差分方程
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差分方程
练习 18 证明：若 a>1，对任意的 >0,>0，若 ≠ ，则按上述法构造的数列{ }满足
.
这样，我们得到了计算 的一个方法： 1． 给定 （作为误差控制），任取初始值 ，
令 n=1;
2． 若
，
则终止计算，输出结果；否则 ，令 n ：=n+1，转
第3步；
3． 令，转第2步.
练习 19 对 a=1.5,10,12345，用上述方法求 .
由 ，得
.
从而可将原来的非齐次线性差分方程化为齐次线性差分方程.
如果方程（8.5）的平衡值不存在，可以将方程（8.5）中所有的 n 换为 n+1，得到
（8.6）
方 程（ 8.6 ）和（ 8.5 ）相 减 得
.
于是可将原来的非齐次线性差
分方程化为高一阶的齐次线性差分方程.
练习17 分别求差分方程 及 的通解.
能 够 使 国 民 经 济 处 于 一 种 良 性 循 环 之 中 。如 何 配 各 部 分 投 资 的 比 例 ，才 能 使 国 民 经 济
处于稳定状态呢？这就是本节要讨论的问题。
我们首先给出一些假设条件：
1． 国民收入用于消费、再生产投资和公共设施建设三部分。
2． 记 分别为第
k 个周期的国民收入水平和消费水平。的值与前一个周期的国民收入成正比例。即
定理8。1 若数列的通项是关于 n 的 k
次多项式，则 k 阶差分数列为非零数列，k+1阶差分数列为0。
练习3 证明定
理8。1。
定理8。2 若{Xn}的 k 阶插分为非零常数列，则{Xn}是 n 的 k 次多
项式，
练习4 根据差分的性质证明定理8。2
例2。求∑i3
差分方程简介
2 n yxn c1 y c y ... ( 1 ) yx n x n1 n x n 2
k (1) Cn y x nk k 0 n k
,
!n ! ) k n ( !k
k n
C中 其 且规定0 yx yx f ( x)
由定义知， y f ( x)的n阶差分 是f ( x n), f ( x n 1),...f ( x 1), f ( x) 的线形组合，
(3)（ayx bzx） ayx bz x
(4)（yx zx） yx1zx zx yx yx zx zx1yx
yx z x y x y x z x (5)( ) (其中z x 0) zx z x z x1
二、差分方程
定义2 含有自变量，未知函数及未知函数差 分的方程，称为差分方程，其一般形式为
yx1 yx yx
yxn yx C yx C y ... C y yx
n
n1 n1 n x
C yx
k 0 k n k
n
由定义容易证明，差分具有以下性质
(1)(c) o(c为常数)
(2)（cyx） cyx (c为常数)
y x5 y x3 4 y x 2 y x e x 是五阶差分方程， 因为（x 5） x 5;
方程3 y x yx 1 0可转化为yx 3 3 y x 2 3 y x 1 1 0， 因而是2阶差分方程
定义4 如果某个函数代入差分方程后能使差分方程 成为恒等式，则称此函数为该差分方程的解。
反之函数y f ( x)的各个函数值也可以 用y x f ( x)和它的各阶差分式表示 。即
k (1) Cn y x nk k 0 n k
,
!n ! ) k n ( !k
k n
C中 其 且规定0 yx yx f ( x)
由定义知， y f ( x)的n阶差分 是f ( x n), f ( x n 1),...f ( x 1), f ( x) 的线形组合，
(3)（ayx bzx） ayx bz x
(4)（yx zx） yx1zx zx yx yx zx zx1yx
yx z x y x y x z x (5)( ) (其中z x 0) zx z x z x1
二、差分方程
定义2 含有自变量，未知函数及未知函数差 分的方程，称为差分方程，其一般形式为
yx1 yx yx
yxn yx C yx C y ... C y yx
