新北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质和判定》课件
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数学九年级北师大版 1.3 正方形的性质与判定 (共13张PPT)
学 雷 锋 活 动 的心得 体会范 文 导 语 :做 任 何 事情都 要认真 求实,敢 于钻 研,敢于 深入。 只有深 入进去 才能看 到实质 ,
才 能 有 所 收 获。以 下XX 为 大 家 介 绍文 章,仅供 参考! 雷 锋 ,一 个 名 字,更是 一种精 神。他 的行为 让我们 无时无 刻都在 缅怀他 ,他的 奉献更
平行四边形
矩形
菱形
温故知新
不错呀！知道了我同别的四边形的关 系了，那你能够判别我吗？小心假冒！
狗娃,听说你学了正方形,你 看看爸刚买的那个红木桌面 是正方形的吗？
新知学习
如何判定正方形？我们开新课了, 用心听讲,别掉队啊！
前面复习其实已经告诉了我们 正方形的一个判定方法：
1.是平行四边形 2.有一组邻边相等 3.有一个角是直角 方法一：从正方形的定 一心为公
雷 锋 同 志 敢 于为集 体为国 家牺牲 的精神 让我们 每个人 深感佩 服。雷 锋不计 较个人 得 失 把 个 人 的利益 上升为 国家的
正方形的判定
授课教师：陈巧莹
乾县马连初级中学
温故知新
1.我是正方形ABCD，同学们认识吧，谁能 说出我的定义？当然了还有我的性质是什么？
你现在能判定你家的桌子是否正 方形了吗？
如何画一个对角线长为4cm的正 方形？
课堂小结
时间好快，在说再见之前我们总结 总结正方形的判定方法
矩形
一组邻边相等 对角线垂直
四边形
平行四边形
一组邻边相等且有一个角是 直角
菱形
正方形
趣味数学
所谓完全正方形，就是用一些大 小不等的正方形，拼出来的一个 大正方形。 “数学之谜”
定义: 有一组邻边相等且有一个角是直角的 平行四边形叫做正方形。
才 能 有 所 收 获。以 下XX 为 大 家 介 绍文 章,仅供 参考! 雷 锋 ,一 个 名 字,更是 一种精 神。他 的行为 让我们 无时无 刻都在 缅怀他 ,他的 奉献更
平行四边形
矩形
菱形
温故知新
不错呀！知道了我同别的四边形的关 系了，那你能够判别我吗？小心假冒！
狗娃,听说你学了正方形,你 看看爸刚买的那个红木桌面 是正方形的吗？
新知学习
如何判定正方形？我们开新课了, 用心听讲,别掉队啊！
前面复习其实已经告诉了我们 正方形的一个判定方法：
1.是平行四边形 2.有一组邻边相等 3.有一个角是直角 方法一：从正方形的定 一心为公
雷 锋 同 志 敢 于为集 体为国 家牺牲 的精神 让我们 每个人 深感佩 服。雷 锋不计 较个人 得 失 把 个 人 的利益 上升为 国家的
正方形的判定
授课教师：陈巧莹
乾县马连初级中学
温故知新
1.我是正方形ABCD，同学们认识吧，谁能 说出我的定义？当然了还有我的性质是什么？
你现在能判定你家的桌子是否正 方形了吗？
如何画一个对角线长为4cm的正 方形？
课堂小结
时间好快，在说再见之前我们总结 总结正方形的判定方法
矩形
一组邻边相等 对角线垂直
四边形
平行四边形
一组邻边相等且有一个角是 直角
菱形
正方形
趣味数学
所谓完全正方形，就是用一些大 小不等的正方形，拼出来的一个 大正方形。 “数学之谜”
定义: 有一组邻边相等且有一个角是直角的 平行四边形叫做正方形。
新北师大版初中数学九年级上册第1章 特殊平行四边形《第3课 正方形的性质与判定》
满足什么条件的菱形是正方形？ 定理:有一个角是直角的菱形是正方形.
请证明你的结论，并与同伴交流．
正方形的判定（ 随堂练习1）
定理:有一个角是直角的菱形是正方形.
已知:四边形ABCD是菱形,∠A=900. A
D
求证:四边形ABCD是正方形.
证明:
∵四边形ABCD是菱形,∠A=900,
B
C
∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900.
