统筹法与图论初步
国家高中数学课程标准正在研究的15个课题
国家高中数学课程标准正在研究的15个课题编者按：国家高中数学课程标准正在制订。
一个以“课程标准”为主题的高级研讨班己在南京举行。
为了集思广益，我们征得有关方面同意，将正在研究的15个课题内容在此发表，供关心中国未来课程发展的同志参考。
1、高中数学的选择性高中数学课程是否要有选择性，意见差异很大。
一种意见是应当文理兼通，数学不分文理。
前几年高考数学文理分卷的做法被认为不合适，某些地方己决定文理全卷。
另一种意见则相反，高中阶段应当有更大的选择空间。
一部分喜欢数学的学生，应该学得比现在课程中的数学多得多，而另一部分需要数学相对少的专业，则不必学得那么多（例如某些艺术类、高等职业类）。
文科类、一般理工类、数理科学类的学生，所要求的数学不应该是一样的。
从国际比较来看，绝大多数国家的高中数学都设置了多种选修系列。
日本高中实行学分制。
学生毕业的数学学分，从3学分到18不等，差异很大。
2、信息技术在高中课程中的位置及其作用众所周知，中国要想在科学技术领域与当今世界发达国家一较高下，必须充分发展信息技术。
这使得信息技术进入整个高中数学课程己是必然。
如何依据国家的相关需求与发展趋势，明确信息技术在未来高中数学课程中的地位与作用，将是该课题研究的主要任务。
具体内容凶手：从学生数学学习的角度不看，信息技术的意义究竟是什么；哪些信息技术可以（必须）进入高中数学课堂；科学计算器、图形计算器和CBL、计算机、网络？由于相关信息技术的介入，函数、几何、微积分、数据处理等内容将做相应的调整，有哪些需要调整、如何调整？更进一步，信息技术的介入，特别是一网以后将对学生学数学和教师教数学的方式产生什么样的影响？3、算法内容的设计与安排算法，是古代中国数学的一大特色，也是现代数学发展的一个重要方向随着计算机技术的迅猛发展，诸如排序算法、图论中的算法、无限的迭代算法等等，己为当代数学教育所密切关注。
遗憾的是，中国数学教育对此尚缺乏应有的重视。
统筹图
C
A、B、C三项 工作为平行施 工方式
第三节 双代号统筹图的绘制
序号 工作之间的逻辑关系 网络图中的表示方法
A B
说明
3
A、B、C三项工作 同时结束
C
A、B、C三项 工作为平行施 工方式
B
4
A、B、C三项工作， 三项工作， 结束后， A结束后，B、C才 能开始
A C
A制约B、C的 制约B 开始， 开始，B、C依 的结束， 赖A的结束，B、 C为平行施工
i-j工作的 结束节点 j-k工作的 结束节点
i
i-j工作的
开始节点
j
j-k工作的 开始节点
k
统筹方法
4．节点与工作的关系： 节点与工作的关系：
i
前导工作 紧前工作） （紧前工作） 后续工作 紧后工作） （紧后工作）
5．节点编号： 节点编号：
⑴目的：①便于网络图时间参数的计算； 目的： 便于网络图时间参数的计算； 便于检查或识别各项工作。 ②便于检查或识别各项工作。 ⑵原则：①不允许重复编号； 原则： 不允许重复编号； ②箭尾编号必须小于箭头编号，即：i＜j。 箭尾编号必须小于箭头编号，
统筹方法 （三）网络计划技术的优缺点
1．能全面而明确地反映出各项工作之间开展的先后顺序和它们之 间的相互制约、相互依赖的关系； 间的相互制约、相互依赖的关系； 2．可以进行各种时间参数的计算； 可以进行各种时间参数的计算； 能在工作繁多、 3．能在工作繁多、错综复杂的计划中找出影响工程进度的关键工 作和关键线路，便于管理者抓住主要矛盾，集中精力确保工期， 作和关键线路，便于管理者抓住主要矛盾，集中精力确保工期，避 免盲目施工； 免盲目施工； 4．能够从许多可行方案中，选出最优方案； 能够从许多可行方案中，选出最优方案； 5．保证自始至终对计划进行有效的控制与监督； 保证自始至终对计划进行有效的控制与监督； 6．利用网络计划中反映出的各项工作的时间储备，可以更好的调 利用网络计划中反映出的各项工作的时间储备， 配人力、物力，以达到降低成本的目的； 配人力、物力，以达到降低成本的目的； 7．可以利用计算机进行计算、优化、调整和管理。 可以利用计算机进行计算、优化、调整和管理。 缺点：在计算劳动力、资源消耗量时， 甘特图) 缺点：在计算劳动力、资源消耗量时，与横道图 (甘特图)相比 较为困难。 较为困难。
