(完整版)高考导数专题复习
高考数学导数专题复习(基础精心整理)学生版
导数专题复习（基础精心整理）学生版【基础知识】1.导数定义：在点处的导数记作k =相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-2.常见函数的导数公式:①；②；③；④； ⑤；⑥；⑦；⑧ 。
3.导数的四则运算法则：（1） （2） （3）4.导数的应用： （1）利用导数判断函数单调性：①是增函数；②为减函数；③为常数； （2）利用导数求极值：①求导数；②求方程的根；③列表得极值（判断零点两边的导函数的正负）。
（3）利用导数求最值：比较端点值和极值 【基本题型】一、求()y f x =在0x 处的导数的步骤：（1）求函数的改变量()()00y f x x f x ∆=+∆-；（2）求平均变化率()()00f x x f x y x x +∆-∆=∆V ；（3）取极限，得导数()00lim x yf x x→∆'=∆V 。
例1..已知xf x f x x f x ∆-∆+=→∆)2()2(lim ,1)(0则的值是（ ）A. 41-B. 2C. 41D. －2变式1：()()()为则设hf h f f h 233lim ,430--='→（ ）A ．－１ Ｂ．－2 C ．－3D ．1二、导数的几何意义()f x 0x xx f x x f x f x x y x ∆-∆+='=='→∆)()(lim)(|00000'0C ='1()n n x nx -='(sin )cos x x ='(cos )sin x x =-'()ln x x a a a =x x e e =')('1(log )ln a x x a=xx 1)(ln '=)()()()(])()(['+'='x g x f x g x f x g x f 2)()()()()()()(x g x g x f x g x f x g x f '-'='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'⋅'='x u u f x u f ))(()(0)(x f x f ⇒>')(0)(x f x f ⇒<')(0)(x f x f ⇒≡')(x f '0)(='x f函数()f x 在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线()y f x =在点()()0,0P x f x 处的切线的斜率，即曲线()y f x =在点()()0,0P x f x 处的切线的斜率是()0f x '，相应地切线的方程是()()000y y f x x x -='-。
导数的专题复习-最经典最全
导数的专题复习-最经典最全
导数是微积分中的重要概念，它具有广泛的应用。
本文将对导数进行专题复，总结其中最经典、最全的内容。
1. 导数的定义
导数是描述函数在某一点处变化率的概念。
在数学上，函数
f(x)在点x=a处的导数表示为f'(a)，它可以通过极限的概念进行定义。
2. 导函数的计算
导数的计算有多种方法，常用的包括求导法则、链式法则、隐函数求导法等。
这些方法能够帮助我们求出各种类型函数的导数，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
3. 导数的性质
导数具有一些重要的性质，包括：
- 导数存在性：函数在某一点处可导的条件；
- 可导性与连续性的关系：函数可导的充分必要条件；
- 导数的代数运算：导数与求导函数的和差、乘积、除法的关系；
- 高阶导数：对导数的导数的概念。
4. 导数的应用
导数在科学和工程的领域中具有广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：
- 函数的最大值与最小值问题：利用导数可以求解函数的极值问题；
- 曲线的切线与法线：导数可以帮助我们确定曲线在某一点处的切线和法线；
- 运动学中的速度与加速度：导数可以描述物体在运动过程中的速度和加速度。
总结：
本文对导数进行了最经典、最全的复习，内容涵盖了导数的定义、导函数的计算、导数的性质以及导数的应用。
通过学习导数，我们可以更好地理解函数的变化规律，并运用它们解决实际问题。
直击2024年高考——高三数学导数考点精讲(全国版)
导数考点精讲1．导数的概念一般地，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000.()()limlim x x f x x f x yx x ∆→∆→+∆−∆=∆∆，称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0x x y ='，即00000.()()()limlim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆−∆'==∆∆．2．导函数从求函数()f x 在0x x =处导数的过程可以看出，当0x x =时，0()f x '是一个确定的数．这样，当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数（简称导数）．()y f x =的导函数有时也记作y '，即0()()()lim x f x x f x f x y x∆→+∆−''==∆．3．基本初等函数的导数公式（1）若()f x c =（c 为常数），则()0f x '=；（2）若*()()f x x αα=∈Q ，则1()f x x αα−'=； （3）若()sin f x x =，则()cos f x x '=； （4）若()cos f x x =，则()sin f x x '=−；（5）若()x f x a =，则()ln x f x a a '=； （6）若()e x f x =，则()e x f x '=； （7）若()log a f x x =，则1()ln f x x a'=； （8）若()ln f x x =，则1()f x x'=．4．导数运算法则（1）[()()]()()f x g x f x g x '''±=±．（2）[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+．