CG=DG=
1
2 CD，DH=AH=
1
AC
2
∴AE=BE2=BF=CF=CG=DG2=HG=AH
∴△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG
A
E
B
13 2
H
F
D
G
C
∴EF=FG=GH=HE∴四边形EFGH是菱形
∵∠1=∠2=45°∴∠3=90 °
∴四边形EFGH是正方形
（1）以菱形或矩形各边的中点为顶点可以组成一个什 么图形？先猜一猜，再证明．如果以平行四边形各边 的中点为顶点呢？
例1.如图 1-18，在正方形 ABCD
中，E 为 CD 边上一点，F 为 BC 延长线上一点，且 CE = CF．BE
M
与 DF 之间有怎样的关系？请说明
理由．
解：BE = DF，且 BE⊥DF． 理由如下：
（2）延长 BE 交 DF 于点 M． ∵ △BCE ≌ △DCF，∴ ∠ CBE = ∠ CDF． ∵ ∠ DCF = 90°，∴ ∠ CDF + ∠ F = 90°． ∴ ∠ CBE + ∠ F = 90°． ∴ ∠ BMF = 90°．∴ BE⊥DF．
北师大版九年级数学(上)
第一章 特殊平行四边形
请证明你的结论，并与同伴交流．
正方形的判定（ 随堂练习1）
定理:有一个角是直角的菱形是正方形.
已知:四边形ABCD是菱形,∠A=900. A
D
求证:四边形ABCD是正方形.
证明:
∵四边形ABCD是菱形,∠A=900,
B
C
∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900.
CG=DG=
1
2 CD，DH=AH=
1
AC
2
∴AE=BE2=BF=CF=CG=DG2=HG=AH
∴△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG
A
E
B
13 2
H
F
D
G
C
∴EF=FG=GH=HE∴四边形EFGH是菱形
∵∠1=∠2=45°∴∠3=90 °
∴四边形EFGH是正方形
（1）以菱形或矩形各边的中点为顶点可以组成一个什 么图形？先猜一猜，再证明．如果以平行四边形各边 的中点为顶点呢？
例1.如图 1-18，在正方形 ABCD
中，E 为 CD 边上一点，F 为 BC 延长线上一点，且 CE = CF．BE
M
与 DF 之间有怎样的关系？请说明
理由．
解：BE = DF，且 BE⊥DF． 理由如下：
（2）延长 BE 交 DF 于点 M． ∵ △BCE ≌ △DCF，∴ ∠ CBE = ∠ CDF． ∵ ∠ DCF = 90°，∴ ∠ CDF + ∠ F = 90°． ∴ ∠ CBE + ∠ F = 90°． ∴ ∠ BMF = 90°．∴ BE⊥DF．
北师大版九年级数学(上)
第一章 特殊平行四边形
北师大版九年级数学(上册)《1.3正方形的性质与判定(一)》课件(共23张PPT)
变式练习
1、如图，点E、F在正方形ABCD的边 BC、CD上，BE=CF.
（1）AE与BF相等吗？为什么？
（2）AE与BF是否垂直？说明你的理由。
A
D
F G
BE
C
2．如图(5)，在AB上取一点C，以AC、 BC为正方形的一边在同一侧作正方形 AEDC和BCFG连结AF、BD延长BD交AF 于H。 求证：(1) △ACF≌△DCB
平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系
平行四边形
正
矩形 方 菱形
形
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩 形，也是特殊的菱形。
性
边
角
质 对角线
对称性
图A
DA
∟
∟D A
D
形 语
O
轴 对
言B
CB
∟
∟
CB
C
称 图
文
对角线互相垂直 形
字 语
对边平行，
四条边都 相等
四个角 都是直角
平分且相等，每 条对角线平分一
PF⊥BD于F,则PE+PF=______5________. A
E
D
分析：PE=AE，PF=OE
P
O
PE＋PF＝OA
3.正方形ABCD中，M为AD中点， ME⊥BD于E，MF⊥AC于F,若
ME+MF =8cm，则AC=___1_6_c_m__.