n
n1 n1 n x
C yx
k 0 k n k
n
由定义容易证明，差分具有以下性质
(1)(c) o(c为常数)
(2)（cyx） cyx (c为常数)
y x5 y x3 4 y x 2 y x e x 是五阶差分方程， 因为（x 5） x 5;
方程3 y x yx 1 0可转化为yx 3 3 y x 2 3 y x 1 1 0， 因而是2阶差分方程
定义4 如果某个函数代入差分方程后能使差分方程 成为恒等式，则称此函数为该差分方程的解。
反之函数y f ( x)的各个函数值也可以 用y x f ( x)和它的各阶差分式表示 。即
第六章 第节 差分方程
1 (2r 1) C2 n)(1 ) n . 2
2
例 求yn2 yn1 yn 0的通解。
解 由r r 1 0 得r1, 2
2
1 3i . 2
2 2 4 1 1 r c 1, tan 3, . 3 1 2 2 n 通解 yn 1 (C1 cos n C2 sin n). 3 3 2 2 即 yn C1 cos n C2 sin n. 3 3
6.7
差分方程
1、差分方程基础 2、一节常系数线性差分方程 3、二阶常系数线性差分方程
4、差分方程的应用
一、差分方程概念
设整变量函数yn f (n)，n 0,1, 2,, 则yn＋1 yn 称为yn的一阶差分，记为yn
yn yn1 yn f n 1 f n
代入原方程 ,得
1 5 求yn1 yn ( ) n 的通解。 2 2
5 n 1 1 5 n 5 n A( ) A( ) ( ) , 2 2 2 2 5 1 1 A( ) 1, A , 2 2 2 1 5 n yn * ( ) 2 2 1 n 1 5 n 原方程通解 y n C ( ) ( ) . 2 2 2
2
n
研究yn1 byn (n)的解法，
定理: 非齐次线性差分方程通解等于相应 齐次线性差分方程通解加上非齐次线性差 分方程的一个特解 现在问题归结为求出非齐次线性差分方程 的一个特解。
设 (n) a pm (n)型(a 0),其中pm (n)
n
为已知m次多项式，可以证明非齐次方 程 的特解形式是
则 r cos, r sin , 所以 r1 r cos i sin , r2 r cos i sin .
差分方程简介
日期:
差分方程简介
汇报人：
contents
目录
• 差分方程的基本概念 • 差分方程的求解方法 • 差分方程的应用 • 差分方程的局限性 • 差分方程的发展历程与未来趋势 • 差分方程的实际案例分析
01
差分方程的基本概念
定义与例子
• 差分方程是描述离散序列变化的方程式。例如，考虑一个数列{an}，我们可以写出一个差分方程：a{n+1} = 2a_n + 3。
应用
经济学中的差分方程模型适用于预测经济指标的未来趋势 、政策效应分析等。然而，由于现实世界中的复杂性，该 模型可能不适用于所有经济情况。
THANKS
感谢观看
公式法
公式法的原理
01
通过差分方程的解的公式直接计算出解。公式法的步骤 Nhomakorabea02
根据差分方程的特点，寻找解的公式，然后代入初值计算出解
。
公式法的优缺点
03
公式法适用于某些特定类型的差分方程，但不适用于所有类型
的差分方程，需要具体问题具体分析。
计算机方法
计算机方法的原理
利用计算机强大的计算能力，通过编程等方法求解差分方程。
人群、感染人群和免疫人群之间的转换。这些因素都可以通过差分方程来描述 。 • 数学方程：常见的传染病模型如SIR模型，其差分方程为 S(t+1) = S(t) b*S(t)*I(t)/N(t), I(t+1) = I(t) + b*S(t)*I(t)/N(t) - d*I(t), R(t+1) = R(t) + d*I(t)，其中S表示易感人群，I表示感染人群，R表示免疫人群，b表示感染率 ，d表示疾病死亡率。 • 应用：传染病模型适用于预测疾病的传播趋势、评估公共卫生干预措施的效果 等。然而，由于现实世界中的复杂性，该模型可能不适用于所有疾病传播情况 。