（3）2()()()()()(()0)()[()]f x f x g x f x g x g x g x g x '''⎡⎤−=≠⎢⎥⎣⎦． 5．复合函数的导数一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u y ，可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作(())y f g x =．复合函数(())y f g x =的导数和函数()()y f u u g x ==，的导数间的关系为xu x y y u '''=⋅，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．6．导数的几何意义函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在00(())x f x ，处的切线PT 的斜率k ，即0000.()()lim()x f x x f x k f x x∆→+∆−'==∆．7. 求在某点处的切线方程（1）求出函数()f x 在0x x =处的导数，即曲线()y f x =在00(())x f x ，处切线的斜率；（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()+'()()y f x f x x x =− 8. 求过某点处的切线方程 （1）设出切点坐标00(())x f x ，；（2）利用切点坐标写出切线方程：000()+'()()y f x f x x x =−；（3）将已知调价代入（2）中的切线方程求解.9．函数单调性的判断一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间()a b ，内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减． 10．求函数单调区间的步骤（1）确定()y f x =的定义域．（2）求导数()f x '，求出()0f x '=的根．（3）函数的无定义点和()0f x '=的根将()f x 的定义域分成若干区间，列表确定这若干区间内()f x '的符号．（4）由()f x '的符号确定()f x 的单调区间．11．在区间单调与存在单调区间问题(1)若函数f (x )在(a ，b )上单调递增，则x ∈(a ，b )时，f ′(x )≥0恒成立；若函数f (x )在(a ，b )上单调递减，则x ∈(a ，b )时，f ′(x )≤0恒成立．(2)若函数f (x )在(a ，b )上存在单调递增区间，则x ∈(a ，b )时，f ′(x )>0有解；若函数f (x )在(a ，b )上存在单调递减区间，则x ∈(a ，b )时，f ′(x )<0有解． 12．极值的相关概念如图，函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其他点的函数值都小，()0f a '=；而且在点x a =附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>．类似地，函数()y f x =在点x b =的函数值()f b 比它在点x b =附近其他点的函数值都大，()0f b '=；而且在点x b =附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<．我们把点a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值；点b 叫做函数()y f x =的极大值点，()f b 叫做函数()y f x =的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 13．最大值和最小值的存在性一般地，如果在区间[]a b ，上函数()y f x =的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． 14．求函数()y f x =在[]a b ，上的最大（小）值的步骤（1）求函数()y f x =在()a b ，内的极值．（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()()f a f b ，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．。
导数高考大题知识点总结
导数高考大题知识点总结一、导数的定义1. 函数的导数函数f(x)在点x处的导数定义为：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h)-f(x)]/h其中，h表示x的增量，表示x的变化量；lim表示极限。
2. 几何意义函数f(x)在点x处的导数，表示函数在该点处的切线斜率。
3. 导数的记号函数f(x)关于x的导数通常记为f'(x)或y'，也读作f关于x的导数或者y的导数。
4. 导数的存在性对于给定的函数f(x)，在某一点x处可能存在导数，也可能不存在。
二、导数的运算法则1. 基本导数法则常数函数的导数等于零；幂函数的导数规律：(x^n)'=nx^(n-1)；指数函数的导数规律：(a^x)'=a^x * ln(a)；对数函数的导数规律：(log_a(x))' = 1/(x * ln(a))；三角函数的导数规律：(sinx)' = cosx，(cosx)' = -sinx。
2. 基本函数的导数导数的和、差法则：(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)；导数的积法则：(f(x)*g(x))' = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x)；导数的商法则：(f(x)/g(x))' = (f'(x)*g(x) - f(x)*g'(x))/g(x)^2；复合函数的导数：设y=f(u)，u=g(x)，则y=f(g(x))，导数为：y'=f'(g(x)) * g'(x)。
3. 链式法则如果函数y=f(u)，u=g(x)，则y=f(g(x))，则有：y'=f'(u) * g'(x)。
4. 隐函数的导数当函数关系式不显式的写出y=f(x)，而是通过x和y的方程来确定时，求导的方法。
