【必考题】高考数学试题(带答案)

【必考题】高考数学试题(带答案)

一、选择题

1．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是（ ） A ．

110

B ．

310

C ．

35

D ．

25

2．设集合M={1，2，4，6，8},N={1，2，3，5，6，7},则M ?N 中元素的个数为( ) A ．2

B ．3

C ．5

D ．7

3．将编号为1,2,3,4,5,6的六个小球放入编号为1,2,3,4,5,6的六个盒子，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法种数是( ) A ．40 B ．60 C ．80 D ．100

4．若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（ ） A ．sin(+

)2

π

α B ．s(+

)2

co π

α C ．sin()πα+ D ．s()co πα+

5．已知平面向量a ,b 是非零向量,|a |=2,a ⊥(a +2b ),则向量b 在向量a 方向上的投影为( ) A ．1

B ．-1

C ．2

D ．-2

6．设i 为虚数单位，复数z 满足21i

i z

=-，则复数z 的共轭复数等于（ ） A ．1-i

B ．-1-i

C ．1+i

D ．-1+i

7．若,αβ是一组基底,向量γ=x α+y β (x,y ∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量α在基底p =(1,-1), q =(2,1)下的坐标为(-2,2),则α在另一组基底m =(-1,1),

n =(1,2)下的坐标为( )

A ．(2,0)

B ．(0,-2)

C ．(-2,0)

D ．(0,2)

8．若不等式222424ax ax x x +-<+ 对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是

（ ） A ．(22)-，

B ．(2)(2)-∞-?+∞，

， C ．(22]-，

D ．(2]-∞，

9．甲、乙、丙、丁四名同学组成一个4100米接力队，老师要安排他们四人的出场顺

序，以下是他们四人的要求:甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒.老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定在老师安排的出场顺序中跑第三棒的人是( ) A ．甲

B ．乙

C ．丙

D ．丁

10．已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为5

y x =，且与椭圆

22

1123x y +=有公共焦点，则C 的方程为（ ） A ．221810

x y -=

B ．22145

x y -=

C ．22

154

x y -=

D ．22

143

x y -=

11．已知非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ?? ?+?= ?

??

且

1

2AB AC AB AC ?=，则ABC 的形状是（ ） A ．三边均不相等的三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形

D ．以上均有可能

12．在[0,2]π内，不等式3

sin x <-的解集是（ ） A ．(0)π，

B ．4,33ππ??

??

?

C ．45,33ππ??

???

D ．5,23ππ??

???

二、填空题

13．若双曲线22

221x y a b

-=()0,0a b >>两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程

是___________.

14．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm ，圆心角为23

π

的扇形，则此圆锥的高为

________cm .

15．在ABC ?中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3

A π

=

，3a =，b=1,则

c =_____________

16．函数()lg 12sin y x =-的定义域是________．

17．在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆2cos ρθ=相切，则

a =__________．

18．能说明“若f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，则f （x ）在［0，2］上是增函数”为假命题的一个函数是__________．

19．如图，圆C （圆心为C ）的一条弦AB 的长为2，则AB AC ?=______．

20．已知集合P 中含有0,2,5三个元素,集合Q 中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q 中的元素为a+b ,其中a ∈P ,b ∈Q ,则集合P+Q 中元素的个数是_____.

三、解答题

21．

11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束. （1）求P （X =2）；

（2）求事件“X =4且甲获胜”的概率. 22．已知曲线C 的参数方程为32cos 12sin x y α

α=+??=-?

（a 参数），以直角坐标系的原点为极点，

x 正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；

（Ⅱ）若直线l 极坐标方程为1

sin 2cos θθρ

-=，求曲线C 上的点到直线l 最大距离.

23．已知数列{}n a 与{}n b 满足：*1232()n n a a a a b n N ++++=∈，且{}n a 为正项等比

数列，12a =，324b b =+. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n c 满足*221

1

()log log n n n c n N a a +=

∈，n T 为数列{}n c 的前n 项和，证明：

1n T <.

24．已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n >+ ？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.

