高考导数专题复习

高考数学专题复习——导数

一、有关切线的相关问题

二、导数单调性、极值、最值的直接应用

三、交点与根的分布

1、判断零点个数

2、已知零点个数求解参数范围

四、不等式证明

1、作差证明不等式

2、变形构造函数证明不等式

3、替换构造不等式证明不等式

五、不等式恒成立求参数范围

1、恒成立之最值的直接应用

2、恒成立之分离常数

3、恒成立之讨论参数范围

六、函数与导数性质的综合运用

导数运用中常见结论

(1)曲线()y f x =在0x x =处的切线的斜率等于0()f x '，且切线方程为

000()()()y f x x x f x '=-+。

(2)若可导函数()y f x =在

0x x = 处取得极值，则0()0f x '=。反之，不成立。

(3)对于可导函数()f x ，不等式()f x '0>0<（）的解集决定函数()f x 的递增（减）区间。 (4)函数()f x 在区间I 上递增（减）的充要条件是：x I ?∈()f x '0≥(0)≤恒成立（()f x ' 不

恒为0）.

(5)函数()f x （非常量函数）在区间I 上不单调等价于()f x 在区间I 上有极值，则可等价转化为方程()0f x '=在区间I 上有实根且为非二重根。（若()f x '为二次函数且I=R ，则有

0?>）。

(6) ()f x 在区间I 上无极值等价于()f x 在区间在上是单调函数，进而得到()f x '0≥或

()f x '0≤在I 上恒成立

(7)若x I ?∈， ()f x 0>恒成立，则min ()f x 0>; 若x I ?∈， ()f x 0<恒成立，则

max ()f x 0<

(8)若0x I ?

∈，使得0()f x 0>，则max ()f x 0>；若0x I

?∈，使得0()f x 0<，则

min ()f x 0<.

(9)设()f x 与()g x 的定义域的交集为D ，若x ?

∈D ()()f x g x >恒成立，则有

[]min ()()0f x g x ->.

(10)若对11x I ?

∈、22x I ∈ ， 12()()f x g x >恒成立，则min max ()()f x g x >. 若对11x I ?∈， 22x I ?∈，使得12()()f x g x >,则min min ()()f x g x >. 若对11x I ?

∈， 22x I ?∈，使得12()()f x g x <，则max max ()()f x g x <.

（11）已知()f x 在区间1I 上的值域为A,， ()g x 在区间2I 上值域为B ，

若对11x I ?

∈,22x I ?∈，使得1()f x =2()g x 成立，则A B ?。

(12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程()0f x '=有两个不等实根12x x 、，

且极大值大于0，极小值小于0. (13)证题中常用的不等式:

① ln 1(0)x x x ≤-> ②≤ln +1(1)x x x ≤>-（） ③

1x e x ≥+ ④

1x e x -≥-

⑤ ln 1(1)12x x x x -<>+ ⑥ 22ln 11(0)22x x x x <->

⑦ sinx

e (x>0)

1 x

x +

一、有关切线的相关问题

例题、【2019高考新课标1，理21】已知函数f （x ）=31

,()ln 4

x ax g x x ++=-. (Ⅰ)当a 为何值时， x 轴为曲线()y f x = 的切线；【答案】（Ⅰ）34

a =

跟踪练习：

1、(2019课标全国Ⅰ，理21)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ， g (x )＝e x (cx ＋d )．若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2. (1)求a ， b ， c ， d 的值；

解：(1)由已知得f (0)＝2， g (0)＝2， f ′(0)＝4， g ′(0)＝4. 而f ′(x )＝2x ＋a ， g ′(x )＝e x (cx ＋d ＋c )，故b ＝2， d ＝2， a ＝4， d ＋c ＝4. 从而a ＝4， b ＝2， c ＝2， d ＝2.

2、【2019高考新课标1，理21】已知函数ln ()1a x b

f x x x

=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。（Ⅰ）求a 、b 的值；

解：（Ⅰ）22

(

ln )

'()(1)x x b x f x x x

α+-=

由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1,

1'(1),2

f f =??

?=-??即

1,1,22

b a b =???-=-??

解得1a =， 1b =。

3、 (2019课标全国Ⅰ，理21)设函数1

(0ln x x

be f x ae x x

-=+，曲线()y f x =在点（1，

(1)f 处的切线为(1)2y e x =-+. (Ⅰ)求,a b ；

【解析】：(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为()0,+∞， 112()ln x

x x x a b b f x ae x e e e x x x

--'=+-+

由题意可得(1)2,(1)f f e '==，故1,2a b == ……………6分

二、导数单调性、极值、最值的直接应用（一）单调性

1、根据导数极值点的相对大小进行讨论例题：【2019高考江苏， 19】

已知函数),()(2

R b a b ax x x f ∈++=.

（1）试讨论)(x f 的单调性；

【答案】（1）当0a =时， ()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a >时， ()f x 在2,3a ?

?-∞-

???， ()0,+∞上单调递增，在2,03a ??

- ???

上单调递减；

当0a <时， ()f x 在(),0-∞， 2,3a ??-+∞ ???上单调递增，在20,3a ?

?- ??

?上单调递减．

当0a <时， ()2,0,3a x ??∈-∞-

+∞ ???U 时， ()0f x '>， 20,3a x ?

?∈- ???

时， ()0f x '<，所以函数()f x 在(),0-∞， 2,3a ??-+∞ ???上单调递增，在20,3a ??- ??

?上单调递减．

练习：1、已知函数1()ln 1a

f x x ax x

-=-+

-()a ∈R . ⑴当1

a ≤

时，讨论()f x 的单调性；答案：⑴1()ln 1(0)a f x x ax x x -=-+->， 222

l 11

()(0)a ax x a f x a x x x x --++-'=-+=> 令2

()1(0)h x ax x a x =-+->

①当0a =时， ()1(0)h x x x =-+>，当(0,1),()0,()0x h x f x '∈><,函数()f x 单调递减；当(1,),()0,()0x h x f x '∈+∞<>，函数()f x 单调递增.

②当0a ≠时，由()0f x '=，即210ax x a -+-=，解得121

1,1x x a

==-. 当1

2a =

时12x x =， ()0h x ≥恒成立，此时()0f x '≤，函数()f x 单调递减；当102a <<时， 1

110a ->>,(0,1)x ∈时()0,()0h x f x '><，函数()f x 单调递减；

(1,1)x a ∈-时， ()0,()0h x f x '<>，函数()f x 单调递增；

(1,)x a

∈-+∞时， ()0,()0h x f x '><，函数()f x 单调递减.

