差分方程与概率计算

递推关系式， 从而建立差分方程。
解： 设 Ａｋ＝｛ 在 ｋ 次试验后， Ａ 出现偶次｝ ， Ａｋ ＝｛ 在 ｋ 次试验后， Ａ 出现奇次｝， Ｈ１＝｛ Ａ 在第 ｋ 次试验
时出现｝， Ｈ１＝｛ Ａ 在第 ｋ 次试验时不出现｝， 令 Ｐ（Ａｋ）＝Ｐｋ，Ｐ（Ｈ１）＝Ｐ，且 Ａｋ＝Ａｋ－ １Ｈ１∪Ａｋ－ １ Ｈ１，显然， Ａｋ－ １Ｈ１ 与
摘 要： 全文介绍了差分方程的概念， 并给出了一阶差分方程 ｘｎ＋１＝ａｘｎ＋ｂ 的通解与给定初始条件 ｘ１＝ ｃ 的 特解， 同时又给出了二阶差分方程 ｘｎ＋２＝ａｘｎ＋１＋ｂｘｎ 的通解与给定初 始条件 ｘ１＝ｍ１，ｘ２＝ｍ２ 的特解， 并详细讨论了这两 种差分方程在概率论中的应用。
关键词： 概率； 差分； 差分方程； 试验； 全概公式 中图分类号： Ｏ２１１ 文献标识码： Ａ 文章编号： １００７－ ４２６０（２００６）０４－ ００９１－ ０３
以上三种情况为互不相容事件， 所以（ｎ＋１）秒后粒子在点 Ｏ 的概率为： Ｐ（Ｏｎ＋１）＝Ｐ（Ａｎ）Ｐ（Ｏｎ＋１／Ａｎ）＋ Ｐ（Ｂｎ）Ｐ（Ｏｎ＋１／Ｂｎ）＋Ｐ（Ｃｎ）Ｐ（Ｏｎ＋１／Ｃｎ）， 因 Ｐ（Ｏｎ＋１／Ａｎ）＝ Ｐ（Ｏｎ＋１／Ｂｎ）＝ Ｐ（Ｃｎ）Ｐ（Ｏｎ＋１／Ｃｎ）＝１／３， 所以 Ｐ（Ｏｎ＋１）＝［ Ｐ（Ａｎ）＋ Ｐ（Ｂｎ）＋ Ｐ（Ｃｎ）］／３，但 Ｐ（Ａｎ）＋ Ｐ（Ｂｎ）＋ Ｐ（Ｃｎ）＝１， Ｐ（Ｏ０）＝１，所以 Ｐ（Ｏｎ＋１）＝［１－ Ｐ（Ｏｎ）］／３＝１／３－ Ｐ（Ｏｎ）／３（＊），由引理 １ 可知： Ｐ（Ｏｎ）＝１／４＋ ３（－ １／３）ｎ／４．
收稿日期： ２００６－ ０１－ ２８ 作者简介： 唐燕玉（ １９５１－ ） ， 女， 安徽枞阳人， 安庆师范学院学报（ 自然科学版） 主编。
·９２·
安庆师范学院学报（ 自然科学版）
２００６年
! 解得
ｃ１＝（ｍ１λ２－ ｍ２）／λ１（λ２－ λ１） ，
ｃ２＝（ｍ２－ ｍ１λ１）／λ２（λ２－ λ１）
Ｐｎ ，
解之得： ｘｎ＋１＝
１ ｒ
－
１ ｒ（１－ ｒ）ｎ
。
Ｐ１＝１
例 ２ 把一枚质量均匀的硬币连续投掷， 直至接连出现两个正面时为止， 这种事件发生在第 ｎ 次投
掷的概率。
解 Ａｎ＝｛出现两个正面的事件出现在第 ｎ 次｝ ， Ｂ１＝｛ 第一次出现反 面｝，Ｂ２＝｛ 第 一 次 投 出 正 面 ， 第 二
上述定义也可以称为向前差分， 还可以用不同的形式定义向后差分与中心差分， 三者实质是相同
的， 可以互相转换。差分具有线性运算及类似微分的运算性质。
２ ． 差 分 方 程 的 概 念［１］
定义 ２ 差分方程的一般形式为： Ｆ（ ｙ（ ｔ） ； △ｙ（ ｔ） ， …， △ｎｙ（ ｔ） ） ＝０，方程中的最大足标 ｉ＋ｎ 与最小足标
)& ’ & ( * 解特征方程
"２－
"／２－
１／４＝０
得："１＝
１＋ % ４
５
，"２＝
１＋ % ４
５
，Ｐｎ＝ １ ２% ５
ｎ－ １
ｎ－ １
１＋% ５ ４
－ １－ % ５ ４
