矩阵分析复习课2018
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rank ( A − λi I )
那么以λi 为主对角元的 Jordan 块的总数是
N ( λi ) = n − rank ( A − λi I )
0 ( A − λi I )α = 特征向量 ( A − λ I ) y = α i 2 y2 ( A − λi I ) y3 = ym −1 ( A − λi I ) ym = 注：（1）链头α是 λi 对应的特征向量。（2）m为对应 Jordan块的阶数 （3）链头不合适还要进行调整。
4]扩充V1为酉矩阵V=(V1 ,V2) 5] 构造奇异值分解
∆ 0 H A =U 0 0 V
λ1 , λ2 , λs
βiT 1 Gi = (α i1 , , α im ) T βim
V1到V2
的映
∀α , β ∈ V1 , k , l ∈ F ⇒ T (kα + l = β ) kT (α ) + lT ( β )
1.5线性映射的值域、核
设T是 n 维线性空间V1到m 维线性空间V2上的线性映射， ε 1 , ε 2 , , ε n 是 V1 的一组基，T在这组基下的矩阵表示是 A， 则 （1）T的核为 （2）T的值域为
1.同构映射的定义 是一种映射关系，还表示一一对应的关系。 2.同构映射的性质
(1) : σ (0) = 0; σ (−α ) = −σ (α )
α s ) k1σ (α1 ) + k2σ (α 2 ) + + ksσ (α s ) (2) : σ (k1α1 + k2α 2 + + ks=
（3） V1 V2 = {0}
（4）α1 , α 2 , , α n1 V1的基
2
β1 , β 2 , , β n V2的基
α1 , α 2 , , α n , β1 , β 2 , , β n V1 + V2的基
1
2
1.4线性映射
线性映射： V1 , V2 是数域F的两个线性空间，T是 射，称T是线性映射，如果有
3.5对称变换与反对称变换 （欧氏空间)
1、如果对内积中的某个元素作线性变换之后 得到内积，与对另外一个元素作同样变换之 后得到的内积相等，那么称这样的变换为对 称变换。
(T (α ), β ) = (α , T ( β ))
2、这种变换在标准正交基下的矩阵表示为对 称矩阵。
AT = A
3、反对称变换、反对称矩阵
矩阵的奇异值分解（不唯一） 1]先求矩阵AAH的酉相似对角矩阵及酉相似矩 阵U; ∆2 0
U H ( AA H )U = 0 0
m×r m×( m − r ) U = ( U , U ), U ∈ C , U ∈ C , 2]记 1 2 1 2
3]令
V1 = A H U1∆−1 ∈ C n×r
P2 Pr ) 其中Pj为Jourdan链 （3）P = ( P 1 条 Jordan链条{α，y2，…，ym}
第三章 内积空间、正规矩阵、 Hermite矩阵
3.1欧氏空间和酉空间
1、欧氏空间和酉空间引入内积在线性空间基 础上再定义多四个条件：对称性，线性性（ 加法和数乘）、正定性。 2、为了将向量的模概念引入线性空间中，所 以需要关注向量的模的基本性质： 非负性 齐次性 三角不等式 柯西许瓦兹三角不等式
3.7Hermite变换、正规变换
1、Hermite矩阵对应的线性变换就是Hermite = β ) (α , T ( β )), ∀α , β ∈ V 变换 (T (α ), T H T = TT H 2、正规矩阵对应的变换为正规变换。 3、正规矩阵的很多性质就可以直接套到正规 变换中，比如正规矩阵可以对角化，即存在一 个标准正交基使得它可以表示为对角矩阵。
这里 n 为该矩阵的阶数。一般此时可写出 Jordan标准形 P = (P P2 Pr ) 其中Pj为Jourdan链 （3） 1 条 Jordan链条{α，y2，…，ym}
