差分方程模型
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数学建模中的差分方程模型
数学建模中的差分方程模型数学建模是一种将实际问题转化为数学模型并寻求与之相连的数学方法的学科，不仅仅在理论研究上有很大的应用，也在实际生活中有着广泛的应用。
在各种数学模型中，差分方程模型也是一种很重要的模型。
本文将结合实例，介绍差分方程模型的定义、建立、求解以及应用。
差分方程模型定义差分方程模型是一种通过离散化的方法，将连续时间问题转化为离散时间问题，来描述变量随时间的变化规律的数学模型。
这种数学模型以时间为自变量，以某个状态量为因变量，由一定的关系式组成。
例如：y(n+1)=ay(n)+b，式子中y(n)代表第n时刻系统状态，y(n+1)代表第n+1时刻系统状态，a和b为常数。
差分方程模型建立建立差分方程模型的关键是将实际问题中的连续变化离散化。
一般情况下，对于所建立的模型，首先要确定它的思路和范围，然后根据实际情况，确定差分方程的形式。
此外，还需要进行参数的估计和参数变化的分析，以及对模型精确性的验证。
以物理学中的简谐振动为例，建立一个差分方程模型描述其运动，即一个质点在回复力作用下以简谐运动形式振动。
设t为时间，y为质点的位移，v为质点的速度，a为质点的加速度，则有：$$y=n\Delta y \\v=\dfrac{y(n+1)-y(n-1)}{2\Delta t} \\a=\dfrac{y(n+1)-2y(n)+y(n-1)}{(\Delta t)^2}$$其中n为时间步长，$\Delta t$为时间间隔。
我们利用受力平衡的原理，即简谐振动中的$F=-ky$得到：$$\dfrac{y(n+1)-2y(n)+y(n-1)}{(\Delta t)^2} = -\dfrac{k}{m}y(n)$$将$\alpha=\dfrac{k}{m}$带入上式得到：$$y(n+1)-2(1+\alpha)y(n)+y(n-1) = 0$$此时，我们便成功地建立了描述简谐振动的差分方程模型。
差分方程模型求解对差分方程模型求解通常有两种方法：一种是使用递推公式进行求解，另一个方法是使用其它数学方法，如拉普拉斯变换或离散傅立叶变换等。
差分方程模型的基本概念
预测经济趋势
通过建立差分方程模型，可以对 未来的经济趋势进行预测，帮助 决策者制定相应的经济政策。
评估经济政策
差分方程模型可以用来评估不同 经济政策的实施效果，为政策制 定者提供参考依据。
在物理学中的应用
描述振动现象
差分方程模型可以用来描述物体的振动规律，如弹簧振荡、单摆 等。
预Байду номын сангаас波动传播
在声学和波动理论中，差分方程模型可以用来描述波动传播的规 律，如声波、电磁波等。
可以采用动态模型来反映数据的变化趋势，减少时间滞后的影 响。
可以利用大数据技术来处理大规模的数据集，提高模型的预测 精度和稳定性。
可以尝试优化参数估计方法，例如采用全局优化算法或贝叶斯 推断等方法，以提高参数估计的准确性和稳定性。
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确定差分关系
根据时间序列数据的特性，确定合适的差分关系，以描述数据的变化规律。差分关系通常表示为变量在不同时间 点的变化量或变化率。
建立差分方程模型
根据变量和参数建立模型
根据确定的变量和参数，建立差分方程模型，以描述变量的变化规律。
验证模型的适用性
建立差分方程模型后，需要验证模型的适用性，确保模型能够准确描述实际问题的变化规律。
Python
使用Python的数值计算库，如NumPy和 SciPy，求解差分方程。
Mathematica
使用Mathematica的符号计算和数值计算功 能求解差分方程。
04 差分方程模型的应用
在经济学中的应用
描述经济周期
差分方程模型可以用来描述经济 活动的周期性变化，如经济增长、 通货膨胀、就业率等的时间序列 数据。
第4次课：差分方程模型
模型的差分方程与分析 点 P ( x0 , y0 ) 满足 y0 f ( x0 ), x0 g ( y0 ) ，在 P 0 0 点附近取直线来近似曲线 y f ( x), x g ( y) ：
yk y0 ( xk x0 ), 0 xk 1 x0 ( yk y0 ), 0
... 0 ... 0 ... 0 ... ... ... 1
考虑收获的情况，设收获向量为 y ( y1 , y2 ,..., yn ) ,
T
根据假设（3），砍伐的总数和补种的幼苗数相等， n n 记 矩阵为 1 1 ... 1 y1 y2 ... yn 0 0 ... 0 0 R ,则 R y ... ... ... ... ... 0 0 0 ... 0
7.2 供需平衡问题
7.2.1 问题的背景与提出
在自由竞争的社会中，很多领域会出现供需平衡 问题。供大于需时，供给减少；需大于供时，供给增 加。这种现象在经济领域中尤其突出，从自由集市上 某种商品的供需变化中可以看到，在某一时期，商品 的上市量过于大于需求量时，就会引起价格的下跌。 生产者觉得无利可图就会减产或转产，从而导致上市 量大减。一段时间之后，随着产量的下降，带来的供 不应求又会导致价格上涨，生产者见有利可图就会增 产或转回该商品的生产，随之而来的，又会出现商品 过剩，价格下降。在没有干预的情况下，这种现象将 循环下去。
*
yn1 qn2 xn2 q x
*
……
* 3 3
（7）
* n 1 n 1
yn q x
* n 1 n 1
因为 y 是收获向量，则 yi 0, i 1,2,..., n 。又由 于幼苗的经济价值为0，故不砍伐幼苗，即 y1 0 。 xk 代替 xk * ，从式（7）有 仍用
第三章差分方程模型 ppt课件
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单利和复利 两种计算利息的基本方式
单利 ~１万元存5年定期, 年利率4.75%, 到期后本 息(本金加利息)：10000(1+0.04755)=12375元.