十一、图论初步(陈开懋,6页)
图论初步华中师大一附中陈开懋★基础知识★一、图由若干个不同的顶点与连接其中某些顶点的边所组成的图形叫做图。
用G 表示图，用V 表示所有顶点的集合，E 表示所有边的集合，并且记作G=（V ，E ）．||V p =称为G 的阶.二、简单图与完全图（1）若在一个图G 中的两个顶点j i v v 与之间有边e 相连，则称点j i v v 与是相邻的，否则就称j i v v 与是不相邻的．（2）如果顶点v 是边e 的一个端点，称点v 与边e 是相邻的．（3）如果顶点本身也有边相连，这样的边称为环．如果连接两个顶点的边可能不止一条，若两个顶点之间有k )2k (≥条边相连，则称这些边为重边（或平行边）．（4）如果一个图没有环，并且没有重边，这样的图称为简单图．竞赛中的图论问题涉及到的图一般都是简单图．（5）如果一个简单图中，每两个顶点之间都有一条边，这样的图称为完全图，通常将有n 个顶点的完全图记为n K ．（6）在图G=(V,E)中，顶点个数|V|和边数|E|都是有限的，则称图G 是有限图；如果|V|或|E|是无限的，则称G 为无限图．三、顶点的度设G 是n 阶图，它的顶点集合为},,,{21n v v v V =，与顶点),3,2,1( =i v i 相关联的边的条数叫做顶点i v 的度，记作)(i v d ；若顶点i v 的度)(i v d 为奇数，则称顶点i v 为奇顶点，若顶点i v 的度)(i v d 为偶数，则称顶点i v 为偶顶点.与度相关的定理：定理（握手定理）：n 阶图G 中所有顶点的度之和是它的边数的两倍，即有1()2||n i i d v E ==∑推论：任何图G 的奇顶点个数必为偶数.四、连通图与树在图G 中，一个有不同的边组成的序列：121,,,;m i i i e e e e A A -= 如果其中边，01,2,,m i m A A = ，则称这个序列是从到的链。
数m 称为这条连长.0m A A 与称为这条链的端点，并且这条链记为01m A A A .如果一条链的两个端点0m A A 与重合，称这条链为圈。
很难找到的统筹法培训课件
EF
E
F
HI
H
I
统筹法
第三节 统筹图的绘制
二、常见作业逻辑关系的画法 （六）常见作业逻辑关系画法示例
5.作业J要待G、I都结束后开始
G J
I
统筹法
第三节 统筹图的绘制
二、常见作业逻辑关系的画法 （六）常见作业逻辑关系画法示例
6.作业D、K都是最后一项作业
D
K
统筹法
第三节 统筹图的绘制
A 2D
F
1 B3 G
C
4E
5H
7
I
6
统筹法 作业：根据作业明细表绘制统筹图：
1. 作业代号 A B C D E F 紧前作业 / / B AB C DE
2. 作业代号 A B C D E F G H I 紧前作业 / A A B B C DE G F
3. 作业代号 A B C D E F G H I J K 紧后作业 D EF G H IJ I I / K K /
2
4
1
6
3
5
2
1
2
1
3
统筹法
第三节 统筹图的绘制
一、绘制统筹图的基本规则 （一）统筹图是有向图，箭头一律向右； （二）统筹图中只允许有一个起始结点，一个
最终结点，不允许出现缺口； （三）两个结点之间只能画一个作业相连结； （四）统筹图中不允许出现闭合回路。
1
2
3
4
统筹法
第三节 统筹图的绘制
二、常见作业逻辑关系
B
1 B2
5
C
E
C
E
4
统筹法 练习：根据作业明细表绘制统筹图： 2. 作业代号 A B C D E F G H I J K
统筹法—
一、华罗庚与统筹法
对于(3)，要亲自下去，先在小范围，
从一个车间、一个项目做起，然后 逐步扩大、见成效。
一、华罗庚与统筹法
华罗庚正是从这样一些原则来 选择优选法和统筹法的。 通过调研，他了解了生产的整 体层面的一些管理问题，如生产的 安排、进度、工期等。
