最小公倍数法解决问题
五年级下册最小公倍数解决问题教案
五年级下册最小公倍数解决问题教案一、教学目标1. 让学生理解最小公倍数的概念，并能够求出两个数的最小公倍数。
2. 通过实际问题的解决，培养学生的数学应用能力。
3. 培养学生的思维能力和合作精神。
二、教学内容1. 最小公倍数的概念和性质。
2. 如何求两个数的最小公倍数。
三、教学难点与重点重点：最小公倍数的概念和求法。
难点：如何运用最小公倍数解决实际问题。
四、教具和多媒体资源1. 黑板和粉笔。
2. 投影仪和教学PPT。
3. 教学软件：数学工具。
五、教学方法1. 激活学生的前知：回顾因数和倍数的概念，为最小公倍数做铺垫。
2. 教学策略：采用讲解、示范、小组讨论和案例分析的方法进行教学。
3. 学生活动：小组合作，解决实际问题。
六、教学过程1. 导入：故事导入——讲述一个小朋友为了参加学校的舞蹈表演，需要学会一些基本的舞步，如转圈、踏步等，这些动作都需要他们步伐一致才能完成，引出“最小公倍数”的概念。
2. 讲授新课：通过PPT展示最小公倍数的概念和求法，让学生了解什么是最小公倍数，如何求两个数的最小公倍数。
3. 巩固练习：设计一些实际问题，如“一个班级的学生要分组进行活动，每组人数要相同，如何确定每组的人数？”让学生运用最小公倍数的知识解决。
4. 归纳小结：总结本节课学到的知识，强调最小公倍数在实际生活中的应用。
七、评价与反馈1. 设计评价策略：通过小组报告、口头测试和观察学生的实际操作来评价学生的学习效果。
2. 为学生提供反馈：根据学生的表现，给予他们建议和指导，帮助他们了解自己的学习状况，并指导他们如何改进。
八、作业布置1. 求下列每组数的最小公倍数：(1) 12和15(2) 24和36(3) 45和602. 实际问题解决：一个工厂生产零件，需要4个工人一组进行组装，现有3组工人同时工作，每组的人数分别为6人、8人和12人，如何分组才能让所有工人同时完成工作？。
最小公倍数的解决问题知识点
最小公倍数的解决问题知识点一、知识概述《最小公倍数的解决问题知识点》①基本定义：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
就好比一群小朋友分糖果，这个最小公倍数呢，就是能把糖果按照不同打包方式，刚好都能分完而且包数最少的那种情况所对应的糖果数量。
②重要程度：在数学学科里，最小公倍数可是一个很重要的概念哦。
不管是在分数运算中，还是安排周期性事件等方面都得用到它。
比如说约分、通分就常需要求最小公倍数来确定分母呢。
要是算不好，整个计算就可能全错了。
就像是盖房子打地基，地基没打好，楼肯定盖不好嘛。
③前置知识：在学习最小公倍数解决问题之前，你得先掌握除法运算、倍数的概念。
你得知道一个数能被另一个数整除，这个数就是另一个数的倍数，这就像是学跑步之前得先学会走路一样。
④应用价值：在实际生活中用处可太多啦。
比如说，公交车有几路车，它们各自的发车时间不同，那要算出经过多久它们又会同时发车，这个时候就用到最小公倍数啦。
就像是你要安排不同的人做事，这些人的工作周期不一样，你就要根据最小公倍数来安排日程，让大家协调起来。
二、知识体系①知识图谱：在数学这个学科大树上，最小公倍数是属于数与代数这个大枝干的分支，和倍数、因数、分数等知识关系紧密呢。
②关联知识：和最大公因数联系很密切，最大公因数和最小公倍数就像一对“小搭档”。
求最小公倍数的一些方法和倍数、因数的概念息息相关，还和分式运算中的通分有着千丝万缕的联系。
③重难点分析：掌握难度不算特别大，但是关键点在于准确找出这几个数的倍数，还有分辨在什么情况下该用最小公倍数来解决问题。
我记得我刚开始学的时候，经常搞混什么时候用最小公倍数什么时候用最大公因数，属实头疼了一段时间。
④考点分析：在考试里经常考查，不管是小学数学的应用题，还是中学数学里的分式化简等内容。
考查方式有直接让你求几个数的最小公倍数的，也有放在应用题里让你根据最小公倍数解决问题的。
巧解产品配套问题方法：最小公倍数法
一、设：按照题意设出未知数.一般地，所设的未知数为工人人数分配;二、列：列式表示两类产品生产总量;三、求：求出配套关系中出示的具体数据的最小公倍数;四、等：根据最小公倍数与产品配套关系，分配相乘，写出等式.下面我就针对具体的例题来讲解用最小公倍数法及四步教学巧解产品配套问题.例1 机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套?注：在解决上述问题前，我们必须要清楚“产品配套关系”这一特定问题中的特定概念：如上述问题中出示的“2个大齿轮与3个小齿轮配成一套”即为该问题中的产品配套关系.分析：第一步：设：安排x名工人加工大齿轮，则安排(85-x)名工人加工小齿轮才能使每天加工的大小齿轮刚好配套;第二步：列：x名工人每天共生产大齿轮16x个，(85-x)名工人每天共加工小齿轮10(85-x)个;第三步：求：该问题中的配套关系是“2个大齿轮与3个小齿轮配成一套”，它们的最小公倍数是：2×3=6;第四步：等：因为x名工人每天共生产大齿轮16x，(85-x)名工人每天共加工小齿轮10(85-x)个，则分配相乘为：解：设安排x名工人加工大齿轮，则安排(85-x)名工人加工小齿轮：3×16x=10(85-x)×2，解得x =25.则加工小齿轮工人为：85-25=60.答：安排25名工人加工大齿轮，安排60名工人加工小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套.不妨试一试：1.某车间有60名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片200片或镜架50个.应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套?2.某厂新招22名技术工人来生产螺钉和螺母，已知每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉配两个螺母，为了使每天生产的产品刚好配套，应该分配多少名技术工人生产螺钉，多少名技术工人生产螺母?参考答案：1.20个工人生产镜片，40个工人生产镜架.2.10个工人生产螺钉，12个工人生产螺母.。