0 ( A − λi I )α = 特征向量 ( A − λ I ) y = α i 2 y2 ( A − λi I ) y3 = ym −1 ( A − λi I ) ym = 注：（1）链头α是 λi 对应的特征向量。（2）m为对应 Jordan块的阶数 （3）链头不合适还要进行调整。
矩阵分析总复习
第一章 线性空间和线性变换
1.1线性空间
线性空间
（1）定义在某一数域的。 （2）两种运算、八条性质。 （3）唯一性和封闭性。
线性相关
设V 为数域 F上的线性空间， α1 , α 2 , , α r ∈ V 如果有 不 全为零的数 k1 , k2 , , kr ∈ F ，使得， k1α1 + k2α 2 + + krα r = 0 则称向量组 α1 , α 2 , , α r 线性相关，否则称线性无关。
(3) V 中向量组 α1 , α 2 , , α s 线性相关（无关）⇔ 像 σ (α1 ), σ (α 2 ), , σ (α s ) 线性相关（无关） (4)如果 V1 是 V 的一个子空间，则 V1 在 σ 下的像的集 = 合σ (V1 ) {σ (α ) α ∈ V1} 是 σ (V ) 的一个子空间，并且 V1 与σ (V1 ) 的维数相同。
1.2基与坐标、坐标变换
基
如果 α 1 ,α 2 , ,α n 是线性空间 V 中的 n 个线性无关向量 ，且V 中任一向量都可由其线性表示，则 α 1 ,α 2 , ,α n 是V 的一组基且dim(V )=n.
k1 k2 α = k1α1 + k2α 2 + + knα n = (α1 , α 2 , , α n ) kn V中任意向量 基
3.4幂等矩阵、正交投影
1、幂等矩阵：平方等于本身的矩阵。（特征 值非零即1 ） 2、投影：将一个空间中的向量唯一的表示为 其两个互补子空间中的向量之和，这时称其 中属于某个子空间的子向量为原向量沿其补 子空间到本子空间的投影。 3、正交投影：投影到的两个互补子空间是正 交的 4、正交投影在标准正交基下的矩阵表示可以 分解成一个次酉矩阵乘以它的复共轭转置。
3.6 schur引理、正规矩阵
1、正规矩阵比酉矩阵少了一项约束：不要求 等于单位矩阵。
AAH = AH A
2、正规矩阵的很多性质与酉相似相关。 H −1 = AU U = AU B 酉相似： U 3、Schur引理：任意的一个n阶复矩阵A酉相 似于一个上（下）三角矩阵。（三角矩阵主 对角线的值是A的特征值） 4、正规矩阵分别为Hermite矩阵，反Hermite 矩阵，酉矩阵时，它的特征值分别为均是实 数，均是纯虚数，模长均为1。
1、酉变换（或正交变换）将酉空间（线性空 间）的标准正交基变到标准正交基。（空间 中向量的模不变的线性变换） 2、酉变换（或正交变换）在标准正交基下的 矩阵表示是酉矩阵（或正交矩阵）
3、酉矩阵的逆等于它的复共轭转置（便于求 逆） 正交矩阵
酉矩阵
H H A = A AA = E T T A = A AA = E
矩阵的满秩分解（不唯一）
设 A ∈ Cr
m ×n
，那么存在 B ∈ Cr
m×r
, C ∈ Cr
r ×n
使得： A = BC
矩阵的正交分解（唯一）
n×n 设 A ∈ Cn ， 则 A 可以唯一的分解为
wenku.baidu.com
A = UR
A = R1U1
n×n
R 是正线上三角阵
U , U1 ∈ U
R1 是正线下三角阵
主对角线元 素为正的
1.8线性变换的特征值与特征向量
• 相似矩阵有相同的特征值 • 线性变换A 的特征值可以通过A 的任何一个矩阵表示来计 算 • A 的在基 下的矩阵表示A的特征向量 是线性变换A 的特征向量的坐标向量
1.9线性变换的不变子空间
分 块 上 三 角
1.10矩阵的相似对角形
