机械模态分析作业
机械结构实验模态分析实验报告书
《机械结构实验模态分析》实验报告机械结构实验模态分析实验报告、实验目的和意义模态分析技术是近年来在国内外得到迅速发展的一门新兴科学技术，广泛应用于航空、航天、 机械制造、建筑、汽车等许多领域，在识别系统的动力学参数、动态优化设计、设备故障诊断等 许多方面发挥了日益重要的作用。
本实验采用 CCDS-1模态分析微机系统，对图 1所示的框架结构进行分析。
通过该实验达到如下目的：图2测量及数据处理系统框图三、实验模态分析的基本原理对于一个机构系统，其动态特性可用系统的固有频率、阻尼和振型来描述，与模态质量和模18 113 17 113 16 11315115 22 1152021 20/T 192013129090 / 115• 11/ "■ 11531 902 902020 90 90 104 11351136113图1框架结构图详细了解CCDAS-1模态分析微机系统，并熟练掌握使用本系统的全过程，包括 了解测量点和激振点的选择。
了解模态分析实验采用的仪器，实验的连接、安装和调整。
1、 激励振时各测点力信号和响应信号的测量及利用这些测量信号求取传递函数， 函数精度的因素。
2、 SSDAS-1系统由各测点识别出系统的模态参数的步骤。
3、 动画显示。
4、 灵敏度分析及含义。
通过CCDAS-1模态分析的全部过程及有关学习，能祥述实验模态的一般步骤。
通过实验和分析，大大提高综合分析能力和动手能力。
CCDAS-1系统模态分析的优缺点讨论并提出改进实验的意见。
二、测试及数据处理框图并分析影响传递态刚度一起通称为机械系统的模态参数。
模态参数既可以用有限元的方法对结构进行简化得到， 也可以通过激振实验对采集的振动数据进行处理识别得到。
通过实验数据求取模态参数的方法就 是实验模态分析。
只要保证测试仪器的精度、实验条件和数据分析处理的精度就能获得高质量的 模态参数。
一个线性系统，若在某一点j 施加激振力F j ，系统各点的振动响应为X i i =1,2,..., n ，系统任意两点的传递函数 0之间的关系可用矩阵表示如下:九hi2…h n'0、 X2佝） h21 02 …dnF3> =J・ • • -1 : ::丨 (1)m h.2 …An 工1 0 J可记为：=[H]T /[H]称为传递函数矩阵。
液力机械的模态分析考核试卷
6.为了减少计算量，可以采用______方法对液力机械模型进行简化。（答案：子结构/超单元）
7.液力机械模态分析中，______是评价结构动态性能的关键指标之一。（答案：频率响应函数）
8.在模态分析中，______方法可以用来识别结构的模态参数。（答案：系统识别/参数识别）
A.子结构方法
B.超单元方法
C.简化模型
D.提高计算精度
9.液力机械模态分析中，以下哪些参数与模态振型相关？()
A.模态频率
B.模态位移
C.模态参与因子
D.模态阻尼比
10.以下哪些软件工具可以用于液力机械的模态分析？()
A. ANSYS
B. MATLAB
C. ABAQUS
D. AutoCAD
11.液力机械模态试验中，以下哪些因素会影响测试结果的准确性？()
B.每一阶模态对结构响应的贡献可以通过模态参与因子来表示
C.只有低阶模态对结构响应起主要作用
D.高阶模态的贡献可以忽略不计
7.在进行液力机械的模态分析时，以下哪些因素可能导致模态遗漏？()
A.测点数量不足
B.激励力频率范围不够
C.传感器灵敏度不足
D.数据采集时间过短
8.以下哪些方法可以用来减少液力机械模态分析的计算量？()
B.流体动力学特性
C.温度场分布
D.控制系统性能
2.在进行液力机械模态分析时，以下哪个参数不是基本的动力参数？()
A.质量
B.阻尼
述是错误的？()
A.模态分析可以确定结构的自然频率
B.模态分析可以识别结构的薄弱环节
C.模态分析无需考虑外部激励
模态分析实验报告
《机械工程测试技术》综合实验报告实验项目名称：机械结构固有模态实验班级：机械32实验小组成员姓名（学号）：张豪47 张唯48赵亮49 景世钊33王汝之42 朱金格28实验小组组长：张豪实验报告日期： 15/12/12实验目的：针对机械结构（简支梁、悬臂梁、圆盘）的固有模态进行分析，了解几种常用的结构动态特性激励方法，掌握机械结构固有模态的测试系统设计、测试系统搭建、数据采集及信号分析方法和技术。
实验原理：模态分析方法及其应用：模态分析方法是把复杂的实际结构简化成模态模型，来进行系统的参数识别（系统识别），从而大大地简化了系统的数学运算。
通过实验测得实际响应来寻示相应的模型或调整预想的模型参数，使其成为实际结构的最佳描述。
主要应用有：用于振动测量和结构动力学分析。
可测得比较精确的固有频率、模态振型、模态阻尼、模态质量和模态刚度。
可用模态实验结果去指导有限元理论模型的修正，使计算模型更趋完善和合理。
用来进行结构动力学修改、灵敏度分析和反问题的计算。
用来进行响应计算和载荷识别。