三、导数的应用1. 切线方程在点(x,f(x))处的切线方程为y-f(x)=f'(x)(x-a)。
(完整版)高三复习导数专题
导 数一、导数的基本知识 1、导数的定义：)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000。
2、导数的公式： 0'=C （C 为常数) 1')(-=n n nx x （R n ∈) xx e e =')(a a a x x ln )('= xx 1)(ln '= exx a a log 1)(log '=x x cos )(sin '= x x sin )(cos '-=3、导数的运算法则： [()()]f x g x '+ =()()f x g x ''+ [()()]()()f x g x f x g x '''-=-[()]()af x af x ''= [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+ 2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''-'= 4、掌握两个特殊函数 （1）对勾函数()bf x ax x=+( 0a > ,0b >) 其图像关于原点对称（2）三次函数32()f x ax bx cx d =+++(0)a ≠导 数导数的概念 导数的运算导数的应用导数的定义、几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值函数的最值 常见函数的导数导数的运算法则 比较两个的代数式大小导数与不等式讨论零点的个数求切线的方程导数的基本题型和方法1、、导数的意义：（1）导数的几何意义：0()k f x '= （2）导数的物理意义:()v s t '=2、、导数的单调性：（1）求函数的单调区间;()0()b]f x f x '≥⇔在[a,上递增 ()0()b]f x f x '≤⇔在[a,上递减（2）判断或证明函数的单调性; ()f x c ≠ （3)已知函数的单调性，求参数的取值范围。
(完整word版)高考导数专题复习
高考数学专题复习——导数目录一、有关切线的有关问题二、导数单一性、极值、最值的直策应用三、交点与根的散布1、判断零点个数2、已知零点个数求解参数范围四、不等式证明1、作差证明不等式2、变形结构函数证明不等式3、替代结构不等式证明不等式五、不等式恒建立求参数范围1、恒建立之最值的直策应用2、恒建立之分别常数3、恒建立之议论参数范围六、函数与导数性质的综合运用导数运用中常有结论(1) 曲线y f (x) 在 x x0处的切线的斜率等于 f (x0 ) ，且切线方程为y f ( x0 )( x x0 ) f ( x0 ) 。
(2)若可导函数 y f ( x) 在x x0处获得极值，则f( x0 )0 。
反之，不建立。
(3)关于可导函数f ( x)，不等式的解集决定函数f ( x)的递加（减）区间。
f ( x) 0（0）(4)函数 f ( x) 在区间I上递加（减）的充要条件是：x I f ( x)0 ( 0)恒建立（ f(x)不恒为 0 ）.(5)函数 f ( x) （特别量函数）在区间I 上不但一等价于 f ( x) 在区间I上有极值，则可等价转变为方程 f( x)0 在区间I上有实根且为非二重根。
（若 f ( x) 为二次函数且I=R ，则有0 ）。
(6) f ( x) 在区间I 上无极值等价于 f ( x) 在区间在上是单一函数，从而获得 f ( x)0或f ( x)0 在I上恒建立(7)若 x I ，f ( x)0 恒建立，则f (x)min0 ;若x I ，f ( x)0 恒建立，则f ( x)max0(8)若x0I，使得 f ( x0 ) 0，则 f (x)max0 ；若x0I ，使得 f ( x0)0，则f (x)min0 .(9)设 f (x) 与 g(x) 的定义域的交集为 D ，若x D f ( x)g( x) 恒建立，则有f ( x)g( x) min0 .(10) 若对x1I1、x2I2， f (x1)g( x2 ) 恒建立，则 f (x)min g (x)max.若对x1I1，x2I 2，使得 f ( x1)g( x2 ) ,则 f (x)min g (x)min.若对x1I1，x2I 2，使得 f ( x1)g(x2 ) ，则 f (x)max g (x)max.（ 11 ）已知f ( x)在区间I1上的值域为 A, ，g (x)在区间I2上值域为B，若对x1I 1, x2I 2，使得 f (x1)=g( x2)建立，则A B 。
高考导数知识点复习
高考导数知识点复习导数是高中数学中一个重要的概念，它在微积分中扮演着至关重要的角色。
在高考中，导数相关的知识点经常会出现在选择题和解答题中。
因此，为了帮助大家复习导数知识点，本文将围绕导数的定义、性质和常用求导法则展开讲解。
一、导数的定义导数是函数在某一点处的变化率，也可以理解为函数的瞬时速度。
数学上，我们可以用极限的概念来定义导数。
设函数y=f(x)，在点x=a处可导，那么函数在该点处的导数记为f'(a)，它等于极限lim(x->a)[f(x)-f(a)]/(x-a)。
二、导数的性质1. 可导必连续：如果函数在某一点可导，那么它一定在该点处连续。
2. 可导函数的和、差函数的导数：设函数f(x)和g(x)都在点x=a处可导，那么其和函数(f+g)(x)和差函数(f-g)(x)在该点处可导，且有(f+g)'(a)=f'(a)+g'(a)和(f-g)'(a)=f'(a)-g'(a)。
3. 导数与乘法规则：设函数f(x)和g(x)都在点x=a处可导，那么其乘积函数(fg)(x)在该点处可导，且有(fg)'(a)=f'(a)g(a)+f(a)g'(a)。
4. 导数与除法规则：设函数f(x)和g(x)都在点x=a处可导，且g(a)≠0，那么其商函数(f/g)(x)在该点处可导，且有(f/g)'(a)=[f'(a)g(a)-f(a)g'(a)]/[g(a)]^2。
三、常用求导法则1. 幂函数求导法则：设常数n为任意实数，函数f(x)=x^n，在定义域内可导。
其导函数f'(x)=nx^n-1。
2. 基本初等函数求导法则：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等基本初等函数都有相应的求导法则。