F
B A
MC D
F
E
O
B
C
知识回顾 Knowledge Review
正方形的性质与判定
想一想：正方形是怎样的矩形？
正方矩形形
邻边相等 的矩形
想一想：正方形是怎样的菱形？
新北师大版初三上册数学(九年级) 第一章：3、《正方形的判定》课件
解： ∵ DE∥AC，DF∥AB
∴ 四边形AEDF是平行四边形
（2）当满足什么条件时，四边形AEDF是矩形？
解： ∵ 一个角为直角的平行四边形为矩形∴ ∠BAC90°时，四边形AEDF是矩形
[趁热打铁]
（3）当满足什么条件时，四边形AEDF是菱形？ 解：∵ 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
∴ 当AD平分∠BAC时，四边形AEDF是菱形
质 对角线
每条对角线平分一组对角
[实践出真知]
做一做：将矩形纸片对折两次，怎样裁剪才能使剪下的三角形 展开后是个正方形？
（1）
（2）
剪口与折痕成 45°角
（3）
（4）
[实践出真知]
问题2：满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
一组邻边相等 或对角线互相垂直
正方形
问题3：满足怎样条件的菱形是正方形？
菱形
亲爱的读者： 2、千世里上之没行有，绝始望于的足处下境。，只20有20对年处7月境1绝2日望星的期人日。二〇二〇年七月十二日2020年7月12日星期日 春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在 3、少成年功易都学永老远难不成会，言一弃寸，光放阴弃不者可永轻远。不。会成09功:01。7.12.202009:017.12.202009:0109:01:457.12.202009:017.12.2020
1.3.2 正方形的判定
[温故而知新]
1.在平行四边形的基础上对矩形、菱形的判定 矩形
平行四边形
菱形
[温故而知新]
2.正方形的定义及性质
正方形 有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形叫做
平行四边形
一个角是直角 且一组邻边相等
正方形
边
正方形的对边平行且相等
∴ 四边形AEDF是平行四边形
（2）当满足什么条件时，四边形AEDF是矩形？
解： ∵ 一个角为直角的平行四边形为矩形∴ ∠BAC90°时，四边形AEDF是矩形
[趁热打铁]
（3）当满足什么条件时，四边形AEDF是菱形？ 解：∵ 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
∴ 当AD平分∠BAC时，四边形AEDF是菱形
质 对角线
每条对角线平分一组对角
[实践出真知]
做一做：将矩形纸片对折两次，怎样裁剪才能使剪下的三角形 展开后是个正方形？
（1）
（2）
剪口与折痕成 45°角
（3）
（4）
[实践出真知]
问题2：满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
一组邻边相等 或对角线互相垂直
正方形
问题3：满足怎样条件的菱形是正方形？
菱形
亲爱的读者： 2、千世里上之没行有，绝始望于的足处下境。，只20有20对年处7月境1绝2日望星的期人日。二〇二〇年七月十二日2020年7月12日星期日 春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在 3、少成年功易都学永老远难不成会，言一弃寸，光放阴弃不者可永轻远。不。会成09功:01。7.12.202009:017.12.202009:0109:01:457.12.202009:017.12.2020
1.3.2 正方形的判定
[温故而知新]
1.在平行四边形的基础上对矩形、菱形的判定 矩形
平行四边形
菱形
[温故而知新]
2.正方形的定义及性质
正方形 有一个角是直角且一组邻边相等的平行四边形叫做
平行四边形
一个角是直角 且一组邻边相等
正方形
边
正方形的对边平行且相等
2019秋季学期九年级数学上册1.3.1正方形的性质与判定课件新版北师大版
文字是文化的传承，语文的学习深层次是学生对文化的学习。过去将语文定位于识字写作，而后语文差点沦为思品 、政治，语文的说教大于语文的美感。
而今将语文重新定位，可以说是认知上的一大进步。语文作为工具的双重性体现在一方面要学生学会文字运用，一 方面又要加强其思想政治功能。坦率说，让学生爱上学习和阅读，思想工作就好做多了。
课堂小结
1：正方形的性质：包括边、角、对角线以及 对称性.
2：将平行四边形、矩形、菱形、正方形之间 的联系.
3：建立起适合自己的知识结构并内化为自己 数学品质的一部分.
1.正方形的四条边 ，四个角
，两条对角线
．
2.已知：如图，四边E＝BF．
新教材会引导两个显著的教学方式变化：1.落实课后阅读。2.整体教学。 教学板块的设定要求教师在教学中落实名著导读，解决目前学生阅读量缺失的现状。拼音教学与识字教学同时进行， 改变以前教学零散、不系统的状况。用整体教学的方式帮学生构建知识体系是新教材对教学提出的课题。
第一章 特殊平行四边形
§1.3 正方形的性质与判定（1）
=180°-90°=90°. ∴∠BCE=∠DCF. 又∵CE=CF， ∴△BCE≌△DCF. ∴BE=DF.