模态分析基本原理：工程实际中的振动系统都是连续弹性体，其质量与刚度具有分布的性质，只有掌握无限多个点，在每瞬时的运动情况，才能全面描述系统的振动。
因此，理论上它们都属于无限多自由度的系统，需要用连续模型才能加以描述。
但实际上不可能这样做，通常采用简化的方法，归结为有限个自由度的模型来进行分析，即将系统抽象为由一些集中质块和弹性元件组成的模型。
模态分析是在承认实际结构可以运用所谓“模态模型”来描述其动态响应的条件下，通过实验数据的处理和分析，寻求其“模态参数”，是一种参数识别的方法。
模态分析的实质，是一种坐标转换。
其目的在于把原在物理坐标系统中描述的响应向量，放到所谓“模态坐标系统”中来描述。
这一坐标系统的每一个基向量恰是振动系统的一个特征向量。
也就是说在这个坐标下，振动方程是一组互无耦合的方程，分别描述振动系统的各阶振动形式，每个坐标均可单独求解，得到系统的某阶结构参数。
workbench 模态分析实例
July 3, 2006 Inventory #002022 WS2-13
模态分析
作业5 – 求解
在每个模型的各项设置都完成后，我们将准备进 行求解，逐一检查所有分支条前面的状态符。所 有状态符应为以下其一：
– 带电符号（待查） – 绿色钩对号（完成）
Workshop Supplement
ANSYS Workbench - Simulation ANSYS Workbench - Simulation ANSYS Workbench - Simulation ANSYS Workbench - Simulation
Workshop Supplement
ANSYS Workbench - Simulation ANSYS Workbench - Simulation ANSYS Workbench - Simulation ANSYS Workbench - Simulation
July 3, 2006 Inventory #002022 WS2-4
ANSYS Workbench - Simulation ANSYS Workbench - Simulation ANSYS Workbench - Simulation ANSYS Workbench - Simulation
模态分析
作业5 – 建立求解
记住:当求解结构问题时,我们要 求解多个应力、应变、位移。 由于我们希望确定模型的固有 频率，往往需要适当数目的求 解结果。为了求解固有频率， 我们需要使用到工具 “Frequency Finder”.
12. 点击求解的分支条，并点击
12
July 3, 2006 Inventory #002022 WS2-12
机械结构的模态分析与优化设计
机械结构的模态分析与优化设计机械结构是现代工业和生活中不可或缺的一部分，它承担着各种各样的载荷和振动，因此具有足够的刚度和强度是至关重要的。
为了确保机械结构的稳定性和安全性，模态分析与优化设计成为一个重要的研究领域。
模态分析是研究结构在一定条件下的固有振动特性的过程，通过该分析可以获得机械结构的固有频率、振型以及固有振动模态等信息。
对于复杂的机械结构，模态分析可以帮助我们了解其受力和振动特性，并提供优化设计的指导。
在模态分析中，常用的方法之一是有限元法。
该方法通过将结构分割成许多小的有限元，然后利用数值方法求解结构的固有频率和振型。
有限元法具有计算效率高、适用范围广等优点，因此在工程实践中得到了广泛应用。
通过有限元法的模态分析，可以识别机械结构的固有频率，并确定其中的主要振动模态，从而框架实施有效的设计和优化策略。
优化设计是指在一定的约束条件下，通过对结构参数进行调整，以提高结构的性能和效果。
在机械结构中，优化设计可以通过改变结构的尺寸、形状、材料等参数来降低结构的振动响应，提高结构的刚度和强度，进而提升结构的稳定性和可靠性。
优化设计的关键是确定合适的目标函数和约束条件，通过优化算法寻找最优的结构参数组合。
模态分析与优化设计紧密相连，模态分析提供了优化设计的基础数据，而优化设计则可以对模态分析结果进行分析和改进。
通过模态分析，可以确定机械结构的固有频率和振型，帮助设计师了解机械结构的受力和振动特性；而通过优化设计，可以对这些特性进行改进，以达到更好的设计效果。
在实际应用中，模态分析与优化设计常常与其他工程技术相结合。
例如在汽车工业中，模态分析可以用于评估车身结构的刚度和共振频率，通过优化设计改进车身的不稳定性问题；在航空航天工业中，模态分析可以用于研究飞机机翼的振动特性，通过优化设计改进结构的频率响应和振动控制。
除了结构本身的模态分析和优化设计，机械结构的模态分析与优化设计还可以与其他领域相结合，例如材料力学、振动控制、信号处理等领域。
机械结构实验模态分析
▪ 实频曲线正负峰值对应频率满足：
b a
2n
▪ 其中： 为阻尼比
▪
n 为固有频率
XJTU
实验模态分析定义
▪ 实际结构可以运用所谓“模态参数”来描述其动态 响应
▪ 通过激振实验对采集的振动数据进行处理识别，从 而得到机械系统的模态参数，称为实验模态分析
▪ 模态分析属于参数识别的范畴