25．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，已知甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6，0.5，0.5，假设各盘比赛结果相互独立．

（I ）求红队至少两名队员获胜的概率；

（II ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C 解析：C

【分析】

设第一张卡片上的数字为x ，第二张卡片的数字为y ，问题求的是()P x y ≤， 首先考虑分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，有多少种可能，再求出x y ≤的可能性有多少种，然后求出()P x y ≤. 【详解】

设第一张卡片上的数字为x ，第二张卡片的数字为y ， 分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，共有5525?=种情况， 当x y ≤时，可能的情况如下表：

()255

P x y ≤=

=，故本题选C .

【点睛】

本题考查用列举法求概率，本问题可以看成有放回取球问题.

2．B

解析：B 【解析】

试题分析：{1,2,6)M N ?=.故选B. 考点：集合的运算.

3．A

解析：A

【解析】解：三个小球放入盒子是不对号入座的方法有2 种，由排列组合的知识可得，不

同的放法总数是： 3

6240C = 种.

本题选择A 选项.

4．D

解析：D 【解析】 【分析】

利用诱导公式化简选项，再结合角α的终边所在象限即可作出判断.

解：角α的终边在第二象限，sin +

2πα??

??

?

＝cos α＜0，A 不符； s +2co πα?

? ???＝sin α-＜0，B 不符；

()sin πα+＝sin α-＜0，C 不符； ()s co πα+＝s co α-＞0，所以，D 正确

故选D 【点睛】

本题主要考查三角函数值的符号判断，考查了诱导公式，三角函数的符号是解决本题的关键．

5．B

解析：B 【解析】 【分析】

先根据向量垂直得到a (a +2b ),=0，化简得到a b =﹣2，再根据投影的定义即可求出． 【详解】

∵平面向量a ,b 是非零向量,|a |=2,a ⊥(a +2b ), ∴a (a +2b ),=0， 即()

2

·20a a b += 即a b =﹣2

∴向量b 在向量a 方向上的投影为·2

2

a b a -==﹣1， 故选B ． 【点睛】

本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．

6．B

解析：B 【解析】 【分析】

利用复数的运算法则解得1i z =-+，结合共轭复数的概念即可得结果. 【详解】 ∵复数z 满足

21i

i z =-，∴()()()

2121111i i i z i i i i +===---+， ∴复数z 的共轭复数等于1i --，故选B.

本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

7．D

解析：D 【解析】 【分析】 【详解】

由已知α=-2p +2q =(-2,2)+(4,2)=(2,4), 设α=λm +μn =λ(-1,1)+μ(1,2)=(-λ+μ,λ+2μ), 则由224λμλμ-+=??

+=?解得0

2λμ=??=?

∴α=0m +2n ,∴α在基底m , n 下的坐标为(0,2).

8．C

解析：C 【解析】

由题意，不等式222424ax ax x x +-<+，可化为2

(2)2(2)40a x a x -+--<， 当20a -=，即2a =时，不等式恒成立，符合题意； 当20a -≠时，要使不等式恒成立，需2)2

20

4(44(2)0a a a --

， 解得22a -<<，

综上所述，所以a 的取值范围为(2,2]-，故选C ．

9．C

解析：C 【解析】 【分析】

跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意；当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意． 【详解】

由题意得乙、丙均不跑第一棒和第四棒， ∴跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，

当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意； 当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意． 故跑第三棒的是丙． 故选：C ． 【点睛】

本题考查推理论证，考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力、分析判断能力，是基础题．

10．B

解析：B 【解析】 【分析】

根据渐近线的方程可求得,a b 的关系,再根据与椭圆22

1123

x y +=有公共焦点求得c 即可.

【详解】

双曲线C

的渐近线方程为2

y x =,

可知b a =

①,椭圆221123x y +=的焦点坐标为(－3,0)和(3,0),所以a 2＋b 2＝9②,根据①②可知a 2＝4,b 2＝5. 故选：B. 【点睛】

本题主要考查了双曲线与椭圆的基本量求法,属于基础题型.

11．C

解析：C 【解析】 【分析】

AB

AB 和AC

AC 分别表示向量AB 和向量AC 方向上的单位向量，0AB AC BC AB AC ??

?+?= ?

??表示A ∠平分线所在的直线与BC 垂直，可知ABC 为等腰三角形，再由1

2

AB AC AB

AC

?