当0a <时1

10a

-<，当(0,1),()0,()0x h x f x '∈><,函数()f x 单调递减；

当(1,),()0,()0x h x f x '∈+∞<>，函数()f x 单调递增.

综上所述：当0a ≤时，函数()f x 在(0,1)单调递减， (1,)+∞单调递增；

当1

2a =时12x x =,()0h x ≥恒成立,此时()0f x '≤，函数()f x 在(0,)+∞单调递减；当102a <<时,函数()f x 在(0,1)递减,1(1,1)a -递增,1

(1,)a

-+∞递减.

2、已知a 为实数，函数()(1)e x f x ax =+，函数1

()1g x ax

=-，令函数()()()F x f x g x =?．当0a <时，求函数()F x 的单调区间．

解：函数1()e 1x ax F x ax +=

-，定义域为1x x a ?

?≠???

?．

当0a <时， 222

()

21()e e (1)(1)x

x a a x a x a a F x ax ax +--

-++'=

--．令()0F x '=，得22

a x a +=

． ……………………………………9分 ①当210a +<，即1

a <-时， ()0F x '<．

∴当12a <-时，函数()F x 的单调减区间为1(,)a -∞， 1

(,)a +∞．………………11分

②当102a -<<时，解2221

a x a

+=得122121a a x x ++==． ∵

121

a a +<

∴令()0F x '<，得1(,)x a ∈-∞， 11

(,)x x a

∈， 2(,)x x ∈+∞；

令()0F x '>，得12(,)x x x ∈． ……………………………13分 ∴当102a -<<时，函数()F x 的单调减区间为1

(,)a -∞， 121()a a +，

21()a ++∞；函数()F x 单调增区间为2121

(a a ++． …………15分 ③当210a +=，即1

a =-时，由（2）知，函数()F x 的单调减区间为(,2)-∞-及

(2,)-+∞

2、根据判别式进行讨论

例题：【2019高考四川，理21】已知函数2

()2()ln 22f x x a x x ax a a =-++--+，其

中0a >.

（1）设()g x 是()f x 的导函数，评论()g x 的单调性；【答案】（1）当104a <<

时， ()g x 在区间114114),()a a --+-+∞上单调递增，在区间114114(a a --+-上单调递减；当14a ≥时， ()g x 在区间(0,)+∞上

单调递增.

【解析】（1）由已知，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，

()()222ln 2(1)a

g x f x x a x x '==---+，

所以222112()2()

2224()2x a a g x x x x

-+-'=-+=. 当104a <<

时， ()g x 在区间114114),()a a --+-+∞上单调递增，在区间114114(

a a

--+-上单调递减；当1

a ≥

时， ()g x 在区间(0,)+∞上单调递增. 练习：已知函数()ln a

f x x x x

=--

， a ∈R ．（1）求函数()f x 的单调区间；解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞．

222

1()1a x x a

f x x x x -++'=-+=．

令()0f x '=，得20x x a -++=，记14a ?=+．

（ⅰ）当1

4a -≤时， ()0f x '≤，所以()f x 单调减区间为(0,)+∞； …………5分

（ⅱ）当1

a >-时，由()0f x '=得12114114a a x x ++-+==

①若1

a -<<，则120x x >>，

由()0f x '<，得20x x <<， 1x x >；由()0f x '>，得21x x x <<．

所以， ()f x 的单调减区间为114(0,

)a -+， 114(,)a

+++∞，单调增区间为114114(,)a a

-+++； …………………………………………………………7分

②若0a =，由（1）知()f x 单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1,)+∞；

③若0a >，则120x x >>，

由()0f x '<，得1x x >；由()0f x '>，得10x x <<．

()f x 的单调减区间为114(,)a +++∞，单调增区间为114(0,)a ++． ……9分

综上所述：当1

a -≤时， ()f x 的单调减区间为(0,)+∞；

当1

a -<<时，

()f x 的单调减区间为114(0,

-+， 114(,)a +++∞，单调增区间为114114(,)a a -+++；

当0a ≥时， ()f x 单调减区间为114(,)a

+++∞，单调增区间为

114(0,

++． ………………………………………………………10分

2. 已知函数1

()()2ln ()f x a x x a x

=--∈R ．

求函数()f x 的单调区间；

解：函数的定义域为()0,+∞， 222

122()(1)ax x a

f x a x x x

-+'=+-=． ……………1分（1）当0a ≤时， 2()20h x ax x a =-+<在(0,)+∞上恒成立，

则()0f x '<在(0,)+∞上恒成立，此时()f x 在(0,)+∞上单调递减． ……………4分（2）当0a >时， 2

44a ?=-，

（ⅰ）若01a <<，

由()0f x '>，即()0h x >，得211a x a -<或2

11a x a

->； ………………5分

由()0f x '<，即()0h x <， 22

1111a a x --+-<<．………………………6分

所以函数()f x 的单调递增区间为211(0,a a -和2

11()a a

-+∞，

单调递减区间为22

1111a a --+-． ……………………………………7分（ⅱ）若1a ≥， ()0h x ≥在(0,)+∞上恒成立，则()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，此时()f x 在(0,)+∞上单调递增． …………………………………………………………… 3、含绝对值的函数单调性讨论

例题：已知函数()ln f x x x a x =--.

（1）若a =1，求函数()f x 在区间[1,]e 的最大值; （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若()0f x >恒成立，求a 的取值范围解：（1）若a =1, 则()1ln f x x x x =--．

当[1,]x e ∈时, 2

()ln f x x x x =--,2'

121

()210x x f x x x x

--=--=

>，所以()f x 在[1,]e 上单调增, 2

max ()()1f x f e e e ∴==--. ……………2分

（2）由于()ln f x x x a x =--， (0,)x ∈+∞．

（ⅰ）当0a ≤时，则2

()ln f x x ax x =--， 2'

121

()2x ax f x x a x x

--=--=，

令'

()0f x =，得208

a a x +=>（负根舍去），

且当0(0,)x x ∈时， '()0f x <；当0(,)x x ∈+∞时， '

()0f x >，

所以()f x 在28(0,4a a +上单调减，在28

()4

a a ++∞上单调增.……4分

（ⅱ）当0a >时，

①当x a ≥时， 2'

121

()2x ax f x x a x x

--=--=,

令'

()0f x =，得2184a a x +=（28

a a x a +=<舍），

若28

4a a a +≤，即1a ≥, 则'()0f x ≥，所以()f x 在(,)a +∞上单调增；

28a a a ++>，

即01a <<, 则当1(0,)x x ∈时， '()0f x <；当1(,)x x ∈+∞时， '

