3静电场基本方程
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第三章静电场及其边值问题的解法
路、选频等作用； • 通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂
电路； • 在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以
减少电能的损失和提高电气设备的利用率；
如何求电容器的电容？
14
电磁场与波
1. 电容 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷能
力的物理量。
孤立导体的电容
界条件为
或
ED11tn
s
0
介质1
nˆ
E1
1
1
注：媒质1为介质，媒质2为导体
导体
22
电磁场与波
静电位的边界条件
设P1和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分
别为ϕ1和ϕ 2
当两点间距离⊿l→0时,C与D趋于同一 点，取作电位参考点
1 2
媒质1 1
1 A
B 2
媒质2 2
D
l
C
由
和
2
2
n
1
1
n
S
• 若介质分界面上无自由电荷，即 s 0
2
2
n
1
1
n
•
导体表面上电位的边界条件：
常数，
n
S
电磁场与波
例 3.5 无限长同轴线内外导体半径分别为a,b,外导体接地，内
导体电位为U，内外导体间部分填充介电常数为ɛ1的介质，其余部
分介电常数为ɛ2 ，(a)图中二介质层分界面半径为c；(b)图 0 1
孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位的比值，即
Cq
电位参考点为 无穷远处
例： 真空中半径a的孤立带电导体球，其表面电荷量为q,则电位？
q 4 0 a
C 40a
电路； • 在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以
减少电能的损失和提高电气设备的利用率；
如何求电容器的电容？
14
电磁场与波
1. 电容 电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统 储存电荷能
力的物理量。
孤立导体的电容
界条件为
或
ED11tn
s
0
介质1
nˆ
E1
1
1
注：媒质1为介质，媒质2为导体
导体
22
电磁场与波
静电位的边界条件
设P1和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分
别为ϕ1和ϕ 2
当两点间距离⊿l→0时,C与D趋于同一 点，取作电位参考点
1 2
媒质1 1
1 A
B 2
媒质2 2
D
l
C
由
和
2
2
n
1
1
n
S
• 若介质分界面上无自由电荷，即 s 0
2
2
n
1
1
n
•
导体表面上电位的边界条件：
常数，
n
S
电磁场与波
例 3.5 无限长同轴线内外导体半径分别为a,b,外导体接地，内
导体电位为U，内外导体间部分填充介电常数为ɛ1的介质，其余部
分介电常数为ɛ2 ，(a)图中二介质层分界面半径为c；(b)图 0 1
孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位的比值，即
Cq
电位参考点为 无穷远处
例： 真空中半径a的孤立带电导体球，其表面电荷量为q,则电位？
q 4 0 a
C 40a
静电场的基本方程微分形式积分形式物理意义
对场中一个点电荷，受力 F QE 仍成立
已知 x ，原则上可求出 E x 。若不能
积分,可近似求解或数值积分。但是在许多实际情
况 x 不总是已知的。例如，空间存在导体介
质，导体上会出现感应电荷分布，介质中会出现 束缚电荷分布，这些电荷分布一般是不知道或不 为
三、静电场的环路定理与旋度方程
1. 环路定理
⑴ ⑵
L
E dl 0
静电场对任意闭合回路的环量为零。 说明在回路内无涡旋存在，静电场线是不闭合的。
2、旋度方程
L
E dl E dS 0
S
E 0
⑴ 又称为环路定理的微分形式，仅适用静电场。 ⑵ 它说明静电场为无旋场，电力线永不闭合。