最小公倍数的应用题
最小公倍数的应用题引言最小公倍数（LCM）是数学中常见的概念，主要用于求解两个或多个数的公倍数。
本文将介绍几个应用最小公倍数的实际问题。
应用一：分配问题假设某个工程需要3个人合作完成，其中一名工人需要8天完成工作，另一名工人需要12天完成工作，第三名工人需要15天完成工作。
问这3名工人一起工作需要多少天？解决方法：1. 分别求出3名工人的工作效率：第一名工人每天完成$\frac{1}{8}$的工作量，第二名工人每天完成$\frac{1}{12}$的工作量，第三名工人每天完成$\frac{1}{15}$的工作量；2. 将3名工人的工作效率求最小公倍数（LCM）；3. 用LCM除以每名工人的工作效率，得出需要的天数。
计算过程：- 第一名工人的工作效率：$\frac{1}{8}$- 第二名工人的工作效率：$\frac{1}{12}$- 第三名工人的工作效率：$\frac{1}{15}$LCM（8，12，15）= 120所以，3名工人一起工作需要$\frac{120}{\frac{1}{8} +\frac{1}{12} + \frac{1}{15}}$ = 13.33 天（约）。
应用二：航班起降时间某机场只有一个跑道，需要安排多个航班的起降时间，确保航班之间有足够的时间间隔。
给定两个航班的起降时间分别为50分钟和75分钟，请问最近两个航班起降的最小时间间隔是多少？解决方法：1. 计算两个航班的起降时间的最小公倍数。
计算过程：- 第一个航班的起降时间：50 分钟- 第二个航班的起降时间：75 分钟LCM（50，75）= 150所以，最近两个航班起降的最小时间间隔是150分钟。
结论最小公倍数是一种重要的概念，在应用问题中具有广泛的应用。
通过求解最小公倍数，我们能够解决分配问题、时间间隔问题等。
在实际问题中，我们可以借助最小公倍数来优化资源利用和安排时间。
最小公倍数的应用场景及解题技巧教案
最小公倍数是数学中常见的概念，它是指两个或多个数的公共倍数中，最小的那个数。
在生活和学习中，最小公倍数有着广泛的应用。
本文将介绍最小公倍数的应用场景和解题技巧教案。
一、最小公倍数的应用场景1.分数的通分在分数的四则运算中，常常需要对分母进行通分，而最小公倍数就是通分的关键。
例如，将$\frac{2}{3}$ 和 $\frac{5}{6}$ 通分，可以先求出它们的最小公倍数 $6$，然后分别乘以 $\frac{2}{3}$ 和 $\frac{5}{6}$ 的倍数，得到 $\frac{4}{6}$ 和$\frac{5}{6}$，然后就可以进行加减乘除运算了。
2.时间和距离的计算在时间和距离的计算中，最小公倍数也有着重要的作用。
例如，甲、乙两个车站之间相隔$300$ 公里，甲站有一辆车开往乙站，速度为 $60$ 千米/时，而乙站有一辆车从乙站出发，速度为 $50$ 千米/时，那么两辆车相遇的时间是多少？这个问题可以通过求出两车速度的最小公倍数 $300$，然后根据相遇点与两车站点之间的距离，使用时间等于距离除以速度的公式，求出相遇时间。
3.货币换算货币换算也与最小公倍数有着密切的关系。
例如，需要将 $1050$ 元平均分给 $3$ 个人，其中第一个人拿 $\frac{1}{4}$，第二个人拿 $\frac{1}{3}$，第三个人拿$\frac{2}{5}$，在此情况下，最小公倍数为 $60$，所以可以将 $1050$ 元乘以$\frac{60}{60}$，得到 $63000$ 分，在按照比例进行分配。
4.选取小数点位数在进行计算的时候，为了方便，需要将小数点后的位数控制在一定范围内。
这时，最小公倍数就成为了一个重要的参考值。
例如，对 $0.3$ 和 $0.25$ 相加，若要保留两位小数，则可以将这两个小数都乘以 $100$，然后进行运算，最后再除以 $100$。
这时的运算涉及到的最小公倍数即为 $100$。
求几个数的最小公倍数的方法 - 答案
求几个数的最小公倍数的方法答案典题探究例1．某中学学生排队，如果每10人一排，多1人，每9人一排，仍多1人，每7人一排，少4人，问这学生至少有451人．考点：求几个数的最小公倍数的方法．专题：压轴题．分析：先根据公倍数的求法得到比10和9的公倍数多1的数，再找到其中比7的倍数少4的数中最小的一个．解答：解：因为比10和9的公倍数多1的数有：91，181，271，361，451，…，比7的倍数少4的数有：3，10，17，24，31，…，451，…，所以学生至少有451人．故答案为：451．点评：考查了求几个数的最小公倍数的方法，本题关键是求出比10和9的公倍数多1的数，比7的倍数少4的数．例2．张集小学学前班买来一筐橙子，分给5个人最后余2个，分给7人最后余2个，分给9人也余2个，学前班最少买来多少个橙子？考点：求几个数的最小公倍数的方法．专题：约数倍数应用题．分析：根据分给5个人余2个，分给7人余2个，分给9人也余2个，可知这筐橙子的总个数减去2就是5、7和9的公倍数，要求至少也就是用5、7和9的最小公倍数加上2即可．解答：解：因为5、7和9三个数两两互质，所以它们的最小公倍数是它们的乘积，即5×7×9=315，所以这筐橙子至少有：315+2=317（个）；答：学前班最少买来317个橙子．点评：解答本题关键是理解：这筐橙子的总个数减去2就是5、7和9的公倍数，求至少有的个数，就用它们的最小公倍数加上2即可．