()0f x >，所以()f x 在区间28a a ++上是单调减，在28

()a a +++∞上单调

增. ……………………………………………6分

②当0x a <<时, 2'

121

()2x ax f x x a x x

-+-=-+-=,

令'

()0f x =，得2210x ax -+-=，记2

8a ?=-，

若2

80a ?=-≤，即022a <≤则'

()0f x ≤，故()f x 在(0,)a 上单调减；

若2

80a ?=->，即22a >

则由'

()0f x =得2384a a x -=， 248

a a x -=且340x x a <<<，

当3(0,)x x ∈时， '()0f x <；当34(,)x x x ∈时， '

()0f x >；当4(,)x x ∈+∞ 时，

()0f x >，所以()f x 在区间28

(0,4

a a -上是单调减，在

2288a a a a --+-上单调增；在28

()

a a +-+∞上单调

减. …………………………………………8分

综上所述，当1a <时,()f x 单调递减区间是28

a a ++ ， ()f x 单调递增区

间

是28()a a +++∞；

当122a ≤≤, ()f x 单调递减区间是(0,)a ， ()f x 单调的递增区间是

(,)a +∞；

当22a >, ()f x 单调递减区间是(0, 28a a --)和28

()a a a +-，

()f x 单调的递增区间是2288

(

a a a a -+-和(,)a +∞. ………………10分（3）函数()f x 的定义域为(0,)x ∈+∞．由()0f x >，得ln x

x a x

． * （ⅰ）当(0,1)x ∈时， 0x a -≥， ln 0x

<，不等式*恒成立，所以R a ∈；（ⅱ）当1x =时， 10a -≥，

ln 0x

=，所以1a ≠； ………………12分（ⅲ）当1x >时，不等式*恒成立等价于ln x a x x <-

恒成立或ln x

a x x

>+恒成立．令ln ()x

h x x x =-，则221ln ()x x h x x -+'=．

因为1x >，所以()0h x '>，从而()1h x >．因为ln x

a x x

恒成立等价于min (())a h x <，所以1a ≤．令ln ()x

g x x x

=+，则221ln ()x x g x x +-'=．

再令2()1ln e x x x =+-，则1

()20e x x x '=->在(1,)x ∈+∞上恒成立， ()e x 在(1,)

x ∈+∞上无最大值．

综上所述，满足条件的a 的取值范围是(,1)-∞． …………………………16分 2．设a 为实数，函数2

()||f x x x a =-

（2）求函数()f x 的单调区间

4、分奇数还是偶数进行讨论

例题：【2019高考天津，理20已知函数()n ,n

f x x x x R =-∈，其中*

n ,n 2N ∈≥.

(I)讨论()f x 的单调性；

【答案】(I) 当n 为奇数时， ()f x 在(,1)-∞-， (1,)+∞上单调递减，在(1,1)-内单调

递增；当n 为偶数时， ()f x 在(,1)-∞-上单调递增， ()f x 在(1,)+∞上单调递减. (II)见解析； (III)见解析.

(2)当n 为偶数时，

当()0f x '>，即1x <时，函数()f x 单调递增；当()0f x '<，即1x >时，函数()f x 单调递减.

所以， ()f x 在(,1)-∞-上单调递增， ()f x 在(1,)+∞上单调递减. 5、已知单调区间求参数范围

例题：（14年全国大纲卷文）函数f(x )=a x 3+3x 2+3x (a ≠0).

（1）讨论函数f(x )的单调性；

（2）若函数f(x )在区间（1， 2）是增函数，求a 的取值范围.

解：（1）2

()363f x ax x '=++， 2

()3630f x ax x '=++=的判别式△=36（1-a ）. （i ）若a ≥1，则()0f x '≥，且()0f x '=当且仅当a=1， x =-1，故此时f （x ）在

R 上是增函数.

（ii ）由于a ≠0，故当a<1时， ()0f x '=有两个根：121111,a a

x x a a

-+----=

，若0，故f （x ）在（－∞， x 2），（x 1， +∞）上是增函数；

当x ∈（x 2， x 1）时， ()0f x '<，故f （x ）在（x 2， x 1）上是减函数；（2）当a>0， x >0时, ()0f x '>，所以当a>0时， f （x ）在区间（1， 2）是增函数.

若a<0时， f （x ）在区间（1,2）是增函数当且仅当(1)0f '≥且(2)0f '≥，解得

a -

≤<. 综上， a 的取值范围是5

[,0)(0,)4

+∞U . 二、极值

（一）判断有无极值以及极值点个数问题

例题：【2019高考山东，理21】设函数()()()

2ln 1f x x a x x =++-，其中a R ∈. （Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由；

（2）当0a > 时， ()()2

8198a a a a a ?=--=-

①当8

a <≤

时， 0?≤ ， ()0g x ≥ 所以， ()0f x '≥，函数()f x 在()1,-+∞上单调递增无极值； ②当8

a >

时， 0?> 设方程2210ax ax a ++-=的两根为1212,(),x x x x < 因为1212

x x +=- 所以， 1211,44

x x <-

>- 由()110g -=>可得：11

1,4

x -<<-

所以，当()11,x x ∈-时， ()()0,0g x f x '>> ，函数()f x 单调递增；当()12,x x x ∈时， ()()0,0g x f x '<< ，函数()f x 单调递减；当()2,x x ∈+∞时， ()()0,0g x f x '>> ，函数()f x 单调递增；因此函数()f x 有两个极值点．（3）当0a < 时， 0?> 由()110g -=>可得：11,x <-

当()21,x x ∈-时， ()()0,0g x f x '>> ，函数()f x 单调递增；当()2,x x ∈+∞时， ()()0,0g x f x '<< ，函数()f x 单调递减；因此函数()f x 有一个极值点．综上：

当0a < 时，函数()f x 在()1,-+∞上有唯一极值点；当8

a ≤≤时，函数()f x 在()1,-+∞上无极值点；当8

a >

时，函数()f x 在()1,-+∞上有两个极值点；例题：【2019高考安徽，理21】设函数2

()f x x ax b =-+.

（Ⅰ）讨论函数(sin )f x 在(,)22

ππ

-内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；

【解析】

（Ⅰ）2(sin )sin sin sin (sin )f x x a x b x x a b =-+=-+， 2

x π

-<<

[(sin )]'(2sin )cos f x x a x =-， 2

x π

-<<

因为2

x π

，所以cos 0,22sin 2x x >-<<.

①当2,a b R ≤-∈时，函数(sin )f x 单调递增，无极值. ②当2,a b R ≥∈时，函数(sin )f x 单调递减，无极值. ③当22a -<<，在(,)22

ππ

-内存在唯一的0x ，使得02sin x a =. 02

x x π

<≤时，函数(sin )f x 单调递减；02

x x π

时，函数(sin )f x 单调递增.