定理10.1: 线性变换T可对角化的充要条件是矩阵A可对 角化。 定理10.2: n阶矩阵A可对角化的充要条件是A有n个线性 无关的特征向量。 定理10.3: n阶矩阵A可对角化的充要条件是A的每一个特 征值的几何重复度等于代数重复度。
坐标
坐标
坐标变换
( β1 , β 2 , , β n ) = (α1 , α 2 , , α n ) P
y1 x1 y 2 = P −1 x2 yn xn
1.3线性子空间
线性子空间：
设V是线性空间，W是V 的非空子集，则W是V 的子空间的充 分必要条件是
∀α , β ∈W , k , l ∈ F ⇒ kα + l β ∈W
生成子空间： 设 α 1 , α 2 , α s 是线性空间V 的一组向量，
W ) {k1a1 + k2α 2 + + ksα s ai ∈ V , ∀ki ∈ F } = span(α1 , α 2 , , α s=
则W 是V 的线性子空间. 两生成子空间相等
3.8 Hermite矩阵、Hermite二次齐 式
1、Hermite矩阵
AH = A
2、A，B是Hermite矩阵，则 Ak , A−1 , kA + lB, AB(并且AB = BA) 也是Hermite矩阵 iA 是反Hermite矩阵 3、Hermite二次齐式
第四章 矩阵分解
3.2标准正交基、Schmidt方法
1、正交向量、正交向量组。 2、标准正交向量组。 3、正交向量组是无关向量组。 4、标准正交基：由标准正交向量组组成线性 空间的一组基。 5、线性空间的任何一组基出发，可以采用 Schmidt方法构造出一个标准正交基。
3.3正交变换与酉变换
N (T) = {α ∈ V1 | T(α ) = 0};
= R (T) {T(α ) | α ∈ V1};
（3） R (T) = span(T(ε1 ), T(ε 2 ), , T(ε n ));
（4）dim(R(T )) = rank( A ); （5）dim(R(T )) + dim(N(T )) = n.
V1 V2 = {α α ∈ V1且α ∈ V2 }
交空间
V1 + V2 = {α = α1 + α 2 α1 ∈ V1且α 2 ∈ V2 } 和空间
（） 1 V1 + V2是直和 （2） dim(V1 + V2 )= dim(V1 ) + dim(V2 )
如果V1 和 V2 是线性空间V 的两个有限维子空 间,则 dim(V1 ) + dim(V2 ) = dim(V1 + V2 ) + dim(V1 V2 ) 直和：下列命题等价
1.6线性变换的矩阵与线性变换的 运算
1.线性变换的定义
在同一线性空间上的线性映射，称为线性变换。 2.线性变换的性质
如果A ,B 是V上的线性变换， k ∈ P, 则A + B , AB , kA 也是V上的线性变换 .
3.同一线性变换在不同基下的矩阵表示是相似 的！
1.7 n维线性空间的同构
pi = qi
定理10.4: n阶矩阵A的特征值为 {λ1 , λ2 , , λn } ，那么A与 对角矩阵相似的充要条件是 pi = n − rank (λi I − A) 。
第二章 矩阵的若当标准形和 相似变换矩阵
Jordan标准形：分块对角矩阵 求Jordan标准形和相似变换矩阵的步骤： （1）先求出该矩阵的特征多项式及其特征 值 （2）其Jordan标准形的主对角线上都是A 的特征值，并且特征值λi 在主对角线上出 现的次数等于λi 作为特征根的重数。对于每 个特征值 λi ，求出以它为主对角元的各级 Jordan 块的数目 N (λi ) ，首先求出
span{α1 , α 2 , , α s } = span{β1 , β 2 , , βt }
α1 , α 2 , , α s与β1 , β 2 , , βt 等价（等价=可以互相线性表示）
设 V1 , V2 是线性空间V 的两个子空间，则V1 V2 和 V1 + V2 是V 的子空间.
