高中数学必修一简单的幂函数公开课优质课比赛获奖课件
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幂函数公开课课件
3.自变量前的系数为1;
马鞍山市公开课
典型例题分析:
（2） y 2x 2
（4）y 5 x3 答案（1）（4）
红星中学
1、下面几个函数中，哪几个函数是幂函数？
（1）y x 2 ,
（3）y x 2 2 x
（5）y 2 x
马鞍山市公开课
幂函数性质的探究：
红星中学
y xa (a常数） 当a发生变化时这类函数 问题： 幂函数 有没有什么共性？有没有一些性质发生质的 变化？
acb
马鞍山市公开课
课时小结
红星中学
马鞍山市公开课
探究：
红星中学
当 y xa (a为常数） a 0 和 a 0 时，幂函数在第 一象限内的单调性的变化
马鞍山市公开课
即幂函数f ( x )
x 在[0, )上的增函数.
马鞍山市公开课
典型例题分析 : a 0.30.5 , b 0.50.3 , c 0.50.5 利用单 3、已知 调性比较 a, b, c 大小
分析：
红星中学
0 .5
0 .5
0 .3
0 .5
0 .5
所以
0 .5
0 .5
0 .3
探究：
结合前面研究指数函数与对数函数的方法， 我们应如何研究幂函数呢？ 作函数的图象→观察图象特征→总结函数性 质
马鞍山市公开课
幂函数性质的探究：
对于幂函数,我们现只讨论 a 1,2,3, 1 ,1 2 时的情形。
红星中学
探究：在同一坐标系中作出幂函数的图象。
y x, y x , y x , y
证明: 任取x1 , x2 [0,),且x1 x2 , 则
马鞍山市公开课
典型例题分析:
（2） y 2x 2
（4）y 5 x3 答案（1）（4）
红星中学
1、下面几个函数中，哪几个函数是幂函数？
（1）y x 2 ,
（3）y x 2 2 x
（5）y 2 x
马鞍山市公开课
幂函数性质的探究：
红星中学
y xa (a常数） 当a发生变化时这类函数 问题： 幂函数 有没有什么共性？有没有一些性质发生质的 变化？
acb
马鞍山市公开课
课时小结
红星中学
马鞍山市公开课
探究：
红星中学
当 y xa (a为常数） a 0 和 a 0 时，幂函数在第 一象限内的单调性的变化
马鞍山市公开课
即幂函数f ( x )
x 在[0, )上的增函数.
马鞍山市公开课
典型例题分析 : a 0.30.5 , b 0.50.3 , c 0.50.5 利用单 3、已知 调性比较 a, b, c 大小
分析：
红星中学
0 .5
0 .5
0 .3
0 .5
0 .5
所以
0 .5
0 .5
0 .3
探究：
结合前面研究指数函数与对数函数的方法， 我们应如何研究幂函数呢？ 作函数的图象→观察图象特征→总结函数性 质
马鞍山市公开课
幂函数性质的探究：
对于幂函数,我们现只讨论 a 1,2,3, 1 ,1 2 时的情形。
红星中学
探究：在同一坐标系中作出幂函数的图象。
y x, y x , y x , y
证明: 任取x1 , x2 [0,),且x1 x2 , 则
幂函数说课课件定稿-PowerPoint演示文稿省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
(1) 当α ＞1 时，幂函数增长先慢后快，是“激增 型”；
(2) 当 0＜α ＜1 时，幂函数增长先快后慢，是“缓 增型”.
当α <0时,幂函数在区间 0, 上是减函数，
在第一象限内,当x从右边趋向于原点时，图象在y 轴右方无限逼近y轴，当x从原点趋向于正无穷时图象在x 轴上方无限逼近x轴.
在第一象限内，在直线x =1旳右侧，α越小，幂函数图像 越接近x轴.
探究九：在 0,上哪些函数是增函数，
哪些函数是减函数？你能总结出规律吗？
学生活动：当α ＞0 时，幂函数是增函数；
当α ＜0 时，幂函数是减函数.