例3．一次数学竞赛，结果学生中获得一等奖，获得二等奖，获得三等奖，其余获纪念奖．已知参加这次竞赛的学生不满50人，问获纪念奖的有多少人？考点：求几个数的最小公倍数的方法．分析：即求在50以内的7、3和2的公倍数，先求出这三个数的最小公倍数，因为这三个数两两互质，这三个数的最小公倍数即这三个数的乘积，然后根据题意，进行选择，判断出参加这次竞赛的学生的人数；然后把参加这次竞赛的学生的人数看作单位“1”，获纪念奖的人数占参加竞赛人数的（1﹣﹣﹣），继而根据一个数乘分数的意义，用乘法解答即可．解答：解：2、3和7的最小公倍数是2×3×7=42，因为在50以内的7、3和2的公倍数只有1个42，所以参加这次竞赛的学生有42个，纪念奖有：42×（1﹣﹣﹣），=42×，=1（人）；答：获纪念奖的有1人．点评：此题考查了求几个数的最小公倍数的方法，当三个数两两互质时，其最小公倍数就是这三个数的乘积．例4．写出每组数的最小公倍数．15和10 6和7 7和1．考点：求几个数的最小公倍数的方法．专题：数的整除．分析：求两个数的最小公倍数，如果两个数是互质数，它们的最小公倍数是这两个数的乘积；如果两个是倍数关系，较答的数是它们的最小公倍数；两个数是一般关系，可以利用分解质因数的方法，把这两个分解质因数，公有质因数和各自质因数的连乘积就是它们的最小公倍数；由此解答．解答：解：15和10，首先把6和10分解质因数：15=3×5；10=2×5；15和10的最小公倍数是：2×5×3=30；6和7，因为6和7是互质数，所以它们的最小公倍数是：6×7=42；7和1，因为7和1是倍数关系，所以它们的最小公倍数是7．点评：此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法．演练方阵A档（巩固专练）一．选择题（共10小题）1．（•中山市）18和60的最大公因数和最小公倍数分别是（）A．6，180 B．180，6 C．6，90 D．90，6考点：求几个数的最小公倍数的方法；求几个数的最大公因数的方法．专题：数的整除．分析：根据求两个数最大公约数也就是这两个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积求解．解答：解：18=2×3×3，60=2×2×3×5，所以18和60的最大公因数是2×3=6，最小公倍数是2×3×3×2×5=180；故选：A．点评：考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．2．（•东山县）a+1=b（a和b是不为0的自然数），a和b的最小公倍数是（）A．a B．b C．a b考点：求几个数的最小公倍数的方法．专题：压轴题．分析：a+1=b（a和b是不为0的自然数），说明a和b是互质数，互质的两个数的最小公倍数是它们的乘积．解答：解：a和b是互质的两个自然数，最小公倍数是ab，故选：C．点评：此题主要考查互质的两个自然数的最小公倍数的求法．3．（•东城区）非零自然数n与n+1的最小公倍数是（）A．n B．n+1 C．n2+n考点：求几个数的最小公倍数的方法．专题：数的整除．分析：由n与n+1是相邻的两个非零自然数，可知n和n+1是互质数，根据互质数的最小公倍数是它们的乘积，据此解答．解答：解：n与n+1是相邻的两个非零自然数，它们的最小公倍数是：n（n+1）=n2+n；故选：C．点评：解答本题关键是理解：相邻的两个非零自然数是互质数，它们的最小公倍数是它们的乘积．4．（•富源县）既有因数3，又是5的倍数的最小三位数是（）A．102 B．105 C．120考点：求几个数的最小公倍数的方法．专题：约数倍数应用题．分析：根据3的倍数的特征，各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数．5的倍数特征是：个位上是0或5的数是5的倍数．所以既有因数3又是5的倍数最小三位数是105．解答：解：既有因数3，又是5的倍数的最小三位数是105，故选：B．点评：此题主要根据3、5的倍数的特征和因数与倍数的意义解答．5．（•兴化市模拟）自然数a除以自然数b，商是5，这两个自然数的最小公倍数是（）A．a B．b C．5考点：求几个数的最小公倍数的方法．分析：求两数的最小公倍数，要看两个数之间的关系：两个数互质，则最小公倍数是这两个数的乘积；两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数；两个数有公约数的，最小公倍数是两个数公有质因数与独有质因数的连乘积；由此选择情况解决问题．解答：解：由a÷b=5可知，数a是数b的5倍，属于倍数关系，a＞b，所以a和b最小公倍数是a；故选A．点评：此题主要考查求两个数为倍数关系时两个数的最小公倍数：两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数．6．（•广州模拟）a÷b=1…1，则它们的最小公倍数是（）A．a B．b C．a b D．a+1考点：求几个数的最小公倍数的方法．专题：数的整除．分析：因为a÷b=1…1，说明a与b是互质数，所以它们的最小公倍数是ab．解答：解：a÷b=1…1，则它们的最小公倍数是ab；故选：C．点评：判定出a和b是互质数是解答此题的关键，注意互质数的两个数的最小公倍数是它们的乘积．7．（•舒城县）能同时被2、3、5除余数为1的最小数是（）A．29 B．31 C．61考点：求几个数的最小公倍数的方法．专题：约数倍数应用题．分析：可先求出能同时被2、3、5整除的最小的数也就是它们的最小公倍数为30，由此解决问题．解答：解：能被2、3、5整除的最小的数是30，30+1=31．故选：B．点评：此题是根据求最小公倍数的方法结合整除的意义解决问题．