那么以λi 为主对角元的 Jordan 块的总数是
N ( λi ) = n − rank ( A − λi I )
0 ( A − λi I )α = 特征向量 ( A − λ I ) y = α i 2 y2 ( A − λi I ) y3 = ym −1 ( A − λi I ) ym = 注：（1）链头α是 λi 对应的特征向量。（2）m为对应 Jordan块的阶数 （3）链头不合适还要进行调整。
4]扩充V1为酉矩阵V=(V1 ,V2) 5] 构造奇异值分解
∆ 0 H A =U 0 0 V
λ1 , λ2 , λs
βiT 1 Gi = (α i1 , , α im ) T βim
V1到V2
的映
∀α , β ∈ V1 , k , l ∈ F ⇒ T (kα + l = β ) kT (α ) + lT ( β )
1.5线性映射的值域、核
设T是 n 维线性空间V1到m 维线性空间V2上的线性映射， ε 1 , ε 2 , , ε n 是 V1 的一组基，T在这组基下的矩阵表示是 A， 则 （1）T的核为 （2）T的值域为
1.同构映射的定义 是一种映射关系，还表示一一对应的关系。 2.同构映射的性质
(1) : σ (0) = 0; σ (−α ) = −σ (α )
α s ) k1σ (α1 ) + k2σ (α 2 ) + + ksσ (α s ) (2) : σ (k1α1 + k2α 2 + + ks=
（3） V1 V2 = {0}
（4）α1 , α 2 , , α n1 V1的基
2
β1 , β 2 , , β n V2的基
α1 , α 2 , , α n , β1 , β 2 , , β n V1 + V2的基
1
2
1.4线性映射
线性映射： V1 , V2 是数域F的两个线性空间，T是 射，称T是线性映射，如果有
3.5对称变换与反对称变换 （欧氏空间)
1、如果对内积中的某个元素作线性变换之后 得到内积，与对另外一个元素作同样变换之 后得到的内积相等，那么称这样的变换为对 称变换。
(T (α ), β ) = (α , T ( β ))
2、这种变换在标准正交基下的矩阵表示为对 称矩阵。
AT = A
3、反对称变换、反对称矩阵
矩阵的奇异值分解（不唯一） 1]先求矩阵AAH的酉相似对角矩阵及酉相似矩 阵U; ∆2 0
U H ( AA H )U = 0 0
m×r m×( m − r ) U = ( U , U ), U ∈ C , U ∈ C , 2]记 1 2 1 2
3]令
V1 = A H U1∆−1 ∈ C n×r
P2 Pr ) 其中Pj为Jourdan链 （3）P = ( P 1 条 Jordan链条{α，y2，…，ym}
第三章 内积空间、正规矩阵、 Hermite矩阵
3.1欧氏空间和酉空间
1、欧氏空间和酉空间引入内积在线性空间基 础上再定义多四个条件：对称性，线性性（ 加法和数乘）、正定性。 2、为了将向量的模概念引入线性空间中，所 以需要关注向量的模的基本性质： 非负性 齐次性 三角不等式 柯西许瓦兹三角不等式
3.7Hermite变换、正规变换
1、Hermite矩阵对应的线性变换就是Hermite = β ) (α , T ( β )), ∀α , β ∈ V 变换 (T (α ), T H T = TT H 2、正规矩阵对应的变换为正规变换。 3、正规矩阵的很多性质就可以直接套到正规 变换中，比如正规矩阵可以对角化，即存在一 个标准正交基使得它可以表示为对角矩阵。
这里 n 为该矩阵的阶数。一般此时可写出 Jordan标准形 P = (P P2 Pr ) 其中Pj为Jourdan链 （3） 1 条 Jordan链条{α，y2，…，ym}