一、华罗庚与统筹法
1964年，他以国外的
一、华罗庚与统筹法
1949年回国，次年任清华大学数学系主任、
中科院数学所所长，培养了王元、陈景润等； 1958年任中国科技大学副校长等 1960年开始，在工农业生产中推广“双法”， 足迹遍及27个省市区，创造了巨大的物质财 富和经济效益； 1978年任中国科学院副院长； 1985年6月12日，在东京作学术报告时，心 脏病突发逝世，终年74岁。
以网络图反映、表达计划安排， 据以选择最优工作方案.组织 协调和控制生产的进度和费用， 使其达到预定目标，获得更佳 经济效益的一种优化决策方法。
二、什么是统筹法
统筹法的思想和方法：
贯穿于工业、农业、国防、经济 管理、社会生活等各个领域的方 方面面。
三、统筹法应用的例子
1.从喝茶说起… A,烧好开水—洗干净茶壶—放茶叶 —冲水泡 B，烧上开水—洗干净茶壶—放茶叶 —冲水泡
一、华罗庚与统筹法
在生命的后20年里，他几乎把
全部精力投身于推广应用数学 方法的工作，而“双法”--优 选法、统筹法的推广应用便是 其中心内容。
一、华罗庚与统筹法
1910年11月12日生于江苏省金坛县。
1985年6月12日在日本东京逝世。 1930年以一篇轰动数学界的论文被清华大学 请去工作。 1936年起，到剑桥学习工作； 1938年回国，在西南联大任教授，写出名著 《堆垒素数论》； 1946年应邀到普林斯顿大学讲学； 1948年被伊利诺依大学聘为终身教授；
【最新精选】统筹学资料
【最新精选】统筹学资料统筹方法所谓统筹，就是在面临多个任务时，通过重组、优化等手段合理安排工作(管理)流程，提升工作(管理)效率的一种思想与方法。
完成任务总是需要消耗一些资源，如时间、金钱、信息等，下面所附的华罗庚的《统筹方法》一文中举的是时间的例子，其实统筹方法还可以扩展到其他很多领域。
比如，金钱或是其他需消耗的物质资源以及信息等。
统筹方法提供给我们一种解决复杂问题的方案，其本质上是一种安排工作进程的数学方法，应用的关键是抓住主要环节，合并次要环节，这样可以帮助我们缩短工时，提高工作效率。
因此我们必须时时思考，深入理解，仔细体会其中的数学思维，才能使我们无论是在安排庞大复杂的系统相互协作这样的事情上，还是生活中一些琐碎的小事中，都能最有效的利用资源。
资源的优化配置可以采用项目管理中的网络技术、运筹学中的博弈论、排序模型、网络优化模型等方法或是这些方法的有机集成，这些方法构成了资源优化配置的系统方法。
华罗庚是我国最早把数学理论研究和生产实践紧密结合作出巨大贡献的科学家。
从五十年代末期开始，他就走出书斋和课堂，来到广阔的工农业生产实践之中。
他把数学方法创造性地应用于国民经济领域，筛选出了以改进生产工艺和提高质量为内容的“优选法”和处理生产组织与管理问题为内容的“统筹法”(简称“双法”)，并用深入浅出的语言写出了《优选法平话及其补充》和《统筹法平话及补充》两本科普读物。
附: 《统筹方法》——华罗庚统筹方法，是一种安排工作进程的数学方法。
它的实用范围极广泛，在企业管理和基本建设中，以及关系复杂的科研项目的组织与管理中，都可以应用。
怎样应用呢,主要是把工序安排好。
比如，想泡壶茶喝。
当时的情况是:开水没有;水壶要洗，茶壶茶杯要洗;火生了，茶叶也有了。
怎么办,办法甲:洗好水壶，灌上凉水，放在火上;在等待水开的时间里，洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶;等水开了，泡茶喝。
办法乙:先做好一些准备工作，洗水壶，洗茶壶茶杯，拿茶叶;一切就绪，灌水烧水;坐待水开了泡茶喝。
理学统筹方法
e
4
图12-6
3
a
c
1b
d 4
5
2 图12-7
（三）关于始点与终点的规定
始点是表示工程的总开工时间，终
点是表示工程的总完工时间，因此，始
点与终点也只能各有一个。除始点与终
点外，其他结点必须前后都有箭线连接。
在例1的图12-2中，始点不合要求，可利 用虚工序绘作如图12-7所示。把始点或
终点合并为一个，也是虚工序的作用之
例1 某工程的各工序资料如表12-2所示。试 绘出该工程的统筹图。