§1. 电荷和电场
一、库仑定律和电场强度
1. 库仑定律
F
Q’
F
QQ ˆ r 2 40 r 1
r
Q
描述一个静 止点电荷对 另一静止点 电荷的作用 力
⑴ 静电学的基本实验定律； ⑵ Q’ 对Q的作用 力为 F F ；⑶ 两种物理解释: 对静电情 超距作用：一个点电荷不需中间媒介 况两种观 直接施力与另一点电荷。 点等价 场传递：相互作用通过场来传递。
例题： 电荷 Q均匀分布于半径为 a的球体内，求各点场强 的散度和旋度。
§2
电流和静磁场
一、电荷守恒定律
1、电流强度和电流密度（矢量）
I 单位时间通过空间任意曲面的电量（单位：安培）
J 大小：单位时间垂直通过单位面积的电量
方向：沿导体内一点电荷流动的方向 两者关系：
I dI J dS
01-电场的积分方程
图 1-3
图 1-4 （2）如图 1-5，也可以将区域内的积分公式用到边界点上，这时边界要从外部绕过场 点。半球面上边界的法线方向和源点到场点距离方向相反。
P =
e e 1 d+ [ (0 ) (0) R n 2 ]d 40 R 40 R n 40 R P
1
电场的积分方程
1、 静电场强度的基本方程 静电场的基本物理量是电场强度。 产生电场的源是电荷。 电荷在电场中受到电场力的作 用。库仑定律描述了电荷之间的电场力。根据库仑定律，结合电场强度 E 的定义，可得出 自由空间（无限大真空空间）中电场强度的积分公式，如式 1-1。
E
1 4 0
V
e R dV R2
1-14
针对格林定理表达式右侧的第二项积分中的第一部分，设在 P 上
u 为有限值，当 n
R 0 ，有
R d R d lim lim (max ) lim R(max )0 2 2 R 0 R 0 4 R 0 4 n R n R n P P
1-22
因导体是等电位面，且为闭合面，场点在闭合面之外，最后一项积分中的第二部分
(0)
C
1-23
故可得积分方程
e e P 1 1 = d+ [ (0 ) (0) R n 2 ]d+ (0 )d 2 40 R 40 R n 40 R 40 R n P C
1-21
图 1-5
图 1-6 边界积分方程 1-19 和 1-21，实际上完全相同。
7、 导体表面积分方程 当区域内存在导体时，可将导体从区域内挖掉，导体表面成为区域边界的一部分。导体 表面的区域边界是闭合面，其法线方向指向导体内部，如图 1-7。 （1） 场点在导体表面以外的边界上 这时电位积分公式中增加一项导体表面的边界积分项。
真空中静电场的基本方程
s
V=4r3/3 dv=4r2dr
r0
r 0
r2
r4 a2
4
r 2 dr
4r0
r3 3
r5
5a2
D内
r0
r 3
r3 5a2
r=a时 (连续)
D内
D外
2 15
r0a
解法二： 微分形式解 • Dvr r r 球坐标
∵对称性,D外仅有er 分量：
evr ev 0 evr ev 0
在球外 r r 0
1 r2 r
r 2 D外
0
D外
C2 r2
当 r ∞ 时可看成点电荷：
D外
1
4
q r2
1
4
8
15
r
0
a
3
1 r2
C2
2 15
r0a3
D外
2 15
r0
a3 r2
球内(r≤a):
1
r2
r
r 2D内
r0
1
r2 a2
r 2D内
2r 0
r0 1
r2 a2
r
2dr
q
4e 0 R
c
点
1
4e
0
1
rd c
R
sds c
4e
0
1
4e0
s l
R
rl dl
R
c
体 面 线
式子中： R r r为场与源的距离
电位——电场的表示式对比
f 1 rd c 3.7
4e 0 R
Er
1
4e
0
r r
1 R
d
2.6
可见f 的计算式简便得多 标量积分，
V=4r3/3 dv=4r2dr
r0
r 0
r2
r4 a2
4
r 2 dr
4r0
r3 3
r5
5a2
D内
r0
r 3
r3 5a2
r=a时 (连续)
D内
D外
2 15
r0a
解法二： 微分形式解 • Dvr r r 球坐标
∵对称性,D外仅有er 分量：
evr ev 0 evr ev 0
在球外 r r 0
1 r2 r
r 2 D外
0
D外
C2 r2
当 r ∞ 时可看成点电荷：
