几何图形中的计数问题

几何图形中的计数问题（临泉田家炳实验中学 安庆旺 236400）将两个计数原理（分类加法计数原理、分步计数原理）与几何图形相结合，解决几何图形中的计数问题。

这类问题是在知识的交汇点处设计问题，具有一定的综合性和灵活性，是高考和竞赛考试的热点问题。

能较好地考查学生对两个原理的理解与应用，同时也能考查学生的空间想象能力、转化问题能力、分析问题和解决问题的能力。

下面举例说明。

1 适当分类例1 （1998高中数学联赛）在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是（ ）)(A 57 )(B 49 )(C 43 )(D 37解析：按共线三点组的性质进行适当分类: ①两端都是正方体顶点的共线三点组有2827828=⨯=C 个； ②两端都是正方体各棱中点的共线三点组有182312=⨯个； ③两端都是正方体各个面的中心的共线三点组有3216=⨯个 且没有其他的共线三点组，所以共线三点组共有4932818=++个.例2 在图1的86⨯方格中,点A,则以这些直线为边,且过点A 的矩形共有多少个？解析：构成矩形需要两条水平的边和两条竖直的边，在本题中，可根据点A 所在的位置进行分成三类：①当点A 为所选矩形的顶点时，必选水平的边4n 和竖直的边3m ，再从另外的水平边123567,,,,,n n n n n n 任选一条，从另外的竖直边12456789,,,,,,,m m m m m m m m 任选一条，一共有116848C C ⋅=个矩形；②当点A 在水平的边上，且不为顶点时，水平的边4n 必选，而竖直的边3m 不选，否则，A 为顶点，n6n5n4n3n2n1再从另外的水平边123567,,,,,n n n n n n 任选一条，从另外的竖直边12,m m 任选一条，456789,,,,,m m m m m m 任选一条，一共有11162672C C C ⋅⋅=个矩形； ③当点A 在竖直的边上，且不为顶点时，水平的边4n 不选，而竖直的边3m 必选，再从另外的水平边123,,n n n 任选一条，从567,,n n n 中任选一条，从竖直边12456789,,,,,,,m m m m m m m m 任选一条，一共有11133872C C C ⋅⋅=个矩形； 所以，以这些直线为边,且过点A 的矩形共有 487272192++=个。

评注：分类计数是重要的计数方法，当题目中条件较为复杂，我们可通过适当分类，达到简化问题，快速求解目的。

注意分类的基本原则：不重、不漏。

2 间接剔除例3 (1997年 高考)四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中任取4个不共面的点，不同的取法共有 （ ）)(A 150种 )(B 147种 )(C 144种 )(D 141种解析：本题若直接求解，讨论四点不共面的情况，比较繁琐，不妨换个角度，从问题的反面入手，考虑四点何时共面？应分三类：第一类：共面的四个点位于四面体的某一个面内，不同的取法共有60446=⨯C ； 第二类：共面的四个点位于空间四边形的四边中点，不同的取法共有3种； 第三类：共面的四个点位于四面体的一条棱和对棱的中点，不同的取法共有6种. 故符合题意的取法共有1416360410=---C 种注：正难则反，间接方法是解决这类问题的常用方法。

3 适当合并例4 （2010天津卷 理）如图2，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有 （ ）（A ）168种 （B ）240种 （C ）264种 （D ）288种解析：考虑不相邻的顶点可以涂同一种颜色，把图中六个点适当合并，有以下几种情况：（1） 如果用三种颜色涂色，可以把不相邻的顶点合并，有以下两种情况 ① （AF ）,（BD ）,（CE ）；② （AC ）,（BE ）,（DF ）.不同的涂色方法共有342=48A ⨯（种） 注：括号内表示图相同颜色的两个顶点，合并成为一个区域（顶点）。

（2）如果用4种颜色涂色，可以把不相邻的顶点合并两组，共有如下9种方法，即（AF ） , （BD ）, C ， E ； （AC ） , （BE ） ， D ， F ；（AF ） , （CE ）， B ， D ； （BE ） , （DF ） , A, C;(BD) , (CE) , A , F ； (AC) , (DF) , B ， E ；(AC) , (BD) , E, F; (AF) , (BE) , C, D;(CE) , (DF) , A, B ；不同的涂色方法共有449=216A ⨯（种） 所以，不同的涂色方法有 一共有=48+216=264N （种）。