XJTU
力信号截 取
指数窗： 用于响应信号截取
响应信号
力信号
力窗
指数窗
XJTU
谱相关函数
相关函数又称为凝聚函数,表征两个信
1
号的相关性：
2 fx
(
f
)
G
Gfx ( f ) 2 ff ( f )Gxx (
XJTU
泄漏现象
泄漏现象
离散傅立叶变 换假定：被观察信 号在观测时段内是 周期的，如果不满 足此假设条件，则 产生泄漏误差。（ 边界连续性）
XJTU
窗函数
窗函数
选择合适的窗函数可以减小采样时段边界的 不连续性，迫使信号变成周期的，从而减小泄 漏。
窗函数选择，同时要兼顾好的幅值估计和频 率分辨率
力窗： 用于
▪ 在小阻尼情况下，幅频曲线的 峰值对应的频率为固有频率；
▪ 相频曲线-90o对应的频率为固 有频率。
▪ 幅频曲线功率点对应的频率满
足： b a
2n
▪ 其中： 为阻尼比
▪
n 为固有频率
XJTU
▪ 实频、虚频曲线
▪ 单自由度系统实频曲线零点对应的 频率为固有频率；
▪ 多自由度系统，由于临近模态影响， 造成零点移动，因此用虚频曲线峰 值作为固有频率较可靠；
XJTU
机械模态分析作业
机械模态分析作业:如图1所示是一个单自由系统附件一个减振器形成的的两自由振动系统,已知m 1=105kg ，m 2=7kg ，k 1=10000N/m ，k 2=410N/m ，c 2=1.15N ·m-1·s ，F 1(t)=F 1e j ωt 。
求：（简化为粘性比例阻尼进行实模态分析）1． 物理坐标下的振动微分方程； 2． 频响函数矩阵；3． 频响函数的模态展式矩阵； 4． 脉冲相应函数；5． 画出H 11（ω）的幅频特性曲线，相频特性曲线，实频特性曲线，虚频特性曲线，Nyquist 图，Bode 图； 6． 固有频率，阻尼固有频率； 7． 画出振型图；8． 模态坐标系下的振动微分方程；9． 模态参数：复模态质量，复模态刚度，复模态阻尼。
10.按实模态系统，给出灵敏度分析。
11.集全班同学的数据（必要的话再补做不同m 2，k 2，c 2参数下的数据，画出x1的最大振幅与m 2，k 2，c 2，的变化曲线，从而分析出减振器的最佳参数。
解：1．振动微分方程对质量m 1、m 2绘分离体图（如图1-1），用牛二定律列分离体在铅垂方向的力平衡方程得1221221111122122122()()()()F c x x k x x k x m x c x x k x x m x ∙∙∙∙∙∙∙∙+-+--=----= （1.1）将（1.1）整理可得：112211221122222222000m x c c x k k k x F m c c k k x x x ∙∙∙∙∙∙⎡⎤⎡⎤-+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦（1.2）且m 1=105、m 2=7、k 1=10000、k 2=410、c 2=1.15，代入（1.2）得： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡∙∙∙∙∙∙0 410 410-410- 104101.15 1.15- 1.15- 15.17 0 0 1051212121F x x x x x x （1.3）可以得出此二自由度系统振动微分方程为：()M x C x Kx f t ∙∙∙++= 其中M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡7 0 0 105；C=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 1.15 1.15- 1.15- 15.1；K=⎥⎦⎤⎢⎣⎡410 410- 410 - 10410；f(t)=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0 1F 图1-1、系统的分离体图 2．频响函数矩阵由书P25（1.4-58）公式可知，此二自由度系统频响函数矩阵为一2×2方阵，其表达式为：21()()H K M j C ωωω-=-+，其中M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡7 0 0 105；C=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 1.15 1.15- 1.15- 15.1；K=⎥⎦⎤⎢⎣⎡410 410- 410 - 10410；图1 两自由度振动系统（2.1）写成矩阵形式：（2.2）3．频响函数的模态展式矩阵 1）求解瑞利阻尼矩阵由于粘性阻尼矩阵C 无法进行正交性对角化，故不能直接应用坐标变换将（1.3）解耦。
机械结构的模态分析与优化方法研究
机械结构的模态分析与优化方法研究一、引言机械结构是现代工程领域中不可或缺的重要部分。
在设计过程中，模态分析与优化方法的研究起到了至关重要的作用。