D外
1
4
q r2
1
4
8
15
r
0
a
3
1 r2
C2
2 15
r0a3
D外
2 15
r0
a3 r2
球内(r≤a):
1
r2
r
r 2D内
r0
1
r2 a2
r 2D内
2r 0
r0 1
r2 a2
r
2dr
q
4e 0 R
c
点
1
4e
0
1
rd c
R
sds c
4e
0
1
4e0
s l
R
rl dl
R
c
体 面 线
式子中： R r r为场与源的距离
电位——电场的表示式对比
f 1 rd c 3.7
4e 0 R
Er
1
4e
0
r r
1 R
d
2.6
可见f 的计算式简便得多 标量积分，
静电场的基本特性
静电场的基本特性一、静电场的定义与基本概念1.静电场：由静止电荷产生的电场，称为静电场。
2.电场：电场是一种特殊形态的物质，存在于电荷周围。
3.电场强度：描述电场强度的物理量，单位为牛顿/库仑（N/C）。
4.电势：描述电场势能状态的物理量，单位为伏特（V）。
5.电势差：两点间电势的差值，单位为伏特（V）。
二、静电场的基本性质1.库仑定律：静电场中，两个静止点电荷之间的作用力与它们的电荷量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比。
2.电场线的特点：电场线从正电荷出发，终止于负电荷；电场线不相交；电场线的疏密表示电场强度的大小。
3.电势的分布：电势在空间中的分布反映了电场势能的状态；电势随着距离的增加而减小。
4.电场强度与电势的关系：电场强度的方向是电势降低最快的方向。
三、静电场的基本方程1.高斯定律：描述静电场中电荷与电场之间的关系，指出通过任何闭合曲面的电通量与该闭合曲面所包围的净电荷量成正比。
2.电场强度与电势的关系：E = -dV/dr，其中E为电场强度，V为电势，dr为距离变化量。
四、静电场中的常见问题1.静电力的计算：利用库仑定律计算两个点电荷之间的作用力。
2.电场强度的计算：利用高斯定律计算闭合曲面内的电场强度。
3.电势的计算：利用电场强度与电势的关系计算电势。
4.电势差与电场强度的关系：ΔV = E·Δl，其中ΔV为电势差，E为电场强度，Δl为路径长度。
五、静电场的实际应用1.静电除尘：利用静电场将带电粒子吸附在带电板上，实现除尘。
2.静电喷涂：利用静电场将涂料粒子带电，使其在喷涂过程中均匀分布，提高喷涂效果。
3.静电复印：利用静电场将墨粉吸附在鼓上，实现复印。
六、注意事项1.静电场是一种客观存在的物质，存在于电荷周围。
2.掌握静电场的基本概念、性质和方程，能够解决实际问题。
3.注意静电场与电流场的区别，理解它们在现实生活中的应用。
习题及方法：1.习题：两个点电荷分别为+5μC和-3μC，它们之间的距离为10cm，求它们之间的库仑力。
2-静电场-2-基本方程与衔接条件
Zhang h j 2008
9
例
Hebei University of Technology
河北工业大学
《工程电磁场基础》
无限大 计算均匀电荷面密度为σ的无限大平面的电场。 解：如图所示取柱形闭合面 对称、均匀
v v v ⎧D0ez z >0 D=⎨ v v ⎩D0 (−ez ) z < 0
Δ
σΔ
∴
⎧ aU ⎪ ϕ =⎨ r ⎪U ⎩
r≥a r≤a
电场强度可求电位的负梯度得到：
v aU v v v v ∂ϕ ⎧er 2 ⎪ =⎨ r E ( r ) = −∇ϕ (r ) = −er ∂r ⎪ 0 ⎩ r>a r < Zhang h j a
球内电位分 布？ 如果已知球面 电位分布，如 何求解？
Zhang h j 2008
13
Hebei University of Technology
河北工业大学
《工程电磁场基础》
2-4 静电场边值问题
1.静电场位函数方程 2.边值问题及其分类
3.边值问题的建立 4.边值问题的分析方法概述
Zhang h j 2008
14
1.静电场位函数方程
Hebei University of Technology
河北工业大学
《工程电磁场基础》
C1=0
由边界条件可知，当r=a时，D1=D2
D1
r =a r =a
=
C2 a
2
∴