复利 ~１万元存1年定期, 年利率为3%, 到期不取则 自动转存, 5年后本息：10000 (1+0.03)5=11593元.
3. 差分方程模型
• 差分方程的基本类型及求解 3.1 贷款购房 3.2 管住嘴迈开腿 3.3 物价的波动 3.4 动物的繁殖与收获 3.5 中国人口增长预测——全国大学生
数学建模竞赛2007年A 题
差分方程的基本类型及求解
xk~未知变量x在时段k的数值(k=0,1,2, …)
1. 一阶线性常系数差分方程 xk 1 axk b, x0已知，k 0,1,2,
• 由x0, x1按照方程递推地计算x2, x3,…
•
求解公式
xk
c11k
c2k2
b 1 a1 a2
,
k 0,1,2,
1, 2～特征根 2 a1 a2 0 ~ 特征方程
c1, c2 ～常数, பைடு நூலகம்始值x0, x1代入求解公式确定.
1, 2<1
k→∞,
xk
x
1
b a1 a2
~稳定平衡点
3. 线性常系数差分方程组
x1(k), x2(k),, xn(k) ~n个未知变量在时段k的数值
x1(k 1) a11x1(k) a12x2 (k) a1n xn (k) b1 x2 (k 1) a21x1(k) a22x2 (k) a2n xn (k) b2 xn (k 1) an1x1(k) an2x2 (k) ann xn (k) bn
差分方程模型
因 f ( n ) = 2 中, 2 是 2 重根,故设特解为 a n
n
= A ⋅ n 2 ⋅ 2n
n n 2 n −1 代入得 A = 1 2 , 故通解为 a n = c1 2 + c 2 n ⋅ 2 + n ⋅ 2
n −1 n 方法 2(化齐) an − 4an −1 + 4a n− 2 = 2 , 2( a n −1 − 4a n− 2 + 4a n −3 ) = 2 ⋅ 2
105 是平衡点，不稳定.
若 a 0 = 100000 ⇒ c = 0 , 则 ∀ n , a n = 100000
5 若 a0 > 10 ,
5 若 a 0 < 10 ,
c > 0,
c < 0,
则 an → +∞ 则 an → −∞
2. 二阶方程的平衡点及稳定性 只 须 讨 论 齐 次 方 程 a n − aa n −1 + ban − 2 = 0 ; 对 非 齐 次 方 程
x1 = u + iv 和相异的 k − 2 个根 x3 , L, x k , 则差分方程的通解 x = u − iv 2
为： an = c1 ρ cos nθ + c2 ρ sin nθ + c3 x3 + L + ck xk .
