湖南省永州市2020届高三上学期第一次模拟考试数学(理)试题及答案
1.
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10 22026 2.303
「，
句 ”r霄；，.．
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（二）选考题：IO分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分．
22. （本题满分10分〉选修牛4：坐标系与参数方程
x＝－、＝／一3－ t+m
在平面直角坐标系x句中，直线l的参数方程是｛
y
=
2
21 t
• (t＿ 为参数）在以0为极
\ AD 的长为 1 或 3.
……………12 分
18．（本小题满分 12 分）
解：（1）如图连接 DE ，易知 ΔDCE ， PCE 均为正三角形，取 CE 中点 Q ，
连接 PQ ， DQ ，则 PQ ⊥ CE ， DQ ⊥ CE
……………2 分
又 DQ PQ Q ， PQ, DQ 平面 DPQ ，
又因为 EC ⊥ DQ ，故以点 Q 为坐标原点， QC，QD，QP 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建
4
4
在 DACD 中， AC = 2 2 ， CD = 5 ， CAD 4
由余弦定理得 CD2 = AC2 + AD2 - 2AC ×AD×cosÐCAD ，
……………2 分 ……………4 分 ……………6 分 ……………7 分
……………9 分
即 5 = 8 + AD2 - 2´ 2 2 ´ AD´ 2 ，解得： AD 1 或 AD 3 …………11 分 2
则恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值中，最大的一个是
A. 土 15
B. 土 10
8.己知数列｛a＂｝的前n项和为S”，且a1 = l,
A. 100
B. 110
.
c. _!_ 3
2 S n = a,.+1an，则S10 =
C. 50
旦 D. －
30 D. 55
9. 将偶函数fx(
y= g x( ）的图象，则 g x( ）的一个单调递减区间为
·.
. C. 2
. .._
·_,. .
D. ‘ J. S’ ·-;
12.对于函数y =fx( ），若存在勺，使fx( o ) = -i-( xo ），则称点 x（ o ,fx( o ））与点 －（ xo,f-( xo ))
是函数f(x）的一对“隐对称点”．若函数fx( ）
llnx x>O 斗l-mx’ 2 -mxx, 三0
永州市2020年高考第 一次模拟考试试卷·数学（理科）第3页（共4页）
i· (3）商场为推广此款产品，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据 抛硬币． 的结果，操控机器人在础上行进，已知硬币出现正、反面的概率都是
方格图上标有第0格、第1格、第2格、“．．．．、第50格．机器人开始在第0格， 客户每掷 一次硬币，机器人向前移动一 次，若掷出正面，机器人向前移动一格（从 k到 k +1 ），若掷出反面，机器人向前移动两格〈从k到k+2 ），直到机器人移到 第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束，若机器人停在“胜 利大本营”，则可获得优惠券．设机器人移到第n格的概率为马（0 三 n 豆 50, n e N•) 试证明｛凡－ P,,_l}{l 三 n三 49,n εN•）是等比数列，并解释此方案能否吸引顾客购买 ＆
(I）求不等式 f(x) < 1的解集： (2）若不等式 f(x)Sx2 +x+m 恒成立，求实数m的取值范围．
、，
-(
永州市 2020 年高考第一次模拟考试试卷·数学（理科）第 4 页（共 4 页）
数学（理科）参考答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中， 合题目要求的．
树刘叫
剖 纠，
8 K
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等 机
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第 取
’三 5
点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
C
的极坐标方程ρ2 ’
=
cos2
0
2 +2sin2
θ
(1）求曲线C的直角坐标方程：
ω 4�I句 设 直线l与 X 轴交于点p，与曲线 C交于A, B 两点，且IABI＝子，求实数m的值
23. C本题满分10分〉选修4-5：不等式选讲
己知函数 f(x)=lx-1卜 lx+tl.
P-EC-D为直二面角．
(1）求证： EC .lPD;
(2）求二面角 P-AE--C 的余弦值．
c 19. （本题满分12分〉已知椭圆 ·兰 a2 ＋bi2 =l..(a.>;主b>•O.: ）过点(1，马 2二，＼ ． 短轴· 一个端点到右焦点
” . - 的距离为2.
. . －�
’· ．
V卢 r 二 ’
的三视图，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为
A． 一2－,r
3
B. 一4－π
3
C. 1一4－,r 3
D.1一96－,r
ri 己k-;LlJI '.
7.四色猜想是世界三大数学猜想之 一 ，1976年数学家阿佩尔与哈肯
l;ffi;I 证明，称为四色定理其 ． 内容是： “任意一张平面地图只用四种颜色
就能使具有共同边界的国家涂上不同的颜色” ．用数学语言表示为 “将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用 1,2,3,4
,ffi .飞二 、. ＇�. '; ••
( 1)求椭圆C的方程：
(2）设过定点M〔0,2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、L B ，若坐标原点。在以线段
－，句
A U
ω 请 Z Luι 检
件 标 产 产
AB 为直径的圆外，求直线l的斜率k的取值范围．＼
同 里 盼 1 2 分〉 第 三 方 检 测 机丰
bcosA -asinB= 0.
C
(1）求ζBAC;
(2）若 AB l. AD, AC= 2.fi, CD = Js，求 AD 的长
B
A
D
18. （本题满分12分〉在等腰梯形 ABCD中， AB I !CD，ζABC=60。， AB = 2CD = 4，点
E为 AB 的中点．现将今BF£ 沿线 段 EC 翻折，得四棱锥 P-AECD，且二面 角
A.5
B.6
） 5. 函数 f(x) = x2 {ex - e-x 的大致图象为
YI
. +Y
C. -i
D..!.;
2
B.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
AB 斗， AD=3 ，且否＝3昂，则万 ·AB=
C. 7 .,.. .
· D1 . 0
y
y
X
。X
。X
A’
B
’C
6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体
该款产品．
21. （本题满分12分〉己知函数 f (x) = ex - a1n x ( a > 0) .
） (l）试求函数 f(x 的极值点的个数：
(2）若aεN•, f(x) > 0恒成立，求α的最大值．
参考数据：
X
1.6 1.7 1.74 1.8
ex
5.474 5.697 6.050
lnx I 0.410 0.531 0.554 0.558
数学（理科）
注意事项： I.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效． 2.考试结束后，只文答题卡．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的．
I.己知集合 A = {x I x2 - x - 6< 0｝，集合B={xlx>l｝，则A门 B=
17．（本小题满分 12 分）
解：（1）在 DABC 中，由正弦定理得 sin B cos A - sin Asin B = 0 ，
sin B 0 ， tan A 1 ，
因为 A (0， ) ，所以 A . 4
（2） AB AD ，且 BAC ，CAD 是
A. 吵 （
B则
C.
二、填空题：本大题共4小题，每小题 5分，共20分．
12x- 1�o
＿（ ！e.月）
D. (1,-+«>)
13.己知实数x, y满足忖 － y三0 ，则目标函数z ::3x+y的最小值为
lx+y- 2s;O
· ·.
14. I( +xXI -x)5的展开式中含x2 项的系数为
只有一项是符
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B A D A B C D C A D B
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
13．2
14．5
15． 3 3 4 10
3
16．
2
三、解答题：本大题共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
. （－－，�） 36
B.
1r 7,r 一 （ ，一）
12 12
C.
1r 2 万 一（ ，一）
63
湖南省永州市2023-2024学年高三上学期第一次模拟检测数学试题(解析版)
永州市2024年高考第一次模拟考试数学（答案在最后）注意事项：1．全卷满分150分，时量120分钟．2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效．3．考试结束后，只交答题卡．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{*N A x y =∈=，集合{}20B x x x =-≥，则A B = （）A.{}12x x ≤≤ B.{}01x x ≤≤ C.{}0,1,2 D.{}1,2【答案】D 【解析】【分析】求出集合,A B ，即可求得答案.【详解】由{{}*N 1,2A x y =∈==，{}20{|0B x x x x x =-≥=≤或1}x ≥，故{}1,2A B = ，故选：D2.复数z 满足5i 1i z ⋅=+，则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】根据虚数单位的性质，结合复数的除法运算可求出z ，根据复数的几何意义即可得答案.【详解】由5i 1i z ⋅=+得1ii 1i,iz z +⋅=+∴=，则111i iz =+=-，即z 在复平面内对应的点为(1,1)-，位于第四象限，故选：D3.已知向量()()()1,2,3,1,,1a b c x =-=-=，且()2a b c +⊥ ，则x =（）A.2 B.1 C.0D.1-【答案】C【解析】【分析】根据向量垂直列方程，由此求得x 的值.【详解】()()()21,26,25,0a b +=-+-=，由于()2a b c +⊥，所以()250,0a b c x x +⋅=== .故选：C4.“函数()af x x =在()0,∞+上单调递减”是“函数()()41g x x a x =-+是偶函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】通过求解函数()f x 和()g x 符合条件的a 的取值，即可得出结论.【详解】由题意，在()af x x =中，当函数在()0,∞+上单调递减时，a<0，在()()41g x x a x =-+中，函数是偶函数，∴()()()()()()()()4411g x x a x g x x a x g x g x ⎧-=--+-⎪=-+⎨⎪=-⎩，解得：1a =-，∴“函数()af x x =在()0,∞+上单调递减”是“函数()()41g x x a x =-+是偶函数”的必要不充分条件，故选：B.5.在平面直角坐标系中，过直线230x y --=上一点P 作圆22:21C x x y ++=的两条切线，切点分别为A B 、，则sin APB ∠的最大值为（）A.265B.5C.65D.5【答案】A 【解析】【分析】由题意圆22:21C x x y ++=的标准方程为()2:12C x y ++=，如图sin sin 22sin cos APB ααα∠==，又sin AC CPα==，所以cos α==又由圆心到直线的距离可求出CP 的最小值，进而求解.【详解】如下图所示：由题意圆C 的标准方程为()2:12C x y ++=，sin sin 22sin cos APB ααα∠==，又因为sin AC CPα==cos α==所以sin 2sin cos PB A αα∠==又圆心()1,0C -到直线230x y --=的距离为d ==，所以CP d ≥=，所以不妨设211,05t t CP⎛⎫=<≤ ⎪⎝⎭，则()s n i f t APB ===∠=，又因为()f t 在10,5⎛⎤⎥⎝⎦单调递增，所以当且仅当15t =即CP =CP 垂直已知直线230x y --=时，sin APB ∠有最大值()max155sin f APB ⎛⎫== ⎪∠⎝⎭.故选：A.6.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是12,F F ，点P 是椭圆C 上位于第一象限的一点，且2PF 与y 轴平行，直线1PF 与C 的另一个交点为Q ，若1125PF F Q =，则C 的离心率为（）A.7B.11C.7D.2111【答案】B 【解析】【分析】由P 点坐标求得Q 点坐标，然后代入椭圆C 的方程，化简求得椭圆C 的离心率.【详解】由22221x y a b +=令x c =，得24222221,c b b y b y a a a ⎛⎫=-==± ⎪⎝⎭，由于2PF 与y 轴平行，且P 在第一象限，所以2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭.由于()111112,,5502,PF F Q F Q PF F c ==-，所以()2211292,02,,555b b OQ OF FQ c c c a a ⎛⎫⎛⎫=+=-+--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即292,55b Q c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，将Q 点坐标代入椭圆C 的方程得2222229551b c a a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=，()22222222222814814774125252525c a c c b c a a a a a +-++===，222222221377425,7721,7711c c a a c a a +====，所以离心率11c e a ===.故选：B7.若数列{}n a 的前n 项和为()2*,21N ,0n n n n n S S a a n a =+∈>，则下列结论正确的是（）A.202220231a a >B.2023a >C.2023S <D.123100111119S S S S ++++< 【答案】D 【解析】【分析】根据,n n a S之间的关系可求出=n S，进而求得=n a ，由此结合熟的大小比较可判断A ，B ，C ，利用放缩法，当2n ≥时，可推出1nS <，累加即可判断D.【详解】令1n =，则121121S a a =+，即221121a a =+，由0n a >，的11a =；当2n ≥时，2112()()1n n n n n S S S S S ---=-+，即1221n n S S --=，又22111S a ==，故{}n S 为首项是1，公差为1的等差数列，则211n S n n =+-=，故=n S ，所以当2n ≥时，1-=-=n n n a S S 11a =也适合该式，故=n a ，对于A，20222023a a =1=，A 错误；对于B，2023a <=，B 错误；对于C，2023S >=C 错误；对于D ，当2n ≥时，1n S =<=，故)123100111112122S S S S ++++<+-+++ 12(110)19=+-+=，D 正确，故选：D8.已知函数()()3cos (0)f x x ωϕω=+>，若ππ3,042f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在区间ππ,36⎛⎫-- ⎪⎝⎭上没有零点，则ω的取值共有（）A.4个 B.5个C.6个D.7个【答案】B 【解析】【分析】根据ππ3,042f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得234+3n ω=，根据在区间ππ,36⎛⎫-- ⎪⎝⎭上没有零点可得06ω<≤，即可求出ω的取值有几个.