0 ( A − λi I )α = 特征向量 ( A − λ I ) y = α i 2 y2 ( A − λi I ) y3 = ym −1 ( A − λi I ) ym = 注：（1）链头α是 λi 对应的特征向量。（2）m为对应 Jordan块的阶数 （3）链头不合适还要进行调整。
矩阵分析总复习
第一章 线性空间和线性变换
1.1线性空间
线性空间
（1）定义在某一数域的。 （2）两种运算、八条性质。 （3）唯一性和封闭性。
线性相关
设V 为数域 F上的线性空间， α1 , α 2 , , α r ∈ V 如果有 不 全为零的数 k1 , k2 , , kr ∈ F ，使得， k1α1 + k2α 2 + + krα r = 0 则称向量组 α1 , α 2 , , α r 线性相关，否则称线性无关。
(3) V 中向量组 α1 , α 2 , , α s 线性相关（无关）⇔ 像 σ (α1 ), σ (α 2 ), , σ (α s ) 线性相关（无关） (4)如果 V1 是 V 的一个子空间，则 V1 在 σ 下的像的集 = 合σ (V1 ) {σ (α ) α ∈ V1} 是 σ (V ) 的一个子空间，并且 V1 与σ (V1 ) 的维数相同。
1.2基与坐标、坐标变换
基
如果 α 1 ,α 2 , ,α n 是线性空间 V 中的 n 个线性无关向量 ，且V 中任一向量都可由其线性表示，则 α 1 ,α 2 , ,α n 是V 的一组基且dim(V )=n.
k1 k2 α = k1α1 + k2α 2 + + knα n = (α1 , α 2 , , α n ) kn V中任意向量 基
3.4幂等矩阵、正交投影
1、幂等矩阵：平方等于本身的矩阵。（特征 值非零即1 ） 2、投影：将一个空间中的向量唯一的表示为 其两个互补子空间中的向量之和，这时称其 中属于某个子空间的子向量为原向量沿其补 子空间到本子空间的投影。 3、正交投影：投影到的两个互补子空间是正 交的 4、正交投影在标准正交基下的矩阵表示可以 分解成一个次酉矩阵乘以它的复共轭转置。
3.6 schur引理、正规矩阵
1、正规矩阵比酉矩阵少了一项约束：不要求 等于单位矩阵。
AAH = AH A
2、正规矩阵的很多性质与酉相似相关。 H −1 = AU U = AU B 酉相似： U 3、Schur引理：任意的一个n阶复矩阵A酉相 似于一个上（下）三角矩阵。（三角矩阵主 对角线的值是A的特征值） 4、正规矩阵分别为Hermite矩阵，反Hermite 矩阵，酉矩阵时，它的特征值分别为均是实 数，均是纯虚数，模长均为1。
1、酉变换（或正交变换）将酉空间（线性空 间）的标准正交基变到标准正交基。（空间 中向量的模不变的线性变换） 2、酉变换（或正交变换）在标准正交基下的 矩阵表示是酉矩阵（或正交矩阵）
3、酉矩阵的逆等于它的复共轭转置（便于求 逆） 正交矩阵
酉矩阵
H H A = A AA = E T T A = A AA = E
矩阵的满秩分解（不唯一）
设 A ∈ Cr
m ×n
，那么存在 B ∈ Cr
m×r
, C ∈ Cr
r ×n
使得： A = BC
矩阵的正交分解（唯一）
n×n 设 A ∈ Cn ， 则 A 可以唯一的分解为
wenku.baidu.com
A = UR
A = R1U1
n×n
R 是正线上三角阵
U , U1 ∈ U
R1 是正线下三角阵
主对角线元 素为正的
1.8线性变换的特征值与特征向量
• 相似矩阵有相同的特征值 • 线性变换A 的特征值可以通过A 的任何一个矩阵表示来计 算 • A 的在基 下的矩阵表示A的特征向量 是线性变换A 的特征向量的坐标向量
1.9线性变换的不变子空间
分 块 上 三 角
1.10矩阵的相似对角形
