例题3--应用最小公倍数解决问题
最小公倍数的应用题
最小公倍数的应用题引言最小公倍数（LCM）是数学中常见的概念，主要用于求解两个或多个数的公倍数。
本文将介绍几个应用最小公倍数的实际问题。
应用一：分配问题假设某个工程需要3个人合作完成，其中一名工人需要8天完成工作，另一名工人需要12天完成工作，第三名工人需要15天完成工作。
问这3名工人一起工作需要多少天？解决方法：1. 分别求出3名工人的工作效率：第一名工人每天完成$\frac{1}{8}$的工作量，第二名工人每天完成$\frac{1}{12}$的工作量，第三名工人每天完成$\frac{1}{15}$的工作量；2. 将3名工人的工作效率求最小公倍数（LCM）；3. 用LCM除以每名工人的工作效率，得出需要的天数。
计算过程：- 第一名工人的工作效率：$\frac{1}{8}$- 第二名工人的工作效率：$\frac{1}{12}$- 第三名工人的工作效率：$\frac{1}{15}$LCM（8，12，15）= 120所以，3名工人一起工作需要$\frac{120}{\frac{1}{8} +\frac{1}{12} + \frac{1}{15}}$ = 13.33 天（约）。
应用二：航班起降时间某机场只有一个跑道，需要安排多个航班的起降时间，确保航班之间有足够的时间间隔。
给定两个航班的起降时间分别为50分钟和75分钟，请问最近两个航班起降的最小时间间隔是多少？解决方法：1. 计算两个航班的起降时间的最小公倍数。
计算过程：- 第一个航班的起降时间：50 分钟- 第二个航班的起降时间：75 分钟LCM（50，75）= 150所以，最近两个航班起降的最小时间间隔是150分钟。
结论最小公倍数是一种重要的概念，在应用问题中具有广泛的应用。
通过求解最小公倍数，我们能够解决分配问题、时间间隔问题等。
在实际问题中，我们可以借助最小公倍数来优化资源利用和安排时间。
最小公倍数典型应用(同余问题、同亏问题)
例1. 有一些糖果，平均分给2个小朋友多1块，平均分给3给小朋友也多1块，平均分给4个小朋友还是多1块，这些糖果至少有多少块？分析：这些糖果不论平均分给几个小朋友都是余1块，那么这些糖果至少应该是这几个数字的最小公倍数＋1块。
像这样的无论怎们分都剩余同样多的问题可称为同余问题。
同余问题公式：最小公倍数＋同余数解题过程：2×1×3×2＝12（块）12＋1＝13（块）答：至少有13块。
例2. 有一些糖果，平均分给2个小朋友多1块，平均分给3给小朋友也多1块，平均分给4个小朋友还是多1块，平均分给5个小朋友正好分完，这些糖果至少有多少块？2×1×3×2＝12（块）12＋1＝13（块）13÷5不能整除13＋12＝25（块）25÷5＝5（块）答：至少有25块。
例3. 每桌3人多2人，每桌5人多4人，每桌7人多6人，每桌9人多8人。
至少应有多少人？分析：每桌3人多2人，如果再来1人又能凑成1桌，所以多2人可理解为亏1人；每桌5人多4人，如果再来1人又能凑成1桌，所以也可理解为亏1人；同理多6人也可理解为亏1人，多8人就是亏1人。
那么至少有多少人就该是最小公倍数－1人。
像这样无论怎么分虽剩余都不同，但所‘亏’都相同的问题可称为同亏问题。
2 3 42 13 2 1 3 2 2 2 3 4同亏问题公式：最小公倍数－同亏数解题过程：3×1×5×7×3＝315（人）3－2＝5－4＝7－6＝9－8＝1（人）315－1＝314（人）答：至少应有314人。
例4. 每桌3人多2人，每桌5人多4人，每桌7人多6人，每桌9人多8人，每桌11人正好。
至少应有多少人？3×1×5×7×3＝315（人）3－2＝5－4＝7－6＝9－8＝1（人）315－1＝314（人）314÷11＝28（桌）……6（人）314＋315＝629（人）629÷11＝57（桌）……2（人）629＋315＝944（人）944÷11不能整除944＋315＝1259（人）1259÷11不能整除1259＋315＝1574（人）1574÷11不能整除1574＋315＝1889（人）1889÷11不能整除1889＋315＝2204（人）2204÷11不能整除2204＋315＝2519（人）2519÷11＝229（桌）答：至少应有2519人。