【详解】由题意，在()()3cos (0)f x x ωϕω=+>中，ππ3,042f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴π3cos 34π3cos 02ωϕωϕ⎧⎛⎫-+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩,所以1122π2π4,,Z πππ+22k k k k ωϕωϕ⎧-+=⎪⎪∈⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得()213ππ2π+42k k ω-=，所以()212432+3k k ω-=，即234+3n ω=，Z n ∈，因为ππ,,306x ω⎛⎫∈-- ⎪⎝>⎭，所以ππ,36x ωϕωϕωϕ⎛⎫∈--++ ⎝+⎪⎭，令x t ωϕ+=，ππ,36t ωϕωϕ++⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，由题意知3cos y t =在ππ,36t ωϕωϕ++⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭上无零点，故ππππ,,3622ππk k ωϕωϕ⎛⎫⎛⎫--⊆- ⎪ ⎪⎝++⎝++⎭⎭，Z k ∈，所以πππ32πππ62k k ωϕωϕ⎧-+≥-+⎪⎪⎨⎪-+≤+⎪⎩，即πππ32πππ62k k ωϕωϕ⎧-+≥-+⎪⎪⎨⎪-≥--⎪⎩，两式相加得ππ6ω-≥-，所以06ω<≤，又234+3n ω=，所以，当0n =时，23ω=；当1n =时，2ω=；当2n =时，103ω=；当3n =时，143ω=；当4n =时，6ω=，所以ω的取值有5个.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.下列关于概率统计说法中正确的是（）A.两个变量,x y 的相关系数为r ，则r 越小，x 与y 之间的相关性越弱B.设随机变量()2,1N ξ ，若(3)p p ξ>=，则1(12)2p p ξ<<=-C.在回归分析中，2R 为0.89的模型比2R 为0.98的模型拟合得更好D.某人解答10个问题，答对题数为(),10,0.8X X B ~，则()8E X =【答案】BD 【解析】【分析】A 项，通过相关系数的定义即可得出结论；B 项，通过求出(23)P ξ<<即可求出(10)P ξ-<<的值；C 项，通过比较相关指数即可得出哪个模型拟合更好；D 项，通过计算即可求出()E x .【详解】由题意，A 项，两个变量,x y 的相关系数为r ，r 越小,x 与y 之间的相关性越弱,故A 错误,对于B,随机变量ξ服从正态分布(2,1)N ,由正态分布概念知若(3)P p ξ>=,则1(10)(23)(2)(3)2P P P P p ξξξξ-<<=<<=>->=-,故B 正确,对于C ,在回归分析中,2R 越接近于1,模型的拟合效果越好,∴2R 为0.98的模型比2R 为0.89的模型拟合的更好故C 错误,对于D ,某人在10次答题中,答对题数为,~(10,0.8)X X B ,则数学期望()100.88E X =⨯=,故D 正确.故选：BD.10.对数的发明是数学史上的重大事件．我们知道，任何一个正实数N 可以表示成10(110,)n N a a n =⨯≤<∈Z 的形式，两边取常用对数，则有lg lg N n a =+，现给出部分常用对数值（如下表），下列结论正确的是（）真数x2345678910lg x （近似值）0.3010.4770.6020.6990.7780.8450.9030.954 1.000真数x111213141516171819lg x （近似值） 1.041 1.079 1.1141.1461.1761.2041.2301.2551.279A.105在区间()6710,10内B.503是15位数C.若50710m a -=⨯，则43m =-D.若()30*mm N ∈是一个35位正整数，则14m =【答案】ACD 【解析】【分析】根据lg lg N n a =+，分别求出各个选项中N 的常用对数的值，对照所给常用对数值判断.【详解】解：因为10lg 510lg 5 6.99=≈，67lg106lg106 6.99,lg107lg107 6.99==<==>，所以()1067510,10∈，故A 正确；因为505023.85lg 350lg 323.85,310=≈≈，所以503是24位数，故B 错误；因为50lg 750lg 742.25-=-≈-，所以5042.25710--≈，又50710m a -=⨯，则43m =-，故C 正确；30lg 30lg m m =，因为()30*mm N ∈是一个35位正整数，所以3430lg 35m ≤<，即177lg 156m ≤<，即1.1267lg 1.1667m ≤<，则14m =，故D 正确.故选：ACD11.菱形ABCD 的边长为a ，且60BAD ∠= ，将ABD △沿BD 向上翻折得到PBD △，使二面角P BD C --的余弦值为13，连接PC ，球O 与三棱锥P BCD -的6条棱都相切，下列结论正确的是（）A.PO ⊥平面BCDB.球O 的表面积为22πaC.球O 被三棱锥P BCD -表面截得的截面周长为π3a D.过点O 与直线,PB CD 所成角均为π4的直线可作4条【答案】AC 【解析】【分析】利用余弦定理求得PC a =，说明三棱锥P BCD -为正四面体，进而补成正方体，则说明O 点为正方体的中心，结合线面垂直的判定可判断A ；求得球O 的半径可判断B ；求出球O 被三棱锥一个侧面所截得的截面的周长，即可求得球O 被三棱锥P BCD -表面截得的截面周长，判断C ；根据平行公理以及直线所成角的概念可判断D.【详解】如图在菱形ABCD 中，连接AC ，则AC BD ⊥，设,AC BD 交于E ，则,PE BD CE BD ⊥⊥，PE ⊂平面PBD ,CE ⊂平面CBD ，即PEC ∠为二面角P BD C --的平面角，即1cos 3PEC ∠=，又60BAD ∠= ，即ABD △为正三角形，即PBD △，CBD △为正三角形，故2PE CE a ==，故2222cos PC PE CE PE CE PEC =+-⋅∠2223312243a a a =-⨯⨯=，即PC a =，故三棱锥P BCD -为棱长为a 的正四面体；如图，将该四面体补成正方体PHDG NCMB -，四面体的各棱为正方体的面对角线，则正方体棱长为2a ，因为球O 与三棱锥P BCD -的6条棱都相切，则O 点即为正方体的中心，连接PM ，则O 为正方体体对角线PM 的中点，因为PN ^平面,MBNC BC ⊂平面MBNC ，故PN BC ⊥，又BC MN ⊥,而,,PN MN N PN MN =⊂ 平面PMN ，故BC ⊥平面PMN ，PM ⊂平面PMN ，故BC PM ⊥；同理可证BD PM ⊥,,,⋂=⊂BC BD B BC BD 平面BCD ，故PM ⊥平面BCD ，即PO ⊥平面BCD ，A 正确；因为球O 与三棱锥P BCD -的6条棱都相切，故球O 即为正方体PHDG NCMB -的内切球，球的直径为正方体棱长2a ，则球的半径为24a ，故球O 的表面积为2214)ππ42a a ⨯=，B 错误；球O 被平面截得的截面圆即为正三角形BCD 的内切圆，由于BC a =，故正三角形BCD 的内切圆半径为1326a a ⨯=，故内切圆周长即球O 被平面截得的截面圆周长为2ππ63a a ⨯=，故球O 被三棱锥P BCD -表面截得的截面周长为3434ππ33a a ⨯=，C 正确；连接HM ，因为,PH BM PH BM =∥，即四边形PHMB 为平行四边形，故PB HM ∥，而HM CD ⊥，故PB CD ⊥，不妨取空间一点S ，作,PB CD 的平行线,P B C D ''''，如图，则和,P B C D ''''所成角均为π4的直线即为它们形成的角的角平分线12,l l ，假设平面α过1l 且垂直于,P B C D ''''所确定的平面，当1l 绕点S 且在α内转动时，则此时直线l 与,P B C D ''''所成角相等，但会变大，大于π4，即在,P B C D ''''所确定的平面外过点S 不存在直线l 与,P B C D ''''所成角为π4，故过点O 与直线,PB CD 所成角均为π4的直线可作2条，D 错误，故选：AC12.已知函数()f x 与()g x 的定义域均为R ，()()()()123,11f x g x f x g x ++-=---=，且()12g -=，()1g x -为偶函数，下列结论正确的是（）A.4为()f x 的一个周期B.()31g =C.20231()4045k f k ==∑ D.20231()2023k g k ==∑【答案】ACD 【解析】【分析】根据函数的奇偶性、周期性进行分析，从而确定正确答案.【详解】由于()1g x -为偶函数，图象关于y 轴对称，所以()g x 图象关于=1x -对称，所以()()()()()()21111g x g x g x g x -=-+-=---=-，所以()()()()1213f x g x f x g x ++-=++-=①，而()()11f x g x ---=②，两式相加得()()114f x f x -++=，则()()24f x f x ++=③，所以()()()()()()4224244f x f x f x f x f x +=++=-+=--=，所以4是()f x 的一个周期，A 选项正确.由③令1x =得()()134f f +=，由①令2x =得()()()()21223,21f g f f +-=+==，由②令1x =得()()()()01021,03f g f f --=-==，则()()403f f ==，所以()()()()()()()12348,1235f f f f f f f +++=++=，所以()()()202312020()81234040540454k f k f f f ==⨯+++=+=∑，C 选项正确.由①令=1x -得()()()()01313,10f g g g +=+==，由()()()()123,11f x g x f x g x ++-=---=，得()()()()33,11f x g x f x g x +-=---=，两式相减得()()312g x g x -+--=，即()()312g x g x -+-=，且()g x 关于()2,1-对称，()21g -=，所以()()22g x g x ++=④，所以()()()()()()4222222g x g x g x g x g x +=++=-+=--=，所以()g x 是周期为4的周期函数，所以()()312g g =-=，所以B 选项错误.由④令2x =得()()242g g +=，所以()()()()12344g g g g +++=，由于()()()22421g g g =-+=-=，所以()()()1233g g g ++=所以202312020()4320234k g k ==⨯+=∑，所以D 选项正确.故选：ACD【点睛】有关函数的奇偶性、周期性的题目，关键是要掌握抽象函数运算，还要记忆一些常用的结论.如()()()()()(),,kf x A f x f x a f x f x a f a +=+=-+=等等，这些都是与周期性有关；如()()()(),f a x f a x f a x f a x +=-+=--等等，这些都是与对称性有关.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有《走，去永州》《扬鞭催马运粮忙》《数幸福》《乡村振兴唱起来》四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，则不同的排列种数为________（用数字作答）．【答案】12【解析】【分析】利用捆绑求得正确答案.【详解】由于《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，所以两者“捆绑”，则不同的排列种数为2323A A 12=种.故答案为：1214.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1,,,DA a DC b DD c P ===为1DD 的中点，过PB 的平面α分别与棱11,AA CC 交于点,E F ，且AE CF =，则BP EF +=________（用,,a b c表示）．【答案】122a c-+【解析】【分析】由题意设Q R E F 、、、分别为11,,,QA RC AA CC 的中点，容易证明四边形PEBF 是平行四边形，即平面PEBF 为符合题意的平面α，进而分解向量即可求解.【详解】如图所示：由题意不妨设Q R E F 、、、分别为11,,,QA RC AA CC 的中点，容易证明四边形PEBF 是平行四边形，即平面PEBF 为符合题意的平面α，因此()()()()BP EF BD ED DF D F DP DC D A P DE D ++=+=+++---+ ，又因为112DP DD = ，DE DA AE -=-- ，DF DC CF =+，且114AE DD = ，114CF DD = ，所以1111111112222442B D D DC DD A DD DC DA D F c P E D a A --+--+++⎛⎫⎛⎫+=+=-- ⎪ ⎪⎝+⎭⎝⎭=.故答案为：122a c -+.15.若函数()()e 2ln 2txtxf x x x +=-+，当()0,x ∈+∞时，()0f x >，则实数t 的取值范围________．【答案】1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】由()0f x >进行转化，利用构造函数法，结合多次求导来求得t 的取值范围.【详解】依题意，当()0,x ∈+∞时，()()e 2ln 02txtxf x x x +=->+恒成立，即()()e 22ln txtx x x +>+恒成立，即()()e 2ln e 2ln txtxx x +⋅>+①恒成立，设()()2ln g x x x =+，()21ln g x x x'=++，令()()()2221ln ,x h x g x x h x x x -''==++=，所以()h x 在区间()0,2上()()0,h x h x '<单调递减；在区间()2,+∞上()()0,h x h x '>单调递增，所以()()22ln 20h x h ≥=+>，也即()0g x '>，()g x 在()0,∞+上单调递增，所以由①得e tx x >，即ln ln ,xtx x t x>>，设()()2ln 1ln ,x x m x m x x x-'==，所以()m x 在区间()0,e 上()()0,m x m x '>单调递增；在区间()e,+∞上()()0,m x m x '<单调递减，所以()()ln e 1e e em x m ≤==，所以1e t >，即t 的取值范围是1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故答案为：1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭16.已知点((0)N a a >在抛物线2:2(02)C y px p a =<<上，F 为抛物线C 的焦点，圆N 与直线2px =相交于A B 、两点，与线段NF 相交于点R ，且AB =．若R 是线段NF 上靠近F 的四等分点，则抛物线C 的方程为________．【答案】24y x =【解析】【分析】设||4(0)NF t t =>，表示出|,|AB RF t ===，利用抛物线定义、点在抛物线上以及圆的弦长的几何性质列出关于,a p 的方程，即可求得p ，即得答案.【详解】由2:2(02)C y px p a =<<可知(,0)2pF ，设||4(0)NF t t =>，则|,|AB RF t ===，则||3NR t =，故222||(()||22p AB a NR -+=，即222()92p a t -+=①；又点((0)N a a >在抛物线2:2(02)C y px p a =<<上，故||42pNF a t =+=②，且122pa =，即6pa =③，②联立得22122030a ap p -+=，得23a p =或6a p =，由于02p a <<，故23a p =，结合6pa =③，解得2p =，故抛物线方程为24y x =，故答案为：24y x=【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要结合抛物线的定义以及圆的弦长的几何性质，找出参数,a p 间的等量关系，从而列出方程组，即可求解.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知数列{}n a 是公比1q >的等比数列，前三项和为39，且123,6,a a a +成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()*3213211N log log n n n b n a a -+=∈⋅，求{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）3nn a =（2）21n nT n =+【解析】【分析】（1）根据题意列出方程组，求出首项和公比，即可得答案；（2）利用（1）的结论化简()*3213211N log log n n n b n a a -+=∈⋅，利用裂项求和法即可求得答案.