二次函数中三角形相似压轴综合题专题汇编
则∠ NBC+∠ BNC=90°，NC=m，
BC= 4 m2 10 m 2 2 4 m2 10 m
33
33
∵ ∠ NBP=90°，∴ ∠ NBC+∠ ABO=90°，
∴ ∠ BNC=∠ ABO，
∴ Rt△ NCB∽ Rt△ BOA
∴ NC CB
,即
m
4 3
m2
，
∴
，
∴16a2=4，
a=± ，
∵a＞0，
∴a= ；
∴B（1， ）；
（3）如图 3，设 AC=nBC， 由（2）同理可知：A 的横坐标是 B 的横坐标的 n 倍， 则设 B（m，am2），则 A（﹣mn，am2n2）， ∴AD=am2n2， 过 B 作 BF⊥x 轴于 F， ∴DE∥BF， ∴△BOF∽△EOD， ∴==，
∴ B（0，2）， ∵ 抛物线 y 4 x2 bx c 经过点 A(3, 0) ，
3
∴ 4 32 3b 2 0 ，∴ b= 10
3
3
∴ 抛物线的解析式为 y 4 x2 10 x 2 ； 33
（2）∵ MN x 轴，M（m，0），∴ N( m, 4 m2 10 m 2 ) 33
△OEB，则
，得 a 的值及 B 的坐标；
（3）如图 3，设 AC=nBC 由（2）同理可知：A 的横坐标是 B 的横坐标的 n 倍， 则设 B（m，am2），则 A（﹣mn，am2n2），分别根据两三角形相似计算 DE 和 CO 的长即可得出结论． 【解答】解：（1）如图 1，∵抛物线 y=ax2 的对称轴是 y 轴，且 AB∥x 轴， ∴A 与 B 是对称点，O 是抛物线的顶点， ∴OA=OB， ∵∠AOB=60°， ∴△AOB 是等边三角形， ∵AB=2，AB⊥OC， ∴AC=BC=1，∠BOC=30°， ∴OC= ， ∴A（﹣1， ）， 把 A（﹣1， ）代入抛物线 y=ax2（a＞0）中得：a= ； （2）如图 2，过 B 作 BE⊥x 轴于 E，过 A 作 AG⊥BE，交 BE 延长线于点 G，交 y 轴于 F，[来源:学科网 ZXXK] ∵CF∥BG，
∴
，
∴ = ，DE=am2n，
∴= ，
∵OC∥AE， ∴△BCO∽△BAE，
∴
，
∴
=，
∴CO= ∴DE=CO．
=am2n，
24（ 山东淄博）．如图 1，经过原点 O 的抛物线 y ax2 bx(a 0) 与 x 轴交于另 一点 A( 3 , 0) ，在第一象限内与直线 y x 交于点 B(2,t) ．
【考点】HF：二次函数综合题． 【分析】（1）如图 1，由条件可知△AOB 为等边三角形，则可求得 OA 的长，在 Rt△AOD 中可求得 AD 和 OD 的长，可求得 A 点坐标，代入抛物线解析式可得 a 的值；
（2）如图 2，作辅助线，构建平行线和相似三角形，根据 CF∥BG，由 A 的横坐 标为﹣4，得 B 的横坐标为 1，所以 A（﹣4，16a），B（1，a），证明△ADO∽
①有（1）知直线 AB 的解析式为 y 2 x 2 ，OA=3，OB=2 3
∵ 在△ APM 中和△ BPN 中，∠ APM=∠ BPN, ∠ AMP=90°， 若使△ APM 中和△ BPN 相似，则必须∠ NBP=90°或∠ BNP =90°， 分两种情况讨论如下：
（I）当∠ NBP=90°时，过点 N 作 NC y 轴于点 C，
二次函数中三角形相似压轴综合题专题汇编
23（ 河南）. 如图，直线 y 2 x c 与 x 轴交于点 A(3, 0) ，与 y 轴交于点 B ， 3
抛物线 y 4 x2 bx c 经过点 A ， B . 3
（1）求点 B 的坐标和抛物线的解析式； （2）M（m，0）为 x 轴上一个动点，过点 M 垂直于 x 轴的直线与直线 AB 和抛 物线分别交于点 P、N， ①点 M 在线段 OA 上运动，若以 B ， P ， N 为顶点的三角形与 APM 相似，求 点 M 的坐标； ②点 M 在 x 轴上自由运动，若三个点 M ， P ， N 中恰有一点是其它两 点所连 线段的中点（三点重合除外），则称 M ， P ， N 三点为“共谐点”.请直接写出使 得 M ， P ， N 三点成为“共谐点”的 m 的值.
10 3
m
，解得 m=0（舍去）或 m= 11
OB OA 2
3
8
∴ M（ 11 ，0）； 8
考点：二次函数综合题. 28（ 江苏南通）．已知直线 y=kx+b 与抛物线 y=ax2（a＞0）相交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴正半轴相交于点 C，过点 A 作 AD⊥x 轴，垂足为 D． （1）若∠AOB=60°，AB∥x 轴，AB=2，求 a 的值； （2）若∠AOB=90°，点 A 的横坐标为﹣4，AC=4BC，求点 B 的坐标； （3）延长 AD、BO 相交于点 E，求证：DE=CO．
∴
，
∵AC=4BC，
∴ =4，
∴AF=4FG， ∵A 的横坐标为﹣4， ∴B 的横坐标为 1， ∴A（﹣4，16a），B（1，a）， ∵∠AOB=90°， ∴∠AOD+∠BOE=90°，
∵∠AOD+∠DAO=90°， ∴∠BOE=∠DAO， ∵∠ADO=∠OEB=90°， ∴△ADO∽△OEB，
∴
2 （1）求这条抛物线的表达式； （2）在第四象限内的抛物线上有一点 C ，满足以 B,O,C 为顶点的三角形的面积
为 2，求点 C 的坐标； （3）如图 2，若点 M 在这条抛物线上，且 MBO ABO ，在（2）的条件下， 是否存在点 P ，使得 POC ∽ MOB ?若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请 说明理由．
【答案】（1）B（0，2）， y 4 x2 10 x 2 ；（2）①点 M 的坐标为（ 11 -1 或 m= 1 或 m= 1 .
2
4
2
试题解析：
（1）直线 y 2 x c 与 x 轴交于点 A(3, 0) ， 3
∴ 2 3 c 0 ，解得 c=2 3
中考数学复习《二次函数相似三角形综合压轴题》专项提升训练(附答案)
中考数学复习《二次函数相似三角形综合压轴题》专项提升训练(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．已知：二次函数y=x2−(m+2)x+m−1．(1)求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；(2)设抛物线与x轴的两个交点是A、B（A在原点左边，B在原点右边），且AB=3，求此时抛物线的解析式；(3)在（2）的前提下，若抛物线与y轴交于点C，问在y轴的正半轴上是否存在点D，使△DOB 和△AOC相似？2．如图，抛物线：y=x2+bx+c的图像与x轴交于A和B(−3，0)两点，与y轴交于C(0，−3)，直线y=x+m经过点B，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E，与对称轴交于点F．(1)求抛物线的解析式和E点坐标；(2)在y轴上是否存在点P，使得以D、E、P为顶点的三角形与△BOD相似，若存在，直接写出点P的坐标：若不存在，试说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−3与x轴交于A(1,0)和B(3,0)，与y轴交于点C．(1)求该抛物线的解析式；(2)绕点A旋转的直线l：y=kx+b1与y轴相交于点D，与抛物线相交于点E，且满足AD=2AE时，求直线l的解析式；(3)点P为抛物线上的一点，点Q为抛物线对称轴上的一点，是否存在以点B，C，P，Q为顶点的平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．已知：抛物线y=ax2+bx+4与x轴相交于A(−2，0)，B(8，0)两点，与y轴相交于点C，连接BC．(1)求抛物线的表达式并直接写出点C的坐标；(2)如图，点M是抛物线第一象限内的一点，连接MB，MC，求△MBC面积的最大值；(3)点P也是抛物线第一象限内的一点，过点P作PN⊥BC于N，连接PC，当以P、C、N为顶点的三角形与△BOC相似时，直接写出点P的坐标．5．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+3ax+c与x轴交于点A，B（点A 在点B的左边），与y轴负半轴交于点C，且OC=4，直线y=−x+b经过点A，C，点D为y轴左侧抛物线上一点，连接CD，AD．(1)求抛物线的函数表达式；(2)当点D在直线AC下方时，连接DB交AC于点E，求S△ADC−S△BDC的最大值及此时点D 的坐标；(3)是否存在点D，使∠CBA=45°+∠DCA？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，二次函数y=mx2+(m2+3)x−(6m+9)的图象与x轴交于点A、B，与y 轴交于点C．连接AC、BC，已知B(3,0)．(1)求直线BC的函数表达式；(2)Q为抛物线上一点，若以B、C、Q为顶点的三角形和△OAC相似，求点Q的坐标；(3)P为抛物线上一点（异于A点），若S△PBC=S△ABC，请直接写出P点的坐标．7．如图，抛物线y1=ax2−6ax+c(a≠0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC，设AC关系式为y2=kx+b．若OB=2，tan∠OBC=2，D是y轴右侧抛物线上一点，设其横坐标为m，DE⊥AC于点E．(1)求抛物线的函数关系式；(2)当点D位于直线AC下方时，求DE长度的最大值；(3)当△CDE与△AOC相似时，求m的值．8．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A(−6,0),B(2,0),C(0,6)三点．(1)求拋物线的函数表达式；(2)如图1，P为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC面积为15，求点P的坐标；2(3)如图2，D为抛物线的顶点，在线段AD上是否存在点M，使得以M,A,O为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴分别相交于A(−2,0)，B(8,0)两点(1)求a，b的值；(2)点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．①求DE+BF的最大值；②G是AC的中点，若以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，求点D的坐标．x2＋bx＋c与y轴交于点C(0,−4)，与x轴交于点A，B，且B 10．如图，抛物线y=12点的坐标为(2,0)．(1)求该抛物线的解析式．(2)若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．(3)若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．11．如图，抛物线y=−x2+bx+c的顶点D坐标为(1,4)，且与x轴相交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴相交于点C，点E在x轴上方且在对称轴左侧的抛物线上运动，点F在抛物线上并且和点E关于抛物线的对称轴对称，作矩形EFGH，其中点G，H都在x 轴上．(1)求抛物线解析式；(2)设点F横坐标为m①用含有m的代数式表示点E的横坐标为______(直接填空)；②当矩形EFGH为正方形时，求点G的坐标；③连接AD，当EG与AD垂直时，求点G的坐标；(3)过顶点D作DM⊥x轴于点M，过点F作FP⊥AD于点P，直接写出△DFP与△DAM相似时，点F的坐标．12．如图，直线y=x−3与x轴，y轴分别交于点B(3，0)，C(0，−3)过B，C两点的抛物线y=−x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．(1)求该抛物线的解析式；(2)当0<x<3时，在抛物线上存在点E，使△CBE的面积有最大值，求点E坐标(3)连接AC，点N在x轴上，是否存在以B，P，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．13．如图1，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=−1，且经过A(1,0),C(0,3)两点，与x轴的另一个交点为B，经过B、C两点作直线BC，点D为第二象限内抛物线上一动点．(1)求抛物线的函数表达式；(2)求△DBC面积最大值及此时点D坐标；(3)如图2，点M也是第二象限抛物线上一个动点，直线OM交BC于点N，是否存在这样的点M，使以B、O、N为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，求出点M坐标，若不存在，请说明理由．x2+bx+c与x轴相交于点A，B，与y轴14．已知在平面直角坐标系中，抛物线y=−12相交于点C，直线y=x+4经过A，C两点(1)求抛物线的表达式；(2)如果点P，Q在抛物线上，并与对称轴对称，（P点在对称轴左边），且PQ=2AO，求P，Q的坐标；(3)动点M在直线y=x+4上且△ABC与△COM相似求点M的坐标．15．如图抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于A B两点点A(2,0)且OA=2OB与y轴交于点C连接BC D为第一象限内抛物线上一动点过点D作DE⊥OA于点E 与AC交于点F设点D的横坐标为m．(1)求抛物线的表达式；(2)求△ACD面积的最大值及此时D点的坐标；(3)抛物线上是否存在点D使得以点O D E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在求出m的值；若不存在请说明理由．16．已知抛物线y=x2+2x−3的图像经过点A(−3，0)点B(n，0)且与y轴交于点C．(1)求出点B的坐标；(2)若点P为x轴上方的抛物线上任意一点．①如图1 若点Q为线段BC上一点连接PQ PQ交x轴于点M连接CM当∠MCQ=45°时求点M的坐标；②如图2 连接BC、BP若满足∠ABP=2∠BCO求此时点P的坐标．17．已知直线l:y=kx+b(k>0)与抛物线C:y=ax2(a>0)有唯一公共点P直线l分别交x轴y轴于A，B两点．(1)如图1 当a=1k=1时求b的值；时过点A作直线l的垂线交y轴于点T求T坐标；(2)如图2 当a=12(3)如图3 当k=1时平移直线l使之与抛物线C交于M，N两点点P关于y轴的对称点为Q求证：∠MQP=∠NQP．18．在平面直角坐标系xOy中已知抛物线y=ax2−3ax+c与x轴分别交于A(−1,0) B两点与y轴交于点C(0,−2)．(1)求抛物线的函数表达式；的最大值；(2)如图1 点D为第四象限抛物线上一点连接AD，BC交于点E求DEAE(3)如图2 连接AC，BC过点O作直线l∥BC点P Q分别为直线l和抛物线上的点试探究：在第一象限是否存在这样的点P Q使△PQB∽△CAB．若存在请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在请说明理由．19．如图1 已知二次函数y=x2+bx+c经过A(−2,0)C(0,−6)并交x轴于另一点B 点E是线段BC上的动点过A E两点的直线与抛物线在第四象限相交于点D．(1)求二次函数的解析式；取最大值时求点D的坐标；(2)当EDEA(3)如图2 连接AC在抛物线上存在点F使△OEF∽△COA求出所有点F的坐标；(4)如图3 过点E作EH⊥x轴于点H以EH为对角线作正方形EGHI当顶点G恰好落在抛物线上时请直接写出点G的坐标．20．已知在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于点A(−2,0)点B(4,0)交y轴于点C．(1)求抛物线的解析式：(2)如图1 点P在抛物线第一象限上过点P作PD⊥x轴于点D交BC于点E设点P的横坐标为t PE的长为d求d与t的函数关系式：（不要求写出t的取值范围）(3)如图2 在（2）的条件下点Q在抛物线第四象限上连接AQ AP AP与BC交于点F∠CFA−∠BAQ=2∠PAB若FE=√2GO求点Q的坐标．参考答案1．（1）证明：∵Δ=(m+2)2−4(m−1)=m2+8>0故抛物线与x轴一定有两个交点；（2）解：令y=x2−(m+2)x+m−1=0解得：x=m+2±√m2+82则AB=|x1−x2|=√m2+8=3解得：m=1（舍去）或−1故抛物线的解析式为：y=x2−x−2；（3）解：存在理由：由抛物线的解析式知点C(0,−2)令y=0即x2−x−2=0解得x1=−1∵抛物线与x轴的两个交点是A B（A在原点左边B在原点右边）∵A(−1,0)∵OA=1∵C(0,−2)∵CO=2当△DOB∽△AOC时∵OD AO =OBOC即OD1=22解得OD=1∵D(0,1)；当△DOB∽△COA时∵OD CO =OBOA即OD2=21解得：OD=4∵D(0，4)．综上所述点D的坐标为：(0,1)或(0，4)．2．解：（1）∵B(−3，0)C(0，−3)两点均在抛物线上∴{c=−39−3b+c=0解得{b =2c =−3∴抛物线的解析式为y =x 2+2x −3 ∵直线y =x +m 经过点B∴0=−3+m ∴m=3∴直线BE 的解析式为y =x +3 联立方程组{y =x +3y =x 2+2x −3解得{x 1=−3y 1=0∴点E 的坐标为(2，5)；（2）存在点P 坐标为(0，5)或(0，7)．理由：若存在这样的点P 使得以D E P 为顶点的三角形与△BOD 相似 如图所示 由于△BOD 是等腰直角三角形 则存在两种情况 即∠DP 1E =90° 或∠DEP 2=90°当∠DP 1E =90°时∵OD =3 ∴OP 1=5∴点P 1的坐标为(0，5)； 当∠DEP 2=90°时∵EP 1⊥DP 2 ∴P 1P 2=DP 1=EP 1=2∴OP 2=7∴点P 2的坐标为(0，7)；所以满足题意的点P 的坐标为(0，5)或(0，7)．3．解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx −3经过点A (1,0)和点B (3,0)∵{a +b −3=09a +3b −3=0解得{a =−1b =4∵抛物线的解析式为：y =−x 2+4x −3；（2）①当点D E 在点A 的异侧时 过点E 作EF ⊥x 轴于点F如图：∵∠AOD =∠AFE =90°∵∠OAD =∠FAE∵△AOD∽△AFE∵AFAO =AEAD∵AD =2AE∵AF AO =AE AD =12∵AF =12AO =12×1=12∵OF =32∵点F 与点E 的横坐标为32∵点E 的纵坐标为y =−x 2+4x −3=−(32)2+4×32−3=34∵点E 的坐标为(32，34)∵直线l ：y =kx +b 1过点A (1,0)和点E(32，34)∵{k +b1=032k +b 1=34解得：{k=32b 1=−32 ∵直线l 的解析式为y =32x −32；②当点D E 在点A 的同侧时 过点E 作EF ⊥x 轴于点F 如图：∵∠AOD =∠AFE =90°∵∠OAD =∠FAE∵△AOD∽△AFE∵AFAO =AEAD∵AD =2AE∵AFAO =AEAD=12 ∵AF =12AO =12×1=12∵OF =12 ∵点F 与点E 的横坐标为12 ∵点E 的纵坐标为y =−(12)2+4×12−3=−54∵点E 的坐标为(12，−54) ∵直线l ：y =kx +b 1过点A (1,0)和点E(12，−54) ∵{k +b 1=012k +b 1=−54 解得{k =52b =−52∵直线l 的解析式为y =52x −52综上所述：直线l 的解析式为y =32x −32或y =52x −52；（3）存在以点B C P Q 为顶点的平行四边形 理由如下：抛物线y =−x 2+4x −3对称轴为直线x =2设Q (2,t ),P (m,−m 2+4m −3)又B (3,0)①以PQ 、BC 为对角线 则PQ 、BC 的中点重合∵{2+m =3+0t −m 2+4m −3=−3 解得m =1∵P(1，0)②以BQ 、PC 为对角线∵{2+3=m +0t +0=−m 2+4m −3−3解得m =5∵P (5,−8)；③以CQ 、BP 为对角线∵{2=m +3t −3=−m 2+4m −3解得m =﹣1∵P (−1,−8)综上所述 P 的坐标为(1,0)或(5,−8)或(−1,−8)．4．解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx +4与x 轴交于A(−2，0)，B(8，0)两点代入 得{4a −2b +4=064a +8b +4=0 解得：{a =−14b =32∵抛物线的表达式为：y =−14x 2+32x +4当x =0时∵C(0，4)；（2）过M 作ME ∥y 轴交BC 于点E设BC 的解析式为y =kx +b将B(8,0)和C(0,4)代入得解得{k=−12 b=4∵y=−12x+4设M(m,−14m2+32m+4)则E(m,−12m+4)∵ME=−14m2+32m+4−(−12m+4)=−14m2+2m∵S△MCB=12×8ME=−m2+8m=−(m−4)2+16当m=4时S取最大值16即△MBC面积的最大值为16；（3）①∵∠PNC=∠BOC=90°当∠PCN=∠OCB时作BD⊥CP交CP的延长线于点D作DF⊥y于点F作BE⊥FD交FD的延长线于点E则四边形OBEF是矩形∵OB=EF,BE=OF．∵∠PCN=∠OCB∵BD=BO∵△BOD≌△BDC(AAS)∵BD=CD．∵∠CDF+∠BDE=90°,∠DBE+∠BDE=90°∵∠CDF=∠DBE∵∠CFD=∠E=90°∵△CDF≌△BDE(AAS)∵CF=DE,DF=BE∵DF+DE=OB=8∵4+2CF=8∵CF=2∵DF=OF=4+2=6∵D(6,6)．