因此， 22a -<<， b R ∈时，函数(sin )f x 在0x 处有极小值

0(sin )()24

a a f x f

b ==-.

（二）已知极值点个数求参数范围

例题：【14年山东卷（理）】设函数())ln 2

(2x x

k x e x f x +-=（k 为常数， 2.71828e =L

是自然对数的底数）

（I ）当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间；

（II ）若函数()f x 在()0,2内存在两个极值点，求k 的取值范围。

()

() ()

）。

的取值范围为（

综上

则

）令

（

单调递增。

时，

当

单调递减；

时，

当

则

令

时，

当

）

解：（

)2(

)0(

)

(

)

(

)

,2(

)

(

)2,0(

)

(

)

)(

(

)

(

)

(

∴

+∞

∈

∴

≤

练习：1、【2019年天津卷（理）】

2、（2019湖南）（本小题满分13分）

已知常数0a >，函数2()ln(1)2

f x ax x =+-

+. （Ⅰ）讨论()f x 在区间(0,)+∞上的单调性；

（Ⅱ）若()f x 存在两个极值点12,x x ，且12()()0f x f x +>，求a 的取值范围.

【解析】（Ⅰ）()()24

'12a f x ax x =-++()()()()2

224112a x ax ax x +-+=++()()()

4112ax a ax x +-=++,（*）

因为()()2

120ax x ++>,所以当10a -≤时,

当1a ≥时,()'0f x ≥,此时，函数()f x 在()0,+∞单调递增,

当01a <<时, ()1211'02

,2a a

f x x x a a

--=?==-（舍去），当1(0,)x x ∈时， ()'0f x <；当1(,)x x ∈+∞时， ()'0f x <.

故()f x 在区间1(0,)x 单调递减,在1(,)x +∞单调递增的. 综上所述

当1a ≥时,()'0f x ≥,此时，函数()f x 在()0,+∞单调递增,

当01a <<时, ()f x 在区间10,2a a ??

- ? ???上单调递减,在12a a ??-+∞ ? ???

上单调递增的.

（Ⅱ）由（*）式知，当1a ≥时， ()'0f x ≥函数()f x 不存在极值点，因而要使

得()f x 有两个极值点，必有01a <<，又()f x 的极值点只可能是112

x a

-=212

x a

-=- 且由()f x 的定义可知， 1x a >-且2x ≠-，所以112a a a -->-， 122a

--≠-，

解得1

a ≠-，此时，（*）式知1x ,2x 分别是()f x 的极小值点和极大值点，而

12121222()()ln(1)ln(1)22

x x f x f x ax ax x x +=+-++-++

()()()12122

1212121244ln 1224

x x x x a x x a x x x x x x ++??=+++-

??+++

()()()2

412

ln 21ln 21221

a a a a a -=--

=-+

--- 令21a x -=，由01a <<且

12a ≠-

知

当102a <<时,10;x -<< 当112

a <<时,0 1.x <<记22

()ln 2g x x x =+-

（ⅰ）当10x -<<时， ()2

()2ln 2g x x x

=-+-，所以 22

2222

'()x g x x x x -=-=

因此， ()g x 在()1,0-上单调递减，从而()(1)40g x g <-=-<，

故当1

a <<

时， 12()()0f x f x +<

（ⅱ）当01x <<时， 2

()2ln 2g x x x

=+-，所以 22

2222

'()x g x x x x -=-=

因此， ()g x 在()0,1上单调递减，从而()(1)0g x g >=，

故当

a <<时， 12()()0f x f x +> 综上所述，满足条件的a 的取值范围是为1,12??

???

【考点定位】函数与导数：应用导数研究函数单调性与极值，不等式. （三）最值

专题一(高考中的导数)

专题一：高考函数与导数问题的求解策略（第7周第2个）一、利用导数研究函数的单调性、极值、最值例1、已知函数R a e x x f ax ∈=-,)(2 . (1)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )的图象在点(－1，f (－1))处的切线方程． (2)讨论f (x )的单调性．【思路点拨】 (1)先求切点和斜率，再求切线方程； (2)先求f ′(x )，然后分a ＝0，a ＞0，a ＜0三种情况求解．【规范解答】 (1)因为当a ＝1时，f (x )＝x 2e －x ，f ′(x )＝2x e －x －x 2e －x ＝(2x －x 2)e －x ，所以f (－1)＝e ，f ′(－1)＝－3e. 从而y ＝f (x )的图象在点(－1，f (－1))处的切线方程为y －e ＝－3e(x ＋1)，即y ＝－3e x －2e. (2)f ′(x )＝2x e －ax －ax 2e －ax ＝(2x －ax 2)e －ax . ①当a ＝0时，若x ＜0，则f ′(x )＜0，若x ＞0，则f ′(x )＞0. 所以当a ＝0时，函数f (x )在区间(－∞，0)上为减函数，在区间(0，＋∞)上为增函数． ②当a ＞0时，由2x －ax 2＜0，解得x ＜0或x ＞2a ，由2x －ax 2＞0，解得0＜x ＜2 a . 所以当a ＞0时，函数f (x )在区间(－∞，0)，(2a ，＋∞)上为减函数，在区间(0，2 a ) 上为增函数． ③当a ＜0时，由2x －ax 2＜0，解得2a ＜x ＜0，由2x －ax 2＞0，解得x ＜2 a 或x ＞0. 所以，当a ＜0时，函数f (x )在区间(－∞，2a )，(0，＋∞)上为增函数，在区间(2 a ， 0)上为减函数．综上所述，当a ＝0时，f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，f (x )在(－∞，0)，(2 a ，＋∞)上单调递减，在(0，2 a )上单调递增；当a ＜0 时，f (x )在(2a ，0)上单调递减，在(－∞，2 a )，(0，＋∞)上单调递增．【反思启迪】 1.本题(2)中f ′(x )＝(2x －ax 2)e －ax ，f ′(x )的符号由2x －ax 2确定，从而把问题转化为确定2x －ax 2的符号问题． 2．判断函数的单调性，求函数的单调区间、极值等问题，最终归结到判断f ′(x )的符号问题上，而f ′(x )＞0或f ′(x )＜0，最终可转化为一个一元一次或一元二次不等式问题．