=

可求出A ∠，即得三角形形状。 【详解】

由题的，∵0AB AC BC AB AC ??

?+?= ???

，∴A ∠平分线所在的直线与BC 垂直，∴ABC 为等腰三角形.又12AB AC AB

AC

?

=

，∴1cos 2A =，∴3

A π

=，故ABC 为等边三角形. 故选：C 【点睛】

本题考查向量的几何意义和三角形角平分线的性质，以及求两个向量的夹角，是一道中档难度的综合题。

12．C

解析：C 【解析】

根据正弦函数的图象和性质，即可得到结论． 【详解】

解：在[0，2π]内，

若sin x 3

2

-

＜，则43π＜x 53π＜， 即不等式的解集为（43π，53

π）， 故选：C ． 【点睛】

本题主要考查利用三角函数的图象与性质解不等式，考查数形结合的思想，属于基础题．

二、填空题

13．【解析】【分析】由题意知渐近线方程是再据得出与的关系代入渐近线方程即可【详解】∵双曲线的两个顶点三等分焦距∴又∴∴渐近线方程是故答案为【点睛】本题考查双曲线的几何性质即双曲线的渐近线方程为属于基础题 解析：22y x =±

【解析】 【分析】

由题意知，渐近线方程是b y x a =±，1

223

a c =?，再据222c a

b =+，得出 b 与a 的关系，代入渐近线方程即可． 【详解】

∵双曲线22

221x y a b

-= (0,0)a b >>的两个顶点三等分焦距，

∴1

223

a c =

?，3c a =，又222c a b =+，∴22b a = ∴渐近线方程是22b

y x x a

=±

=±，故答案为2y x =±．

本题考查双曲线的几何性质即双曲线22

221x y a b

-= (0,0)a b >>的渐近线方程为b y x

a =±属于基础题．

14．【解析】【分析】设此圆的底面半径为高为母线为根据底面圆周长等于展开扇形的弧长建立关系式解出再根据勾股定理得即得此圆锥高的值【详解】设此圆的底面半径为高为母线为因为圆锥的侧面展开图是一个半径为圆心角为 解析：

42

【解析】 【分析】

设此圆的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，根据底面圆周长等于展开扇形的弧长，建立关系式解出r ，再根据勾股定理得22h l r =- ，即得此圆锥高的值． 【详解】

设此圆的底面半径为r ，高为h ，母线为l ，

因为圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm ，圆心角为2

3

π的扇形, 所以2l =，得24233r l πππ=

?= ,解之得23

r =， 因此,此圆锥的高2

2

2

2

242cm 332h l r ??=-=-= ???

，

故答案为42

． 【点睛】

本题给出圆锥的侧面展开图扇形的半径和圆心角，求圆锥高的大小，着重考查了圆锥的定义与性质和旋转体侧面展开等知识，属于基础题．

15．2【解析】【分析】根据条件利用余弦定理可建立关于c 的方程即可解出c 【详解】由余弦定理得即解得或（舍去）故填2【点睛】本题主要考查了利用余弦定理求三角形的边属于中档题

解析：2 【解析】 【分析】

根据条件，利用余弦定理可建立关于c 的方程，即可解出c.

由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得231c c =+-，即220c c --=，解得2c =或

1c =-（舍去）.故填2. 【点睛】

本题主要考查了利用余弦定理求三角形的边，属于中档题.

16．【解析】由题意可得函数满足即解得即函数的定义域为

解析：513|22,66x k x k k Z ππππ??

+<<+∈?

???

【解析】

由题意可得，函数lg(12sin )y x =-满足12sin 0x ->，即1

sin 2

x ， 解得

51322,66

k x k k Z ππππ+<<+∈， 即函数lg(12sin )y x =-的定义域为513{|

22,}66

x k x k k Z ππ

ππ+<<+∈. 17．【解析】【分析】根据将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程再根据圆心到直线距离等于半径解出【详解】因为由得由得即即因为直线与圆相切所以【点睛】（1）直角坐标方程化为极坐标方程只要运用公式及直接代入并化

解析：1【解析】 【分析】

根据2

2

2

,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程，再根据圆心到直线距离等于半径解出a . 【详解】

因为2

2

2

,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==， 由cos sin (0)a a ρθρθ+=>，得(0)x y a a +=>，

由2cos ρθ=，得2

=2cos ρρθ，即22=2x y x +，即22(1)1x y -+=，

1101a a a =∴=±>∴=+，，

【点睛】

（1）直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式cos x ρθ=及sin y ρθ=直接代入并化简即可；

（2）极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如2

cos ,sin ,ρθρθρ的形式，

进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.