v ⎛ r r3 ⎞v D1 = ρ 0 ⎜ − 3 ⎟er ⎜ 3 5a ⎟ (r<=a) ⎝ ⎠ 3 v 2 ρ0a v D2 = er 2 (r>=a) 15r
第二章静电场恒定电场和恒定磁场
图2.1电介质的极化
介质中的高斯定理表示为 式中电位移矢量为
在线性的各向同性的电介质中
例2.1在空气中放入一个带电量为Q、半径为a的球体，该球体的 相对介电常数为εr。求该球体内、外任意一点的电场强度。
解（1） 球内任意一点，设到球心距离为r,做高斯面为以r为半径的球面， 如图2.2所示。
由电场的对称性可知，E和D的方向为er,所以
大小、它们之间的距离和周围的电介质，即可以不用电容器。
例2.10同心金属球与球壳系统如图2.12所示，内导体球半径为a，外导体 球壳的内外半径分别为b和c，导体球与导体球壳带有等量异号电荷，它
们之间充满相对介电常数为 r 的电介质，球外为空气。求该导体系统
的电容。
解:根据高斯定理不难求出空间各点的电场强度，设导体球和导体球壳的 带电量分别是q和-q，则导体和导体球壳之间的电场强度的大小为
电场能为
WeΒιβλιοθήκη 1 2dVv
（2） 对于多导体系统
We
1 2
dV
v
例2.12半径分别为a和b的同轴线，外加电压为U，内圆柱体电荷量为正，外圆柱 面单位长度上的电荷量与内圆柱体等值异号。如图2.16(a)所示，两电极间在θ1的 角度内填充介电常数为ε的电介质，其余部分为空气，求同轴线单位长度上储存 的电场能量。
示，求在l长度上的外电感。
图2.25例2.20用图
例2.21一个半径为a的无限长直导线，在导线均匀流过的电流为I，求这个导线
在单位长度上的内电感，如图2.26所示（设导体内部的磁导率近似为μ0）。 解:截面上的磁通并没有与全部电流I交链，而只是与一部分电流交链，交链的总 磁链为
图2.26
2. 互 有两感个回路l1和l2，如图2.27所示。
介质中的高斯定理表示为 式中电位移矢量为
在线性的各向同性的电介质中
例2.1在空气中放入一个带电量为Q、半径为a的球体，该球体的 相对介电常数为εr。求该球体内、外任意一点的电场强度。
解（1） 球内任意一点，设到球心距离为r,做高斯面为以r为半径的球面， 如图2.2所示。
由电场的对称性可知，E和D的方向为er,所以
大小、它们之间的距离和周围的电介质，即可以不用电容器。
例2.10同心金属球与球壳系统如图2.12所示，内导体球半径为a，外导体 球壳的内外半径分别为b和c，导体球与导体球壳带有等量异号电荷，它
们之间充满相对介电常数为 r 的电介质，球外为空气。求该导体系统
的电容。
解:根据高斯定理不难求出空间各点的电场强度，设导体球和导体球壳的 带电量分别是q和-q，则导体和导体球壳之间的电场强度的大小为
电场能为
WeΒιβλιοθήκη 1 2dVv
（2） 对于多导体系统
We
1 2
dV
v
例2.12半径分别为a和b的同轴线，外加电压为U，内圆柱体电荷量为正，外圆柱 面单位长度上的电荷量与内圆柱体等值异号。如图2.16(a)所示，两电极间在θ1的 角度内填充介电常数为ε的电介质，其余部分为空气，求同轴线单位长度上储存 的电场能量。
示，求在l长度上的外电感。
图2.25例2.20用图
例2.21一个半径为a的无限长直导线，在导线均匀流过的电流为I，求这个导线
在单位长度上的内电感，如图2.26所示（设导体内部的磁导率近似为μ0）。 解:截面上的磁通并没有与全部电流I交链，而只是与一部分电流交链，交链的总 磁链为
图2.26
2. 互 有两感个回路l1和l2，如图2.27所示。
静电场的标势及其微分方程
介质的电磁性质方程：Dv
v E
2
§2.1 静电场的标势及其微分方程
1、静电场的标势
静电场的Maxwell方程为：
v
D
v E 0
自由电荷分布
是电位移
v D
的源
静电场是无旋场
➢静电场的无旋性表明电场沿任意闭合回路L的环量等于零
vv
Ñ L E dl 0
蜒 v v v v
E dl E dl 0
v D
vv
对于各向同性线性均匀介质有： D E
v E
v
E
2
Poisson方程，静电势满足的基本 微分方程
7
讨论： (1) Poisson方程的求解，必须给定边界条件。
2