三、教学过程旳设计 3
进一步探究，归纳提 升
3
三、教学过程旳设计
进一步探究，归纳提
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
当α ＞0时，幂函数在0,是增函数，在第一象限
内，增长趋势却各不相同:
实例引出 形成概念
知识回忆 明确措施
学生活动 三、教学过程旳设计
创设情境，引出概念
问题1：指数函数旳定义是什么？
一般地，函数y a x a 0,且a 1叫做指数函数，
其中x是自变量，函数的定义域是R
问题2：现在我们把指数函数y ax a 0,且a 1
中a, x位置交换，即y xa,它还是函数吗？
实例引出 形成概念
知识回忆 明确措施
三、教学过程旳设计
知识回忆，明确措施
1.明拟定义 抽象概括
回忆：研究指数函数、对数函数旳过程与措施
2.绘制图象 3.探究性质 4.应用提升
描点法作图 数形结合 应用指数函数、对数函数定义及性质
三、教学过程旳设计
布置作业 巩固提升
回忆反思 建构体系
高一数学简单的幂函数PPT优秀课件
A.(-1,1) B.(0,√2) C.(0,1) D.(1,√2)
THANKS
FOR WATCHING
演讲人: XXX
PPT文档·教学课件
(2)g(x) 3x3 4x2 3x 2
(3)h(x) x3 1 1 x3
(4)u(x) ( x)2
拓展性训练题
1x2,x0 1.已知 f(x)0,x0, ，试判断这个偶 函性 .数
x2 1,x0.
拓展性训练题
2.已知函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3是偶函
数 ，则f(x)在(-∞,0]上是（ A ）
图像关于原点对称的函数 叫作奇函数
问题2：观察y=x2的图像，说出它 有哪些特征？ 图像回放
对任意的x，f(-x)=f(x) 图像关于y轴对称的函数 叫作偶函数
示范：判断f(x)=-2x5和f(x)=x4+2 的奇偶性
方法小结
基本训练题
讨论下列函数的奇偶性：
（1）f (x)
4 x2
x2 6x 9 3
简单的幂函数
y=x , y 1 ( y=x-1 ), y=x2
x
如果一个函数，底数是自变量x,
指数是常量，即
y x
这样的函数称为幂函数.
幂函数 的图像
y1
图
y x2
问题1：观察y=x3的图像，说出它 有哪些特征？ 图像回放
对任意的x，f(-x)=-f(x)
A.增加的 C.先增后减
B .减少的 D.先减后增
3.已知函数y=f(x)是奇函数，在[a,b]上是
减少的，则它在[-b,-a]上是（ B ）
A.增加的 C.先增后减
B .减少的 D.先减后增
拓展性训练题
THANKS
FOR WATCHING
演讲人: XXX
PPT文档·教学课件
(2)g(x) 3x3 4x2 3x 2
(3)h(x) x3 1 1 x3
(4)u(x) ( x)2
拓展性训练题
1x2,x0 1.已知 f(x)0,x0, ，试判断这个偶 函性 .数
x2 1,x0.
拓展性训练题
2.已知函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3是偶函
数 ，则f(x)在(-∞,0]上是（ A ）
图像关于原点对称的函数 叫作奇函数
问题2：观察y=x2的图像，说出它 有哪些特征？ 图像回放
对任意的x，f(-x)=f(x) 图像关于y轴对称的函数 叫作偶函数
示范：判断f(x)=-2x5和f(x)=x4+2 的奇偶性
方法小结
基本训练题
讨论下列函数的奇偶性：
（1）f (x)
4 x2
x2 6x 9 3
简单的幂函数
y=x , y 1 ( y=x-1 ), y=x2
x
如果一个函数，底数是自变量x,
指数是常量，即
y x
这样的函数称为幂函数.
幂函数 的图像
y1
图
y x2
问题1：观察y=x3的图像，说出它 有哪些特征？ 图像回放
对任意的x，f(-x)=-f(x)
A.增加的 C.先增后减
B .减少的 D.先减后增
3.已知函数y=f(x)是奇函数，在[a,b]上是
减少的，则它在[-b,-a]上是（ B ）
A.增加的 C.先增后减
B .减少的 D.先减后增
拓展性训练题
北师大版高中数学必修第一册 第二章 4-2《简单幂函数的图象和性质》课件PPT
1
1
∵点 −2, 4 在幂函数g(x)的图象上,∴4=(-2)b,解得b=-2.∴g(x)=x-2.