由以上例题可以看出， 在解题过程中主要应用题知条件构造递推关系式， 即差分方程的形式， 并且
题知所求概率都是关于某事件在出现 ｎ 次时的概率， 方程都是一等式， 在求概率公式中， 全概率公式就
（３）
……
……
（１－ ２Ｐ）ｎ－ ２Ｐ２＝Ｐ（１－ ２Ｐ）ｎ－ ２＋（１－ ２Ｐ）ｎ－ １Ｐ１
（ｎ－ １）
（１－ ２Ｐ）ｎ－ １Ｐ１＝Ｐ（１－ ２Ｐ）ｎ－ １＋（１－ ２Ｐ）ｎＰ０
（ｎ）
其中， Ｐ０＝１，且 上 述 表 示 对 原 方 程 组 进 行 如 下 步 骤 ： 在 （ ２）
式两边同乘以（ １－ ２Ｐ） ，在（ ３） 式两边同乘以（１－ ２Ｐ）２ ，……，在（ ２）
注： （ ＊） 式的另一种解法是如下： （ ＊） 式可变形为： Ｐ（Ｏｎ＋１）－ １／４＝－ ［ Ｐ（Ｏｎ）－ １／４］／３，因此， 数列是公比为－ １／３ 的等比数列， 首项是 Ｐ（Ｏ０）－ １／４＝３／４， 得出：Ｐ（Ｏｎ）－ １／４＝３（－ １／３）ｎ／４，即： Ｐ（Ｏｎ）＝１／４＋３（－ １／３）ｎ／４。
Ａｋ－ １Ｈ１ 事件互斥， 再利用试验的独立性 Ｐ （Ａｋ）＝Ｐ（Ａｋ－ １Ｈ１）＋Ｐ（Ａｋ－ １Ｈ１）＝Ｐ（Ａｋ－ １）Ｐ（Ｈ１）＋Ｐ（Ａｋ－ １）Ｐ（Ｈ１）＝Ｐｋ－ １（１－ Ｐ）＋
! （１－ Ｐｋ－１）Ｐ，即 Ｐｋ＝Ｐ＋ Ｐｋ－１（１－ ２Ｐ），
将此式变形为
Ｐｋ－
１ ２
＝（１－
２Ｐ）（Ｐｋ－ １ －
解 （ ｎ＋１） 秒后粒子在点 Ｏ 有三种情况： １） 时刻 ｎ 秒时在点 Ａ， 相隔 １ 秒后移到点 Ｏ， 则此概率为
Ｐ（Ａｎ）＊Ｐ（Ｏｎ＋１／ Ａｎ）； ２） 时刻秒 ｎ 时在点 Ｂ， 相隔 １ 秒后移到点 Ｏ， 则此概率为 Ｐ（Ｂｎ）Ｐ（Ｏｎ＋１／ Ｂｎ）； ３） 时刻 ｎ 秒 时在点 Ｃ， 相隔 １ 秒后移到点 Ｏ， 则此概率为 Ｐ（Ｃｎ）Ｐ（Ｏｎ＋１／ Ｃｎ）。
１ ２
）
（ ｋ＝１，
２，
…，
ｎ） ，
将所有
ｎ
个等式的
Ｐ０＝０
左右端连乘得：
注： 上述差分方程可以用引理 １ 解出， 下面再给出另一种解法。
Ｐｎ＝Ｐ＋（１－ ２Ｐ）Ｐｎ－ １
（１）
（１－ ２Ｐ） Ｐｎ－ １＝Ｐ（１－ ２Ｐ）＋（１－ ２Ｐ）２Ｐｎ－ ２
（２）
（１－ ２Ｐ）２Ｐｎ－ ２＝ Ｐ（１－ ２Ｐ）２＋（１－ ２Ｐ）３Ｐｎ－ ３
次投出反面｝，Ｂ１∩Ｂ２＝￠，但 Ａｎ$Ｂ１∪Ｂ２ ，由全概率公式可知： Ｐｎ＝Ｐ（Ａｎ）＝Ｐ（Ｂ１）Ｐ（Ａｎ／Ｂ１）＋Ｐ（Ｂ２）Ｐ（Ａｎ／Ｂ２），Ｐ（Ｂ１）＝１／２，
Ｐ（Ｂ２）＝１／４，由事件的独立性知： Ｐ（Ａｎ－ １／ Ｂ１）＝Ｐ（Ａｎ－ １）＝Ｐｎ－ １， Ｐ（Ａｎ／ Ｂ２）＝Ｐ（Ａｎ－ ２）＝Ｐｎ－ ２，Ｐｎ＝ Ｐｎ－ １／２＋Ｐｎ－ ２／４， Ｐ１＝０， Ｐ２＝１／４，
Ｐ（Ａｎ＋１／Ａｎ）＝０，Ｐ（Ａｎ＋１／Ａｎ）＝
１ ｒ－ １
，因 Ａｎ∪Ａｎ＝Ω，所以由全概率公式可知： Ｐｎ＋１＝Ｐ（Ａｎ）Ｐ（Ａｎ＋１／Ａｎ）＋Ｐ（Ａｎ）Ｐ（Ａｎ＋１／Ａｎ）＝
! Ｐｎ·０＋（１－
Ｐｎ）
１ ｒ－ １
＝１ ｒ－ １
＋１ ｒ－ １