8．（•河池）下面三句话中，正确的一句是（）A．两个数是互质数，它们的积就是它们的最小公倍数B．任何两个等底等高的梯形都能拼成一个平行四边形C．如果a和b的比是5：3，那么a就是b的D．无选项考点：求几个数的最小公倍数的方法；比与分数、除法的关系；图形的拼组．专题：综合题．分析：逐个分析即可得解，A、两个数互质，它们的最小公倍数是它们的积；B、如下图所示，虽然两个梯形等底等高，但是如果没有在同一条腰上的两个底角对应互补，无法拼成一个平行四边形；C、=，两个同时乘b，则得a=b，a是b的倍；因此得解．解答：解：由以上分析，得A两个数是互质数，它们的积就是它们的最小公倍数是正确的；其它都是错误的；故选：A．点评：熟悉掌握概念的意义，全面分析，是解决此题的关键．9．（•綦江县）如果自然数a和b的最大公因数是1，那么a和b的最小公倍数是（）A．a b B．a C．b D．无法确定考点：求几个数的最小公倍数的方法．专题：计算题．分析：因为自然数a和b的最大公因数是1，所以a和b两个数是互质数，它们的最小公倍数是它们的乘积．解答：解：如果自然数a和b的最大公因数是1，那么a和b的最小公倍数是它们的乘积ab．故选：A．点评：此题考查了两个数是互质数时最小公倍数是它们的乘积．10．（•资中县模拟）某校五年级（共3个班）的学生排队，每排3人、5人或7人，最后一排都只有2人．这个学校五年级至少有（）名学生．A．90 B．107 C．105 D．210考点：求几个数的最小公倍数的方法．专题：压轴题．分析：由每排3人、5人或7人，最后一排都只有2人可知：这个学校五年级减去2人就是3、5、7的公倍数，求至少就是、5、7的最小公倍数加2，据此解答．解答：解；：3、5、7两两互质，它们最小公倍数等于它们的乘积；3、5、7的最小公倍数：3×5×7=105；105+2=107（名）；答：所以这个学校五年级至少有107名学生．故选：B．点评：解答本题关键是由每排3人、5人或7人，最后一排都只有2人可知：这个学校五年级减去2人就是3、5、7的公倍数．二．填空题（共10小题）11．已知b=6a（a，b均是不为0的自然数），则a和b的最小公倍数是ab．×（判断对错）考点：求几个数的最小公倍数的方法．专题：数的整除．分析：根据条件知道，b是a的6倍，说明b是a的倍数．根据：如果两个数是倍数关系，较大的就是它们的最小公倍数，进而得出结论．解答：解：因为b=6a，（a，b是不为0的自然数），所以b是a的6倍，b和a是倍数关系，如果两个数是倍数关系，较大的是它们的最小公倍数，所以：b是a和b的最小公倍数．故答案为：×．点评：本题考查最小公倍数问题，如果它们是倍数关系，较大的数就是它们的最小公倍数，所以，首先搞清楚a和b的关系．12．如果a÷b=c（a、b、c都是自然数），那么数a与数b的最小公倍数是a，最大公约数是b．考点：求几个数的最小公倍数的方法；求几个数的最大公因数的方法．分析：这道题属于求两个数为倍数关系时的最小公倍数与最大公约数：两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数，最大公约数为较小的数；由此解答问题即可．解答：解：由如果a÷b=c（a、b、c都是自然数），可知数a是数b的c倍，所以数a与数b的最小公倍数是a，最大公约数是b；故答案为a，b．点评：此题主要考查求两个数为倍数关系时的最小公倍数与最大公约数：两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数，最大公约数为较小的数．13．有两包数量相同的糖果，分别分给幼儿园两个班的小朋友，甲班的小朋友每人分的糖一样多，分完后剩下一块，乙班的小朋友每人分的糖也一样多，分完后也剩下一块，已知甲班有8人，乙班有6人，那么这两包糖每包最少有25块．考点：求几个数的最小公倍数的方法．专题：约数倍数应用题．分析：根据题意，这包糖应该是6和8的最小公倍数再加1，由此得到此题解．解答：解：6和8的最小公倍数是24，24+1=25答：这两包糖每包最少有25块．故答案为：25．点评：理解题意，掌握6和8的最小公倍数再多1即是解决此题关键．14．互质的两个数，它们的最小公倍数是702，这两个数是2和351或者26和27．考点：求几个数的最小公倍数的方法．专题：数的整除．分析：将702进行质因素分解，有相同的放一起，单个的随便放，然后剔除不符合题意的组合．解答：解：因为702=2×3×3×3×13，所以：702的因数有：2和351，6和117，9和78，18和39，26和27，因为互质的两个数是只有公因数1，6和117，9和78不是互质数，故答案为：2和351或者26和27．点评：本题考查互质数的有关知识，互质数时指只有公因数1的一组数．15．一个数被3除余数为1，被4除余数为1，被6除余数为1，这个数是13．考点：求几个数的最小公倍数的方法．专题：数的整除．分析：如果该数能被3，4，6正好整除，则该数是3，4，6的最小公倍数，而现在该数被3除余数为1，被4除余数为1，被6除余数为1，所以该数是3，4，6的最小公倍数加上1即可．解答：解：因为：3和6的最小公倍数是6，而6和4的最小公倍数是12，所以满足条件的是：12+1=13；故答案为：13．点评：本题考查求几个数的最小公倍数的方法：几个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数．16．在自然数中，既有约数2，又有约数3的最小数是6；既有约数2，又有约数5的最小数是10；既有约数3，又有约数5的最小的数是15．考点：求几个数的最小公倍数的方法．分析：求两数的最小公倍数，要看两个数之间的关系：两个数互质，则最小公倍数是这两个数的乘积；两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数；两个数有公约数的，最小公倍数是两个数公有质因数与独有质因数的连乘积；由此选择情况解决问题．