第四章静电场中的导体
大学物理复习第四章知识点总结
大学物理复习第四章知识点总结大学物理复习第四章知识点总结一．静电场：1.真空中的静电场库仑定律→电场强度→电场线→电通量→真空中的高斯定理qq⑴库仑定律公式：Fk122err适用范围：真空中静止的两个点电荷F⑵电场强度定义式：Eqo⑶电场线：是引入描述电场强度分布的曲线。
曲线上任一点的切线方向表示该点的场强方向，曲线疏密表示场强的大小。
静电场电场线性质:电场线起于正电荷或无穷远，止于负电荷或无穷远，不闭合，在没有电荷的地方不中断，任意两条电场线不相交。
⑷电通量：通过任一闭合曲面S的电通量为eSdS方向为外法线方向1EdS⑸真空中的高斯定理：eSoEdSqi1int只能适用于高度对称性的问题：球对称、轴对称、面对称应用举例：球对称：0均匀带电的球面EQ4r20(rR)(rR)均匀带电的球体Qr40R3EQ240r(rR)(rR)轴对称：无限长均匀带电线E2or0(rR)无限长均匀带电圆柱面E(rR)20r面对称：无限大均匀带电平面EE⑹安培环路定理：dl0l2o★重点：电场强度、电势的计算电场强度的计算方法：①点电荷场强公式+场强叠加原理②高斯定理电势的计算方法：①电势的定义式②点电荷电势公式+电势叠加原理电势的定义式：UAAPEdl(UP0)B电势差的定义式：UABUAUBA电势能：WpqoPP0EdlEdl(WP00)2.有导体存在时的静电场导体静电平衡条件→导体静电平衡时电荷分布→空腔导体静电平衡时电荷分布⑴导体静电平衡条件:Ⅰ.导体内部处处场强为零,即为等势体。
Ⅱ.导体表面紧邻处的电场强度垂直于导体表面，即导体表面是等势面⑵导体静电平衡时电荷分布:在导体的表面⑶空腔导体静电平衡时电荷分布:Ⅰ.空腔无电荷时的分布：只分布在导体外表面上。
Ⅱ.空腔有电荷时的分布(空腔本身不带电，内部放一个带电量为q的点电荷)：静电平衡时，空腔内表面带-q电荷，空腔外表面带+q。
3.有电介质存在时的静电场⑴电场中放入相对介电常量为r电介质，电介质中的场强为：E⑵有电介质存在时的高斯定理：SDdSq0,intE0r各项同性的均匀介质D0rE⑶电容器内充满相对介电常量为r的电介质后，电容为CrC0★重点：静电场的能量计算①电容：②孤立导体的电容C4R电容器的电容公式C0QQUUU举例：平行板电容器C圆柱形电容器C4oR1R2os球形电容器CR2R1d2oLR2ln()R1Q211QUC(U)2③电容器储能公式We2C22④静电场的能量公式WewedVE2dVVV12二.静磁场：1.真空中的静磁场磁感应强度→磁感应线→磁通量→磁场的高斯定理⑴磁感应强度：大小BF方向：小磁针的N极指向的方向qvsin⑵磁感应线：是引入描述磁感应强度分布的曲线。
4静电场中的导体
3) 推论：处于静电平衡的导体是等势体 导体表面是等势面 导 体 是 等 势 体
en
E dl
E
+
+ + +
E dl 0
导体内部电势相等
dl
+
+
et
U AB E dl 0
AB
A
B
注意 当电势不同的导体相互接触或用另一导体（例如导 线）连接时，导体间将出现电势差，引起电荷宏观 的定向运动，使电荷重新分布而改变原有的电势差， 直至各个导体之间的电势相等、建立起新的静电平 衡状态为止。
各个分区的电场分布（电场方向以向右为正）：
1 2 3 4 在Ⅰ区：E 2 0 2 0 2 0 2 0 1 Q 方向向左 0 2 0 S
Eint 0
◆ 导体表面紧邻处的场强必定和导体表面垂直。
E S 表面
证明(1)：如果导体内部有一点场强不为零，该点的 自由电子就要在电场力作用下作定向运动，这就不 是静电平衡了。 证明(2)：若导体表面紧邻处的场强不垂直于导体表 面，则场强将有沿表面的切向分量 Et，使自由电子 沿表面运动，整个导体仍无法维持静电平衡。
const .