(2) 若介质为不同类型的均匀介质组成，则对于每种介质，建立 Poisson方程，而在介质分界面上建立合适的边值关系以及边界条件。
➢ 导体内部不带净电荷，净电荷只能分布于导体表面上
由高斯定理
S E dS
q
0
可知，q=0
➢ 导体表面上电场必沿法线方向，导体表面为等势面，整
个导体为等势体
由
v E
可知，
为常量，因而是等势体；如果导体表面上的电场
不沿法线方向，则必有切向分量，因而电荷将沿切线方向移动
11
3）导体表面的边值关系
2 S12 常数
静电场
静电场的基本特点：
电荷静止
v J
vv
0
场量不随时间变化 物理量 =0
t
静电场的基本问题：
给定自由电荷的分布，以及周围空间介质或 导体的分布，运用电磁场理论求解带电体系 的电场。
1
解决静电问题的基本方程：
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E1sin 1= E2sin 2
结论：
tg 1 /tg 2 = 1 / 2
1 2
E2t
E2
E1n
P
1
E1t
E1
2
E2n
8
4、电位的边界条件：
设在分界面两侧各取两点A、B，间距为d 0
D2n – D1n =
E1t = E2t
2
2
n
B
1
1
n
0
1 2 A E • dl End 0
1 2
1A B 2
ez
x y z x y z
Ax Ay Az 3 x 4 y 5z
5z 4y 3x 5z 4y 3x
( y
z
)ex (
z
x )ey ( x
y
)ez
=0
可能为静电场。
4
例2 半径为a的球中充满密度为(r)的电荷，已知电场为
r 3 Ar 2
Er
(a
5
Aa4 ) / r 2
ra ra
求电荷密度 (r) 。（书P20例1－9）
d 21
dx 2
d 22
dx 2
0 0
21
C1 x C3 x
C2 C4
1E1
2
E2
D1
D2
d1
d2
0
1 12
1
x0 U0
0
x(d1 d2 )
xd1
2 xd1
d1
dx
xd1
2
d 2
dx
xd1
U0
要确定泊松方程或拉普拉 斯方程通解的待定系数， 必须利用场域的边界条件 和分界面上的衔接条件。21
（1）采用任何一种方法求解静电场问题，只要解 满足唯一性定理的条件，这个解就是我们要求的 静电场的解。如镜像法和电轴法就是以唯一性定 理为依据的。 （2）检验解的正确性。
27
例1、平板空气电容器中分布有体密度为的电荷，尺寸如图，
两板间电压为U0 ，求电场分布。（书P26例1-13）
解：将其视为无限大平板的情况，则仅为x的函数。
28
例2：长直同轴电缆尺寸如图。写出静电场边值问题。(书P26例1-12)
解：由于场分布的对称性，取整个场域的1/4计算。
2
2
x 2
2
y 2
0
y
|(x=b,0<y<b) = |(y=b,0<x<b)=U0
0 ( x2 y2 a2 , x0, y0)
Ex = 0 Ey = 0
0 x ( x0,b ya )
(
)
n S
f3(s)
23
边值问题 研究方法
作图法 计算法
定性 定量
解析法
实验法
数值法 实测法 模拟法
积分法 分离变量法 镜像法、电轴法 微分方程法 保角变换法
••••
有限差分法 有限元法
边界元法 矩量法 模拟电荷法
••••
25
§1.4.3 唯一性定理
一、唯一性定理内容：
在静电场中，凡满足①电位微分方程、②给定的
答：（B）
14
3、 两 个 板 间 距 相 同 的 平 行 板 电 容 器， 如 图 所 示。 内 部 充 满 两 种 介 质， 介 电 常 数 如 图 中 所 标， 若 介 质 的 击 穿 场 强 都 一 样 时， 且 两 个 电 容 上 的U0都 以 同 一 比 例 逐 渐 增 大， 则 首 先 被击穿的介质是
2. 高斯定理：电位移的闭合面积 分为面内包含的总自由电荷；
微 E 0
分 形 式
•D
D Ε
3. 旋度：静电场为无旋场；
4. 散度：静电场为有源场，电 位移的源为自由电荷；
3
例1：已知
A 3xex 4 yey
5ze，z 问：是否可能为静电场？
解：
ex
A
ey
ez
ex
ey
解：
• D
0 •
E
0
1 r2
r
(r 2Er )
0
(5r
2
4
Ar)
ra
0
ra
