三年级几何图形计数教师版
三年级上册数学《几何图形计数问题》竞赛试题-人教版(含答案)
几何图形计数问题☆基础题1、数一数下图中有多少条线段？2、从郑州到上海的一列火车，中间要停5站，那么在此次列车上，铁路部门要为旅客准备多少种不同的火车票？3、下图中有多少个三角形？4、下图中有多少个正方形？5、下图中有多少个长方形？☆☆提高题1、有20个钉子如图摆放，以钉子为顶点围成一个正方形，可以围成多少个正方形？2、下图中有多少个正方形？多少个三角形？3、下图中有多少个三角形？4、下图中，有多少个包含“★”的长方形。
5、下图中，有多少个长方形同时包含“★”和“☆”。
6、下图中梯形的个数与三角形的个数的差是多少？☆☆☆竞赛题1、如下图，边界上各条线段的长度依次是5厘米、12厘米、8厘米、1厘米、2厘米、4厘米、7厘米、3厘米。
（1）图中一共有多少个长方形？（2）这些长方形的面积和是多少平方厘米？2、下图中的正方形被分成了9个相同的小正方形，它们有16个顶点（共同的顶点算一个），以其中不在一条直线上的3个点为顶点，可以构成三角形，在这些三角形中，与阴影三角形的面积一样大的三角形有多少个？3、下图中有多少个正方形？4、一张长方形纸片，长是宽的2倍，先对折成正方形，再对折成长方形，再对折成正方形，……，共对折7次，将纸打开展平，数一数用折痕分割成的正方形共有多少个？参考答案☆基础题1、答案：36条解析：基本线段是指：只有一条线段组成的线段叫做基本线段，本题中基本线段的条数是8条，所有线段的条数是：8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36（条）2、答案：42种解析：去时要准备：6＋5＋4＋3＋2＋1＝21（种）一共要准备：21×2＝42（种）3、答案：12个解析：可以把这个三角形分成两部分来看，上层红色部分有：3＋2＋1＝6（个），下层蓝色部分有：3＋2＋1＝6（个），所以一共有：6×2＝12（个）4、答案：32个解析：如下图，把原长方形分成两个同样大小的正方形，（3×3＋2×2＋1×1）×2＝28（个）在蓝色部分的长方形中，还有2个正方形，以蓝色长方形的长为边的正方形还有2个，所以正方形的总个数是：28＋2＋2＝32（个）5、答案：150个解析：先沿着长的方向数：基本线段的条数数是5个，则所有线段的条数是：5＋4＋3＋2＋1＝15（条）；再沿着宽的方向数：基本线段的条数是4个，则所有线段的条数是：4＋3＋2＋1＝10（条），则在这个图中所有长方形的个数：15×10＝150（个）☆☆提高题1、答案：21个解析：如下图，①形如玫红色正方形有：5＋4＝9（个）；②形如黄色正方形有：4个；③形如黑色正方形有：4个；④形如蓝色正方形有：2个；⑤形如红色正方形有2个，所有正方形的总个数是：9＋4＋4＋2＋2＝21（个）2、答案：正方形个数：10个；三角形个数：44个。
3年级奥数-数数图形(教师版)
数数图形教学目标认识了解线段、角、三角形、长方形等基本图形；学会数基本图形的个数；掌握数图形的规律。
知识梳理一、学会数图形同学们，你想学会数图形的方法吗？要想不重复也不遗漏地数出线段、角、三角形、长方形……那就必须要有次序、有条理地数，从中发现规律，以便得到正确的结果。
要正确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。
首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个，然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。
当我们识了线段、角、三角形、长方形等基本图形后，这些图形重重叠叠地交错在一起时就构成了复杂的几何图形。
要想准确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个数，就需要仔细地观察，灵活地运用有关的知识和思考方法，掌握数图形的规律，才能获得正确的结果。