五年级数学下册典型例题系列之期中专项练习：最大公因数和最小公倍数的应用(解析版)苏教版
2021-2022学年五年级数学下册典型例题系列之期中专项练习：最大公因数和最小公倍数的应用（解析版）1．五年级1班同学做操，12人站一行或16人站一行都多1人，这个班级人数不足50人，这个班有多少人？【解析】12＝2×2×316＝2×2×2×2所以12和16的最小公倍数是：2×2×2×2×3＝4848＋1＝49（人），在50以内。
答：这个班有49人。
2．羊村有一条街道长300米，原来在街道的一旁每隔10米装有一盏路灯（两头都有）。
现在换了新型节能灯泡，亮度增强。
为了节约电能，要改12米装1盏。
安装过程中有多少盏路灯不需要移动？【解析】由分析可知：10和12的最小公倍数是60。
300÷60＋1＝5＋1＝6（盏）答：安装过程中有6盏路灯不需要移动。
3．5月1日，小丽、小军、小强同一天去图书馆借书，小丽每6天去一次，小军每9天去一次，小强每12天去一次，他们下次同一天去图书馆是几月几日？【解析】6的倍数：6、12、18、24、30、36……9的倍数：9、18、27、36……12的倍数：12、24、36……6、9和12的最小公倍数是36；5月1日向后推算36天是6月6日。
答：他们下次同一天去图书馆是6月6日。
4．某校准备把45套图书和37个益智玩具分别平均分给数学竞赛一等奖获得者，结果图书剩3套，益智玩具剩2个，那么最多有多少位同学获得一等奖？【解析】45－3＝4237－2＝3542和35的最大公因数是7答：最多有7位同学获得一等奖。
5．把30厘米和48厘米的两根彩带剪成每段一样长的短彩带且没有剩余，每段短彩带最长是多少厘米？一共可以剪成多少段？【解析】30＝2×3×548＝2×2×2×2×3所以30和48的最大公因数是2×3＝6，即每段彩带最长的长度应是6厘米。
最大公因数和最小公倍数应用的典型例题和专题练习
最大公因数和最小公倍数应用的典型例题和专题练习TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】最大公因数和最小公倍数应用的典型例题和专题练习[典型例题]例1、有三根铁丝，一根长18米，一根长24米，一根长30米。
现在要把它们截成同样长的小段。
每段最长可以有几米一共可以截成多少段分析与解：截成的小段一定是18、24、30的最大公因数。
先求这三个数的最大公因数，再求一共可以截成多少段。
解答：（18、24、30）＝6（18+24+30）÷6＝12段答：每段最长可以有6米，一共可以截成12段。
例2、一张长方形纸，长60厘米，宽36厘米，要把它截成同样大小的长方形，并使它们的面积尽可能大，截完后又正好没有剩余，正方形的边长可以是多少厘米能截多少个正方形分析与解：要使截成的正方形面积尽可能大，也就是说，正方形的边长要尽可能大，截完后又正好没有剩余，这样正方形边长一定是60和36的最大公因数。
解答：（36、60）＝12（60÷12）×（36÷12）＝15个答：正方形的边长可以是12厘米，能截15个正方形。
例3、用96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。
若每个花束里的红玫瑰花的朵数相同，白玫瑰花的朵数也相同，最多可以做多少个花束每个花束里至少要有几朵花分析与解：要把96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做成花束，每束花里的红白花朵数同样多，那么做成花束的个数一定是96和72的公因数，又要求花束的个数要最多，所以花束的个数应是96和72的最大公因数。