设直线CD的解析式为y=kx+4∵6=6k+4∵k=13∵y=13x+4解{y=13x+4y=−14x2+32x+4得{x1=143y1=509{x2=0y2=4（舍去）∵P(143,509)；②∵∠PNC=∠BOC=90°当∠PCN=∠OBC时∵CP∥OB∵点P与点C的纵坐标相同当y=4时解得x1=6x2=0（舍去）∵P(6,4)．综上可知点P的坐标为(143,509)或(6,4)．5．（1）解：∵CO=4则点C(0,−4)将点C的坐标代入一次函数表达式得：−4=b 则一次函数表达式为：y=−x−4令y=−x−4=0得x=−4∵点A(−4,0)把A C两点坐标代入二次函数解析式中得：{c=−416a−12a+c=0解得：{a=1c=−4则抛物线的表达式为：y=x2+3x−4；（2）解：由y=x2+3x−4=0得x1=1，x2=−4∵点B(1,0)设直线BD交y轴于点N设点D(m,m2+3m−4)设直线BD的表达式为：y=kx+d则{k+d=0mk+d=m2+3m−4解得：{k=m+4d=−m−4直线BD的表达式为：y=(m+4)x−m−4令x=0,得y=−m−4∵点N(0,−m−4)过点D作DH∥y轴交AC于点H则点H(m,−m−4)则S△ADC−S△BDC=12×DH×OA−12×CN×(x B−x D)=12×(−m−4−m2−3m+4)×4−12×(−m)×(1−m)=−52m2−152m=−52(m+32)2+458∵−52＜0则S△ADC−S△BDC有最大值当m=−32时S△ADC−S△BDC的最大值为458此时点D(−32,−254)；（3）解：存在理由：当点D在AC下方时由点A C的坐标知∵∠CBA=45°+∠DCA∵∠CBA=∠DCO∵∠CBA+∠OCB=∠DCO+∠OCB即∠DCB=90°∵DC⊥CB；设点D(m,m2+3m−4)则DE=−m，CE=m2+3m−4−(−4)=m2+3m；过点D作DE⊥y轴于E如图∵∠DCB=∠BOC=∠DEC=90°∵∠BCO+∠DCE=∠DCE+∠CDE∵∠BCO=∠CDE∵△BCO∽△CDE∵CE DE =OBOC=14即4CE=DE∵4(m2+3m)=−m 解得：m=0（舍去）则点D(−134,−5116)；当点D在AC的上方时如图设CD交x轴于点F ∵∠BFC=∠OAC+∠DCA=45°+∠DCA∵∠BFC=∠DCA∵CF=CB；∵CO⊥BF∵OF=OB=1∵F(−1,0)；设直线CD 解析式为y =k 1x −4 把点F 坐标代入得：k 1=−4∵直线CD 的表达式为：y =−4x −4联立直线CD 的表达式与抛物线表达式得：x 2+3x −4=−4x −4 解得：x =−7 x =0（舍去）即点D (−7,24)；综上 点D 的坐标为：(−134,−5116)或(−7,24)． 6．（1）解：将B (3,0)代入y =mx 2+(m 2+3)x −(6m +9) 化简得m 2+m =0 则m =0（舍）或m =−1 ∵m =−1∵y=−x 2+4x −3当x =0时 y=−3 当y =0时 −x 2+4x −3=0 解得：x 1=3,x 2=1 ∵C (0,−3) A (1,0)．设直线BC 对应的函数表达式为y =kx +b将B (3,0) C (0,−3)代入可得{0=3k +b −3=b 解得{k =1b =−3则直线BC 对应的函数表达式为y =x −3．（2）∵△OAC 为直角三角形∵OA =1,OC =3,tan∠OCA =OA OC =13当以B C Q 为顶点的三角形和△OAC 相似时 则：△BCQ 是直角三角形；设Q (t,−t 2+4t −3)①当∠CBQ=90°时如图：∵B(3,0)∵OB=OC=3∵∠OBC=∠OCB=45°∵∠OBQ=∠OBC=45°过点Q作QE⊥OB则：BE=QE∵3−t=−t2+4t−3解得：t=2或t=3（舍去）；∵Q(2,1)当Q(2,1)时∵BC=3√2∵tan∠BCQ=13=tan∠OCA满足题意；②当∠CQB=90°时：如图：过点Q作EF∥OB过点B作BF⊥EF 则：∠CEQ=∠BFQ=90°∵∠CQE=∠QBF=90°−∠FQB∵△CEQ∽△QFB∵CE QF =EQBF即：−t2+4t3−t=t−t2+4t−3解得：t =3（舍去）或t =0（舍去）或t =5+√52或t =5−√52∵Q (5+√52,−1+√52)或Q (5−√52,√5−12)此时BQCQ =BF EQ =√5+15+√5=√55≠13不满足题意 舍去；③当∠QCB =90°时 如图：过点Q 作QF ⊥y 轴 则：∠BOC =∠QFC =90° ∵∠BCO =∠FQC =90°−∠FCQ∵∠FQC =45°∵CF =QF =t∵OF =3+t =−(−t 2+4t −3)解得：t =5或t =0（舍去）；∵Q (5,−8)∵tan∠CQB =BC CQ =3√25√2=35≠13 不符合题意；∵Q (5,−8)不满足题意；综上：Q (2,1)．（3）∵S △PBC =S △ABC∵点P 与点A 到BC 的距离相等如图 过点A 作AP 1∥BC 设直线AP 1与y 轴的交点为G将直线BC 向下平移GC 个单位 得到直线P 3P 2设直线AG 的解析式为：y =x +n 则：0=1+n 解得：n =−1 ∵直线AG 的表达式为y =x −1 联立{y =x −1y =−x 2+4x −3 解得：{x =1y =0 （舍） 或{x =2y =1∵P 1(2,1)∵直线AG 的表达式为y =x −1 ∵当x =0时 ∵G (−1,0) ∵GC =2∵直线P 3P 2的表达式为y =x −5 联立{y =x −5y =−x 2+4x −3解得：{x 1=3+√172y 1=−7+√17∵P 3(3+√172,−7+√172) ∵P (2,1)或P (3+√172,−7+√172)或P (3−√172,−7−√172)．7．（1）解：∵tan∠OBC =2∴OCOB=2 ∵OB =2∴OC=4∴B(−2,0)把B(−2,0)C(0,−4)代入y1=ax2−6ax+c得{4a+12a+c=0c=−4解得{a=14 c=−4∴y1=14x2−32x−4；（2）解：作DF⊥x轴于点F交AC于点G∴∠BAC+∠AGF=90°∵DE⊥AC于点E∴∠EDF+∠EGD=90°∵∠AGF=∠EGD∴∠EDF=∠BAC∴tan∠EDF=tan∠BAC=OC OA=12∴cos∠EDF=cos∠BAC=2√5 5∴DE=2√55DG令14x2−32x−4=0解得x1=−2∴点A的坐标为(8,0)把A(8,0)和C(0,−4)代入y2=kx+b得{8k+b=0b=−4解得∴y 2=12x −4由题意 点D 坐标为(m,14m 2−32m −4) 点G 坐标为(m,12m −4)∴DG =(12m −4)−(14m 2−32m −4)=−14m 2+2m =−14(m −4)2+4∴DE =−√510(m −4)2+8√55 ∵−√510<0 ∴DE 有最大值为8√55； （3）解：由题意 ∠DCE =∠OCA 或∠DCE =∠OAC 时 △CDE 与△AOC 相似 ①当∠DCE =∠OCA 时∴∠OCA =∠DGC ∴∠DCE =∠DGC ∴DC =DG∵DE ⊥AC 于E∴EG =EC =12CG∵tan∠EDG =tan∠OAC =12∴sin∠EDG =√55∴EG =√55DG =√55(−14m 2+2m) ∵cos∠BAC =2√55AG =√52(8−m ) 在Rt △AOC 中 由勾股定理得∴CG =4√5−√52(8−m )=√52m ∴√55(−14m 2+2m)=12×√52m 解得m =3②当∠DCE =∠OAC 且D 位于x 轴下方时CD//OA ∴y D=−4令14x2−32x−4=−4解得x=0（舍去）或x=6即m=6；③当∠DCE=∠OAC且D位于x轴上方时如图设CE交x轴于M则MC=MA设OM=n则CM=AM=8−n在Rt△OCM中由勾股定理得n2+42=(8−n)2解得n=3∴M(3,0)同理直线CM函数关系式为y=43x−4令14x2−32x−4=43x−4解得x=0（舍去）或x=343即m=343综上m=3或6或343．8．（1）解：把A(−6,0),B(2,0),C(0,6)代入抛物线解析式y=ax2+bx+c得{36a −6b +c =04a +2b +c =0c =6解得{a =−12b =−2c =3∵抛物线的函数表达式为y =−12x 2−2x +6．（2）解：如解（2）图1 过P 点作PQ 平行y 轴 交AC 于Q 点设直线AC 的解析式为y =kx +6 把A (−6,0)代入得：0=−6k +6 解得：k =1∵直线AC 解析式为y =x +6设P 点坐标为(x,−12x 2−2x +6) 则Q 点坐标为(x,x +6)∵PQ =−12x 2−2x +6−(x +6)=−12x 2−3x∵S △PAC =12PQ ⋅OA∵12(−12x 2−3x)⋅6=152解得：x 1=−1 x 2=−5． 当x =−1时 P 点坐标为(−1,152) 当x =−5时 P 点坐标为(−5,72)综上所述：若△PAC 面积为152 点P 的坐标为(−1,152)或(−5,72)；（3）解：如解（3）图1 过D 点作DF 垂直x 轴于F 点 过A 点作AE ⊥BC 于E 点∵D 为抛物线y =−12x 2−2x +6的顶点 ∵D 点坐标为(−2,8)设直线AD 的解析式为：y =mx +n把A (−6,0) D (−2,8)代入得：{−6m +n =0−2m +n =8解得：{m =2n =12∵直线AD 为y =2x +12 ∵B(2，0)∵同理可得：直线BC 的解析式为y =−3x +6 ∵AF =−2−(−6)=4 ∵tan∠DAB =DFAF =2 ∵B(2，0) C (0,6)∵tan∠ABC =OCOB =3 BC =√22+62=2√10 sin∠ABC =62√10=3√1010∵AB =2−(−6)=8 ∵AE =AB ⋅sin∠ABC =8×3√1010=12√105∵BE =√AB 2−AE 2=4√105∵CE =BC −BE =2√10−4√105=6√105∵tan∠ACB =AE CE=2∵tan∠ACB =tan∠DAB =2 ∵∠ACB =∠DAB ∵OA =OC=6∵∠ACO =∠CAO =45°；∵使得以M A O 为顶点的三角形与△ABC 相似 则有两种情况 如解（3）图2当∠AOM =∠CAB =45°时 即M 点在直线y =−x 上 联立{y =−xy =2x +12 解得{x =−4y =4即M 点为(−4,4)．当∠AOM =∠CBA 即OM∥BC 时 ∵直线BC 解析式为y =−3x +6 ∵直线OM 为y =−3x 联立{y =−3x y =2x +12解得{x =−125y =365即M 点为(−125,365)综上所述：存在使得以M A O 为顶点的三角形与△ABC 相似的点M 其坐标为(−4,4)或(−125,365)．9．解：（1）将A(−2,0) B(8,0)代入解析式得：{4a −2b +4=064a +8b +4=0解得：{a =−14b =32 ∴ a =−14 b =32；（2）①∵的值为−14b 的值为32抛物线的解析式为：y =−14x 2+32x +4；∴C(0,4)设直线BC 解析式为y =kx +c 将B(8,0) C(0,4)代入可得：{8k +c =0c =4解得{k =−12c =4∴直线BC 解析式为y =−12x +4设第一象限D(m,−14m 2+32m +4) 则E(m,−12m +4)∴DE =(−14m 2+32m +4)−(−12m +4)=−14m 2+2m∴DE +BF =(−14m 2+2m)+(8−m)=−14(m −2)2+9∴当m =2时 DE +BF 的最大值是9； ②∴A(−2,0)∴OA =2∴AC 2=OA 2+OC 2=20 ∴AC 2+BC 2=100而AB 2=102=100∴AC 2+BC 2=AB 2 ∴∠ACB =90° ∴∠CAB +∠CBA =90°∵DF ⊥x 轴于F∴∠FEB +∠CBA =90° ∴∠CAB =∠FEB =∠DEC以点C D E 为顶点的三角形与△AOG 相似 只需OADE =AGCE 或OACE =AGDE 而G 为AC 中点∴G(−1,2)由①知：DE=−14m2+2m∴CE=√m2+[4−(−12m+4)]2=√52m当OADE =AGCE时解得m=4或m=0（此时D与C重合舍去）∴D(4,6)当OACE =AGDE时解得m=3或m=0（舍去）∴D(3,25 4 )综上所述以点C D E为顶点的三角形与△AOG相似则D的坐标为(4,6)或(3,254)．10．（1）解：把点C(0,−4)B(2,0)分别代入y=12x2＋bx＋c中得{c=−412×22+2b+c=0解得{b=1c=−4∵该抛物线的解析式为y=12x2+x−4．（2）解：令y=0即12x2+x−4=0解得x1=−4，x2=2∵A(−4，0)∵C(0,−4)∵AB=2−(−4)=6，OC=4∵S△ABC=12AB⋅OC=12．设P点坐标为(x,0)则PB=2−x∵PE∥AC∵∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA ∵△PBE∽△ABC∵S△PBE S△ABC =(PBAB)2即S△PBE12=(2−x6)2化简得：S△PBE=13(2−x)2∵S△PCE=S△PCB−S△PBE=12PB⋅OC−S△PBE=12×(2−x)×4−13(2−x)2 =−13x2−23x+83=−13(x+1)2+3∵当x=−1时S△PCE的最大值为3．（3）解：△OMD为等腰三角形可能有三种情形：①当DM=DO时如图①所示．则DO=DM=DA=2∵AO=CO=4，∠AOC=90°∵∠OAC=∠AMD=45°∵∠ADM=90°∵M点的坐标为(−2，−2)；②当MD=MO时如图②所示．过点M作MN⊥OD于点N则点N为OD的中点∵DN=ON=1，AN=AD+DN=3又△AMN为等腰直角三角形∵MN=AN=3∵M点的坐标为(−1，−3)；③当OD=OM时∵△OAC为等腰直角三角形×4=2√2即AC上的点与点O之间的最小距离为2√2．∵点O到AC的距离为√22∵2√2>2∵OD=OM的情况不存在．综上所述点M的坐标为(−2，−2)或(−1，−3)．11．（1）解：∵抛物线y=−x2+bx+c的顶点D坐标为(1,4)∴y=−(x−1)2+4=−x2+2x−1+4=−x2+2x+3∴抛物线解析式为y=−x2+2x+3；（2）解：①当y=0时−x2+2x+3=0解得x1=−1则A(−1,0)∴1<m<3设E点的横坐标为t∵m−1=1−t∴t=2−m∴点E的横坐标为2−m；故答案为：2−m；②设F(m,−m2+2m+3)(1<m<3)则E(2−m,−m2+2m+3)∵矩形EFGH为正方形∴FG=FE即−m2+2m+3=m−(2−m)整理得：m2=5解得m1=−√5(舍去)∴G点坐标为(√5,0)；③过点D作DM⊥x轴于M∵EG⊥AD而DM⊥x轴∴∠1=∠4∴Rt△GEH∽Rt△DAM∴EHAM =GHDM即EH2=GH4∴GH=2EH即2m−2=2(−m2+2m+3)整理得m2−m−4=0解得m1=1−√172(舍去)∴G点坐标为(1+√172,0)；（3）解：设AD交EF于Q如图∵FP⊥AD∴∠DPF =90°∵△DFP 与△DAM 相似∴∠1=∠3∵∠1=∠2∴∠2=∠3而FP ⊥DQ∴△FDQ 为等腰三角形∴FD =FQ设直线AD 的解析式为y =px +q把A (−1,0) D (1,4)代入得{−p +q =0p +q =4解得{p =2q =2∴直线AD 的解析式为y =2x +2当y =−m 2+2m +3时 2x +2=−m 2+2m +3 解得x =−12m 2+m +12 则Q (−12m 2+m +12,−m 2+2m +3)∴FQ =m −(−12m 2+m +12)=12m 2−12=12(m +1)(m −1) 而DF 2=(m −1)2+(−m 2+2m +3−4)2=(m −1)2+(m −1)4∴(m −1)2+(m −1)4=(12(m +1)(m −1))2 而m ≠1∴1+(m −1)2=14(m +1)2 整理得3m 2−10m +7=0 解得m 1=1(舍去)∴F 点坐标为(73,209)．12．（1）解：将点B(3，0)，C(0，−3)代入y =−x 2+bx +c 得：{c =−3−9+3b +c =0 解得：{c =−3b =4∵y =−x 2+4x −3∵y =−x 2+4x −3=−(x −2)2+1．（2）解：如图1：在抛物线上取点E 连接CE 过E 作x 轴的垂线交直线BC 于点F设点F(x，x−3)则点E的坐标为(x,−x2+4x−3)∵EF=−x2+3x∵S△CBE=S△CEF+S△BEF=12EF·OB=−32x2+92x=−32(x−32)2+278∵当x=32时△CBE的面积有最大值此时点E的坐标为(32,34 )．（3）解：存在以B P N为顶点的三角形与△ABC相似如图2：连接BP设N(n，0)当y=0时−x2+4x−3=0解得x2=1，x2=3∵A(1，0)∵y=−x2+4x−3=−(x−2)2+1∵P(2，1)∵B(3，0)，C(0，−3)，P(2，1)∵∠CBA=∠ABP=45°①当BNBP =BCBA时∵3−n √2=3√22解得n=0所以点N的坐标为N1(0，0)；②当BN BP =BA BC 时 ∵3−n√2=23√2 解得n =73 所以点N 的坐标为N 2(73,0)．综上所述 点N 的坐标为N 1(0，0)或N 2(73,0)．13．解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过A (1,0),C(0,3）两点 且对称轴为直线x =−1 ∵B(−3，0)设y =a (x +3)（x −1） 把C(0，3）代入得解得：a =−1∵抛物线解析式为y =−x 2−2x +3；（2）如图1 作DE ∥y 轴 交直线BC 于点E设直线BC 的函数解析式为y =px +q 可得：{−3p +q =0q =3 解得：{p =1q =3可得直线BC 的解析式为y =x +3设P （m,−m 2−2m +3）∵E （m,m +3）∵DE =−m 2−2m +3−(m +3)=−m 2−3m∵△DBC 的面积=12DE ×3=−32m 2−92m ∵a =−32<0 ∵m =−32时△DBC 的面积最大=278 此时点D 坐标为(−32，154)； （3）存在 理由如下：∵A (1,0)∴AB =3−(−1)=4∵OB =OC =3∴BC =3√2设直线AC 解析式为y =mx +n∵A (1,0)∴{m +n =0n =3解得：{m =−3n =3∴直线AC 解析式为y =−3x +3①当OM ∥AC 时∴直线OM 的解析式为y =−3x结合抛物线的解析式为y =−x 2−2x +3 得：−3x =−x 2−2x +3 解得：x 1=1+√132（舍去） ∴M 坐标(1−√32,−3+3√132)； ②当△BON ∽△BCA 时∴BN BA =BO BC∴BN =BA ⋅BO BC =4×33√2=2√2 如图 过点N 作NG ⊥x 轴于点G∵∠OBC =45°∴BG =NG =2∴OG =1∴N (−1,2)设直线OM 解析式为y =m 1x 将N (−1,2)代入得：m 1=−2∴直线OM 解析式为y =−2x结合抛物线的解析式为y =−x 2−2x +3 得：−2x =−x 2−2x +3 解得：x 1=√3舍去，x 2=−√3∴M 坐标 (−√3，2√3)综上 点M 的坐标为(1−√132，−3+3√132)或(−√3，2√3) 14．（1）解：当y =0=x +4时∵A (−4,0)当x =0时∵C (0,4)将点A C 的坐标代入y =−12x 2+bx +c 得{0=−12×16−4b +c 4=c 解得b =−1,c =4∵抛物线的表达式为y =−12x 2−x +4； （2）∵A (−4,0)∵OA =4∵PQ =2OA =8∵点P Q 关于对称轴直线x =−1对称∵PQ∥OA∵点P 的横坐标为−1−82=−5 点C 的横坐标为3 当x =−5时∵P (−5,−72),Q (3,−72)； （3）∵A (−4,0)∵OA =4=OC∵对称轴直线x =−1对称∵B (2,0)∵AB =6∵∠AOC =90°∵∠OAC =∠OCA =45°①当△MCO ∽△CAB 时∵46=CM4√2∵CM =8√23 如图 过点M 作MG ⊥y 轴于点G∵MG =CG =√22CM =83当x =−83时∵M (−83,43)；当△OCM ∽△CAB 时∵44√2=CM6∵CM =3√2如图 过点M 作MG ⊥y 轴于点G∵MG =CG =√22CM =3当x =−3时∵M (−3,1)；综上 M 点的坐标为(−83,43)或(−3,1)．15．（1）解：因为y =ax 2+bx +2过点A (2,0)且OA =2OB 则B (−1,0)则{4a +2b +2=0a −b +2=0解得：{a =−1b =1故抛物线的表达式为：y=−x2+x+2；（2）对于y=−x2+x+2令x=0则y=2故点C(0,2)设直线AC的解析式为y=kx+b由直线过点A C的坐标得{2k+b=0b=2解得{k=−1 b=2直线AC的表达式为：y=−x+2设点D的横坐标为m则点D(m,−m2+m+2)则点F(m,−m+2)则DF=−m2+m+2−(−m+2)=−m2+2m=−(m−1)2+1∵−1<0故DF有最大值则△ACD面积最大值为12×AO×DF=12×2×1=1此时m=1点D(1,2)；（3）存在理由：点D(m,−m2+m+2)(m>0) 则OE=m 以点O D E为顶点的三角形与△BOC相似①当DEOE =OBOC时两三角形相似即DEOE=OBOC=12则−m 2+m+2m=12解得：m=1+√334或m=1−√334（舍去）经检验m=1+√334是原分式方程的解②当DEOE =OCOB时两三角形相似即DEOE=OCOB=2则−m 2+m+2m=2解得：m=1或m=−2（舍去）经检验m=1是分式方程的解故m=1+√334或m=1．