E dS
S
q
i
i
0
E dl 0
L
3. 电荷守恒定律
讨论题：
1. 将一个带电+q、半径为 RB 的大导体球 B 移近一 个半径为 RA 而不带电的小导体球 A，试判断下列说 法是否正确。 +q B (1) B 球电势高于A球。 (2) 以无限远为电势零点，A球的电势 A 0 。 (3) 在距 B 球球心的距离为r ( r >> RB ) 处的一点P， q /(40。 r2) 该点处的场强等于 (4) 在 B 球表面附近任一点的场强等于 B / 0 ，
静电场中的导体和电解质
Q + + + + ++ + + + + E= 0 S+ + + + + + + + ++
Q q + + + +++ + +-q + + - E= 0 S + 结论: 电荷分布在导体外表面, 导体 + q + + 内部和内表面没净电荷. + - - + + + + ++ 腔内有电荷q: E 0 q 0
i
结论: 电荷分布在导体内外两个表面,内表面感应电荷为-q. 外表面感应电荷为Q+q.
NIZQ
第 5页
大学物理学 静电场中的导体和电介质
结论: 在静电平衡下,导体所带的电荷只能分布在导体的 表面,导体内部没有净电荷. • 静电屏蔽 一个接地的空腔导体可以隔离内 外电场的影响. 1. 空腔导体, 腔内没有电荷 空腔导体起到屏蔽外电场的作用. 2. 空腔导体,腔内存在电荷 接地的空腔导 体可以屏蔽内、 外电场的影响.
NIZQ
第 3页
大学物理学 静电场中的导体和电介质
• 静电平衡时导体中的电场特性
E内 0
场强:
ΔVab
b
a
E dl 0
• 导体内部场强处处为零 E内 0 • 表面场强垂直于导体表面 E表面 // dS
• 导体为一等势体 V 常量 • 导体表面是一个等势面
S
0 E P dS qi
大学物理-静电场中的导体
E内= 0 等势体
静电平衡时的导体
接地 ：取得与无限远相同的电势 通常取为零）。 （通常取为零）。
6
半径为R的金属球与地相连接 的金属球与地相连接， 例1. 半径为 的金属球与地相连接，在与球心 相距d=2R处有一点电荷 处有一点电荷q(>0)，问球上的 相距 处有一点电荷 ， 感应电荷 q'=? q'？q =
q3
q2 q1
B
R1 R2
A
R3
22
解: （1）当球体和球壳为一般带电体时 ） 用高斯定理可求得场强分布为
r −R E3 = (q1 + 3 Q) ( R2 ≤ r ≤ R3 ) 2 4πε0r R3 − R 1
3 3 2 3 2
4πε0 R q1 E2 = 2 4πε0r
E1 =
q1
3 1
r
(r ≤ R1 )
E = σ / εo
1 3.面电荷密度正比于表面曲率 σ ∝ R 面电荷密度正比于表面曲率
31
例4-2 （3）如果外壳接地，情况如何？ ）如果外壳接地，情况如何？ （4）如果内球接地，情况又如何？ ）如果内球接地，情况又如何？ （3）如果外壳接地 ） 则： 外壳电势= 外壳电势= 无穷远处电势 =0 外壳带电量= 外壳带电量=Q’
S
ε0 V
S 是任意的。 是任意的。 令S→ 0，则必有ρ 内 = 0。 。
8
必为零。 2.导体壳： 外可不为零，但σ内 和 E内必为零。 导体壳： 可不为零， 导体壳 σ
σ内 = 0
E内 = 0
S内
σ外
理由： 理由： 在导体中包围空腔选取 高斯面S 高斯面 ， 则：
S
r r ∫ E导内 ⋅ d s = 0
大学物理电磁学公式总结
大学物理电磁学公式总结➢ 第一章（静止电荷的电场）1. 电荷的基本性质：两种电荷，量子性，电荷守恒，相对论不变性。