解答：解：2×3=6，2×5=10，3×5=15．故答案为：6，10，15．点评：此题主要考查求两个数互质时两个数的最小公倍数：两个数互质，则最小公倍数是这两个数的乘积．17．若一个整数a被2，3，…，9这8个自然数除，所得的余数都为1，则a的最小值是2521．考点：求几个数的最小公倍数的方法．分析：先求出2，3，…，9这8个自然数的最小公倍数，再加上1，即可求解．解答：解：6=2×3，8=2×2×2，9=3×3，所以2，3，…，9的最小公倍数是2×2×2×3×3×5×7=2520；a的最小值是2520+1=2521．故答案为：2521．点评：考查了求几个数的最小公倍数的方法，本题2，3，…，9这8个自然数的最小公倍数只需要求出5、6、7、8、9这5个数的最小公倍数即可．18．当a和b只有公因数1时，a和b的最小公倍数是ab．考点：求几个数的最小公倍数的方法．专题：数的整除．分析：因为a和b的公因数只有1，所以a和b两个数是互质数，它们的最小公倍数是它们的乘积．解答：解：如果a和b的公因数只有1，a和b两个数是互质数，那么a和b的最小公倍数是它们的乘积ab．故答案为：ab．点评：此题考查了两个数是互质数时最小公倍数是它们的乘积．19．36是6和9的最小公倍数．×（判断对错）考点：求几个数的最小公倍数的方法．专题：数的整除．分析：先求出6和9的最小公倍数，把6和9进行分解质因数，进而根据求两个数的最小公倍数的方法：即这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积；进行解答即可．解答：解：6=2×3，9=3×3，6和9的最小公倍数是：2×3×3=18，所以本题说法错误；故答案为：×．点评：此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答．20．5和6的最小公倍数是30；4和8的最小公倍数是8；6和14的最小公倍数是42；16和17的最大公因数是1；6和18的最大公因数是6；12和20的最大公因数是4．考点：求几个数的最小公倍数的方法；求几个数的最大公因数的方法．专题：数的整除．分析：求两数的最小公倍数，要看两个数之间的关系：两个数互质，则最小公倍数是这两个数的乘积；两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数；两个数有公约数的，最小公倍数是两个数公有质因数与独有质因数的连乘积；两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；由此选择情况解决问题．解答：解：①5和6互质，所以最小公倍数是5×6=30②4和8是倍数关系，最小公倍数是8③6=2×314=2×7最小公倍数是：2×3×7=42④16和17互质，所以最大公因数是1⑤6和18成倍数关系，所以最大公因数是6⑥12=2×2×320=2×2×5最大公因数是：2×2=4故答案为：30，8，42，1，6，4．点评：考查了求几个数的最大公因数的方法与最小公倍数的方法：两个数的公有质因数连乘积是最大公约数；两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．三．解答题（共2小题）21．三个连续的自然数，它们的最小公倍数是660，问这三个数是多少？考点：求几个数的最小公倍数的方法．专题：数的整除．分析：每相邻的两个自然数数互质，三个相邻的自然数若是2奇数1偶数，最小公倍数就是这三个数的乘积；若是1奇数2偶数，最小公倍数是这三个数的乘积的一半．因此首先把660分解质因数，然后把它的质因数适当调整计算即可．由此解答．解答：解：把660分解质因数：660=2×2×3×5×11；因为2×5=10，2×2×3=12，所以这三个连续的自然数是：10、11、12；答：这三个数是10，11，12．点评：此题解答关键是明确相邻的两个自然数是互质数，三个相邻的自然数有2奇数1偶数或1奇数2偶数两种情况，根据分解质因数的方法解决此问题．22．一个两位数被3和5除都余1，这个数最大是多少？考点：求几个数的最小公倍数的方法．专题：数的整除．分析：能同时被3和5整除的数，个位上必须是0和5且各位上的数字之和是3的倍数，那么能同时被3和5整除最大的两位数是90，然后用90再加1即可．解答：解：被3和5整除的数，即这个数应该是3和5的公倍数因为3和5互质，所以应该是3×5=15的倍数，最大的两位数是9090+1=91答：一个两位数被3和5除都余1，这个数最大是91．点评：本题考查了能被3和5整除的数的特征．B档（提升精练）一．选择题（共10小题）1．（•彭州市模拟）a、b是两个不是0的自然数，a÷b=6，a和b最小公倍数是（）A．a B．b C．6考点：求几个数的最小公倍数的方法．分析：求两数的最小公倍数，要看两个数之间的关系：两个数互质，则最小公倍数是这两个数的乘积；两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数；两个数有公约数的，最小公倍数是两个数公有质因数与独有质因数的连乘积；由此选择情况解决问题．解答：解：由a÷b=6可知，数a是数b的6倍，属于倍数关系，a＞b，所以a和b最小公倍数是a；故选A．点评：此题主要考查求两个数为倍数关系时两个数的最小公倍数：两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数．2．（•勐海县）α与b是互质数，那么它们的最小公倍数是（）A．αB．b C．αb D．1考点：求几个数的最小公倍数的方法．专题：数的整除．分析：如果两个数是互质数，它们的最小公倍数是这两个数的乘积．