n n n n
定义 2
( b1 , b2 ,L, bk 为常数， bk ≠ 0 , f ( n) ≠ 0 , n ≥ k ) 的差分方程为 k 阶常系数线性非齐次差分方程。称
形如 a n + b1a n −1 + b2 a n− 2 + L + bk an − k = f (n)
第七章 差分方程模型
1. 使 α 尽量小，如 α=0 尽量小， 需求曲线变为水平 以行政手段控制价格不变 2. 使 β 尽量小，如 β =0 尽量小， 供应曲线变为竖直 靠经济实力控制数量不变
0
x0
x
模型的推广 生产者管理水平提高
• 生产者根据当前时段和前一时 段的价格决定下一时段的产量。 段的价格决定下一时段的产量。
αβ < 1 放宽了
7.2 减肥计划 减肥计划——节食与运动 节食与运动 背 景
• 体重指数 体重指数BMI=w(kg)/l2(m2). 18.5<BMI<25 ~ 正常； 超重; 肥胖. 正常； BMI>25 ~ 超重 BMI>30 ~ 肥胖 • 多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持 多数减肥食品达不到减肥目标， • 通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体 通过控制饮食和适当的运动， 的前提下， 的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标
t t +1 t
∆2 yt = ∆(∆yt ) = ∆yt+1 −∆yt = yt+2 −2yt+1 + yt
为的二阶差分。类似地，可以定义 阶差分。 为的二阶差分。类似地，可以定义yt的n阶差分。 二阶差分 阶差分 差分方程， 由t、yt及yt的差分给出的方程称 为yt差分方程，其中含的最 、 高阶差分的阶数称为该差分方程的阶 高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。差分方程也可以写成 不显含差分的形式。例如， 不显含差分的形式。例如，二阶差分方程 ∆2 yt + ∆yt + yt = 0 也可改写成 yt+2 − yt+1 + yt = 0
基本模型
w(k) ~ 第k周(末)体重 周 末 体重 c(k) ~第k周吸收热量 第 周吸收热量
第三章差分方程模型
x(k)=[x1(k), x2(k), ,xn(k)]T b=[b1, b2, ,bn]T
a11 A a21
an1
a12 a1n
a22
a2 n
an 2
ann
x(k 1) Ax(k) b, k 0,1,2,
3. 线性常系数差分方程组
例1 “房贷计算器”选择等额本息还款, 输入: 商业贷款总额100万元, 期
限20年, 年利率6.55%.
点击“开始计算”得: 还款总额
1796447.27元, 月均还款7485.2元.
建立等额本息还款方式的数学模型, 并作数值计算．
等额本息还款模型
x0 ~贷款总额
r ~月利率
n ~贷款期限(月)
xk ~第k月还款后尚欠金额
a~每月还款金额
本月欠额=上月欠额的本息还款金额
xk= xk-1(1+r)a, k＝1,2,…, n
k=n递推至k=１
xn= x0(1+r)na[1+(1+r)+…+(1+r)n-1]
x0 (1
r)n
a
(1
r)n r
1
贷款到期时xn=0
a
x0 r
(1 r)n (1 r)n 1
零存整取 计算器
累计存入金额180,000元 到期本息总额196复利
按单利计算的业务——零存整取
a~每月存入金额, r ~月利率, n ~ 存期(月)
xk ~存入k个月后的本息
x1=a+ar
xk= xk-1+a+akr, k＝2,3,…, n
数模(差分方程模型)
Fibonacci 数列
数学建模
问题
13世纪意大利著名数学家Fibonacci在他的著作《算盘书》 中记载着这样一个有趣的问题：
一对刚出生的幼兔经过一ຫໍສະໝຸດ 月可长成成兔，成兔再经过一个月后可以繁殖出一对幼兔. 若不计兔子的死亡数，问一年之 后共有多少对兔子？
月份 0 1 2 3 4 5 6 7 …
幼兔 1 0 1 1 2 3 5 8 … 成兔 0 1 1 2 3 5 8 13 … 总数 1 1 2 3 5 8 13 21 …
数学建模 将兔群总数记为 fn, n=0,1,2,…，经过观察可以发现，数列{fn} 满足下列递推关系：
f0 = f1 =1, fn+2 = fn+1 + fn , n=0,1,2,…
这个数列称为Fibonacci数列. Fibonacci数列是一个十分有趣 的数列，在自然科学和数学领域中都有着广泛的应用.