差分方程简介
汇报人：
contents
目录
• 差分方程的基本概念 • 差分方程的求解方法 • 差分方程的应用 • 差分方程的局限性 • 差分方程的发展历程与未来趋势 • 差分方程的实际案例分析
01
差分方程的基本概念
定义与例子
• 差分方程是描述离散序列变化的方程式。例如，考虑一个数列{an}，我们可以写出一个差分方程：a{n+1} = 2a_n + 3。
应用
经济学中的差分方程模型适用于预测经济指标的未来趋势 、政策效应分析等。然而，由于现实世界中的复杂性，该 模型可能不适用于所有经济情况。
THANKS
感谢观看
公式法
公式法的原理
01
通过差分方程的解的公式直接计算出解。公式法的步骤 Nhomakorabea02
根据差分方程的特点，寻找解的公式，然后代入初值计算出解
。
公式法的优缺点
03
公式法适用于某些特定类型的差分方程，但不适用于所有类型
的差分方程，需要具体问题具体分析。
计算机方法
计算机方法的原理
利用计算机强大的计算能力，通过编程等方法求解差分方程。
人群、感染人群和免疫人群之间的转换。这些因素都可以通过差分方程来描述 。 • 数学方程：常见的传染病模型如SIR模型，其差分方程为 S(t+1) = S(t) b*S(t)*I(t)/N(t), I(t+1) = I(t) + b*S(t)*I(t)/N(t) - d*I(t), R(t+1) = R(t) + d*I(t)，其中S表示易感人群，I表示感染人群，R表示免疫人群，b表示感染率 ，d表示疾病死亡率。 • 应用：传染病模型适用于预测疾病的传播趋势、评估公共卫生干预措施的效果 等。然而，由于现实世界中的复杂性，该模型可能不适用于所有疾病传播情况 。
差分方程的基本概念
差分方程的应用领域
01
02
03
金融领域
差分方程在金融领域中用 于描述股票价格、债券收 益率等金融变量的动态变 化。
物理学领域
在物理学中，差分方程用 于描述离散系统的动态行 为，如离散的弹簧振荡器、 离散的波动等。
生物学领域
在生态学和流行病学中， 差分方程用于描述种群数 量随时间的变化规律。
差分方程与微分方程的关系
定义
差分方程的稳定性是指当时间步 长趋于无穷大时，差分方程的解 是否收敛到原方程的解。
分类
根据稳定性性质的不同，差分方 程可以分为稳定、不稳定和临界 稳定三种类型。
稳定性判据
判据一
如果对于任意小的正数ε，存在一个正 数δ，使得当|Δt|<δ时，差分方程的 解满足|x(n+1)−x(n)|<ε，则称差分方 程是稳定的。
有限元法的基本思想是将连续的求解区域离 散化为有限个相互连接的子域（即有限元）， 并在每个子域上选择合适的基函数进行近似。 通过这种方式，可以将偏微分方程转化为离 散的差分方程，从而进行数值求解。
有限体积法
总结词
有限体积法是一种将偏微分方程离散化为差 分方程的数值方法，通过在每个控制体积上 对微分进行离散近似，将微分方程转化为差 分方程。
数值解法
数值解法是一种通过数值计算方法来求解差分方程的方法。常用的数值解法包括 欧拉பைடு நூலகம்、龙格-库塔法等。
数值解法的优点是适用于各种类型的差分方程，特别是一些难以直接求解的差分 方程。数值解法的精度可以通过增加计算步数来提高。然而，数值解法的计算量 大，需要较高的计算能力。
03 差分方程的稳定性
定义与分类
详细描述
有限差分法的基本思想是将连续的空间离散化为有限个离散点，并利用泰勒级数展开式或其它近似方 法，将微分运算转化为差分运算。通过这种方式，可以将偏微分方程转化为离散的差分方程，从而进 行数值求解。
差分方程
yt t ( n) t (t 1)(t 2) (t n 1) ，则
( n)
yt (t 1)
.
t
( n)
(t 1)t (t 1) (t 1 n 1)
t (t 1) (t n 2)(t n 1)
( n 1)
称为一阶常系数线性齐次差分方程，相应地， 一阶常系数线性非齐次差分方程.
