化思想，通过一元二次方程根的判别式 及根与系数的关系来解决抛物线与 x 轴交点的问题．
第15讲
函数的综合应用
考点一
一次函数与方程、不等式
1．解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为 0 时，求相应的自变量的值． 从图象上看， kx＋b＝0 的解就是直线 y＝kx＋b 与 x 轴交点的横坐标． 2．解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大 于(或小于)0 时，求自变量相应的取值范围．
2．如图，二次函数y＝x ＋bx＋c的图象过点 8 B(0，－2)，它与反比例函数y＝－ 的图象交于点 x A(m,4)，则这个二次函数的解析式为( A．y＝x －x－2 B．y＝x2－x＋2 C．y＝x ＋x－2 D．y＝x ＋x＋2
2 2 2
2
)
8 解析：将点 A(m,4)代入 y＝－ ，得 m＝－2，因 x 此点 A 的坐标为(－2,4)，将点 A 和点 B 的坐标分别代
∵A(－1,0)，B(4,0)，C(0,2)， ∴OA＝1，OB＝4，OC＝2，AB＝5. 在 Rt△AOC 中， 由勾股定理， 得 AC＝ AO ＋OC ＝ 12＋22＝ 5. 在 Rt△BOC 中， 由勾股定理， 得 BC＝ BO ＋OC ＝ 42＋22＝2 5.
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∵AC2＋BC2＝( 5)2＋(2 5)2＝25， AB ＝5 ＝25， ∴AC2＋BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90° . ∵AD∥BC， ∴∠CAF＝90° . 又∵BF⊥AD， ∴四边形AFBC是矩形．
考点二
二次函数与一元二次方程
判别式情况 二次函 数 y＝ ax ＋bx ＋ c(a≠0) 与x轴 的交点 a＜ 0
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Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
a＞ 0
一元二次方程 ax ＋bx＋c＝0 的实数根
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有两个不 相等的实 数根 x1， x2
有两个 相等的 实数根 x1＝x2 没有实 数根
温馨提示： 解一元二次方程实质上就是求当二次函数值为0 时的自变量x的取值，反映在函数图象上就是求抛物 线与x轴交点的横坐标.
解析：设点 P 的坐标为(x，y)，∵⊙P 与直线 y＝ －n 始终保持相切，∴⊙P 的半径为 y＋n.∵⊙P 恒过 点 F(0，n)，∴PF＝y＋n，即 x2＋(y－n)2＝(y＋n)2， x ＋y －2yn＋n ＝y ＋2yn＋n ，x ＝4yn.又∵y＝ax ， 1 ∴x ＝4ax n，∴n＝ . 4a
(1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求△OAB 的面积； (3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变 量 x 的取值范围． 【点拨】本题对反比例函数与一次函数进行综合 考查，熟练运用待定系数法、两个函数的性质是解决 问题的关键．
k 解：(1)把点A(1,4)分别代入反比例函数y＝ 、一 x 次函数y＝x＋b，得k＝1×4,1＋b＝4， 解得k＝4，b＝3， 4 ∴反比例函数的解析式是y＝ ，一次函数的解析 x 式是y＝x＋3.
①当△AEB∽△COB时，则∠ABE＝∠CBO. ∴点E与点C重合． ∴E(0,2)． ②当△BEA∽△COB时，由抛物线的对称性知， 3 此时点E是①中点(0,2)关于对称轴x＝ 的对称点． 2 ∴E(3,2)． 综上可知，点E的坐标为(0,2)或(3,2)．
(3)如图，连接AC，过点B作BF⊥AD于点F，AD 与y轴交于点H，过点D作DM⊥x轴于点M.
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解析：由二次函数的图象可知，c＝0，a＜0，b＜ 0.所以反比例函数的图象位于第二、 四象限，一次函 数的图象经过第二、四象限和原点．故选 D. 答案： D
4．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，若动点 P 在 抛物线 y＝ax2 上， ⊙P 恒过点 F(0，n)，且与直线 y＝－n 始终保持相切，则 n＝ 表示)． (用含 a 的代数式
k 1． 若反比例函数 y＝ 与一次函数 y＝x＋2 的图象 x 没有交点，则 k 的值可以是( A．－2 B．－1 ) C．1 D．2
k 解析：∵反比例函数 y＝ 与一次函数 y＝x＋2 的 x k y＝x， 图象没有交点，∴方程组 无解， y＝x＋2 k 2 ∴方程 ＝x＋2 无解，即 x ＋2x－k＝0 无解． x ∴Δ＝4－4×(－k)＜0.解得 k＜－1.故选 A. 答案：A