解答：（1）最多可以做多少个花束（96、72）＝24（2）每个花束里有几朵红玫瑰花96÷24＝4朵（3）每个花束里有几朵白玫瑰花72÷24＝3朵（4）每个花束里最少有几朵花4+3＝7朵例4、公共汽车站有三路汽车通往不同的地方。
第一路车每隔5分钟发车一次，第二路车每隔10分钟发车一次，第三路车每隔6分钟发车一次。
用最大公因数与最小公倍数解决问题
林東昱 許育瑋
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例2：美美客运有A、B两种车，A车每45分发车一次， B车每1小时发车一次，两车同时由上午6点发车，下
一次同时发车是什么时候？
[45，60]＝180
180÷60＝3（时） 6＋3＝9（时）
3×5×3×4＝180
答 :下一次同时发车上午9时。
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林東昱 許育瑋
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例3：王伯伯有两个小孩，老大3天回家一次，老二4 天回家一次，老三6天回家一次，这次10月1日一起回 家，则下一次是几月几日一起回家？
［13,4］=52 13×4= 52
想一想：两个数的乘积与最大公因数以及最小公倍 数之间有什么关系？
两个数的乘积等于这两个数的最大公因数和这两个 数最小公倍数的乘积。
思考：
• 两个数的最小公倍数是180，最大公因数是 30，已知其中一个数是90，那么另一个数 是多少？ 180×30÷90=60
答：那么另一个数是60。
变形题：工地上有两根长短不一的钢筋，一根长20 米，另一根长12米。要求将两根钢筋分别截成相 等的小段且没有剩余，最少可以截成几段？
20和12最大公因数是4
20÷4+12÷4=8（段)
答：最少可以截成8段。
林東昱 許育瑋
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变形题：
a、公路一边有一排广告牌，原来每两个广告牌之间的距离 是24米，现在改为36米。如果起点的一个广告不移动， 至少每隔多少米又有一个广告牌不需要移动？
264 32
4÷2 ＝2（宽可剪成2个）
3 ×2=6（个）
答 : 正方形边长为2分米，一共可以剪6个。
林東昱 許育瑋
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三、求最大公因数和最小公倍数的实际应用问题。
工地上有两根长短不一的钢筋，一根长20米，另 一根长12米。要求将两根钢筋分别截成相等的小 段且没有剩余，每段最长多少米？
最小公倍数应用题
最小公倍数应用题最小公倍数应用题例1.典型例题有一个电子钟，每走9分钟亮一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整，电子钟既响铃又亮灯。
问：下一次既响铃又亮灯是几点钟？举一反三：4、有三堆棋子，甲堆有90颗，丙堆有120颗，现在要将他们都分成同样颗数的小堆，而不能有剩余。
最少可以分成几堆？5、一对互相咬合的齿轮，一个有140个齿，另一个有42个齿，其中咬合的任意一对齿从第一次咬合到再次咬合，两个齿轮各要转动多少圈？6、老师让小明在400米的环形跑道上按照如下的规律插上一些旗子做标记：从起点开始，沿着跑道每前进90米就插上一面旗子，直到下一个90米的地方已经插有旗子为止，那么，小明要准备多少面旗子？例2：在周长是400米的环形跑道周围每10米放一盆花，放完后又从同一处开始每8米方一盆花，原来放花的地方不再放花，一共放了多少盆花？举一反三：1.在周长是300米的环形跑道周围每5米放一盆花，放完后又每6米放一盆花，原来放花的地方不再放花，那么，一共放了多少盆花？2.从运动场一端到另一端全长120米，每6米插一面红旗，现在要改成每8米插一面红旗，那么有多少面红旗不必拔出来？（温馨提示：要考虑头和尾哦）3.用长9厘米、宽6厘米、高4厘米的小长方体木块叠成一个长方体，至少要多少块这样的小长方体？例3：两个数的最大公因数是6，最小公倍数是108，其中一个数是12，求另外一个数举一反三：4.甲数是24，甲、乙两数的最小公倍数是168，最大公因数是4，求乙数。