本文旨在探讨机械结构的模态分析与优化方法，以及其在工程实践中的应用。
二、模态分析模态分析是通过对机械结构进行振动试验或数值模拟，确定其固有频率和振型的一种方法。
其基本原理是结构在振动时呈现出固有的频率与振型，通过测定这些频率和振型，可以了解结构的动态特性。
模态分析广泛应用于工程领域，比如汽车、飞机、建筑等。
1. 实验方法实验方法是一种常用的模态分析手段。
通过使用加速度传感器对机械结构进行振动测试，可以得到结构的振动响应数据。
根据这些数据，可以计算得到结构的固有频率和振型。
2. 数值模拟方法数值模拟方法是在计算机上进行的模态分析。
它基于有限元分析原理，将结构离散为多个小单元，然后通过求解矩阵方程的特征值问题，得到结构的固有频率和振型。
数值模拟方法能够更加高效地进行模态分析，并且可以考虑更加复杂的结构形态。
三、模态优化方法模态优化是指通过调整机械结构的几何形状、材料参数或约束条件，来改善其固有频率和振型的一种方法。
通过模态优化，可以使机械结构具有更好的性能，满足工程需求。
1. 减小结构的质量结构的质量与其固有频率密切相关。
减小结构的质量可以提高其固有频率。
在设计中，可以通过优化结构的材料选择、板厚、孔洞等参数来减小结构的质量，从而提高其固有频率。
2. 优化结构的几何形状结构的几何形状也会影响其固有频率和振型。
通过改变结构的几何形状，可以调整其固有频率和振型。
在优化设计中，可以使用拓扑优化方法、形状优化方法等来调整结构的几何形状，使其具有更好的动态性能。
3. 考虑约束条件约束条件对结构的动态特性有重要影响。
在模态优化中，需要合理考虑约束条件的设置。
结构约束的松紧程度、约束的位置等都会对结构的固有频率和振型产生影响。
通过优化约束条件，可以调整结构的动态特性。
四、应用案例模态分析与优化方法在工程实践中有着广泛的应用。
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机械模态分析作业:如图1所示是一个单自由系统附件一个减振器形成的的两自由振动系统,已知m 1=105kg ，m 2=7kg ，k 1=10000N/m ，k 2=410N/m ，c 2=1.15N ·m-1·s ，F 1(t)=F 1e j ωt 。
求：（简化为粘性比例阻尼进行实模态分析）1． 物理坐标下的振动微分方程； 2． 频响函数矩阵；3． 频响函数的模态展式矩阵； 4． 脉冲相应函数；5． 画出H 11（ω）的幅频特性曲线，相频特性曲线，实频特性曲线，虚频特性曲线，Nyquist 图，Bode 图； 6． 固有频率，阻尼固有频率； 7． 画出振型图；8． 模态坐标系下的振动微分方程；9． 模态参数：复模态质量，复模态刚度，复模态阻尼。
10.按实模态系统，给出灵敏度分析。
11.集全班同学的数据（必要的话再补做不同m 2，k 2，c 2参数下的数据，画出x1的最大振幅与m 2，k 2，c 2，的变化曲线，从而分析出减振器的最佳参数。
解：1．振动微分方程对质量m 1、m 2绘分离体图（如图1-1），用牛二定律列分离体在铅垂方向的力平衡方程得1221221111122122122()()()()F c x x k x x k x m x c x x k x x m x ∙∙∙∙∙∙∙∙+-+--=----= （1.1）将（1.1）整理可得：112211221122222222000m x c c x k k k x F m c c k k x x x ∙∙∙∙∙∙⎡⎤⎡⎤-+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦（1.2）且m 1=105、m 2=7、k 1=10000、k 2=410、c 2=1.15，代入（1.2）得： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡∙∙∙∙∙∙0 410 410-410- 104101.15 1.15- 1.15- 15.17 0 0 1051212121F x x x x x x （1.3）可以得出此二自由度系统振动微分方程为：()M x C x Kx f t ∙∙∙++= 其中M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡7 0 0 105；C=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 1.15 1.15- 1.15- 15.1；K=⎥⎦⎤⎢⎣⎡410 410- 410 - 10410；f(t)=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0 1F 图1-1、系统的分离体图 2．频响函数矩阵由书P25（1.4-58）公式可知，此二自由度系统频响函数矩阵为一2×2方阵，其表达式为：图1 两自由度振动系统21()()H K M j C ωωω-=-+，其中M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡7 0 0 105；C=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 1.15 1.15- 1.15-15.1；K=⎥⎦⎤⎢⎣⎡410 410- 410 - 10410； （2.1）写成矩阵形式：（2.2）3．频响函数的模态展式矩阵1）求解瑞利阻尼矩阵由于粘性阻尼矩阵C 无法进行正交性对角化，故不能直接应用坐标变换将（1.3）解耦。