二、解题策略要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点：1.弄清被数图形的特征和变化规律。
2.要按一定的顺序数，做到不重复，不遗漏。
典例分析考点一：基本图形例1、数出下图中有多少条线段？【解析】方法一：我们可以采用以线段左端点分类数的方法。
以A点为左端点的线段有：AB、AC、AD3条；以B点为左端点的线段有：BC、BD2条；以C点为左端点的线段有：CD1条。
所以，图中共有线段3+2+1=6(条)。
方法二：把图中线段AB、BC、CD看做基本线段来数，那么，由1条基本线段构成的线段有：AB、BC、CD3条；由2条基本线段构成的线段有:AC、BD2条；由3条基本线段构成的线段有：AD1条。
所以，图中一共有3+2+1=6(条)线段。
例2、数出图中有几个角？【解析】数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数。
方法一：以OA为一边的角有：∠AOB、∠AOC、∠AOD3个；以OB为一边的角还有：∠BOC、∠BOD2个；以OC为一边的角还有：∠COD1个。
所以，图中共有角3+2+1=6(个)。
方法二：把图中∠AOB、∠BOC、∠COD看做基本角来数，那么，由1个基本角构成的角有：∠AOB、∠BOC、∠COD3个；由2个基本角构成的角有:∠AOC、∠BOD2个；由3个基本角构成的角有：∠AOD1个。
小学奥数教程之-几何计数(三)教师版 (162) 全国通用(含答案)
1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边． 数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．ED CBA数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．模块一、立体几何计数【例 1】 用同样大小的正方体小木块堆成如下图的立体图形，那么一共用了__________块小正方体。
小学奥数习题版三年级几何一笔画教师版
知识要点一笔画【课前引入】老师可在黑板上画一些简单的一笔画的动物图形做引入，例如下面的蝴蝶、蜗牛、鹅以及金鱼都是用一笔画成的。
由此引出关于一笔画的由来：18世纪，东普鲁士的首府哥尼斯堡是一座景色迷人的城市，普莱格尔河横贯城区，使这座城市锦上添花，显得更加风光旖旋。
这条河有两条支流，在城中心汇成大河，在河的中央有两座美丽的小岛。
河上有七座各具特色的桥把岛和河岸连接起来。
（如下图所示）每到傍晚，许多人都来此散步。
人们漫步于这七座桥之间，久而久之，就形成了这样一个问题：能不能既不重复又不遗漏地一次相继走遍这七座桥？这就是闻名遐迩的“哥尼斯堡七桥问题。
”每一个到此游玩或散心的人都想试一试，可是，对于这一看似简单的问题，没有一个人能符合要求地从七座桥上走一遍。
这个问题后来竟变得神乎其神，说是有一支队伍，奉命要炸毁这七座桥，并且命令要他们按照七桥问题的要求去炸。
七桥问题也困绕着哥尼斯堡大学的学生们，在屡遭失败之后，他们给当时著名数学家欧拉写了一封信，请他帮助解决这个问题。
欧拉看完信后，对这个问题也产生了浓厚的兴趣。
他想，既然岛和半岛是桥梁的连接地点，两岸陆地也是桥梁的连接地点，那就不妨把这四处地方缩小成四个点，并且把这七座桥表示成七条线。
（如右上图所示）这样，原来的七桥问题就抽象概括成了如下的关系图：这显然并没有改变问题的本质特征。
于是，七桥问题也就变成了一个一笔画的问题，即：能否笔不离纸，不重复地一笔画完整个图形。
这竟然与孩子们的一笔画游戏联系起来了。
接着，欧拉就对“一笔画”问题进行了数学分析一笔画有起点和终点，起点和终点重合的图形称为封闭图形，否则便称为开放图形。
除起点和终点外，一笔画中间可能出现一些曲线的交点。