2. 库仑定律：两个静止的点电荷之间的作用力F =kq 1q 2r 2e r =q 1q 24πε0r 2e r3. 电力叠加原理：F=ΣF i4. 电场强度：E=Fq, q 0为静止电荷5. 场强叠加原理：E=ΣE i用叠加法求电荷系的静电场：E =∑q i4πε0r i 2e ri i (离散型) E=∫dq4πε0r 2e r q(连续型)6. 电通量：Φe=∫E •dS s7. 高斯定律：∮E •dS s=1ε0Σq int 8. 典型静电场：1) 均匀带电球面：E=0 （球面内）E=q 4πε0r 2e r （球面外）2) 均匀带电球体：E=q 4πε0R3r =ρ3ε0r （球体内）E=q4πε0r 2e r （球体外） 3) 均匀带电无限长直线：E=λ2πε0r ，方向垂直于带电直线4) 均匀带电无限大平面：E=σ2ε0，方向垂直于带电平面9. 电偶极子在电场中受到的力矩：M=p×E➢ 第三章（电势）1. 静电场是保守场：∮E •dr L=0 2. 电势差：φ1 –φ2=∫E •dr (p2)(p1)电势：φp =∫E •dr (p0)(p) （P0是电势零点） 电势叠加原理：φ=Σφi 3. 点电荷的电势：φ=q 4πε0r电荷连续分布的带电体的电势：φ=∫dq4πε0r4. 电场强度E 与电势φ的关系的微分形式：E=-gradφ=-▽φ=-(∂φ∂xi +∂φ∂yj +∂φ∂zk )电场线处处与等势面垂直，并指向电势降低的方向；电场线密处等势面间距小。
5. 电荷在外电场中的电势能：W=q φ移动电荷时电场力做的功：A 12=q(φ1 –φ2)=W 1-W 2电偶极子在外电场中的电势能：W=-p •E➢ 第四章（静电场中的导体）1. 导体的静电平衡条件：E int =0，表面外紧邻处Es ⊥表面 或导体是个等势体。
静电场中的导体
一、导体的静电平衡条件
+
++++ + + + +
感应电荷
静电平衡条件
导体 内部 的场
E0
E E0 E'
E'
静电平衡时
E E' E0
E E0 E' 0
外场
E0
•静电平衡条件： 导 感应场 E '
体内部场强为0。
导体内部的场 E
二、处于静电平衡的导体的性质
1.静电平衡时导体为等势体，导体表面 为等势面。
R2 R3
(1)球壳B内、外表面上的电量及球A和球壳B的电势
(2)将球壳B接地然后断开，再把金属球A接地，求金 属球A和球壳B内、外表面上各带有的电量以及球A 和球壳B的电势
• 例:有一块大金属平板,面 积为S,带有总电量Q,在 其近旁平等放置第二块 大金属板,此板原来不带 电.求静电平衡时,金属板 上的电荷 分布及其空间
如尖端放电
三、静电空腔内表面无电荷,全部电 荷分布于外表面。
证明：在导体内作高斯面
S
E
dS
q
0
导体内 E 0, q 0
面内电荷是否会等量异号？
如在内表面存在等量异号 电荷，则腔内有电力线， 电势沿电力线降落，所以 导体不是等势体，与静电 平衡条件矛盾。
所以内表面无电荷，所有电荷分布于外表 面。
• 不管外电场如何变化，由于导体表面电 荷的重新分布，总要使内部场强为 0。
• 空腔导体具有静电屏蔽作用。例如：高 压带电作业人员穿的导电纤维编织的工 作服。
2.腔内有电荷
空腔原带有电荷 Q ，将 q 电荷放入空腔内。 结论：
大学物理电磁学典型习题
部分习题解答第一章 静止电荷的电场1、10 解：（一定要有必要的文字说明）在圆环上与角度θ相应的点的附近取一长度dl ，其上电量 dq =λdl =0λsinθdl ，该电荷在O 点产生的场强的大小为==204RdqdE πε2004sin R dl πεθλθπελsin 400R =θd dE 的方向与θ有关，图中与电荷 dq 对O 点的径矢方向相反。