定理10.1: 线性变换T可对角化的充要条件是矩阵A可对 角化。 定理10.2: n阶矩阵A可对角化的充要条件是A有n个线性 无关的特征向量。 定理10.3: n阶矩阵A可对角化的充要条件是A的每一个特 征值的几何重复度等于代数重复度。
坐标
坐标
坐标变换
( β1 , β 2 , , β n ) = (α1 , α 2 , , α n ) P
y1 x1 y 2 = P −1 x2 yn xn
1.3线性子空间
线性子空间：
设V是线性空间，W是V 的非空子集，则W是V 的子空间的充 分必要条件是
∀α , β ∈W , k , l ∈ F ⇒ kα + l β ∈W
生成子空间： 设 α 1 , α 2 , α s 是线性空间V 的一组向量，
W ) {k1a1 + k2α 2 + + ksα s ai ∈ V , ∀ki ∈ F } = span(α1 , α 2 , , α s=
则W 是V 的线性子空间. 两生成子空间相等
3.8 Hermite矩阵、Hermite二次齐 式
1、Hermite矩阵
AH = A
2、A，B是Hermite矩阵，则 Ak , A−1 , kA + lB, AB(并且AB = BA) 也是Hermite矩阵 iA 是反Hermite矩阵 3、Hermite二次齐式
第四章 矩阵分解
3.2标准正交基、Schmidt方法
1、正交向量、正交向量组。 2、标准正交向量组。 3、正交向量组是无关向量组。 4、标准正交基：由标准正交向量组组成线性 空间的一组基。 5、线性空间的任何一组基出发，可以采用 Schmidt方法构造出一个标准正交基。
3.3正交变换与酉变换
N (T) = {α ∈ V1 | T(α ) = 0};
= R (T) {T(α ) | α ∈ V1};
（3） R (T) = span(T(ε1 ), T(ε 2 ), , T(ε n ));
（4）dim(R(T )) = rank( A ); （5）dim(R(T )) + dim(N(T )) = n.
V1 V2 = {α α ∈ V1且α ∈ V2 }
交空间
V1 + V2 = {α = α1 + α 2 α1 ∈ V1且α 2 ∈ V2 } 和空间
（） 1 V1 + V2是直和 （2） dim(V1 + V2 )= dim(V1 ) + dim(V2 )
如果V1 和 V2 是线性空间V 的两个有限维子空 间,则 dim(V1 ) + dim(V2 ) = dim(V1 + V2 ) + dim(V1 V2 ) 直和：下列命题等价
1.6线性变换的矩阵与线性变换的 运算
1.线性变换的定义
在同一线性空间上的线性映射，称为线性变换。 2.线性变换的性质
如果A ,B 是V上的线性变换， k ∈ P, 则A + B , AB , kA 也是V上的线性变换 .
3.同一线性变换在不同基下的矩阵表示是相似 的！
1.7 n维线性空间的同构
pi = qi
定理10.4: n阶矩阵A的特征值为 {λ1 , λ2 , , λn } ，那么A与 对角矩阵相似的充要条件是 pi = n − rank (λi I − A) 。
第二章 矩阵的若当标准形和 相似变换矩阵
Jordan标准形：分块对角矩阵 求Jordan标准形和相似变换矩阵的步骤： （1）先求出该矩阵的特征多项式及其特征 值 （2）其Jordan标准形的主对角线上都是A 的特征值，并且特征值λi 在主对角线上出 现的次数等于λi 作为特征根的重数。对于每 个特征值 λi ，求出以它为主对角元的各级 Jordan 块的数目 N (λi ) ，首先求出
span{α1 , α 2 , , α s } = span{β1 , β 2 , , βt }
α1 , α 2 , , α s与β1 , β 2 , , βt 等价（等价=可以互相线性表示）
设 V1 , V2 是线性空间V 的两个子空间，则V1 V2 和 V1 + V2 是V 的子空间.