欧拉注意到，只有当笔沿着一条弧线到达交点后，又能沿着另一条弧线离开，也就是交汇于这些点的弧线成双成对时，一笔画才能完成，这样的交点就称为“偶点”。
如果交汇于这些点的弧线不是成双成对，也就是有奇数条，则一笔画就不能实现，这样的点又叫做“奇点”。
三年级下册数学教案-第十单元复习图形与几何-苏教版
三年级下册数学教案：第十单元复习图形与几何（苏教版）教学目标：1. 让学生通过复习，巩固和掌握本册图形与几何部分的基本知识和技能。
2. 培养学生运用图形与几何知识解决实际问题的能力。
3. 培养学生的空间观念和几何直观，提高学生的数学思维能力。
教学内容：1. 图形的认识：长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆形。
2. 图形的特征：长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆形的特征。
3. 图形的周长：长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆形的周长。
4. 图形的面积：长方形、正方形、三角形的面积。
5. 图形的拼组：长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆形的拼组。
教学方法：1. 讲授法：教师通过讲解，让学生理解图形与几何的基本概念和性质。
2. 演示法：教师通过演示，让学生直观地理解图形的特征和计算方法。
3. 练习法：通过练习，让学生巩固图形与几何的知识和技能。
教学步骤：第一课时：图形的认识和特征1. 复习图形的认识：教师出示各种图形，让学生辨认并说出图形的名称。
2. 复习图形的特征：教师引导学生观察各种图形，说出它们的特征。
第二课时：图形的周长和面积1. 复习图形的周长：教师引导学生计算长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆形的周长。
2. 复习图形的面积：教师引导学生计算长方形、正方形、三角形的面积。
第三课时：图形的拼组1. 教师出示各种图形，让学生进行拼组。
2. 学生展示自己的拼组作品，并说出拼组的方法。
教学评价：1. 学生能够正确地辨认和说出各种图形的名称。
2. 学生能够说出各种图形的特征。
3. 学生能够正确地计算长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆形的周长和面积。
4. 学生能够进行图形的拼组，并说出拼组的方法。
教学反思：通过本单元的复习，学生对图形与几何的知识有了更深入的理解和掌握。
在教学过程中，要注意引导学生观察、思考和动手操作，培养他们的空间观念和几何直观。
同时，要注重培养学生的数学思维能力，让他们能够运用图形与几何知识解决实际问题。
几何图形综合(三年级培优)教师版
长方形与正方形的面积计算下图面积。
（每个小正方形面积是1）【图片来自于2013年秋季四年级讲义】难度等级：A知识点：直接计数法，即先数出每个图形中有几个完整的方格，不足一格的仔细观察后看看哪几个能拼成一个完整的方格，如果不能拼成一格，看看此格比半格多，还是比半格少。
小于半格的舍去。
如果是轴对称图形，只需要数以对称轴为中心的一半，然后将数出的格子数乘2即可。
解：11、12、12.5求下列图形的面积。
【来自于三年级优等生数学】33483843难度等级：A知识点：不规则图形多边形的面积，可以通过分割的方法，将多边形分割成几个正方形或长方形，从而求出图形的面积。
解：（1）面积：233384=⨯-⨯。
（2）面积：413384=⨯+⨯。
张大伯家用篱笆围上两个羊圈，都看成正方形，如下图所示。
【来自于2013年春季三年级】(1)第一个篱笆长48米，羊圈占地面积是多少平方米？(2)第二个篱笆长48米，这个羊圈占地面积是多少平方米？难度等级：B知识点：正方形周长公式及面积公式解：（1）48÷4=12(米)；12×12=144(平方米）（2）48÷3=16(米)；16×16=256(平方米）某饭店准备在一块长方形的地面上增修一座大楼（如图），这个长方形的周长是260米，长是90米，已知大楼的地基是正方形，其余空地修喷水池。