2009至2018年北京高考真题分类汇编之导数大题

2009至2018年北京高考真题分类汇编之导数大题精心校对版题号一总分得分△注意事项：1.本系列试题包含2009年-2018年北京高考真题的分类汇编。2.本系列文档有相关的试题分类汇编，具体见封面。3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科一、解答题（本大题共10小题，共0分）1.（2013年北京高考真题数学(文)）已知函数2()sin cos f x x x x x （1）若曲线()y f x 在点(,())a f a 处与直线y b 相切，求a 与b 的值。（2）若曲线()y f x 与直线y b 有两个不同的交点，求b 的取值范围。2.（2012年北京高考真题数学(文)）已知函数2()1(0)f x ax a ，3()g x x bx ．（Ⅰ）若曲线()y f x 与曲线()y g x 在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，求,a b 的值；（Ⅱ）当3a ，9b 时，若函数()()f x g x 在区间[,2]k 上的最大值为28，求k 的取值范围．3.（2011年北京高考真题数学(文)）已知函数()()x f x x k e . （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求()f x 在区间[0,1]上的最小值. 4.（2009年北京高考真题数学(文)）姓名：__________班级：__________考号：__________●-------------------------密--------------封- -------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●

(完整)高考文科数学导数专题复习

高考文科数学导数专题复习第1讲变化率与导数、导数的计算知识梳理 1.导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0 lim x ?→f （x 0＋Δx ）－f （x 0） Δx . (2)函数f (x )的导函数f ′(x )＝0 lim x ?→f （x ＋Δx ）－f （x ） Δx 为f (x )的导函数. 2.导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 3.基本初等函数的导数公式 4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有：考点一导数的计算【例1】求下列函数的导数： (1)y ＝e x ln x ；(2)y ＝x ? ?? ??x 2＋1x ＋1x 3；解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x 1x ＝? ?? ??ln x ＋1x e x .(2)因为y ＝x 3 ＋1＋1x 2，所以y ′＝(x 3)′＋(1)′＋? ?? ??1x 2′＝3x 2 －2x 3. 【训练1】 (1) 已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A.－e B.－1 C.1 D.e 解析由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1 x ，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.答案 B (2)(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数.若f ′(1)＝3，则a 的值为________. (2)f ′(x )＝a ? ?? ??ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x ).由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.答案 (2)3 考点二导数的几何意义命题角度一求切线方程【例2】 (2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1 －x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的切线方程是________.解析 (1)设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1 ＋x .又f (x )为偶函数，f (x )＝f (－x )＝e x －1 ＋x ，所以当x >0时，f (x )＝e x －1 ＋x .因此，当x >0时，f ′(x )＝e x －1 ＋1，f ′(1)＝e 0 ＋1＝2.则曲线y ＝f (x )在点(1， 2)处的切线的斜率为f ′(1)＝2，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. 答案 2x －y ＝0 【训练2】(2017·威海质检)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A.x ＋y －1＝0 B.x －y －1＝0 C.x ＋y ＋1＝0 D.x －y ＋1＝0

高考数学真题汇编——函数与导数

高考数学真题汇编——函数与导数 1．【2018年浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】D 点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复． 2．【2018年理天津卷】已知，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D. 【答案】D

【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意结合对数函数的性质可知：，，，据此可得：.本题选择D选项. 点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 3．【2018年理新课标I卷】已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞）【答案】C 详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.

点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果. 4．【2018年理新课标I卷】设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 【答案】D 点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果. 5．【2018年全国卷Ⅲ理】设，，则

2018年高考数学—导数专题

导数 (选修2－2P18A7改编)曲线y＝sin x x在x＝ π 2处的切线方程为() A.y＝0 B.y＝2π C.y＝－ 4 π2 x＋ 4 π D.y＝ 4 π2 x 解析∵y′＝x cos x－sin x x2，∴y′|x＝ π 2＝－ 4 π2 ，当x＝π 2时，y＝ 2 π ， ∴切线方程为y－2 π ＝－ 4 π2? ? ? ? ? x－ π 2 ，即y＝－ 4 π2 x＋ 4 π . (2016·天津卷)已知函数f(x)＝(2x＋1)e x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________. 解析因为f(x)＝(2x＋1)e x，所以f′(x)＝2e x＋(2x＋1)e x＝(2x＋3)e x，所以f′(0)＝3e0＝3. (2017·西安月考)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝________. 解析y′＝a－ 1 x＋1 ，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，所以a＝3. (2017·威海质检)已知函数f(x)＝x ln x，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为() A.x＋y－1＝0 B.x－y－1＝0 C.x＋y＋1＝0 D.x－y＋1＝0

解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0). 又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴?????y 0＝x 0ln x 0， y 0＋1＝（1＋ln x 0）x 0，解得x 0＝1，y 0＝0. ∴切点为(1，0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1. ∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. (2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________. 解析法一 ∵y ＝x ＋ln x ，∴y ′＝1＋1 x ，y ′|x ＝1＝2. ∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. ∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切， ∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行). 由?????y ＝2x －1，y ＝ax 2 ＋（a ＋2）x ＋1消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0. 由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 法二同法一得切线方程为y ＝2x －1. 设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1). ∵y ′＝2ax ＋(a ＋2)，∴y ′|x ＝x 0＝2ax 0＋(a ＋2). 由?????2ax 0＋（a ＋2）＝2，ax 20＋（a ＋2）x 0＋1＝2x 0－1，解得???x 0＝－12，a ＝8. 答案 8 (2017·西安质测)曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P

高考真题导数第一问分类汇总

切线问题 1 已知函数31()4 f x x ax =++，()ln g x x =-．当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线； 2 设函数1 (0ln x x be f x ae x x -=+，曲线()y f x =在点（1，(1)f 处的切线为(1)2y e x =-+． 3已知函数ln ()1a x b f x x x = ++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=．求a 、b 的值； 4 设函数()()23x x ax f x a R e +=∈若()f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； 5已知函数f(x)＝e x －ax(a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f(x)在点A 处的切线斜率为－1. 求a 的值及函数f(x)的极值； 6设函数，曲线在点处的切线方程为， 7已知函数．求曲线在点处的切线方程； 8设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x (cx ＋d )．若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2．求a ，b ，c ，d 的值； ()a x f x xe bx -=+()y f x =(2,(2))f (1)4y e x =-+()e cos x f x x x =-()y f x =(0,(0))f