18．y=sinx （答案不唯一）【解析】分析：举的反例要否定增函数可以取一个分段函数使得f （x ）>f （0）且（02］上是减函数详解：令则f （x ）>f （0）对任意

的x ∈（02］都成立但f （x ）在［02］上不

解析：y =sin x （答案不唯一）

【解析】

分析：举的反例要否定增函数，可以取一个分段函数，使得f （x ）>f （0）且（0，2］上是减函数.

详解：令0,0

()4,(0,2]

x f x x x =?=?

-∈?，则f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，但f

（x ）在［0，2］上不是增函数.

又如，令f （x ）=sin x ，则f （0）=0，f （x ）>f （0）对任意的x ∈（0，2］都成立，但f （x ）在［0，2］上不是增函数.

点睛：要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值0x ，使0()p x 不成立即可.通常举分段函数.

19．2【解析】【分析】过点C 作CD ⊥AB 于D 可得Rt △ACD 中利用三角函数的定义算出再由向量数量积的公式加以计算可得的值【详解】过点C 作CD ⊥AB 于D 则D 为AB 的中点Rt △ACD 中可得cosA==2故答

解析：2 【解析】 【分析】

过点C 作CD⊥AB 于D ，可得1

AD AB 12

=

=，Rt△ACD 中利用三角函数的定义算出1

cos A AC

=

，再由向量数量积的公式加以计算，可得AB AC ?的值． 【详解】

过点C 作CD ⊥AB 于D ，则D 为AB 的中点．

Rt △ACD 中，1

AD AB 12

==， 可得cosA=11

,cosA AD AB AC AB AC AB AC AB AC AC AC

=∴?=?=??==2． 故答案为2 【点睛】

本题已知圆的弦长，求向量的数量积．着重考查了圆的性质、直角三角形中三角函数的定义与向量的数量积公式等知识，属于基础题．

20．8【解析】【详解】由题意知a∈Pb∈Q 则a+b 的取值分别为123467811故

集合P+Q 中的元素有8个点睛：求元素(个数)的方法根据题目一一列举可能取值(应用列举法和分类讨论思想)然后根据集合元素的

解析：8 【解析】 【详解】

由题意知a ∈P ,b ∈Q ,则a+b 的取值分别为1,2,3,4,6,7,8,11.故集合P+Q 中的元素有8个. 点睛：求元素(个数)的方法，根据题目一一列举可能取值(应用列举法和分类讨论思想)，然后根据集合元素的互异性进行检验，相同元素重复出现只算作一个元素，判断出该集合的所有元素，即得该集合元素的个数．

三、解答题

21．（1）0.5；（2）0.1 【解析】 【分析】

(1)本题首先可以通过题意推导出()2P X =所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果； (2)本题首先可以通过题意推导出4P X 所包含的事件为“前两球甲乙各得1分，后两

球均为甲得分”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果．

【详解】

(1)由题意可知，()2P X =所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球” 所以2

0.50.40.50.60.5P X

(2)由题意可知，4P X 包含的事件为“前两球甲乙各得1分，后两球均为甲得分”

所以4

0.50.60.50.4+0.50.40.50.40.1P X

【点睛】

本题考查古典概型的相关性质，能否通过题意得出()2P X =以及4P X 所包含的事

件是解决本题的关键，考查推理能力，考查学生从题目中获取所需信息的能力，是中档

题．

22．（1）2

6cos 2sin 60ρρθρθ--+=（22 【解析】 【分析】

（1）利用平方和为1消去参数α得到曲线C 的直角坐标方程，再利用y sin x cos ρθ

ρθ=??=?

，整理

即可得到答案；（2）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，加上半径即可得到最大距离. 【详解】

（1）由3212x cos y sin αα=+??=-?，得3212x cos y sin α

α-=??-=-?