(2)延长BE交DE于点M，（如图1-19）. ∵△BCE≌△DCF. ∴∠CBE=∠CDF. ∵∠DCF=90°. ∴∠CDF+∠F=90°. ∴∠CBE+∠F=90°. ∴∠BMF=90°. ∴BE⊥DF.
议一议：
平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有 么关系？你能用一个你喜欢的方式直观地 示它们之间的关系吗 ？与同伴交流.
这是老师的，你的呢？
练习提高
1：如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O，图中有多少个等腰三角形？
而今将语文重新定位，可以说是认知上的一大进步。语文作为工具的双重性体现在一方面要学生学会文字运用，一 方面又要加强其思想政治功能。坦率说，让学生爱上学习和阅读，思想工作就好做多了。
课堂小结
1：正方形的性质：包括边、角、对角线以及 对称性.
2：将平行四边形、矩形、菱形、正方形之间 的联系.
3：建立起适合自己的知识结构并内化为自己 数学品质的一部分.
1.正方形的四条边 ，四个角
，两条对角线
．
2.已知：如图，四边E＝BF．
新教材会引导两个显著的教学方式变化：1.落实课后阅读。2.整体教学。 教学板块的设定要求教师在教学中落实名著导读，解决目前学生阅读量缺失的现状。拼音教学与识字教学同时进行， 改变以前教学零散、不系统的状况。用整体教学的方式帮学生构建知识体系是新教材对教学提出的课题。
第一章 特殊平行四边形
§1.3 正方形的性质与判定（1）
=180°-90°=90°. ∴∠BCE=∠DCF. 又∵CE=CF， ∴△BCE≌△DCF. ∴BE=DF.
(2)延长BE交DE于点M，（如图1-19）. ∵△BCE≌△DCF. ∴∠CBE=∠CDF. ∵∠DCF=90°. ∴∠CDF+∠F=90°. ∴∠CBE+∠F=90°. ∴∠BMF=90°. ∴BE⊥DF.
议一议：
平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有 么关系？你能用一个你喜欢的方式直观地 示它们之间的关系吗 ？与同伴交流.
这是老师的，你的呢？
练习提高
1：如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O，图中有多少个等腰三角形？
新北师大版九年级数学上册1.3正方形的性质和判定》课件ppt课件
对角线 互相垂直平分
每条对角线平分一
组对角
对称性
ppt课件
8
平行四 边形
边
角
对角线
对边平行 对角相等 对角线互 且相等 邻角互补 相平分
对称性
中心对 称图形
正方形
ppt课件
9
平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系
ppt课件
10
四边形再认识
2 2cm
A
D
O
B
C
ppt课件
11
练习提高
ppt课件
12
正方形不仅是平行四边形、矩形，还是 菱形。
ppt课件
4
平行四 边形
边
角
对角线
对边平行 对角相等 对角线互 且相等 邻角互补 相平分
对称性
中心对 称图形
正方形
ppt课件
5
想一想： 正方形有几条对称轴
ppt课件
6
轴对称
正方形的性质
对边平行
正 方
Hale Waihona Puke 边 四边相等形 角 四个角相等且都是直角
性 质
对角线相等
1.助学19 知识梳理 2.助学1、2、3
ppt课件
13
ppt课件
14
性质应用
例1：如图1-18，在正方形ABCD中，E为CD 上一点，F为BC边延长线上一点，且 CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说 明理由.
ppt课件
15
ppt课件
16
ppt课件
17
1.3正方形的性质和判定 （1）
平行四边形再认识
平行四边 形
邻边相等
菱形
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
专题1.3 正方形的性质与判定(第1课时)【北师大版九上数学精品课件】
发现？
正矩方形 形
〃
活动2：把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形 框架的形状.
正方形
问题2：经过变化后得到特殊四边形是什么四边形？ 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
归纳总结 矩形
邻边相等
正方形
一个角是直角 菱形
正方形
∟
正方形定义： 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形 叫正方形.
轴对称图形（4条对称轴）
知识点三 正方形性质定理的应用
典例精析
例1：如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延
长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说
明理由.
A
D
解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：
（1）∵四边形ABCD是正方形.