5
§1.3.2 分界面上的衔接条件
1、电位移D的边界条件：
SD • dS q
证明：作一圆柱体，
设高△l0， 底面△S上D均匀
左 SD • dS
0
D1nS D2nS
D • dS
圆 柱 面S 0
右=q= △S +(1+ 2) (△l△S) /2
A. 介 质 Ⅳ B. 介 质 Ⅰ C. 介 质 Ⅱ
答：（C ）
ⅠⅡ
r 4 r 2 dd
22
U0
Ⅲ r 4 Ⅳ r 2
d
U0
15
§1.4 静电场边值问题
唯一性定理
19
§1.4.1 泊松方程和拉普拉斯方程
1、泊松方程、拉普拉斯方程的推导：
E 0
• D
D E
0 （均匀电介质）
E = -
应用
1
§1.3 静电场的基本方程，分界面衔接条件 §1.3.1 静电场的基本方程 §1.3.2 分界面上的衔接条件
2
§1.3.1 静电场的基本方程
一、基本方程：
积 E • dl 0
分 l
形 D • dS q
式 S
D E
二、静电场的性质：
1. 环路特性：场强的环路线 积分为0(保守场)
1
2
△S
P
1
D1
△l
D2
2
结论： D2n – D1n =
n为介质1的外法线方向
为分界面上分布的自由电荷的面密度
D2 cos 2 – D1 cos 1 =
6
2、电场强度E的边界条件：
l E • dl 0
证明：作一矩形为闭合回路，
设边△l20，边△l1上E均匀
左 l E • dl
0
E1tl1 E2tl1
边界条件（包括不同介质的分界面衔接条件及其 场域的边界条件）的解φ是给定场的唯一解。
静电场
方程一定
泊松方程2
或拉普拉斯方程 2 0
边界一定 不同介质的分界面衔接条件 场域的边界条件
解唯一
二、唯一性定理证明：略
三、唯一性定理意义：殊途同归
26
唯一性定理在静电场的分析计算中起什么作用？ 试举例说明。(书P66思考题1-27)
第一章 静电场
§1.1 电场强度，电位
实验基础与理论基础
§1.2 高斯定律 §1.3 静电场的基本方程，
分界面上的衔接条件
§1.4 静电场边值问题，唯一性定理 §1.5 分离变量法 §1.6 有限差分法 §1.7 镜像法和电轴法
静电场的 基本方程
基本方程的解
§1.8 电容和部分电容 §1.9 静电能量与力
例1、两平行板电容器，两区域的场强E 、电位移D是 否相等？分别求其中的电场强度。（书P22例1-11）
解a： E1 E2 D1 = D2
E11Ed11
2 E2
E2d2
U0
E1
E2
2U0
1d2 2d1 1U 0
1d2 2d1
1 2
E1 E2
d1D1
dD22
0
U0 图a
+q0
1
1 n
2
2 n
区域，则无限远 处电位有限
第三类
lim r 有限值
r
边界条件
已如知：场已域知边导界体 上电各位点电位值
|S = f1(s)
已如知：场已域知边导界体上表各面 点电电荷位密的度法向导数
n S f2(s)
如一：、已二知类一边些界带条电件体的电线位性和组另外 合一，些即带电体的电荷面密度
E • dl
l2
右=0
结论： E1t = E2t
1 2
E2t
E2
E1n P
E1t E1
E2n
△l1
△l2
场强的切向分量连续，与面电荷无关
7
3、折射定理：
设两种电介质1 、2均为线性、各向同性，分界面上无自由电荷
D2n – D1n = =0
E1t = E2t
D1 = 1 E1 D2 = 2 E2 1 E1cos 1= 2 E2cos 2
A. E1 E2 D1 D2
R2
B. E1 E2
C. E1 E2
D1 D2 D1 D2
答：（ ）
R1
1 2
13
2、板 间 介 质 为 空 气， 板 间 距 离 为d的 平 行 板 电 容 器 ， 两 板 分 别 与 恒 定 电 压 源的两 极 相 连 ，
设 此 时 电 容 器 极 板 间 电 场 强 度 为 E0， 现 将 该 电 容 器 的 一 半 空 间 填 以εr＝2的 电 介 质， 且 保 持 介 质 分 界 面 与 极 板 平 面 平 行， 忽 略 端 部
• (E) • E E •
• ( )
▽ 2 = - / 泊松方程
若=0 ▽ 2 = 0 拉普拉斯方程
▽2:拉普拉斯算子。
在直角坐标系下：
2
2 x 2
2 y 2
2 z 2