据此解答．解答：解：a与b是互质数，它们的最小公倍数是ab．故选：C．点评：本题考查了求几个数的最小公倍数的方法．此题解答关键是明确：如果两个数是互质数，它们的最小公倍数是这两个数的乘积．3．（•龙海市模拟）学校举行春季运动会，六1班人数的参加田赛，参加径赛，六1班人数是（）人．A．64 B．49 C．56 D．60考点：求几个数的最小公倍数的方法．专题：数的整除．分析：由“六1班人数的参加田赛，参加径赛”，求出要求六1班人数，也就是求7和8的最小公倍数．解答：解：7和8的最小公倍数是7×8=56，所以六1班人数是56人；故选：C．点评：关键是根据题意，人数必须是整数，所以求7和8的最小公倍数，而互质数的两个数的最小公倍数是它们的乘积．4．（•舒城县）能同时被2、3、5除余数为1的最小数是（）A．29 B．31 C．61考点：求几个数的最小公倍数的方法．专题：约数倍数应用题．分析：可先求出能同时被2、3、5整除的最小的数也就是它们的最小公倍数为30，由此解决问题．解答：解：能被2、3、5整除的最小的数是30，30+1=31．故选：B．点评：此题是根据求最小公倍数的方法结合整除的意义解决问题．5．（•麻章区）a，b是不等于0的自然数，a÷b=6．a，b的最小公倍数是（）A．a B．b C．6D．6a考点：求几个数的最小公倍数的方法．分析：求两数的最小公倍数，要看两个数之间的关系：两个数互质，则最小公倍数是这两个数的乘积；两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数；两个数有公约数的，最小公倍数是两个数公有质因数与独有质因数的连乘积；由此选择情况解决问题．解答：解：由a÷b=6可知，数a是数b的6倍，属于倍数关系，a＞b，所以a和b最小公倍数是a；故选：A．点评：此题主要考查求两个数为倍数关系时两个数的最小公倍数：两个数为倍数关系，则最小公倍数为较大的数．6．（•溧水县模拟）两个最简分数的分母分别是48和72，它们通分后的公分母最小是（）A．8B．24 C．144 D．288考点：求几个数的最小公倍数的方法．专题：数的整除．分析：两个最简分数的分母分别是48和72，要求它们通分后的公分母最小是多少，只要求出48和72的最小公倍数，即可得解．解答：解：48=2×2×2×2×3，72=2×2×2×3×3，所以48和72的最小公倍数是2×2×2×3×2×3=144；答：两个最简分数的分母分别是48和72，它们通分后的公分母最小是144；故选：C．点评：求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答．7．（•永昌县模拟）甲数=2×2×3×5，乙数=2×3×3，这两个数的最小公倍数是（）A．180 B．360 C．1080考点：求几个数的最小公倍数的方法．分析：根据求两个数的最小公倍数的方法：即这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积；进行解答即可．解答：解：甲数=2×2×3×5，乙数=2×3×3，这两个数的最小公倍数为：2×2×3×3×5=180；故选：A．点评：此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答．8．（•武鸣县模拟）甲数=2×2×3×5，乙数=3×3×5×2，这两个数的最小公倍数是（）A．60 B．180 C．90考点：求几个数的最小公倍数的方法．专题：数的整除．分析：根据求两个数的最小公倍数的方法：即这两个数的公有质因数与独有质因数的连乘积；进行解答即可．解答：解：因为甲数=2×2×3×5，乙数=3×3×5×2，所以这两个数的最小公倍数是2×3×5×2×3=180．故选：B．点评：此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除解答．9．（•北京模拟）甲数=2×3×5×A，乙数=2×3×7×A，当A=（）时，甲、乙两数的最小公倍数是630．A．2B．3C．5D．7考点：求几个数的最小公倍数的方法．分析：求最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积，对于两个数来说，两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数，由此解决问题即可．解答：解：甲数=2×3×5×A，乙数=2×3×7×A，甲、乙两数的最小公倍数是：2×3×5×7×A=210A，210A=630，A=3；故选：B．点评：此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数；数字大的可以用短除法解答．10．（•东兰县模拟）a、b是非零自然数，且a=5b．那么a和b的最小公倍数是（）A．a B．b C．a b考点：求几个数的最小公倍数的方法．专题：数的整除．分析：因为a=5b，所以a÷b=5，即a和b成倍数关系，根据“当两个数成倍数关系时，较大的那个数，是这两个数的最小公倍数；进行解答即可．解答：解：因为a=5b，所以a÷b=5，即a和b成倍数关系，所以a和b两数的最小公倍数是a．故选：A．点评：此题主要考查求两个数为倍数关系时的最小公倍数：两个数为倍数关系，较大的那个数，是这两个数的最小公倍数．二．填空题（共10小题）11．（•泗县模拟）4、6和8的最小公倍数是24，把这个最小公倍数分解质因数是24=2×2×2×3．考点：求几个数的最小公倍数的方法；合数分解质因数．分析：求两个数的最小公倍数的方法：这两个数所有共有的因数和它们独有的质因数的连乘积，由此可以解决问题．解答：解：6=2×3，8=2×2×2，所以6和8的最小公倍数是2×2×2×3=24，24=2×2×2×3故答案为：24，24=2×2×2×3．