Fibonacci数列的一些实例. 1. 蜜蜂的家谱 2. 钢琴音阶的排列 3. 树的分枝 4. 杨辉三角形
数学建模
日常的经济问题中的差分方程模型
1. 银行存款与利率
假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利 率为7%. 用an表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数列 就是你每年的存款额：
（7.1）
a0 xnt a1xnt1 ... an xt 0
（7.2）
容易证明，若序列
x (1) t
与
x(2) t
均为方程（7.2）的解，则
xt c1xt(1) c2 xt(2)
也是方程（7.2）的解，其 中c1、c2为任意常数，这说明， 齐次方程的解构成一个 线性空间（解空间）。
此规律对于（7.1）也成立。
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Z [ax1 (k ) bx2 (k )] aX1 ( z) bX2 ( z)
(2)平移性质：设Z [ x(k )] X ( z ) ，则
Z [ x(k 1)] z[ X ( z ) x(0)]
Z [ x(k N )] z N [ X ( z ) x(k ) z k ]
N 1 k 0
Z [ x(k 1)] z [ X ( z) x(1) z]
Z [ x(k N )] z N [ X ( z )
k N k x ( k ) z ] 1
1
例2. 求解齐次差分方程
x(k 2) 3x(k 1) 2 x(k ) 0, x(0) 0, x(1) 1
xk 1 x0 2 ( y k y k 1 2 y0 )
于是得
yk y0 ( xk x0 )
yk 1 y0 ( xk 1 x0 )
将上述两式整理得到二阶线性差分方程
2 xk 1 xk xk 1 2(1 ) x0 , (k 2,3,)
a0 yt n a1 yt n 1 an yt b(t )
为 n 阶常系数线性差分方程，其中 a0 , a1 ,, an 是常 数，a0 0 。其对应的齐次方程为
a0 yt n a1 yt n 1 an yt 0
求非齐次常系数线性差分方程的通解的步鄹： 1.先求解对应的特征方程
lim x x0，所以 P 若P 0 是稳定点，则应有 k k 0 点稳定的条件是
1
同理 P 0 点不稳定的条件是
1
4、模型修正
在上述模型的基础上，对供应函数进行改进。下面在决 定商品的生产数量 xk 1时，不仅考虑前一时期的价格 yk ，而 y k y k 1 x g ( ) ，在 P 且考虑了价格 yk 1 ，取 k 1 0 附近取线性近 2 似，则有
1、问题的提出
在自由竞争的社会中，很多领域会出现循环波 动的现象。在经济领域中，可以从自由集市上某种 商品的价格的变化看到如下现象：在某一时期，商 品的上市量大于需求，引起价格下跌，生产者觉得 该商品无利可图，转而经营其他商品，一段时间之 后，随着产量的下降，供不应求又会导致价格上 升，又会有很多生产商进行该商品的生产，随之而 来的是商品过剩，价格下降。在没有外界干预的情 况下，这种现象会反复出现。 如何从数学的角度来描述上述现象呢？
为 yt 的二阶差分。 yt 及 yt 的差分给出的方程称为 yt 的差分方程。 由t 、 yt 其中含 的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶数。 t 差分方程也可以写成不显含差分的形式，例如二阶差分 2 yt yt yt可以写成 0 方程
yt 2 yt 1 yt 0
满足一阶差分方程的序列 yt 称为差分方程的解，若 解中含有独立的常数的个数等于差分方程的阶数时，称 此解为该差分方程的通解。 称如下形式的差分方程
若特征方程有 k 重复根 i，则齐次方程的通解为
(c1 ck t k 1 ) t cost (c1 ck t k 1 ) t sint
3.求非齐次方程的一个特解 yt ，若 yt 为齐次方程的通解， yt。 yt 则非齐次方程的通解为 对特殊形式的特解 b(t ) 可以使用待定系数法求非齐次方 t pk (t )为 t 的 k 次多项式时可以证 程的特解。例如 b(t ) b pk (t ) ， t 明：若 b 不是特征根，则非齐次方程有形如 b qk (t ) 的特解， qk (t ) 也是 t 的 k 次多项式；若 b 是 r 重特征根，则非齐次方 t r 1 程有形如 b t qk (t ) 的特解。进而可以用待定系数法求出 qk (t ) ，从而得到非齐次方程的一个特解。
其特征方程为
22 0
经计算得其特征根
( ) 2 8 1,2 4 结论：若方程的特征根均在单位圆内，则 P 0 为稳定点。 当 8 时，该特征方程有两个实根，因
( ) 2 8 2 4 4 则有 | 2 | 2，故此时 P 0 不是稳定点。当 8 时，特征方 程有两个共轭复根，共轭复根的模的绝对值为