1．一阶常系数线性齐次差分方程的通解 一阶常系数线性齐次差分方程的通解可用迭代法求得.
设 y0 已知，将 t 0,1,2, 代入方程
yt 1 Pyt 中，得
3
y1 Py0
y2 Py1 P y0
2
如果差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数恰好 等于方程的阶数，则称这个解是差分方程的通解.
定义4 若差分方程中所含未知函数及未知函数的各阶差分均 为一次，则称该差分方程为线性差分方程. 其一般形式为
yt n a1 (t ) yt n 1 an1(t ) yt 1 an (t ) yt f (t )
2．一阶常系数线性非齐次差分方程的通解
定理 设
yt
为齐次方程的通解，
yt 为非齐次方程的一个
*
特解，则
yt yt yt* 为非齐次方程的通解.
y t 1 P y t 0
* * 证明 由题设，有 yt 1 Pyt f (t ) ，及
将这两式相加得 ( y t 1 yt*1 ) P ( y t yt* ) f (t ) ，即
1 3 yt 3( )t 在初始条件 2 2
y0 5
解 这里
1 3 P , C 3, b 2 2
第章差分方程
xt iti i0
其中，t 为常数（某些可取零），序列 t 不是 yt 的函数。
于是，可以认为 { t }只不过是一个未取定外生变量的序列。
令 0 1, 1 2 0 ，则得到自回归方程
yt a0 a1 yt1 a2 yt2 an ytn t
令 n 1, a0 0, a1 1 ，则得到随机游走模型
考虑初始条件 y0已知的一阶差分方程
a. 向前迭代
yt a0 a1 yt1 t
y1 a0 a1 y0 1
（1.17）
y2 a0 a1 y1 2 a0 a1(a0 a1 y0 1) 2 a0 a0a1 a12 y0 a11 2
y3 a0 a1 y2 3 a0 a1(a0 a0a1 a12 y0 a11 2 ) 3
类似地，可以定义 n 阶差分 (n )。
记号： 为了方便，通常将整个序列 {, yt2 , yt1, yt , yt1, yt2 ,} 表示成 {yt}。
II. 差分方程的形式
考虑 n 阶常系数线性差分方程，其一般形式可以表 示为
n
yt a0 ai yti xt i1
（1.10）
其中，xt 项称为推动过程，其形式非常广泛，可以是时 间、其它变量的当期值或滞后值，和（或）随机干扰项 的任一函数。{xt} 的一个重要特例是
究时间序列的一个重要方法。
III. 差分方程的解
差分方程的解是将未知项 yt 表示为序列{xt}中的元素和t （也可以和序列 { yt }的一些给定值，即初始条件）的一 个已知函数，使得代入到差分方程之中，满足方程式。
例1： yt 2 或 yt yt1 2
易知，yt 2t c 是该差分方程的解。这里，c为任意 常数。因此，其解有很多或不唯一。
差分方程知识点总结
差分方程知识点总结一、差分方程的概念差分方程是指用差分运算符号（Δ）表示的方程。
差分运算符Δ表示的是某一变量在两个连续时间点的变化量。
差分方程通常用于描述离散时间下的变化规律，比如时间序列、离散动力系统等。
二、常见的差分方程1. 一阶线性差分方程一阶线性差分方程的一般形式为：y(t+1) - y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
一阶线性差分方程常常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律。
2. 二阶线性差分方程二阶线性差分方程的一般形式为：y(t+2) - 2*y(t+1) + y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。
二阶线性差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的二阶线性变化规律。
3. 线性非齐次差分方程线性非齐次差分方程的一般形式为：y(t+1) - a*y(t) = b，其中a和b为常数。