【小问1详解】由题意可得123213392(6)a a a a a a ++=⎧⎨+=+⎩，即得22239,92(6)a a a +=∴=+，则1330a a +=，即1219(1)30a q a q =⎧⎨+=⎩，可得231030q q -+=，由于1q >，故得3q =，则13a =，故1333n nn a -=⨯=；【小问2详解】由（1）结论可得2132133231213)111log log log log 3(21)(21n n n n n b a a n n +--+===⋅⋅-+111()22121n n =--+，故{}n b 的前n 项和111111(1)23352121n T n n =-+-++--+ 11(122121n n n =-=++.18.在ABC 中，设,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos cos c A a C a b -=+．（1）求角C ；（2）若5,c ABC =的内切圆半径4r =，求ABC 的面积．【答案】（1）2π3（2）16【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式化简，可得cos C 的值，即可得答案；（2）利用余弦定理得2225a b ab +=-，配方得2()25a b ab +=+，再结合ABC 的内切圆半径，利用等面积法推出25a b ab +=-，即可求得214ab =，从而求得答案.【小问1详解】在ABC 中，由cos cos c A a C a b -=+得sin cos sin cos sin sin C A A C A B -=+，即sin cos sin cos sin sin()C A A C A A C -=++,故2sin cos sin A C A -=，由于(0,π),sin 0A A ∈∴≠，故1cos 2C =-，而(0,π)C ∈，故2π3C =.【小问2详解】由2π3C =可得222c a b ab =++，而5c =，故2225a b ab +=-，则2()25a b ab +=+，由ABC 的内切圆半径34r =，可得11()sin 22a b c r ab C ++⋅=，即5()42a b ++=，即25a b ab +=-，故2(25)25ab ab -=+，解得214ab =，故ABC 的面积1121sin 224216S ab C ==⨯⨯=.19.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧面PAD 为正三角形，且24,AD AB M N ==、分别为PD BC 、的中点，H 在线段PC 上，且3PC PH =．（1）求证：//MN 平面PAB ；（2）当AM PC ⊥时，求平面AMN 与平面HMN 的夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）15【解析】【分析】（1）取AD 中点Q ，连接,MQ NQ ，要证//MN 平面PAB ，只需平面//MQN 平面PAB ，结合已知条件即可得证.（2）当AM PC ⊥时并结合已知条件即可建立如图所示坐标系，根据24==A D A B 以及中点关系、3PC PH =即可写出各个点的坐标，进而求出法向量即可求解.【小问1详解】如图所示：取AD 中点Q ，连接,MQ NQ ，,M N 分别为PD BC 、的中点，且底面ABCD 为矩形，所以1//,2MQ PA MQ PA =，且//NQ AB ，又因为MQ Ì平面MQN ，MQ ⊄平面PAB ，NQ ⊂平面MQN ，NQ ⊄平面PAB ，所以//MQ 平面PAB ，且//QN 平面PAB ，又因为MQ NQ Q = ，MQ Ì平面MQN ，NQ ⊂平面MQN ，所以平面//MQN 平面PAB ，因为MN ⊂平面MQN ，所以由面面平行的性质可知//MN 平面PAB 【小问2详解】如图所示：注意到侧面PAD 为正三角形以及M 为PD 的中点，所以由等边三角形三线合一得AM PD ⊥，又因为AM PC ⊥，且PD ⊂面PDC ，PC ⊂面PDC ，PD PC P ⋂=，所以AM ⊥面PDC ，又因为CD ⊂面PDC ，所以CD AM ⊥，又因为底面ABCD 为矩形，所以CD AD ⊥，因为AD AM A = ，AM ⊂面PAD ，AD ⊂面PAD ，所以CD ⊥面PAD ，因为PQ ⊂面PAD ，所以CD PQ ⊥，又//CD NQ ，所以NQ PQ ⊥，又由三线合一PQ AD ⊥，又AD NQ ⊥，所以建立上图所示的空间直角坐标系；因为24==A D A B ，所以()()(()()0,2,0,2,0,0,0,0,3,2,2,0,0,2,0A N P C D -，又因为M 为PD 的中点，3PC PH =，所以(22433,,,333M H ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以(0,3,3MA =- ，(2,1,3MN =- ，213,,333MH ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，不妨设平面AMN 与平面HMN 的法向量分别为()()11112222,,,,,n x y z n x y z ==，所以有1100n MA n MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 以及2200n MH n MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即分别有11111330230y x y z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩以及2222222130333230x y z x y z ⎧-+=⎪⎨⎪-=⎩，分别令121,1y x =-=，并解得(()121,1,3,1,2,0n n =-=，不妨设平面AMN 与平面HMN 的夹角为θ，所以12121cos 5n n n n θ⋅==⋅ ；综上所述：平面AMN 与平面HMN 的夹角的余弦值为15.20.某企业为提高竞争力，成功研发了三种新品、、A B C ，其中、、A B C 能通过行业标准检测的概率分别为469,,5710，且、、A B C 是否通过行业标准检测相互独立．（1）设新品、、A B C 通过行业标准检测的品种数为X ，求X 的分布列；（2）已知新品A 中的一件产品经检测认定为优质产品的概率为0.025，现从足量的新品A 中任意抽取一件进行检测，若取到的不是优质产品，则继续抽取下一件，直至取到优质产品为止，但抽取的总次数不超过n ．如果抽取次数的期望值不超过5，求n 的最大值．参考数据：456780.9750.904,0.9750.881,0.9750.859,0.9750.838,0.9750.817≈≈===【答案】（1）分布列见解析（2）5【解析】【分析】（1）由题意X 的所有可能取值为：0，1，2，3,由独立事件乘法公式以及互斥事件加法公式即可分别求出相应的概率，进而求解.（2）不妨设抽取第()11k k n ≤≤-次时取到优质产品，此时对应的概率为()()10.0250.975k P k -=⨯，而第n 次抽到优质产品的概率为()()10.975n P n -=，所以抽取次数的期望值为()()()()()1111110.0250.9750.975n n k n k k E n k P k nP n k n ----==⎡⎤⎡⎤=⋅+=⨯⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑()()()210.025120.97510.9750.975n n n n --⎡⎤=⨯+⨯++-⨯+⎣⎦，对其求和并结合()5E n ≤以及参考数据即可求解.【小问1详解】由题意X 的所有可能取值为：0，1，2，3.()111157103500P X =⨯⨯==,()411161119195710571057100135P X =⨯⨯+⨯⨯+⨯=⨯=,()461419169114575710571057103501752P X =⨯⨯+⨯⨯+===⨯⨯,()46921610857103505317P X =⨯⨯===;所以X 的分布列如下表：X 0123()P X 13501935057175108175【小问2详解】不妨设抽取第()11,2k k n n ≤≤-≥次时取到优质产品，此时对应的概率为()()10.0250.975k P k -=⨯，而第n 次抽到优质产品的概率为()()10.975n P n -=，因此由题意抽取次数的期望值为()()()()()1111110.0250.9750.975n n k n k k E n k P k nP n k n ----==⎡⎤⎡⎤=⋅+=⨯⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑()()()210.025120.97510.9750.975n n n n --⎡⎤=⨯+⨯++-⨯+⎣⎦，()()()()()()210.9750.02510.97520.97510.9750.975n n n E n n n n --⎡⎤⋅=⨯⨯++-⨯+-⨯+⎣⎦，两式相减得()()()()()2110.0250.02510.9750.97510.9750.0250.975n n n E n n n ---⎡⎤⋅=⨯+++--⨯+⨯⎣⎦ ，所以()()()10.9754010.97510.975nn E n -⎡⎤==-⎣⎦-，又由题意可得()5E n ≤，所以()4010.9755n ⎡⎤-≤⎣⎦，即()0.9750.875n ≥，注意到当5n =时，有50.9750.8810.875≈>，且当6n =时，有60.9750.8590.875=<；综上所述：n 的最大值为5.21.已知点A 为圆22:60C x y +--=上任意一点，点B 的坐标为()，线段AB 的垂直平分线与直线AC 交于点D ．（1）求点D 的轨迹E 的方程；（2）设轨迹E 与x 轴分别交于12,A A 两点（1A 在2A 的左侧），过()3,0R 的直线l 与轨迹E 交于,M N 两点，直线1A M 与直线2A N 的交于P ，证明：P 在定直线上．【答案】（1）22146x y -=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意推出||||||4DC DB -=，结合双曲线定义即可求得答案；（2）设出直线l 的方程，联立双曲线方程，得到根与系数的关系，表示出直线1A M 和2A N 的方程，推得122121522ty y y x x ty y y ++=-+，结合根与系数的关系化简，即可证明结论.【小问1详解】由22:60C x y +--=得22:(61C x y +=，其半径为4，因为线段AB 的垂直平分线与直线AC 交于点D，故||||DB DA =，则||||||||||||||4DC DB DC DA AC -=-==,而||84BC =>，故点D 的轨迹E 为以,B C 为焦点的双曲线，则22224,2,26a a c c b c a ====∴=-=，故点D 的轨迹E 的方程为22146x y -=.【小问2详解】证明：由题意知12(2,0),(2,0)A A -，若直线l 斜率为0，则其与双曲线的交点为双曲线的两顶点，不合题意；故直线l 的斜率不能为0，故设其方程为3x ty =+，联立223146x ty x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得22(32)18150t y ty -++=，21441200t ∆=+>，故12212218321532t y y t y y t -⎧+=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，设()()1122,,,M x y N x y ，则直线1A M 的方程为1111(2)(2)25y y y x x x ty =+=+++，直线2A N 的方程为2222(2)(2)21y y y x x x ty =-=--+，故122121522ty y y x x ty y y ++=-+，则2221221113232=531518755()523215152232t t y y x t t y t t t t t x y -+---+-=--+--=--+，即252x x +=--，解得43x =，故直线1A M 与直线2A N 的交点P 在定直线上.【点睛】难点点睛：本题考查了利用双曲线定义求解双曲线方程以及直线和双曲线的位置关系中的点在定直线上的问题，难点在于证明直线1A M 与直线2A N 的交点P 在定直线上，解答时要设直线方程，利用根与系数的关系进行化简，计算过程比较复杂，且大都是关于字母参数的运算，要十分细心.22.已知函数()()()ln 1,e 2ln 3ln23xf x xg x ax a =+=-++．（1）当()()1,00,x ∈-⋃+∞时，求证：()112f x x x >-+；（2）若()1,x ∈-+∞时，()()g x f x ≥，求实数a 的取值范围．【答案】（1）证明见详解（2）(0,【解析】【分析】（1）对()0,x ∈+∞与()1,0x ∈-进行分类讨论，通过导函数求单调性得出最值即可证明；（2）原式化简可得()e 2ln 3ln23ln 1x a a x x -+≥--，只需求得()()e ln 1x F x ax x =-+的最小值，最小值利用虚根0x 表示，再利用0x 置换a 从而得出0x 的不等式，构造函数()()()23ln 123ln 231xH x x x x =++++++求出()0H x ≥的解集，最后结合函数()00ln 2ln 1a x x =-+-的单调性即可求出a 的范围.【小问1详解】由题知，当()0,x ∈+∞时，原不等式可化为：()2ln 12x x x +>-+，令()()212ln x x h x x =++-，则()211011x h x x x x '=+-=>++，所以()h x 在()0,∞+上单调递增，从而有()()00h x h >=，故原不等式成立.当()1,0x ∈-时，原不等式等价于()0h x <，又()211011x h x x x x '=+-=>++，所以()h x 在()1,0-上单调递增，从而有()()00h x h <=，故原不等式成立.综上所述：当()()1,00,x ∈-⋃+∞时，恒有()112f x x x >-+.【小问2详解】由()e 2ln 3ln23xg x ax a =-++表达式可知0a >，()()g x f x ≥对()1,x ∈-+∞恒成立等价于()e 2ln 3ln23ln 1x a a x x -+≥--对()1,x ∈-+∞恒成立令()()e ln 1x F x ax x =-+，则有()()()1e e 1x x F x a x x '=+-+，令()()()()1e e 1x x G x F x a x x '==+-+，则有()()()212e 01x G x a x x '=++>+所以()F x '在()1,x ∈-+∞上单调递增又1x →-时，()F x '→-∞，x →+∞时()F x '→+∞从而存在唯一()01,x ∈-+∞，使得()00F x '=，即()()00001e e 01x x a x x +-=+，可得()()00001e e 1x x a x x =++，()00ln 2ln 1a x x =-+-，当()01,x x ∈-时，()00F x '<，()F x 在()01,x x ∈-单调递减，当()0,x x ∈+∞时，()00F x '>，()F x 在()0,x x ∈+∞单调递增，故()()()0000e ln 1xF x F x ax x ≥=-+故原不等式恒成立只需()()()00000020e ln 122ln 13ln 231e x x x x x x x ⋅-+≥-+---⎡⎤⎣⎦+即()()000203ln 123ln 2301x x x x +++++≥+，构造函数()()()23ln 123ln 231x H x x x x =++++++可得()()()()2331335422111xx x H x x x x -++'=++=++++()1x >-，当1x >-时，令()2354u x x x =++，因为2548230∆=-=-<从而可得()0H x '>在()1,x ∈-+∞时恒成立又102H ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以()0H x ≥的解集为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.又因为()00ln 2ln 1a x x =-+-，令()()2ln 1m x x x =-+-，易得()m x 在定义域内单调递减，所以111ln 2ln 1ln 4222a ⎛⎫≤--++=+ ⎪⎝⎭所以1ln 42e a +≤=，故a 的取值范围为：(0,【点睛】思路点睛：（1）不等式两边同时去分母时务必要记得对分母的正负分类讨论；（2）恒成立问题可以优先转化为最值问题，而最值问题往往通过导函数作为工具；（3）隐零点的处理思路：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，需要仔细观察式子多次尝试；第二步：虚设零点并确定取值范围，通过零点方程进行代换，可能需要进行多次.。