喷水池的面积是多少？【来自于2013年春季三年级】解析：由长方形的周长和长可求出喷水池的宽，也就是大楼的边长，求出大楼的边长也就可以求出喷水池的长。
喷水池的面积代入公式即可求出。
大楼喷水池难度等级：B知识点：长方形周长及面积公式解：长方形的宽：40902260=-÷（米）喷水池的长：504090=-（米）喷水池面积：20005040=⨯（平方米）下图是一个等腰直角三角形，请求出它的面积。
【来自于2013年春季三年级】14 cm14 cm难度等级：C知识点：正方形平均分成4个等要直角三角形 解：4941414=÷⨯（平方厘米）。
平面图形计数-第十讲的计数和面积教师版
第十讲 平面图形的计数和面积一、 基础知识本讲的主要内容包括两部分：平面图形计数和平面图形面积计算。
（一）平面图形计数平面图形计数是指求满足一定条件的某种几何图形的个数。
解决这类问题常用方法是穷举（枚举）计数法，分类计数法，归纳递推法，应用原理（加法原理和乘法原理）。
这里为同学总结常用的一些公式。
1．数线段：一条线段上有n 个点（包括最两边端点），则共有线段条。
数角和三角形可借用此公式。
2．数长方形：长边有n 个点，宽边有m 个点，则共有长方形（包括正方形）·个。
3. 数正方形：每边有n 个点，则共有正方形（n-1）2+（n －2）2+（n －3）2+···+22+124. 直线分平面：平面上有n 条直线，则最多可把平面分成1+n （n+1）/2 类似的还有圆、三角形等分平面。
（二）平面图形面积计算1．图形面积是平面几何的重要内容之一．常用的面积公式有： (1)三角形面积公式：，其中a 为三角形的边长，a h 为边a 上的高．(2)平行四边形面积公式：..a b S a h b h ==，其中a 、b 分别为平行四边形的两条邻边的长，a h ﹑b h 分别为平行四边形a 、b 边上的高． (3)梯形面积公式：S 梯形=，其中a 、b 和h 分别为梯形的上底、下底和高.(4)圆面积公式：S 圆=兀R 2，其中R 为圆的半径．2．图形面积的有关性质：(1)一个图形的面积等于其各部分面积的和．(2)等底(同底)等高(同高)的两个三角形面积相等．(3)等底(同底)等高(同高)的三角形面积是平行四边形面积的一半． (4)等底(高)的两个三角形面积之比等于对应高(底)的比.3．面积问题通常包括两方面的内容：一是几何图形的面积计算与证明：二县用面积法解题．本讲重点介绍如何计算面积，一般有下面两种方法：(1)把一个不规则图形分割成三角形、平行四边形、梯形等规则图形，利用面积的和、差来计算； (2)利用等积变换进行代换．求一个图形的面积，关键在于如何转化为三角形的面积或规则图形的面积；证明面积之间的关系重点在于运用面积公式及等积变换进行比较、转化二、活题巧解（一）平面图形计数例1．在同一平面内有4点，过每2点画一条直线，则直线的条数是( )．A ．1条B ．4条C ．6条D ．1条或4条或6条解: D 若4点在同一直线上，则直线仅有一条；若4点中有3点在同一直线上，则符合条件的直线有4条;若4点中任3点都不在同一直线上，则直线有6条。
三年级正方形长方形的计数方法
一、概述在小学数学教学中，正方形和长方形是孩子们学习的基本几何图形之一。
在三年级，教师通常会教授孩子们正方形和长方形的计数方法，帮助他们建立对这两种图形的认识和理解。
本文将介绍三年级正方形和长方形的计数方法，以便帮助教师和家长更好地教导孩子们。
二、正方形的计数方法正方形是一种四条边长度相等、四个角都是直角的四边形。
在三年级，教师通常会教孩子们如何利用图形的特点进行计数。
以下是正方形的计数方法：1. 从每个角开始计数：教师可以教孩子们从正方形的每个角开始计数，然后逐渐沿着边缘数到下一个角，直到回到起点。