在同一直角坐标系中作出f(x)=x2和g(x)=x-2的图象,如图所示:
(1)当x>1或x<-1时,f(x)>g(x);
(2)当x=1或x=-1时,f(x)=g(x);
(3)当-1<x<1且x≠0时,f(x)<g(x).
数为常数;(3)后面不加任何项.反之,若一个函数为幂函数,则该函数必具有这种形式.
变式训练
如果幂函数 = 2 − 3 + 3
2 −−2
的图象不过原点,求实数m的取值.
解:由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2;
当m=1时,m2-m-2=-2,函数为y=x-2,其图象不过原点,满足条件;
D.既不是奇函数,又不是偶函数且在(0,+∞)上单调递减
典例剖析
例1
幂函数的概念
函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)单调递增,试确定m的值.
分析:由f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x>0时单调递增,可先利用幂函数的定义求出m的值,再利用单调性
奇函数
偶函数
奇函数
奇偶性
单调性
公共点
在R上是 增函数
在[0,+∞)上单调递增 ,
在(-∞,0]上 单调递减
在R上是 增函数
(0,0), (1,1)
=
既不是奇函数,
也不是偶函数
在[0,+∞)上是增函数
= −
奇函数
在(0,+∞)上 单调递减 ,
1
∵点 −2, 4 在幂函数g(x)的图象上,∴4=(-2)b,解得b=-2.∴g(x)=x-2.
在同一直角坐标系中作出f(x)=x2和g(x)=x-2的图象,如图所示:
(1)当x>1或x<-1时,f(x)>g(x);
(2)当x=1或x=-1时,f(x)=g(x);
(3)当-1<x<1且x≠0时,f(x)<g(x).
数为常数;(3)后面不加任何项.反之,若一个函数为幂函数,则该函数必具有这种形式.
变式训练
如果幂函数 = 2 − 3 + 3
2 −−2
的图象不过原点,求实数m的取值.
解:由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2;
当m=1时,m2-m-2=-2,函数为y=x-2,其图象不过原点,满足条件;
D.既不是奇函数,又不是偶函数且在(0,+∞)上单调递减
典例剖析
例1
幂函数的概念
函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)单调递增,试确定m的值.
分析:由f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x>0时单调递增,可先利用幂函数的定义求出m的值,再利用单调性
奇函数
偶函数
奇函数
奇偶性
单调性
公共点
在R上是 增函数
在[0,+∞)上单调递增 ,
在(-∞,0]上 单调递减
在R上是 增函数
(0,0), (1,1)
=
既不是奇函数,
也不是偶函数
在[0,+∞)上是增函数
= −
奇函数
在(0,+∞)上 单调递减 ,
数学必修Ⅰ北师大版25简单的幂函数PPT课件
10
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
11
x2 6x 9 3
(2)g(x) 3x3 4x 2 3x 2
(3)h(x) x 3 1 1 x 3
(4)u(x) ( x )2
6
拓展性训练题
1x2,x0 1.已知 f(x)0,x0, ，试判断
2.已知函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3是偶函
数 ，则f(x)在(-∞,0]上是（ A ）
A.增加的 C.先增后减
B .减少的 D.先减后增
3.已知函数y=f(x)是奇函数，在[a,b]上是
减少的，则它在[-b,-a]上是（ B ）
A.增加的 C.先增后减
B .减少的 D.先减后增
8
拓展性训练题
4.已知y=f(x)是定义在（-1，1）上的奇函数， 且在（-1，1）上是单调递减的，则不等
式f(1-x)+f(1-x2)<0的解集是（ ）C
A.(-1,1) B.(0,√2) C.(0,1) D.(1,√2)
9
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
简单的幂函数
1
y=x , y 1 ( y=x-1 ), y=x2
x
如果一个函数，底数是自变量x,
指数是常量，即
y x
这样的函数称为幂函数.