图1和图2中的折线 P1 P2 , P2 P3 ,形如蛛网，故把这种 模型称为蛛网模型。在进行市场经济分析中，f 取 决于消费者对某种商品的需求程度及其消费水平， g 取决于生产者的生产、管理等能力。 当已知需求函数和供应函数之后，可以根据 f 和 g 的性质判断平衡点 P0 的稳定性。当 | x1 x0 | P0 的稳定性取决于 f 和 g 在点 P0 的斜率， 较小时， 即对差分方程取 Z 变换得
z 2 X ( z) z 3zX ( z) 2 X ( z) 0
z z z X ( z) 2 z 3z 2 z 1 z 2
对上式取 Z 反变换，便得差分方程的解为
x(k ) (1) k (2) k
图上的箭头表示求出 Pk 的次序，由图知
k
lim Pk ( x, y ) P0 ( x0 , y 0 )
即市场经济趋于稳定。
g 并不是所有的需求函数和供 应函数都趋于稳定，若给定 的 f 和 g 的图形如右图所 示，得到的 P 1, P 2 , 就不趋于 P0 ，此时市场经济 趋于不稳定。
2、模型假设
(1)设 k 时段商品数量为 xk ，其价格为 yk ，这里把时间 离散化为时段，一个时期相当于商品的一个生产周期。 (2)同一时段的商品价格取决于该时段商品的数量，称
yk f ( xk )
为需求函数。出于对自由经济的理解，商品的数量越多，其 价格就越低。故可以假设需求函数为一个单调递减函数。 (3) 下一时段的商品数量由上一时段的商品价格决定，
采用上述解析解法求解常系数线性非齐次差分方程比较 繁琐，下面介绍 Z 变换，将差分方程转化为代数方程去求解 设有离散序列x(k ), k 0,1,，则 x(k )的 Z 变换定义为
X ( z ) Z ( x(k )) x(k ) z k
k 0
其中 z 是复变量，上式右端的级数的收敛域是某个圆的外部 X ( z ) 的 Z 反变换记作
例1. 求解两阶差分方程 yt 2 yt t
解 对应齐次方程的特征方程为 2 1 0，其特征根 y c cos t c sin t i 为 1,2 ，故齐次方程的通解为 t 1 2 2 2 ，原方程有形如 at b 的特解，带入原方程求得 a 1 / 2, b 1 / 2 ，所以原方程的通解为
xk 1 g ( yk )
称为供应函数，由于价格越高可导致产量越大，所以可以假 设供应函数是一个单调递增的函数。
3、模型求解
在同一坐标系中同时做出 供应函数和需求函数的图形 ，设两条曲线相交于 P0 ( x0 , y0 ) 则 P0为平衡点。因为此时 x0 g ( y0 ), y0 f ( x0 ) 若某个 k 有 xk x0 ，则可推出 yl y0 , xl x0 , l k , (k 1,) 即商品的数量保持在 x0 ，价格 保持在 y0 。不妨假设 x1 x0 下面考虑 xk , yk在图上的变化 如右图所示。
差分方程模型
第一讲 差分方程 第二讲 蛛网模型
第三讲 商品销售量预测 第四讲 养老保险
t
1、差分方程简介
规定 t 只取非负整数，记 yt 为变量在 t 点的取值， 则称 yt yt 1 yt 为 yt 的一阶向前差分，称
2 yt (yt ) yt 1 yt yt 2 2 yt 1 yt
1 1 c1 cos t c2 sin t t 2 2 2 2
在应用差分方程研究问题时，需要讨论解的稳定性。 对常系数非齐次线性差分方程，若不论其对应齐次 t ， 方程的通解中的任意常数如何取值，当 时， 则称方程的解是稳定的。 yt 0
2、常系数线性差分方程的 Z 变换解法
yk y0 ( xk x0 )
xk 1 x0 ( yk y0 )
从上两式中消去 yk 得 x k 1 x k (1 ) x0
( ) x k ( ) 2 x k 1 ( )(1 ) x0 ( ) 2 x k 1 ( ) 3 x k 2 ( ) 2 (1 ) x0 …………………………………………..
x(k ) Z 1[ X ( z)]
几个常用离散函数的
Z 变换
(1) 单位冲激函数 ( k ) 的 Z 变换
Z [ (k )] (k ) z k [1 z k ]k 0 1
k 0
(2) 单位阶跃函数U (k )的 Z 变换
Z [U (k )] U (k ) z
( ) 8 ( ) | 1,2 | 4 4
k 0
k
1 z
k 0
k
z (| z | 1) z 1
(3) 单边指数函数 f (k ) a k 的 Z 变换( a 为不等于1的正常数)
Z [a ] a z
k k k 0
k
z (| z | a ) za
Z 变换的性质
(1)线性性质 设 Z [ x1 (k )[ X 1 ( z ), Z [ x2 (k )] X 2 ( z) ，则
a0n a1n 1 an 0
2.根据特征根的不同情况，求解齐次方程的通解 若特征方程有 n 个不同的实根 1 ,, n，则齐次方程 t t 的通解为 c11 cn n ； 若 是特征方程的 k 重实根，则齐次方程的通解 k 1 t 为 (c1 ck t ) ； 若特 征方程有单重复根 i ，则齐次方程的通 t t c cos t c sint ，其中 2 2 为 的模， 解为 1 1 arctan 的幅角； 为