16．（1）解：由y=x2+2x−3当y=0时即x2+2x−3=0解得：x1=−3，x2=1∵B(1，0)．（2）解：①∵A(−3，0)，C(0，−3)，B(1，0)∵OA=OC=3,OB=1,则AB=OA+OB=4,BC=√OC2+OB2=√10∵∠OCA=∠OAC=45°∵∠MCQ=45°，∵∠MCQ=∠MAB=45°∵∠CBM =∠ABC∵△CBM∽△ABC∵CB ：AB =BM ：BC 即：BM =BC 2AB =104=52 ∵OM =BM −OB =32 ∵M 在x 轴负半轴∵M (−32,0)；②如图：过点P 作PH ⊥x 轴 设P(m ，m 2+2m −3) (m <0)在线段OC 上取点D 使得DC =DB 则∠ODB =2∠BOC∵∠ABP =2∠BCO =∠ODB 且∠PHO =∠BOD =90°∵△PHB∽△BOD∵PH:BO =HB:OD设OD =a 则DC =CB =3−a在Rt △OBD 中 由勾股定理得 a 2+12＝（3﹣a ）2 解得a =43 即OD =43 ∵m 2+2m−31=1−m43 解得m =−154或m =1（舍去） 当m =−154时 ∵P (−154,5716)． 17．（1）解：当a =1 k =1时 直线l:y =x +b 抛物线C:y =x 2联立{y =x +b y =x2 得：x 2−x −b =0 ∵直线l:y =x +b 与抛物线C:y =x 2有唯一公共点P∴(−1)2−4×1×(−b )=0解得：b =−14；（2）解：当a =12时 抛物线C:y =12x 2联立{y =12x 2y =kx +b得：12x 2−kx −b =0 ∵直线l:y =kx +b (k >0)与抛物线C:y =12x 2有唯一公共点P∴(−k )2−4×12×(−b )=0∴b =−12k 2∴y =kx −12k 2当x =0时 y =−12k 2 当y =0时 kx −12k 2=0 解得：x =k2∴A (k2，0)∴OA =k2∵过点A 作直线l 的垂线交y 轴于点T∴∠BAT =90° ∴∠ATB +∠ABT =90° ∵∠OBA +∠OAB =90° ∴∠OTA =∠OAB ∵∠AOB =∠TOA =90° ∴△AOB ∽△TOA∴OTOA =OABO 即OTk 2=k 2k 22∴OT =12∵ T 在y 轴的正半轴 ∴T (0，12)；（3）证明：如图 令OM QP QN 与y 轴交点分别为D设M(m ，am 2) N(n ，an 2) MN 的解析式为：y =x +c 联立{y =x +b y =ax 2 得：ax 2−x −b =0 解得：x P =12a∴P (12a ，14a)∵点P 关于y 轴的对称点为Q∴Q (−12a ，14a) 联立{y =x +c y =ax 2 得：ax 2−x −c =0 ∵平移直线l 使之与抛物线C 交于M ，N 两点∴m +n =1a令QM 为y =k 1x +b 1 代入M(m ，am 2) Q (−12a ，14a )得：{14a =−k12a +b 1am 2=k 1m +b 1解得：{k 1=am −12b 1=m2∴QM ：y =(am −12)x +m2 令x =0 则y =m 2∴D (0，m 2) 同理可得：QN ：y =(an −12)x +n2∴DE =m 2−14a∴DE −EF =m +n 2−12a =12a −12a =0 ∴DE =EF∵QP ⊥DF∴∠MQP =∠NQP ．18．（1）解：∵抛物线y =ax 2−3ax +c 与x 轴分别交于A(−1,0) B 两点 与y 轴交于点C(0,−2)． ∴ a +3a +c =0 ∴ a =12∴设抛物线的解析式为y =12x 2−32x −2（2）解：过点D 作DG ⊥x 轴于点G 交BC 于点F 过点A 作AK ⊥x 轴交BC 的延长线于点K∴ AK∥DG△AKE ∽△DFE ∴DF AK =DEAE设直线BC 的解析式为y =kx +b 1∴{4k +b 1=0b 1=−2解得{k =12b 1=−2∴直线BC 的解析式为y =12x −2 ∵ A(−1,0)∴y =−12−2=−52∴AK =52设D (m,12m 2−32m −2) 则F (m,12m −2)∴DF=12m−2−12m2+32m+2=−12m2+2m∴DEAE =−12m2+2m52=−15m2+45m=−15(m−2)2+45∴当m=2时DEAE 有最大值最大值为45（3）解：符合条件的点P的坐标为(689,349)(6+2√415,3+√415)理由如下：∵l∥BC∴直线l的解析式为y=12x设P(a1,a12)当点P在直线BQ右侧时如图过点P作PN⊥x轴于点N过点Q作QM⊥PN 于点M∵A(−1,0)∴AC=√5∵AC2+BC2=AB2∴∠ACB=90°∵△PQB∽△CAB∴PQPB=ACBC=12∵∠QMP=∠BNP=90°∴∠MQP+∠MPQ=90°∴∠MQP=∠BPN∴△QPM∽△PBN∴QMPN=PMBN=PQPB=12∴QM =a 14∴MN =a 1−2BN −QM =a −BN −QM =a 1−4−a 4=34a 1−4 ∴Q (34a 1,a 1−2)将点Q 的坐标代入抛物线的解析式得12×(34a 1)2−32×34a 1−2=a 1−2 解得a 1=0（舍去）∴P (689,349) 当点P 在直线BQ 左侧时 由①的方法同理可得点Q 的坐标为(54a 1,2) 此时点P 的坐标为(6+2√415,3+√415) ∴综合所述 存在这样的点P 且坐标为为(689,349)或 (6+2√415,3+√415) 19．解：（1）∵抛物线经过A(−2,0) ∴ {4−2b +c =0c =−6 解得：{b =−1c =−6∴抛物线的表达式为：y =x 2−x −6； （2）y =x 2−x −6=(x +2)(x −3)∴A(−2,0)设直线BC 的解析式为y =px +q 由题意得{3p +q =0q =−6 解得：{p =2q =−6所以直线BC 的解析式为y =2x −6如图 分别过点A 和点D 作y 轴的平行线 交直线BC 于点M 和点N∴△NED ∽△MEA则EDEA =DNAM∵A(−2,0)∴点M 横坐标为−2将x =−2代入BC 的解析式y =2x −6 得y =−10∴M(−2,−10)∴AM =10为定值． ∴当DN 取最大值时ED EA取得最大值设D(t,t 2−t −6) 则N(t,2t −6)则DN =(2t −6)−(t 2−t −6)=−t 2+3t =−(t −32)2+94 ∴当t =32时 DN 取最大值 即EDEA取得最大值 此时D(32,−214)；（3）∵△OEF ∽△COA∠OEF =∠COA =90°①如右图 当点F 在OE 左侧时 过点E 作EP ⊥x 轴于点P 过点F 作FQ ⊥PE 于点Q 则∠OPE =∠EQF =90°∵∠OEF =90°∴∠OEP +∠FEQ =90° ∵∠OEP +∠EOP =90° ∴∠FEQ =∠EOP ∴△OEP ∽△EFQ .OP EQ =PE QF =OE EF =31设E(m,2m −6) 则P(m,0)∵点E在第四象限∴OP=m∵EQ=13m,QF=2−23m∵F(53m−2,53m−6)将F(53m−2,53m−6)代入抛物线得：53m−6=(53m−2)2−(53m−2)−6解得：m1=9+3√35∴点F的坐标(1+√3,−3+√3)或(1−√3,−3−√3)；②如右图当点F在OE右侧时过点E作EH⊥x轴于点H过点F作FG⊥EH于点G则∠OHE=∠EGF=90°则△OHE∽△EGFOH EG =HEGF=OEEF=31设OH=n则H(n,0)∵点E在线段BC上且在第四象限∴E(n,2n−6)GF=2−2 3 nA G(n,73n−6)F(13n+2,73n−6)将F(13n+2,73n−6)代入抛物线得：73n−6=(13n+2)2−(13n+2)−6解得：n1=6−3√2n1=6+3√2（舍去）∴点F的坐标(4−√2,8−7√2)综上所述：点F的坐标为(1+√3,−3+√3)或(1−√3,−3−√3)或(4−√2,8−7√2)；（4）设点E(m,2m−6)则EH=6−2m则12EH=3−m则x G=m−(3−m)=2m−3即点G(2m−3,m−3)将点G的坐标代入抛物线表达式得：m−3=(2m−3)2−(2m−3)−6解得：m=3（舍去）或34则点G(−32−94)．20．（1）解：将点A(−2,0)点B(4,0)代入y=ax2+bx+4{0=a(−2)2+b⋅(−2)+40=a⋅42+b⋅4+4解得：{a=−12b=1故答案为：抛物线的解析式：y=−12x2+x+4（2）解：由（1）结论可知点C坐标为(0,4)设直线BC解析式为：y=kx+4将点B(4,0)代入解得：k=−1∴直线BC解析式为：y=−x+4∵点P的横坐标为t则点P的纵坐标为−12t2+t+4∴点E的横坐标为t点E的纵坐标为−t+4∵点P在抛物线第一象限上∴PE=PD−ED即：d=−12t2+t+4−(−t+4)=−12t2+2t故答案为：d与t的函数关系式：d=−12t2+2t（3）解：∵GO⊥AB∴△GAO∽△PAD∴GOAO =PDAD即：GO2=−12t2+t+4t+2整理得：GO=4−t∴CG=CO−GO=4−(4−t)=t∵CO∥PD∴CEOD =CBOB=√2即：CEt=√2整理得：CE=√2t∵∠GCF=∠FEP∴△GCF∽△PEF∴CGPE =CFEF即：CGPE=EC−EFEF即：t−12t2+2t=√2t−(4√2−√2t)4√2−√2t解得：t=3或t=4（舍）∴GO=4−t=4−3=1∵∠CFA−∠BAQ=2∠PAB∴∠PAB+45°−∠BAQ=2∠PAB即：∠PAB+∠BAQ=45°作点H(1,−1)作HI⊥x轴垂足为I连接GH则：GI=OA=2∴△AGO≌△GHI(SAS)∴∠GAO=∠HGI∴∠AGH=90°∴∠GAH=45°∴∠PAB+∠BAH=45°=∠PAB+∠BAQ∴∠ABH=∠BAQ∴直线AH与抛物线交点即为点Q设直线AH解析式为：y=kx+b点A(−2,0)点Q(1,−1)在直线上∴{0=k⋅(−2)+b−1=k⋅1+b解得：{k=−13b=−23直线AH解析式为：y=−13x−23∴{y=−13x−23y=−12x2+x+4解得：{x1=−2y1=0∴(−2,0)为点A(143,−209)为点Q故答案为：Q(143,−209)．。
二次函数与相似三角形问题含答案
函数中因动点产生的相似三角形问题综合题讲解 1、如图，已知抛物线与交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与轴交于点xy B(0，3)。
（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线顶点为D，求四边形的面积；（3）△与△是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。
??35经过及原点 2、已知抛物线．2，，，P(E3)03cy?ax??bx，(0O0)???? 2??（1）求抛物线的解析式．（2）过点作平行于轴的直线交轴于点，在抛物线对称轴右侧且xy C PCP1 / 24位于直线下方的抛物线上，任取一点，过点作直线平行于轴交xy QQQA PC轴于点，交直线于点，直线与直线及两坐标轴围成矩形QA PCABPC是否存在点，使得与相似？若存在，求出点的坐标；．PQB △QQ OABCOPC△若不存在，说明理由．（3）如果符合（2）中的点在轴的上方，连结，矩形内的四个x QOQ OABC y系？之间存在怎样的关三角形OQAOQP，△△OPC，△PQB，C为什么？Ox3 、如图所示，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C．2x1?y?x y（1）求A、B、C三点的坐标．（2）过点A作∥交抛物线于点P，求四边形的面积．（3）在轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作轴于点G，使以A、xx?yM、G三点为顶点的三角形与相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，?P请说明理由．2 / 24x A BC4、在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，其顶点2x0)??c(ay?ax?bxxOy的横坐标为1，y C BAB，A和．且过点12)3，?(?(23)，）（1）求此二次函数的表达式；（由一般式得抛物线的解析式为232x?y??x?．．．（2）若直线与线段交于点（不与点重合），则是否存0)?kx(kl:y?DBCCB，在这样的直线，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求l BAC，D△B，O出该直线的函数表达式及点的坐标；若不存在，请说明理由；D3)(0C，0)B(3，0),1A(?，，（3）若点是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一Pxl的横坐的大小（不必证明）与，并写出此时点点，试比较锐角PACO?PCO?C 的取值范围．标x p3 / 24AyB32 A三点，B、Cx＋＋c与坐标轴交于A 5、如图，已知抛物线y ＝、43x－3与x轴交于点Q，点）1，0，过点C的直线y＝P 点的坐标为（－t4是线段上的一个动点，过P作⊥于点H．若＝5t，且0＜t＜1．（1）填空：点C的坐标是_ _，b＝_ _，c＝_ _；（2）求线段的长（用含t的式子表示）；（3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与4 / 24△相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．yQ H x BAOPC6、如图，抛物线经过三点．2) C(0，0)A(4，，B(1，，0)（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，x?PM使得以A，P，M为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件OAC△的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线上方的抛物线上有一点D，使得的面积最大，求出点D DCA△的坐标．5 / 241上的轴的直线，抛物线已知，如图1，过点作平行于 7、??2x1?E0，xy?l4两点的横坐标分别为1和4，直线交轴于点，过点分别作y?FABBB、A、A直线的垂线，垂足分别为点、，连接．Cl DDFCF、（1）求点的坐标；F、A、B（2）求证：；DF?CF1对称轴右侧图象上的一动点，过点作交）（3点是抛物线2xy POPQ ⊥PP4是否存在点使得与相似？若存在，请求出所有符轴于点，x OPQ△Q PCDF△合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．P6 / 24y取得最小值－1，并且抛物线与c＝2时，抛物线y＝＋＋2轴交当 8、x ．、BA3），与x轴交于点（于点C0，）求该抛物线的关系式；（1的大与yy）都在该抛物线上，试比较y1y，），N（x＋，M（2）若点（x2121小；yE作，过点为线段上一动点（A、C两端点除外）D（3）是线段的中点，E．问：是否存在△与△相似？若存在，求出F轴的平行线与抛物线交于点yC 点E的坐标；若不存在，则说明理由．3 EDFA BO x7 / 24图象的对称轴交于点一次函数－2x的图象与二次函数－2B.x+3x、9如图，；）写出点B的坐标（12部分上的一个动点，将图象在y轴右侧x（2）已知点P是二次函数－+3x．．若以为直角边. 轴于yC、D两点分别交2x直线－沿y 轴向上平移，x轴、 . P的△与△相似，则点的坐标为D COB8 / 2410、如图，抛物线与轴交于两点A（－1，0），B（1，0），与2x1??bxy?ax y 轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)过点B作∥与抛物线交于点D，求四边形的面积；(3)在轴下方的抛物线上是否存在一点M，过M作⊥轴于点N，使以A、M、xx N为顶点的三角形与△相似？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．9 / 24轴只有一个公共点．111、已知：函数的图象与 1）求这个函2x数关系式；（2为A，P，与）如图所示，设二次函数1图象的顶点为By轴的交点为（2．． P点的坐标；图象上的一点，若以线段为直径的圆与直线相切于点B，求M，试探索点中，若圆与x轴另一交点关于直线的对称点为M）在（3(2)yM是否在抛物线1上，若在抛物2点的坐标；若不在，请说明理线上，求出由．AOxB10 / 24????与CC:的交点为, CA, B,12、如图,设抛物线点A的坐标是,点B的横坐标是－2.)4(2,（1）225??51y??a?y?axx?12211求的值及点B的坐标；a（2）点D在线段上,过D作x轴的垂线,垂足为点H,在的右侧作正三角形.记过C顶点Ｍ的直线为,且与x轴交于点N.ll2①若过△的顶点G,点D的坐标为(1, 2)，求点N的横坐标；l②若与△的边相交,求点N的横坐标的取值范围. l，现将纸片折叠，使点在线段上运动，设31,点P13、如图，在矩形中，x为折痕与矩形边的交点）F，再将纸片还原。
专题06 二次函数中三角形存在性问题(解析版)--2023 年中考数学压轴真题汇编
挑战2023年中考数学解答题压轴真题汇编专题06二次函数中三角形存在性问题一．相似三角形的存在性1．（2022•陕西）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），与y 轴的交点为C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴l的右侧，过点P分别作l，x轴的垂线，垂足分别为M，N，连接MN．若△PMN和△OBC相似，求点P 的坐标．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4得：，解得，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4；（2）如图：∵y＝x2﹣x﹣4＝（x﹣1）2﹣，∴抛物线y＝x2﹣x﹣4的对称轴是直线x＝1，在y＝x2﹣x﹣4中，令x＝0得y＝﹣4，∴C（0，﹣4），∴OB＝OC＝4，∴△BOC是等腰直角三角形，∵△PMN和△OBC相似，∴△PMN是等腰直角三角形，∵PM⊥直线x＝1，PN⊥x轴，∴∠MPN＝90°，PM＝PN，设P（m，m2﹣m﹣4），∴|m﹣1|＝|m2﹣m﹣4|，∴m﹣1＝m2﹣m﹣4或m﹣1＝﹣m2+m+4，解得m＝+2或m＝﹣+2或m＝或m＝﹣，∵点P是该抛物线上一点，且位于其对称轴直线x＝1的右侧，∴P的坐标为（+2，+1）或（，1﹣）．2．（2022•绵阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C（0，3），顶点D的横坐标为1．（1）求抛物线的解析式；（2）在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB+∠ACB＝180°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵顶点D的横坐标为1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A（﹣1，0），∴B（3，0），∴设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入抛物线的解析式，则﹣3a＝3，解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3．（2）存在，P（0，﹣1），理由如下：∵∠APB+∠ACB＝180°，∴∠CAP+∠CBP＝180°，∴点A，C，B，P四点共圆，如图所示，由（1）知，OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∴∠APC＝∠ABC＝45°，∴△AOP是等腰直角三角形，∴OP＝OA＝1，∴P（0，﹣1）．（3）存在，理由如下：由（1）知抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，∴D（1，4），由抛物线的对称性可知，E（2，3），∵A（﹣1，0），∴AD＝2，DE＝，AE＝3．∴AD2＝DE2+AE2，∴△ADE是直角三角形，且∠AED＝90°，DE：AE＝1：3．∵点M在直线l下方的抛物线上，∴设M（t，﹣t2+2t+3），则t＞2或t＜0．∴EF＝|t﹣2|，MF＝3﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t，若△MEF与△ADE相似，则EF：MF＝1：3或MF：EF＝1：3，∴|t﹣2|：（t2﹣2t）＝1：3或（t2﹣2t）：|t﹣2|＝1：3，解得t＝2（舍）或t＝3或﹣3或（舍）或﹣，∴M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．综上，存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（﹣3，﹣12）或（﹣，）．3．（2022•恩施州）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+c与y 轴交于点P（0，4）．（1）直接写出抛物线的解析式．（2）如图，将抛物线y＝﹣x2+c向左平移1个单位长度，记平移后的抛物线顶点为Q，平移后的抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．