5.已知A、B两个数的最大公因数是8，A=32，B=72，那么，他们的最小公倍数是多少？6两个整数的最大公因数是12，最小公倍数是240.这两个数的差最大是多少？例4：比较、、的大小。
举一反三：1．把分数、、从大到小排列。
2．把分数、、、从小到大排列2．比较分数、、中哪一个最大例5：五（1）班同学去野炊，每人用一个饭碗，每3人用一个菜碗，每4人用一个汤碗，最后统计下来他们一共用了76个碗。
最小公倍数应用
最小公倍数的应用例题1：用列举法求8和12的最小公倍数。
练习：（1）用列举法求6和8的最小公倍数（2）用列举法求12和16的最小公倍数.例题2：求96和72的最小公倍数练习：（1）求24和30的最小公倍数（2）求18和32的最小公倍数例题3 ：求96、30和132的最小公倍数练习：（1）求45、60和120的最小公倍数（2）求42、168和252的最小公倍数例题4：试求24871和3468的最小公倍数练习（1）求319和377的最小公倍数（2）求217和372的最小公倍数例题5：下面两组题中的两个数的最小公倍数分别是多少？（1）7和9 11和15 6和13（2）12和6 15和30 51和17练习（1）求9和13、21和22的最小公倍数（2）求13和26、35和105的最小公倍数例题6：两个自然数的最大公因数是14，最小公倍数是84，已知其中一个数是28，另一个数是多少？练习：（1）两个自然数的最大公因数是15，最小公倍数是225，已知其中一个数是45，另一个数是多少？（2）两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，已知其中一个数是28，另一个数是多少？例题7：两个数的最大公因数是15，最小公倍数是90，求这两个数。
练习：（1）两个数的最大公因数是9，最小公倍数是90，求这两个数。
（2）两个数的最大公因数是12，最小公倍数是60，求这两个数。
例题8：两个自然数的积是360，最小公倍数是120，求这两个数。
练习：（1）两个自然数的积是864，最小公倍数是72，求这两个数。
（2）两个自然数的积是3072，最小公倍数是16，求这两个数。
拓展应用1、用列举法求24和32的最小公倍数。
2、求36和48的最小公倍数3、求48、60和72的最小公倍数。
4、求437和323的最小公倍数。
5、求最小公倍数。
（1）7和8 （2）24和12 （3）13和19 （4）90和186、一个数与24的最大公因数是4，最小公倍数是168，求这个数7、两个数的最大公因数是6，最小公倍数是90，求这两个数。
最大公因数和最小公倍数应用的典型例题和专题练习③
最大公因数和最小公倍数应用的典型例题和专题练习（三）[典型例题]例1、有三根铁丝，一根长18米，一根长24米，一根长30米。
现在要把它们截成同样长的小段。
每段最长可以有几米？一共可以截成多少段？分析与解：截成的小段一定是18、24、30的最大公因数。
先求这三个数的最大公因数，再求一共可以截成多少段。
解答：（18、24、30）＝6（18+24+30）÷6＝12段答：每段最长可以有6米，一共可以截成12段。
例2、一张长方形纸，长60厘米，宽36厘米，要把它截成同样大小的长方形，并使它们的面积尽可能大，截完后又正好没有剩余，正方形的边长可以是多少厘米？能截多少个正方形？分析与解：要使截成的正方形面积尽可能大，也就是说，正方形的边长要尽可能大，截完后又正好没有剩余，这样正方形边长一定是60和36的最大公因数。
解答：（36、60）＝12（60÷12）×（36÷12）＝15个答：正方形的边长可以是12厘米，能截15个正方形。