3. 符号函数求导法则：设函数f(x)=|x|，在0点处不可导，但在0点的左右导数分别为-1和1。
2023届全国高考数学复习：专题(导数的运算)重点讲解与练习(附答案)
2023届全国高考数学复习：专题（导数的运算）重点讲解与练习1．基本初等函数的导数公式2．导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有[cf (x )]′＝cf ′(x )；[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)； 3．复合函数的定义及其导数(1)一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过中间变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )与u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))．(2)复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ꞏu ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．【方法总结】导数运算的原则和方法基本原则：先化简、再求导； 具体方法：(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导； (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导； (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导； (6)复合函数：由外向内，层层求导． 【例题选讲】[例1] 求下列函数的导数： (1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝cos x e x ；(3)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2； (4)y ＝ln(2x －5)．[例2] (1) (2020ꞏ全国Ⅲ)设函数f (x )＝e x x ＋a ．若f ′(1)＝e4，则a ＝________．(2)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，f (x )＝2x 2－3xf ′(1)＋ln x ，则f (1)＝ ．(3)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 022(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x (4)(多选)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′，若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数的是( ) A ．f (x )＝sin x ＋cos x B ．f (x )＝ln x －2x C ．f (x )＝x 3＋2x －1 D ．f (x )＝x e x(5)已知f (x )的导函数为f ′(x )，若满足xf ′(x )－f (x )＝x 2＋x ，且f (1)≥1，则f (x )的解析式可能是( ) A ．x 2－x ln x ＋x B ．x 2－x ln x －x C ．x 2＋x ln x ＋x D ．x 2＋2x ln x ＋x 【对点训练】1．下列求导运算正确的是( )A ．⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(5x )′＝5x log 5xD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 2．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( )A ．x sin xB ．－x sin xC ．x cos xD ．－x cos x 3．(多选)下列求导运算正确的是( )A ．(sin a )′＝cos a (a 为常数)B ．(sin 2x )′＝2cos 2xC ．(x )′＝12xD ．(e x －ln x ＋2x 2)′＝e x －1x ＋4x4．已知函数f (x )＝sin x cos x ＋1x 2，则f ′(x )＝ ．5．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，记f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )(n ∈N *)，若f (x )＝x sin x ，则f 2 019(x )＋f 2 021(x )＝( )A ．－2cos xB ．－2sin xC ．2cos xD ．2sin x 6．f (x )＝x (2 021＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 022，则x 0等于( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e7．已知函数f (x )＝1ax －1＋e x cos x ，若f ′(0)＝－1，则a ＝ ．8．已知函数f (x )＝ln(2x －3)＋ax e －x ，若f ′(2)＝1，则a ＝ ．9．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A ．－2B ．2C ．－94D ．94 10．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________．11．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝ ． 12．已知f ′(x )是函数f (x )的导数，f (x )＝f ′(1)ꞏ2x ＋x 2，则f ′(2)＝( )A ．