这样可以帮助孩子们清晰地理解正方形的边和角。
2. 使用小方格进行计数：教师可以提供给孩子们一些小方格纸，让他们用来画正方形，并在正方形内部进行计数。
这样可以帮助孩子们直观地感受正方形的面积和计数。
3. 利用面积进行计数：教师还可以教孩子们如何通过正方形的面积进行计数。
一个正方形的面积是4平方厘米，那么里面可以放下4个1平方厘米的小格子，这样就可以进行计数。
三、长方形的计数方法长方形是一种两对边长度相等且两两相邻的角是直角的四边形。
在三年级，教师通常会教孩子们如何根据长方形的特点进行计数。
以下是长方形的计数方法：1. 计算长和宽的乘积：教师可以教孩子们通过计算长方形的长和宽的乘积来进行计数。
一个长方形的长是5厘米，宽是3厘米，那么它的面积就是15平方厘米，孩子们可以通过面积来感受长方形的大小和进行计数。
2. 画长方形进行计数：教师可以让孩子们在纸上画出长方形，并在长方形内部进行计数。
这样可以帮助孩子们直观地感受长方形的面积和形状，从而进行计数。
3. 利用长方形的对称性进行计数：由于长方形的两对边长度相等，教师可以教孩子们利用长方形的对称性进行计数。
一个长方形的上半部分是5个小方格，那么下半部分也是5个小方格，这样孩子们就可以利用对称性进行计数。
四、总结在三年级数学教学中，教师通常会教孩子们正方形和长方形的计数方法，帮助他们建立对这两种图形的认识和理解。
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图形计数知识要点1．图形规律问题分三步考虑：1）图形的基本组成的确定；2）图形变化规律确定；3）缺失图形确定。
2．图形基本组成的确定需注意的要点：图形的形状、颜色、位置、大小、数量等。
3．图形计数的关键在于找出常见的计数依据，通常把复杂的计数问题转化成简单的线段计数最为常用。
4．图形计数基本公式：1）一条线段上有n个点（包含线段的两个端点），那么这条线段共包含的线段数为：++--÷…+（）=条。
n n n121(1)22）两条共端点的射线确定一个角（大于0︒小于180︒），假设由某点引出n条射线（任意两条射线均不在同一直线上），那么这n条射线可以确定的角（大于0︒小于180︒）的个数为(1)2n n-÷个。
3）网格状图形中，长方形（包含正方形）的个数，等于相邻两条边上线段数的乘积。
4）一般的，一个长方形的长被分成n等份，宽被分成m等份（n m>，每小格均为相等的正方形），那么这个长方形中正方形的总数为：(1)(1)(2)(2)(1)1mn n m n m n m+--+--++-+⨯数线段【例1】请数出下图中线段的总条数。
【分析】法1：我们规定：把相邻两点间的线段叫做基本线段，我们可以这样分类数：由1条基本线段构成的线段有：AB、BC、CD、DE、EF5条．由2条基本线段构成的线段有：AC、BD、CE、DF4条．由3条基本线段构成的线段有：AD、BE、CF3条．由4条基本线段构成的线段有：AE、BF2条．由5条基本线段构成的线段有：AF1条．总数5432115++++=条．法2：按线段的起点分类（注意保持方向的一致），如右图以A点为共同左端点的线段有：AB、AC、AD、AE、AF5条．以B点为共同左端点的线段有：BC、BD、BE、BF4条．以C点为共同左端点的线段有：CD、CE、CF3条．以D点为共同左端点的线段有：DE、DF2条．以E点为共同左端点的线段有：EF1条．总数5432115++++=条．法3：线段AF上共有6个点，那么应该共有65215⨯÷=条线段。
【小结】两点确定一条线段，假设某条线段上有n个点（包含线段的两个端点），那么这条线段共包含的线段数为(1)2n n-÷条。
【例2】数一数，下图中共有多少条线段？【分析】水平方向，有(12)39+⨯=（条），两条对角线上有(12)26+⨯=+⨯=（条），竖直方向有(12)39（条）线段，所以共有99624++=（条）线段。