线性非齐次差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律，并且受到外部条件的影响。
4. 滞后差分方程滞后差分方程的一般形式为：y(t+1) = f(y(t))，其中f为某一函数。
滞后差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的非线性变化规律。
5. 差分方程组差分方程组是指由多个差分方程组成的方程组。
差分方程组通常用于描述多个变量之间的变化规律，比如混合动力系统、多变量时间序列等。
三、差分方程的解法1. 特征根法特征根法是解一阶或二阶线性差分方程的一种常用方法。
通过求解特征方程，可以求得差分方程的通解。
2. 递推法递推法是解一阶或二阶非齐次差分方程的一种常用方法。
通过递推关系，可以求得差分方程的特解。
3. Z变换法Z变换法是解一阶或二阶差分方程的一种常用方法。
通过对差分方程进行Z变换，可以将其转换为等价的代数方程，然后求解其解。
4. 数值解法对于复杂的差分方程，通常采用数值解法求解。
数值解法包括Euler法、Runge-Kutta法、递推法等，通过迭代计算逼近差分方程的解。
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(2) yx2 yx4 yx2
解 (1) x 3 x 3，
(1)是三阶差分方程；
(2) x 2 ( x 4) 6，
(2)是六阶差分方程.
2.差分方程的解
如果函数y φ( x)代入差分方程后，方程两 边恒等，则称此函数为该差分方程的解.
差分方程的通解
含有相互独立的任意常数的个数与差分方程的 阶数相同的差分方程的解.
yxn a1yxn1 an1yx1 an yx f x 2
的一个特解, Yx 是与(2)对应的齐次方程(1)的通
解, 那么 yx Yx yx* 是 n 阶常系数非齐次线性差分
方程(2)的通解.
由此可见，要求出n阶常系数非齐次线性差分方 程（2）的通解，只需求出（1）的通解和（2） 的一个特解即可.
解 设y x 2，则
yx ( x2 ) ( x 1)2 x2 2x 1 2 yx 2( x2 ) (2x 1)
2( x 1) 1 (2x 1) 2
3 yx 3 ( x2 ) 2 2 0
例 2 求下列函数的差分
(1)y loga x;
(2)y sinax
解 (1)yx yx1 yx
一阶常系数线性差分方程的解法
一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式
yx1 ayx 0(a 0为常数)
1
一阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式
y x1 ayx f ( x)
2
(a 0为常数，f x 0)
注：1为2所对应的一阶常系数齐次线性差分方程.
一 、一阶常系数齐次线性差分方程的求解
例题 教材 208页 例3，例4
例1 求2 yx1 yx 0的通解.
1
解 a
2
差 分 方 程 的 通 解 为Yx
C
1 x . 2
特征方程法
例2 求3 yx yx1 0满足y0 2的特解.
解 原方程可改写为3 yx1 yx 0
特征方程为3 1 0
特征根
1 3
差 分 方 程 的 通 解 为Yx
C
1 3
x；
Bx
C，
代入方程, 得 A 3，B 6，C 9
于是
y
x
3 x 2
6x
9
原方程通解为 yx C 2x 3 x2 6 x 9.
2. f ( x) x pn x型
方程2为 yx1 ayx x pn x
0，1 （1） a
y
x
xQn (x)
（2） a
y
x
x xQn (x)
可参照导数的四则运算法则学习
差分方程的基本概念
1.差分方程与差分方程的阶 定义
含有未知函数的差分Δ yx ,Δ2 yx ,的函数方程 称 为 差 分 方 程.
形式：F ( x, yx , yx , 2 yx ,, n yx ) 0
定义：
含 有 未 知 函 数 两 个 或 两个 以 上 时 期 的 符 号 yx , yx1 ,的方程，称为差分方程.