12－8ln 21－2ln 2B ．21－2ln 2C ．41－2ln 2 D ．－213．(多选)若函数f (x )的导函数f ′(x )的图象关于y 轴对称，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝3cos xB ．f (x )＝x 3＋xC ．f (x )＝x ＋1x D ．f (x )＝e x ＋x 14．f (x )＝3e x＋1＋x 3，其导函数为f ′(x )，则f (2020)＋f (－2020)＋f ′(2019)－f ′(－2019)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 15．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2．若f ′(2 020)＝6，则f ′(－2 020)＝______． 16．分别求下列函数的导数：(1)y ＝e xln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x 2cos x2；(4)y ＝ln 1＋2x ．(5)f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2．参考答案【例题选讲】[例1] 求下列函数的导数： (1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝cos x e x ；(3)y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2； (4)y ＝ln(2x －5)．解析 (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x ．(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x －cos x (e x )′(e x )2＝－sin x ＋cos x e x ． (3)∵y ＝x sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝12x sin(4x ＋π)＝－12sin4x ， ∴y ′＝－12sin 4x －12x ꞏ4cos 4x ＝－12sin 4x －2x cos 4x ． (4)令u ＝2x －5，y ＝ln u ．则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5ꞏ2＝22x －5，即y ′＝22x －5． [例2] (1) (2020ꞏ全国Ⅲ)设函数f (x )＝e xx ＋a．若f ′(1)＝e 4，则a ＝________． 答案 1 解析 f ′(x )＝e x (x ＋a )－e x (x ＋a )2＝e x (x ＋a －1)(x ＋a )2，则f ′(1)＝a e (a ＋1)2＝e 4，整理可得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1．(2)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，f (x )＝2x 2－3xf ′(1)＋ln x ，则f (1)＝ ．答案 －74 解析 ∵f (x )＝2x 2－3xf ′(1)＋ln x ，∴f ′(x )＝4x －3f ′(1)＋1x x ＝1代入，得f ′(1)＝4－3f ′(1)＋1，得f ′(1)＝54．∴f (x )＝2x 2－154x ＋ln x ，∴f (1)＝2－154＝－74．(3)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N *，则f 2 022(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x 答案 C 解析 ∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ，∴f n (x )的解析式以4为周期重复出现，∵2 022＝4×505＋2，∴f 2 022(x )＝f 2(x )＝cos x －sin x ．故选C ．(4)(多选)给出定义：若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝(f ′(x ))′，若f ″(x )＜0在D 上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数的是( )A ．f (x )＝sin x ＋cos xB ．f (x )＝ln x －2xC ．f (x )＝x 3＋2x －1D ．f (x )＝x e x答案 AB 解析 对于A ：f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ，∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴f ″(x )＜0，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数，故A 正确．对于B ：f ′(x )＝1x －2，f ″(x )＝－1x 2＜0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是凸函数，故B 正确；对于C ：f ′(x )＝3x 2＋2，f ″(x )＝6x ＞0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上不是凸函数，故C 错误；对于D ：f ′(x )＝(x ＋1)e x ，f ″(x )＝(x ＋2)e x ＞0，故f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上不是凸函数，故D 错误．故选AB ． (5)已知f (x )的导函数为f ′(x )，若满足xf ′(x )－f (x )＝x 2＋x ，且f (1)≥1，则f (x )的解析式可能是( ) A ．x 2－x ln x ＋x B ．x 2－x ln x －x C ．x 2＋x ln x ＋x D ．