【例3】请问下图有多少条线段？【分析】五角星每条边上都有6条线段，那么除去相接的那条线段，两个五角星各24条线段，而两个五角星相接的那条线段上有76221⨯÷=（条），由此可得此图共有线段24242169++=（条）。
【例4】数一数下图一共有多少条线段？【分析】横向线段：1(21)(321)(4321)(54321)(654321)56++++++++++++++++++++=（条）；同样的，斜向左与斜向右的线段条数也均为56条，那么此图形线段总数为：563168⨯=（条）。
【例5】数一数下图中共有多少条线段？【分析】横线段：(654321)3(54321)1(4321)298+++++⨯+++++⨯++++⨯=（条）；竖线段：(54321)2(4321)3(321)1(21)272++++⨯++++⨯+++⨯++⨯=（条）；因此总线段条数为：9872170+=（条）。
数长方形【例6】数一数：下图中有几个长方形（包括正方形）？【分析】AD（或BC）边上的4326⨯÷=条线段中每一条对应的长方形的个数均为CD（或AB）边上的线段个数54210⨯=（个）。
⨯÷=个，也就是说整个图形中的长方形个数为10660【小结】网格状图形中，长方形（包含正方形）的个数，等于相邻两条边上线段数的乘积。
【例7】图171--中有多少个长方形（包括正方形）？图1-7-1【分析】 图中长方形个数为：542⨯÷⨯⨯÷（）（432）=60（个）；【例8】 图中有多少个长方形（包括正方形）？【分析】 添加一条线段后（如图1-7-1）增加了5个长方形；共60+5=65【例9】 图中有多少个长方形（包括正方形）？【分析】 法1：按所含宽边的线段长度分类统计：以AB 为宽边长度的长方形有：6(61)215⨯-÷=（个）； 以BC 为宽边长度的长方形有：5(51)210⨯-÷=（个）； 以CD 为宽边长度的长方形有：7(71)221⨯-÷=（个）； 以AC 为宽边长度的长方形有：5(51)210⨯-÷=（个）； 以BD 为宽边长度的长方形有：5(51)210⨯-÷=（个）； 以AD 为宽边长度的长方形有：5(51)210⨯-÷=（个）；由此可得图中长方形总数为：15102110101076+++++=（个）。
法2：再增加两条线段后（如原图171--）增加了5611+=（个）长方形；由此可得图中长方形总数为：6051176++=（个）。
【例10】 下图中有多少个长方形？FJI HGBC D E A【分析】 长方形ABCD 中包含的长方形个数为：652⨯÷⨯⨯÷（）（432）=90（个）；加上EF GH 、之后增加的长方形个数为：⨯（2+1）（6+6+1）=39（个）；最后再加上IJ 之后又增加的长方形个数为：4⨯⨯÷（542）=40（个）；综上可得，此图形中包含的长方形总数为：903940169++=（个）。
图1-7-2 图1-7-3【例11】下图中有多少个长方形？【分析】把图中的长方形分为三部分来计算：+++⨯+=（个）；1)去掉长方形EFGH后图中有长方形：(1234)(12)302)去掉长方形ABCD后图中长方形的个数也为30（个）；3)两部分共同构成的长方形有12（个）；因此，图中长方形的总数为：30301272++=（个）。
数正方形【例12】数一数：下图中有几个正方形？【分析】法1：设最小的基本正方形边长为1，那么边长为1的正方形有12个，边长为2的正方形有6个，边长为3的正方形有2个，共20个．即43322120⨯+⨯+⨯=（个）。
法2：长方形的长被分成4等份，宽分成3等份，那么正方形总数为：43322120⨯+⨯+⨯=（个）【小结】一般的，一个长方形的长被分成n等份，宽被分成m等份（n m>），那么这个长方形中正方形的总数为：(1)(1)(2)(2)(1)1+--+--++-+⨯（个）。
mn n m n m n m【例13】下图中共有多少个正方形？【分析】水平方向的正方形有：由一个小正方形组成的正方形有8个，由四个小正方形组成的正方形有2个；倾斜的正方形有：由一个小正方形组成的正方形有9个，由四个小正方形组成的正方形有4个，由九个小正方形组成的正方形有1个。