另一项是对应的齐次差分方程的通解Yx .
即差分方程（2）的通解为y x
Yx
y
x
.
f ( x) pn x型
(1) 1不是特征方程的根，即1 a 0
令yx Qn ( x) b0 xn b1 xn1 bn
(2) 1是特征方程的根，即1 a 0
令y
x
xQn ( x)
x
b0 xn
初始条件
为了反映某一事物在变化过程中的客观规律 性，往往根据事物在初始时刻所处状态，对 差分方程所附加的条件.
差分方程的特解
通解中任意常数被初始条件确定后的解.
1.n阶常系数非齐次线性差分方程解的结构
yxn a1 yxn1 an1 yx1 an yx 0 （1）
定理 设 yx* 是 n 阶常系数非齐次线性差分方程
3 yx yx 1 0，虽然含有三阶差分， 但 实 际 上 是 二 阶 差 分 方程 ，
由于该方程可以化为 yx3 3 yx2 3 yx1 1 0因此它是二阶差分方程， 事实上，作变量代换t x 1，即可写成 yt2 3 yt1 3 yt 1 0.
例 确定下列方程的阶
(1) yx3 x 2 yx1 3 yx 2
1.迭 代 法
yx1 ayx 0(a 0为常数)
1
设y0为已知，由方程（1）依次可得，
y1 ay0
y2 ay1 a 2 y0
y3 ay2 a3 y0
yx ayx1 a x y0
容易验证，yx a x y0满足差分方程，令 y0 C为任意常数，于是差分方程（1）的 通解为Yx Ca x .
差分方程初步
1.差分的定义
设函数y f (x).当x取非负整数时， 函数值可以排成一个数列 :
f (0)，f (1)，，f (x)，f (x 1)， 将之简记为
y0，y1，y2，，yx，yx1, 称函数的改变量yx1 yx为函数y的差分， 也称为一阶差分，记为yx yx1 yx.
函 数y f ( x)的 二 阶 差 分 为 函 数y的 一 阶 差 分 的 差 分,即
Δ2 y x Δ(Δ y x ) Δ( y x1 y x ) ( yx2 yx1 ) ( yx1 yx ) y x2 2 y x1 y x
3yx = (2yx)= yx+3 3yx+2 +3 yx+1 yx
高阶差分：二阶及二阶以上的差分.
例 1 求( x2 ), 2 ( x2 ), 3 ( x2 ).
代入y0 2，得C 2
所 求 差 分 方 程 的 特 解 为Yx
2
1 x . 3
二、 一阶常系数非齐次线性差分方程的求解
y x1 ayx f ( x)
2
(a 0为常数，f x 0)
一 阶 常 系 数 非 齐 次 线 性差 分 方 程 的 通 解 由 两 项 的和组成：
一 项 是 该 方 程 的 一 个 特解yx，
b1 x n1
bn
综上讨论 设 yx xkQn( x)，
0
k
1
1不 是 特征 方 程 的 根 1是 特 征方 程 的 根
例3 求差分方பைடு நூலகம்y x1 2 y x 3 x 2的通解.
解 特征方程 2 0，
特征根 2，
对应齐次方程通解
Yx C 2x
1不是特征方程的根，设
y
x
Ax2
loga ( x 1) loga x
1
loga (1
); x
(2)Δ y x sina( x 1) sinax 2cos a( x 1 ) sin a . 22
2.差分的四则运算法则
(1)(Cyx ) Cyx (C为常数) (2)( yx zx ) yx zx
3 yx zx yx1zx zxyx yxzx zx1yx
形式：F ( x, yx , yx1,, yxn ) 0 或G( x, yx , yx1,, yxn ) 0 (n 1)
方程中未知数下标的最大值与最小值的差 称为差分方程的阶.
注：由差分的定义及性质可知，差分方程的 不同定义形式之间可以相互转换。
如yx5 4 yx3 3 yx2 2 0是三阶差分方程；