x 2＋2x ln x ＋x 答案 C 解析 由选项知f (x )的定义域为(0，＋∞)，由题意得xf ′(x )－f (x )x 2＝1＋1x ，即⎣⎡⎦⎤f (x )x ′＝1＋1x ，故f (x )x ＝x ＋ln x ＋c (c 为待定常数)，即f (x )＝x 2＋(ln x ＋c )x ．又f (1)≥1，则c ≥0，故选C ．【对点训练】1．下列求导运算正确的是( )A ．⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(5x )′＝5x log 5xD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 1．答案 B 解析 (log 2x )′＝1x ln 2，故B 正确． 2．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( )A ．x sin xB ．－x sin xC ．x cos xD ．－x cos x 2．答案 B 解析 y ′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ． 3．(多选)下列求导运算正确的是( )A ．(sin a )′＝cos a (a 为常数)B ．(sin 2x )′＝2cos 2xC ．(x )′＝12xD ．(e x －ln x ＋2x 2)′＝e x －1x ＋4x3．答案 BCD 解析 ∵a 为常数，∴sin a 为常数，∴(sin a )′＝0，故A 错误．由导数公式及运算法则知B ，C ，D 正确，故选BCD ．4．已知函数f (x )＝sin x cos x ＋1x 2，则f ′(x )＝ ．4．答案 1cos 2x －2x 3 解析 f ′(x )＝(sin x )′ꞏcos x －sin x ꞏ(cos x )′cos 2x＋(x －2)′＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＋(－2)x －3＝1cos 2x －2x 3． 5．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，记f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )(n ∈N *)，若f (x )＝x sin x ，则f 2 019(x )＋f 2 021(x )＝( )A ．－2cos xB ．－2sin xC ．2cos xD ．2sin x5．答案 D 解析 由题意，f (x )＝x sin x ，f 1(x )＝f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，f 2(x )＝f ′1(x )＝cos x ＋cos x －x sin x ＝2cos x －x sin x ，f 3(x )＝f ′2(x )＝－3sin x －x cos x ，f 4(x )＝f ′3(x )＝－4cos x ＋x sin x ，f 5(x )＝f ′4(x )＝5sin x ＋x cos x ，…，据此可知f 2 019(x )＝－2 019sin x －x cos x ，f 2 021(x )＝2 021sin x ＋x cos x ，所以f 2019(x )＋f 2 021(x )＝2sin x ，故选D ．6．f (x )＝x (2 021＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 022，则x 0等于( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e6．答案 B 解析 f ′(x )＝2 021＋ln x ＋x ×1x ＝2 022＋ln x ，又f ′(x 0)＝2 022，得2 022＋ln x 0＝2 022，则ln x 0 ＝0，解得x 0＝1．7．已知函数f (x )＝1ax －1＋e x cos x ，若f ′(0)＝－1，则a ＝ ．7．答案 2 解析 f ′(x )＝－(ax －1)′(ax －1)2e x cos x －e x sin x ＝－a (ax －1)2＋e x cos x －e xsin x ，∴f ′(0)＝－a ＋1＝－1， 则a ＝2．8．已知函数f (x )＝ln(2x －3)＋ax e －x ，若f ′(2)＝1，则a ＝ ．8．答案 e 2解析 f ′(x )＝12x －3ꞏ(2x －3)′＋a e －x ＋ax ꞏ(e －x )′＝22x －3＋a e －x －ax e －x ，∴f ′(2)＝2＋a e －2－2a e －2＝2－a e －2＝1，则a ＝e 2．9．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)的值等于( )A ．－2B ．2C ．－94D ．949．答案 C 解析 因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x 所以f ′(2)＝2×2＋3f ′(2)＋12，解得f ′(2)＝－94．10．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)＝________．10．答案 －4 解析 ∵f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝－2，∴f ′(0)＝2f ′(1)＝2×(－2)＝－4． 11．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝ ．11．答案 1＋e 解析 因为f (ln x )＝x ＋ln x ，所以f (x )＝x ＋e x ，所以f ′(x )＝1＋e x ，所以f ′(1)＝1＋e 1＝1＋e ．12．已知f ′(x )是函数f (x )的导数，f (x )＝f ′(1)ꞏ2x ＋x 2，则f ′(2)＝( )A ．12－8ln 21－2ln 2B ．21－2ln 2C ．41－2ln 2 D ．－212．