2020年湖南省永州市高考数学模拟试卷(理科)
2020年湖南省永州市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M＝{x|﹣1＜x＜3}，N＝{x|y＝lg（x2﹣1）}，则M∩N＝（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|1＜x＜3}D．{x|﹣1＜x≤1} 2．（5分）已知复数z满足z•（1+2i）＝|3﹣4i|（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a4．（5分）图1为某省2019年1至4月快递业务量统计图，图2是该省2019年1至4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是（“同比”指与去年同月相比）（）A．2019年1至4月的快递业务收入在3月最高，2月最低，差值超过20000万元B．2019年1至4月的快递业务收入同比增长率不低于30%，在3月最高C．从1至4月来看，该省在2019年快递业务量同比增长率逐月增长D．从两图来看2019年1至4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率不完全一致5．（5分）下列说法正确的是（）A．若“p∨q”为真命题，则“p∧q”为真命题B．命题“∀x＞0，e x﹣x﹣1＞0”的否定是“∃x0≤0，”C．命题“若x≥1，则”的逆否命题为真命题D．“x＝﹣1”是“x2﹣5x﹣6＝0”的必要不充分条件6．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b cos C﹣c cos B＝2c•cos C，则角C的取值范围为（）A．B．C．D．7．（5分）已知平面向量，，均为单位向量，若，则的最大值是（）A．B．3C．D．8．（5分）我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的精美图案．如图所示的窗棂图案，是将边长为2R的正方形的内切圆六等分，分别以各等分点为圆心，以R为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形．若在正方形内随机取一点，则该点在窗棂图案上阴影内的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝2﹣|x+2|．若对任意的x∈[﹣1，2]，f（x+a）＞f（x）成立，则实数a的取值范围是（）A．（0，2）B．（0，2）∪（﹣∞，﹣6）C．（﹣2，0）D．（﹣2，0）∪（6，+∞）10．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M（异于P，F），与y轴交于点N，直线MB与y轴交于点H，若（O为坐标原点），则C的离心率为（）A．2B．3C．4D．511．（5分）已知函数，在区间[0，π]上有且仅有2个零点，对于下列4个结论：①在区间（0，π）上存在x1，x2，满足f（x1）﹣f（x2）＝2；②f（x）在区间（0，π）有且仅有1个最大值点；③f（x）在区间上单调递增；④ω的取值范围是，其中所有正确结论的编号是（）A．①③B．①③④C．②③D．①④12．（5分）设函数恰有两个极值点，则实数t的取值范围是（）A．∪（1，+∞）B．∪[1，+∞）C．D．[1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）二项式（﹣）5的展开式中x﹣2的系数是．14．（5分）在今年的疫情防控期间，某省派出5个医疗队去支援武汉市的4个重灾区，每个重灾区至少分配一个医疗队，则不同的分配方案共有种．（用数字填写答案）15．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F且斜率为的直线交抛物线于点M（M在第一象限），MN⊥l，垂足为N，直线NF交y轴于点D，则|MD|＝．16．（5分）在四面体ABCD中，CA＝CB，DA＝DB，AB＝6，CD＝8，AB⊂平面α，l⊥平面α，E，F分别为线段AD，BC的中点，当四面体以AB为轴旋转时，直线EF与直线l 夹角的余弦值的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必做题：60分．17．（12分）已知S n是公差不为零的等差数列{a n}的前n项和，S3＝6，a3是a1与a9的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列，数列{b n}的前2n项和为P2n，若，求正整数n的最小值．18．（12分）在如图的空间几何体中，四边形BCED为直角梯形，∠DBC＝90°，BC＝2DE，AB＝AC＝2，，且平面BCED⊥平面ABC，F为棱AB中点．（1）证明：DF⊥AC；（2）求二面角B﹣AD﹣E的正弦值．19．（12分）已知椭圆与抛物线D：y2＝﹣4x有共同的焦点F，且两曲线的公共点到F的距离是它到直线x＝﹣4（点F在此直线右侧）的距离的一半．（1）求椭圆C的方程；（2）设O为坐标原点，直线l过点F且与椭圆交于A，B两点，以OA，OB为邻边作平行四边形OAMB．是否存在直线l，使点M落在椭圆C或抛物线D上？若存在，求出点M坐标；若不存在，请说明理由．20．（12分）为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委给出所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规则另行确定．数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数X 都在[70，100）内，在以组距为5画分数的频率分布直方图（设“”）时，发现Y满足，n∈N*，5n≤X＜5（n+1）．（1）试确定n的所有取值，并求k；（2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于85分的参赛者无缘获奖也不能参加附加赛；分数在[95，100）的参赛者评为一等奖；分数在[90，95）的同学评为二等奖，但通过附加赛有的概率提升为一等奖；分数在[85，90）的同学评为三等奖，但通过附加赛有的概率提升为二等奖（所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级）．已知学生A和B 均参加了本次比赛，且学生A在第一阶段评为二等奖．（i）求学生B最终获奖等级不低于学生A的最终获奖等级的概率；（ii）已知学生A和B都获奖，记A，B两位同学最终获得一等奖的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．21．（12分）已知函数f（x）＝（x+1）ln（x+1），g（x）＝ax+﹣x cos x．（1）当x≥0时，总有，求m的最小值．（2）对于[0，1]中任意x恒有f（x）≤g（x），求a的取值范围．（二）选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为x2﹣2x+y2＝0．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）写出曲线C的极坐标方程，并求出直线l与曲线C的交点M，N的极坐标；（2）设P是椭圆上的动点，求△PMN面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝x2+2|x﹣1|．（1）解关于x的不等式：；（2）若f（x）的最小值为M，且a+b+c＝M（a，b，c∈R+），求证：．2020年湖南省永州市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M＝{x|﹣1＜x＜3}，N＝{x|y＝lg（x2﹣1）}，则M∩N＝（）A．{x|﹣1＜x＜3}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|1＜x＜3}D．{x|﹣1＜x≤1}【分析】可以求出集合N，然后进行交集的运算即可．【解答】解：N＝{x|x2﹣1＞0}＝{x|x＞1或x＜﹣1}，M＝{x|﹣1＜x＜3}，∴M∩N＝{x|1＜x＜3}．故选：C．【点评】本题考查了描述法的定义，对数函数的定义域，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（5分）已知复数z满足z•（1+2i）＝|3﹣4i|（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【解答】解：由z•（1+2i）＝|3﹣4i|＝5，得，∴在复平面内复数z对应的点的坐标为（1，﹣2），位于第四象限，故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．（5分）已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a【分析】由题意利用指数函数的单调性和特殊点，得出结论．【解答】解析：0.30.3＞0.30.4，即b＞c＞0，而，即a＞b，∴a＞b＞c，故选：B．【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题．4．（5分）图1为某省2019年1至4月快递业务量统计图，图2是该省2019年1至4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是（“同比”指与去年同月相比）（）A．2019年1至4月的快递业务收入在3月最高，2月最低，差值超过20000万元B．2019年1至4月的快递业务收入同比增长率不低于30%，在3月最高C．从1至4月来看，该省在2019年快递业务量同比增长率逐月增长D．从两图来看2019年1至4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率不完全一致【分析】本剧图表，可知C错，增长率不稳定．【解答】解析：由图表易知，从1至4月来看，该省在2019年快递业务量同比增长率先降低，再增加，再降低，再增加，C错．故选：C．【点评】本题考查频率直方图，属于基础题．5．（5分）下列说法正确的是（）A．若“p∨q”为真命题，则“p∧q”为真命题B．命题“∀x＞0，e x﹣x﹣1＞0”的否定是“∃x0≤0，”C．命题“若x≥1，则”的逆否命题为真命题D．“x＝﹣1”是“x2﹣5x﹣6＝0”的必要不充分条件【分析】A选项涉及“或”一真则真，“且”一假则假的问题；B选项命题的否定要注意一改量词，二改结论；C选项可以考虑原命题的真假；D选项解方程的根为﹣1，6．【解答】解析：“p∨q”为真，则命题p，q有可能一真一假，则“p∧q”为假，故选项A 说法不正确；命题“∀x＞0，e x﹣x﹣1＞0”的否定应该是“∃x0＞0，”，故选项B说法不正确；因命题“若x≥1，则”为真命题，则其逆否命题为真命题，故选项C说法正确；因x＝﹣1⇒x2﹣5x﹣6＝0，但x2﹣5x﹣6＝0⇒x＝﹣1或x＝6，所以“x＝﹣1”是“x2﹣5x﹣6＝0”的充分不必要条件，选项D说法不正确；故选：C．【点评】本题难度较小，着重考查了逻辑连结词，命题的四种形式，否命题和充要条件的问题，需要我们熟练掌握概念和性质．6．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b cos C﹣c cos B＝2c•cos C，则角C的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】由已知利用正弦定理，两角差的正弦函数公式，二倍角的正弦函数公式可得sin （B﹣C）＝sin2C，在锐角三角形中可求B＝3C，可得，且，从而解得C的取值范围．【解答】解：∵b cos C﹣c cos B＝2c•cos C，∴由正弦定理可得：sin B cos C﹣sin C cos B＝2sin C cos C，∴sin（B﹣C）＝sin2C，∴B﹣C＝2C，∴B＝3C，∴，且，∴．故选：A．【点评】本题主要考查了正弦定理，两角差的正弦函数公式，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．7．（5分）已知平面向量，，均为单位向量，若，则的最大值是（）A．B．3C．D．【分析】先根据已知求得||＝；再把所求展开结合数量积即可求解结论．【解答】解：∵平面向量，，均为单位向量，（+）2＝+2•+＝3，故||＝；∴＝•+﹣（+）•＝﹣（）≤+|+|•|﹣|＝+；当且仅当与反向时取等号．故选：C．【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及到向量的模长计算，属于基础题目．8．（5分）我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的精美图案．如图所示的窗棂图案，是将边长为2R的正方形的内切圆六等分，分别以各等分点为圆心，以R为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形．若在正方形内随机取一点，则该点在窗棂图案上阴影内的概率为（）A．B．C．D．【分析】由题意知，阴影部分是由12个全等的弓形组成的面积，由此求出阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式计算概率值．【解答】解：连接A、B、O，得等边三角形OAB，则阴影部分的面积为S阴影＝12×（×πR2﹣×R2×sin60°）＝（2π﹣3）R2，故所求概率为．故选：B．【点评】本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．9．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝2﹣|x+2|．若对任意的x∈[﹣1，2]，f（x+a）＞f（x）成立，则实数a的取值范围是（）A．（0，2）B．（0，2）∪（﹣∞，﹣6）C．（﹣2，0）D．（﹣2，0）∪（6，+∞）【分析】作出函数f（x）的图象，易知y＝f（x+a）的图象可以看成是y＝f（x）的图象向左（a＞0时）或向右（a＜0时）平移|a|个单位而得，分a＞0及a＜0，结合图象观察即可得解．【解答】解析：依题意作出f（x）的图象，y＝f（x+a）的图象可以看成是y＝f（x）的图象向左（a＞0时）或向右（a＜0时）平移|a|个单位而得，当a＞0时，y＝f（x）的图象至少向左平移6个单位（不含6个单位）才能满足f（x+a）＞f（x）成立，当a＜0时，y＝f（x）的图象向右平移至多2个单位（不含2个单位）才能满足f（x+a）＞f（x）成立（对任意的x∈[﹣1，2]），故x∈（﹣2，0）∪（6，+∞），故选：D．【点评】本题主要考查函数图象的应用，考查函数奇偶性及不等式的恒成立问题，考查数形结合思想，属于基础题．10．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M（异于P，F），与y轴交于点N，直线MB与y轴交于点H，若（O为坐标原点），则C的离心率为（）A．2B．3C．4D．5【分析】画出图形，利用三角形相似，列出比例关系，结合已知条件转化求解即可．【解答】解：不妨设P在第二象项，|FM|＝m，H（0，h）（h＞0），由知N（0，﹣2h），由△AFM～△AON，得（1），由△BOH～△BFM，得（2）（1），（2）两式相乘得，即c＝3a，离心率为3．故选：B．【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出a、c关系，是解决本题的关键．11．（5分）已知函数，在区间[0，π]上有且仅有2个零点，对于下列4个结论：①在区间（0，π）上存在x1，x2，满足f（x1）﹣f（x2）＝2；②f（x）在区间（0，π）有且仅有1个最大值点；③f（x）在区间上单调递增；④ω的取值范围是，其中所有正确结论的编号是（）A．①③B．①③④C．②③D．①④【分析】①f（x1）﹣f（x2）＝2则为最大值1减最小值﹣1，我们需要找到在（0，π）上是否存在最大值1和最小值﹣1；②我们需要先确定ω范围从而确定的范围，根据整体思想确定它的单调性．【解答】解析：∵x∈[0，π]，∴，令，则由题意，在上只能有两解和∴，（*）因为在上必有，故在（0，π）上存在x1，x2满足f（x1）﹣f（x2）＝2；①成立；对应的x（显然在[0，π]上）一定是最大值点，因对应的x值有可能在[0，π]上，故②结论错误；解（*）得，所以④成立；当时，，由于，故，此时y＝sin z是增函数，从而f（x）在上单调递增．