Ｐｎ ， 从而建立了差分方程：
Ｐｎ＋１＝
１ ｒ－ １
＋１ ｒ－ １
证明 令 ｘｎ＝Ａλｎ 代入（ ２） 得： Ａλｎ（ λ２－ ａλ－ ｂ） ＝０，称方程 λ２－ ａλ－ ｂ＝０ 为差分方程（ ２） 的特征方程， 且（ ２）
" " ｎ＋１
ｎ＋２
的解与特征方程的解有关系式： ｘｎ＋１ ＝ｃ１λ１ ＋ｃ２λ２ ，因给定初值
ｘ１＝ｍ１ ，
代入上式得：
ｘ２＝ｍ２
ｍ１＝ｃ１λ１＋ｃ２λ２ ｍ２＝ｃ１λ１２＋ｃ２λ２２
ｃ＋（１－ １－ ａ
ａ
）
引理 ２［３］ 对于二阶常系数线性差分方程 ｘｎ＋２＝ａｘｎ＋１＋ｂｘ， ａ， ｂ 为常数 ， 若 ｘ１＝ｍ１，ｘ２＝ｍ２（ ｍ１， ｍ２ 为常数），
ｎ
ｎ
则
ｘｎ＋１＝
λ１（ ｍ１λ２－ ｍ２）
λ２－
λ １
＋
λ２（
ｍ２－ ｍ１λ２）
λ２－
λ １
，其中 λ１、λ２ 是方程 λ２－ ａλ－ ｂ＝０ 的两根。
ｉ 之差为 ｎ 时， 称之为 ｎ 阶的差分方程， 其一般形式为： ａ０（ ｔ） ｙ（ ｔ） ＋ａ１（ ｔ） ｙ（ ｔ） ＋…＋ａｎ（ ｔ） ｙ（ ｔ） ＝ｂ（ ｔ） ，当 ｂ（ ｔ） ＝０ 时， 称为其次的， 否则称为非其次的。
在求概率中应用到的一类差分方程， 是一类简单的特殊形式， 常用到的只有一阶常系数线性差分
可以构造等式， 所以其运用很多， 但此并非在任何情况下都可以这样。
例 ３ 在每一次试验中， 事件 Ａ 出现的概率为 Ｐ， 试问 ｎ 次独立试验中 Ａ 出现偶次的概率是多少？
分析： 易知这一试验为贝努利试验， 由于贝努利试验中 Ａ 出现偶数次的概率为（ｐ＋（１－ ｐ））ｎ，展开式中
奇数项之和， 而另外一些项之和为 Ａ 出现奇数次的概率， 因此可把出现偶次与出现奇数次统一考虑， 通
ｎ
ｘｎ＋１＝
λ１（
ｍ１λ２－ ｍ２） λ２－ λ１
＋
ｎ
λ２（ ｍ２－ ｍ１λ２） λ２－ λ１
４． 差分方程在求概率中的应用
例 １ ｒ 个人相互传球， 从甲开始， 每个人传球时， 传球者可能把球传给其他人 ｒ－ １ 个人中的任何一
个人， 求第 ｎ 次传球时， 任由甲传出的概率。
解 令 Ａｎ 为｛ 第 ｎ 次传球由甲传出｝ （ ｉ＝１，２，…，ｎ） ， 故欲求概率为 Ｐ（Ａｎ），设 Ｐ（Ａｎ）＝Ｐｎ，Ｐ１＝Ｐ（Ａ１）＝１，
式两边同乘以（１－ ２Ｐ）ｎ－ １，将上述 ｎ 个方程两边相加， 约去含Ｐ１ 至
Ｐｎ－ １ 的各项， 得到：
图１
ｎ
ｎ
Ｐｎ＝Ｐ＋（１－ ２Ｐ）＋
Ｐ（１－ ２Ｐ）２＋… #＋
Ｐ（１－ ２Ｐ）ｎ－ １＋Ｐ（１－ ２ｐ）ｎ＝ｐ １－ （１－ ２ｐ） １－ （１－ ２ｐ）
＋（１－ ２ｐ）ｎ＝ｐ １－ （１－ ２ｐ） ２ｐ
方程和二阶常系数线性差分方程， 其一般形式为： ｘｎ＋１＝ａｘｎ＋ｂ （１）； ３． 一阶、二阶常系数线性差分方程的解［２］

ｘｎ＋２＝ａｘｎ＋１＋ｂｘｎ （２）
引理 １ 对于一阶常系数线性差分方程 ｘｎ＋１＝ａｘｎ＋ｂｘｎ， ａ， ｂ 为常数， 若已知 ｘ１＝ｃ（ ｃ 为常数） ，
ｎ
ｎ
则
ｘｎ＋１＝