答案 C 解析 因为f ′(x )＝f ′(1)ꞏ2x ln 2＋2x ，所以f ′(1)＝f ′(1)ꞏ2ln 2＋2，解得f ′(1)＝21－2ln 2，所以f ′(x )＝21－2ln 2ꞏ2x ln 2＋2x ，所以f ′(2)＝21－2ln 2×22ln 2＋2×2＝41－2ln 2． 13．(多选)若函数f (x )的导函数f ′(x )的图象关于y 轴对称，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝3cos xB ．f (x )＝x 3＋xC ．f (x )＝x ＋1x D ．f (x )＝e x ＋x13．答案 BC 解析 对于A ，f (x )＝3cos x ，其导数f ′(x )＝－3sin x ，其导函数为奇函数，图象不关于y轴对称，不符合题意；对于B ，f (x )＝x 3＋x ，其导数f ′(x )＝3x 2＋1，其导函数为偶函数，图象关于y 轴对称，符合题意；对于C ，f (x )＝x ＋1x ，其导数f ′(x )＝1－1x 2，其导函数为偶函数，图象关于y 轴对称，符合题意；对于D ，f (x )＝e x ＋x ，其导数f ′(x )＝e x ＋1，其导函数不是偶函数，图象不关于y 轴对称，不符合题意． 14．f (x )＝3e x＋1＋x 3，其导函数为f ′(x )，则f (2020)＋f (－2020)＋f ′(2019)－f ′(－2019)的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．414．答案 C 解析 f ′(x )＝－3e x (e x ＋1)2＋3x 2，f ′(－x )＝－3e x (e x ＋1)2＋3x 2，所以f ′(x )为偶函数，f ′(2019)－f ′(－2019) ＝0，因为f (x )＋f (－x )＝31＋e x＋x 3＋31＋e －x －x 3＝31＋e x ＋3e x 1＋e x ＝3，所以f (2020)＋f (－2020)＋f ′(2019)－f ′(－2019)＝3．故选C ．15．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2．若f ′(2 020)＝6，则f ′(－2 020)＝______．15．答案 8 解析 因为f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋7，所以f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7＝－4ax 3＋b sin x ＋7．所以f ′(x )＋f ′(－x )＝14．又f ′(2 020)＝6，所以f ′(－2 020)＝14－6＝8． 16．分别求下列函数的导数：(1)y ＝e xln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x 2cos x2；(4)y ＝ln 1＋2x ．(5)f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2． 16．解析 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x ꞏ1x ＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x e x ． (2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3． (3)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝1－12cos x ．(4)∵y ＝ln 1＋2x ＝12ln(1＋2x )，∴y ′＝12ꞏ11＋2x ꞏ(1＋2x )′＝11＋2x．(5)由已知f (x )＝x －ln x ＋2x －1x 2．所以f ′(x )＝1－1x －2x 2＋2x 3＝x 3－x 2－2x ＋2x 3．。
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① ② ≤
③ ④
⑤ ⑥
⑦ sinx<x (0<x<π) ⑧lnx<x< (x>0)
1、有关切线的相关问题
例题、【2015高考新课标1，理21】已知函数f（x）= .
(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线 的切线；
【答案】（Ⅰ）
跟踪练习：
1、【2011高考新课标1，理21】已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 。
高考数学专题复习——导数
一、有关切线的相关问题
二、导数单调性、极值、最值的直接应用
三、交点与根的分布
1、判断零点个数
2、已知零点个数求解参数范围
四、不等式证明
1、作差证明不等式
2、变形构造函数证明不等式
3、替换构造不等式证明不等式
五、不等式恒成立求参数范围
1、恒成立之最值的直接应用
2、恒成立之分离常数
（一）单调性
1、根据导数极值点的相对大小进行讨论
例题：【2015高考江苏，19】
已知函数 .
（1）试讨论 的单调性；
【答案】（1）当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减．
当 时， 时， ， 时， ，
所以函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减．
(5)函数 （非常量函数）在区间I上不单调等价于 在区间I上有极值，则可等价转化为方程 在区间I上有实根且为非二重根。（若 为二次函数且I=R，则有 ）。
(6) 在区间I上无极值等价于 在区间在上是单调函数，进而得到 或 在I上恒成立
(7)若 ， 恒成立，则 ; 若 ， 恒成立，则
(8)若 ，使得 ，则 ；若 ，使得 ，则 .
而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝ex(cx＋d＋c)，
故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.
从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.