20
举例说明边界条件和分界面上的衔接条件在 静电场分析计算中的应用。(书P66思考题1-25）
21
2 2
0 y
( y0,b xa)
a
0b
U0
x
29
作业
P24 1-3-1 P30 1-4-3 P67 1－5，1－6
35
2
d 2
结论：
tg 1 /tg 2 = 1 / 2
1 2
E2t
E2
E1n
P
1
E1t
E1
2
E2n
8
4、电位的边界条件：
设在分界面两侧各取两点A、B，间距为d 0
D2n – D1n =
E1t = E2t
2
2
n
B
1
1
n
0
1 2 A E • dl End 0
1 2
1A B 2
ez
x y z x y z
Ax Ay Az 3 x 4 y 5z
5z 4y 3x 5z 4y 3x
( y
z
)ex (
z
x )ey ( x
y
)ez
=0
可能为静电场。
4
例2 半径为a的球中充满密度为(r)的电荷，已知电场为
r 3 Ar 2
Er
(a
5
Aa4 ) / r 2
ra ra
求电荷密度 (r) 。（书P20例1－9）
d 21
dx 2
d 22
dx 2
0 0
21
C1 x C3 x
C2 C4
1E1
2
E2
D1
D2
d1
d2
0
1 12
1
x0 U0
0
x(d1 d2 )
xd1
2 xd1
d1
dx
xd1
2
d 2
dx
xd1
U0
要确定泊松方程或拉普拉 斯方程通解的待定系数， 必须利用场域的边界条件 和分界面上的衔接条件。21
（1）采用任何一种方法求解静电场问题，只要解 满足唯一性定理的条件，这个解就是我们要求的 静电场的解。如镜像法和电轴法就是以唯一性定 理为依据的。 （2）检验解的正确性。
27
例1、平板空气电容器中分布有体密度为的电荷，尺寸如图，
两板间电压为U0 ，求电场分布。（书P26例1-13）
解：将其视为无限大平板的情况，则仅为x的函数。
28
例2：长直同轴电缆尺寸如图。写出静电场边值问题。(书P26例1-12)
解：由于场分布的对称性，取整个场域的1/4计算。
2
2
x 2
2
y 2
0
y
|(x=b,0<y<b) = |(y=b,0<x<b)=U0
0 ( x2 y2 a2 , x0, y0)
Ex = 0 Ey = 0
0 x ( x0,b ya )
(
)
n S
f3(s)
23
边值问题 研究方法
作图法 计算法
定性 定量
解析法
实验法
数值法 实测法 模拟法
积分法 分离变量法 镜像法、电轴法 微分方程法 保角变换法
••••
有限差分法 有限元法
边界元法 矩量法 模拟电荷法
••••
25
§1.4.3 唯一性定理
一、唯一性定理内容：
在静电场中，凡满足①电位微分方程、②给定的
答：（B）
14
3、 两 个 板 间 距 相 同 的 平 行 板 电 容 器， 如 图 所 示。 内 部 充 满 两 种 介 质， 介 电 常 数 如 图 中 所 标， 若 介 质 的 击 穿 场 强 都 一 样 时， 且 两 个 电 容 上 的U0都 以 同 一 比 例 逐 渐 增 大， 则 首 先 被击穿的介质是
2. 高斯定理：电位移的闭合面积 分为面内包含的总自由电荷；
微 E 0
分 形 式
•D
D Ε
3. 旋度：静电场为无旋场；
4. 散度：静电场为有源场，电 位移的源为自由电荷；
3
例1：已知
A 3xex 4 yey
5ze，z 问：是否可能为静电场？
解：
ex
A
ey
ez
ex
ey
解：
• D
0 •
E
0
1 r2
r
(r 2Er )
0
(5r
2
4
Ar)
ra
0
ra
5
§1.3.2 分界面上的衔接条件
1、电位移D的边界条件：
SD • dS q
证明：作一圆柱体，
设高△l0， 底面△S上D均匀
左 SD • dS
0
D1nS D2nS
D • dS
圆 柱 面S 0
右=q= △S +(1+ 2) (△l△S) /2
A. 介 质 Ⅳ B. 介 质 Ⅰ C. 介 质 Ⅱ
答：（C ）
ⅠⅡ
r 4 r 2 dd
22
U0
Ⅲ r 4 Ⅳ r 2
d
U0
15
§1.4 静电场边值问题
唯一性定理
19
§1.4.1 泊松方程和拉普拉斯方程
1、泊松方程、拉普拉斯方程的推导：
E 0
• D
D E
