22 专题 圆中的角度关系的证明
圆——垂径定理及圆心角、圆周角等关系
圆——垂径定理及圆心角、圆周角等关系本课教学“password ”------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------独立探索“password ”------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------合作研究“password ”------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------诱导破解“password ”讲授破解 知识点一、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④ ⑤ ①② ③④⑤或①③ ②④⑤或……推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴ 二、圆心角定理：圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论 也即：①∠AOB=∠DOE ②AB=DE ③OC=OF ④ ① ②③④或②①③④……② 三、圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即：∵∠AOB 和∠ACB 是所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB 圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧 即：在⊙O 中，∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角∴∠C=∠DBC BD =AC AD=⇒⇒AC BD=D BBA ED=⇒⇒BA ED =推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径 即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠C=90° ∴AB 是直径推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 即：在△ABC 中，∵OC=OA=OB∴△ABC 是直角三角形或∠C=90°注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
圆的关系定理PPT精品课件
（4）如果∠AOB=∠COD，那么⌒ ⌒ ___O_E_=_O__F_,_A__B_=_C_D__,_A_B__=_C_D___。
Q
A
．B
O
性质4: 900的圆周角所对的弦是圆的直径.
∵AB是⊙O的直径
C
∴ ∠ACB=900
A
O
B
三.与圆有关的位置关系: 1.点和圆的位置关系
(1)点在圆内
(2)点在圆上
(3)点在圆外
如果规定点与圆心的距离为d,圆的半径为r,则d与r的大小关系为:
．
C
点与圆的位置关系
．． A
点在圆内
点在圆上
． B
点在圆外
半径的直线是圆的切线。
∟
．
O A
∵OA是半径,OA⊥ l
∴直线l是⊙O的切线. l
切线的性质: (1)圆的切线垂直于经过切点的半径. (2)经过圆心垂直于切线的直线必经过切点. (3)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.
∟
．
O
．
A
∵直线l是⊙O的切线,切点为A
∴ OA⊥ l l
切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它 们的切线长相等；这点与圆心的连线平 分这两条切线的夹角。
∴AF=BG
∴OF=OG
∴DC=EF
F
G
圆的对称性
圆的轴对称性（圆是轴对称图形）
《圆——圆周角和圆心角的关系》数学教学PPT课件(6篇)
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第三章 圆
圆周角和圆心角的关系
第1课时
第三章
第1课时
圆周角定理及其推论1
知识要点基础练
知识点1 圆周角的定义
1.如图,∠BAC是圆周角的是 ( B )
综合能力提升练
拓展探究突破练
-17-
第三章
第1课时
圆周角定理及其推论1
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-18-
知识点2 圆周角定理
-19-
第三章
第1课时
圆周角定理及其推论1
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-20-
知识点3 圆周角定理的推论1
5.(柳州中考)如图,A,B,C,D是☉O上的点,则图中与∠A相等的角是 ( D )
A.∠B
B.∠C
C.∠DEB
D.∠D
6.(赤峰中考)如图,AB是☉O的弦,OC⊥AB交☉O于点C,D是☉O上一点.若∠ADC=30°,
学生练习2 课本83页随堂练习第1题、第2题、第3题．
北京师范大学出版社 九年级 | 下册
【巩固提高】
课堂小结：
本节课学到那些知识？发现了什么？在运用所学的知识解决问题时应注意什么？
1、概念：圆周角，圆内接四边形，四边形的外接圆．
2、圆周角的定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；
3、圆周角定理的推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等．
第1课时
圆周角定理及其推论1
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
4.如图,A,B,C是半径为6的☉O上的三个点,且∠BAC=45°,求弦BC的长.
解:连接 OB,OC.
圆的对称性(1)圆心角、弧、弦关系定理
AOB COD ． AB CD ，_________________ （1）如果AB=CD，那么___________
（2）如果
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
AOB COD AB=CD ． （3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________ ，_________ AB CD
AB=CD ，_____________． AB CD ，那么____________
圆心角 相等
弧 相等
弦 相等
思考
定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件 “在同圆或等圆中”去掉？为什么？
如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
AOB COD ． AB = CD ，_________________ （1）如果AB=CD，那么___________
A
B
A′
B′
O
·
O′
·
由∠AOB＝∠A′O ′ B′可得 ︵ ︵ 到：
AB A ' B '.
AB A ' B '.