点评：此题考查了求两个数的最小公倍数的方法．12．（•江苏模拟）早上5时40分1路公交车和2路公交车同时发车，1路车每隔8分钟发一辆车，2路车每隔12分钟发一辆车，这两路车6时04分第二次同时发车？考点：求几个数的最小公倍数的方法；时、分、秒及其关系、单位换算与计算．专题：压轴题．分析：先求出8、12的最小公倍数，然后用第一次同时发车的时间加这个时间就是第二次同时发车时间．解答：解：8=2×2×2，12=2×2×3，8、12的最小公倍数是：2×2×2×3=24，所以24分钟后第二次同时发车，5时40分+24分=6时04分；答：这两路车在6时04分第二次同时发车．故答案为：6时04．点评：此题主要考查几个数最小公倍数的求法及用此知识解决实际问题，理解第一次同时发车后到再次同时发车的时间是8、12的公倍数是本题的解答关键．13．（•阿克陶县）15和20的最小公倍数是60，最大公因数是5．考点：求几个数的最小公倍数的方法；求几个数的最大公因数的方法．专题：数的整除．分析：最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是共有质因数与独有。
最大公约数法与最小公倍数法解应用题
最大公约数法通过计算出几个数的最大公约数来解题的方法，叫做最大公约数法。
例1 甲班有42名学生，乙班有48名学生，现在要把这两个班的学生平均分成若干个小组，并且使每个小组都是同一个班的学生。
每个小组最多有多少名学生？解：要使每个小组都是同一个班的学生，并且要使每个小组的人数尽可能多，就要求出42和48的最大公约数：2×3=6，42和48的最大公约数是6。
答：每个小组最多能有6名学生。
例2 有一张长150厘米、宽60厘米的长方形纸板，要把它分割成若干个面积最大，井已面积相等的正方形。
能分割成多少个正方形？解：因为分割成的正方形的面积最大，并且面积相等，所以正方形的边长应是150和60的最大公约数。
求出150和60的最大公约数：2×3×5=30150和60的最大公约数是30，即正方形的边长是30厘米。
看上面的短除式中，150、60除以2之后，再除以3、5，最后的商是5和2。
这说明，当正方形的边长是30厘米时，长方形的长150厘米中含有5个30厘米，宽60厘米中含有2个30厘米。
所以，这个长方形能分割成正方形：5×2=10（个）答：能分割成10个正方形。
例3 有一个长方体的方木，长是3.25米，宽是1.75米，厚是0.75米。
如果将这块方木截成体积相等的小正方体木块，并使每个小正方体木块尽可能大。
小木块的棱长是多少？可以截成多少块这样的小木块？解：3.25米=325厘米，1.75米=175厘米，0.75米=75厘米，此题实际是求325、175和75的最大公约数。
5×5=25325、175和75的最大公约数是25，即小正方体木块的棱长是25厘米。
因为75、175、325除以5得商15、35、65，15、35、65再除以5，最后的商是3、7、13，而小正方体木块的棱长是25厘米，所以，在75厘米中包含3个25厘米，在175厘米中包含7个25厘米，在325厘米中包含13个25厘米。
用最大公因数与最小公倍数解决问题解读
一、用公因数知识解决生活问题。
1、用96朵红玫瑰和72朵白玫瑰做成花束。 如果每个花束里的红玫瑰和白玫瑰的朵 数相同且没有剩余，最多可以做多少个 花束？每个花束里至少要有几朵束？
每个花束里的红玫瑰和白玫瑰的朵数相 同，又要求花束的个数最多，所以花束的 个数应该是96和72的最大公因数。
（96，72）=24 96÷24＋72÷24=7（朵）
3、今有梨320个、糖果240个、饼干200个，将这 些东西分成相同的礼品包送给儿童，但包数要最多， 则每包有多少个梨？有多少个糖果？有多少个饼干？ 320、240和200的最大公因数是：40
梨：320÷40=8（个）
糖果：240÷40=6 （个） 饼干：200÷40=5（个） 答：每包有8个梨。有6个糖果。有5个饼干。
李阿姨今天给月季和君子兰同时浇了水，至少多少天 以后给这两种花同时浇水？
月季每5天浇一次水， 君子兰每6天浇一次水。
5和6的最小公倍数是：30 所以至少30天以后给这两种花同时浇水。
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人民公园是3路和5路汽车的起点站。3 路：每隔6分钟发车一次，5路：每隔8 分钟发车一次。它们同时发车以后， 至少再过多多少分钟又同时发车？
A、可以用列举法解答 B、24＋31=55（天） 55÷12=4（次）……7（天） 4＋1=5（次）
例2：美美客运有A、B两种车，A车每45分发车一次， B车每1小时发车一次，两车同时由上午6点发车，下 一次同时发车是什么时候？
解： 〔45，60〕＝180 180÷60＝3（时）
15
45
3
60
4
15×3×4＝180
30÷6=5（人） 30÷5=6（人） 30÷15=2（人） 答：要使加工生产均衡，第一道工序至少分配5人， 第二道工序至少分配6人，第三道工序至少分配2人。
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最小公倍数法
通过计算出几个数的最小公倍数，从而解答出问题的解题方法叫做最小公倍数法。
例1 用长36厘米，宽24厘米的长方形瓷砖铺一个正方形地面，最少需要多少块瓷砖？（适于六年级程度）
解：因为求这个正方形地面所需要的长方形瓷砖最少，所以正方形的边长应是36、24的最小公倍数。
2×2×3×3×2=72
36、24的最小公倍数是72，即正方形的边长是72厘米。
72÷36=2
72÷24=3
2×3=6（块）
答：最少需要6块瓷砖。
