(完整版)高等数学(复旦大学版)第九章多元函数微分学的应用

第九章 多元函数微分法的应用在高数上册中，我们讨论的函数都只有一个自变量，这种函数称为一元函数. 但在许多实际应用问题中，我们往往要考虑多个变量之间的关系，反映到数学上，就是要考虑一个变量（因变量）与另外多个变量（自变量）的相互依赖关系. 由此引入了多元函数以及多元函数的微积分问题. 本章将在一元函数微积分学的基础上，进一步讨论多元函数的微积分学. 讨论中将以二元函数为主要对象，这不仅因为有关的概念和方法大都有比较直观的解释，便于理解，而且这些概念和方法大都能自然推广到二元以上的多元函数.第一节 空间曲线的切线与法平面教学目的：1、理解空间曲线的切线与法平面的概念；2、掌握空间曲线的切线与法平面的计算 教学重点：空间曲线的切线与法平面的计算 教学难点：空间曲线的切线与法平面的计算 教学内容：设曲线Γ的参数方程为)(),(),(t z z t y y t x x ===其中[,]t a b Î，(),(),()x t y t z t 在区间[,]a b 上可导。

曲线Γ在点0P 处的切线方程为.)()()(000000t z z z t y y y t x x x '-='-='- 切线的方向向量000('(),'(),'())x t y t z t 称为曲线在点0P 的切向量.过点0P 且与切线垂直的平面称为曲线Γ在点0P 处的法平面. 曲线的切向量就是法平面的法向量，因此法平面的方程为0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t z y y t y x x t x如果曲线Γ的方程为 ⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 的情形；曲线Γ在点0P 处的切线方程为0000(,)(,)(,)(,)(,)(,)P P P x x y y z z F G F G F G y z z x x y ---==抖?抖?曲线在0P 处的法平面方程为00000()'()()'()()0x x y x y y z x z z -+-+-=例1、求螺旋线cos ,sin ,x a t y a t z amt ===在4t p=处的切线方程与法平面方程。