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
11
x2 6x 9 3
(2)g(x) 3x3 4x 2 3x 2
(3)h(x) x 3 1 1 x 3
(4)u(x) ( x )2
6
拓展性训练题
1x2,x0 1.已知 f(x)0,x0, ，试判断
2.已知函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3是偶函
数 ，则f(x)在(-∞,0]上是（ A ）
A.增加的 C.先增后减
B .减少的 D.先减后增
3.已知函数y=f(x)是奇函数，在[a,b]上是
减少的，则它在[-b,-a]上是（ B ）
A.增加的 C.先增后减
B .减少的 D.先减后增
8
拓展性训练题
4.已知y=f(x)是定义在（-1，1）上的奇函数， 且在（-1，1）上是单调递减的，则不等
式f(1-x)+f(1-x2)<0的解集是（ ）C
A.(-1,1) B.(0,√2) C.(0,1) D.(1,√2)
9
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
简单的幂函数
1
y=x , y 1 ( y=x-1 ), y=x2
x
如果一个函数，底数是自变量x,
指数是常量，即
y x
这样的函数称为幂函数.
高中数学(北师大)必修一优质课件：第2章 §5 简单的幂函数
×
1
2.函数y= x的3 图像是(
)B
解 内析的：图函 像恒数过y=定x13点是(幂1,函1),数排,除幂A函,D数. 在当第x>一1时象,限x> ，1 故幂函数y= 的图像在直线y=x的下方,排除C. x3
1
x3
3.已知函数 y=f(x)是B ）
底数是自变量,只是指数不同.
1.了解简单幂函数的概念,会利用定义证明简单函数 的奇偶性.（重点） 2.了解利用奇偶性画函数图像和研究函数的方法. (难点） 3.培养学生从特殊归纳出一般的意识.
探究点1.幂函数的定义：
如果一个函数，底数是自变量 x ,指数是常 量 ,即 y x ，这样的函数称为幂函数.
补全下面四个函数的图像
y=-x3
y y=x-1
y
y=x2+1
y
y
ox
1
o xo xo x
y=-x4
1.判断题 （1）函数f(x)=x2,x[-1,1)为偶函数.( ) ×
（2）函数y=f(x)在定义域R上是奇函数,且在(-,0] 上是增加的,则f(x)在[0,+ )上也是增加的.( ) √ （3）函数y=f(x)在定义域R上是偶函数,且在 (-,0]上是减少的,则f(x)在[0,+ )上也是减少的.( )
y
0
x
(1)奇函数
y
y 0x
-3
(2)偶函数
1
-1 O x
(3)非奇非偶函数
思考：
已知奇函数 f (x) x3 , 则 f (2) = -8 , f (2) = 已知偶函数 f (x) x2 , 则 f (2) = 4 , f (2) =
8. 4.
例1 判断f(x)=-2x5和g(x)=x4+2的奇偶性. 解: 因为在R上f(x)=-2x5， f(-x)=-2(-x)5=2x5，所以 f(-x)=-f(x)， 于是f(x)是奇函数. 而g(x)=x4+2,g(-x)=(-x)4+2=x4+2， 所以g(-x)=g(x). 于是g(x)是偶函数.
1
2.函数y= x的3 图像是(
)B
解 内析的：图函 像恒数过y=定x13点是(幂1,函1),数排,除幂A函,D数. 在当第x>一1时象,限x> ，1 故幂函数y= 的图像在直线y=x的下方,排除C. x3
1
x3
3.已知函数 y=f(x)是B ）
底数是自变量,只是指数不同.
1.了解简单幂函数的概念,会利用定义证明简单函数 的奇偶性.（重点） 2.了解利用奇偶性画函数图像和研究函数的方法. (难点） 3.培养学生从特殊归纳出一般的意识.
探究点1.幂函数的定义：
如果一个函数，底数是自变量 x ,指数是常 量 ,即 y x ，这样的函数称为幂函数.
补全下面四个函数的图像
y=-x3
y y=x-1
y
y=x2+1
y
y
ox
1
o xo xo x
y=-x4
1.判断题 （1）函数f(x)=x2,x[-1,1)为偶函数.( ) ×
（2）函数y=f(x)在定义域R上是奇函数,且在(-,0] 上是增加的,则f(x)在[0,+ )上也是增加的.( ) √ （3）函数y=f(x)在定义域R上是偶函数,且在 (-,0]上是减少的,则f(x)在[0,+ )上也是减少的.( )
y
0
x
(1)奇函数
y
y 0x
-3
(2)偶函数
1
-1 O x
(3)非奇非偶函数
思考：
已知奇函数 f (x) x3 , 则 f (2) = -8 , f (2) = 已知偶函数 f (x) x2 , 则 f (2) = 4 , f (2) =
8. 4.