E
∴BC=DC,∠BCE =90° .
想一想： 正方形是矩形吗？是菱形吗？
矩形 正方形 菱形 平行四边形
归纳 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所 以平行四边形、矩形、菱形有的性质,正方形都有.
归纳结论
相互平分
对角线
对边平行且相等
边
相等
对角线
角
四个角相等都是90°
正方形
对称性
四边相等
边
对角线
相互垂直且 平分 6
M
N
A
Q 87 B
∴180°-∠5 -∠ONC = 180°-∠7 -∠QNB,
∠CON =∠NQB = 90°.
∴BM⊥CN.
当堂练习
1、如图，正方形ABCD中，AF=BE， AF与BE相交于点O， (1)求证：△DAF≌△ABE； (2)求∠AOD的度数；
正矩方形 形
〃
活动2：把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形 框架的形状.
正方形
问题2：经过变化后得到特殊四边形是什么四边形？ 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
归纳总结 矩形
邻边相等
正方形
一个角是直角 菱形
正方形
∟
正方形定义： 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形 叫正方形.
轴对称图形（4条对称轴）
知识点三 正方形性质定理的应用
典例精析
例1：如图在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC边延
长线上一点,且CE=CF. BE与DF之间有怎样的关系？请说
明理由.
A
D
解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：
（1）∵四边形ABCD是正方形.
E
∴BC=DC,∠BCE =90° .
想一想： 正方形是矩形吗？是菱形吗？
矩形 正方形 菱形 平行四边形
归纳 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所 以平行四边形、矩形、菱形有的性质,正方形都有.
归纳结论
相互平分
对角线
对边平行且相等
边
相等
对角线
角
四个角相等都是90°
正方形
对称性
四边相等
边
对角线
相互垂直且 平分 6
M
N
A
Q 87 B
∴180°-∠5 -∠ONC = 180°-∠7 -∠QNB,
∠CON =∠NQB = 90°.
∴BM⊥CN.
当堂练习
1、如图，正方形ABCD中，AF=BE， AF与BE相交于点O， (1)求证：△DAF≌△ABE； (2)求∠AOD的度数；
1.3正方形的性质与判定(第一课时)课件北师大版九年级数学上册
答图
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∴△ ABE ≌△ EHF （AAS）. ∴ AB ＝ EH ， BE ＝ HF . ∴ EH ＝ BC . ∴ BE ＝ CH . ∴ CH ＝ FH . ∴∠ FCH ＝∠ CFH ＝45°. ∴∠ ECF ＝135°.
答图
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（2022·恩施）如图，已知四边形 ABCD 是正方形，点 G 为线段 AD 上任意一点， CE ⊥ BG 于点 E ， DF ⊥ CE 于点 F . 求证： DF ＝ BE ＋ EF .
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【思路导航】先证出△ BCE ≌△ CDF ，即可求得 BE ＝ CF ， CE ＝ DF ，最后根据线段的和差、等量代换即可得证.
（1）求证： EF ＝ BE ＋ DF ； （1）证明：如答图，将△ ADF 绕点 A 按顺时针方 向旋转90°，得到△ ABF '， 则∠1＝∠2，∠ ABF '＝∠ D ， AF '＝ AF ， BF '＝ DF . ∵四边形 ABCD 为正方形，
答图
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答图
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证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ BC ＝ CD ，∠ BCD ＝90°. ∴∠ BCE ＋∠ DCF ＝90°. ∵ CE ⊥ BG ， DF ⊥ CE ， ∴∠ BEC ＝∠ CFD ＝90°. ∴∠ BCE ＋∠ CBE ＝90°. ∴∠ CBE ＝∠ DCF .
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∴△ ABE ≌△ EHF （AAS）. ∴ AB ＝ EH ， BE ＝ HF . ∴ EH ＝ BC . ∴ BE ＝ CH . ∴ CH ＝ FH . ∴∠ FCH ＝∠ CFH ＝45°. ∴∠ ECF ＝135°.
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（2022·恩施）如图，已知四边形 ABCD 是正方形，点 G 为线段 AD 上任意一点， CE ⊥ BG 于点 E ， DF ⊥ CE 于点 F . 求证： DF ＝ BE ＋ EF .
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【思路导航】先证出△ BCE ≌△ CDF ，即可求得 BE ＝ CF ， CE ＝ DF ，最后根据线段的和差、等量代换即可得证.