解： 'sin ,'cos ,'x a t y a t z am =-== 故曲线在4t p=处的切线方程为22411am x y z p ---==-法平面方程为()()()0224am x y z p--+-+-= 即2.4x y p -++=例2、求曲线Γt tu e z t t y udu e x 301,cos sin 2,cos +=+==⎰在0=t 处的切线和法平面方程.解：当0=t 时，,0=x ,1=y ,2=z ,cos t e x t =',sin cos 2t t y -='t e z 33=' ,1)0(='x ,2)0(='y ,3)0(='z切线方程,322110-=-=-z y x 法平面方程 ,0)2(3)1(2=-+-+z y x 即.0832=-++z y x 例3、求曲线⎩⎨⎧=+=+10102222z y z x 在点)3,1,1(处的切线及法平面方程. 解：设,10),,(22-+=z x z y x F ,10),,(22-+=z y z y x G 则,2x F x =,0=y F ,2z F z =,0=x G ,2y G y =,2z G z = 故)3,1,1(zy z y G G F F )3,1,1(2220z y z=,12-=)3,1,1(xzx z G G F F )3,1,1(0222z xz =,12-=)3,1,1(yx y x G G F F )3,1,1(2002y x =.4=故所求的切线方程为.133131--=-=-z y x 法平面方程为,0)3()1(3)1(3=---+-z y x 即.333=-+z y x例题选讲： 例1 求曲线Γ2cos ,2sin ,x t y t z ===在4t p=处的切线和法平面方程. 例2 求曲线⎩⎨⎧=+=+10102222z y z x 在点)3,1,1(处的切线及法平面方程. 例3 求曲线2216,12y x z x ==对应于12x =点处的切线及法平面方程. 例4 求出曲线 32,x z x y =-=上的点，使在该点的切线平行于已知平面.42=++z y x例5 求曲线⎧⎨⎩9222x +y +z =,z =xy.在点(1,2,2)处的切线方程及法平面方程.小结：空间曲线的切线与法平面（1）曲线Γ的参数方程：)(),(),(t z z t y y t x x ===（2）曲线Γ的一般式方程：⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F作业：习题9-1 1（1）（2）第二节 空间曲面的切平面与法线教学目的：1、理解空间曲面的切平面与法线的概念；2、掌握空间曲面的切平面与法线的计算 教学重点：空间曲面的切平面与法线的计算 教学难点：空间曲面的切平面与法线的计算 教学内容：设曲面S 的方程为,0),,(=z y x F曲面S 在0M 处切平面的方程为,0)()()(0000=-+-+-z z F y y F x x F M zM yM x称曲面在点0M 处切平面的法向量为在点0M 处曲面的法向量. 故在点0M 处曲面的法向量为)}.,,(),,,(),,,({000000000z y x F z y x F z y x F n z y x =ρ过点0M 且垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线. 因此法线方程为00|||000M z M y M x F z z F y y F x x -=-=- 若曲面∑方程为 ),(y x f z =的情形；记(,,)(,)F x y z f x y z =-，则曲面在0M 处的法向量为0000('(,),'(,),1)x y n f x y f x y =-因此曲面在点0M 处切平面和法线方程分别为0000000'(,)()'(,)()()0,x y f x y x x f x y y y z z -+---=0000000.'(,)'(,)1x y x x y y z z f x y f x y ---==-例1、求旋转抛物面122-+=y x z 在点)4,1,2(处的切平面及法线方程. 解：令),,(z y x F z y x --+=122)4,1,2(n ρ)4,1,2(}1,2,2{-=y x },1,2,4{-=切平面方程为,0)4()1(2)2(4=---+-z y x 即 ,0624=--+z y x法线方程为.142142--=-=-z y x 例2、求曲面 32=+-xy e z z 在点)0,2,1(处的切平面及法线方程. 解：令),,(z y x F ,32-+-=xy e z z ,2y F x =',2x F y='z z e F -='1 )0,2,1(n ρ)0,2,1(}1,2,2{z e x y -=},0,2,4{=切平面方程为,0)0(0)2(2)1(4=-⋅+-+-z y x 即,042=-+y x法线方程为.01221-=-=-z y x 例3、求曲面 2132222=++z y x 平行于平面064=++z y x 的各切平面方程. 解：设),,(000z y x 为曲面上的切点,则切平面方程为,0)(6)(4)(2000000=-+-+-z z z y y y x x x依题意,切平面方程平行于已知平面,得664412000z y x == .2000z y x == Θ),,(000z y x 是曲面上的切点,满足曲面方程,代入得,10±=x 故所求切点为),2,2,1(),2,2,1(---切平面方程(1),0)2(12)2(8)1(2=-+-+-z y x 即;2164=++z y x切平面方程(2),0)2(12)2(8)1(2=+-+-+-z y x 即.2164-=++z y x例4、求曲面03222=--++xy z y x 上同时垂直于平面0=z 与01=++y x 的切平面方程. 解：设),,(z y x F ,3222--++=xy z y x 则,2y x F x -=,2x y F y -=,2z F z = 曲面在点),,(000z y x 的法线向量为.2)2()2(00000k z j x y i y x n ρρρρ+-+-=由于平面0=z 的法线向量,1k n ρρ=平面1++y x 0=的法线向量,2j i n ρρρ+=而n ρ同时垂直于1n ρ与,2n ρ所以n ρ平行于,21n n ρρ⨯但21n n ρρ⨯011100kj i ρρρ=,j i ρρ+-=所以存在数,λ使得},0,1,1{}2,2,2{00000-=--λz x y y x即,200λ-=-y x ,200λ=-x y ,020=z解之得,00y x -=,00=z 将其代入原曲面方程,求得切点为)0,1,1(1-M 和),0,1,1(2-M 因而,所求的切平面方程为:,0)1()1(=++--y x 即,02=--y x 和,0)1()1(=-++-y x 即.02=+-y x例题选讲：例1 求旋转抛物面122-+=y x z 在点)4,1,2(处的切平面及法线方程. 例2 求曲面 32=+-xy e z z 在点)0,2,1(处的切平面及法线方程.例3 求曲面 2132222=++z y x 平行于平面064=++z y x 的各切平面方程.例4 求曲面03222=--++xy z y x 上同时垂直于平面0=z 与01=++y x 的切平面方程. 课堂练习1.求曲线32,,t z t y t x ===在对应于1=t 的点处的切线方程及法平面方程.2.若平面01633=+-+z y x λ与椭球面163222=++z y x 相切, 求.λ 小结：曲面的切平面与法线（1）空间曲面方程为 F(x,y,z)=0； （2）空间曲面方程为 z=f(x,y)作业：习题9-2 2（1）（2）第三节 方向导数教学目的：1、理解方向导数的概念；2、掌握方向导数的计算 教学重点：方向导数的计算 教学难点：方向导数的计算 教学内容：定义：如果极限.),(),(lim 0ρρy x f y y x x f l f -∆+∆+=∂∂→ 存在，则称这个极限为函数(,,)u f x y z =在点0000(,,)P x y z 沿向量l 的方向导数，记作0P fl∂∂或0'()l f P ，即0000000(cos ,cos ,cos )(,,)=liml P f x l y l z l f x y z f llαβγ∆→+∆+∆+∆-∂∂∆定理 如果函数(,,)u f x y z =在点0000(,,)P x y z 处可微，则函数f 在点0P 处沿任意方向l 的方向导数都存在，且=cos cos cos P P P P f u u u lxyzαβγ∂∂∂∂++∂∂∂∂其中cos cos cos αβγ，，为方向l 的方向余弦。