初三数学圆的难题

初三数学圆的难题

3 (10分)如图，点I是△ABC的内心，线段A I

的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC 边于点E．

（1）求证：I D=BD；

（2）设△ABC的外接圆的半径为5，I D=6，=，DE y=，当点A在优弧上运动时，AD x

求y与x的函数关系式，并指出自变量x的

取值范围．

(第4题图)

4 如图，点A ，B ，C ，D 是直径为AB 的⊙O 上四个点，C 是劣弧BD 的中点，AC 交BD 于点E ， AE ＝2， EC ＝1．

（1）求证：DEC △∽ADC △（3分）

（2）试探究四边形ABCD 是否是梯形？若是，请你给予

证明并求出它的面积；若不是，请说明理由． （4分） （3）延长AB 到H ，使BH ＝OB ． 求证：CH 是⊙O 的切线． （3分）

D B A O C

E · 图10 D B A O C E 图11 5 如图10，半圆O 为△ABC 的外接半圆，AC 为直径，D 为BC 上的一动点．

（1）问添加一个什么条件后，能使得BD BE BC BD

？请说明理由； （2）若AB ∥OD ，点D 所在的位置应满足什么条件？请说明理由；

（3）如图11，在 （1）和（2）的条件下，四边形AODB 是什么特殊的四边形？证明你的结论．

6 如图1，已知正方形ABCD 的边长为M 是AD 的中点，P 是线段MD 上的一动点（P

不与M ，D 重合），以AB 为直径作⊙O ，过点P 作⊙O 的切线交BC 于点F ，切点为E ．

（1）除正方形ABCD 的四边和⊙O 中的半径外，图中还有哪些相等的线段（不能添加字母和辅助线）？

（2）求四边形CDPF 的周长；

（3）延长CD ，FP 相交于点G ，如图2所示． 是否存在点P ，使BF*FG=CF*OF ？

如果存在，试求此时AP 的长；如果不存在，请说明理由．

· M · A F C O P E D 图1 · P D

O G E M F B A C 图2

7 如图，在平面直角坐标系xoy 中，M 是x 轴正半轴上一点，M 与x 轴的正半轴交于A B ，两点，A 在B 的左侧，且OA OB ，的长是方程2

12270x x -+=的两根，ON 是M 的切线，N 为切点，N 在第四象限．

（1）求M 的直径．

（2）求直线ON 的解析式．

（3）在x 轴上是否存在一点T ，使OTN △是等腰三角形，若存在请在图2中标出T 点所在位置，并画出OTN △（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不证明，不求T 的坐标）若不存在，请说明理由．

y x B M A O N

图 图

1 解：（1）连结AD. ∵∠ABO=60°,

∴∠ADO=60°…..1分

由点A 的坐标为（3，0）得OA=3. ∵在Rt △ADO 中有 cot ∠ADO=OD OA

,…………….2分 ∴OD=OA ·cot ∠ADO=3·cot60°=3×33=3. ∴点D 的坐标为（03）……………3分

（2）DC 与△AOB 的外接圆相切于点D ，理由如下:

由（1）得3∴2

2

2

2

(3)323AD OD OA =+=+=又∵C 点坐标是（-1，0）, ∴OC=1.

∴2

2

2

2

1(3)2CD OC OD =+=+=………………4分 ∵AC=OA+OC=3+1=4,

∴CD 2+AD 2=223)2=42=AC 2

…………………5分 ∴∠ADC=90°,即AD ⊥DC.

由∠AOD=90°得AD 为圆的直径.

∴DC 与△AOB 的外接圆相切于点D ……………6分

M

E F N

（说明：也可用解直角三角形或相似三角形等知识求解.） （3）由二次函数图象过点O （0，0）和A （3，0）, 可设它的解析式为 y=ax(x-3)（a ≠0）. 如图，作线段OA 的中垂线交△AOB 的外接圆于E 、F 两点，交AD 于M 点，交OA 于N 点.

由抛物线的对称性及它的顶点在圆上可知，抛物线的顶点就是点E 或F. ∵EF 垂直平分OA ， ∴EF 是圆的直径. 又∵AD 是圆的直径,

∴EF 与AD 的交点M 是圆的圆心………….7分 由（1）、（2）得OA=3，3∴AN=12OA=32，AM=FM=EM=1

23∴222233

(3)()22

MN AM AN =

-=-=

.

∴33

33333∴点E 的坐标是(3233)，点F 的坐标是(3

2

, 3)……..8分

当点E 为抛物线顶点时，

有32(3

233, a=23.

∴y=x(x-3).

即y=

2

…………………………9分

当点F 为抛物线顶点时，

有3

(3

-3)a=-

2

,

a=9.

∴y=9x(x-3). 即y=

239

x

2

33

-

x.

故二次函数的解析式为y=33

-x 2

+2

3

x 或

y=239x 2233-x ….10分

2 （1）2211π1π1144

S

=-

=-； ········ 2分

2

2

22121π

π24228

S ⎛⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

； ········· 4分

2

2

3221221ππ22422416S ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

； ······· 6分

（2）200820072009

1π

22S =-； ·········· 8分

（3）

11

1π

22

n n n S -+=-（n 为正整数）． ···· 10分

3 (1) 证明： 如图，

∵ 点I 是△ABC 的内心， ∴ ∠BAD =∠CAD ，∠ABI =∠CBI ． ………………2分

∵ ∠CBD =∠CAD ， ∴

∠BAD =∠CBD ． ……………………………3分

∴ ∠BID =∠ABI +∠BAD =∠CBI +∠CBD =∠IBD ．