那么此图总共有正方形8294124++++=（个）。
【例14】 如图182--所示，平面上有16个点，每个点上都钉上钉子，形成44⨯的正方形钉阵，现在有足够的橡皮筋，请问能在这个正方形钉阵上套出多少个正方形？【分析】 由于正方形需要我们确定之后再数出来，那么首先我们要考虑的是如何确定正方形的边长和顶点。
如图a 所示的正方形可以套出22232114++=（个），除此之外，我们还能套出如图b 所示的正方形4个，以及如图c 所示的正方形2个，那么可得此正方形钉阵共可套出正方形144220++=（个）。
【例15】 如图182--所示为44⨯的正方形网格由16个11⨯的小正方形构成，网格的格点都是小正方形的顶点。
那么，以网格的格点为顶点的正方形一共有个_______。
为了方便，以网格线为边的正方形称之为网格正方形；以格点为顶点的正方形称之为格点正方形。
如图一所示，面积为111⨯=的网格正方形有4416⨯=个；面积为111⨯=的网格正方形的边上有144⨯=个格点，所以顶点在这样的正方形边上的格点正方形有1个。
如图二所示，面积为224⨯=的网格正方形有339⨯=个；面积为224⨯=的网格正方形的边上有248⨯=个格点，所以顶点在这样的正方形边上的格点正方形有2个。
如图三所示，面积为339⨯=的网格正方形有224⨯=个；面积为339⨯=的网格正方形的边上有3412⨯=个格点，所以顶点在这样的正方形边上的格点正方形有3个。
如图四所示，面积为4416⨯=的网格正方形有111⨯=个；面积为4416⨯=的网格正方形的边上有4416⨯=个格点，所以顶点在这样的正方形边上的格点正方形有4个。
所以，一共有11422333244150⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=个格点正方形。
【小结】一般地，n n ⨯的正方形网格中由2n 个11⨯的小正方形构成，网格的格点都是小正方形的顶点。
那么，以网格的格点为顶点的正方形一共有：21(1)1122(1)(1)(1)21ni in i n n n n n n =-+=⨯⨯+⨯⨯-++-⨯-⨯+⨯⨯∑……个图1-8-2 图1-8-2数三角形【例16】数一数下图中共有多少个三角形？【分析】图中所有三角形必然都含有顶点A，且必有一条边在BC上，所以三角形的个数应该等于BC边上的线段数。
BC边上线段数为76221⨯÷=（条），所以共有21个三角形。
【例17】数一数下图中共有多少个三角形？【分析】图中所有三角形必然都含有顶点A，且必有一条边在BC或者EF上，BC以及EF边上线段数均为76221⨯÷=（条），因此图中三角形个数为21242⨯=（条）。
【例18】数一数下图一共有多少个三角形？【分析】定义基本三角形边长为1，那么根据三角形的边长分类：边长为1的三角形个数为：135791136+++++=（个）；边长为2的三角形个数为：5432115++++=（个）；边长为3的三角形个数为：432110+++=（个）；边长为4的三角形个数为：3216++=（个）；边长为5的三角形个数为：213+=（个）；边长为6的三角形个数为：1（个）；综上可得，图中三角形的总数为：36151063171+++++=（个）。
【例19】（第十四届华罗庚少年数学邀请赛决赛试题A（小学组））如下图所示，在边长为1的小正方形组成的44⨯方格图中，共有25个格点.在以格点为顶点的直角三角形中，两条直角边长分别是1和3的直角三角形共有________个.【分析】如图中所示横向边长为3纵向边长为1且短边在右侧的直角三角形个数为24216⨯⨯=，短边的方向有上下左右四种，因此符合题意的直角三角形共有16464⨯=（个）。
【例20】数一数下图一共有多少个三角形？【分析】ABC∆中含有的三角形个数为6(542)60⨯⨯÷=，加上DE之后多出3个，因此，此图一共有+=（个）。