例1 判断f(x)=-2x5和g(x)=x4+2的奇偶性. 解: 因为在R上f(x)=-2x5， f(-x)=-2(-x)5=2x5，所以 f(-x)=-f(x)， 于是f(x)是奇函数. 而g(x)=x4+2,g(-x)=(-x)4+2=x4+2， 所以g(-x)=g(x). 于是g(x)是偶函数.
高中数学 简单的幂函数 北师大版必修1精品PPT课件
这样的函数称为_幂_函__数_.
特点:①底数是自变量 x ②指数是常量 ③ x 的
系数是1。
练习：1.下列函数中，是幂函数的有_③___④__⑤
① y = 2x2 ② y = x2 +x
③ y = x－4 ⑤y = x3
1 ④ y = x2
画出函数 f (x) = x3的图象 问题1 f (x) = x3的
第二步：法一、求出f (－x) ，若f(－)= x－ f(x)则该 函数是奇函数；若 f(－)x=f(x)，则该函数是偶函
数；否则函数是非奇非偶函数。 法二、对于容易画图象的函数也可利用
图象进行判断。
： 想一想 已知函数f(x)是偶函数，在（-，0]上
的图象如图，你能试作出[0，）内的图象吗？
y
0
图象关于原点 对称。
x … -2 -1 0 1 2 …
f ( x) … -8 -1 0
18…
定义1：像这样 图象关于原点
y •
对称的函数叫 做奇函数。
•o• •
？探索 f (－x) 与f (x) 的关系
f(－ x )= (－ x)3= － xx3= － f(x)
• 定义2：如果对于函数f ( x) 的定义域内任意一个x，
练习
判断下列函数的奇偶性； (1) f (x)＝x＋x3＋x5； (2) f (x)＝x2＋1； (3) f (x)＝x＋1； (4) f (x)＝x2，x∈[－1, 3]； (5) f (x)＝0.
既是奇函数又是偶函数的函数是函 数值为0的常值函数. 前提是定义域关于 原点对称.
学习并没有结束，希望继续努力
x
： 想一想 已知函数f(x)是奇函数，在（-，0]上
的图象如图，你能试作出 [0，）内的图象。
特点:①底数是自变量 x ②指数是常量 ③ x 的
系数是1。
练习：1.下列函数中，是幂函数的有_③___④__⑤
① y = 2x2 ② y = x2 +x
③ y = x－4 ⑤y = x3
1 ④ y = x2
画出函数 f (x) = x3的图象 问题1 f (x) = x3的
第二步：法一、求出f (－x) ，若f(－)= x－ f(x)则该 函数是奇函数；若 f(－)x=f(x)，则该函数是偶函
数；否则函数是非奇非偶函数。 法二、对于容易画图象的函数也可利用
图象进行判断。
： 想一想 已知函数f(x)是偶函数，在（-，0]上
的图象如图，你能试作出[0，）内的图象吗？
y
0
图象关于原点 对称。
x … -2 -1 0 1 2 …
f ( x) … -8 -1 0
18…
定义1：像这样 图象关于原点
y •
对称的函数叫 做奇函数。
•o• •
？探索 f (－x) 与f (x) 的关系
f(－ x )= (－ x)3= － xx3= － f(x)
• 定义2：如果对于函数f ( x) 的定义域内任意一个x，
练习
判断下列函数的奇偶性； (1) f (x)＝x＋x3＋x5； (2) f (x)＝x2＋1； (3) f (x)＝x＋1； (4) f (x)＝x2，x∈[－1, 3]； (5) f (x)＝0.
既是奇函数又是偶函数的函数是函 数值为0的常值函数. 前提是定义域关于 原点对称.