例3、用96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。
若每个花束里的红玫瑰花的朵数相同，白玫瑰花的朵数也相同，最多可以做多少个花束？每个花束里至少要有几朵花？分析与解：要把96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做成花束，每束花里的红白花朵数同样多，那么做成花束的个数一定是96和72的公因数，又要求花束的个数要最多，所以花束的个数应是96和72的最大公因数。
解答：（1）最多可以做多少个花束（96、72）＝24（2）每个花束里有几朵红玫瑰花96÷24＝4朵（3）每个花束里有几朵白玫瑰花72÷24＝3朵（4）每个花束里最少有几朵花4+3＝7朵例4、公共汽车站有三路汽车通往不同的地方。
第一路车每隔5分钟发车一次，第二路车每隔10分钟发车一次，第三路车每隔6分钟发车一次。
三路汽车在同一时间发车以后，最少过多少分钟再同时发车？分析与解：这个时间一定是5的倍数、10的倍数、6的倍数，也就是说是5、10和6的公倍数，“最少多少时间”，那么，一定是5、10、6的最小公倍数。
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求最小公倍数
求18和30的最小公倍数。 列举法： 18的倍数：18,36,54,72,90,108 … 30的倍数：30,60,90,120 … 对比法： 18的倍数：18,36,54,72,90,108 …
12和8
12和8的最小公倍数：24
14和21
14和21的最小公倍数：42
例3
张老师要装修新房。他想用长3分米、宽2分米这种墙砖铺 一个正方形(用的墙砖都是整块),正方形的边长可以是多少分 米? 最小是多少分米?
（2）你还能提出其他数学问题吗？
知识回顾 Knowledge Review
祝您成功！
人教版五年级下册
旧知回顾
什么叫 公倍数？ 什么叫 最小公倍数？ 几个数公有的倍数， 叫做这几个数的公倍数， 其中最小的一个， 叫做这几个数的最小公倍数。
两种特殊情况
1、12和4 6和24 10和70
倍数关系：最小公倍数是较大数。
2、3和5 15
7和8 1和10
56
10
互质关系：最小公倍数是它们的乘积。
这种墙砖长 3 dm， 3dm
宽 2 dm。
2dm
解决问题
这种墙砖长 3dm,宽2dm。
如果用这种墙砖铺一个正方形 （用的墙砖必须都是整块）， 正方形的边长可以是多少分米？ 最小是多少分米？
请仔细看看小明家装修宽是2dm的墙砖铺一个正方形。 ②使用的墙砖必须都是整块的，不能切割开用半块的。 ③问题是铺好的正方形的边长可以是多少分米，最小是多少分米？
铺一铺
3dm 2dm
6dm
6dm
3dm 2dm
12dm
12dm
3
3
2
2
2
正方形的边长
6
=墙砖长的几倍
3×2
=墙砖宽的几倍
2×3
3
3
3
3
2
2
2
2 2 2
正方形的边长
6 12
=墙砖长的几倍
3×2 3×4
=墙砖宽的几倍
2×3 2×6
3 2 2 2 2 2 2 2 2 2
33
333
正方形的边长
求（ 最小公倍数
）的问题来求。
学以致用
1.有一堆糖，4颗4颗地数，6颗6颗地数，都能刚好数完。 这堆糖至少有多少颗？
答：这堆糖至少有12颗。
猜一猜： 学 以 致 用
我们班可以分成3人一组，刚好分完； 也可以分成5人一组，也刚好分完。 你来猜一猜我们班有几人？
（1）如果爸爸妈妈同时起跑，至少多少分钟后两人在 起点再次相遇？
6 12
18 …
=墙砖长的几倍
3×2 3×4 3×6
…
=墙砖宽的几倍
2×3 2×6
2×9 …
在拼成的所有正方形里边长 最小是几分米？
2和3的公倍数有 6、12、18、24……， 最小公倍数是（ 6 ）， 所以，正方形的边长可以是 分米 6、12、18、24…… 边长最小是（ 6 ）。
解决这类问题的关键， 是把铺砖问题转化成