*例2 王光用长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块拼最小的正方体模型。
这个正方体模型的体积是多大？用多少块上面那样的长方体木块？（适于六年级程度）
解：此题应先求正方体模型的棱长，这个棱长就是6、4和3的最小公倍数。
2×3×2=12
6、4和3的最小公倍数是12，即正方体模型的棱长是12厘米。
正方体模型的体积为：
12×12×12=1728（立方厘米）
长方体木块的块数是：
1728÷（6×4×3）
=1728÷72
=24（块）
答略。
例3 有一个不足50人的班级，每12人分为一组余1人，每16人分为一组也余1人。
这个班级有多少人？（适于六年级程度）
解：这个班的学生每12人分为一组余1人，每16人分为一组也余1人，这说明这个班的人数比12与16的公倍数（50以内）多1人。
所以先求12与16的最小公倍数。
2×2×3×4=48
12与16的最小公倍数是48。
48+1=49（人）
49<50，正好符合题中全班不足50人的要求。
答：这个班有49人。
例4 某公共汽车站有三条线路通往不同的地方。
第一条线路每隔8分钟发一次车；第二条线路每隔10分钟发一次车；第三条线路每隔12分钟发一次车。
三条线路的汽车在同一时间发车以后，至少再经过多少分钟又在同一时间发车？（适于六年级程度）
解：求三条线路的汽车在同一时间发车以后，至少再经过多少分钟又在同一时间发车，就是要求出三条线路汽车发车时间间隔的最小公倍数，即8、10、12的最小公倍数。
2×2×2×5×3=120
答：至少经过120分钟又在同一时间发车。
例5 有一筐鸡蛋，4个4个地数余2个，5个5个地数余3个，6个6个地数余4个。
这筐鸡蛋最少有多少个？（适于六年级程度）
解：从题中的已知条件可以看出.不论是4个4个地数，还是5个5个地数、6个6个地数，筐中的鸡蛋数都是只差2个就正好是能被4、5、6整除的数。
因为要求这筐鸡蛋最少是多少个，所以求出4、5、6的最小公倍数后再减去2，就得到鸡蛋的个数。
2×2×5×3=60
4、5、6的最小公倍数是60。
60-2=58（个）
答：这筐鸡蛋最少有58个。
*例6 文化路小学举行了一次智力竞赛。
参加竞赛的人中，平均每15人有3个人得一等奖，每8人有2个人得二等奖，每12人有4个人得三等奖。
参加这次竞赛的共有94人得奖。
求有多少人参加了这次竞赛？得一、二、三等奖的各有多少人？（适于六年级程度）
解：15、8和12的最小公倍数是120，参加这次竞赛的人数是120人。
得一等奖的人数是：
3×（120÷15）=24（人）
得二等奖的人数是：
2×（120÷8）=30（人）
得三等奖的人数是：
4×（120÷12）=40（人）
答略。
*例7 有一个电子钟，每到整点响一次铃，每走9分钟亮一次灯。
中午12点整时，电子钟既响铃又亮灯。
求下一次既响铃又亮灯是几点钟？（适于六年级程度）
解：每到整点响一次铃，就是每到60分钟响一次铃。
求间隔多长时间后，电子钟既响铃又亮灯，就是求60与9的最小公倍数。
60与9的最小公倍数是180。
180÷60=3（小时）
由于是中午12点时既响铃又亮灯，所以下一次既响铃又亮灯是下午3点钟。
答略。
*例8 一个植树小组原计划在96米长的一段土地上每隔4米栽一棵树，并且已经挖好坑。
后来改为每隔6米栽一棵树。
求重新挖树坑时可以少挖几个？（适于六年级程度）
解：这一段地全长96米，从一端每隔4米挖一个坑，一共要挖树坑：
96÷4+1=25（个）
后来，改为每隔6米栽一棵树，原来挖的坑有的正好赶在6米一棵的坑位上，可不重新挖。
由于4和6的最小公倍数是12，所以从第一个坑开始，每隔12米的那个坑不必挖。
96÷12+1=9（个）
96米中有8个12米，有8个坑是已挖好的，再加上已挖好的第一个坑，一共有9个坑不必重新挖。
答略。
例9 一项工程，甲队单独做需要18天，乙队单独做需要24天。
两队合作8天后，余下的工程由甲队单独做，甲队还要做几天？（适于六年级程度）
解：由18、24的最小公倍数是72，可把全工程分为72等份。
72÷18=4（份）…………是甲一天做的份数
72÷24=3（份）…………是乙一天做的份数
（4+3）×8=56份）………两队8天合作的份数
72-56=16（份）…………余下工程的份数
16÷4=4（天）……………甲还要做的天数
答略。
*例10 甲、乙两个码头之间的水路长234千米，某船从甲码头到乙码头需要9小时，从乙码头返回甲码头需要13小时。
求此船在静水中的速度？（适于高年级程度）
解：9、13的最小公倍数是117，可以把两码头之间的水路234千米分成117等份。
每一份是：
234÷117=2（千米）
静水中船的速度占总份数的：
（13+9）÷2=11（份）
船在静水中每小时行：
2×11=22（千米）
答略。
*例11 王勇从山脚下登上山顶，再按原路返回。
他上山的速度为每小时3千米，下山的速度为每小时5千米。
他上、下山的平均速度是每小时多少千米？（适于六年级程度）
解：设山脚到山顶的距离为3与5的最小公倍数。
3×5=15（千米）
上山用：
15÷3=5（小时）
下山用：
15÷5=3（小时）
总距离÷总时间=平均速度
（15×2）÷（5+3）=3.75（千米）
答：他上、下山的平均速度是每小时3.75千米。
*例12 某工厂生产一种零件，要经过三道工序。
第一道工序每个工人每小时做50个；第二道工序每个工人每小时做30个；第三道工序每个工人每小时做25个。
在要求均衡生产的条件下，这三道工序至少各应分配多少名工人？（适于六年级程度）
解：50、30、25三个数的最小公倍数是150。
第一道工序至少应分配：
150÷50=3（人）
第二道工序至少应分配：
150÷30=5（人）
第三道工序至少应分配：
150÷25=6（人）
答略。