单调性问题 1已知函数)(x f 满足212 1)0()1(')(x x f e f x f x +-=-．求)(x f 的解析式及单调区间； 2 讨论函数2()2 x x f x e x -=+ 的单调性，并证明当x >0时，(2)20x x e x -++>； 3已知函数()2x x f x e e x -=--. 讨论()f x 的单调性； 4 设1a >，函数a e x x f x -+=)1()(2．求)(x f 的单调区间； 5已知函数f (x )＝a e 2x －b e －2x －cx (a ，b ，c ∈R )的导函数f ′(x )为偶函数，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率为4－c . (1)确定a ，b 的值； (2)若c ＝3，判断f (x )的单调性； 6设，已知定义在R 上的函数在区间内有一个零点，为的导函数．求的单调区间； 7已知函数()ln()x f x e x m =-+. 设0x =是()f x 的极值点，求m ，并讨论()f x 的单调性； a ∈Z 432 ()2336f x x x x x a =+--+(1,2)0x ()g x ()f x ()g x

(完整版)高考导数专题复习

高考数学专题复习——导数目录一、有关切线的相关问题二、导数单调性、极值、最值的直接应用三、交点与根的分布 1、判断零点个数 2、已知零点个数求解参数范围四、不等式证明 1、作差证明不等式 2、变形构造函数证明不等式 3、替换构造不等式证明不等式五、不等式恒成立求参数范围 1、恒成立之最值的直接应用 2、恒成立之分离常数 3、恒成立之讨论参数范围六、函数与导数性质的综合运用

导数运用中常见结论

一、有关切线的相关问题例题、【2015高考新课标1，理21】已知函数f （x ）=31 ,()ln 4 x ax g x x ++=-. (Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线；【答案】（Ⅰ）34 a = 跟踪练习： 1、【2011高考新课标1，理21】已知函数ln ()1a x b f x x x =++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。（Ⅰ）求a 、b 的值；解：（Ⅰ）22 1 ( ln ) '()(1)x x b x f x x x α+-= -+ 由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1, 1'(1),2 f f =?? ?=-??即 1, 1,22 b a b =???-=-?? 解得1a =，1b =。 2、(2013课标全国Ⅰ，理21)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x (cx ＋d )．若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2. (1)求a ，b ，c ，d 的值；解：(1)由已知得f (0)＝2，g (0)＝2，f ′(0)＝4，g ′(0)＝4. 而f ′(x )＝2x ＋a ，g ′(x )＝e x (cx ＋d ＋c )，故b ＝2，d ＝2，a ＝4，d ＋c ＝4. 从而a ＝4，b ＝2，c ＝2，d ＝2. 3、 (2014课标全国Ⅰ，理21)设函数1 (0ln x x be f x ae x x -=+，曲线()y f x =在点（1，(1) f 处的切线为(1)2y e x =-+. (Ⅰ)求,a b ；【解析】：(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为()0,+∞，112()ln x x x x a b b f x ae x e e e x x x --'=+-+

(完整版)专题05导数与函数的极值、最值—三年高考(2015-2017)数学(文)真题汇编.doc

1. 【 2016 高考四川文科】已知函数的极小值点，则=( ) (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】 D 考点：函数导数与极值. 【名师点睛】本题考查函数的极值．在可导函数中函数的极值点是方程但是极大值点还是极小值点，需要通过这点两边的导数的正负性来判断，在的解，附近，如果时，，时，则是极小值点，如果时，，时，，则是极大值点， 2. 【 2015 高考福建，文A．充分而不必要条件12】“对任意 B．必要而不充分条件，”是“ C ．充分必要条件 D ”的（）．既不充分也不必要条件【答案】 B 【解析】当时，，构造函数，则．故在单调递增，故，则；当时，不等式等价于，构造函数，则，故在递增，故 ”是“，则．综上 ”的必要不充分条件，选所述，“ 对任意B．，

【考点定位】导数的应用．【名师点睛】本题以充分条件和必要条件为载体考查三角函数和导数在单调性上的应用，根据已知条件构造函数，进而研究其图象与性质，是函数思想的体现，属于难题． 3. (2014 课标全国Ⅰ，文 12) 已知函数 f ( x ) ＝ ax 3 － 3 2 ＋ 1，若 f ( ) 存在唯一的零点 x 0 ，且 x x x 0＞0，则 a 的取值范围是 ( ) ． A ． (2 ，＋∞ ) B ． (1 ，＋∞) C ． ( －∞，－ 2) D ．( －∞，－ 1) 答案： C 解析：当 a ＝ 0 时， f ( x ) ＝－ 3x 2＋ 1 存在两个零点，不合题意；当 a ＞0 时， f ′(x ) ＝ 3ax 2－ 6x ＝，令 ′( ) ＝ 0，得 x 1 ＝ 0，， fx 所以 f ( x ) 在 x ＝0 处取得极大值 f (0) ＝ 1，在处取得极小值，要使 f ( x ) 有唯一的零点，需，但这时零点 x 0 一定小于 0，不合题意；当 a ＜0 时， f ′(x ) ＝ 3ax 2－ 6x ＝，令 f ′(x ) ＝ 0，得 x 1＝0，，这时 f ( x ) 在 x ＝0 处取得极大值 f (0) ＝ 1，在处取得极小值，要使 f ( x ) 有唯一零点，应满足，解得 a ＜－ 2( a ＞ 2 舍去 ) ，且这时零点 x 0 一定大于 0，满足题意，故 a 的取值范围是 ( －∞，－ 2) ．名师点睛：本题考查导数法求函数的单调性与极值，函数的零点，考查分析转化能力，分类讨论思想，较难题 . 注意区别函数的零点与极值点 . 4. 【 2014 辽宁文 12】当时，不等式恒成立，则实数 a 的取值范围是（）

高考导数专题复习

高考导数专题复习高考数学专题复习——导数目录一、有关切线的相关问题二、导数单调性、极值、最值的直接应用三、交点与根的分布 1、判断零点个数 2、已知零点个数求解参数范围四、不等式证明 1、作差证明不等式 2、变形构造函数证明不等式 3、替换构造不等式证明不等式五、不等式恒成立求参数范围 1、恒成立之最值的直接应用 2、恒成立之分离常数 3、恒成立之讨论参数范围六、函数与导数性质的综合运用