3、(2014课标全国Ⅰ，理21)设函数 ，曲线 在点（1， 处的切线为 . (Ⅰ)求 ；
【解析】：(Ⅰ) 函数 的定义域为 ，
由题意可得 ，故 ……………6分
二、导数单调性、极值、最值的直接应用
练习：已知函数 ， ．
（1）求函数 的单调区间；
解：函数 的定义域为 ．
．
令 ，得 ，记 ．
（ⅰ）当 时， ，所以 单调减区间为 ； …………5分
（ⅱ）当 时，由 得 ，
①若 ，则 ，
由 ，得 ， ；由 ，得 ．
所以， 的单调减区间为 ， ，单调增区间为 ； …………………………………………………………7分
(9)设 与 的定义域的交集为D，若 D 恒成立，则有
.
(10)若对 、 ， 恒成立，则 .
若对 ， ，使得 ,则 .
若对 ， ，使得 ，则 .
（11）已知 在区间 上的值域为A,， 在区间 上值域为B，
若对 , ，使得 = 成立，则 。
(12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程 有两个不等实根 ，且极大值大于0，极小值小于0.
3、恒成立之讨论参数范围
六、函数与导数性质的综合运用
导数运用中常见结论
(1)曲线 在 处的切线的斜率等于 ，且切线方程为
。
(2)若可导函数 在 处取得极值，则 。反之，不成立。
(3)对于可导函数 ，不等式 的解集决定函数 的递增（减）区间。
(4)函数 在区间I上递增（减）的充要条件是： 恒成立（ 不恒为0）.
单调递减区间为 ． ……………………………………7分
（ⅱ）若 ， 在 上恒成立，则 在 上恒成立，此时 在 上单调递增． ……………………………………………………………
3、含绝对值的函数单调性讨论
当 ，函数 单调递增.
综上所述：当 时，函数 在 单调递减， 单调递增；
当 时 , 恒成立,此时 ，函数 在 单调递减；
当 时,函数 在 递减, 递增, 递减.
2、已知 为实数，函数 ，函数 ，令函数 ．
当 时，求函数 的单调区间．
解：函数 ，定义域为 ．
当…………………9分
例题：【2015高考四川，理21】已知函数 ，其中 .
（1）设 是 的导函数，评论 的单调性；
【答案】（1）当 时， 在区间 上单调递增， 在区间 上单调递减；当 时， 在区间 上单调递增.
【解析】（1）由已知，函数 的定义域为 ，
，
所以 .
当 时， 在区间 上单调递增，
在区间 上单调递减；
当 时， 在区间 上单调递增.
2. 已知函数 ．
求函数 的单调区间；
解：函数的定义域为 ， ． ……………1分
（1）当 时， 在 上恒成立，
则 在 上恒成立，此时 在 上单调递减． ……………4分
（2）当 时， ，
（ⅰ）若 ，
由 ，即 ，得 或 ； ………………5分
由 ，即 ，得 ．………………………6分
所以函数 的单调递增区间为 和 ，
练习：1、已知函数 .
⑴当 时，讨论 的单调性；
答案：⑴ ，
令
①当 时， ，当 ,函数 单调递减；当 ，函数 单调递增.
②当 时，由 ，即 ，解得 .
当 时 ， 恒成立，此时 ，函数 单调递减；
当 时， , 时 ，函数 单调递减；
时， ，函数 单调递增；
时， ，函数 单调递减.
当 时 ，当 ,函数 单调递减；
①当 ，即 时， ．
∴当 时，函数 的单调减区间为 ， ．………………11分
②当 时，解 得 ．
∵ ，
∴令 ，得 ， ， ；
令 ，得 ． ……………………………13分
∴当 时，函数 的单调减区间为 ， ， ；函数 单调增区间为 ． …………15分
③当 ，即 时，由（2）知，函数 的单调减区间为 及
2、根据判别式进行讨论
（Ⅰ）求 、 的值；
解：（Ⅰ）
由于直线 的斜率为 ，且过点 ，故 即
解得 ， 。
2、(2013课标全国Ⅰ，理21)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0,2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.
(1)求a，b，c，d的值；
解：(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.
②若 ，由（1）知 单调增区间为 ，单调减区间为 ；
③若 ，则 ，
由 ，得 ；由 ，得 ．
的单调减区间为 ，单调增区间为 ． ……9分
综上所述：当 时， 的单调减区间为 ；
当 时， 的单调减区间为 ， ，单调增区间为 ；
当 时， 单调减区间为 ，单调增区间为 ． ………………………………………………………10分