判断以B、C、Q三点为顶点的三角形是否为直角三角形，并说明理由．（3）直线BC与抛物线y＝﹣x2+c交于M、N两点（点N在点M的右侧），请探究在x轴上是否存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．（4）若将抛物线y＝﹣x2+c进行适当的平移，当平移后的抛物线与直线BC 最多只有一个公共点时，请直接写出抛物线y＝﹣x2+c平移的最短距离并求出此时抛物线的顶点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+c与y轴交于点P（0，4），∴c＝4，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4；（2）△BCQ是直角三角形．理由如下：将抛物线y＝﹣x2+4向左平移1个单位长度，得新抛物线y＝﹣（x+1）2+4，∴平移后的抛物线顶点为Q（﹣1，4），令x＝0，得y＝﹣1+4＝3，∴C（0，3），令y＝0，得﹣（x+1）2+4＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，∴B（﹣3，0），A（1，0），如图1，连接BQ，CQ，PQ，∵P（0，4），Q（﹣1，4），∴PQ⊥y轴，PQ＝1，∵CP＝4﹣3＝1，∴PQ＝CP，∠CPQ＝90°，∴△CPQ是等腰直角三角形，∴∠PCQ＝45°，∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠BCO＝45°，∴∠BCQ＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴△BCQ是直角三角形．（3）在x轴上存在点T，使得以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似．∵△ABC是锐角三角形，∠ABC＝45°，∴以B、N、T三点为顶点的三角形与△ABC相似，必须∠NBT＝∠ABC＝45°，即点T在y轴的右侧，设T（x，0），且x＞0，则BT＝x+3，∵B（﹣3，0），A（1，0），C（0，3），∴∠ABC＝45°，AB＝4，BC＝3，设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x+3，由，解得：，，∴M（﹣，），N（，），∴BN＝×＝，①当△NBT∽△CBA时，则＝，∴＝，解得：x＝，∴T（，0）；②当△NBT∽△ABC时，则＝，∴＝，解得：x＝，∴T（，0）；综上所述，点T的坐标T（，0）或（，0）．（4）抛物线y＝﹣x2+4的顶点为P（0，4），∵直线BC的解析式为y＝x+3，∴直线BC与y轴的夹角为45°，当抛物线沿着垂直直线BC的方向平移到只有1个公共点时，平移距离最小，此时向右和向下平移距离相等，设平移后的抛物线的顶点为P′（t，4﹣t），则平移后的抛物线为y＝﹣（x﹣t）2+4﹣t，由﹣（x﹣t）2+4﹣t＝x+3，整理得：x2+（1﹣2t）x+t2+t﹣1＝0，∵平移后的抛物线与直线BC最多只有一个公共点，∴Δ＝（1﹣2t）2﹣4（t2+t﹣1）＝0，解得：t＝，∴平移后的抛物线的顶点为P′（，），平移的最短距离为．二．直角三角形的存在性4．（2022•广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，﹣4），点C坐标为（2，0）．（1）求此抛物线的函数解析式．（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+x+m（a≠0）的图象经过点B（0，﹣4），点C（2，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣4；（2）存在．理由：如图1中，设D（t，t2+t﹣4），连接OD．令y＝0，则x2+x﹣4＝0，解得x＝﹣4或2，∴A（﹣4，0），C（2，0），∵B（0，﹣4），∴OA＝OB＝4，＝S△AOD+S△OBD﹣S△AOB＝×4×（﹣﹣t+4）+×4×（﹣t）﹣×∵S△ABD4×4＝﹣t2﹣4t＝﹣（t+2）2+4，∵﹣1＜0，∴t＝﹣2时，△ABD的面积最大，最大值为4，此时D（﹣2，﹣4）；（3）如图2中，设抛物线的对称轴交x轴于点N，过点B作BM⊥抛物线的对称轴于点M．则N（﹣1.0）．M（﹣1，﹣4）；∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，当∠P1AB＝90°时，△ANP1是等腰直角三角形，∴AN＝NP1＝3，∴P1（﹣1，3），当∠ABP2＝90°时，△BMP2是等腰直角三角形，可得P2（﹣1，﹣5），当∠APB＝90°时，设P（﹣1，n），设AB的中点为J，连接PJ，则J（﹣2，﹣2），∴PJ＝AB＝2，∴12+（n+2）2＝（2）2，解得n＝﹣2或﹣﹣2，∴P3（﹣1，﹣2），P4（﹣1，﹣﹣2），综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣1，3）或（﹣1，﹣5）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，﹣﹣2）．5．（2022•辽宁）如图，抛物线y＝ax2﹣3x+c与x轴交于A（﹣4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC 于点F，连接DF．（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在第二象限且＝时，求点D的坐标；（3）当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣4，0），C（0，4）代入y＝ax2﹣3x+c，∴，解得，∴y＝﹣x2﹣3x+4；（2）过点D作DG⊥AB交于G，交AC于点H，设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x+4，设D（n，﹣n2﹣3n+4），H（n，n+4），∴DH＝﹣n2﹣4n，∵DH∥OC，∴＝＝，∵OC＝4，∴DH＝3，∴﹣n2﹣4n＝3，解得n＝﹣1或n＝﹣3，∴D（﹣1，6）或（﹣3，4）；（3）设F（t，t+4），当∠FDO＝90°时，过点D作MN⊥y轴交于点N，过点F作FM⊥MN交于点M，∵∠DOF＝45°，∴DF＝DO，∵∠MDF+∠NDO＝90°，∠MDF+∠MFD＝90°，∴∠NDO＝∠MFD，∴△MDF≌△NOD（AAS），∴DM＝ON，MF＝DN，∴DN+ON＝﹣t，DN＝ON+（﹣t﹣4），∴DN＝﹣t﹣2，ON＝2，∴D点纵坐标为2，∴﹣x2﹣3x+4＝2，解得x＝或x＝，∴D点坐标为（，2）或（，2）；当∠DFO＝90°时，过点F作KL⊥x轴交于L点，过点D作DK⊥KL交于点K，∵∠KFD+∠LFO＝90°，∠KFD+∠KDF＝90°，∴∠LFO＝∠KDF，∵DF＝FO，∴△KDF≌△LFO（AAS），∴KD＝FL，KF＝LO，∴KL＝t+4﹣t＝4，∴D点纵坐标为4，∴﹣x2﹣3x+4＝4，解得x＝0或x＝﹣3，∴D（0，4）或（﹣3，4）；综上所述：D点坐标为（，2）或（，2）或（0，4）或（﹣3，4）．三．等腰三角形的存在性6．（2022•百色）已知抛物线经过A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三点，O 为坐标原点，抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，点M为射线BD上一动点，连接OM，交BC于点F．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：∠BOF＝∠BDF；（3）是否存在点M，使△MDF为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长．【解答】（1）解：设抛物线的表达式为y＝ax2+bx+c，把A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）代入得：，解得，∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）证明：∵正方形OBDC，∴∠OBC＝∠DBC，BD＝OB，∵BF＝BF，∴△BOF≌△BDF，∴∠BOF＝∠BDF；（3）解：∵抛物线交正方形OBDC的边BD于点E，∴令y＝3，则3＝﹣x2+2x+3，解得：x1＝0，x2＝2，∴E（2，3），①如图，当M在线段BD的延长线上时，∠BDF为锐角，∴∠FDM为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴DF＝DM，∴∠M＝∠DFM，∴∠BDF＝∠M+∠DFM＝2∠M，∵BM∥OC，∴∠M＝∠MOC，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BDF+∠MOC＝3∠M＝90°，∴∠M＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BM﹣BE＝3﹣2；②如图，当M在线段BD上时，∠DMF为钝角，∵△MDF为等腰三角形，∴MF＝DM，∴∠BDF＝∠MFD，∴∠BMO＝∠BDF+∠MFD＝2∠BDF，由（2）得∠BOF＝∠BDF，∴∠BMO＝2∠BOM，∴∠BOM+∠BMO＝3∠BOM＝90°，∴∠BOM＝30°，在Rt△BOM中，BM＝，∴ME＝BE﹣BM＝2﹣，综上所述，ME的值为：3﹣2或2﹣．7．（2022•山西）综合与探究如图，二次函数y＝﹣x2+x+4的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C．点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线PD⊥x轴于点D，作直线BC交PD于点E．（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；（2）当△CEP是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）连接AC，过点P作直线l∥AC，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得CE＝FD，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）在y＝﹣x2+x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝8或x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4），设直线BC解析式为y＝kx+4，将B（8，0）代入得：8k+4＝0，解得k＝﹣，∴直线BC解析式为y＝﹣x+4；（2）过C作CG⊥PD于G，如图：设P（m，﹣m2+m+4），∴PD＝﹣m2+m+4，∵∠COD＝∠PDO＝∠CGD＝90°，∴四边形CODG是矩形，∴DG＝OC＝4，CG＝OD＝m，∴PG＝PD﹣DG＝﹣m2+m+4﹣4＝﹣m2+m，∵CP＝CE，CG⊥PD，∴GE＝PG＝﹣m2+m，∵∠GCE＝∠OBC，∠CGE＝90°＝∠BOC，∴△CGE∽△BOC，∴＝，即＝，解得m＝0（舍去）或m＝4，∴P（4，6）；（3）存在点P，使得CE＝FD，理由如下：过C作CH⊥PD于H，如图：设P（m，﹣m2+m+4），由A（﹣2，0），C（0，4）可得直线AC解析式为y＝2x+4，根据PF∥AC，设直线PF解析式为y＝2x+b，将P（m，﹣m2+m+4）代入得：﹣m2+m+4＝2m+b，∴b＝﹣m2﹣m+4，∴直线PF解析式为y＝2x﹣m2﹣m+4，令x＝0得y＝﹣m2﹣m+4，∴F（0，﹣m2﹣m+4），∴OF＝|﹣m2﹣m+4|，同（2）可得四边形CODH是矩形，∴CH＝OD，∵CE＝FD，∴Rt△CHE≌Rt△DOF（HL），∴∠HCE＝∠FDO，∵∠HCE＝∠CBO，∴∠FDO＝∠CBO，∴tan∠FDO＝tan∠CBO，∴＝，即＝，∴﹣m2﹣m+4＝m或﹣m2﹣m+4＝﹣m，解得m＝2﹣2或m＝﹣2﹣2或m＝4或m＝﹣4，∵P在第一象限，∴m＝2﹣2或m＝4．8．（2022•东营）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；（3）点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），点B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3，∴，解得，∴y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接CB交对称轴于点Q，∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∵A、B关于对称轴x＝1对称，∴AQ＝BQ，∴AC+AQ+CQ＝AC+CQ+BQ≥AC+BC，当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小，∵C（0，﹣3），B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x﹣3，∴Q（1，﹣2）；（3）当∠BPM＝90°时，PM＝PB，∴M点与A点重合，∴M（﹣1，0）；当∠PBM＝90°时，PB＝BM，如图1，当P点在M点上方时，过点B作x轴的垂线GH，过点P作PH⊥GH 交于H，过点M作MG⊥HG交于G，∵∠PBM＝90°，∴∠PBH+∠MBG＝90°，∵∠PBH+∠BPH＝90°，∴∠MBG＝∠BPH，∵BP＝BM，∴△BPH≌△MBG（AAS），∴BH＝MG，PH＝BG＝2，设P（1，t），则M（3﹣t，﹣2），∴﹣2＝（3﹣t）2﹣2（3﹣t）﹣3，解得t＝2+或t＝2﹣，∴M（1﹣，﹣2）或（1+，﹣2），∵M点在对称轴的左侧，∴M点坐标为（1﹣，﹣2）；如图2，当P点在M点下方时，同理可得M（3+t，2），∴2＝（3+t）2﹣2（3+t）﹣3，解得t＝﹣2+（舍）或t＝﹣2﹣，∴M（1﹣，2）；综上所述：M点的坐标为（1﹣，﹣2）或（1﹣，2）或（﹣1，0）．9．（2022•枣庄）如图①，已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的关系式；（2）若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当△OPE面积最大时，求出P点坐标；（3）将抛物线L向上平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在△OAE内（包括△OAE的边界），求h的取值范围；（4）如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（0，3），B（1，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x+3；（2）如图，过P作PG∥y轴，交OE于点G，设P（m，m2﹣4m+3），∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOE＝45°，∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE＝OA＝3，∴E（3，3），∴直线OE的解析式为：y＝x，∴G（m，m），∴PG＝m﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+5m﹣3，＝S△OPG+S△EPG∴S△OPE＝PG•AE＝×3×（﹣m2+5m﹣3）＝﹣（m2﹣5m+3）＝﹣（m﹣）2+，∵﹣＜0，∴当m＝时，△OPE面积最大，此时，P点坐标为（，﹣）；（3）由y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，得抛物线l的对称轴为直线x＝2，顶点为（2，﹣1），抛物线L向上平移h个单位长度后顶点为F（2，﹣1+h）．设直线x＝2交OE于点M，交AE于点N，则E（3，3），∵直线OE的解析式为：y＝x，∴M（2，2），∵点F在△OAE内（包括△OAE的边界），∴2≤﹣1+h≤3，解得3≤h≤4；（4）设P（m，m2﹣4m+3），分四种情况：①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥y轴，交y 轴于M，交l于N，∴∠OMP＝∠PNF＝90°，∵△OPF是等腰直角三角形，∴OP＝PF，∠OPF＝90°，∴∠OPM+∠NPF＝∠PFN+∠NPF＝90°，∴∠OPM＝∠PFN，∴△OMP≌△PNF（AAS），∴OM＝PN，∵P（m，m2﹣4m+3），则﹣m2+4m﹣3＝2﹣m，解得：m＝（舍）或，∴P的坐标为（，）；②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，同理得：2﹣m＝m2﹣4m+3，解得：m1＝（舍）或m2＝，∴P的坐标为（，）；③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，如图，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN＝FM，则﹣m2+4m﹣3＝m﹣2，解得：m1＝或m2＝（舍）；P的坐标为（，）；④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，如图，同理得m2﹣4m+3＝m﹣2，解得：m＝或（舍），P的坐标为：（，）；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．方法二：作直线DE：y＝x﹣2，E（1，﹣1）是D点（2，0）绕O点顺时针旋转45°并且OD缩小倍得到，易知直线DE即为对称轴上的点绕O点顺时针旋转45°，且到O点距离缩小倍的轨迹，联立直线DE和抛物线解析式得x2﹣4x+3＝x﹣2，解得x1＝，x2＝，同理可得x3＝或x4＝；综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．10．（2023•澄城县一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B，与y轴交于点C（0，3），直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数解析式；（2）在对称轴l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把点A（﹣1，0）、点C（0，3）分别代入y＝﹣x2+bx+c，得．解得．故该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）由（1）知，该抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3．则该抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1．故设M（1，m）．∵A（﹣1，0）、点C（0，3），∴AC2＝10，AM2＝4+m2，CM2＝1+（m﹣3）2．①若AC＝AM时，10＝4+m2，解得m＝±．∴点M的坐标为（1，）或（1，﹣）；②若AC＝CM时，10＝1+（m﹣3）2，解得m＝0或m＝6，∴点M的坐标为（1，0）或（1，6）．当点M的坐标为（1，6）时，点A、C、M共线，∴点M的坐标为（1，0）；③当AM＝CM时，4+m2＝1+（m﹣3）2，解得m＝1，∴点M的坐标为（1，1）．综上所述，符合条件的点M的坐标为（1，）或（1，﹣）或（1，0）或（1，1）．11．（2023•碑林区校级一模）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标．【解答】解：（1）将点（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2，∴a＝﹣，b＝，∴y＝﹣x2+x+2；（2）∵BM＝5﹣2t，∴M（2t﹣1，0），设P（2t﹣1，m），∵PC2＝（2t﹣1）2+（m﹣2）2，PB2＝（2t﹣5）2+m2，∵PB＝PC，∴（2t﹣1）2+（m﹣2）2＝（2t﹣5）2+m2，∴m＝4t﹣5，∴P（2t﹣1，4t﹣5），∵PC⊥PB，∴×＝﹣1，∴t＝1或t＝2，∴M（1，0）或M（3，0），∴D（1，3）或D（3，2）．12．（2023•东洲区模拟）抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴正半轴交于点C．（1）求此抛物线解析式；（2）如图①，连接BC，点P为抛物线第一象限上一点，设点P的横坐标为m，△PBC的面积为S，求S与m的函数关系式，并求S最大时P点坐标；（3）如图②，连接AC，在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）点P作PF⊥x轴于点F，交BC于点E，设BC直线解析式为：y＝kx+b，∵B（3，0），C（0，3），∴，解得，∴y＝﹣x+3，由题意可知P（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），S＝S△PBE+S△PCE，S＝PE•OB＝（﹣m2+2m+3+m﹣3）×3，，∵，∴当时，S有最大值，此时P点坐标为；（3）存在，M 1（1，0），，，M4（1，1），①当AC＝AM时，如图，设对称轴l与AB交于点E，则，∵AM2＝AE2+EM2，∴，解得：，∴M点的坐标为或，②当AC＝MC时，则OC为AM的垂直平分线．