（1）求证： EF ＝ BE ＋ DF ； （1）证明：如答图，将△ ADF 绕点 A 按顺时针方 向旋转90°，得到△ ABF '， 则∠1＝∠2，∠ ABF '＝∠ D ， AF '＝ AF ， BF '＝ DF . ∵四边形 ABCD 为正方形，
答图
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证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ BC ＝ CD ，∠ BCD ＝90°. ∴∠ BCE ＋∠ DCF ＝90°. ∵ CE ⊥ BG ， DF ⊥ CE ， ∴∠ BEC ＝∠ CFD ＝90°. ∴∠ BCE ＋∠ CBE ＝90°. ∴∠ CBE ＝∠ DCF .
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3.正方形的性质和判定
平行四边形再认识
平行四边形再认识
邻边相等 平行四边 形
菱形
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
平行四边形
一个角是直角
矩形
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系
平行四边形 正 方 形
矩形
菱形
正方形再认识
正方形定义: 有一组邻边相等的矩形叫做正方形 换句话：有一组邻边相等并且有一个角是直角 的平行四边形
长见识
数一数图中正方形的个数，你发现了什么？
（
）个（
）个
（
）个
（
）个
多
多
多
第n个图中正方形有
3n-1 个
学习了本节课你有哪些收获？
对角线相等 对角线 互相垂直平分 每条Fra bibliotek角线平分一 组对角
正方形的性质
所以：正方形不仅是平行四边形、矩形， 还是菱形。
正方形的判定
定理:有一个角是直角的菱形是正方形. 已知:四边形ABCD是菱形,∠A=900. 求证:四边形ABCD是正方形. 分析:要证明四边形ABCD是正方形,可 转化为证明有一组邻边相等的矩形即可. 证明: ∵四边形ABCD是菱形,∠A=900, ∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900. A D ∴∠A=∠B=∠C=900. ∴四边形ABCD是矩形. ∵AB=BC, ∴四边形ABCD是正方形. B C
E B F C
构建与证明
如图，分别延长等腰直角三角形OAB的两条直 角边AO和BO，使AO=OC，BO=OD 求证：四边形ABCD是正方形。
A O
B
D
C
轴对称
思维拓展
如何设计花坛？
在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两 条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道路 的宽度），你有几种方法？（至少说出三种）
正方形的判定
定理:对角线相等的菱形是正方形. 已知:四边形ABCD是菱形,且对角线AC=BD. 求证:四边形ABCD是正方形. 分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有 一组邻边相等的矩形(或有一个角是直角的菱形)即可. 证明: ∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC,四边形ABCD是平行四边形. A D ∵AC=BD, O ∴四边形ABCD是矩形. ∵AB=BC, B C ∴四边形ABCD是正方形.
正方形的判定
定理:对角线互相垂直的矩形是正方形. 已知:四边形ABCD是矩形，且AC⊥BD. 求证:四边形ABCD是正方形. 分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明 有一角是直角的菱形(或有一组邻边相等的矩形,或 对角线相等的菱形)即可. 证明: ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠ABC=900,四边形ABCD是平行四边形. A D ∵AC⊥BD, O ∴四边形ABCD是菱形. ∵∠ABC=900. ∴四边形ABCD是正方形. B C
四边形ABCD是正方形,两条对角线相交于点 O,(1)求∠AOB,∠OAB的度数。
解：
A
F
D
（1）∵四边形ABCD是正方形 O ∴AC⊥BD ∠AOB=900 ∠BAC=∠DAC C B ∴∠OAB=450 E (2)若AC=4，则正方形边长 2√2 ; 正方形的 面积是 8 . (3)正方形的面积64cm，则对角线交点到正方 形一边的距离 4㎝ .
两层 含义
⑴有一组邻边相等的平行四边形 （菱形） ⑵并且有一个角是直角的平行四 边形（矩形）
正 方 形
各平行四边形关系再认识
有一组邻边相等且有 一个角是直角
各平行四边形关系再认识
平 行 四 边 形
矩 形
菱 形
正 方 形
正方形的性质 边 对边平行 四边相等
正 方 形 性 质
角 四个角相等且都是直角
四边形再认识
2 2cm
A O B
D
C
AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且 AB=AE，EF⊥AC交BC于F，求证：EC=EF=FB
A D 证明： ∵ 四边形ABCD是正方形 ∴∠B=900 ∠ACB=450 ∵∠AEF=900 AB=AE ∴△ABF≌△AFE（HL） ∴BF=EF 又∵∠FEC=900 ∴∠EFC=450 ∴EC=EF（等角对等边） ∴BF=EF=EC
平行四边形再认识
平行四边形再认识
邻边相等 平行四边 形
菱形
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
平行四边形
一个角是直角
矩形
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系
平行四边形 正 方 形
矩形
菱形
正方形再认识
正方形定义: 有一组邻边相等的矩形叫做正方形 换句话：有一组邻边相等并且有一个角是直角 的平行四边形
长见识
数一数图中正方形的个数，你发现了什么？
（
）个（
）个
（
）个
（
）个
多
多
多
第n个图中正方形有
3n-1 个
学习了本节课你有哪些收获？
对角线相等 对角线 互相垂直平分 每条Fra bibliotek角线平分一 组对角
正方形的性质
所以：正方形不仅是平行四边形、矩形， 还是菱形。
正方形的判定
定理:有一个角是直角的菱形是正方形. 已知:四边形ABCD是菱形,∠A=900. 求证:四边形ABCD是正方形. 分析:要证明四边形ABCD是正方形,可 转化为证明有一组邻边相等的矩形即可. 证明: ∵四边形ABCD是菱形,∠A=900, ∴AB=BC,∠C=∠A=900,∠B=1800-∠A=900. A D ∴∠A=∠B=∠C=900. ∴四边形ABCD是矩形. ∵AB=BC, ∴四边形ABCD是正方形. B C
E B F C
构建与证明
如图，分别延长等腰直角三角形OAB的两条直 角边AO和BO，使AO=OC，BO=OD 求证：四边形ABCD是正方形。
A O
B
D
C
轴对称
思维拓展
如何设计花坛？
在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路，使得两 条直的小路将花坛平均分成面积相等的四部分（不考虑道路 的宽度），你有几种方法？（至少说出三种）
正方形的判定
定理:对角线相等的菱形是正方形. 已知:四边形ABCD是菱形,且对角线AC=BD. 求证:四边形ABCD是正方形. 分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有 一组邻边相等的矩形(或有一个角是直角的菱形)即可. 证明: ∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC,四边形ABCD是平行四边形. A D ∵AC=BD, O ∴四边形ABCD是矩形. ∵AB=BC, B C ∴四边形ABCD是正方形.
正方形的判定
定理:对角线互相垂直的矩形是正方形. 已知:四边形ABCD是矩形，且AC⊥BD. 求证:四边形ABCD是正方形. 分析:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明 有一角是直角的菱形(或有一组邻边相等的矩形,或 对角线相等的菱形)即可. 证明: ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠ABC=900,四边形ABCD是平行四边形. A D ∵AC⊥BD, O ∴四边形ABCD是菱形. ∵∠ABC=900. ∴四边形ABCD是正方形. B C
四边形ABCD是正方形,两条对角线相交于点 O,(1)求∠AOB,∠OAB的度数。
解：
A
F
D
（1）∵四边形ABCD是正方形 O ∴AC⊥BD ∠AOB=900 ∠BAC=∠DAC C B ∴∠OAB=450 E (2)若AC=4，则正方形边长 2√2 ; 正方形的 面积是 8 . (3)正方形的面积64cm，则对角线交点到正方 形一边的距离 4㎝ .
两层 含义
⑴有一组邻边相等的平行四边形 （菱形） ⑵并且有一个角是直角的平行四 边形（矩形）
正 方 形
各平行四边形关系再认识
有一组邻边相等且有 一个角是直角
各平行四边形关系再认识
平 行 四 边 形
矩 形
菱 形
正 方 形
正方形的性质 边 对边平行 四边相等
正 方 形 性 质
角 四个角相等且都是直角
四边形再认识
2 2cm
A O B
D
C
AC为正方形ABCD的对角线，E为AC上一点，且 AB=AE，EF⊥AC交BC于F，求证：EC=EF=FB
A D 证明： ∵ 四边形ABCD是正方形 ∴∠B=900 ∠ACB=450 ∵∠AEF=900 AB=AE ∴△ABF≌△AFE（HL） ∴BF=EF 又∵∠FEC=900 ∴∠EFC=450 ∴EC=EF（等角对等边） ∴BF=EF=EC