导数运用中常见结论 (1)曲线()y f x =在0x x =处的切线的斜率等于0()f x '，且切线方程为 000()()()y f x x x f x '=-+。 (2)若可导函数()y f x =在 0x x = 处取得极值，则0()0f x '=。反之，不成立。 (3)对于可导函数()f x ，不等式()f x '0>0<（）的解集决定函数()f x 的递增（减）区间。 (4)函数()f x 在区间I 上递增（减）的充要条件是：x I ?∈()f x '0≥(0)≤恒成立（()f x ' 不恒为0）. (5)函数()f x （非常量函数）在区间I 上不单调等价于()f x 在区间I 上有极值，则可等价转化为方程()0f x '=在区间I 上有实根且为非二重根。（若()f x '为二次函数且I=R ，则有 0?>）。 (6) ()f x 在区间I 上无极值等价于()f x 在区间在上是单调函数，进而得到()f x '0≥或 ()f x '0≤在I 上恒成立 (7)若x I ?∈， ()f x 0>恒成立，则min ()f x 0>; 若x I ?∈， ()f x 0<恒成立，则 max ()f x 0< (8)若0x I ? ∈，使得0()f x 0>，则max ()f x 0>；若0x I ?∈，使得0()f x 0<，则 min ()f x 0<. (9)设()f x 与()g x 的定义域的交集为D ，若x ? ∈D ()()f x g x >恒成立，则有 []min ()()0f x g x ->. (10)若对11x I ? ∈、22x I ∈ ， 12()()f x g x >恒成立，则min max ()()f x g x >. 若对11x I ?∈， 22x I ?∈，使得12()()f x g x >,则min min ()()f x g x >. 若对11x I ? ∈， 22x I ?∈，使得12()()f x g x <，则max max ()()f x g x <. （11）已知()f x 在区间1I 上的值域为A,， ()g x 在区间2I 上值域为B ，

近五年高考试题分类汇编-导数部分(附答案解析)

2018年全国高考试题分类汇编-导数部分（含解析） 1.(2018·全国卷I 高考理科·T5)同(2018·全国卷I 高考文科·T6)设函数f (x )=x3+(a -1)x2+ax.若f (x )为奇函数,则曲线y=f (x )在点(0,0)处的切线方程为( ) A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x 2.(2018·全国卷II 高考理科·T13)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 3.(2018·全国卷II 高考文科·T13)曲线y=2lnx 在点(1,0)处的切线方程为 4.(2018·全国Ⅲ高考理科·T14)曲线y=(ax +1)ex 在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a= . 5.(2018·天津高考文科·T10)已知函数f(x)=exlnx,f ′(x)为f(x)的导函数,则f ′(1)的值为 . 6.(2018·全国卷I 高考理科·T16)已知函数f (x )=2sinx+sin2x,则f (x )的最小值是 . 7.(2017·全国乙卷文科·T14)曲线y=x 2 + 1 x 在点(1,2)处的切线方程为 . 8.(2017·全国甲卷理科·T11)若x=-2是函数f (x )=(2x +ax-1)1x e -的极值点,则f (x )的极小值为 ( ) A.-1 B.-23e - C.53e - D.1 9.(2017 10.(2017递增,则称f (x )A.f (x )=2-x 11.(2017数a 12.(2017则称f (x )具有M ①f (x )=2-x ;②f (x

13.(2017·全国乙卷理科·T16)如图,圆形纸片的圆心为O ,半径为5cm ,该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O.D ,E ,F 为圆O 上的点,△DBC ,△ECA ,△FAB 分别是以BC ,CA ,AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC ,CA ,AB 为折痕折起△DBC ,△ECA ,△FAB ,使得D ,E ,F 重合,得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm 3 )的最大值为 . 14.(2017·天津高考文科·T10)已知a ∈R ,设函数f (x )=ax-lnx 的图象在点(1,f (1))处的切线为l ,则l 在y 轴上的截距为 . 15.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T12)若函数f (x )=x-1 3 sin2x+asinx 在(-∞,+∞)上单调递增,则a 的取值范围是( ) A.[-1,1] B.11,3 ? ? -?? ?? C.11,33??- ???? D.11,3? ? --???? 16.(2016·四川高考理科·T9)设直线l 1,l 2分别是函数f (x )=lnx,0x 1,lnx,x 1, ?-<?图象上点P 1,P 2处的切线,l 1与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△PAB 的面积的取值范围是( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞) 17.(2016·四川高考文科·T6)已知a 为函数f (x )=x 3 -12x 的极小值点,则a=( ) A.-4 B.-2 C.4 D.2 18.(2016·四川高考文科·T10)设直线l 1,l 2分别是函数f (x )=lnx,0x 1,lnx,x 1, ?-<?图象上点P 1,P 2处的切线,l 1 与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△PAB 的面积的取值范围是 ( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞) 19.(2016·山东高考文科·T10)同(2016·山东高考理科·T10) 若函数y=f (x )的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是 ( ) A.y=sinx B.y=lnx C.y=e x D.y=x 3 20.(2016·全国卷Ⅱ理科·T16)若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln (x+1)的切线,则b= .

2020届高考数学导数的11个专题

目录导数专题一、单调性问题 (2) 导数专题二、极值问题 (38) 导数专题三、最值问题 (53) 导数专题四、零点问题 (77) 导数专题五、恒成立问题和存在性问题 (118) 导数专题六、渐近线和间断点问题 (170) 导数专题七、特殊值法判定超越函数的零点问题 (190) 导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元 (201) 导数专题九、公切线解决导数中零点问题 (214) 导数专题十、极值点偏移问题 (219) 导数专题十一、构造函数解决导数问题 (227)

导数专题一、单调性问题【知识结构】【知识点】一、导函数代数意义：利用导函数的正负来判断原函数单调性；二、分类讨论求函数单调性：含参函数的单调性问题的求解，难点是如何对参数进行分类讨论，讨论的关键在于导函数的零点和定义域的位置关系. 三、分类讨论的思路步骤：第一步、求函数的定义域、求导，并求导函数零点；第二步、以导函数的零点存在性进行讨论；当导函数存在多个零点的时，讨论他们的大小关系及与区间的位置关系（分类讨论）；第三步、画出导函数的同号函数的草图，从而判断其导函数的符号（画导图、标正负、截定义域）；第四步、（列表）根据第五步的草图列出f '(x)，f (x)随x 变化的情况表，并写出函数的单调区间；第五步、综合上述讨论的情形，完整地写出函数的单调区间，写出极值点，极值与区间端点函数值比较得到函数的最值. 四、分类讨论主要讨论参数的不同取值求出单调性，主要讨论点： 1.最高次项系数是否为0； 2.导函数是否有极值点； 3.两根的大小关系； 4.根与定义域端点讨论等。五、求解函数单调性问题的思路：（1）已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为f '(x) ≥ 0 或f '(x) ≤ 0 恒成立；（2）已知区间上不单调，转化为导函数在区间上存在变号零点，通常利用分离变量法求解参变量的范围；（3）已知函数在区间上存在单调递增或单调递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解. 六、原函数单调性转化为导函数给区间正负问题的处理方法（1）参变分离；（2）导函数的根与区间端点直接比较；

高考文科数学专题复习导数训练题(汇编)