0 （均匀电介质）
E = -
应用
1
§1.3 静电场的基本方程，分界面衔接条件 §1.3.1 静电场的基本方程 §1.3.2 分界面上的衔接条件
2
§1.3.1 静电场的基本方程
一、基本方程：
积 E • dl 0
分 l
形 D • dS q
式 S
D E
二、静电场的性质：
1. 环路特性：场强的环路线 积分为0(保守场)
1
2
△S
P
1
D1
△l
D2
2
结论： D2n – D1n =
n为介质1的外法线方向
为分界面上分布的自由电荷的面密度
D2 cos 2 – D1 cos 1 =
6
2、电场强度E的边界条件：
l E • dl 0
证明：作一矩形为闭合回路，
设边△l20，边△l1上E均匀
左 l E • dl
0
E1tl1 E2tl1
边界条件（包括不同介质的分界面衔接条件及其 场域的边界条件）的解φ是给定场的唯一解。
静电场
方程一定
泊松方程2
或拉普拉斯方程 2 0
边界一定 不同介质的分界面衔接条件 场域的边界条件
解唯一
二、唯一性定理证明：略
三、唯一性定理意义：殊途同归
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唯一性定理在静电场的分析计算中起什么作用？ 试举例说明。(书P66思考题1-27)
第一章 静电场
§1.1 电场强度，电位
实验基础与理论基础
§1.2 高斯定律 §1.3 静电场的基本方程，
分界面上的衔接条件
§1.4 静电场边值问题，唯一性定理 §1.5 分离变量法 §1.6 有限差分法 §1.7 镜像法和电轴法
静电场的 基本方程
基本方程的解
§1.8 电容和部分电容 §1.9 静电能量与力
例1、两平行板电容器，两区域的场强E 、电位移D是 否相等？分别求其中的电场强度。（书P22例1-11）
解a： E1 E2 D1 = D2
E11Ed11
2 E2
E2d2
U0
E1
E2
2U0
1d2 2d1 1U 0
1d2 2d1
1 2
E1 E2
d1D1
dD22
0
U0 图a
+q0
1
1 n
2
2 n
区域，则无限远 处电位有限
第三类
lim r 有限值
r
边界条件
已如知：场已域知边导界体 上电各位点电位值
|S = f1(s)
已如知：场已域知边导界体上表各面 点电电荷位密的度法向导数
n S f2(s)
如一：、已二知类一边些界带条电件体的电线位性和组另外 合一，些即带电体的电荷面密度
E • dl
l2
右=0
结论： E1t = E2t
1 2
E2t
E2
E1n P
E1t E1
E2n
△l1
△l2
场强的切向分量连续，与面电荷无关
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3、折射定理：
设两种电介质1 、2均为线性、各向同性，分界面上无自由电荷
D2n – D1n = =0
E1t = E2t
D1 = 1 E1 D2 = 2 E2 1 E1cos 1= 2 E2cos 2
A. E1 E2 D1 D2
R2
B. E1 E2
C. E1 E2
D1 D2 D1 D2
答：（ ）
R1
1 2
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2、板 间 介 质 为 空 气， 板 间 距 离 为d的 平 行 板 电 容 器 ， 两 板 分 别 与 恒 定 电 压 源的两 极 相 连 ，
设 此 时 电 容 器 极 板 间 电 场 强 度 为 E0， 现 将 该 电 容 器 的 一 半 空 间 填 以εr＝2的 电 介 质， 且 保 持 介 质 分 界 面 与 极 板 平 面 平 行， 忽 略 端 部
• (E) • E E •
• ( )
▽ 2 = - / 泊松方程
若=0 ▽ 2 = 0 拉普拉斯方程
▽2:拉普拉斯算子。
在直角坐标系下：
2
2 x 2
2 y 2
2 z 2
20
举例说明边界条件和分界面上的衔接条件在 静电场分析计算中的应用。(书P66思考题1-25）
21
2 2
0 y
( y0,b xa)
a
0b
U0
x
29
作业
P24 1-3-1 P30 1-4-3 P67 1－5，1－6
35
2
d 2