其沿两坐标轴方向的分量分别为 θθθπελθd RdE dE x cos sin 4cos 00-=-=θθπελθd RdE dE y 200sin 4sin -=-=整个圆环上电荷在圆心处产生的场强的两个分量分别为==⎰x x dE E R004πελ-⎰=πθθθ200cos sin d==⎰Y y dE E R004πελ-⎰-=πελθθ200024sin Rd 所以圆心处场强为 E = E y j = R004ελ-j 1、11 解：先将带电系统看成一个完整的均匀带电圆环计算场强，然后扣除空隙处电荷产生的场强；空隙的宽度与圆半径相比很小，可以把空隙处的电荷看成点电荷。
空隙宽度m d 2102-⨯=，圆半径m r 5.0=，塑料杆长m d r l 12.32=-=π 杆上线电荷密度m C lq/1019-⨯==λ 一个均匀带电圆环，由于电荷分布关于圆心对称，环上对称的二电荷元在圆心处产生的场强互相抵消，因而整个圆环在圆心处的场强E 1= 0 空隙处点电荷设为q /，则q / =d λ，他在圆心处产生的场强m V rdr q E /72.0442020/2===πελπε 方向由空隙指向圆心。
空隙处的电荷实际上不存在，因此圆心处场强等于均匀带电圆环在该点产生的场强与空隙处电荷在该点产生的场强之差，故m V E E E /72.021-=-= 负号表示场强方向从圆心指向空隙。
1、12 解：设想半圆形线CAD 与半圆形线ABC 构成一个圆形如图，且圆上线电荷密度均为λ。
静电场中的导体
'
'
13
电偶极矩： 斜柱体的体积：
' ql Sl V Sl cos
电极化强度矢量的大小： p
' p cos pn
3、电介质的极化规律，极化率：
' V cos
p
极化强度矢量与该点的合场强有关，并与介质有关 对大多数各向同性电介质
2、电容器及其电容： 平板电容：
同轴柱形电容器 设 长 为 l
s c 0 d
C AB
qA U A UB
带电量为 q 外半径为 RB
8
内半径为 RA 则 q l
L
E 2 0 r B U AB E dl
A
RB
q c 2 0 U AB
同心球形电容器
1.0 102 m 处的电势
3、把点电荷移开球心，导体球壳的电势是否变化？
10 4 . 0 10 解：1、 V 9 109 40 R2 3.0 10 2
q
+q
-q
120v
2、定义
R1
+q
V1
R1
q 4 0 r
2
r1
dr
R2
q 4 0 r
0
s
E
0
2
尖端放电的实质 三、静电屛蔽：
+
+ + + + +
+ +
四、导体存在时静电场的计算： 例1、金属板面积为S，带电量为 Q。近旁平行放置第二块不 带电大金属板。 1、求电荷分布和电场分布；
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当外电场和导体上重新分布的电荷所产生的 电场对自由电荷的作用相互抵消，导体中宏观 的电荷运动停止，电荷又达到新的平衡分布， 这种状态称为静电平衡。
2
三、静电平衡条件
（1）导体内部任何一点的场强等于 0 。
（2）导体表面任何一点的场强都垂直表面 。
（1）此系统的电场
分布及电势分布。
（2）如果球体和球壳 q3
均为导体，再求电场 分布和电势分布
q2
R1
q1
R2
A
R3
B 13
解:
（1）当球体和球壳为一般带电体时（自己完成）
用高斯定理可求得场强分布为
E1
q1
4 0 R13
r
(r R1 )
E2
q1
4 0r 2
(R1 r R2 )
E3
1
4 0r 2
n
则有 E dS E4 r 2
qi q1 Q
S
i 1
n
qi
根据高斯定理 E dS i1
S
0
有
E4 4 r 2 (q1 Q) 0
E4
q1 Q
4 0r 2
(r R3)
18
电势分布 ( 0)
球体内 (r R1 )
感应电荷 q'=?