学习并没有结束，希望继续努力
x
： 想一想 已知函数f(x)是奇函数，在（-，0]上
的图象如图，你能试作出 [0，）内的图象。
北师大版高中数学必修1 第五章简单的幂函数课件(共38张PPT)
（2）y=2x2 （4）y=1
(5) y=x2 +2
(6) y=-x3
课堂典例讲练：
例1 画出函数f(x)=x3的图像，讨论其单调性
y=x3是R 上的增函
y
数
一般地，奇函数 的图象关于原点 对称，反过来，
如果一个函数的
大家还有 什么发现？
函数的图象关于原点对称
1-
o
|
-1
|1
-
-1
图象关于原点对 称，那么这个函 数x 是奇函数。
都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 如 果 函 数 f(x) 是 奇 函 数 或 偶 函 数 ， 那 么
我们就说函数f(x)具有奇偶性
课堂典例讲练:
例2 判断函数（1）f(x)= -2x5 （2）g(x)=x4+2 （3）h(x)=x4+2(x>0)的
奇偶性
加 油
补全下面四个函数的图像
探究新知：
底数为自变 量
指数为常 数
一般的形如:y= 1ｘα (α R)的函数我们叫做幂
函数，其中x是自变量，α是常数
单项式
幂函数定义域随指数α的不同而不同，未知数x是底数 （在中学阶段只关注α=1,2,3，1/2，-1这几种情形）
练习1、下列函数中，哪几个
函数是幂函数？
（1）y = 1
x2
（3）y=2x
x 01
-2
1
y x2 0 1
-3
24
22
-4
(-2,4)
4
3
2
1
(-1,1)
y=x3 (2,4) y=x2
y=x
(1,1)
(4,2)
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(0, )上单调递减，求 m，n，f (x) .
解析：由题意知
m2 2m 2 1
n
2
2n
3
0
，则
m 1 1 n 3
又 n N ，则 n 1 或 n 2
所以 m 1, n 1或2 ， f (x) x4 或 f (x) x3
奇偶性
观察幂函数的图像我们会发现：
有些幂函数图像关于原点对称，如 y x1，y x，y x3.
北师大版必修一第二章 函数
简单的幂函数
问题导入
我们先看下面几个具体问题：
(1)如果张红买了每千克1元的蔬菜x千克,那么她需要支____y__x_____元. y是x的一次函数
(2)如果正方形的边长为 x,那么正方形的面积__y___x_2 . y 是x的二次函数
(3)如果立方体的边长为x,那么立方体的体积__y__x_3__. y是x的三次函数
与
性
质
(1,1)
1
1
图像性质 例2.（1）比较 30.2 与 0.2 的大小
解析：函数 f (x) x0.2在 (0, )上单调递增
Q3 30.2 0.2
（2）幂函数 f (x) x 满足 f (2) f (8)，则 f (x) 是否过 (0, 0) ？
解析：Q f (2) f (8) 幂函数 f (x) x 在 (0, )上单调递减.
且 f (x) (x)3 x3 －f (x)，
所以 y x3为奇函数，又 3 0， 所以 y x3在 (0, ) 单调递减，
故草图如右图所示：
奇偶性
例3.判断下列幂函数是否有奇偶性，若有，画出它的草图
1
（1）y x 2 （2）y x3
（3） y x4
解析：（3）函数的定义域为 R，定义域关于原点对称，
且 f (x) (x)4 x4 f (x)，
所以 y x4 为偶函数，又 4 0， 所以 y x4 在 (0, ) 单调递增，
故草图如右图所示：
奇偶性
练一练：结合函数奇偶性画下列函数的草图
1
（1）y x3
（2）y x2
1
（3）y x 4
小结归纳
这节课我们主要学习了 （1） 简单幂函数的概念和特点 （2）判断函数奇偶性的方法和步骤 （3） 奇(偶)函数图像特点
⑤ y = x3
⑥ y 2x
2.已知点
(2, 1 ) 在幂函数
4
f (x)
的图像上.
求 f (x) 的解析式。
Байду номын сангаас
f (x) x2
图像性质
例1 画出函数 y x3 的图像，讨论其单调性.
列表
描点连线后图像如图所示.