综上，①③④成立，故选：B．【点评】本题为三角函数与简易逻辑的综合考查，本题的关键为确定ω的范围，难度比较大．12．（5分）设函数恰有两个极值点，则实数t的取值范围是（）A．∪（1，+∞）B．∪[1，+∞）C．D．[1，+∞）【分析】求导得有两个零点等价于函数φ（x）＝e x﹣（2x+1）t有一个不等于1的零点，分离参数得，令，，利用h（x）的单调性可得：在取得最小值，作h（x）的图象，并作y＝t的图象，注意到h（0）＝1，，对t分类讨论即可得出．【解答】解：求导得有两个零点等价于函数φ（x）＝e x ﹣（2x+1）t有一个不等于1的零点，分离参数得，令，，h（x）在递减，在递增，显然在取得最小值，作h（x）的图象，并作y＝t的图象，注意到h（0）＝1，，（原定义域x＞0，这里为方便讨论，考虑h（0）），当t≥1时，直线y＝t与只有一个交点即φ（x）只有一个零点（该零点值大于1）；当时在两侧附近同号，不是极值点；当时函数φ（x）＝e x﹣（2x+1）t有两个不同零点（其中一个零点等于1），但此时在x＝1两侧附近同号，使得x＝1不是极值点不合．故选：D．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）二项式（﹣）5的展开式中x﹣2的系数是﹣80．【分析】先求通项公式，再令x的指数为﹣2即可求解结论．【解答】解：展开式通项，依题意，，得r＝3，所以：x﹣2的系数是．故答案为：﹣80．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．（5分）在今年的疫情防控期间，某省派出5个医疗队去支援武汉市的4个重灾区，每个重灾区至少分配一个医疗队，则不同的分配方案共有240种．（用数字填写答案）【分析】根据题意，分2步进行分析：先选出一个重灾区分配有两个医疗队，再为剩下的3个重灾区各分配一个医疗队，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，将5个医疗队分派到4个重灾区，每个重灾区至少分配一个医疗队，则其中有一个重灾区安排两个医疗队，剩下3个重灾区各安排一个医疗队，分2步进行分析：先选出一个重灾区分配有两个医疗队，有C41种分配法，再为剩下的3个重灾区各分配一个医疗队，有种分配法，所以不同的分配方案数共有．故答案为：240．【点评】本题考查排列、组合的应用，注意要先分组，再进行排列，属于基础题．15．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，过点F且斜率为的直线交抛物线于点M（M在第一象限），MN⊥l，垂足为N，直线NF交y轴于点D，则|MD|＝．【分析】由抛物线定义知|MN|＝|MF|，再由题意可得△MNF为等边三角形，O为EF的中点DO∥NE，可得DO为三角形EFN的中位线，可得D为NF的中点，DM为等边三角形MNF的高，由△NFE的角∠NFE＝60°可得NF的值，进而求出MD的值．【解答】解：设准线l与x轴交于E．易知F（1，0），EF＝2，由抛物线定义知|MN|＝|MF|，由于∠NMF＝60°，所以△NMF为等边三角形，∠NFE＝60°，所以三角形边长为|NM|＝＝2|FE|＝4，又OD是△FEN的中位线，MD就是该等边三角形的高，，故答案为：2．【点评】本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合，属于中档题．16．（5分）在四面体ABCD中，CA＝CB，DA＝DB，AB＝6，CD＝8，AB⊂平面α，l⊥平面α，E，F分别为线段AD，BC的中点，当四面体以AB为轴旋转时，直线EF与直线l 夹角的余弦值的取值范围是．【分析】推导出AB⊥CD，GE∥CD，GF∥AB，从而GE⊥GF，得EF＝5．当四面体绕AB旋转时，由GF∥AB，即EF绕GF旋转，由此能求出EF与直线l所成角的范围．【解答】解：∵在四面体ABCD中，CA＝CB，DA＝DB，AB＝6，CD＝8，AB⊂平面α，l⊥平面α，E，F分别为线段AD，BC的中点，∴AB⊥CD，又GE∥CD，GF∥AB，∴GE⊥GF，得EF＝5．当四面体绕AB旋转时，由GF∥AB，即EF绕GF旋转，故EF与直线l所成角的范围为[90°﹣∠GFE，90°]，∴直线EF与直线l夹角的余弦值的取值范围是．故答案为：[0，]．【点评】本题考查两条异面直线所成角的余弦值的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，是中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题第21题为必考题，考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必做题：60分．17．（12分）已知S n是公差不为零的等差数列{a n}的前n项和，S3＝6，a3是a1与a9的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列，数列{b n}的前2n项和为P2n，若，求正整数n的最小值．【分析】（1）设出等差数列的公差为d，且不为0，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得，再由数列的裂项相消求和，计算可得P2n，解不等式可得所求最小值．【解答】解：（1）公差d不为零的等差数列{a n}，由a3是a1与a9的等比中项，可得，即a1（a1+8d）＝（a1+2d）2，化为a1＝d，又S3＝3a1+3d＝6，可得a1＝d＝1，所以数列{a n}是以1为首项和公差的等差数列，故综上；（2）由（1）可知，所以＝，所以，故n的最小值为505．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查等比数列的中项性质，同时考查利用裂项相消法求数列的和，考查运算能力，属于中档题．18．（12分）在如图的空间几何体中，四边形BCED为直角梯形，∠DBC＝90°，BC＝2DE，AB＝AC＝2，，且平面BCED⊥平面ABC，F为棱AB中点．（1）证明：DF⊥AC；（2）求二面角B﹣AD﹣E的正弦值．【分析】（1）先证明四边形GFDE为平行四边形，可得GE∥DF，而GE⊥AC，则DF⊥AC，即得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面ABD及平面ADE的法向量，利用向量公式求解即可．【解答】解：（1）证明：取AC中点为G，连接GE和GF，因为GF∥BC，且，又因为DE∥BC，且，故GF∥DE，且GF＝DE，即四边形GFDE为平行四边形，故GE∥DF，∵CE＝AE，∴GE⊥AC，又GE∥DF，则DF⊥AC；（2）∵平面BCED⊥平面ABC，平面BCED∩平面ABC＝BC，DB⊥AC，∴DB⊥平面ABC，又AC在平面ABC内，∴DB⊥AC，又DF⊥AC，BD∩DF＝D，BD，DF在平面ABC∴AC⊥平面ABD，∴AC⊥AB，∵AB＝AC＝2，∴，取BC中点O连接OE和OA，四边形BCED为直角梯形，则OE∥DB，∵DB⊥平面ABC，∴OE⊥平面ABC，故OE⊥BC，OE⊥OA，∵AB＝AC，OA⊥BC，∴以OA为x轴，OB为y轴，OE为z轴建立直角坐标系，∵，∴OE＝1，则，故，易知平面ABD的一个法向量为，设平面ADE的一个法向量为，则，故可取，设二面角B﹣AD﹣E的为θ，则，∴二面角B﹣AD﹣E的正弦值为．【点评】本题考查空间中线线，线面，面面间的基本位置关系，考查利用空间向量求解二面角的正弦值，考查逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题．19．（12分）已知椭圆与抛物线D：y2＝﹣4x有共同的焦点F，且两曲线的公共点到F的距离是它到直线x＝﹣4（点F在此直线右侧）的距离的一半．（1）求椭圆C的方程；（2）设O为坐标原点，直线l过点F且与椭圆交于A，B两点，以OA，OB为邻边作平行四边形OAMB．是否存在直线l，使点M落在椭圆C或抛物线D上？若存在，求出点M坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由已知求得c，可得a2＝b2+1，再由已知求得点Q的坐标，代入椭圆方程得关于a，b的方程，联立求得a，b的值，则椭圆方程可求；（2）当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k（x+1），与椭圆方程联立，利用根与系数的关系，结合OABM为平行四边形，即，可得M的坐标，分别代入椭圆与抛物线方程，得到关于k的方程，求解k无解，当直线斜率不存在时，易知存在点M（﹣2，0）在椭圆C上，可得不存在直线l，使点M落在抛物线D上，存在直线l，使点M（﹣2，0）落在椭圆C上．【解答】解：（1）由题意知F（﹣1，0），因而c＝1，即a2＝b2+1，又两曲线在第二象限内的交点Q（x Q，y Q）到F的距离是它到直线x＝﹣4的距离的一半，即4+x Q＝2（﹣x Q+1），得，则，代入到椭圆方程，得．由，解得a2＝4，b2＝3，∴所求椭圆的方程为．（2）当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB的方程为y＝k（x+1），由，得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，设M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），则，，由于OABM为平行四边形，得，故，若点M在椭圆C上，则，代入得，解得k无解；若点M在抛物线D上，则，代入得，解得k无解．当直线斜率不存在时，易知存在点M（﹣2，0）在椭圆C上．故不存在直线l，使点M落在抛物线D上，存在直线l，使点M（﹣2，0）落在椭圆C 上．【点评】本题考查求椭圆的标准方程的求法，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．20．（12分）为丰富学生课外生活，某市组织了高中生钢笔书法比赛，比赛分两个阶段进行：第一阶段由评委给出所有参赛作品评分，并确定优胜者；第二阶段为附加赛，参赛人员由组委会按规则另行确定．数据统计员对第一阶段的分数进行了统计分析，这些分数X 都在[70，100）内，在以组距为5画分数的频率分布直方图（设“”）时，发现Y满足，n∈N*，5n≤X＜5（n+1）．（1）试确定n的所有取值，并求k；（2）组委会确定：在第一阶段比赛中低于85分的参赛者无缘获奖也不能参加附加赛；分数在[95，100）的参赛者评为一等奖；分数在[90，95）的同学评为二等奖，但通过附加赛有的概率提升为一等奖；分数在[85，90）的同学评为三等奖，但通过附加赛有的概率提升为二等奖（所有参加附加赛的获奖人员均不降低获奖等级）．已知学生A和B 均参加了本次比赛，且学生A在第一阶段评为二等奖．（i）求学生B最终获奖等级不低于学生A的最终获奖等级的概率；（ii）已知学生A和B都获奖，记A，B两位同学最终获得一等奖的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【分析】（1）X在[70，100）内，按组距为5可分成6个小区间，分别是[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100），由70≤X＜100，由5n≤X＜5（n+1），n∈N*，能求出n的对值和k．（2）（i）由于参赛学生很多，可以把频率视为概率，学生B的分数属于区间[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100）的概率分别是，用符号A ij（或B ij）表示学生A（或B）在第一轮获奖等级为i，通过附加赛最终获奖等级为j，其中j≤i（i，j＝1，2，3），记W＝“学生B 最终获奖等级不低于学生A的最终获奖等级”，由此能求出学生B最终获奖等级不低于学生A的最终获奖等级的概率．（ii）学生A最终获得一等奖的概率是P（A21）＝，学生B最终获得一等奖的概率是P（）＝，ξ的可能取值为0，1，2，分虽求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．【解答】解：（1）根据题意，X在[70，100）内，按组距为5可分成6个小区间，分别是[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100），∵70≤X＜100，由5n≤X＜5（n+1），n∈N*，∴n＝14，15，16，17，18，19，每个小区间对应的频率值分别是P＝5Y＝．，解得k＝，∴n的对值是14，15，16，17，18，19，k＝．（2）（i）由于参赛学生很多，可以把频率视为概率，由（1）知，学生B的分数属于区间[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100）的概率分别是：，我们用符号A ij（或B ij）表示学生A（或B）在第一轮获奖等级为i，通过附加赛最终获奖等级为j，其中j≤i（i，j＝1，2，3），记W＝“学生B最终获奖等级不低于学生A的最终获奖等级”，则P（W）＝P（B1+B21+B22A22+B32A22）＝P（B1）+P（B21）+P（B22）P（A22）+P（B32）P（A22）＝+＝．（ii）学生A最终获得一等奖的概率是P（A21）＝，学生B最终获得一等奖的概率是P（）＝，P（ξ＝0）＝（1﹣）（1﹣）＝，P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，∴ξ的分布列为：ξ012PEξ＝＝．【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝（x+1）ln（x+1），g（x）＝ax+﹣x cos x．（1）当x≥0时，总有，求m的最小值．（2）对于[0，1]中任意x恒有f（x）≤g（x），求a的取值范围．【分析】（1）由已知不等式先构造函数，然后结合导数与单调性的关系可求相应函数的单调性，进而可求．（2）构造函数，对其求导，然后结合导数与单调性的关系及不等式的恒成立与最值问题的相互转化可求．【解答】解：（1）令，则φ'（x）＝x+m﹣ln（x+1）﹣1，，∴φ'（x）在[0，+∞）上单调递增，且φ'（0）＝m﹣1，若m≥1，φ（x）在[0，+∞）上单调递增，∴φ（x）≥φ（0）＝0，即m≥1满足条件，若m＜1，φ′（0）＝m﹣1＜0，φ（x）存在单调递减区间[0，x0]，又∵φ（0）＝0所以存在x0使得φ（x0）＜0与已知条件矛盾，所以m≥1，m的最小值为1．（2）由（1）知，如果，则必有f（x）≤g（x）成立．令，则h（x）＝（a﹣1）x﹣x cos x＝x（a﹣1﹣cos x），h（x）＝x（a﹣1﹣cos x）≥0，则a﹣1﹣cos x≥0，a≥1+cos x，a≥2．若h（x）≥0，必有f（x）≤g（x）恒成立，故当a≥2时，f（x）≤g（x）恒成立，下面证明a＜2时，f（x）≤g（x）不恒成立．令f1（x）＝f（x）﹣x＝（x+1）ln（x+1）﹣x，f′1（x）＝ln（x+1），当x＞0时，f′1（x）＝ln（x+1）＞0，f1（x）在区间[0，1]上单调递增，故f1（x）≥f1（0）＝0，即f1（x）＝f（x）﹣x≥0，故x≤f（x）．g（x）﹣f（x）≤g（x）﹣x＝＝，令，＞0，所以t（x）在[0，1]上单调递增，t（0）＝a﹣2＜0，则一定存在区间（0，m）（其中0＜m＜1），当x∈（0，m）时，t（x）＜0，则g（x）﹣f（x）≤xt（x）＜0，故f（x）≤g（x）不恒成立．综上所述：实数a取值范围是[2，+∞）．【点评】本题主要考查了不等式恒成立问题；还考查不等式放缩求参数取值范围问题的求解，属于中档试题．（二）选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为x2﹣2x+y2＝0．以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）写出曲线C的极坐标方程，并求出直线l与曲线C的交点M，N的极坐标；（2）设P是椭圆上的动点，求△PMN面积的最大值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进。
永州市2020年高考第一次模拟考试试卷理科数学答案