q'？= q
解： 利用金属球是等势体
R
球体上处处电位: U= 0
o
球心处： Uo= 0
即：q04dqoR
q 4o2R
0
q
o
dq 4oR
q 4o
2R
q R
q 2R
q
q 2
R q
9
四、静电屏蔽(Electrostatic Shielding)
空心导体如果腔内没有净电荷，在静电平 衡时，电荷都分布在外表面，内部无电场， 所以，如果把任一物体放入空心导体的空 腔内，该物体就不会受任何电场的干扰， 这就是静电屏蔽的原理。
例如：在均匀场放入一导体的情况
E
E
E内 0
表面出现感应电荷
电荷不动
电荷积累到一定程度 E E 达静电平衡
推论：
1º导体是等势体。 2º导体表面是等势面。
3
四、导体上电荷分布
1. 导体内无净电荷，电荷体密度 0
电荷只能分布在表面上。
①实心导体: ②空腔导体
体内无净电荷,即： 0
电荷分布在表面上。
以静电平衡为前提
10
讨论
1º腔内+q所处位置不同，对内外表
Q+q q S
+q
面电荷分布及电场分布的影响。动画
内改变 , E内改变, q内 q不变。
外不变，E外不变，q外 Q q不变。
+q
2º若将腔内带电体与导体壳连接， 会出现什么情况？
腔内无电荷分布：E内=0 屏蔽外场
Q
q
3º若将导体壳接地， 又会出现什么情况？
16
n
则有
E dS E 4 r 2
S
n
qi q1
i 1
qi
根据高斯定理
E dS i1
S
0
有
E2
4 r 2
q1
0
E2
q1
4 0r 2
(R1 r R2 )
球壳中
(R2 r R3 )
*因球壳是导体， 所以 E3 0
17
球壳外 (r R3 )
作与带电体同心、半径= r 的球面形高斯面
(q1
r 3 R23 R33 R23
Q)
(R2 r R3 )
E4
q1 Q
4 0r 2
(r R3 )
14
电势分布 ( 0)
球体内 (r R1 )
r
R1 r
E1dr
R2 R1
E2dr
R3 R2
E3dr
R3 E4dr
r
R2 r
E2dr
R3 R2
E3dr
R3 E4dr
(R1 r R2 )
则有：
dS
0
侧EdS
上E dS E S
E
o
1 o
qi
S o
E S
6
3 电荷面密度与导体表面曲率的关系
孤立导体：在给定电荷情况下电荷分布有如下定性规律
实验结论：面电荷密度正比于表面曲率
1 R
即：曲率
1 较大 R
（表面凸起处）
较大
曲率
1 R
较小
（表面较平坦处）
较小
曲率
1 为负 R
（表面凹进处）
更小
E
表面尖端处，E较大 表面平坦处，E较小 表面凹进处，E最弱
++ ++
+ +
+ +
+++++++++++
7
当曲率很大的尖端E很强
尖端放电
尖端放电
利用： 避雷针 除尘器 火花放电设备
危害： 损失电能 污染环境
8
例1. 半径为R的金属球与地相连接，在与球心
相距d=2R处有一点电荷q(>0)，问球上的
+q
qi 0
i
qi q q内 0
i
即：q内 q 得证
由电荷守恒： q外 Q q
5
2. 带电导体表面附近任一点的场强大小与该点 附近导体表面的电荷面密度成正比,即：
E /o
方向: 垂直该场点附近的导体表面
S 在导体表面上任取面积元 S，该处电
荷面密度 ,作底面积为S的高斯圆柱面，
轴线垂直S
导体 将实物按电特性划分： 半导体
非导体带电体
绝缘体
动画
① 所带电荷在带电体上不能自由移动
② 电荷体密度 0
导体带电体
E
① 所带电荷在带电体上可以自由移动
② 电荷体密度 0 ，电荷只能分布在表面
（ 静 电 平 衡 状 态 时）
1
一、静电感应(Electrostatic Induction)
当导体受到外电场作用时，不论导体原来 是否带电，导体中的运动电荷，在外电场力 的作用下，将相对于晶体点阵作宏观运动， 引起导体上电荷重新分布的现象，称为静电 感应现象。
腔内无电荷： 导体上无净电荷，电荷体密度 0
内表面无净电荷
电荷全分布在导体外表面
4
腔内有电荷q: 空腔导体带电Q
导体上无净电荷， 电荷体密度 0
空腔导体内表面带电总量 q内 q
空腔导体外表面带电总量 q外 q Q
证明：在导体壳内作一高斯面S
Q+q q S
由高斯定理：
vv
Ñ E dS 0
r
R3 r
E3dr
R3 E4dr
(R2 r R3 )
r r E4dr
(r R3 )
15
（2）如果球体和球 壳均为导体， 再求电场分布
和电势分布。 q3
球体内 (r R1 )
*因球体是导体，
所以: E1 0
q2
R1
q1
R2
A
R3
B
球体外、球壳内表面内 (R1 r R2 )
作与带电体同心、半径= r 的球面形高斯面
+q
q外 0 导体壳外：E外=0
屏蔽内场
11
静电屏蔽 在静电平衡的条件下：
当腔内有带电体时，将壳接地，
腔内带电体的电场对壳外无影响
+q
屏蔽内场 在外电场中， 导体壳内和腔内无电场， 腔内物体不会受外界影响
EE==00
屏蔽外场
Q+q
12
五、有导体存在时静电场的分析与计算
例1 一半径为 R1的带电球体A，总电量q1 ，在它 外面有一个同心的带电球壳B，其内外半径分别为 R1 和R2 ，总电量Q。 试求: