初二几何专题训练整理
初中几何综合测试题
一.填空题
1.一个三角形的两条边长分别为9和2，第三边长为奇数，则第三边长为_______.
2.△ABC三边长分别为3、4、5，与其相似的△A′B′C′的最大边长是
10，则△A′B′C′的面积是_________.
4.点O是平行四边形ABCD对角线的交点，若平行四边行ABCD的面
积为8cm，则△AOB的面积为________.
5.直角三角形两直角边的长分别为5cm和12cm，则斜边上的中线长为
.
6.梯形上底长为2，中位线长为5，则梯形的下底长为________.
7.如图，分别延长四边形ABCD两组对边交于E、F，若DF=2DA，
8.在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，如果BC=a，∠B=30°，
那么AD等于_________.
二．选择题
1.一个角的余角和它的补角互为补角，则这个角是 [ ]
A.30°
B.45°
C.60°
D.75°
2.依次连结等腰梯形的各边中点所得的四边形是 [ ]
A.矩形
B.正方形
C.菱形
D.梯形
3.如图，DF∥EG∥BC,AD=DE=EB,△ABC被分成三部分的
面积之比为 [ ]
A.1∶2∶3
B.1∶1∶1
C.1∶4∶9
D.1∶3∶5
4.已知：AB∥CD，EF∥CD,且∠ABC=20°，∠CFE=30°,
则∠BCF的度数是 [ ]
A.160°
B.150°
C.70°
D.50°
5.如图OA=OB，点C在OA上，点D在OB上，OC=OD，AD和
BC相交于E，图中全等三角形共有 [ ]
A.2对
B.3对
C.4对
D.5对
6.既是轴对称，又是中心对称的图形是 [ ]
A.等腰三角形
B.等腰梯形
C.平行四边形
D.线段
三.解答题
第一次在B处望见该船在B的南偏西30°，半小时后，又望见该船在B的南偏西60°，求该船的速度．
2.如图，在△ABC中，BF⊥AC,CG⊥AD,F、G是垂足，D、E分
别是BC、FG的中点，求证：DE⊥FG
3.如图已知在平行四边形ABCD中，AF=CE，FG⊥AD于G，
EH⊥BC于H，求证：GH与EF互相平分
4.如图，AE∥BC,D是BC的中点，ED交AC于Q，ED的延长线交
AB的延长线于P，求证：PD·QE=PE·QD
5.如图矩形ABCD对角线AC、BD交于O，E F分别是OA、OB的中点（1）求证△ADE≌△BCF；（2）若AD=4cm，AB=8cm，求CF的长。
6. 如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF∥AB，交AD于点E，CF=4cm．
（1）求证：四边形ABFE是等腰梯形；
（2）求AE的长．
7. 如图，用三个全等的菱形ABGH、BCFG、CDEF拼成平行四边形ADEH，连接AE与BG、CF分别交于P、Q，
（1）若AB=6，求线段BP的长；
（2）观察图形，是否有三角形与△ACQ全等？并证明你的结论
8. 已知点E,F在三角形ABC的边AB所在的直线上,且AE=BF，FH//EG//AC，FH、EC分别交边BC所在的直线于点H，G
（1）如果点E、F在边AB上，那么EG+FH=AC，请证明这个结论
（2）如果点E在AB上，点F在AB的延长线上，那么线段EG，FH，AC的长度关系是什么？
9. 如图是一个常见铁夹的侧面示意图，OA，OB表示铁夹的两个面，C是轴，CD⊥OA于点D，已知DA=15mm，DO=24mm，DC=10mm，我们知道铁夹的侧面是轴对称图形，请求出A、B两点间的距离．
10. 如图,在平行四边形ABCD中,过点B作BE⊥CD,垂足为E,连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C，（1）求证：△ABF∽△EAD ；（2）若AB=5，AD=3，∠BAE=30°，求BF 的长
11. 如图,AB与CD相交于E,AE=EB,CE=ED,D为线段FB的中点,GF与AB相交于点G，
若CF=15cm ，求GF 之长。
12. 如图，已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AB=12cm ，BC=8cm ，DC=13cm ，动点P 沿A →D →C 线路以2cm/s 的速度向C 运动，动点Q 沿B →C 线路以1cm/s 的速度向C 运动．P 、Q 两点分别从A 、B 同时出发，当其中一点到达C 点时，另一点也随之停止．设运动时间为t 秒，△PQB 的面积为y 2
cm ．
（1）求AD 的长及t 的取值范围；
（2）当1.5≤t ≤0t （0t 为（1）中t 的最大值）时，求y 关于t 的函数关系式；
（3）请具体描述：在动点P 、Q 的运动过程中，△PQB 的面积随着t 的变化而变化的规律．
初中几何综合测试题
二.填空题
1.一个三角形的两条边长分别为9和2，第三边长为奇数，则第三边长为_______.
2.△ABC三边长分别为3、4、5，与其相似的△A′B′C′的最大边长是
10，则△A′B′C′的面积是_________.
6.点O是平行四边形ABCD对角线的交点，若平行四边行ABCD的面
积为8cm，则△AOB的面积为________.
7.直角三角形两直角边的长分别为5cm和12cm，则斜边上的中线长为
.
6.梯形上底长为2，中位线长为5，则梯形的下底长为________.
8.如图，分别延长四边形ABCD两组对边交于E、F，若DF=2DA，
8.在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，如果BC=a，∠B=30°，
那么AD等于_________.
二．选择题
1.一个角的余角和它的补角互为补角，则这个角是 [ ]
A.30°
B.45°
C.60°
D.75°
2.依次连结等腰梯形的各边中点所得的四边形是 [ ]
A.矩形
B.正方形
C.菱形
D.梯形
3.如图，DF∥EG∥BC,AD=DE=EB,△ABC被分成三部分的
面积之比为 [ ]
A.1∶2∶3
B.1∶1∶1
C.1∶4∶9
D.1∶3∶5
4.已知：AB∥CD，EF∥CD,且∠ABC=20°，∠CFE=30°,
则∠BCF的度数是 [ ]
A.160°
B.150°
C.70°
D.50°
5.如图OA=OB，点C在OA上，点D在OB上，OC=OD，AD和
BC相交于E，图中全等三角形共有 [ ]
A.2对
B.3对
C.4对
D.5对
6.既是轴对称，又是中心对称的图形是 [ ]
A.等腰三角形
B.等腰梯形
C.平行四边形
D.线段
三.解答题
第一次在B处望见该船在B的南偏西30°，半小时后，又望见该船在B的南偏西60°，求该船的速度．
2.如图，在△ABC中，BF⊥AC,CG⊥AD,F、G是垂足，D、E分
别是BC、FG的中点，求证：DE⊥FG
3.如图已知在平行四边形ABCD中，AF=CE，FG⊥AD于G，
EH⊥BC于H，求证：GH与EF互相平分
4.如图，AE∥BC,D是BC的中点，ED交AC于Q，ED的延长线交
AB的延长线于P，求证：PD·QE=PE·QD
5.如图矩形ABCD对角线AC、BD交于O，E F分别是OA、OB的中点（1）求证△ADE≌△BCF；（2）若AD=4cm，AB=8cm，求CF的长。
6. 如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF∥AB，交AD于点E，CF=4cm．
（1）求证：四边形ABFE是等腰梯形；
（2）求AE的长．
7. 如图，用三个全等的菱形ABGH、BCFG、CDEF拼成平行四边形ADEH，连接AE与BG、CF分别交于P、Q，
（1）若AB=6，求线段BP的长；
（2）观察图形，是否有三角形与△ACQ全等？并证明你的结论
8. 已知点E,F在三角形ABC的边AB所在的直线上,且AE=BF，FH//EG//AC，FH、EC分别交边BC所在的直线于点H，G
（1）如果点E、F在边AB上，那么EG+FH=AC，请证明这个结论
（2）如果点E在AB上，点F在AB的延长线上，那么线段EG，FH，AC的长度关系是什么？
9. 如图是一个常见铁夹的侧面示意图，OA，OB表示铁夹的两个面，C是轴，CD⊥OA于点D，已知DA=15mm，DO=24mm，DC=10mm，我们知道铁夹的侧面是轴对称图形，请求出A、B两点间的距离．
10. 如图,在平行四边形ABCD中,过点B作BE⊥CD,垂足为E,连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C，（1）求证：△ABF∽△EAD ；（2）若AB=5，AD=3，∠BAE=30°，求BF 的长
11. 如图,AB与CD相交于E,AE=EB,CE=ED,D为线段FB的中点,GF与AB相交于点G，
若CF=15cm ，求GF 之长。
12. 如图，已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AB=12cm ，BC=8cm ，DC=13cm ，动点P 沿A →D →C 线路以2cm/s 的速度向C 运动，动点Q 沿B →C 线路以1cm/s 的速度向C 运动．P 、Q 两点分别从A 、B 同时出发，当其中一点到达C 点时，另一点也随之停止．设运动时间为t 秒，△PQB 的面积为y 2
cm ．
（1）求AD 的长及t 的取值范围；
（2）当1.5≤t ≤0t （0t 为（1）中t 的最大值）时，求y 关于t 的函数关系式；
（3）请具体描述：在动点P 、Q 的运动过程中，△PQB 的面积随着t 的变化而变化的规律．
初中几何综合测试题参考答案
一.填空
1.9
2.24
3.72cm, 216√3 cm^2
4.2cm^2
5.
6.5cm 6.8
7.1:1 84
a3
二．选择题
BCCDCD
三.解答题
1.如图：∠ABM=30°，∠ABN=60°∠A=90°，AB=
∴MN=20（千米），即轮船半小时航20千米，
∴轮船的速度为40千米/时
2.证明：
连GD、FD
∵CG⊥AB,BF⊥AC,D是BC中点
∴GD=FD, △GDF是等腰三角形
又∵E是GF的中点
∴DE⊥GF
3.证明：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
∠1=∠2
又AF=CE
∠AGF=∠CHE=Rt∠
Rt△AGF≌Rt△CHE
∴EH=FG,又FG⊥AD，EH⊥BC，AD∥BC
∴FG∥EH
∴四边形FHEG是平行四边形，
而GH，EF是该平行四边形的对角线
∴GH与EF互相平分
4.证明：
∵AE∥BC
∴∠1=∠C, ∠2=∠3
∴△AQE∽△CQD
又∵AE∥BC
又∵BD=CD
∴
即PD·QE=PE·QD
5.证明：（1）在矩形ABCD中，AC,BD为对角线，
∴AO=OD=OB=OC
∴∠DAO=∠ADO=∠CBO=∠BCO
∵E,F为OA,OB中点
∴AE=BF=1/2AO=1/2OB
∵AD=BC, ∠DAO=∠CBO,AE=BF
∴△ADE≌△BCF
（2）过F作MN⊥DC于M,交AB于N
∵AD=4cm，AB=8cm
∴BD=4√5
∵BF:BD=NF:MN=1：4
∴NF=1，MF=3
∵EF为△AOB中位线
∴EF=1/2AB=4cm
∵四边形DCFE为等腰梯形
∴MC=2cm
∴FC=√13cm。
6.（1）证明：过点D作DM⊥AB，
∵DC∥AB，∠CBA=90°，
∴四边形BCDM为矩形．
∴DC=MB．
∵AB=2DC，
∴AM=MB=DC．
∵DM⊥AB，
∴AD=BD．
∴∠DAB=∠DBA．
∵EF∥AB，AE与BF交于点D，即AE与FB不平行，∴四边形ABFE是等腰梯形．
（2）解：∵DC∥AB，
∴△DCF∽△BAF．
∴CD AB =CF AF =1 2 ．
∵CF=4cm，
∴AF=8cm．
∵AC⊥BD，∠ABC=90°，
在△ABF与△BCF中，
∵∠ABC=∠BFC=90°，
∴∠FAB+∠ABF=90°，
∵∠FBC+∠ABF=90°，
∴∠FAB=∠FBC，
∴△ABF∽△BCF，即BF CF =AF BF ，
∴BF2=CF?AF．
∴BF=4 2 cm．
∴AE=BF=4 2 cm．
7.解：（1）∵菱形ABGH、BCFG、CDEF是全等菱形
∴BC=CD=DE=AB=6，BG∥DE
∴AD=3AB=3×6=18，∠ABG=∠D，∠APB=∠AED
∴△ABP∽△ADE
∴BP DE =AB AD∴BP=AB AD ?DE=6 18 ×6=2；
（2）
∵菱形ABGH、BCFG、CDEF是全等的菱形
∴AB=BC=EF=FG
∴AB+BC=EF+FG
∴AC=EG
∵AD∥HE
∴∠1=∠2
∵BG∥CF
∴∠3=∠4
∴△EGP≌△ACQ．
8. 解：（1）∵FH∥EG∥AC，
∴∠BFH=∠BEG=∠A，△BFH∽△BEG∽△BAC．
∴BF/FH=BE/EG=BA/AC
∴BF+BE/FH+EG=BA/AC
又∵BF=EA，
∴EA+BE/FH+EG=AB/AC
∴AB/FH+EG=AB/AC．
∴AC=FH+EG．
（2）线段EG、FH、AC的长度的关系为：EG+FH=AC．证明（2）：过点E作EP∥BC交AC于P，
∵EG∥AC，
∴四边形EPCG为平行四边形．
∴EG=PC．
∵HF∥EG∥AC，
∴∠F=∠A，∠FBH=∠ABC=∠AEP．
又∵AE=BF，
∴△BHF≌△EPA．
∴HF=AP．
∴AC=PC+AP=EG+HF．
即EG+FH=AC．
9.解：连接AB，同时连接OC并延长交AB于E，
因为夹子是轴对称图形，故OE是对称轴，
∴OE⊥AB，AE=BE，
∴Rt△OCD∽Rt△OAE，
∴OC:OA = CD:AE
∵OC2=OD2+CD2∴OC =26，∴AE= =15，∵AB=2AE ∴ AB =30（mm）．10.解：
（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AD∥BC
∴∠BAE=∠AED,∠D+∠C=180°
且∠BFE+∠AFB=180°
又∵∠BFE=∠C
∴∠D=∠AFB
∵∠BAE=∠AED，∠D=∠AFB
∴△ABF∽△EAD
（2）∵∠BAE=30°，且AB∥CD，BE⊥CD
∴△ABEA为Rt△，且∠BAE=30°
又∵AB=4
∴AE=8√3/3
11.解∵CE=DE BE=AE ，
∴△ACE≌△BDE
∴∠ACE=∠BDE
∵∠BDE+∠FDE=180°
∴∠FDE+∠ACE=180°
∴AC∥FB
∴△AGC∽△BGF
∵D是FB中点DB=AC
∴AC：FB=1：2
∴CG：GF=1：2 ；
设GF为x 则CG为15-X
GF=CF/3C×2=10cm
12.
最新中考数学复习专题《几何图形中的动点问题》
运动型问题 第17课时 几何图形中的动点问题 (58分) 一、选择题(每题6分，共18分) 1．[·安徽]如图6－1－1，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，动点P 满足S △ PAB ＝S 矩形ABCD ，则点P 到A ，B 两点距离之和PA ＋PB 的最小值为( D )13A. B. C.5 D. 2934241 图6－1－1 第1题答图 【解析】 令点P 到AB 的距离为h ，由S △PAB ＝S 矩形ABCD ，得×5h ＝×5131213 ×3，解得h ＝2，动点P 在EF 上运动，如答图，作点B 关于EF 的对称点B ′，BB ′＝4，连结AB ′交EF 于点P ，此时PA ＋PB 最小，根据勾股定理求得最小值为＝，选D. 52＋42412．如图6－1－2，在矩形ABCD 中，AB ＝2a ，AD ＝a ，矩 形边上一动点P 沿A →B →C →D 的路径移动．设点P 经 过的路径长为x ，PD 2＝y ，则下列能大致反映y 与x 的 函数关系的图象是 ( D )【解析】 ①当0≤x ≤2a 时，∵PD 2＝AD 2＋AP 2，AP ＝ x ，∴y ＝x 2＋a 2；② 图6－1－2
当2a ＜x ≤3a 时，CP ＝2a ＋a －x ＝3a －x ，∵PD 2＝CD 2＋CP 2，∴y ＝(3a －x )2＋(2a )2＝x 2－6ax ＋13a 2；③当3a ＜x ≤5a 时，PD ＝2a ＋a ＋2a －x ＝5a －x ， ∴PD 2＝y ＝(5a －x )2，y ＝∴能大致反映y {x 2＋a 2（0≤x ≤2a ），x 2－6ax ＋13a 2（2a 初二动态几何问题 一、动态几何问题涉及的几种情况 动态几何问题就其运动对象而言，有： 1、点动（有单动点型、多动点型）. 2、线动（主要有线平移型、旋转型）。线动实质就是点动，即点动带动线动，进而还会产生形动，因而线动型几何问题可以通过转化成点动型问题来求解. 3、形动（就其运动形式而言，有平移、旋转、翻折、滚动） 二、解决动态几何问题的基本思考策略与分析方法： 动态型问题综合了代数、几何中较多的知识点,解答时要特别注意以下七点: 1、把握运动变化的形式及过程； 2、思考运动初始状态时几何元素的关系，以及可求出的几何量； 3、动中取静：（最重要的一点） 要善于在“动”中取“静”（让图形和各个几何量都“静”下来），抓住变化中的“不变量”和不变关系为“向导”，求出相关的常量或者以含有变量的代数式表示相关的几何量; 4、找等量关系：利用面积关系、相似三角形的性质、勾股定理、特殊图形等的几何性质及相互关系，找出基本的等量关系式; 5、列方程：将相关的常量和含有变量的代数式代入等量关系建立方程或函数模型； (某些几何元素的变化会带来其它几何量的变化，所以在求变量之间的关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解。在解决有关特殊点、特殊值、特殊位置关系问题时常结合图形建立方程模型求解) 6、是否以及怎么分类讨论： 将变化的几何元素按题目指定的运动路径运动一遍，从动态的角度去分析观察可能出现的情况，看图形的形状是否改变，或图形的有关几何量的计算方法是否改变，以明确是否需要根据运动过程中的特殊位置分类讨论解决， 7、确定变化分界点： 若需分类讨论，要以运动到达的特殊点为分界点，画出与之对应情况相吻合的图形，找到情况发生改变的时刻，确定变化的范围分类求解。 例1(2０00年·上海)如图1，在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上，有一个动点P ，ＰH ⊥O Ａ,垂足为H,△OPH 的重心为Ｇ． (1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段？如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度． (２)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围）． (３）如果△P ＧH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长． 解：(１)当点Ｐ在弧A Ｂ上运动时,ＯP 保持不变,于是线段GO 、GP 、 GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是ＧH=32NH=2 1 32?OP=2. (2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴ 2362 1 21x OH MH -== . 在Ｒt △MPH 中, . ∴y =GP= 32M Ｐ＝23363 1x + （０ 几何证明初步练习题 编辑整理：临朐王老师 1、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°． 推理过程： ○ 1 作CM ∥AB ，则∠A= ，∠B= ，∵∠ACB +∠1+∠2=1800（ ，∴∠A+∠B+∠ ACB=1800． ○ 2 作MN ∥BC ，则∠2= ，∠3= ，∵∠1+∠2+∠3=1800，∴∠BAC+∠B+∠C=1800． 2．求证：在一个三角形中，至少有一个内角大于或者等于60°。 3、.如图，在△ABC 中，∠C ＞∠B,求证：AB ＞AC 。 4. 已知，如图，AE 5. 已知：如图，EF ∥AD ，∠1 =∠2. 求证：∠AGD ＋∠BAC = 180°. 反证法经典例题 6.求证:两条直线相交有且只有一个交点. 7.如图，在平面内，AB 是L 的斜线，CD 是L 的垂线。 求证：AB 与CD 必定相交。 8.2 一．角平分线－－轴对称 9、已知在ΔABC 中，Ｅ 为ＢＣ的中点，AD 平 分BAC ∠，BD ⊥AD 于 D ．AB ＝9，ＡＣ ＝13求ＤＥ的长 第9题图 第10题图 第11题图 分析：延长ＢＤ交ＡＣ于Ｆ．可得ΔABD ≌ΔAFD ．则BD ＝DF ．又BE ＝EC ，即D Ｅ为Δ BCF 的中位线．∴DE=12FC=1 2 (AC-AB)=2． 10、已知在ΔABC 中，108A ∠=o ，AB ＝AC ，BD 平分ABC ∠．求证：BC ＝AB ＋CD ． 分析：在ＢＣ上截取ＢＥ＝ＢＡ，连接ＤＥ．可得ΔBAD ≌ΔBED ．由已知可得： 18ABD DBE ∠=∠=o ，108A BED ∠=∠=o ，36C ABC ∠=∠=o ．∴72DEC EDC ∠=∠=o ，∴CD ＝ CE ，∴BC ＝AB ＋CD ． 11、如图，ΔABC 中，Ｅ是BC 边上的中点，DE ⊥BC 于E ，交BAC ∠的平分线AD 于D ，过D 作DM ⊥AB 于Ｍ，作DN ⊥ＡC 于N ．求证：BM ＝CN ． C B A D E F D A B C B A E D N M B D A C [导读] 点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题。它主要以几何图形为载体，运动变化为主线 摘要：本文结合笔者的教学实践对初中数学教学中的动态几何问题进行了探讨。 关键词：二次函数；动点；动线；动态 作者简介：郭兴淑，任教于云南腾冲一中。 点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题。它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，函数为背景，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题。这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力.本类问题主要有动点、动线、动面三个方面的问题。其中动点问题有单动点和双动点两种类型，无论是动点、动线、单动点还是双动点，我们都要注意到如何在动中求静，在静中求解，找到相应的关系式，把想知道的量用常量或含自变量的关系式表示出来。下面就以二次函数为背景的动态问题和单纯几何图形变化的动态问题采撷几例加以分类浅析，供读者参考。 动态问题在中考中占有相当大的比重，主要由综合性问题构成，就运动而言，可以分为三类：动点、动线、动形；就题型而言，包括计算题、证明题和应用题等。它的题型特点和考查功能决定了审题思考的复杂性和解题设计的多样性。一般的，解题设计要因题定法。无论是整体考虑还是局部联想，确定方法都必须遵循的原则是：熟悉化原则、具体化原则；简单化原则、和谐化原则等。 动态问题一直是近几年数学中考的一个热点，随着编者的不断刨新，动态问题又有升温，比如双动问题就是中考中的最新风景区，他可以培养同学们在运动变化中发展空间想象能力．这类问题只要我们掌握“动中有静，静观其变，动静结合”的基本解题策略，我们就能以不变碰多变．以下列举近几年数学中考的两类双动问题供读者参考交流． 随着新课程改革的进行，全国各地的中考试卷异彩纷呈，尤其是解答题中的动态问题，集数与代数、空间与图形两大内容于一体，题型新颖，阅读量大，考查面广．为体现中考试 初二数学上册几何知识点总结 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34 等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 八年级数学下册第一章《三角形的证明》 知识点归纳 八年级数学下册第一《三角形的证明》知识点归纳（北师大版） 第一节. 等腰三角形 1. 性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）. 2. 判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）． 3. 推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（即“三线合一”）． 4. 等边三角形的性质及判定定理 性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴. 判定定理：(1)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形. 第二节.直角三角形 1. 勾股定理及其逆定理 定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方． 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方， 那么这个三角形是直角三角形． 2. 含30°的直角三角形的边的性质 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对应的直角边等于斜边的一半. 3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 要点诠释：勾股定理的逆定理在语言叙述的时候一定要注意，不能说成“两条边的平方和等于斜边的平方”，应该说成“三角形两边的平方和等于第三边的平方”． 4.斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 第三节. 线段的垂直平分线 1. 线段垂直平分线的性质及判定 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 2.三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.该点就是三角形的外心。以此外心为圆心，可以将三角形的三个顶点组成一个圆。 3.如何用尺规作图法作线段的垂直平分线： 分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点、N；作直线N就是线段AB的垂 初二动态几何问题 令狐文艳 一、动态几何问题涉及的几种情况 动态几何问题就其运动对象而言，有： 1、点动（有单动点型、多动点型）. 2、线动（主要有线平移型、旋转型）。线动实质就是点动，即点动带动线动，进而还会产生形动，因而线动型几何问题可以通过转化成点动型问题来求解. 3、形动（就其运动形式而言，有平移、旋转、翻折、滚动） 二、解决动态几何问题的基本思考策略与分析方法： 动态型问题综合了代数、几何中较多的知识点,解答时要特别注意以下七点: 1、把握运动变化的形式及过程； 2、思考运动初始状态时几何元素的关系，以及可求出的几何量； 3、动中取静：（最重要的一点） 要善于在“动”中取“静”（让图形和各个几何量都“静”下来），抓住变化中的“不变量”和不变关系为“向导”，求出相关的常量或者以含有变量的代数式表示相关的几何量; 4、找等量关系：利用面积关系、相似三角形的性质、勾股定理、特殊图形等的几何性质及相互关系，找出基本的等量关系式; 5、列方程：将相关的常量和含有变量的代数式代入等量关系建立方程或函数模型； (某些几何元素的变化会带来其它几何量的变化，所以在求变量之间的关系时，通常建立函数模型或不等式模型求解。在解决有关特殊点、特殊值、特殊位置关系问题时常结合图形建立方程模型求解) 6、是否以及怎么分类讨论： 将变化的几何元素按题目指定的运动路径运动一遍，从动态的角度去分析观察可能出现的情况，看图形的形状是否改变，或图形的有关几何量的计算方法是否改变，以明确是否需要根据运动过程中的特殊位置分类讨论解决，7、确定变化分界点： 若需分类讨论，要以运动到达的特殊点为分界点，画出与之对应情况相吻合的图形，找到情况发生改变的时刻，确定变化的范围分类求解。 例：如图，有一边长为5cm的正方形ABCD和等腰三角形△RQR，PQ=PR=5cm，QR=8cm，点B、C、Q、R在同一条直线ι上，当C、Q两点重合时开始，t秒后正方形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积为Scm2. .解答下列问题：（1）当t=3秒时，求S的值； 初二数学几何解题技巧 【知识梳理】 1、几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系;二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2、掌握分析、证明几何问题的常用方法： (1)综合法(由因导果)，从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决; (2)分析法(执果索因)从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止; (3)两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。 3、掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。 【专题一】证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。 【专题二】证明直线平行或垂直 在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。 【专题三】证明线段和的问题 (一)在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。(截长法) (二)延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。(补短法) 最新初中数学动态几何探究题汇总大全 【题型特征】以几何知识为主体的综合题,简称几何综合题,主要研究图形中点与线之间的位置关系、数量关系,以及特定图形的判定和性质.一般以相似为中心,以圆为重点,常常是圆与三角形、四边形、相似三角形、锐角三角 函数等知识的综合运用. 【解题策略】解答几何综合题应注意:(1)注意观察、分析图形,把复杂的图形分解成几个基本图形,通过添加辅助线补全或构造基本图形.(2)掌握常规的证题方法和思路;(3)运用转化的思想解决几何证明问题,运用方程的思想解 决几何计算问题.还要灵活运用其他的数学思想方法等. 【小结】几何计算型综合问题,是以计算为主线综合各种几何知识的问题.这类问题的主要特点是包含知识点多、 覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活.解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含 的数量关系和位置关系,在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形,或通过添加辅助线补全或构造基本图形,并善于联想所学知识,突破思维障碍,合理运用方程等各种数学思想才能解决. 【提醒】几何论证型综合题以知识上的综合性引人注目.值得一提的是,在近年各地的中考试题中,几何论证型综 合题的难度普遍下降,出现了一大批探索性试题,根据新课标的要求,减少几何中推理论证的难度,加强探索性训练,将成为几何论证型综合题命题的新趋势. 为了复习方便,我们将几何综合题分为:以三角形为背景的综合题;以四边形为背景的综合题;以圆为背景的综合题. 类型1 操作探究题 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置，点E在斜边AB上，连接BD，过点D 作DF⊥AC于点F. (1)如图1，若点F与点A重合，求证：AC＝BC； (2)若∠DAF＝∠DBA. ①如图2，当点F在线段CA的延长线上时，判断线段AF与线段BE的数量关系，并说明理由； ②当点F在线段CA上时，设BE＝x，请用含x的代数式表示线段AF. 如何做几何证明题 【知识梳理】 1、几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2、掌握分析、证明几何问题的常用方法： （1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决； （2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止； （3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。 3、掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。 【例题精讲】 【专题一】证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。 【例1】已知：如图所示，?A B C 中，∠=?===C AC BC AD DB AE CF 90，，，。 求证：DE ＝DF F E D C B A 【巩固】如图所示，已知?A B C 为等边三角形，延长BC 到D ，延长BA 到E ，并且使AE ＝BD ，连结CE 、DE 。 求证：EC ＝ED 【例2】已知：如图所示，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AE ＝CF 。 求证：∠E ＝∠F 【专题二】证明直线平行或垂直 在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。 【例3】如图所示，设BP 、CQ 是?A B C 的内角平分线，AH 、AK 分别为A 到BP 、CQ 的 垂线。 求证：KH ∥BC A C E D F B A B D C E A B Q P H C K 初二数学“动点问题”分析 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查。 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。 在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等． 一、建立动点问题的函数解析式 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢? 1.应用勾股定理建立函数解析式。 2.应用比例式建立函数解析式。 3.应用求图形面积的方法建立函数关系式。 二、动态几何型压轴题 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。 （一）以动态几何为主线的压轴题。 1.点动问题。 2.线动问题。 3.面动问题。 （二）解决动态几何问题的常见方法有: 1.特殊探路，一般推证。 2.动手实践，操作确认。 3.建立联系，计算说明。 （三）本大类习题的共性： 1．代数、几何的高度综合（数形结合）；着力于数学本质及核心内容的考查;四大数学思想：数学结合、分类讨论、方程、函数． 2．以形为载体，研究数量关系；通过设、表、列获得函数关系式；研究特殊情况下的函数值。 三、双动点问题 点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力. 其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为中考试题的热点， 1.以双动点为载体，探求函数图象问题。 2.以双动点为载体，探求结论开放性问题。 3.以双动点为载体，探求存在性问题。 4.以双动点为载体，探求函数最值问题。 双动点问题的动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大,对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高;解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动。 四：函数中因动点产生的相似三角形问题五：以圆为载体的动点问题 动点问题是初中数学的一个难点，中考经常考察，有一类动点问题，题中未说到圆，却与圆有关，只要巧妙地构造圆，以圆为载体，利用圆的有关性质，问题便会迎刃而解；此类问题方法巧妙，耐人寻味。 初中几何证明常用方法 归纳 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998 几何证明常用方法归纳 一、证明线段相等的常用办法 1、同一个三角形中，利用等角对等边：先证明某两个角相等。 2、不同的三角形中，利用两个三角形全等：A找到两个合适的目标三角形B确定已有几个 条件C还要增加什么条件。 3、通过平移或旋转或者折叠得到的线段相等。 4、线段垂直平分线性质：线段垂直平分线的一点到线段两个端点的距离相等。 5、角平分线的性质：角平分线上的一点到角两边的距离相等。 6、线段的和差。 二、求线段的长度的常用办法 1、利用线段的和差。 2、利用等量代换：先求其他线段的长度，再证明所求线段与已求的线段相等。 3、勾股定理。 三、证明角相等的常用办法 1、同（等）角的余(补)角相等。 2、两直线平行，内错角（同位角）相等。 3、角的和差 4、同一个三角形中，利用等边对等角：先证明某两条边相等。 5、不同的三角形中，利用两个三角形全等：A找到两个合适的目标三角形B确定已有几个 条件C还要增加什么条件。 四、求角的度数的常用方法 1、利用角的和差。 2、利用等量代换：先求其他角的长度，再证明所求角与已求的角相等。 3、三角形内角和定理。 五、证明直角三角形的常用方法 1、证明有一个角是直角。（从角） 2、有两个角互余。（从角） 3、勾股定理逆定理。（从边） 4、30度角所对的边是另一边的一半。 5、三角形一边上的中线等于这边的一半 六、证明等腰三角形的常用方法 1、证明有两边相等。（从边） 2、证明有两角相等。（从角） 七、证明等边三角形的常用方法 1、三边相等。 2、三角相等。 3、有一角是60度的等腰三角形。 八、证明角平分线的常用方法 1、两个角相等（定义）。 2、等就在：到角两边的距离相等的点在角平行线上。 九、证明线段垂直平分线的常用方法 1、把某条线段平分，并与它垂直。 初中几何的动点问题专题练习(答案) 1、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点． （1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？ （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 1.解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==?=厘米， ∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米． 又∵8PC BC BP BC =-=，厘米， ∴835PC =-=厘米， ∴PC BD =． 又∵AB AC = ， ∴B C ∠=∠， ∴BPD CQP △≌△． ··························· （4分） ②∵P Q v v ≠， ∴BP CQ ≠， 又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，， ∴点P ，点Q 运动的时间4 33 BP t = =秒， ∴515 443 Q CQ v t = ==厘米/秒． ······················· （7分） （2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇， 由题意，得 15 32104x x =+?， 解得80 3 x =秒． ∴点P 共运动了80 3803 ?=厘米． ∵8022824=?+， ∴点P 、点Q 在AB 边上相遇， 1.如图：在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,∠PCQ=45°，把∠PCQ绕点C旋转，在整个旋转过程中，过点A作AD⊥CP，垂足为D，直线AD交CQ于E. (1)如图①，当∠PCQ在∠ACB内部时，求证：AD+BE=DE； (2)如图②，当CQ在∠ACB外部时，则线段AD、BE与DE的关系为___； (3)在(1)的条件下,若CD=6,S△BCE=2S△ACD，求AE的长。 2.如图,已知B(?1,0),C(1,0),A为y轴正半轴上一点,点D为第二象限一动点,E在BD 的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC. (1)求证：∠ABD=∠ACD； (2)求证：AD平分∠CDE； (3)若在D点运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中， ∠BAC的度数是否变化?如果变化，请说明理由；如果不变， 请求出∠BAC的度数? 3.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在△ABC内,BD=BC,∠DBC=60°,点E在△ABC 外,∠BCE=150°,∠ABE=60°. (1)求∠ADB的度数； (2)判断△ABE的形状并加以证明； (3)连接DE，若DE⊥BD，DE=8，求AD的长。 4.在等边△ABC中,点D在BC边上,点E在AC的延长线上,DE=DA(如图1) (1)求证：∠BAD=∠EDC； (2)点E关于直线BC的对称点为M，连接DM，AM. ①依题意将图2补全； ②小姚通过观察，实验提出猜想：在点D运动的过程中，始终有DA=AM，小姚把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法1:要证明DA=AM，只需证△ADM是等边三 角形； 想法2:连接CM,只需证明△ABD≌△ACM即可。 请你参考上面的想法,帮助小姚证明DA=AM(一 种方法即可) 5.如图,已知等边三角形ABC中,点D,E,F分别为边AB,AC,BC的中点,M为直线BC上一动点,△DMN为等边三角形(点M的位置改变时,△DMN也随之整体移动). (1)如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系?点F是否在直线NE上?都请直接写出结论，不必证明或说明理由； (2)如图2,当点M在BC上时,其它条件不变,(1)的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立?若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由； (3)若点M在点C右侧时,请你在图3中画出相应的图形,并判断(1)的结论中EN与MF 的数量关系是否仍然成立?若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由。 几何证明题和应用题的复习(八年级上册湘教版) 1已知：如图，点D 在等边三角形ABC 的边AB上，延长BC至点E使CE= AD,连接DE交AC于点F，求证：FD= FE。 2、在Rt△ ABC中, AB= AC / BAC90°, 0为BC的中点。 (1) 写出点0到厶ABC的三个顶点A、B、C的距离的大小关系(不要求证明)； (2) 如果点M N分别在线段AB AC上移动，在移动中保持AN= BM,请判断△ OM的形状，并证明你的结论。 4、如图，等腰三角形ABC中，AB= AC, / A= 90°, BD平分/ ABC DEI BC且BC= 10,求 △ DCE的周长。 3、如图，△ ABC为等边三角形，延长 连结EC ED求证：CE=DE 5 、如图所示，已知点 D 是等边三角形ABC的边BC延长线上的一点， / EBCN DAC CE// AB 求证：△ CDE是等边三角形。 6、如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm长BC为10cm.当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处(折痕为AE).想一想，此时EC有多长？？ 7、如图，在△ ABC中，/ ABC=60 , AD CE分别平分/ BAC / ACB 求证：AC=AE+CD 8、如图，ABC为等边三角形，点M ,N分别在BC,AC上，且BM CN , AM与BN 交于Q点。