由图可知 y x3 的单调性是 R上的增函数！
图像性质
简
单
幂
函
数
的
图
像
R
R
R
(,0) U(0, )
法二、对于容易画图象的函数也可利用 图象进行判断。
奇偶性
例4.判断下列幂函数是否有奇偶性，若有，画出它的草图
1
（1）y x 2 （2）y x3
（3） y x4
解析：（1）函数的定义域为 [0, )，不关于原点对称，故为非奇非偶函数
（2）函数的定义域为 (, 0) U(0, )，定义域关于原点对称，
一般地，如果对于函数 f (x)的定义域内任意一个 x 都有 f (x) f (x),那么函数 f (x) 就叫偶函数。
奇偶性
判断函数的奇偶性的步骤： 第一步：考查定义域是否关于原点对称，若不 对称，则该函数不具有奇偶性；若对称，则进 行第二步的判断。 第二步：法一、求出f (－x) ，若f (－x) = －f (x)则该 函数是奇函数；若 f (－x) = f (x) ，则该函数是偶函 数；否则函数是非奇非偶函数。
若 f (x) 为奇函数，则对函数定义域内任意一个x，都有 f (x) －f (x) 若 f (x) 为偶函数，则对函数定义域内任意一个x，都有 f (x) f (x)
函数奇偶性定义：
一般地，如果对于函数f (x) 的定义域内任意一个x， 都有 f (x) －f (x), 那么函数 f (x) 叫奇函数。
作业 1、课本 习题2-5 A组 第2题
P55 10题
2.如图(1)，给出奇函数y＝f(x)的局部图象， 试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值；
如图(2)，给出偶函数y＝f(x)的局部图象， 比较f(1)与f(3)的大小，并试作出它的y轴 右侧的图象．
谢谢
则 0，则 f (x) 不过 (0, 0) .
图像性质
例2.（3）幂函数 f (x) (m2 m 1)xm2m3 在 (0, ) 上单调递增，求 f (x).
解析：由题意知
m2 m 1 1 m2 m 3 0
，则 m 3
所以 f (x) x3
小试牛刀
练一练：幂函数 f (x) (m2 2m 2)xn22n3(n N ) 在
探究新知
幂函数的定义：
如果一个函数，底数是自变量 x， 指数是
常量 ，形如: y x
这样的的函数称为幂函数.
幂函数特征: 1.幂函数的系数是1； 2.底数是自变量，指数为常数.
概念强化
1.下列函数中，是幂函数的有 ③ ④ ⑤ _
① y = 2x2
② y = x2 + x
③ y = x－4
1 ④ y = x2
(4)如果某人 x s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度__y___x__1 _. y是x的反比例函数
1
(5)如果正方形的面积为x，那么正方形的边长_y___x_2_. y是x的开方函数
问题导入
思考：以上问题中的函数有什么异同？
1
y x y x2 y x3 y x1 y x2
共同特征：函数解析式是幂的形式，且指数是 常数，底数是自变量x。
有些幂函数图像关于y轴对称，如 y x2 .
奇函数：像这样图像关于原点对称的函数叫做奇函数. 偶函数：像这种图像关于y轴对称的函数叫偶函数.
注意：奇（偶）函数可以不是幂函数，只需要图像关于
原点（y轴）对称即可，如 y x2 1为偶函数
奇偶性
？探索奇（偶）函数中 f (x) 与 f (x) 的关系
解析：由题意知
m2 2m 2 1
n
2
2n
3
0
，则
m 1 1 n 3
又 n N ，则 n 1 或 n 2
所以 m 1, n 1或2 ， f (x) x4 或 f (x) x3
奇偶性
观察幂函数的图像我们会发现：
有些幂函数图像关于原点对称，如 y x1，y x，y x3.
北师大版必修一第二章 函数
简单的幂函数
问题导入
我们先看下面几个具体问题：
(1)如果张红买了每千克1元的蔬菜x千克,那么她需要支____y__x_____元. y是x的一次函数
(2)如果正方形的边长为 x,那么正方形的面积__y___x_2 . y 是x的二次函数
(3)如果立方体的边长为x,那么立方体的体积__y__x_3__. y是x的三次函数
与
性
质
(1,1)
1
1
图像性质 例2.（1）比较 30.2 与 0.2 的大小
解析：函数 f (x) x0.2在 (0, )上单调递增
Q3 30.2 0.2
（2）幂函数 f (x) x 满足 f (2) f (8)，则 f (x) 是否过 (0, 0) ？
解析：Q f (2) f (8) 幂函数 f (x) x 在 (0, )上单调递减.