小结
圆心角、弧、弦的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等．
圆心角 相等
弧 相等
弦 相等
小结
弧、弦与圆心角的关系定理
1、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦 也相等． 相等 ， 所对的 2、在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角_____ 相等 ； 弦________ 相等 ，所对 3、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角______ 相等 ． 的弧_________ 在同圆或等圆中，两个 圆心角、两条弧、两条 弦中有一组量相等，它 们所对应的其余各组量 也相等．
圆周角与圆心角关系的证明的三种情况的具体证法
圆周角与圆心角关系的证明的三种情况的具体证法
已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC. 证明：
情况1：，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：
∵OA、OC是半径
∴OA=OC
∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOC是△OAC的外角
∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC
情况2：，当圆心O在∠BAC的内部时：
连接AO，并延长AO交⊙O于D
∵OA、OB、OC是半径
∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD
∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC
情况3：，当圆心O在∠BAC的外部时：
连接AO，并延长AO交⊙O于D
∵OA、OB、OC、是半径
∴∠BAD=∠ABO（等边对等角）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD
∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD
∵∠BAC=∠CAD-∠BAD
∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC。
圆的证明题解题技巧
圆的证明题解题技巧圆的证明题解题技巧一、前置知识在学习圆的证明之前，需要掌握以下基础知识：1. 直线的性质：平行、垂直、夹角等概念及其性质。
2. 三角形的性质：内角和为180度、等腰三角形、直角三角形等概念及其性质。
3. 相似三角形：比例关系、相似定理等概念及其应用。
4. 同余三角形：对应边、对应角相等的三角形。
5. 利用构造方法求解几何问题：如作垂线、作中线、作平分线等方法。
二、圆的定义与性质圆是由平面上所有到定点距离相等的点组成的图形。
其中，定点称为圆心，到圆心距离称为半径。
圆上任意两点间的距离称为弧长，弧长所对应的圆心角称为弧度。
1. 圆心角与弧度关系当一个圆心角所对应的弧长恰好为半径时，这个圆心角称为一弧度。
因此，一周360度对应着2π弧度。
2. 圆内接四边形如果一个四边形的四个顶点都在同一圆上，那么这个四边形就是圆内接四边形。
圆内接四边形的两组对角线互相垂直且交点在圆心。
3. 圆的切线与切点如果一条直线与圆相切，那么这条直线称为圆的切线。
与切点相对应的半径垂直于切线。
三、常见证明题型及技巧1. 证明两条直线相交于圆上如果已知两条直线AB、CD分别与一个圆相交于点A、B、C、D，我们需要证明这两条直线相交于圆上。
技巧：连接AC和BD，利用三角形性质和同余三角形定理可以证明AC和BD垂直且交于O（圆心）。
2. 证明一个三角形为等腰三角形如果已知一个三角形ABC中AB=AC，我们需要证明这个三角形是等腰三角形。
技巧：以A为圆心作一个以AB为半径的圆，并延长BC至与该圆相交于D。
连接AD并证明AD垂直BC即可得出结论。
3. 证明一个四边形为菱形如果已知一个四边形ABCD中AB=BC=CD=DA，我们需要证明这个四边形是菱形。
技巧：以A为圆心作一个以AB为半径的圆，并分别延长AD、BC至与该圆相交于E、F。
连接AE、BF并证明AE和BF垂直且交于O（圆心）即可得出结论。
4. 证明一个四边形为矩形如果已知一个四边形ABCD中AB=CD且BC=DA，我们需要证明这个四边形是矩形。
九年级数学圆证明知识点
九年级数学圆证明知识点数学是一门需要严密逻辑和严谨证明的学科。
在九年级的数学学习中，圆证明是一个重要的知识点。
通过学习圆证明，不仅可以加深对圆的认识，还可以培养学生的逻辑思考和证明能力。
本文将从圆的基本定义开始，逐步介绍九年级数学圆证明知识点。
1. 圆的基本定义圆由一条固定的点称为圆心和以该点为中心的一条固定长度的线段构成。