求AQN的度数。 9、如图a, △ ABC和△ CEF是两个大小不等的等边三角 形, 且有一个公共顶点C,连接AF和BE (1)线段AF和BE有怎样的大小关系？请证明你的结论； (2)将图a中的△ CEF绕点C旋转一定的角度，得到图 (1)中的结论还成立吗？作出判断并说明理由. b , E E 动点问题专题训练 1、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点． （1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等 （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇 1.解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==?=厘米， ∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米． 又∵8PC BC BP BC =-=，厘米， ∴835PC =-=厘米， ∴PC BD =． 又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠， ∴BPD CQP △≌△． ··················· （4分） P ②∵P Q v v ≠， ∴BP CQ ≠， 又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，， ∴点P ，点Q 运动的时间4 33 BP t ==秒， ∴515 443 Q CQ v t = ==厘米/秒． ··············· （7分） （2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇， 由题意，得15 32104 x x =+?， 解得80 3 x = 秒． ∴点P 共运动了 80 3803 ?=厘米． ∵8022824=?+， ∴点P 、点Q 在AB 边上相遇， ∴经过 80 3 秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇． ······· （12分） 2、直线3 64 y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出 发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求 出S 与t 之间的函数关系式； （3）当48 5 S = 时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标． 2.解（1）A （8，0）B （0，6） 1分 （2）86OA OB ==， 考数学试题中动态几何问题的求解策略 近年来，随着九年义务教育课程标准的深入实施，动态几何已悄悄进入到中考数学试题中，而且要求越来越高，越来越突出探究能力的考查。编制好的动态几何的题已成为中考命题者努力追求的目标之一。下面谈谈中考数学中动态几何的一些解题策略。 例1：已知⊙O 的弦AB 的长等于⊙O 的半径，点C 在⊙O 上变化（不与A 、B ）重合，求∠ACB 的大小 . 分析：点C 的变化是否影响∠ACB 的大小的变化呢?我们不妨将点C 改变一下,如何变化呢？可能在优弧AB 上，也可能在劣弧AB 上变化，显然这两者的结果不一样。那么，当点C 在优弧AB 上变化时，∠ACB 所对的弧是劣弧AB ，它的大小为劣弧AB 的一半，因此很自然地想到它的圆心角，连结AO 、BO ，则由于AB=OA=OB ，即三角形ABC 为等边三角形，则∠AOB=600，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：∠ACB= 2 1 ∠AOB=300， 当点C 在劣弧AB 上变化时，∠ACB 所对的弧是优弧AB ，它的大小为优弧AB 的一半，由∠AOB=600 得，优弧AB 的度数为3600-600=3000，则由同弧所对的圆心角与圆周角的关系得出：∠ACB=1500， 因此，本题的答案有两个，分别为300或1500. 反思：本题通过点C 在圆上运动的不确定性而引起结果的不唯一性。从而需要分类讨论。这样由点C 的运动变化性而引起的分类讨论在解题中经常出现。 变式1：已知△ABC 是半径为2的圆内接三角形，若32=AB ，求∠C 的大小. 本题与例1的区别只是AB 与圆的半径的关系发生了一些变化,其解题方法与上面一致,在三角形AOB 中, 2 321 21sin = =∠OB AB AOB ,则06021=∠AOB ,即0 120=∠AOB , 从而当点C 在优弧AB 上变化时，∠C 所对的弧是劣弧AB ，它的大小为劣弧AB 的一半，即0 60=∠C , 最全初中数学几何动点问题专题分类归纳汇总 近几年有关“线段最值”的中考试题层出不穷，形式多样，往往综合了几何变换、函数等方面的知识，具有一定的难度，具有很强的探索性，通过研究发现，这些问题尽管形式多样、背景复杂、变化不断，但都可以通过几何变换转化为常见的基本问题． 最值题目类型多：作图、计算；有求差最大，求和最小；求周长最小、求时间最短；求最值、已知最值求待定系数等；对称载体多：几乎涉及到初中全部的轴对称图形（角、线段、等腰三角形、等腰梯形、菱形、正方形、抛物线、圆、坐标轴）. 我们知道“对称、平移、旋转” 是三种保形变换。通过这三种几何变换可以实现图形在保持形状、大小不变的前提下而使其位置发生变化，具有更紧凑的位置关系或组合成新的有利论证的基本图形．通过几何变换移动线段的位置是解决最值问题的有效手段，题目是千变万化的，但是运用几何变换把最值问题转化为基本问题却是不变的。 数学问题是千变万化的，几何变换的应用也不是单一的，有些问题需要多种变换的组合才能解决，看看以下策略对解决问题能否奏效。 （1）去伪存真。刨去不变的线段，看清楚究竟是几段和的最小值问题，必须仔细研究题目的背景，搞清楚哪些是动点、哪些是定点、哪些是定长。 （2）科学选择。捕捉题目的信号，探索变换的基础，选择变换的手段．平移把不“连”的线段“接”起来，旋转把“碰头”的线段“展”开来重“接”，对称把在同侧的线段翻折过去重组，因此“不连——平移、碰头——旋转、同侧——对称”是一般的思路；对称变换的基础是轴对称图形，平移变换的基础是平行线，旋转变换的基础是等线段，所以选择哪种几何变换还要看题目中具备何种变换的基础信息。 （3）怎么变换？对称变换一般以动点所在直线为对称轴，构建定点（直线）的对称点（直线），如有多个动点就必须作多次变换；平移一般是移动没有公共端点的两条线段中的某一条，与另一条对“接”；旋转变换一般以定点为旋转中心旋转60°或90°。 （4）怎么求值？几何变换成了“两折线”或“三折线”后，根据“两点之间线段最初二动态几何问题.
初中数学动点问题专题讲解
初二数学----几何证明初步经典练习题含答案)
初中数学动态几何问题
最新初二数学上册几何知识点总结
八年级数学下册第一章《三角形的证明》知识点归纳
初二动态几何问题之令狐文艳创作
初二数学几何解题技巧
最新初中数学动态几何探究题汇总大全
(完整word版)初二几何证明整理(经典题型)
初二数学动点问题专题分析
初中几何证明常用方法归纳
初中几何的动点问题专题练习(答案)
初二常见的几何题
几何证明题和应用题的复习八年级上册湘教版
初中数学几何的动点问题专题练习附答案
初中数学动态几何问题的求解策略
最全初中数学几何动点问题专题分类归纳汇总训练