且 f (x) (x)3 x3 －f (x)，
所以 y x3为奇函数，又 3 0， 所以 y x3在 (0, ) 单调递减，
故草图如右图所示：
奇偶性
例3.判断下列幂函数是否有奇偶性，若有，画出它的草图
1
（1）y x 2 （2）y x3
（3） y x4
解析：（3）函数的定义域为 R，定义域关于原点对称，
且 f (x) (x)4 x4 f (x)，
所以 y x4 为偶函数，又 4 0， 所以 y x4 在 (0, ) 单调递增，
故草图如右图所示：
奇偶性
练一练：结合函数奇偶性画下列函数的草图
1
（1）y x3
（2）y x2
1
（3）y x 4
小结归纳
这节课我们主要学习了 （1） 简单幂函数的概念和特点 （2）判断函数奇偶性的方法和步骤 （3） 奇(偶)函数图像特点
⑤ y = x3
⑥ y 2x
2.已知点
(2, 1 ) 在幂函数
4
f (x)
的图像上.
求 f (x) 的解析式。
Байду номын сангаас
f (x) x2
图像性质
例1 画出函数 y x3 的图像，讨论其单调性.
列表
描点连线后图像如图所示.
由图可知 y x3 的单调性是 R上的增函数！
图像性质
简
单
幂
函
数
的
图
像
R
R
R
(,0) U(0, )
法二、对于容易画图象的函数也可利用 图象进行判断。
奇偶性
例4.判断下列幂函数是否有奇偶性，若有，画出它的草图
1
（1）y x 2 （2）y x3
（3） y x4
解析：（1）函数的定义域为 [0, )，不关于原点对称，故为非奇非偶函数
（2）函数的定义域为 (, 0) U(0, )，定义域关于原点对称，
一般地，如果对于函数 f (x)的定义域内任意一个 x 都有 f (x) f (x),那么函数 f (x) 就叫偶函数。
奇偶性
判断函数的奇偶性的步骤： 第一步：考查定义域是否关于原点对称，若不 对称，则该函数不具有奇偶性；若对称，则进 行第二步的判断。 第二步：法一、求出f (－x) ，若f (－x) = －f (x)则该 函数是奇函数；若 f (－x) = f (x) ，则该函数是偶函 数；否则函数是非奇非偶函数。
若 f (x) 为奇函数，则对函数定义域内任意一个x，都有 f (x) －f (x) 若 f (x) 为偶函数，则对函数定义域内任意一个x，都有 f (x) f (x)
函数奇偶性定义：
一般地，如果对于函数f (x) 的定义域内任意一个x， 都有 f (x) －f (x), 那么函数 f (x) 叫奇函数。
作业 1、课本 习题2-5 A组 第2题
P55 10题
2.如图(1)，给出奇函数y＝f(x)的局部图象， 试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值；
如图(2)，给出偶函数y＝f(x)的局部图象， 比较f(1)与f(3)的大小，并试作出它的y轴 右侧的图象．
谢谢
则 0，则 f (x) 不过 (0, 0) .
图像性质
例2.（3）幂函数 f (x) (m2 m 1)xm2m3 在 (0, ) 上单调递增，求 f (x).
解析：由题意知
m2 m 1 1 m2 m 3 0
，则 m 3
所以 f (x) x3
小试牛刀
练一练：幂函数 f (x) (m2 2m 2)xn22n3(n N ) 在
探究新知
幂函数的定义：
如果一个函数，底数是自变量 x， 指数是
常量 ，形如: y x
这样的的函数称为幂函数.
幂函数特征: 1.幂函数的系数是1； 2.底数是自变量，指数为常数.
概念强化
1.下列函数中，是幂函数的有 ③ ④ ⑤ _
① y = 2x2
② y = x2 + x
③ y = x－4
1 ④ y = x2
(4)如果某人 x s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度__y___x__1 _. y是x的反比例函数
1
(5)如果正方形的面积为x，那么正方形的边长_y___x_2_. y是x的开方函数
问题导入
思考：以上问题中的函数有什么异同？
1
y x y x2 y x3 y x1 y x2
共同特征：函数解析式是幂的形式，且指数是 常数，底数是自变量x。
有些幂函数图像关于y轴对称，如 y x2 .
奇函数：像这样图像关于原点对称的函数叫做奇函数. 偶函数：像这种图像关于y轴对称的函数叫偶函数.
注意：奇（偶）函数可以不是幂函数，只需要图像关于
原点（y轴）对称即可，如 y x2 1为偶函数
奇偶性
？探索奇（偶）函数中 f (x) 与 f (x) 的关系