因此M与E重合，因此，M点的坐标为（1，0），③当AM＝CM时，如图，设M点的坐标为（1，n），则AM2＝22+n2＝4+n2，CM2＝12+（3﹣n）2，∴4+n2＝12+（3﹣n）2，解得：n＝1，∴M点的坐标为（1，1），综上可知，潢足条件的M点共四个，其坐标为M1（1，0），，，M 4（1，1）．13．（2023•三亚一模）如图，抛物线y ＝ax 2+3x +c （a ≠0）与x 轴交于点A （﹣2，0）和点B ，与y 轴交于点C （0，8），顶点为D ，连接AC ，CD ，DB ，直线BC 与抛物线的对称轴l 交于点E ．（1）求抛物线的解析式和直线BC 的解析式；（2）求四边形ABDC 的面积；（3）P 是第一象限内抛物线上的动点，连接PB ，PC ，当S △PBC ＝S △ABC 时，求点P 的坐标；（4）在抛物线的对称轴l 上是否存在点M ，使得△BEM 为等腰三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+3x +c （a ≠0）过点A （﹣2，0）和C （0，8），∴，解得，∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+3x +8．令y ＝0，得．解得x 1＝﹣2，x 2＝8．∴点B 的坐标为（8，0）．设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ．把点B （8，0），C （0，8）分别代入y ＝kx +b ，得，解得，∴直线BC 的解析式为y ＝﹣x +8．（2）如图1，设抛物线的对称轴l 与x 轴交于点H ．∵抛物线的解析式为，∴顶点D 的坐标为．∴S 四边形ABDC ＝S △AOC +S 梯形OCDH +S △BDH ＝＝＝70．（3）∵．∴．如图2，过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F．设点．∵点F在直线BC上，∴F（t，﹣t+8）．∴．∴．∴．解得t1＝2，t2＝6．∴点P的坐标为（2，12）或P（6，8）．（4）存在．∵△BEM为等腰三角形，∴BM＝EM或BE＝BM或BE＝EM，设M（3，m），∵B（8，0），E（3，5），∴BE＝＝5，EM＝|m﹣5|，BM＝＝，当BM＝EM时，＝|m﹣5|，∴m2+25＝（m﹣5）2，解得：m＝0，∴M（3，0）；当BE＝BM时，5＝，∴m2+25＝50，解得：m＝﹣5或m＝5（舍去），∴M（3，﹣5）；当BE＝EM时，5＝|m﹣5|，解得：m＝5+5或m＝5﹣5，∴M（3，5+5）或（3，5﹣5），综上所述，点M的坐标为（3，0）或（3，﹣5）或（3，5+5）或（3，5﹣5）．14．（2023•南海区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a ＞0）与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，PM⊥BC于点M，PN∥y轴交BC于点N．求线段PM的最大值和此时点P的坐标；（3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0）代入函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）中，得，解得，∴解析式为y＝x2﹣2x﹣3，故抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）当x＝0时，y＝3，∴C（0，﹣3），∵B（3，0），∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵PN∥y轴，∴∠MNP＝45°，∵PM⊥BC，∴PM＝PN，则当PN最大时，PM也最大，设BC的解析式为y＝mx+n，∴，解得，∴BC解析式为y＝x﹣3，设P（x，x2﹣2x﹣3），N（x，x﹣3），∴PN＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣（x﹣）2+，当x＝时，PN最大，则PM＝PN＝×＝，∴P（，），故PM最大值为，P点坐标为（，﹣）；（3）存在，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）．∵CEQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，∴设Q（x，x2﹣2x﹣3），①如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，∵∠CEQ＝90°，∴∠QEM+∠CEN＝90°，∵∠QEM+∠MQE＝90°，∴∠EQM＝∠CEN，∵∠CNE＝∠QME＝90°，EC＝EQ，∴△EMQ≌△CNE（AAS），∴CN＝EM＝x2﹣2x﹣3，MQ＝EN＝3，∴|x Q|+MQ＝CN，﹣x+3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝﹣2，x＝3（舍去），∴OE＝CM＝2+3＝5，E（﹣5，0），②如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，同理：△EMC≌△QNE（AAS），CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，∴﹣x+x2﹣2x﹣3＝3，解得x＝，x＝（舍去），∴OE＝CM＝，E（，0），③如图，点E和点O重合，点Q和点B重合，此时E（0，0），④如图，过点E作x轴的垂线l，再分别过点C和点Q作垂线l的垂线，分别交于点M和点N，同理：△EMC≌△QNE（AAS），CM＝EN＝x2﹣2x﹣3，NQ＝EM＝3，∴x+3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝，x＝（舍去），∴OE＝CM＝，E（，0），综上所述，点E的坐标为（﹣5，0），（，0），（0，0），（，0）．41。
最新九年级数学中考专题训练：二次函数综合压轴题(相似三角形问题)
2023年九年级数学中考专题训练：二次函数综合压轴题（相似三角形问题）1．已知，二次函数23y ax bx =+-的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于C 点，点A 的坐标为()1,0-，且OB OC =．(1)求二次函数的解析式；(2)当04x ≤≤时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？(3)设点C '与点C 关于该抛物线的对称轴对称．在y 轴上是否存在点P ，使PCC '△与POB 相似，且PC 与PO 是对应边？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图1，抛物线234y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接,AC BC ．(1)求ABC 的面积；(2)如图2，点P 为直线上方抛物线上的动点，过点P 作PD AC ∥交直线BC 于点D ，过点P 作直线PE x ∥轴交直线BC 于点E ，求PD PE +的最大值及此时P 的坐标；(3)在（2）的条件下，将原抛物线234y x x =-++沿射线AC 方向平移M 是新抛物线与原抛物线的交点，N 是平面内任意一点，若以P 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N 的坐标．3．已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于()()1030A B ，、，两点，且与y 轴的公共点为点C ，设该抛物线的顶点为D ．(1)求抛物线的表达式，并求出顶点D 的坐标；(2)若点P 为抛物线上一点，且满足PB PC =，求点P 的横坐标；(3)连接CD BC ，，点E 为线段BC 上一点，过点E 作EF CD ⊥交CD 于点F ，若12=DF CF ，求点E 的坐标．4．如图1，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线24y ax bx =++与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，直线4y x =-+经过B 、C 两点，4OB OA =．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，点P 为第四象限抛物线上一点，过点P 作PD x ⊥轴交BC 于点D ，垂足为N ，连接PC 交x 轴于点E ，设点P 的横坐标为t ，PCD 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式；(3)在（2）的条件下，如图3，过点P 作PF PC ⊥交y 轴于点F ，PF PE =．点G 在抛物线上，连接PG ，45CPG ∠=︒，连接BG ，求直线BG 的解析式．5．如图1，已知二次函数2y ax bx c =++的图象的顶点为()0,1D ，且经过点()2,2A ．(1)求二次函数的解析式；(2)过点A 的直线与二次函数图象的另一交点为B ，与y 轴交于点C ，若BDC 的面积是ADC △的两倍，求直线AB 的解析式；(3)如图2，已知(),0E m ，是x 轴上一动点（E ，O 不重合），过E 的两条直线1l ，2l 与二次函数均只有一个交点，且直线1l ，2l 与y 轴分别交于点M 、N ．对于任意的点E ，在y 轴上（点M 、N 上方）是否存在一点()0,F t ，使N FEM F E △∽△恒成立．若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线y 2b c x ++与x 轴交于点A 、B ，点A 、B 分别位于原点的左、右两侧，BO ＝3AO ＝3，过点B 的直线与y 轴正半轴和抛物线的交点分别为C 、D ，BC．(1)求b、c的值；(2)求直线BD的直线解析式；(3)点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．7．如图1，抛物线与坐标轴分别交于A（－1，0），B（3，0），C（0，3）．(1)求抛物线解析式；(2)抛物线上是否存在点P，使得△CBP＝△ACO，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由；(3)如图2，Q是△ABC内任意一点，求DQ EQ QFAD BE CF++的值．8．如图所示，平面直角坐标系中，二次函数y＝a（x+2k）（x﹣k）图象与x轴交于A、B两点，抛物线对称轴为直线x＝﹣2；(1)求k 的值；(2)点C 为抛物线上一点，连接BC 、AC ，作CD △x 轴于D ，当△BCA ＝90°时，设CD 长度为d ，求d 与a 的函数关系式；(3)抛物线顶点为S ，作S T 垂直AB 于T ，点Q 为第一象限抛物线上一点，连接AQ 交S T 于点P ，过B 作x 轴的垂线交AQ 延长线于点E ，连接OE 交BQ 于点G ，过O 作OE 的垂线交AQ 于点F ，若OF ＝OG ，tan△ABQ ＝2时，连接S Q ，求证：S Q ＝S P ．9．已知抛物线23y x bx =-++的图象与x 轴相交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，图象的对称轴为直线=1x -．连接AC ，有一动点D 在线段AC 上运动，过点D 作x 轴的垂线，交抛物线于点E ，交x 轴于点F ．设点D 的横坐标为m ．(1)求AB 的长度；(2)连接AE CE 、，当ACE △的面积最大时，求点D 的坐标； (3)当m 为何值时，ADF △与CDE 相似．10．如图，抛物线28y ax bx =++与x 轴交于()2,0A -和点()8,0B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ，连接AC ，BC ，BC 与抛物线的对称轴l 交于点E ．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P 是第一象限内抛物线上的动点，连接PB ，PC ，设四边形PBOC 和AOC 的面积分别为PBOC S 四边形和AOCS，记AOC PBOC S S S =-△四边形，求S 最大值点P 的坐标及S 的最大值；(3)点N 是对称轴l 右侧抛物线上的动点，在射线ED 上是否存在点M ，使得以点M ，N ，E 为顶点的三角形与BOC 相似？若存在，求点M 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线24y ax bx =+-经过点()1,0C -，点()4,0B ，交y 轴于点A ，点H 是该抛物线上第四象限内的一个动点，HE △x 轴于点E ，交线段AB 于点D ，HQ △y 轴，交y 轴于点Q ．(1)求抛物线的函数解析式．(2)若四边形HQOE 是正方形，求该正方形的面积．(3)连接OD 、AC ，抛物线上是否存在点H ，使得以点O 、A 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，请直接写出点H 的坐标，若不存在，请说明理由．12．如图，已知抛物线2y ax x c =-+的对称轴为直线x ＝1，与x 轴的一个交点为()10A -，，顶点为B ．点()5C m ，在抛物线上，直线BC 交x 轴于点E ．(1)求抛物线的表达式及点E 的坐标； (2)连接AB ，求△B 的余切值；(3)点G 为线段AC 上一点，过点G 作CB 的垂线交x 轴于点M （位于点E 右侧），当△CGM 与△ABE 相似时，求点M 的坐标．13．如图所示，抛物线2=23y x x --与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，点M 为抛物线的顶点．(1)求点C 及顶点M 的坐标．(2)若点N 是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN 、CN ，求BCN △面积的最大值． (3)直线CM 交x 轴于点E ，若点P 是线段EM 上的一个动点，是否存在以点P 、E 、O 为顶点的三角形与ABC 相似．若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，抛物线L 1：y ＝ax 2﹣2x ＋c （a ≠0）与x 轴交于A 、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣3），抛物线的顶点为D ．抛物线L 2与L 1关于x 轴对称．(1)求抛物线L 1与L 2的函数表达式；(2)已知点E 是抛物线L 2的顶点，点M 是抛物线L 2上的动点，且位于其对称轴的右侧，过M 向其对称轴作垂线交对称轴于P ，是否存在这样的点M ，使得以P 、M 、E 为顶点的三角形与△BCD 相似，若存在请求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．15．综合与探究如图，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B ，C 的坐标分别为(2，0)，(0，3)，点D 与点C 关于x 轴对称，P 是直线AC 上方抛物线上一动点，连接PD 、交AC 于点Q ．(1)求抛物线的函数表达式及点A 的坐标； (2)在点P 运动的过程中，求PQ ：DQ 的最大值；(3)在y 轴上是不存在点M ，使45AMB ∠=︒？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于点()1,0A -，()3,0B ，与y 轴的交点()0,6C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点(),P m n 在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设PBC 的面积为S ，求S 关于m 的函数表达式(指出自变量m 的取值范围)和S 的最大值；(3)点M 在抛物线上运动，点N 在y 轴上运动，是否存在点M 、点N 使得△CMN ＝90°，且∆CMN 与OBC ∆相似，如果存在，请求出点M 和点N 的坐标．17．如图（1），直线y ＝－x ＋3与x 轴、y 轴分别交于点B （3，0）、点C （0，3），经过B 、C 两点的抛物线2y x bx c =++与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P ．(1)求该抛物线的解析式与点P 的坐标；(2)当0＜x ＜3时，在抛物线上求一点E ，使△CBE 的面积有最大值； (3)连接AC ，点N 在x 轴上，点M 在对称轴上，△是否存在使以B 、P 、N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出所有符合条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由；△是否存在点M ，N ，使以C 、P 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． （图（2）、图（3）供画图探究）18．如图，已知抛物线213222y x x =-++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ．(1)则点A 的坐标为_________，点B 的坐标为_________，点C 的坐标为_________；(2)设点11(,)P x y ，22(,)Q x y （其中12x x >）都在抛物线213222y x x =-++上，若121x x =+，请证明：12y y >；(3)已知点M 是线段BC 上的动点，点N 是线段BC 上方抛物线上的动点，若90CNM ∠=︒，且CMN 与OBC △相似，试求此时点N 的坐标．参考答案：1．(1)2=23y x x --(2)函数的最大值为5，最小值为4-(3)存在，(0,9)P -或9(0,)5P -2．(1)10；(2)最大值为4，()2,6P ； (3)N 点坐标为113,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或345,24⎛⎫- ⎪⎝⎭或53,24⎛⎫- ⎪⎝⎭．3．(1)243y x x =-+，()21-，(2)⎝⎭或⎝⎭(3)207,99⎛⎫ ⎪⎝⎭4．(1)254y x x =-+ (2)32122S t t =-+ (3)416y x =-5．(1)2114y x =+ (2)312y x =-或132y x =-+ (3)存在，=2t6．(1)132b c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(2)y=+(3)Q 1（，0）、Q 2（0）、Q 3，0）、Q 4（，0） 7．(1)223y x x =-++(2)存在，1217(,),(1,4)24P P - (3)DQ EQ QF AD BE CF ++的值为18．(1)k ＝4 (2)1d a=-9．(1)4(2)（32-，32-） (3)当2m =-或1m =-时ADF △与CDE 相似10．(1)21382y x x =-++ (2)()4,12P ，最大值为56(3)存在，()3,8，(3,5，()3,1111．(1)234y x x =--(2)6+(3)存在，点H 的坐标为1684,525⎛⎫- ⎪⎝⎭或521,24⎛⎫- ⎪⎝⎭12．(1)21322y x x =--；E （2，0） (2)3(3)M 点的坐标为（5，0）或（7，0）13．(1)C 点坐标为（0，-3），顶点M 的坐标为（1，-4）；(2)278(3)P 点的坐标为39(,)44--或（-1，-2）．14．(1)抛物线L 1：2=23y x x --，抛物线L 2：223y x x =-++； (2)435(,)39M 或(4,5)M -．15．(1)211322y x x =--+，A (-3，0)； (2)316； (3)存在，M (0，6)或(0，-6)16．(1)2246y x x =-++(2)S 关于m 的函数表达式为239(03)S m m m =-+<<，S 的最大值是274 (3)存在，M （1，8），N （0，172）或M （74，558），N （0，838）或M （94，398），N （0，38）或M （3，0），N （0，﹣32）17．(1)243y x x =-+，顶点坐标为P （2，－1） (2)33,24E ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)△存在，()10,0N 或27,03N ⎛⎫ ⎪⎝⎭；△存在，点M 的坐标为（2，2）；（2，－4）；（2，4）18．(1)（-1，0），（4，0），(0，2)；(3)点N 的坐标为（32，258）或（3，2）．。
二次函数与相似三角形综合题
二次函数与相似三角形二次函数与相似三角形例1 如图1，已知抛物线x x 41y 2+-=的顶点为A ，且经过原，与x 轴交于点O 、B 。
（1）若点C 在抛物线的对称轴上，点D 在抛物线上，且以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求D 点的坐标；点的坐标；（2）连接OA 、AB ，如图2，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。
点的坐标；若不存在，说明理由。