评注：区域（顶点）染色问题，通常采取单元格合并的方法，（将能用一种颜色涂色的不相邻区域看成一个区域对待。

）合并之后，再进行染色。

为了避免涂色过程中的重复与遗漏，要将所有可能的合并情况列举完整。

例5 (2003新课程卷)某城市中心广场建造了花圃,花圃分为6个部分(如图3所示),现要栽种4种不同颜色的花, 每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有________种(用数字作答).解析 用4种不同的花栽在六个不同的区域，必定会有某些区域栽种同一种花，我们把栽种同一种花的区域合并成一个区域，不同的合并方法有：（1），（2，4），（3,5），（6）； （1），（2，4），（3,6），（5）；（1），（2，5），（3,6），（4）； （1），（2，5），（4,6），（3）；（1），（3，5），（4,6），（2）；一共有5中合并方法，对于每一种合并方法，栽种4种不同的花，各有44=24A种方法。

一共有445=120A ⨯种方法。

所以，不同的栽种方法一共有120种。

3 构造对应例5 如果把两条异面直线看作“一对”，那么由正方体的8个顶点，可构成异面直线 （ ）)(A 140对 )(B 196对 )(C 174对 )(D 168对解析:本题若直接求解，比较困难，不妨通过构造四面体模型，建立对应关系计数.图3由正方体的8个顶点可构成581248=-C 个四面体，而每个四面体中有3对异面直线，故共有174358=⨯对异面直线.答案选)(C .例6 圆周上共有10个点，任意两点连接的线段中，在圆内的交点个数至多有( ))(A 45个 )(B 90个 )(C 210个 )(D 120个解析: 圆周上共有10个点，任意两点连接的线段（即圆的弦）中，在圆内不一定都有交点，要使得交点个数最多，则任何三条线段（弦）在圆内不共点。

根据任意四边形的对角线交于一点，可构造四边形解决问题，每一个四边形的对角线在其内部有一个交点。

这圆周上的10个点中，在圆内交点个数与这10个点构成的四边形上一一对应关系。

因此，这10个点，任意两点连接的线段中，在圆内的交点个数等于四边形的个数，即至多有410210C =个。

答案选)(C【练习】1.正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ）)(A 70个 )(B 64个 )(C 58个 )(D 62个2.（05年全国卷Ⅰ）如果把两条异面直线看作“一对”，过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（ ）)(A 18对 )(B 24对 )(C 30对 )(D 36对3．已知AOB ∠的边OA 上有5个点（不包括O ),边OB 上有6个点（不包括O ),b 则由这些点和O 点一共可构成三角形的个数为 ( ))(A 120个 )(B 145个 )(C 165个 )(D 196个4. （2014·安徽高考理科·Ｔ8）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为的共有（ ）)(A 24对 )(B 30对 )(C 48对 )(D 60对5.给四棱锥的顶点涂色，每个点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同颜色，有5种不同颜色可用，则不同的涂色方法有（ ）)(A 144种 )(B 240种 )(C 300种 )(D 420种6. 已知直线）都不为0,(1b a by a x =+与圆5022=+y x 有公共点,且公共点的横、纵坐标均为整数,那么这样的直线共有60︒)(A 48条 )(B 60条 )(C 66条 )(D 78条【参考答案及提示】1．C ；提示：581238=-C 个四面体.2．D ；由三棱柱的6个顶点可以确定四面体12346=-C 个，每个四面体有3对异面直线，故共有36123=⨯对异面直线，选D.3.C; 方法一：直接法，分两类：①含有点O,有116530C C ⋅=个； ②不含有点O ，12216565135C C C C ⋅+⋅=个； 所以，一共有165个三角形；方法二：间接方法求解, 3331267165C C C --=;4. 选C ；正方体的每一个顶点有6对满足条件的对角线，8个顶点共有48对.5.选D ；若用5种颜色，有55120A =种方法；若用4种颜色，地面的4个顶点中，对角线上的顶点合并，有2种方法，一共有有452240A =种涂色方法；若用3种颜色，有3560A =种方法； 一共有有120+240+60=420种涂色方法；6.选B ；212=66C ，剔除过原点的直线（6条）和与坐标轴平行的直线（12条），再加上过整数点的切线12条。