圆心到圆上任意一点的距离称为半径，圆上任意两点的连线称为弦，弦通过圆心时称为直径。
2. 圆的性质(1) 圆的内角和定理：圆上任意弧所对的圆心角的度数等于其所对的弧的度数的一半。
即∠AOC = 1/2∠ABC。
(2) 圆周角定理：顶点在圆上的角等于其所对的弧所对的圆心角的度数。
即∠CAB = ∠AOB。
(3) 弧和弦的关系：在圆上，如果一条弦与一条弦的等分弧相交，则这条弦被等分。
即如果AB=AC，则∠ABC = ∠ACB。
(4) 弦切角定理：切线与弦的切点处所成的角等于其所对的弦所对的圆心角的度数的一半。
即∠BAC = 1/2∠BOC。
3. 弧长的证明弧长是圆上的一段弧所对的圆心角所对的弧长。
在证明弧长的过程中，可以利用圆上的角的性质和其余角、其他弧长之间的关系进行推导。
例如，可以利用对等弧所对的圆心角相等的性质，对于等分弧和半圆弧，可以利用角度之和为180°的性质等。
4. 弦长的证明弦长是圆上的弦的长度。
在证明弦长的过程中，可以运用相似三角形的性质，利用圆上的角的性质和弦所对的圆心角、弦长之间的关系进行推导。
例如，可以使用角度所对的弧长之比相等的性质，对于平行于弦的弦和切线之间的关系，可以利用竖角相等和切线与半径的关系进行推导。
5. 切线的证明切线是与圆只有一个交点的直线。
在证明切线的过程中，可以利用相似三角形的性质、平行线与切线、切线与半径之间的关系进行推导。
例如，可以利用平行线与切线所对的角相等的性质，对于切线与半径之间的关系，可以利用正切函数等进行推导。
通过学习和证明圆的相关知识点，可以加深对圆的理解，掌握圆的性质和应用。
初二数学圆的常用结论和性质
初二数学圆的常用结论和性质一、圆的基本概念在初二的数学学习中，我们会接触到圆的相关知识。
圆是由平面上与一个确定点的距离相等的点构成的集合。
圆由圆心和半径来确定，其中圆心是圆上任意一点到圆的直径上所有点的中垂线的交点。
二、弧和弦1. 弧：圆上两点间的弧是这两点所对的圆心角所确定的弧。
弧长是弧的长度，以弧度表示。
2. 弦：圆上两点间的弦是这两点所确定的圆内的线段。
三、圆心角及其性质1. 圆心角：以圆心为顶点的角称为圆心角。
圆心角的度数等于它所对应的弧长的度数。
2. 弧度和圆心角的关系：一个圆心角的弧度等于这个圆心角对应的弧段长度与圆的半径的比值。
3. 同弧的圆心角相等：在同一个圆上，两个弧所对应的圆心角相等。
4. 同圆弧所对的圆心角相等：如果两个圆的圆心角所对的圆弧相等，那么这两个圆心角也相等。
四、垂直弦定理如果在圆上两条弦垂直相交，那么每条弦所对的圆心角互为对补角。
五、弧所对圆心角的性质1. 弧所对的圆心角相等：在同一个圆上，两个等长的弦所对的圆心角相等。
2. 弧所对的圆心角是锐角（直角、钝角）：在同一个圆上，两个切线所对的圆心角是锐角（直角、钝角）。
六、切线和弦的性质1. 切线的性质：切线与半径垂直。
2. 切线与切线的性质：如果两条切线相交，交点在两切点连线的延长线上。
3. 切线与弦的性质：一个圆的切线与它所对的弦垂直。
七、弦切角及其性质1. 弦切角：弦所对的圆所切的两条切线所夹的角叫做弦切角。
2. 弦切角的性质：弦切角等于它所对的圆心角。
八、垂径定理如果直径AB是弦CD所在直径的一部分，那么直径AB与弦CD 之间的两个角互为对补角。
九、余弦定理在一个圆中，以A、B、C为圆上三点，AC是AB所在弦的一部分，那么AC和BC之间的夹角的余弦等于AB与弦CD之间的夹角的正弦，即cos∠ACB = sin∠ACD。
十、弦长与圆心角之间的关系对于同一个圆上的弦，弦长相等的两个弦所对的圆心角相等，而对于相等的圆心角，这两个圆心角所对的弦长也相等。
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专题 圆中的角度关系的证明
【方法归纳】构造圆中的基本图形来实现角度的转化是证明角度问题常用的方法． 一、构造圆内接四边形转化角
1．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于E ，过B 作⊙O 的切线，交AC 的延长线于D ，求证：∠CBD ＝1
2
∠CAB ．
2．如图，⊙O 中，直径AB ⊥CD ，E 为DC 延长线上一点，BE 交⊙O 于F ，求证：∠EFC ＝∠BFD ．
二、构造直角三角形斜边上的高的基本图形转化角 3．如图，AB 为⊙O 的直径，DC 切⊙O 于C ，OD 交⊙O 于E ， »»CE
BE ，求证：∠AEC ＝∠D ．
三、构造切线长定理的基本图形转化角
4．如图，CA 、CD 分别与⊙O 相切于A 、D ，AB 为⊙O 的直径，CD 的延长线交⊙O 于E ，求证：∠B ＝2∠BDE ．
四、利用直径构造直角三角形转化角
5．如图，△ABC 内接于⊙O ，CD ⊥AB 于D ，求证：∠ACD ＝∠BCO ．
6．如图，P A 切⊙O 于点P ，AB
交⊙O 于C ，B 两点，求证：∠APC ＝∠B ．
D
B
A B
A
A。