高考文科数学专题复习导数训练题（文）一、考点回顾和基础知识 1．导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容．考查方式以客观题为主，主要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义. 2.导数的应用是高中数学中的重点内容,导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工具,特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题.选择填空题侧重于利用导数确定函数的单调性、单调区间和最值问题,解答题侧重于导数的综合应用,即与函数、不等式、数列的综合应用. 3.应用导数解决实际问题,关键是建立适当的数学模型（函数关系）,如果函数在给定区间内只有一个极值点,此时函数在这点有极值,而此时不用和端点值进行比较,也可以得知这就是最值. 2.导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即 )(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注：①x ?是增量，我们也称为“改变量”，因为x ?可正，可负，但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ?. 3.求导数的四则运算法则： ''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=?+++=? ''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=?+=（c 为常数）

高考数学真题导数专题及答案

2017年高考真题导数专题一．解答题（共12小题） 1．已知函数f（x）2（a﹣2）﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 2．已知函数f（x）2﹣﹣，且f（x）≥0．（1）求a；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 3．已知函数f（x）﹣1﹣．（1）若f（x）≥0，求a的值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值． 4．已知函数f（x）321（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（2）证明：b2＞3a；（3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．5．设函数f（x）=（1﹣x2）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≤1，求a的取值范围． 6．已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）．（1）求f（x）的导函数；（2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围． 7．已知函数f（x）2+2，g（x）（﹣2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线（x）在点（π，f（π））处的切线方程；（Ⅱ）令h（x）（x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．

） 10．已知函数f（x）3﹣2，a∈R，（1）当2时，求曲线（x）在点（3，f（3））处的切线方程；（2）设函数g（x）（x）+（x﹣a）﹣，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 11．设a，b∈R，≤1．已知函数f（x）3﹣6x2﹣3a（a﹣4），g（x）（x）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知函数（x）和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在0处的导数等于0；（）若关于x的不等式g（x）≤在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围． 12．已知函数f（x）（﹣a）﹣a2x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．

高考真题汇编(函数与导数)

函数与导数 1．【2018年浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】D 点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复． 2．【2018年理天津卷】已知，，，则a，b，c的大小关系为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意结合对数函数的性质可知：，，，据此可得：.本题选择D选项.

点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 3．【2018年理新课标I卷】已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞）【答案】C 详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C. 点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果. 4．【2018年理新课标I卷】设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D.

导数及其应用高考题精选含答案

导数及其应用高考题精选 1.（2010·海南高考·理科T3）曲线2 x y x = +在点()1,1--处的切线方程为（）（A ）21y x =+（B ）21y x =-（C ）23y x =--（D ）22y x =-- 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程. 【规范解答】选 A.因为22 (2) y x '= +，所以，在点()1,1--处的切线斜率12 2 2(12)x k y =-' == =-+，所以，切线方程为12(1)y x +=+，即21y x =+，故选A. 2.（2010·山东高考文科·Ｔ8）已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为3 1812343 y x x =-+-，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（） (A)13万件(B)11万件 (C)9万件(D)7万件【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力. 【思路点拨】利用导数求函数的最值. 【规范解答】选C ，2'81y x =-+,令0y '=得9x =或9x =-（舍去），当9x <时'0y >；当9x >时'0y <，故当9x =时函数有极大值，也是最大值，故选C. 3.（2010·山东高考理科·Ｔ7）由曲线y=2 x ,y=3 x 围成的封闭图形面积为（）（A ） 1 12 (B)14 (C)13 (D) 712 【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的

高考文科数学导数真题汇编(带答案)

高考数学文科导数真题汇编答案一、客观题组 4 5. 7.设函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是

8设函数f （x ）= 2 x +lnx 则（） A ．x=12为f(x)的极大值点 B ．x=1 2为f(x)的极小值点 C ．x=2为 f(x)的极大值点 D ．x=2为 f(x)的极小值点 9、函数y= 12 x 2 -㏑x 的单调递减区间为（A ）（-1,1] （B ）（0,1] （C.）[1，+∞）（D ）（0，+∞） 11(2018年高考1卷) 12(2019年高考1卷) 一、客观题答案1B ; 2.D; 3.y=x+1; 4.A . 5.y=2x-2 6D ,7C; 8D; 9B; 10.C 11.D; 12.y=3x 二、大题组【2011新课标】21. 已知函数ln ()1a x b f x x x = ++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。（1）求a 、b 的值；（2）证明：当0x >，且1x ≠时， f (x )>ln x x -1 【解析】

（1）22 1 ( ln ) '()(1)x x b x f x x x α+-= - + 由于直线230x y +-=的斜率为1 2 - ，且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2f f =???=-?? 即1,1,22 b a b =???-=-?? 解得1a =，1b =。（2）由（1）知f (x )=x x x 11ln ++，所以f (x )-ln x x -1=11-x 2 (2ln x -x 2-1 x )，考虑函数，则2 2 222)1()1(22)(x x x x x x x h --=---='，所以x ≠1时h ′(x )＜0，而h (1)=0 故)1,0(∈x 时，h (x )>0可得，),1(+∞∈x 时，h (x )<0可得，从而当，且时，. 【2012新课标】21. 设函数f (x ) = e x -ax -2 （1）求f (x )的单调区间（2）若a =1，k 为整数，且当x >0时，(x -k ) f ′(x )+x +1>0，求k 的最大值【解析】（1） f (x )的定义域为(,)-∞+∞，()x f x e a '=-，若0a ≤，则()0f x '>，所以()f x 在(,)-∞+∞单调递增. 若0a >，则当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增. （2）由于1a =，所以()()1()(1)1x x k f x x x k e x '-++=--++. 故当0x >时，()()10x k f x x '-++>等价于1(0) (1) x x k x x e +<+>-①. 令1()(1) x x g x x e +=+-，则221(2)()1(1)(1)x x x x x xe e e x g x e e ----'=+= --. 由（1）知，函数()2x h x e x =--在(0,)+∞单调递增，而(1)0h <，(2)0h >，所以()h x ，在(0,)+∞存在唯一的零，故()g x '在(0,)+∞存在唯一的零点. 设此零点为a ，则(1,2)a ∈. 当(0,)x a ∈时，()0g x '<；当(,)x a ∈+∞时，()0g x '>. 所以()g x 在(0,)+∞的最小值为()g a . 又由()0g a '=，可得2a e a =+，所以()1(2,3)g a a =+∈. 由于①式等价于()k g a <，故整数k 的最大值为2 【2013新课标1】20. 已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4. (1)求a ，b 的值； ln ()1x f x x > -ln ()1x f x x >-0x >1x ≠ln ()1 x f x x >-