永州市2020年高考第一次模拟考试试卷数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 123456789101112 答案CBADABCDCADB 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对 横线上. 13．214．515． 3 3 10 4 16．3 2三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过骤. 17．（本小题满分12分） 解：（1）在DABC 中，由正弦定理得sinBcosA-sinAsinB=0，⋯⋯⋯⋯⋯2分 sinB0，tanA1，⋯⋯⋯⋯⋯4分 因为A(0，)，所以 A .⋯⋯⋯⋯⋯6分 4 （2）ABAD ，且 B AC ， 4 C AD ，⋯⋯⋯⋯⋯7分 4 在DACD 中，AC=22，CD=5， CAD 4222 由余弦定理得 CD=AC+AD-2AC 鬃ADcos?CAD ，⋯⋯⋯⋯⋯9分 即 22 5=8+AD-2创22AD?，解得：AD1或AD3⋯⋯⋯⋯11分 2 AD 的长为1或3.⋯⋯⋯⋯⋯12分 18．（本小题满分12分） 解：（1）如DE ，易知ΔDCE，P C E P Q ，D PQ ⊥CE ，DQ ⊥CE ⋯⋯⋯⋯⋯2分 又DQPQQ ，PQ,DQ 平面DPQ ， EC 平面PDQ ，⋯⋯⋯⋯⋯4分 又PD 平面PDQ ，所以EC ⊥PD.⋯⋯⋯⋯⋯5分 （2）因为二面角PECD 为直二面角，所以平面PEC 平面AECD ， 又因为平面PEC 平面AECDEC ，且PQ ⊥EC ，所以PQ ⊥平面AEC. 永州市2020年高考第一次模拟考试·数学（理科）参考答案第1页（共7页）又因为E C ⊥D Q ，故以点Q 为坐标原点，QC ，Q D，Q P 所在直为x 轴、z 轴建立如图所示的空间直角Qxyz.⋯⋯⋯⋯⋯6分 则A(2,3,0)，E(1,0,0)，P(0,0,3).所以AE(1,-3,0)，AP(2,-3,3)设平面PAC 的法向量为m(x ，y ，z).由 ì? mAE ? í ??mAP ? 0 0 得 ì-=x3y0 ? í ?-+= 2x3y3z0 ?取z=-1，所以m=(3,1,-1).⋯⋯⋯⋯⋯9分 又因为直线PQ^平面AEC ，所以PQ=(0,0,3)是平面AEC 的一个法向量，所以cos,35 m?PQ <mPQ>===-5 m ×PQ53 ′ .⋯⋯⋯⋯⋯11分 又因为二面角PAEC 为锐二面角5 所以二面角PAEC 的余弦值5.⋯⋯⋯⋯⋯12分 19．（本小题满分12分）3141解：（1）由题意知22aba2，解得a b 2 1所以椭圆C 的方程为2 x 42y1.⋯⋯⋯⋯⋯4分 （2）显然直线x0不满足题设条件，可设直线l:ykx+2,Ax 1,y 2,Bx 2,y 2，ykx+2 联立2 x 42 y ，消去y ，整理得：1212 kx4kx30 4∴4k3xx,xx12121122kk44⋯⋯⋯⋯⋯6分由22124k4k34k30得：43k或23k⋯⋯⋯⋯7分2因为坐标原点O在以线段A B为直径的圆外∴OAOBx1x2y1y20⋯⋯⋯⋯⋯9分又 2 y1y2kx12kx22kx1x22kx1x242223k8kk14111222kkk444∵23k11122kk440 ，即24k∴2k2.⋯⋯⋯⋯⋯11分故 2 3k或232k2.⋯⋯⋯⋯⋯12分20．（本小题满分12分）解：（1）根据条形图可知，优等品的频率为121，用频率估计概率，则874215002任取一件产品为优等品的概率为 1P.⋯⋯⋯⋯⋯2分2（2）由（1）任取一件产品为优等品的概率为1，2 由题意X(16001000)80250447000，或X(15001000)80250439000⋯⋯⋯⋯⋯3分1154434P(X470004)C()；⋯⋯⋯⋯⋯4分)C(4221604142411111P(X39000)C4CC⋯⋯⋯⋯⋯5分()()()4422216永州市22年高考第一次模拟考试·数学（理科）案第3页（共7页）故X的分布列为：X4700039000P5111616511所以数学期望EX41500⋯⋯⋯⋯⋯6分16164700039000（3）机器人在第0格为必然事件，P01，第一次掷硬币出现正面，机器人移到第1格，其概率 1P.机器人移到第n(2n49)格的情况只有两种：121①先到第n2格，又出现反面，其概率2P，n2②先到第n1格，又出现正面，其概率12Pn1所以111P n PP，故P n P(PP)⋯⋯⋯⋯⋯8分n1n2n1n1n22221 所以1n49时，数列{P n P n1}为首项P1P，2 公比为12的等比数列.所以 1P1P，212P2P()，1213P3P()，，221n P n P)(n2以上各式累加，得11112P1()()()n n ，222111211nn1n2所n)](0,1,,49)⋯10分P1()()()[1(2223221502150所以获胜概率)]P[1()][1(，493232111491149失败概率P)]⋯⋯⋯⋯⋯11分4823232215011491148P49P[1)][1([)，所以获胜概率更大，()]1(]050323232.⋯⋯⋯⋯⋯12分该款产品故此方案能吸引顾客购买21．（本小题满分12分），⋯⋯⋯⋯1分解：（1）函数fx的定义域为0,．f'xe x ax案第4页（共7页）永州市2020年高考第一次模拟考试·数学（理科）参考答xa 当a0时，'efxx在0,单调递增，af'ae10，x0时f'x-，∴存在唯一正数 x ，使得f'x 00，⋯⋯⋯⋯⋯3分函数fx 在0,x 单调递减，在x 0,单调递增， 0∴函数fx 有唯一极小值点x 0，没有极大值点，∴当a0时，fx 有唯一极小值点，没有极大值点．⋯⋯⋯⋯⋯5分 （2）由（1）知，当a0时，fx 有唯一极小值点x 0，x∴fx m fxe 0alnx ，fx0恒成立fx 0000inax ∵e 0x 0a1 fxalnxalnx0 ，∴000xx 00， ∴ 1 x 0lnx0 0．⋯⋯⋯⋯⋯6分令1 hxlnxx，则h x 在0,单调递减，由于1.741ln1.740h ， 1.741 h1.8ln1.80， 1.8∴存在唯一正数m1.74,1.8，使得hm0，从而x 00,m ．⋯⋯8分 x由于fx 0e 0alnx 00恒成立，①当x 00,1时，x fx 0ealnx 00成立；②当x 01,m 时，由于xax ，∴ e 0ln0a x e 0l n x 0． 令 gxxe lnx，当x1,m 时， gxxx eln lnx21 x0 ，∴gxxelnx在1,m单调递减，从而agm．永州市2020年高考第一次模拟考试·数学（理科）参考答案第5页（共7页）∵gmg1.74，且1.75eg1.7410.3，且a N ，ln1.74∴a10．⋯⋯⋯⋯⋯10分x下面证明a 10时，fxe10lnx0．fx x e 10 x ，且fx 在0,单调递增，由于f'1.740，f'1.80，∴存在唯一 x 01.74,1.8，使得 10 xf'xe 00x 0，101x ∴fxfxe 010lnx10ln10x10(xln10)0000minxx 00．令1 ux10(xln10)x 0，x1.74,1.8，易知ux 在1.74,1.8单调递增，∴1 uxu1.7410(1.74ln10)102.312.3030，1.9∴ 1 fxfx10(xln10)0 00minx 0 x ，即a10时，fxe10lnx0．∴a 的最大值是10．⋯⋯⋯⋯⋯12分22．（本小题满分10分）解：（1）曲线C 的极坐标方程可化为 （）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分2cos 22sin 2=2 2cos 22sin 2=2将cosx,siny 代入上式得x y ，2+222 2+2222 x 所以曲线C 的直角坐标方程为22 +y1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分（2）将直线l 的参数方程代入x y 得2+222 2+2223122(tm)2(t)2，化简得 225 4 22 t3mtm20；⋯⋯⋯6分由2522 (3m)4(m2)2m100，得5m5；44342ttm,tt(m2)，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分 121255 3232322222 ABtt=(tt)4ttm=，12121252525所以m2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分23.（本小题满分10分）永州市22年高考第一次模拟考试·数学（理科）案第6页（共7页）WORD 格式专业资料整理2,x1解：（1）f(x)x1x12x,1x1.⋯⋯2分2,x1当x1时，f(x)1无解；当1x1当x1 2 x1；1 综上所述，不等式f(x)1的解集为(,) 2 2 （2）不等式f(x)xxm 恒成立, .⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分 2 mf(x)xx 恒成立.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分当x1时， 22 f(x)xxxx22；当1x1时， 222 f(x)xxxx2xx3x2； 当x1时， 22 f(x)xxxx24,2f(x)xx2，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分m2，即实数m 的取值范围m2.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分永。
湖南省永州市高三数学第一次模拟考试试题 理 湘教版
数 学（理科）注意事项：1．本试卷分选择题和非选择题两部分。
考试时间120分钟，满分150分。
答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名及科目，在规定的位置贴好条形码。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束时，只交答题卡。
参考公式：锥体的体积公式V ＝13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A ，B 互斥，那么P （A ＋B ）＝P （A ）＋P （B ）．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1． 设集合2{|12},{|1}A x x B x x =-<<=≤，则A B =A ．(1,1]-B ．11(,)-C ．12[,)-D ．12(,)-2． “3x ≠”是“03>-x ”的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件3． 如图是某几何体的三视图，其中正视图是边长为2的等边三角形，俯视图是半圆，则该几何体的体积是 A ．3πB ．23πCD4．40cos 2xdx π⎰＝ A ．12B ．1C ．2D ．325．甲、乙两人在淘宝网各开一家网店，直销同一厂家的同一种产品，厂家为考察两人的销售业绩，随机选了10天，统计两店销售量，得到如图所示的茎叶图，由图中数据可知A ．甲网店的极差大于乙网店的极差B ．甲网店的中位数是46C ．乙网店的众数是42D ．甲网店的销售业绩好6．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，918S =-，1352S =-，等比数列{}n b 中，55b a =，77b a =，则6b 的值A． B ．2 C．-D ．2或－27．若1sin()33πα-=-，则cos(2)3πα+=A ．79-B ．13-C ．13D ．79乙 甲60571213332223457342218158（第5题图）（第3题图）俯视图左视图正视图8．设函数f (x )＝－1x，g (x )＝ax 2＋bx （a ，b ∈R，a ≠0），若y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有且仅有两个不同的公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则下列判断正确的是 A ．当a ＜0时，x 1＋x 2＞0，y 1＋y 2＞0 B ．当a ＜0时，x 1＋x 2＜0，y 1＋y 2＜0 C ．当a ＞0时，x 1＋x 2＞0，y 1＋y 2＜0 D ．当a ＞0时，x 1＋x 2＜0，y 1＋y 2＞0二、填空题（本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，满分35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上．）（一）选做题（请考生在9、10、11三题中任选两题作答，如全做则按前两题计分）． 9．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 与⊙O 相切于点E ，∠C ＝6π，则∠AED ＝_____．10．已知x , y , z ∈R ，且2221x y z ++=，则23x y z ++的最大值是 ．11．已知在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为2cos 12sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)，与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2sin()13πρθ-=，则圆C 截直线l 所得的弦长为 ．（二）必做题（12～16题）12． 二男二女共四个学生站成一排照相，两个女生必须相邻的站法有 种．（用数字作答）13．已知A 、B 是圆C (C 为圆心）上的两点，||AB ＝2，则AB AC ⋅＝ ．14．双曲线C ：22197x y -=的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是C 右支上一动点，点Q 的坐标是（1，4），则|PF 1|＋|PQ |的最小值为 ．15．执行如图所示的程序框图，则输出的复数z 是 ．16．电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则：一个方块下面至多埋一个雷，如果无雷掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数字周围的方块(至多八个)中雷的个数(0常省略不标)，如图甲中的“3”表示它的周围八个方（第9题图）（第15题图）块中有且仅有3个埋有雷．图乙是张三玩游戏中的局部，图中有4个方块已确定是雷(方块上标有旗子)，则上方左起八个方块中(方块正上方对应标有字母)，能够确定一定不是雷的有 ，一定是雷的有 ．(请填入方块上方对应字母)三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）设△ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知3,a =4,b =2cos 3C =．(1) 求ABC ∆的面积； (2) 求sin()B C -的值． 18．（本小题满分12分）永州市举办科技创新大赛，某县有20件科技创新作品参赛，大赛组委会对这20件作品分别从“创新性”和“实用性”两个方面进行评分，每个方面评分均按等级采用3分制(最低1分，最高3分)，若设“创新性”得分为x ，“实用性”得分为y ，得到统计结果如下表，若从这20件产品中随机抽取1件． （1）求事件A ：“x ≥2且y ≤2”的概率；（2）设ξ为抽中作品的两项得分之和，求ξ的数学期望．创 新 性1分 2分 3分 实 用 性 1分 2 0 2 2分 1 4 1 3分 2 2 6x y作品数 (甲)A B C D E F G(乙)(第16题图)19．（本小题满分12分）如图所示，直角梯形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90o，AD ＝2，AB ＝3，CD＝4，P 在线段AB 上，BP ＝1，O 在CD 上，且OP ∥AD ，将图甲沿OP 折叠使得平面OCBP ⊥底面ADOP ，得到一个多面体(如图乙)，M 、N 分别是AC 、OP 的中点． (1) 求证：MN ⊥平面ACD ；(2) 求平面ABC 与底面OPAD 所成角（锐角）的余弦值．20． (本小题满分13分)提高大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当车流密度不超过50辆/千米时，车流速度为30千米/小时．研究表明：当50＜x ≤200时，车流速度v 与车流密度x 满足 ()40250k v x x=--，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时．(1) 当0<x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2) 当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上观测点的车辆数，单位： 辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到个位，参考数据2.236≈）21．（本小题满分13分）在直角坐标系xoy 中，椭圆C 1：22221(0)y x a b ab+=>>的离心率2e =，F 是抛物线C 2：y 2＝4x 的焦点， C 1与C 2交于M ，N 两点(M 在第一象限)，且|MF |＝2． (1) 求点M 的坐标及椭圆C 1的方程；(2) 若过点N 且斜率为k 的直线l 交C 1于另一点P ， 交C 2于另一点Q ，且MP ⊥MQ ，求k 的值．22．(本小题满分13分)已知函数()ln(1)f x x =+-(1) 若函数()f x 在定义域内为减函数，求实数p 的取值范围；(2) 如果数列{}n a 满足13a =，12211[1](1)4n n na a n n +=+++，试证明：当2n ≥时，3444n a e ≤<．(乙)(甲) （第19题图）AB CD O P M N OP B C AD永州市2013年高考第一次模拟考试数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题(每小题5分，共40分)ACDA DCAB二、填空题(每小题5分，共35分)(一)选做题(9－11题，考生只能从中选做2题，如果多做则按前两题计分)9．3π1011． 4 (二)必做题(12－16题)12． 12 13. 2 14. 1115. 12- 16． (1)A ，C ，E ； (2)B ，D ，F ，G三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)解：(Ⅰ)在△ABC 中，∵2cos 3C =，∴ sin C === ………………………2分∴ 1sin 2ABC S ab C ∆==． ………………………5分(Ⅱ)由余弦定理可得，2222cos 916169c a b ab C =+-=+-=∴ 3c =． …………………………………………7分又由正弦定理得，sin sin c bC B=，∴ 4sin 3sin 3b CB c⋅===． ……………………9分 2221cos 29a cb B ac +-== …………………10分∴ 21sin()sin cos cos sin 39B C B C B C -=-=- ． …………12分18．(本小题满分12分)解：(1) 从表中可以看出，事件A ：“x ≥2且y ≤2”的作品数量为7件，故“x ≥2且y ≤2”的概率为70.3520=．…………5分(2) 方法一：由表可知“创新性”得分y 有1分、2分、3分三个等级，每个等级分别有5件，6件，9件，“创新性”得分x 的分布列为：则“创新性”得分的数学期望为Ex ＝13911123 2.2410205⨯+⨯+⨯==； …………8分“实用性”得分y 有1分、2分、3分三个等级，每个等级分别有4件，6件，10件， “实用性”得分y 的分布列为：故“实用性”得分的数学期望为 Ey ＝13123123 2.3510210⨯+⨯+⨯== …………10分 所以ξ数学期望E ξ＝E (x ＋y )＝Ex ＋Ey ＝ 2.2＋ 2.3＝4.5 …………12分方法二：作品的总得分ξ的可能取值为2分，3分，4分，5分，6分，由表中可知对应的作品数量分别为2件，1件，8件，3件，6件， …………8分 则作品的总得分ξ的分布列为： …………10分所以ξ数学期望为 E ξ＝11233923456 4.51020520102⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==…………12分19．(本小题满分12分)证明 : (1)取CD 的中点为Q ，连接MQ ，OQ ，OQ ⊥CD ， 依题意知：面OCD ⊥底面OPAD ，AD ⊥OD ，AD ⊥平面OCD ，而OQ ⊆面OCD ，AD ⊥OQ ， 又CDAD ＝D ， 所以OQ ⊥面ACD ， MQ 是∆ACD 的中位线，故MQ 12AD ，NO 12AD ，则MQ NO ，所以MN ∥OQ ，故MN ⊥平面ACD ； …………5分(2) 方法一：如图所示，分别以OP ，OD ，OC 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．B (2，0，1)，A (2，2，0)C (0，0，2)，底面OPAD 的一个法向量(0,0,1)m =， 设平面ABC 的法向量为(,,)n x y z =，(0,2,1),(2,0,1)AB CB =-=-， …………7分依题知：020200n AB x y z n CB x y z ⋅=⨯-⨯+=⋅=⨯+⨯-=⎧⎪⎨⎪⎩，Q M N O P BCAD即2020y z x z -+=-=⎧⎨⎩，令x ＝1，则y ＝1，z ＝2，(1,1,2)n =，cos ,3m n <>==，故平面ABC 与底面OPAD所成角的余弦值为3． …………12分方法二：延长CB 交OP 于E ，连接AE ， 则AE 是面ABC 与底面OPAD 的交线， 过O 作OF ⊥AE 于F ，连CF ，则∠CFO 就是二面角C －AE －O 的平面角，OE AP OF AE ⨯===，CF ==，∠CFO＝OF CF ==， 故平面ABC 与底面OPAD3． ………12分20．(本小题满分13分)解：(1) 由题意：当0＜x ≤50时，v (x )＝30；当50≤x ≤200时，由于()40250kv x x=--，再由已知可知，当x ＝200时，v (0)＝0，代入解得k ＝2000. 故函数v (x )的表达式为30050()20004050200250x v x x x<≤=-<≤-⎧⎪⎨⎪⎩ …………5分 (2) 依题意并由(1)可得30050()20004050200250xx f x xx x x<≤=-<≤-⎧⎪⎨⎪⎩ 当0≤x ≤50时，f (x )＝30x ，当x ＝50时取最大值1500. …………8分当50<x≤200时，20002000(250)20002504040(250)4025025025050000012000[40(250)]1200025012000120004000 2.2363056()x x x x xx x xf x --⨯-=--+⨯+--=--+≤--=-≈-⨯==取等号当且仅当50000040(250)250x x-=-，即250138x =-≈时，f (x )取最大值。
湖南省永州市2025届高三上学期第一次模拟考试数学试题(含答案)
湖南省永州市2025届高三上学期第一次模拟考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设A={x|x2−4x−5=0},B={x|x2=1}，则A∪B=( )A. {−1,1,5}B. {−1,1,−5}C. {−1}D. {1}2.复数2i−1的共轭复数是( )A. i−1B. i+1C. −1−iD. 1−i3.已知|a|=3,|b|=4，且a与b不共线，则“向量a+kb与a−kb垂直”是“k=34”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.函数f(x)=x2+ln x在点(1,1)处的切线方程是( )A. 3x−y−2=0B. 2x−y−2=0C. 3x+y−2=0D. 2x+y−2=05.已知函数f(x)=cos2(ωx+π6)(ω>0)的最小正周期为π，则f(x)的对称轴可以是( )A. x=π24B. x=π12C. x=π6D. x=π36.在2024年巴黎奥运会中，甲、乙、丙、丁、戊5人参与接待、引导和协助三类志愿者服务工作，每类工作必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一类工作，若甲只能参加接待工作，那么不同的志愿者分配方案的种数是( )A. 38B. 42C. 50D. 567.已知数列{a n}满足a n+1−a na n=a n+2−a n+1a n+2(n∈N∗)，且a1=1,a2024=22025，则a1a2+a2a3+⋯+a n a n+1=( )A. n2n+1B. nn+2C. 2n2n+1D. 2nn+28.已知函数f(x)=ln|a+11−x|+b+x4(a,b∈R)为奇函数，且f(x)在区间(m,m2)上有最小值，则实数m的取值范围是( )A. (3,3)B. (2,2)C. (2,3)D. (2,3)二、多选题：本题共3小题，共15分。
2020届高三毕业班第一次综合质量检测数学(理)试题—附答案
5.
已知函数
f
(
x)
1
x x
2
sin x ，则函数 y
f (x) 的图像大致为
A．
B．
C．
D．
6．从区间 0，1随机抽取 2n 个数 x1, x2 ,, xn , y1, y2 ,, yn ，组成坐标平面上的 n 个点
(x1, y1 ) ，(x2 , y2 ) ，… (xn , yn ) ，其中到原点距离小于1的点有 m 个，用随机模拟的
A．20100
B．20200
C．40200
D．40400
12．在棱长为 4 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E, F 分别为 AA1, BC 的中点，点 M 在
棱 B1C1 上， B1M
1 4
B1C1
，若平面
FEM
交
A1B1 于点 N
，四棱锥 N
BDD1B1 的五
个顶点都在球 O 的球面上，则球 O 半径为
A(3, 0, 0) ， B(0, 3, 0) ， S(0, 3 , 3 3 ) ， C(1,0,0) ， 22
上．
（1）求曲线 C 的普通方程及直线 l 的直角坐标方程． （2）求△PAB 面积的最大值．
23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲
已知函数 f (x) | 2x t | ，若 f (x) 1的解集为 (1,0) ． （1）求 t 并解不等式 f (x) x 2 ； （2）已知： a,b R ，若 f (x) 2a b | 2x 2 | ，对一切实数 x 都成立， 求证： a 2b 1 ．
3
2
根据所给数据用事件发生的频率来估计相应事件发生的概率，估计该顾客支付的平均费用
湖南省永州市高考数学一模试卷(理科)
湖南省永州市高考数学一模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高三上·泸县期末) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）存在两条直线与双曲线相交于ABCD四点，若四边形ABCD是正方形，则双曲线的离心率的取值范围为（A .B .C .D .3. （2分）已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P 的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为（）A . 16B . 24或C . 14D . 204. （2分）已知函数f（x）=sin（2x﹣）（x∈R）下列结论错误的是（）A . 函数f（x）的最小正周期为πB . 函数f（x）是偶函数C . 函数f（x）在区间[0，]上是增函数D . 函数f（x）的图象关于直线x=对称5. （2分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为5，则输出s的值是（）A . 4B . 7C . 11D . 166. （2分） (2019高二下·佛山月考) 函数的递减区间为（）A .B .C .D .7. （2分）已知球的直径， A,B是该球面上的两点，，，则三棱锥的体积为（）A .B .C .D .8. （2分） (1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是（）A . 1.23B . 1.24C . 1.33D . 1.349. （2分） (2017高三上·太原期末) 将函数f（x）= sinxcosx+sin2x的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再沿x轴向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）的一个递增区间是（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高一下·武汉期中) 在下列向量组中，可以把向量 =（3，2）表示出来的是（）A . =（0，0）， =（1，2）B . =（﹣1，2）， =（5，﹣2）C . =（3，5）， =（6，10）D . =（2，﹣3）， =（﹣2，3）11. （2分）已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）+x+a在R上恰有两个相异零点，则实数a的取值范围为（）A . [﹣1，+∞）B . （﹣1，+∞）C . （﹣∞，0）D . （﹣∞，1]12. （2分） (2018高二下·佛山期中) 是抛物线的焦点，以为端点的射线与抛物线相交于，与抛物线的准线相交于，若，则（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分） (2015高二下·定兴期中) 复数z= （其中i为虚数单位）的虚部为________．14. （2分）(2017·西城模拟) 某班开展一次智力竞赛活动，共a，b，c三个问题，其中题a满分是20分，题b，c满分都是25分．每道题或者得满分，或者得0分．活动结果显示，全班同学每人至少答对一道题，有1名同学答对全部三道题，有15名同学答对其中两道题．答对题a与题b的人数之和为29，答对题a与题c的人数之和为25，答对题b与题c的人数之和为20．则该班同学中只答对一道题的人数是________；该班的平均成绩是________．15. （1分） (2015高二下·椒江期中) 已知点P在曲线y= （其中e为自然对数的底数）上运动，则曲线在点P处的切线斜率最小时的切线方程为________．16. （1分） (2016高一下·高淳期中) 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=2，c=3，cosB= ，则sinC的值为________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （15分） (2019高二上·上海月考) 已知以为首项的数列满足： .（1）当时，且，写出、；（2）若数列是公差为-1的等差数列，求的取值范围；（3）记为的前项和，当时，①给定常数，求的最小值；②对于数列，，…，，当取到最小值时，是否唯一存在满足的数列？说明理由.18. （5分）(2017·山东模拟) 某高中组织数学知识竞赛，采取答题闯关的形式，分两种题型，每种题型设两关．“数学文化”题答对一道得5分，“数学应用”题答对一道得10分，答对一道题即可进入下一关，否则终止比赛．有甲、乙、丙三人前来参赛，设三人答对每道题的概率分别是、、，三人答题互不影响．甲、乙选择“数学文化”题，丙选择“数学应用”题．（Ⅰ）求乙、丙两人所得分数相等的概率；（Ⅱ）设甲、丙两人所得分数之和为随机变量X，求X的分布列与期望．19. （10分） (2018高三上·河北月考) 如图所示，底面为菱形的直四棱柱被过三点 C、B1、D1 的平面截去一个三棱锥 C1-CB1D1 (图一)得几何体 (图二)，E为的中点．（1）点F为棱上的动点，试问平面与平面CEA1 是否垂直?请说明理由；（2）设 AB=2 ，∠BAD=60°，AA1=4当点F为中点时，求锐二面角的余弦值．20. （5分）(2019·北京) 已知椭圆C：的右焦点为（1.0），且经过点A（0，1）.（I）求椭圆C的方程；（II）设O为原点，直线l：y=kx+t（t≠±1）与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.21. （10分）(2018·榆社模拟) 已知函数 .（1）讨论的导函数零点的个数；（2）若函数的最小值为，求的取值范围.22. （10分）(2017·郎溪模拟) [选修4-4：坐标系与参数方程]设在平面上取定一个极坐标系，以极轴作为直角坐标系的x轴的正半轴，以θ= 的射线作为y轴的正半轴，以极点为坐标原点，长度单位不变，建立直角坐标系，已知曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2，直线l的参数方程（t为参数）．（1）写出直线l的普通方程与曲线C的极坐标方程；（2）设平面上伸缩变换的坐标表达式为，求C在此变换下得到曲线C'的方程，并求曲线C′内接矩形的最大面积．23. （10分）(2017·湘西模拟) 综合题。
永州市2020年第一次模拟考试理科数学试卷(9.27)word版本