由于在该题中，粘性阻尼相对很小，对于小阻尼振动系统，可以利用瑞利比例阻尼来代替粘性阻尼，以获得可对角化的阻尼矩阵。
（1）瑞利比例阻尼系数的确定瑞利比例阻尼：K +M =βαC ，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡410 410- 410 - 10410；a 、β 为瑞利比例阻尼系数瑞利比例阻尼系数存在以下关系：1112222222βωαξωβωαξω⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，其中i ω为圆频率i i f πω2=（i f 为系统固有频率，书中表示为i 0ω）；i ξ为阻尼比i ii 0=ωσξ将上式写为矩阵形式：111222122122ωωξαξωβω⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦可得：1111222122122ωωξαξβωω-⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦，其中、i i f πω2=，i ii 0=ωσξ （3.1）由此可知，只要我们确定了一个系统任意两阶的固有频率及其阻尼比，就可以确定出瑞利比例阻尼系数，从而得到瑞利比例阻尼矩阵。
（2）求该二阶系统的一、二阶固有频率及其阻尼比利用求解该系统振动微分方程()M x C x Kx f t ∙∙∙++=的特征值i λ来确定固有频率及其阻尼比。
由书P23（1.4-43）-（1.4-46）公式为求解步骤，下面利用Matlab 来计算固有频率i 0ω和阻尼比i ξ： 编写Matlab 程序polynomial.m 求特征方程，程序如下：syms x;m 1=105; m2=7; k1=10000; k2=410; c2=1.15; M=[m1 0;0 m2];C=[c2 -c2;-c2 c2];K=[k1+k2 -k2;-k2 k2];y=det(M*x^2+C*x+K)解以上求得的多项式：>> p=[735 644 115920 11500 4100000]; >> x 0=roots(p)由特征值可得：2650.72593.72872.02211≈+==0λω、0396.02593.72872.011===01ωσζ 2882.102626.107253.022≈+==202λω、0707.02626.107253.0222===0ωσζ（3）求瑞利比例阻尼系数及瑞利比例阻尼矩阵根据公式（3.1）编写Matlab 程序rayleigh.m 求解特征方程，程序如下：function Cr=rayleigh()%--计算瑞利阻尼系数alpha和beta--xi1=0.0396; xi2=0.0707; f1=7.2650; f2=10.2882;omega1=2*pi*f1;omega2=2*pi*f2;A=[1/(2*omega1) omega1/2;1/(2*omega2) omega2/2];xi=[xi1;xi2];x=inv(A)*xi;alpha=x(1,1)beta=x(2,1)%--计算瑞利阻尼矩阵Cr(2*2)--alpha=-1.8801;beta=0.0026;m1=105; m2=7; k1=10000; k2=410;M=[m1 0;0 m2];K=[k1+k2 -k2;-k2 k2];Cr=alpha*M+beta*K;可知：瑞利比例阻尼系数-1.8801=α、0026.0=β瑞利比例阻尼矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=12.0947-1.0660- 1.0660- 3445.170-C 2）求解模态矩阵（及特征矢量矩阵）书P23已说明根据粘性比例阻尼振动系统的微分方程所求得的特征矢量与该系统无阻尼振动下求得的特征矢量相等。
因此，我们可以利用求此二阶系统在无阻尼振动下的微分方程的特征矢量更简单的得出模态矩阵改写Matlab 程序polynomial.m 求解此二阶系统在无阻尼振动下的微分方程的特征方程，程序如下：syms x;m1=100; m2=5; k1=10000; k2=500; M=[m1 0;0 m2];K=[k1+k2 -k2;-k2 k2];y=det(K-x^2*M) 解以上求得的多项式：>> p=[735 -115920 4100000]; >> x0=roots(p)可知：554653201.=ω、1597.104=202ω。