解 根据工序一览表绘制统筹图，如图12-2所示
a
1
2
b 图12-1
1a
c
d
3
4
5
b
2 图12-2
表12－2
工
序
a
b
c d
紧前工序 -
a,b c
（二）关于虚工序的规定
为了不违反规定（一），引入虚工序。虚工 序是虚设的，即不花时间和资源的非实际工序， 只用来表达相邻工序之间的衔接关系及其它需 要。在统筹图上用虚线表示虚工序。
工序都完工的时间。例如12-14中，当工序a、b和 c都完工时，事项j即发生。由此可见，图12-14中， 事项j的最早时间可由下式计算：
tE ( j) max tE (2) t(2, j), tE (3) t(3, j), tE (4) t(4, j)
用公式表示为:
tE (1) 0
tE (
工序 a b c d
紧前工序
a a b,c
工序时间（天）
4 3 5 7
如图
a 14
b3
3
e
c0
d
25
1.统筹问题实例与统筹图-湘教版选修4-8统筹法与图论初步教案
1. 统筹问题实例与统筹图-湘教版选修4-8统筹法与图论初步教案一、学习目标1.了解统筹问题的定义及实例；2.掌握画统筹图的方法；3.能够通过统筹图解决实际问题。
二、知识概述1. 统筹问题实例统筹问题是指在多种资源之间进行协调和平衡，以获得最佳的效益和利用效率的问题。
在实际生活中，有很多问题需要采取统筹的思路来解决。
下面是两个统筹问题的实例：实例1小李家住在城市的东边，他每天都要去市中心上班，而去市中心只有两条路可选：第一条路长，但是路面宽阔，车辆流畅；第二条路短，但是路面狭窄，车辆拥堵。
于是小李在选择路线时需要进行权衡，采取什么样的策略才能在时间和安全上得到平衡呢？实例2某个工厂的管理人员需要决定如何分配生产资源，以便达到最优效益。
但是该工厂生产的产品样式多种多样，每种产品的生产资源需求都不同。
为了使最终产生的产品种类搭配合理、利润最大化，管理人员需要进行资源配置方案的制定，这也是一个典型的统筹问题。
2. 统筹图统筹图是一种用图表和标志来表示调度问题的图形方法，也是求解统筹问题的重要工具。
统筹图由一个方框和若干条箭头组成，箭头上标有数字和符号，代表着一条任务的开始时间、结束时间、所需资源以及其他限制条件。
统筹图能够清晰地展现任务之间的依赖关系和资源需求情况，为调度和分配资源提供了有效的依据。
下面是一个简单的统筹图示例：┌──────────────┬─────────┬─────────┬─────────┬───┐│ 任务│ 资源需求│ 开始时间│ 结束时间│说明│├──────────────┼─────────┼─────────┼─────────┼───┤│ 任务1 │ 2 │ 0 │ 4 │ │├──────────────┼─────────┼─────────┼─────────┼───┤│ 任务2 │ 1 │ 4 │ 5 │ │├──────────────┼─────────┼─────────┼─────────┼───┤│ 任务3 │ 3 │ 5 │ 8 │ │└──────────────┴─────────┴─────────┴─────────┴───┘三、教学重点与难点教学重点：掌握画统筹图的方法。
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图和树
d (v ) 2m
i 1 i n
vve
d (v) d (v) 2m
vv0
vv0
d (v) 2m d (v)
vve
图和树
例题1：晚会上朋友们握手言欢，则握过奇次手的人数 是偶数. 解：以晚会每个参加者为顶点，仅当二人握手时，在 相应的二顶间连一条边，如此构作一图G，于是每个 人V的握手次数即G中此顶的次数d(v),由推论知握了奇 数次手的人数，即G的奇次顶的顶数是偶数。
统筹法
洗烧水壶
0 0 2
烧水
15
洗茶壶
4 4
请客喝茶
s
0 0
泡茶
t
洗茶碗
2
拿茶叶
统筹法
统筹法
2.关键工序、关键路和工序的最早可开工时间
2
0 0 0 4 0 4 0 2 0+2=2 15