分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线．．．．．．．为四边形的边和对角线来考虑问题以O 、C 、D 、B 四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB 为边和对角线两种情况2. . 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。
根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。
根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。
②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、三角函数、三角函数、对称、对称、旋转等知识来推导边的大小。
识来推导边的大小。
③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。
度，之后利用相似来列方程求解。
解:⑴如图1,当OB 为边即四边形OCDB 是平行四边形时,CD ∥＝OB, 由1)2x (4102+--=得4x ,0x 21==, ∴B(4,0),OB ＝4. ∴D 点的横坐标为6 将x ＝6代入1)2x (41y 2+--=,得y ＝－3, ∴D(6,－3); 例1题图题图 图1 OAByxOAByx图2 COABDyx图1 13E A'OAB Py x图2 （2）先根据A 、C 的坐标，用待定系数法求出直线AC 的解析式，进而根据抛物线和直线AC 的解析式分别表示出点P 、点M 的坐标，即可得到PM 的长；（3）由于∠PFC 和∠AEM 都是直角，F 和E 对应，则若以P 、C 、F 为顶点的三角形和△AEM 相似时，分两种情况进行讨论：①△PFC∽△AEM，②△CFP∽△AEM；可分别用含m 的代数式表示出AE 、EM 、CF 、PF 的长，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求出m 的值，再根据相似三角形的性质，直角三角形、等腰三角形的判定判断出△PCM 的形状．解答：解：（1）∵抛物线y=ax 2﹣2ax+c （a≠0）经过点A （3，0），点C （0，4）， ∴，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x 2+x+4； （2）设直线AC 的解析式为y=kx+b ， ∵A（3，0），点C （0，4）， ∴，解得，∴直线AC 的解析式为y=﹣43x+4．∵点M 的横坐标为m ，点M 在AC 上，∴M 点的坐标为（m ，﹣43m+4）， ∵点P 的横坐标为m ，点P 在抛物线y=﹣x 2+x+4上，∴点P 的坐标为（m ，﹣ m 2+m+4）， ∴PM=PE﹣ME=（﹣m 2+m+4）﹣（﹣43m+4）=﹣m 2+73m ，即PM=﹣m 2+73m （0＜m ＜3）； （3）在（2）的条件下，连结PC ，在CD 上方的抛物线部分存在这样的点P ，使得以P 、C 、F 为顶点的三角形和△AEM 相似．理由如下：由题意，可得AE=3﹣m ，EM=﹣m+4，CF=m ，PF=﹣m 2+m+4﹣4=﹣m 2+m ． 若以P 、C 、F 为顶点的三角形和△AEM 相似，分两种情况：①若△PFC∽△AEM，则PF ：AE=FC ：EM ，即（﹣m 2+m ）：（3﹣m ）=m ：（﹣ m+4）， ∵m≠0且m≠3， ∴m=．∵△PFC∽△AEM，∴∠PCF=∠AME， ∵∠AME=∠CMF，∴∠PCF=∠CMF．在直角△CMF 中，∵∠CMF+∠MCF=90°， ∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°， ∴△PCM 为直角三角形；②若△CFP∽△AEM，则CF ：AE=PF ：EM ，即m ：（3﹣m ）=（﹣m 2+m ）：（﹣m+4）， ∵m≠0且m≠3，yxEQP C B OA ∴m=1．∵△CFP∽△AEM，∴∠CPF=∠AME， ∵∠AME=∠CMF，∴∠CPF=∠CMF． ∴CP=CM，∴△PCM 为等腰三角形．综上所述，存在这样的点P 使△PFC 与△AEM 相似．此时m 的值为或1，△PCM 为直角三角形或等腰三角形．点评：此题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形、等腰三角形的判定，难度适中．要注意的是当相似三角形的对应边和对应角不明确时，要分类讨论，以免漏解． 练习1、已知抛物线225333y x x =-+经过53(33)02P E æöç÷ç÷èø，，，及原点(00)O ，． （1）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC 于B 点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC ．是否存在点Q ，使得OPC △与PQB △相似？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由．点的坐标；若不存在，说明理由．（2）如果符合（2）中的Q 点在x 轴的上方，连结OQ ，矩形OABC 内的四个三角形OPC PQB OQP OQA ，，，△△△△之间存在怎样的关系？为什么？之间存在怎样的关系？为什么？（1）存在．）存在．设Q 点的坐标为()m n ，，则225333n m m =-+， 要使,BQ PB OCP PBQ CP OC =△∽△，则有3333n m --=，即2253333333m m m +--=解之得，12232m m ==，．当123m =时，2n =，即为Q 点，所以得(232)Q ，要使,BQ PB OCP QBP OC CP =△∽△，则有3333n m --=，即2253333333m m m +--=解之得，12333m m ==，，当3m =时，即为P 点，点， 当133m =时，3n =-，所以得(333)Q -，． 故存在两个Q 点使得OCP △与PBQ △相似．相似．Q 点的坐标为(232)(333)-，，，．（2）在Rt OCP △中，因为3tan 3CP COP OC Ð==．所以30COP Ð=． 当Q 点的坐标为(232)，时，30BPQ COP Ð=Ð=． 所以90OPQ OCP B QAO Ð=Ð=Ð=Ð=．因此，OPC PQB OPQ OAQ ，，，△△△△都是直角三角形．都是直角三角形．又在Rt OAQ △中，因为3tan 3QA QOA AO Ð==．所以30QOA Ð=． 即有30POQ QOA QPB COP Ð=Ð=Ð=Ð=． 所以OPC PQB OQP OQA △∽△∽△∽△， 又因为QP OP QA OA ，⊥⊥30POQ AOQ Ð=Ð=，所以OQA OQP △≌△．2.在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数223y x x =-++的图象与x 轴交于A B ，两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ．（1）若直线:(0)l y kx k =¹与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），则是否存在这样的直线l ，使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D 的坐标；若不存在，请说明理由；(10)(30),(03)A B C -，，，， （2）若点P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角PCO Ð与ACO Ð的大小（不必证明），并写出此时点P 的横坐标p x 的取值范围．的取值范围．（1）假设存在直线:(0)l y kx k =¹与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相似．相似．在223y x x =-++中，令0y =，则由2230x x -++=，解得1213x x =-=，(10)(30)A B \-，，，． 令0x =，得3y =．(03)C \，． 设过点O 的直线l 交BC 于点D ，过点D 作DE x ⊥轴于点E ．yCl xB A 1x = 练习3图yx B E A OC D1x =l点B的坐标为(30)，，点C的坐标为(03)，，点A的坐标为(10)-，．4345.AB OB OC OBC\===Ð=，，223332BC\=+=．要使BOD BAC△∽△或BDO BAC△∽△，已有B BÐ=Ð，则只需BD BOBC BA=，①或.BO BDBC BA=②成立．成立．若是①，则有3329244BO BCBDBA´===．而45OBC BE DEÐ=\=，．\在Rt BDE△中，由勾股定理，得222229224BE DE BE BDæö+===ç÷ç÷èø．解得解得94BE DE==（负值舍去）．93344OE OB BE\=-=-=．\点D的坐标为3944æöç÷èø，．将点D的坐标代入(0)y kx k=¹中，求得3k=．\满足条件的直线l的函数表达式为3y x=．［或求出直线AC的函数表达式为33y x=+，则与直线AC平行的直线l的函数表达式为3y x=．此时易知BOD BAC△∽△，再求出直线BC的函数表达式为3y x=-+．联立33y x y x==-+，求得点D的坐标为3944æöç÷èø，．］若是②，则有342232BO BABDBC´===．而45OBC BE DEÐ=\=，．\在Rt BDE △中，由勾股定理，得222222(22)BE DE BE BD +===．解得解得2BE DE ==（负值舍去）．321OE OB BE \=-=-=．\点D 的坐标为(12)，． 将点D 的坐标代入(0)y kx k =¹中，求得2k =．∴满足条件的直线l 的函数表达式为2y x =．\存在直线:3l y x =或2y x =与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相似，且点D 的坐标分别为3944æöç÷èø，或(12)，．（2）设过点(03)(10)C E ，，，的直线3(0)y kx k =+¹与该二次函数的图象交于点P ． 将点(10)E ，的坐标代入3y kx =+中，求得3k =-． \此直线的函数表达式为33y x =-+．设点P 的坐标为(33)x x -+，，并代入223y x x =-++，得250x x -=． 解得1250x x ==，（不合题意，舍去）．512x y \==-，．\点P 的坐标为(512)-，．此时，锐角PCO ACO Ð=Ð．又二次函数的对称轴为1x =，\点C 关于对称轴对称的点C ¢的坐标为(23)，． \当5px>时，锐角PCO ACO Ð<Ð；当5p x =时，锐角PCO ACO Ð=Ð； 当25p x <<时，锐角PCO ACO Ð>Ð．OxBEA O C1x =PC ¢ ·3.如图所示，已知抛物线21y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ． 在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ^x 轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与D PCA 相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由．否则，请说明理由． 解：解： 假设存在假设存在A (1,0)-B (1,0)C (0,1)- ∵ÐPAB=ÐBAC =45 ∴P A ^AC ∵MG ^x 轴于点G ， ∴ÐMGA=ÐPAC =90 在Rt △AOC 中，OA=OC=1 ∴AC=2 在Rt △PAE 中，AE=PE=3 ∴AP= 32 设M 点的横坐标为m ，则M 2(,1)m m - ①点M 在y 轴左侧时，则1m <-(ⅰ) 当D AMG ∽D PCA 时，有AG PA =MG CA∵AG=1m --，MG=21m -即211322m m ---=解得11m =-（舍去）（舍去） 223m =（舍去）（舍去）(ⅱ) 当D MAG ∽D PCA 时有AG CA =MGPA即 211232m m ---=解得：1m =-（舍去）（舍去） 22m =- ∴M (2,3)-② 点M 在y 轴右侧时，则1m > (ⅰ) 当D AMG ∽D PCA 时有AG PA =MGCA∵AG=1m +，MG=21m -G M 图3 C B y P A oxG M 图2 C B y P A ox图1 C P B y A ox∴211322m m +-=解得11m =-（舍去）（舍去） 243m =∴M 47(,)39(ⅱ) 当D MAG ∽D PCA 时有AG CA =MGPA即211232m m +-=解得：11m =-（舍去）（舍去） 24m = ∴M (4,15)∴存在点M ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与D PCA 相似相似M 点的坐标为(2,3)-，47(,)39，(4,15)4.4.（2013•曲靖压轴题）如图，在平面直角坐标系（2013•曲靖压轴题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A 、B 两点，过A 、B 两点的抛物线y=﹣x 2﹣3x+4．．点D 为线段AB 上一动点，过点D 作CD⊥x 轴于点C ，交抛物线于点E ．（1）当DE=4时，求四边形CAEB 的面积．的面积． （2）连接BE BE，，是否存在点D ，使得△DBE 和△DAC 相似？若存在，求此点D 坐标；若不存在，说明理由．说明理由．考点： 二次函数综合题． 分析： （1）首先求出点A 、B 的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）设点C 坐标为（m ，0）（m ＜0），根据已知条件求出点E 坐标为（m ，8+m ）；由于点E 在抛物线上，则可以列出方程求出m 的值．在计算四边形CAEB 面积时，利用S 四边形CAEB =S △A CE +S 梯形OCEB ﹣S △BCO ，可以简化计算；（3）由于△ACD为等腰直角三角形，而△DBE和△DAC相似，则△DBE必为等腰直角三角形．分两种情况讨论，要点是求出点E的坐标，由于点E在抛物线上，则可以由此列出方程求出未知数．解答：解：（1）在直线解析式y=x+4中，令x=0，得y=4；令y=0，得x=﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，4）．∵点A（﹣4，0），B（0，4）在抛物线y=﹣x2+bx+c上，∴，解得：b=﹣3，c=4，∴抛物线的解析式为：y=﹣x 2﹣3x+4．（2）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则OC=﹣m，AC=4+m．∵OA=OB=4，∴∠BAC=45°，∴△ACD为等腰直角三角形，∴CD=AC=4+m，∴CE=CD+DE=4+m+4=8+m，∴点E坐标为（m，8+m）．∵点E在抛物线y=﹣x 2﹣3x+4上，∴8+m=﹣m2﹣3m+4，解得m=﹣2．∴C（﹣2，0），AC=OC=2，CE=6，S四边形CAEB=S△ACE+S梯形OCEB﹣S△BCO=×2×6+（6+4）×2﹣×2×4=12．（3）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则OC=﹣m，CD=AC=4+m，BD=OC=﹣m，则D（m，4+m）．∵△ACD为等腰直角三角形，△DBE和△DAC相似∴△DBE必为等腰直角三角形．i）若∠BED=90°，则BE=DE，∵BE=OC=﹣m，∴DE=BE=﹣m，∴CE=4+m﹣m=4，∴E（m，4）．∵点E在抛物线y=﹣x2﹣3x+4上，∴4=﹣m2﹣3m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=﹣3，∴D（﹣3，1）；ii）若∠EBD=90°，则BE=BD=﹣m，在等腰直角三角形EBD中，DE=BD=﹣2m，∴C E=4+m﹣2m=4﹣m，∴E（m，4﹣m）．∵点E在抛物线y=﹣x2﹣3x+4上，∴4﹣m=﹣m2﹣3m+4，解得m=0（不合题意，舍去）或m=﹣2，∴D（﹣2，2）．综上所述，存在点D，使得△DBE和△DAC相似，点D的坐标为（﹣3，1）或（﹣2，2）．点评：本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、函数图象上点的坐标特征、待定系数法、相似三角形、等腰直角三角形、图象面积计算等重要知识点．第（3）问需要分类讨论，这是本题的难点．5.5.（2013•绍兴压轴题）抛物线（2013•绍兴压轴题）抛物线y=y=（（x ﹣3）（x+1x+1））与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，点D 为顶点．为顶点．（1）求点B 及点D 的坐标．的坐标．（2）连结BD BD，，CD CD，抛物线的对称轴与，抛物线的对称轴与x 轴交于点E ．①若线段BD 上一点P ，使∠DCP=∠BDE，求点P 的坐标．的坐标．②若抛物线上一点M ，作MN⊥CD，交直线CD 于点N ，使∠CMN=∠BDE，求点M 的坐标．的坐标．考点： 二次函数综合题．3718684分析： （1）解方程（x ﹣3）（x+1）=0，求出x=3或﹣1，根据抛物线y=（x ﹣3）（x+1）与x轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），确定点B 的坐标为（3，0）；将y=（x ﹣3）（x+1）配方，写成顶点式为y=x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2﹣4，即可确定顶点D 的坐标；（2）①根据抛物线y=（x ﹣3）（x+1），得到点C 、点E 的坐标．连接BC ，过点C 作CH⊥DE 于H ，由勾股定理得出CD=，CB=3，证明△BCD 为直角三角形．分别延长PC 、DC ，与x 轴相交于点Q ，R ．根据两角对应相等的两三角形相似证明△BCD∽△QOC，则==，得出Q 的坐标（﹣9，0），运用待定系数法求出直线CQ 的解析式为y=﹣x ﹣3，直线BD 的解析式为y=2x ﹣6，解方程组，即可求出点P 的坐标；②分两种情况进行讨论：（Ⅰ）当点M 在对称轴右侧时．若点N 在射线CD 上，如备用图1，延长MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G，先证明△MCN∽△DBE，由相似三角形对应边成比例得出MN=2CN．设CN=a，再证明△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，然后用含a的代数式表示点M的坐标，将其代入抛物线y=（x﹣3）（x+1），求出a的值，得到点M的坐标；若点N在射线DC上，同理可求出点M的坐标；（Ⅱ）当点M在对称轴左侧时．由于∠BDE＜45°，得到∠CMN＜45°，根据直角三角形两锐角互余得出∠MCN＞45°，而抛物线左侧任意一点K，都有∠KCN＜45°，所以点M不存在．解答：解：（1）∵抛物线y=（x﹣3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），∴当y=0时，（x﹣3）（x+1）=0，解得x=3或﹣1，∴点B的坐标为（3，0）．∵y=（x﹣3）（x+1）=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴顶点D的坐标为（1，﹣4）；（2）①如右图．∵抛物线y=（x﹣3）（x+1）=x2﹣2x﹣3与与y轴交于点C，∴C点坐标为（0，﹣3）．∵对称轴为直线x=1，∴点E的坐标为（1，0）．连接BC，过点C作CH⊥DE于H，则H点坐标为（1，﹣3），∴CH=DH=1，∴∠CDH=∠BCO=∠BCH=45°，∴CD=，CB=3，△BCD为直角三角形．分别延长PC、DC，与x轴相交于点Q，R．∵∠BDE=∠DCP=∠QCR，∠CDB=∠CDE+∠BDE=45°+∠DCP，∠QCO=∠RCO+∠QCR=45°+∠DCP，∴∠CDB=∠QCO，∴△BCD∽△QOC，∴==，∴OQ=3OC=9，即Q（﹣9，0）．∴直线CQ的解析式为y=﹣x﹣3，直线BD的解析式为y=2x﹣6．由方程组，解得．∴点P的坐标为（，﹣）；②（Ⅰ）当点M在对称轴右侧时．若点N在射线CD上，如备用图1，延长MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G．∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，∴△MCN∽△DBE，∴==，∴MN=2CN．设CN=a，则MN=2a．∵∠CDE=∠DCF=45°，∴△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，∴NF=CN=a，CF=a，∴MF=MN+NF=3a，∴MG=FG=a，∴CG=FG﹣FC=a，∴M（a，﹣3+a）．代入抛物线y=（x﹣3）（x+1），解得a=，∴M（，﹣）；若点N在射线DC上，如备用图2，MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G．∵∠CMN=∠BDE，∠CNM=∠BED=90°，∴△MCN∽△DBE，∴==，∴MN=2CN．设CN=a，则MN=2a．∵∠CDE=45°，∴△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，∴NF=CN=a，CF=a，∴MF=MN﹣NF=a，∴MG=FG=a，点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股定理，等腰直角三角形、相似三角形的判定与性质，综合性较强，有一定难度．（2）中第②问进行分类讨论及运用数形结合的思想是解题的关键．6.6.（2013•恩施州压轴题）如图所示，直线（2013•恩施州压轴题）如图所示，直线l ：y=3x+3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．把△AOB 沿y 轴翻折，点A 落到点C ，抛物线y=y=x x 2﹣4x+3过点B 、C 和D （3，0）． （1）若BD 与抛物线的对称轴交于点M ，点N 在坐标轴上，以点N 、B 、D 为顶点的三角形与△MCD 相似，求所有满足条件的点N 的坐标．的坐标． （2）在抛物线上是否存在点P ，使S △PBD =6=6？若存在，求出点？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．由．考点： 二次函数综合题．分析： （1）由待定系数法求出直线BD 和抛物线的解析式；（2）首先确定△MCD 为等腰直角三角形，因为△BND 与△MCD 相似，所以△BND 也是等腰直角三角形．如答图1所示，符合条件的点N 有3个；（3）如答图2、答图3所示，解题关键是求出△PBD 面积的表达式，然后根据S △PBD =6的已知条件，列出一元二次方程求解．解答： （1）抛物线的解析式为：y=x 2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，﹣1）．直线BD ：y=﹣x+3与抛物线的对称轴交于点M ，令x=2，得y=1，∴M（2，1）．设对称轴与x 轴交点为点F ，则CF=FD=MN=1，∴△MCD 为等腰直角三角形．∵以点N 、B 、D 为顶点的三角形与△MCD 相似，∴△BND 为等腰直角三角形．如答图1所示：（I ）若BD 为斜边，则易知此时直角顶点为原点O ，∴N 1（0，0）；（II ）若BD 为直角边，B 为直角顶点，则点N 在x 轴负半轴上，∵OB=OD=ON 2=3，∴N 2（﹣3，0）；（III）若BD为直角边，D为直角顶点，则点N在y轴负半轴上，∵OB=OD=ON3=3，∴N3（0，﹣3）．∴满足条件的点N坐标为：（0，0），（﹣3，0）或（0，﹣3）．（2）假设存在点P，使S△PBD=6，设点P坐标为（m，n）．（I）当点P位于直线BD上方时，如答图2所示：过点P作PE⊥x轴于点E，则PE=n，DE=m﹣3．S△PBD=S梯形PEOB﹣S△BOD﹣S△PDE=（3+n）•m﹣×3×3﹣（m﹣3）•n=6，化简得：m+n=7 ①，∵P（m，n）在抛物线上，∴n=m2﹣4m+3，代入①式整理得：m2﹣3m﹣4=0，解得：m1=4，m2=﹣1，∴n1=3，n2=8，∴P1（4，3），P2（﹣1，8）；（II）当点P位于直线BD下方时，如答图3所示：过点P作PE⊥y轴于点E，则PE=m，OE=﹣n，BE=3﹣n．S△PBD=S梯形PEOD+S△BOD﹣S△PBE=（3+m）•（﹣n）+×3×3﹣（3﹣n）•m=6，化简得：m+n=﹣1 ②，∵P（m，n）在抛物线上，∴n=m 2﹣4m+3，代入②式整理得：m2﹣3m+4=0，△=﹣7＜0，此方程无解．故此时点P不存在．综上所述，在抛物线上存在点P，使S△PBD=6，点P的坐标为（4，3）或（﹣1，8）．点评：本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形的判定与性质、图形面积计算、解一元二次方程等知识点，考查了数形结合、分类讨论的数学思想．第（2）（3）问均需进行分类讨论，避免漏解．。
2021届中考数学专题复习训练——二次函数 专题11二次函数综合之相似三角形
相似三角形的判定类型一：直角三角形相似根据相似、三角函数求解【经典例题1】如图，已知二次函数y=﹣x 2+bx +c （b ，c 为常数）的图象经过点A （3，1），点C （0，4），顶点为点M ，过点A 作AB∥x 轴，交y 轴于点D ，交该二次函数图象于点B ，连结BC ．(1)求该二次函数的解析式及点M 的坐标；(2)若将该二次函数图象向下平移m （m ＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在∥ABC 的内部（不包括∥ABC 的边界），求m 的取值范围；(3)点P 是直线AC 上的动点，若点P ，点C ，点M 所构成的三角形与∥BCD 相似，请直接写出所有点P 的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．【解析】(1)把点A(3，1)，点C(0，4)代入二次函数y=−x 2+bx +c 得， ⎩⎨⎧==++-41332c c b 解得⎩⎨⎧==42c b ∴二次函数解析式为y=−x 2+2x +4，配方得y=−(x −1)2+5，∴点M 的坐标为(1，5)；(2)设直线AC 解析式为y=kx +b ，把点A(3，1)，C(0，4)代入得，⎩⎨⎧==+413b b k 解得⎩⎨⎧=-=41b k ∴直线AC 的解析式为y=−x +4，如图所示，对称轴直线x =1与△ABC 两边分别交于点E. 点F把x =1代入直线AC 解析式y=−x +4解得y=3，则点E 坐标为(1，3)，点F 坐标为(1，1)∴1<5−m<3，解得2<m<4；(3)连接MC ，作MG ⊥y 轴并延长交AC 于点N ，则点G 坐标为(0，5)∵MG=1，GC=5−4=1∴MC=2112222=+=+CG MG ， 把y=5代入y=−x +4解得x =−1，则点N 坐标为(−1，5)，∵NG=GC ，GM=GC ，∴∠NCG=∠GCM=45°，∴∠NCM=90°，由此可知，若点P 在AC 上，则∠MCP=90°，则点D 与点C 必为相似三角形对应点①若有△PCM ∽△BDC ，则有MC/CP=CD/BD∵BD=1，CD=3，∴CP=MC ⋅BD/CD=312⨯=32， ∵CD=DA=3，∴∠DCA=45°，若点P 在y 轴右侧，作PH ⊥y 轴，∵∠PCH=45°，CP=32∴PH=232÷=31 把x =31代入y=−x +4，解得y=311， ∴P 1(31，311)； 同理可得，若点P 在y 轴左侧，则把x =−31代入y=−x +4，解得y=313 ∴P 2(−31，313)； ②若有△PCM ∽△CDB ，则有MC/CP=BD/CD∴CP=132⨯=23∴PH=23÷2=3， 若点P 在y 轴右侧，把x =3代入y=−x +4，解得y=1；若点P 在y 轴左侧，把x =−3代入y=−x +4，解得y=7∴P 3(3，1);P 4(−3，7).∴所有符合题意得点P 坐标有4个，分别为P 1(31，311)，P 2(−31，313)，P 3(3，1)，P 4(−3，7).【经典例题】抛物线y=ax 2+bx+c 过A(2，3)，B(4，3)，C(6，−5)三点。
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(相似三角形问题)(含简单答案)
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（相似三角形问题）1．如图，二次函数216y x bx c =++的图象交坐标轴于点()4,0A ，()0,2B -，点P 为x 轴上一动点．(1)求二次函数216y x bx c =++的表达式； (2)将线段PB 绕点P 逆时针旋转90︒得到线段PD ，若D 恰好在抛物线上，求点D 的坐标； (3)过点P 作PQ x ⊥轴分别交直线AB ，抛物线于点Q ，C ，连接AC ．若以点B 、Q 、C 为顶点的三角形与APQ △相似，直接写出点P 的坐标． 2．抛物线25y ax bx =++经过点1,0A 和点()5,0B ．(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)该抛物线与直线25y x =+相交于C 、D 两点，点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方，直线PM y ∥轴，分别与x 轴和直线CD 交于点M 、N ．①连结PC PD 、，如图1，在点P 运动过程中，PCD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；①连结PB ，过点C 作CQ PM ⊥，垂足为点Q ，如图2，是否存在点P ，使得CNQ 与PBM 相似？若存在，直接写出满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由．3．已知抛物线24y ax ax b =-+与x 轴交于A ，B 两点，（A 在B 的左侧），与y 轴交于C ，若OB OC =，且03C （，）．(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且APD ACB ∠=∠，求点P 的坐标； (3)在抛物线上是否存在一点M ，过M 作MN x ⊥轴于N ，以A 、M 、N 为顶点的三角形与AOC ∆相似，若存在，求出所有符合条件的M 点坐标，若不存在，请说明理由． 4．如图．在平面直角坐标系中．抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．点A 的坐标为()1,0-，点C 的坐标为()0,2-．已知点(),0E m 是线段AB 上的动点（点E 不与点A ，B 重合）．过点E 作PE x ⊥轴交抛物线于点P ，交BC 于点F ．(1)求该抛物线的表达式；(2)若:1:2EF PF =，请求出m 的值；(3)是否存在这样的m ，使得BEP △与ABC 相似？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由；(4)当点E 运动到抛物线对称轴上时，点M 是x 轴上一动点，点N 是抛物线上的动点，在运动过程中，是否存在以C 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点M 的坐标．5．如图，二次函数212y x bx c =-++图像交x 轴于点A ，B （A 在B 的左侧），与y 轴交于点(0,3)C ，CD y ⊥轴，交抛物线于另一点D ，且5CD =，P 为抛物线上一点，PE y轴，与x 轴交于E ，与BC ，CD 分别交于点F ，G ．(1)求二次函数解析式；(2)当P 在CD 上方时，是否存在点P ，使得以C ，P ，G 为顶点的三角形与FBE 相似，若存在，求出CPG △与FBE 的相似比，若不存在，说明理由．(3)点D 关于直线PC 的对称点为D ，当点D 落在抛物线的对称轴上时，此时点P 的坐标为________．6．如图，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，已知A ，B 两点坐标分别是(1,0)A ，(4,0)B -，连接,AC BC ．(1)求抛物线的表达式；(2)将ABC ∆沿BC 所在直线折叠，得到DBC ∆，点A 的对应点D 是否落在抛物线的对称轴上？若点D 在对称轴上，请求出点D 的坐标；若点D 不在对称轴上，请说明理由；(3)若点P 是抛物线位于第二象限图象上的一动点，连接AP 交BC 于点Q ，连接BP ，BPQ ∆的面积记为1S ，ABQ ∆的面积记为2S ，求12S S 的值最大时点P 的坐标． 7．已知，二次函数23y ax bx =+-的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于C 点，点A 的坐标为()1,0-，且OB OC =．(1)求二次函数的解析式；(2)当04x ≤≤时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？(3)设点C '与点C 关于该抛物线的对称轴对称．在y 轴上是否存在点P ，使PCC '△与POB 相似，且PC 与PO 是对应边？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．8．已知菱形OABC 的边长为5，且点(34)A ，，点E 是线段BC 的中点，过点A ，E 的抛物线2y ax bx c =++与边AB 交于点D ，(1)求点E 的坐标；(2)连接DE ，将BDE △沿着DE 翻折痕．①当B 点的对应点B '恰好落在线段AC 上时，求点D 的坐标；①连接OB ，BB '，若BB D '△与BOC 相似，请直接写出此时抛物线二次项系数=a ______． 9．如图，抛物线22(0)y ax x c a =-+≠与x 轴交于A 、()3,0B 两点，与y 轴交于点()0,3C -，抛物线的顶点为D ．(1)求抛物线的解析式；(2)已知点M 是x 轴上的动点，过点M 作x 轴的垂线交抛物线于点G ，是否存在这样的点M ，使得以点A 、M 、G 为顶点的三角形与BCD △相似，若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在直线BC 下方抛物线上一点P ，作PQ 垂直BC 于点Q ，连接CP ，当CPQ 中有一个角等于ACO ∠时，求点P 的坐标．10．如图，抛物线顶点D 在x 轴上，且经过(0,3)-和(4,3)-两点，抛物线与直线l 交于A 、B 两点．(1)直接写出抛物线解析式和D 点坐标；(2)如图1，若()03A ，-，且 94ABDS ＝，求直线l 解析式； (3)如图2，若90ADB ∠=︒，求证：直线l 经过定点，并求出定点坐标．11．如图1，已知抛物线2=23y x x --与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接BC ，点P 是线段BC 下方抛物线上一动点，过点P 作∥PE BC ，交x 轴于点E ，连接OP 交BC 于点F ．(1)直接写出点A ，B ，C 的坐标以及抛物线的对称轴； (2)当点P 在线段BC 下方抛物线上运动时，求BFPE取到最小值时点P 的坐标； (3)当点P 在y 轴右边抛物线上运动时，过点P 作PE 的垂线交抛物线对称轴于点G ，是否存在点P ，使以P 、E 、G 为顶点的三角形与①AOC 相似？若存在，来出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线212ax ax b =-+y 经过()1,0A -，32,2C ⎛⎫⎪⎝⎭两点，与x 轴交于另一点B ．(1)求此抛物线的解析式；(2)若抛物线的顶点为M ，点P 为线段OB 上一动点(不与点B 重合)，点Q 在线段MB 上移动，且2PM MQ MB =⋅，设线段OP x =，2MQ y =，求2y 与x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；并直接写出PM APPQ BQ-的值；(3)在同一平面直角坐标系中，两条直线x m =，x n =分别与抛物线交于点E ，G ，与（2）中的函数图象交于点F ，.H 问四边形EFHG 能否为平行四边形？若能，求m ，n 之间的数量关系；若不能，请说明理由．13．已知抛物线213222y x x =-++交x 轴于A 、B 两点，A 在B 的左边，交y 轴于点C ．(1)求抛物线顶点的坐标；(2)如图1，若10,2E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，P 在抛物线上且在直线AE 上方，PQ AE ⊥于O ，求PQ 的最大值；(3)如图2，点(),3D a （32a <）在抛物线上，过A 作直线交抛物线于第四象限另一点F ，点M 在x 轴上，以M 、B 、D 为顶角的三角形与AFB △相似，求点M 的坐标． 14．如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于点()1,0A 、()3,0B ，与y 轴交于点C ，联结AC 、BC ．(1)求该抛物线的表达式及顶点D 的坐标；(2)如果点P 在抛物线上，CB 平分ACP ∠，求点P 的坐标：(3)如果点Q 在抛物线的对称轴上，DBQ 与ABC 相似．求点Q 的坐标．15．如图，抛物线23y ax x c =-+与x 轴交于(4,0)A -，B 两点，与y 轴交于点(0,4)C ，点D 为x 轴上方抛物线上的动点，射线OD 交直线AC 于点E ，将射线OD 绕点O 逆时针旋转45︒得到射线OP ，OP 交直线AC 于点F ，连接DF ．(1)求抛物线的解析式； (2)当点D 在第二象限且34DE EO =时，求点D 的坐标； (3)当ODF △为直角三角形时，请直接写出点D 的坐标．16．如图①，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C （0，3），顶点为D （4，-1），对称轴与直线BC 交于点E ，与x 轴交于点F ．(1)求二次函数的解析式；(2)点M 在第一象限抛物线的对称轴上，若点C 在BM 的垂直平分线上，求点M 的坐标； (3)如图①，过点E 作对称轴的垂线在对称轴的右侧与抛物线交于点H ，x 轴上方的对称轴上是否存在一点P ，使以E ，H ，P 为顶点的三角形与EFB △相似，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax x c =++经过()2,0A -，()0,4B 两点，直线3x =与x 轴交于点C ．(1)求a ，c 的值；(2)经过点O 的直线分别与线段AB ，直线3x =交于点D ，E ，且BDO △与OCE △的面积相等，求直线DE 的解析式；(3)P 是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC 和直线3x =上是否分别存在点F ，G ，使B ，F ，G ，P 为顶点的四边形是以BF 为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图1，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A ，B （点A 在点B 左侧），与y 轴负半轴交于C ，且满足2OA OB OC ===．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，D 为y 轴负半轴上一点，过D 作直线l 垂直于直线BC ，直线l 交抛物线于E ，F 两点（点E 在点F 右侧），若3DF DE =，求D 点坐标； (3)如图3，点M 为抛物线第二象限部分上一点，点M ，N 关于y 轴对称，连接MB ，P 为线段MB 上一点（不与M 、B 重合），过P 点作直线x t =（t 为常数）交x 轴于S ，交直线NB 于Q ，求QS PS -的值（用含t 的代数式表示）．参考答案：1．(1)211266y x x =-- (2)()3,1D -或()8,10D -(3)点P 的坐标为()011-，或()10，．2．(1)265y x x =-+ (2)37,24⎛⎫- ⎪⎝⎭或()3,4-3．(1)243y x x =-+ (2)()2,2P 或()2,2-(3)存在符合条件的M 点，且坐标为：110(3M ，7)9-，()26,15M ，38(3M ，5)9-4．(1)213222y x x =--； (2)2m =；(3)存在，m 的值为0或3；(4)存在，M 点的坐标为()7,0或()1,0M 或⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭．5．(1)215322y x x =-++；(2)存在点P ，使得以C ，P ，G 为顶点的三角形与FBE 相似，CPG △与FBE 的相似比为2或25；(3)P 点横坐标55．6．(1)213222y x x =--+(2)点D 不在抛物线的对称轴上， (3)(2,3)-7．(1)2=23y x x --(2)函数的最大值为5，最小值为4- (3)存在，(0,9)P -或9(0,)5P -8．(1)13(2)2E ， (2)①11(4)2D ，或23(4)6D ，；①47-9．(1)2=23y x x --(2)()0,0，()6,0，8,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,03⎛⎫⎪⎝⎭(3)57,24⎛⎫- ⎪⎝⎭或者315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭10．(1)()2324y x =--，()2,0D (2)334y x =-或1534y x =- (3)证明见解析，定点坐标为423⎛⎫- ⎪⎝⎭，11．(1)A （﹣1，0），B （3，0），C （0，﹣3），对称轴为直线x ＝1(2)当t ＝32时，BF PE 最小，最小值为47，此时P （32，﹣154）．(3)存在，点P 的坐标为（2，﹣3）12．(1)211322y x x =-++(2)22150322y x x x =-+≤<（），PM AP PQ BQ -的值为0 (3)m 、n 之间的数量关系是2(1)m n m +=≠13．(1)（32，258）答案第3页，共3页(3)（2，0）或（-5，0）或13,07⎛⎫ ⎪⎝⎭或2205⎛⎫- ⎪⎝⎭，14．(1)2=+43y x x --，(21)D ， (2)111639⎛⎫ ⎪⎝⎭，- (3)(2，−2)或12,3⎛⎫ ⎪⎝⎭15．(1)234y x x =--+(2)(1,6)D -或(3,4)D -(3)(3,4)-或(0,4)或2⎫⎪⎪⎝⎭或2⎫⎪⎪⎝⎭16．(1)21234y x x =-+(2)(4,3(3)存在P 1)或(4,1)，使以E ，H ，P 为顶点的三角形与EFB △相似，17．(1)12a =-，4c = (2)23y x =- (3)存在这样的点F ，点F 的坐标为(2,0)或18．(1)2122y x =- (2)()0,1D -或190,8D ⎛⎫- ⎪⎝⎭， (3)24QS PS t -=-+。
二次函数与相似三角形问题(含答案完美打印版)
综合题解说函数中因动点产生的相像三角形问题例题如图1，已知抛物线的极点为A（2， 1），且经过原点O，与 x 轴的另一个交点为B。
⑴求抛物线的分析式；（用极点式求得抛物线的分析式为12y x x ）．．．4⑵若点 C 在抛物线的对称轴上，点 D 在抛物线上，且以O、C、 D、 B 四点为极点的四边形为平行四边形，求 D 点的坐标；⑶连结 OA、 AB，如图 2，在 x 轴下方的抛物线上能否存在点P，使得△ OBP与△ OAB相像若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明原因。
y yA AO B O Bx x图1例1题图图2．．．．．．．O、C、 D、 B 剖析 :1. 当给出四边形的两个极点时应以两个极点的连线为四边形的边和对角线来考虑问题以四点为极点的四边形为平行四边形要分类议论: 按 OB为边和对角线两种状况2.函数中因动点产生的相像三角形问题一般有三个解题门路① 求相像三角形的第三个极点时，先要剖析已知三角形的边和角的特色，从而得出已知三角形能否为特．．殊三角形。
依据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类议论。
②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。
③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标从而用函数分析式来表示各边的长度，以后利用相像来列方程求解。
例题 2：如图，已知抛物线y=ax 2+4ax+t （ a＞ 0）交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴于点 C，抛物线的对称轴交轴于点 E，点 B 的坐标为（ -1 ，0）．（ 1）求抛物线的对称轴及点 A 的坐标；（ 2）过点 C 作 x 轴的平行线交抛物线的对称轴于点P，你能判断四边形ABCP是什么四边形并证明你的结论；（ 3）连结 CA与抛物线的对称轴交于点D，当∠ APD=∠ ACP时，求抛物线的分析式．x练习 1、已知抛物线253及原点O (0，0)．y ax bx c 经过P(，，，33) E20（ 1）求抛物线的分析式．（由一般式得抛物线的分析式为2253y x x ）．．．33（ 2）过P点作平行于x轴的直线PC交y轴于C点，在抛物线对称轴右边且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点 Q 作直线 QA 平行于y轴交x轴于A点，交直线PC 于 B 点，直线QA与直线 PC 及两坐标轴围成矩形 OABC ．能否存在点Q，使得△OPC 与△PQB相像若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明原因．（ 3）假如切合（ 2）中的Q点在x轴的上方，连结OQ，矩形OABC内的四y个三角形△ OPC，△ PQB，△OQP，△ OQA 之间存在如何的关系为何C PBQO EA x练习 2、如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点 A 在 x 轴上，点 C在 y 轴上，将边 BC折叠，使点 B落在边 OA的点 D 处。
专题 二次函数与相似三角形有关的问题(知识解读)-中考数学(全国通用)
专题05二次函数与相似三角形有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数与相似三角形是中考数学的压轴题，具有一定的难度，也是中考考频比较高的，本节未同学们提供解题途径，希望能够助同学们轻松解题。
【解题思路】关函数与相似三角形的问题一般三个解决途径：(1)求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形．根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论；(2)利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数来推导边的大小；(3)若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解．【典例分析】【典例1】（2019•娄底）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，﹣3）．点P、Q是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．【变式1-1】（2022•贵港）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（0，3）和B（，﹣）两点，直线AB与x轴相交于点C，P是直线AB上方的抛物线上的一个动点，PD⊥x轴交AB于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若以A，P，D为顶点的三角形与△AOC相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标．【变式1-2】（2022•绵阳）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C（0，3），顶点D的横坐标为1．（1）求抛物线的解析式；（2）在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB+∠ACB＝180°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与△ADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．【典例2】（2022•玉林）如图，已知抛物线：y＝﹣2x2+bx+c与x轴交于点A，B（2，0）（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x＝，P是第一象限内抛物线上的任一点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P作x轴的垂线与线段BC交于点M，垂足为点H，若以P，M，C为顶点的三角形与△BMH相似，求点P的坐标．【变式2-1】（2022•辽宁）抛物线y＝ax2﹣2x+c经过点A（3，0），点C（0，﹣3），直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线于点E．抛物线的对称轴交AE于点B，交x轴于点D，交直线AC于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，连接CD，点Q为平面内直线AE下方的点，以点Q，A，E为顶点的三角形与△CDF相似时（AE与CD不是对应边），请直接写出符合条件的点Q的坐标．【变式2-2】（2022•桂林）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ （点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）过点P作PM⊥y轴于点M，当△CPM和△QBN相似时，求点Q的坐标．【变式2-3】（2021•黑龙江）如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，顶点为点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是对称轴左侧抛物线上的一个动点，点Q在射线ED上，若以点P、Q、E为顶点的三角形与△BOC相似，请直接写出点P的坐标．专题05二次函数与相似三角形有关的问题（知识解读）【专题说明】二次函数与相似三角形是中考数学的压轴题，具有一定的难度，也是中考考频比较高的，本节未同学们提供解题途径，希望能够助同学们轻松解题。
中考数学专题复习：二次函数压轴题(相似三角形问题)
中考数学专题复习：二次函数压轴题（相似三角形问题）一、解答题（共16小题）1．如图抛物线y ＝ax 2+ax +c （a ≠0）与x 轴的交点为A 、B （A 在B 的左边）且AB ＝3，与y 轴交于C ，若抛物线过点E （﹣1，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）在x 轴的下方是否存在一点P 使得△PBC 的面积为3？若存在求出P 点的坐标，不存在说明理由；（3）若D 为原点关于A 点的对称点，F 点坐标为（0，1.5），将△CEF 绕点C 旋转，在旋转过程中，线段DE 与BF 是否存在某种关系（数量、位置）？请指出并证明你的结论．2．如图，直线y =﹣x +3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，经过B 、C 两点的抛物线y =x 2+bx +c 与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P ．（1）求该抛物线的解析式；（2）连接AC ，在x 轴上是否存在点Q ，使以P 、B 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y 212x =-+bx +c 与x 轴交于A （﹣2，0）、B （4，0）两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接AC 、BC ，点P为直线BC 上方抛物线上一动点，连接OP 交BC 于点Q ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当PQ OQ 的值最大时，求点P 的坐标和PQOQ的最大值；（3）把抛物线y 212x =-+bx +c 沿射线AC y '，M是新抛物线上一点，N 是新抛物线对称轴上一点，当以M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出N 点的坐标．4．如图，抛物线212y x mx n =++与直线132y x =-+交于,A B 两点，交x 轴与,D C 两点，连接,,AC BC 已知()()0,3,3,0A C ．（1）求抛物线的解析式；（2）求证：ABC 是直角三角形；（3）P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA ，过点P 作PQ PA ⊥交y 轴于点Q ，问：是否存在点P 使得以A 、P 、Q 为顶点的三角形与ACB △相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，D 为OC 的中点，直线AD 交抛物线于点E （2，6），且△ABE 与△ABC 的面积之比为3∶2．（1）求直线AD 和抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴与轴相交于点F ，点Q 为直线AD 上一点，且△ABQ 与△ADF 相似，直接写出点Q 点的坐标．第5题图第6题图6．如图，抛物线y =-x ²+b x+c 与x 轴交于点A （-1，0）和B （3，0），与y 轴交于点C .（1）求抛物线的解析式；（2）若P 为抛物线的顶点，动点Q 在y 轴右侧的抛物线上，是否存在点Q 使∠QCO =∠PBC ?若存在，请求出点Q 的坐标.若不存在，请说明理由.7．已知抛物线()20y ax bx c a =++>与x 轴交于点()0A 1，和()40B ，，与y 轴交于点C ，O 为坐标原点，且OB OC =．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P 是线段BC 上的一个动点（不与点B 、C 重合），过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点Q ，连接OQ ．当四边形OCPQ 恰好是平行四边形时，求点Q 的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，D 是OC 的中点，过点Q 的直线与抛物线交于点E ，且2DQE ODQ ∠=∠，在直线QE 上是否存在点F ，使得BEF △与ADC △相似？若存在，求点F 的坐标：若不存在，请说明理由．8．如图，抛物线y=mx 2+8mx +12m （m >0）与x 轴交于A ，B 两点(点B 在点A 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ，其对称轴与x 轴交于点E ，联接AD ，OD ．（1）求顶点D 的坐标（用含m 的式子表示）；（2）若OD ⊥AD ，求该抛物线的函数表达式；（3）在（2）的条件下，设动点P 在对称轴左侧该抛物线上，PA 与对称轴交于点M ，若△AME 与△OAD 相似，求点P 的坐标．9．抛物线23y x bx =-++与x 轴交于(3,0),(1,0)A B -两点，与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点．（1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标；（2）在直线AC 上方的抛物线上找一点P ，使12ACP ACD S S =，求点P 的坐标；（3）在坐标轴上找一点M ，使以点B ，C ，M 为顶点的三角形与ACD 相似，直接写出点M 的坐标．10．如图．在平面直角坐标系中，抛物线2()20y ax x c a =++≠与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为()1,0-，对称轴为直线1x =．点M 为线段OB 上的一个动点，过点M 作直线l 平行于y 轴交直线BC 于点F ，交抛物线2()20y ax x c a =++≠于点E ．（1）求抛物的解析式；（2）当以C 、E 、F 为顶点的三角形与ABC 相似时，求线段EF 的长度：（3）如果将ECF △沿直线CE 翻折，点F 恰好落在y 轴上点N 处，求点N 的坐标．11．如图，已知：抛物线y ＝x 2+bx+c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，点D 为顶点，连接BD ，CD ，抛物线的对称轴与x 轴交于点E ．（1）求抛物线解析式及点D 的坐标；（2）G 是抛物线上B ，D 之间的一点，且S 四边形CDGB ＝4S △DGB ，求出G 点坐标；（3）在抛物线上B ，D 之间是否存在一点M ，过点M 作MN ⊥CD ，交直线CD 于点N ，使以C ，M ，N 为顶点的三角形与△BDE 相似？若存在，求出满足条件的点M 的坐标，若不存在，请说明理由．12．如图，已知抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）经过A （-1，0），B （4，0），C （0，2）三点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）E 为抛物线上一动点，是否存在点E ，使以A 、B 、E 为顶点的三角形与△COB 相似？若存在，试求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将直线BC 平移，使其经过点A ，且与抛物线相交于点D ，连接BD ，试求出∠BDA 的度数．13．如图，抛物线22y ax bx =+-经过点()4,0A 、()10B ,两点，点C 为抛物线与y 轴的交点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P 是x 轴上方抛物线上的一个动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M ，问：是否存在点P ，使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与OAC ∆相似若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC 上方的抛物线上找一点D ，过点D 作x 轴的垂线，交AC 于点E ，是否存在这样的点D ，使DE 最长，若存在，求出点D 的坐标，以及此时DE 的长，若不存在，请说明理由．14．如图，在同一直角坐标系中，抛物线1L ：28y ax bx =++与x 轴交于()8,0A -和点C ，且经过点()2,12B -，若抛物线1L 与抛物线2L 关于y 轴对称，点A 的对应点为'A ，点B 的对应点为B'．（1）求抛物线2L 的表达式；（2）现将抛物线2L 向下平移后得到抛物线3L ，抛物线3L 的顶点为M ，抛物线3L 的对称轴与x 轴交于点N ，试问：在x 轴的下方是否存在一点M ，使MNA ' 与ACB '△相似？若存在，请求出抛物线的3L 表达式；若不存在，说明理由．15．已知抛物线21:(0)L y ax a =>上一点(,)M m n ，点(,)M m n 在第一象限，过点M 分别作y 轴、x 轴的垂线段,MA MB ，垂足分别是,A B ．（1）如图1，若四边形MAOB 是正方形，则m 和a 的数量关系是_______________．（2）若抛物线21:(0)L y ax a =>与直线1:2l y x =-的一个交点C 的纵坐标是12．①求抛物线21:(0)L y ax a =>的解析式．②如图2，将抛物线21:(0)L y ax a =>沿着直线l 平移，平移过程中抛物线的顶点始终在直线l 上．若平移前的抛物线1L 与平移后的抛物线2L 恰好相交于点M ，四边形MAOB 也是正方形，求抛物线2L 的顶点E 的坐标．③在②的条件下继续平移抛物线21:(0)L y ax a =>，得到抛物线33,L L 的顶点D 的横坐标大于点E 的横坐标，:5:OE OD b ，抛物线3L 与x 轴的两个交点,F H （点F 在点H 的左边）之间的距离是6．连接,MF MBF 与DGO △是否相似？请说明理由．16．在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝mx 2＋4mx ＋4m ＋6（m ＜0）与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为点D ．（1）当m ＝﹣6时，直接写出点A ，B ，C ，D 的坐标；（2）如图1，直线DC 交x 轴于点E ，若tan ∠AED=43，求m 的值及直线DE 的解析式；（3）如图2，在（2）的条件下，若点Q 为OC 的中点，连接AQ ，动点P 在第二象限的抛物线上运动，过点P 作x 轴的垂线．垂足为H ，交AQ 于点M ，过点M 作MN ⊥DE ，垂足为N ，求PM ＋MN 的最大值．参考答案1．（1）y ＝﹣x 2﹣x +2；（2）存在，P （3，﹣10）；（3）DE ⊥BF 且DE ＝2BF ，2．（1）抛物线解析式为y =x 2﹣4x +3；（2）Q 点的坐标为（0，0）或（73，0）．3．（1）2142y x x =-++（2）PQ OQ取得最大值12，此时，(2,4)P ．（3）15(2,)2N ，211(2,)2N -，35(2,2N -．4．（1）215322y x x =-+；（2）22；（3）存在，满足条件的点P 的坐标为1136（，），1314,39⎛⎫ ⎪⎝⎭，1744,39⎛⎫⎪⎝⎭．5．（1）．234y x x =-++；(2)Q （1，4）或Q （352，）6．（1）223y x x =-++；（2）()512-，7．（1）抛物线的解析式为254y x x =-+；（2）()22Q -，（3）存在，()142F ，，281455F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，8．（1）(4,-4m)；（2）22y x =-+；（3）（0，1，2）9．（1）223y x x =--+；(1,4)D -；（2）35,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭P 或35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）点M 的坐标为(0,0)或(9,0)-，或10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭．10．（1）223y x x =-++；（2）94EF =（3）N 的的坐标是1)+11．（1）2=23y x x --；顶点D (1,-4)；（2）(2,3)G -；（3）存在，点720,39M ⎛⎫- ⎪⎝⎭或532,39⎛⎫- ⎪⎝⎭．12．（1）抛物线的解析式为：y=-12x 2+32x+2．（2）存在．E 点坐标为（0，2），（3，2）．（3）∠ADB=45°．13．（1）215222y x x =-+-；（2）(2，1)；（3）(2，1)，214．（1）抛物线2L 的解析式为21382y x x =-++．（2）函数3L 的解析式为：2121322y x x =-+-或2126323y x x =-+-．15．（1）am =1；（2）①212y x =；②5(5,)2E -；③MBF V 与DGO △相似16．(1)（﹣3，0），（﹣1，0），（0，﹣18），（﹣2，6）(2)m 23=-，y 43=-x 103+(3)263。