永州市2020年第一次模拟考试理科数学试卷(9.27)收集于网络，如有侵权请联系管理员删除永州市2020年高考第一次模拟考试试卷数学（理科）命题人：申俭生 （永州三中） 周海洋（双牌二中）欧阳才学（宁远一中） 陈诗跃（永州一中）审题人：胡乾贵 （永州市教科院）注意事项：1．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效． 2．考试结束后，只交答题卡．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}2|60A x x x =--<，集合{|1}B x x =>，则A B =A ．[3,)+∞B ．(1,3]C ．(1,3)D ．(3,)+∞ 2．若复数z 满足1z i i ⋅=-，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为 A .0 B .1- C .i - D .12i3．设x R ∈，则“lg 0x <”是“121x -<”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4中，60BAD ︒∠=，4AB =，3AD=，且3CP PD =，则AP ⋅ B. 6 C. 7 D. 105)x e -的大致图象为61，粗实线画出的是某几何体B. 43π第6题收集于网络，如有侵权请联系管理员删除C.143πD.169π7．四色猜想是世界三大数学猜想之一，1976年数学家阿佩尔与哈肯 证明，称为四色定理.其内容是：“任意一张平面地图只用四种颜色 就能使具有共同边界的国家涂上不同的颜色”.用数学语言表示为“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1,2,3,4 四个数字之一标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字”.如 图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线围成的各区域上分别标有数字1,2,3,4的四色地图符合四色定理，区域A 和区域B 标记的数字丢失.若在该四色地图上随机取一点，则恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值中，最大的一个是A ．115B ．110C ．13D ．11308．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且11=a ，n n n a a S 12+=，则=10SA ．100B ．110C ．50D ．559．将偶函数()3sin(2)cos(2)(0)f x x x ϕϕϕπ=+-+<<的图象向右平移6π个单位，得到()y g x =的图象，则()g x 的一个单调递减区间为A ．(,)36ππ-B ．7(,)1212ππC ．2(,)63ππD ．5(,)36ππ10．已知(,0)F c 为双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b-=>>的右焦点，若圆222:()F x c y a -+=上恰有三个点到双曲线C 的一条渐近线的距离为2a，则双曲线的离心率为A ．5 B ．6 C ．10 D ．13 11．在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为棱11,BB DD 的中点，G 为侧面11ABB A 内一个动点.若1D G ∥平面1AEC F ，则1D G 与平面11ABB A 所成角的正切值的最大值为A ．5 B. 1 C. 2 D. 5第7题收集于网络，如有侵权请联系管理员删除12．对于函数)(x f y =，若存在0x ，使)()(00x f x f --=，则称点))(,(00x f x 与点))(,(00x f x --是函数)(x f 的一对“隐对称点”.若函数⎩⎨⎧≤-->=0,0,ln )(2x mx mx x x x f 的图像恰好有2对“隐对称点”，则实数m 的取值范围是 A ．)1,0(eB ．)1,0(),(+∞⋃1C ．),1(+∞eD ．),1(+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知实数x ，y 满足210020x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则目标函数3z x y =+的最小值为 ．14．5)1)(1(x x -+的展开式中含2x 项的系数为 ．15．在平面直角坐标系xOy 中，点A 为以O 为圆心的单位圆上在第一象限上一点，)0,1(B ，3π=∠BOA ，若点A 沿单位圆逆时针方向旋转角α到点)5354(，-C ，则cos α= ．16． 已知直线l 过抛物线)0(2:2>=p py x C 的焦点F ，交C 于B A ,两点，交C 的准线于点M .若FM AF =，则=||BF p．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必做题：60分．17．（本题满分12分）如图，在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，cos sin 0b A a B .（1）求BAC ∠；（2）若AB AD ⊥，22AC =，5CD ，求AD 的长.18．（本题满分12分）在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，60ABC ∠=，24AB CD ，点E 为AB 的中点.现将△BEC 沿线段EC 翻折，得四棱锥P AECD -，且二面角P EC D --为直二面角.收集于网络，如有侵权请联系管理员删除（1）求证：EC PD ⊥；（2）求二面角P AE C --的余弦值.19．（本题满分12分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>过点3(1,)，短轴一个端点到右焦点的距离为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）设过定点M (0,2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，若坐标原点O 在以线段AB 为直径的圆外，求直线l 的斜率k 的取值范围.20．（本题满分12分）某产品自生产并投入市场以来，生产企业为确保产品质量，决定邀请第三方检测机构对产品进行质量检测，并依据质量指标Z 来衡量产品的质量.当8≥Z 时，产品为优等品；当86<≤Z 时，产品为一等品；当62<≤Z 时，产品为二等品.第三方检测机构在该产品中随机抽取500件，绘制了这500件产品的质量指标Z 的条形图.用随机抽取的500件产品作为样本，估计该企业生产该产品的质量情况，并用频率估计概率.（1）从该企业生产的所有产品中随机抽取1件，求该产品为优等品的概率；（2）现某人决定购买80件该产品.已知每件成本1000元，购买前，邀请第三方检测机构对要购买的80件产品进行抽样检测.买家、企业及第三方检测机构就检测方案达成以下协议：从80件产品中随机抽出4件产品进行检测，若检测出3件或4件为优等品，则按每件1600元购买，否则按每件1500元购买，每件产品的检测费用250元由企业承担.记企业的收益为X 元，求X 的分布列与数学期望；（3）商场为推广此款产品，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛硬币的结果，操控机器人在方格上行进，已知硬币出现正、反面的概率都是21，方格图上标有第0格、第1格、第2格、……、第50格.机器人开始在第0格，客户每掷一次硬币，机器人收集于网络，如有侵权请联系管理员删除向前移动一次，若掷出正面，机器人向前移动一格（从k 到1+k ），若掷出反面，机器人向前移动两格（从k 到2+k ），直到机器人移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束, 若机器人停在“胜利大本营”，则可获得优惠券.设机器人移到第n 格的概率为(050,)n P n n *≤≤∈N ，试证明1{}(149,)n n P P n n *--≤≤∈N 是等比数列，并解释此方案能否吸引顾客购买该款产品.21．（本题满分12分）已知函数()e ln x f x a x =-0a >（）. （1）试求函数()f x 的极值点的个数；（2）若a *∈N , ()0f x >恒成立，求a 的最大值．参考数据：（二）选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答. 如果多做，则按所做第一题计分.22．（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程是12x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数). 在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程2222=cos 2sin ρθθ+.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 交于,A B两点，且AB =求实数m 的值.23．（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()11f x x x =--+. （1）求不等式()1f x <的解集；（2）若不等式2()f x x x m ≤++恒成立，求实数m 的取值范围.。
2020届湖南省永州市高三一模(10月)数学(理)试题(解析版)
2020届湖南省永州市高三一模（10月）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}260A x x x =--<，集合{}1B x x =>，则A B =（ ）.A.[)3,+∞B.(]1,3C.()1,3D.()3,+∞【答案】C【解析】解一元二次不等式得到()2,3A =-，通过交集的概念得到A B .【详解】∵{}()2602,3A x x x =--<=-，{}1B x x =>∴()1,3A B ⋂=， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了集合交集的运算，解出一元二次不等式得到集合A 是解题的关键，属于基础题.2．若复数z 满足1z i i ⋅=-，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（ ）. A.0 B.1-C.i -D.12i 【答案】B【解析】化简复数z 为a bi +的形式，由此求得z 的虚部. 【详解】 依题意()()()111i i i z i i i i -⋅--===--⋅-，故z 的虚部为1-. 故选B. 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查虚部的概念，属于基础题. 3．设x ∈R ，则“lg 0x <”是“121x -<”的（ ）. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分别解对数不等式和指数不等式，求得题目所给两个条件的等价条件，由此判断出正确选项. 【详解】由lg 0x <解得01x <<；由10212x -<=解得1x <，所以“01x <<”是“1x <”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查指数不等式和对数不等式的解法，属于基础题.4．在平行四边形ABCD 中，60BAD ∠=︒，4AB =，3AD =，且3CP PD =，则AP AB ⋅=（ ）.A.5B.6C.7D.10【答案】D【解析】建立坐标系，求出各向量坐标，再计算数量积． 【详解】 如图所示：以A 为原点建立坐标系，则()00A ，，()40B ，，32D ⎛ ⎝⎭，∵ 3CP PD =，∴1DP =，即52P ⎛⎝⎭，∴5 ,22AP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()4,0AB =，∴5401022AP AB ⋅=⨯+=， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积运算，建立坐标系可使计算较简单，属于中档题．5．函数()()2xx f x xee -=-的大致图象为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用函数的奇偶性排除,B D ，利用函数的单调性排除C ，从而可得结果． 【详解】()()2x x f x x e e -=-，()()()()22()x x x x f x x e e x e e f x --∴-=--=--=-，()f x ∴为奇函数，其图象关于原点对称，故排除,B D ，2y x =在()0,+∞上是增函数且0y >， x x y e e -=-在()0,+∞上是增函数且0y >，所以()()2xx f x x ee -=-在()0,+∞是增函数，排除C ，故选A ．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．23π B ．43π C ．143πD ．169π【答案】B【解析】根据三视图判断几何体是圆锥的一部分，再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为3，底面圆的半径为2，把数据代入圆锥的体积公式计算即可． 【详解】解：由三视图知几何体是圆锥的一部分， 由正视图可得：底面扇形的圆心角为120°， 又由侧视图知几何体的高为3，底面圆的半径为2， ∴几何体的体积V 12013603=⨯⨯π×22×343π=． 故选：B ． 【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知的三视图分析出几何体的形状是解答的关键．7．四色猜想是世界三大数学猜想之一，1976年数学家阿佩尔与哈肯证明，称为四色定理.其内容是：“任意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上不同的颜色.”用数学语言表示为“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4四个数字之一标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字.”如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线围城的各区域上分别标有数字1，2，3，4的四色地图符合四色定理，区域A 和区域B 标记的数字丢失.若在该四色地图上随机取一点，则恰好取在标记为1的区域的概率所有可能值中，最大的是（ ）A ．115B ．110C ．13D ．1130【答案】C【解析】令B 为1，结合古典概型计算公式，得到概率值，即可。
永州市达标名校2020年高考一月调研数学试卷含解析
永州市达标名校2020年高考一月调研数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务A 必须排在前三项执行，且执行任务A 之后需立即执行任务E ，任务B 、任务C 不能相邻，则不同的执行方案共有（ ） A ．36种B ．44种C ．48种D ．54种2．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，148AB AA ==，.若E F ，分别是棱1BB CC ，上的点，且1BE B E =，1114C F CC =，则异面直线1A E 与AF 所成角的余弦值为（ ）A ．2 B ．26 C ．13 D ．13 3．已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为1、2、3元）．甲、乙租车费用为1元的概率分别是0.5、0.2，甲、乙租车费用为2元的概率分别是0.2、0.4，则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为（ ） A ．0.18B ．0.3C ．0.24D ．0.364．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．78B ．158C ．3116D ．15165．设全集U =R ，集合{}2A x x =<，{}230B x x x =-<，则()UA B =（ ）A ．()0,3B ．[)2,3C ．()0,2D ．()0,∞+6．已知复数z 1=3+4i,z 2=a+i,且z 12z 是实数,则实数a 等于( ) A ．34B ．43C ．-43D ．-347．若()5211x a x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为-12，则实数a 的值为（ ） A ．-2B ．-3C ．2D ．38．设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足6322S S -=，则2823a a 的最小值为A ．8B ．16C ．24D ．369．已知函数f(x)＝223,1ln ,1x x x x x ⎧--+≤⎨>⎩,若关于x 的方程f(x)＝kx －12恰有4个不相等的实数根，则实数k的取值范围是( ) A ．1,e 2⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,2e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,2e e ⎛⎤ ⎥ ⎝⎦D ．1,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭10．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”。