s
0
0 0
t
15+2=17
0
统筹法
关键路算法（critical path method (CPM)）
(1)标志s为 ( s ) 0, 其他顶未标志. (2)找统筹图中的一个顶v, v未标志，而以v为头的有向边之尾 都已标志，把v标成 (v), (v)是{l (u1v) (u1 ), l (u2v) (u2 ),..., l (uk0 v) (uk0 )}中的最大值，其中u1v, u2v,..., uk0 v是以v为头的一 切有向边.如果 (v) l (uk1 v) (uk1 ), 则把有向边uk1 v染成红色 ，其中1 k1 k0 . (3)v t时，执行完(2)时止，从s到t的有向红色路即为一条关 键路， (t )为竣工需要的最短时间若 . v t , 则转而再执行（2）
统筹法
1.统筹问题实例与统筹图
实例1:午夜急诊问题。
20 35
赵医生家
医院
钱医生家
关键路径
筹法
实例2：请客喝茶问题
方式1 先去洗烧水壶和茶壶茶碗，拿来茶叶，一切就绪后， 再拿烧水壶灌水去烧，等烧开后再泡茶。
方式2 洗净烧水壶，灌上凉水去烧水，坐等水烧开后才急匆 匆找茶叶和洗茶壶茶碗。 方式3 洗净烧水壶，灌上凉水，放在煤气灶上烧，在等待水 开的时间内去找茶叶和清洗茶壶茶碗。
（2）把图G的每条边都染上颜色，且禁止邻边（有公共 端点的边）同色，则称其为对G的边进行正常着色，边正 ' 常着色时使用颜色的最少数目称为G的边色数，记成 (G )
染色
例： (7顶轮)=？
解：如右图，用三种颜色可对 7顶轮顶进行正常着色， 所以， (7顶轮) 3. 又7顶轮中有三角形，所以 (7顶轮) 3. (7顶轮)=3. 于是：
统筹法与图论初步
主要内容
1 2 3
统筹法 图和树
其他图论问题
一、统筹法
在错综复杂的工艺过程中，任务 多了，几百几千甚至有好几万个； 关系多了，千头万绪。往往由于一 两个零件没有完成，耽误了一架复 杂机器的出厂时间；也往往抓得不 是关键，联夜三班，急急忙忙，完 成这一环节之后，还得等待旁的部 件才能装配。 ——华罗庚《统筹法平话》
统筹法
统筹法
例：有11个工件在一台机床上加工，某些工件的加工必 须安排在另一些工件加工完成之后才能进行，各工件加 工时间和紧前工件如下表所列:
工件
加工时间 （分）
紧前工件
3
5
7
9
2
4
6
8
1
2
3
试确定一个加工次序，使各工件的完成时间（含加工 等待时间）之和最小.
统筹法
s
t
图和树
图论仗恃她的美丽、灵巧、深刻和妙用， 在现代数学中异军突起，备受关爱。 她能显示关系，她能统筹网络， 千言万语不及一张图。 树是最得人心的植物， 树是最受欢迎的图类； 我们无力生成图的每一棵树， 我们能够生成一棵最好的树。
统筹法
3.工序的最迟必须开工时间和时差
2
洗烧水壶
0 0
烧水
15
洗茶壶
4 4
请客喝茶
s
0
0
泡茶
t
洗茶碗
2
拿茶叶
统筹法
各工序的最迟必须开工时间算法： (1)在以s为起点以t为止点的统筹图上用求关键路的算法 求得 (t ) (2)在以s为起点以t为止点的统筹图上任取一顶v,由t开始 逆箭头寻求出从t到v的最长路p (v, t ). (3)求p (v, t )上各边权之和 (v). (4) (t ) [ (v) l (e)]为工序e最迟必须开工的时间，其中 e以v为头.
图和树
1.哥尼斯堡七桥问题
过每桥恰一次，再回到出发点， 是否可能？
D
B A
C
图和树
2.什么是图？
图和树
V { A, B, C , D} E { AB, AC , AD, BC , BC , BD, BD}
___ ___
D
B A
C
图和树
D
B A
C
图和树
图和树
图和树
图和树
d (v ) 2m
图和树
图和树
其他图论问题
1.匹配 2.欧拉图与一笔画 3.中国邮路问题 4.周游世界玩具与和哈密顿图 5.竞赛图 6.染色
染色
（1）把图G的每个顶都染上颜色，且禁止邻顶同色，则称 其为对G的顶集进行正常着色，顶正常着色时使用颜色的 最少数目称为G的顶色数，记成 G , (G) k时，称G为k色图.