，

两式两边平方并相加，得()()2

2

314x y -+-=， 所以曲线C 表示以()3,1为圆心，2为半径的圆.

将y sin x cos ρθρθ

=??=?代入得()()22

cos 3sin 14ρθρθ-+-=，化简得26cos 2sin 60ρρθρθ--+=

所以曲线C 的极坐标方程为2

6cos 2sin 60ρρθρθ--+= （2）由1

sin 2cos θθρ

-=

，得sin 2cos 1ρθρθ-=，即21y x -=，得210x y -+=

所以直线l 的直角坐标方程为210x y -+= 因为圆心()3,1C 到直线:l 210x y -+=的距离

d ==

， 所以曲线

C 上的点到直线l 的最大距离为2d r +=+. 【点睛】

本题考查直角坐标方程，参数方程及极坐标方程之间的互化，考查直线与圆的位置关系的应用，属于基础题.

23．（1）2n

n a =，21n n b =-；（2）证明见解析.

【解析】 【分析】

（1）由a 1+a 2+a 3+…+a n ＝2b n ①，n ≥2时，a 1+a 2+a 3+…+a n ﹣1＝2b n ﹣1②，①﹣②可得：a n ＝2（b n ﹣b n ﹣1）（n ≥2），{a n }公比为q ，求出a n ，然后求解b n ；（2）化简

221

1

log log n n n c a a +=

（n ∈N *），利用裂项消项法求解数列的和即可．

【详解】

（1）由a 1+a 2+a 3+…+a n ＝2b n ①

n ≥2时，a 1+a 2+a 3+…+a n ﹣1＝2b n ﹣1②

①﹣②可得：a n ＝2（b n ﹣b n ﹣1）（n ≥2）， ∴a 3＝2（b 3﹣b 2）＝8

∵a 1＝2，a n ＞0，设{a n }公比为q ， ∴a 1q 2

＝8，∴q ＝2 ∴a n ＝2×2n ﹣1＝2n ∴(

)1231

212222222

212

n n

n n b +-=++++=

=--，

∴b n ＝2n ﹣1．

（2）证明：由已知：()2211111

1n n 1

n n n c log a log a n n +===-++．

∴1231111

111111223

n n 11

n c c c c n ++++=-+-+

+

-=-<++ 【点睛】

本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查转化思想以及计算能力．数列求和的常见方法有：列项求和，错位相减求和，倒序相加求和.

24．(1) 通项公式为2n a = 或42n a n =-;(2) 当2n a = 时，不存在满足题意的正整数

n ；当42n a n =- 时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41.

【解析】 【详解】

（1）依题意，2,2,24d d ++成等比数列， 故有()()2

2224d d +=+， ∴240d d -=，解得4d =或0d =. ∴()21442n a n n =+-?=-或2n a =.

（2）当2n a = 时，不存在满足题意的正整数n ； 当42n a n =-，∴()224222

n n n S n ??+-??

=

=.

令2260800n n >+，即2304000n n -->， 解得40n >或10n <-（舍去）， ∴最小正整数41n =.

25．（Ⅰ）0.55；（Ⅱ）详见解析 【解析】 【分析】 【详解】

解：（I ）设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ， 则,,D E F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B ，丙不胜C 的事件．

因为()0.6,()0.5,()0.5===P D P E P F ，()0.4,()0.5,()0.5∴===P D P E P F ． 红队至少两人获胜的事件有：,,,DEF DEF DEF DEF ，

由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率

()()()()

0.60.50.50.60.50.50.40.50.50.60.50.50.55

P P DEF P DEF P DEF P DEF =+++=??+??+??+??=

（II ）由题意知ξ可能的取值为0，1，2，3．

又由（I ）知,,DEF DEF DEF 是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立， 因此(0)()0.40.50.50.1P P DEF ξ===??=，

(1)()()()ξ==++P P DEF P DEF P DEF

(1)0.40.50.50.40.50.50.60.50.50.35ξ==??+??+??=P (3)()0.60.50.50.15P P DEF ξ===??=，

由对立事件的概率公式得(2)1[(0)(1)(3)]0.4.P P P P ξξξξ==-=+=+== 所以ξ的分布列为：

因此