将其分别代入回0)(=-2ϕωM K ，可得：035.1178 410- 410- 767.47862111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡ϕϕ、0319.1179-410- 410-7685.526-2212=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡ϕϕ求得模态矩阵[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==11112 1 1.2848 - 11.67501 122 22 ϕϕϕϕϕϕϕ3）求解频响函数的模态展式矩阵（1）求模态质量矩阵、模态刚度矩阵和模态阻尼矩阵[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡==116.5550 0 0 1394.10591.2848- 11.67501 1 7 00 1051.2848-1 11.6750 1 ϕϕM m diag T i[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡==121340 0 0 6721.806251.2848- 11.67501 1 410 410-410- 104101.2848- 1 11.67501 ϕϕK k diag Ti[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡==187.6- 0 0 1843.8-1.2848- 11.67501 1 12.0947- 1.0660- 1.0660- 3445.1701.2848- 1 11.6750 1 ϕϕC c diag T i（2）由此可得频响函数的模态展式为：221()Ti i i i i i H k m j c ϕϕωωω==-+∑ （3.3）写成矩阵形式为：22111221112212222211122211122211122221222111221221222222111222111222()()()()()k m j c k m j ck m j c k m j c H H H H H k m j c k m j c k m j c k m j c ϕϕϕϕϕϕωωωωωωωωωωωωωϕϕϕϕϕϕωωωωωωωω⎡⎤++⎢⎥-+-+-+-+⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦++⎢⎥-+-+-+-+⎣⎦将所求ϕ、[]i diag m 、[]i diag k 、[]i diag c 代入：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-2-2 1.6507 2848.1- 1.2848- 1)6.1875550.116-121340( 305613667501167501118.18431059.1394-8062.56721)( )()( )()(1122211211ωωωωωωωωωj . .. j H H H H H ）（4．脉冲响应函数对（3.3）作傅立叶逆变换，得到脉冲响应函数矩阵：21()sin iT ti i di i i di h t e tm σϕϕωω-==∑ （4.1）5．11()H ω的幅频、相频、实频、虚频特性曲线以及导纳图和博德图 1）11()H ω的幅频特性曲线：11()H ω与ω的关系11222222221111222211()(1)4(1)4H k k ωξξ=+-Ω+Ω-Ω+Ω，其中01ωωΩ=，i ξ为阻尼比。
代入可得：8471)x(0.07074)1(1213401)x(0.03964)7802.521(8062.567211)(22211105.⨯+105.8471-+52.7802⨯+-=222ωωωωωH （5.1）编写Matlab 程序figure1.m 画图，程序如下：omega=5:.01:15;o1=omega/sqrt(52.7802); o2=omega/sqrt(105.8471); k1=56721.8062; k2=121340; xi1=0.0396; xi2=0.0707;y11=1./(k1.*sqrt((1-o1.^2).^2+(2.*xi1.*o1).^2))+1./(k2.*sqrt((1-o2.^2).^2+(2.*xi2.*o2).^2));plot(omega,y11,'LineWidth',2); grid onxlabel('频率 Hz') ylabel('幅值 mm') title('m1的一阶幅频特性')输出图形：2）11()H ω的相频特性曲线：11ϕ与ω的关系112211221222arctan arctan 11ξξϕ⎛⎫⎛⎫-Ω-Ω=+ ⎪ ⎪-Ω-Ω⎝⎭⎝⎭。