人教版九年级数学上册教案《配方法》

《21.2.1配方法》教学设计

第1课时

教材分析:

本节仍然结合实际问题展开，重点讨论用配方法解一元二次方程.首先课本先讨论了直接开平方法，直接开平方法的依据是求一个数的平方根，另外循序渐进地安排了两类方程：x²=p和(x+n)²=p，后者可以看成是前者的推广.学习完直接开平方法后介绍了配方法，利用配方将一般式转换为可进行直接开平方法的形式，配方法也为后面推到公式法提供了方法依据.

教学目标：

【知识与能力目标】

1.使学生知道形如x2＝a(a≥0)的一元二次方程可以用直接开平方法求解；

2.使学生知道直接开平方法求一元二次方程的解的依据是数的开平方；

3.使学生能够熟练而准确的运用直接开平方法求一元二次方程的解；

【过程与方法】

1.在学习与探究中使学生体会“化归”“换元”与“分类讨论”的数学思想及运用类比进行学习的方法．

2.通过利用数的平方根得到用直接开平方法解一元二次方程，使学生能够解答符合条件的一

元二次方程，同时为配方法的学习打好基础．

【情感态度与价值观】

通过利用直接开平方法解一元二次方程使学生在学习中体会成功感，感受数学学习的价值．教学重难点：

【教学重点】

使学生能够熟练而准确的运用直接开平方法求一元二次方程的解.

【教学难点】

探究一元二次方程(x－m)2＝a的解的情况，培养分类讨论的意识

课前准备：

多媒体

教学过程：

问题1：在运动场正中间搭建一个面积为144平方米的正方形舞台，那么这个正方形舞台的边长是多少米呢？（请设未知数列方程解决）

【解】设这个正方形舞台的边长是x米．列方程，得x2＝144.

根据平方根的意义，得x＝±144＝±12，

∴原方程的解是x1＝12，x2＝－12.

∵边长不能为负数，

∴x＝12.

即这个正方形舞台的边长是12米．

【设计意图】用学生身边的实际问题引入新课，激发学生的积极性，同时体现数学来源于生活并用之于生活．

问题2：（1）将下列各数的平方根写在旁边的括号里．

A：9( ±3)，5( ± 5 )，49( ±7)；

B：8( ±2 2 )，24( ±2 6 )，14( ±14 )；

C：3( ± 3 )，1.2( ±30

5

)，2( ± 2 )．

(2)．若x2＝4，则x＝__±2__．

【设计意图】通过对平方根的复习为本节课做准备，同时对平方根概念的掌握情况进行教学诊断，起到承上启下的作用．建议：在做第1小题时最好先让学生回顾平方根和算术平方根的概念．对于第2题，根据平方根的概念求解，从而导出新课．

（2）追问：什么叫做平方根？平方根具有哪些性质？

【结论】一个数x的平方等于a，则这个数叫做a的平方根.

性质：正数的平方根有两个，它们是互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根.

【设计意图】通过回顾平方根的概念及性质和开平方的意义，有助于学生理解利用直接开平方法解一元二次方程，为学习新知打下基础.

问题3：(1)如何解一元二次方程x2＝5，m2＝16，x2－121＝0?

(2)你能求出一元二次方程－x2＋3＝0和x2＋1＝0的解吗？若能，请写出求解过程；若不能，请说明理由．

【解】（1）∵x²=5，∴x=5

±.

∵m²=16，∴m=±4.

∵x²-121=0，即x²=121，∴x=±11.

（2）∵-x²+3=0即x²=3，∴x=3

±.

∵x²+1=0即x²=-1，

由负数没有平方根，故方程无实数根.

【结论】一般地，对于方程x²=p（※），

（1）当p＞0时，根据平方根的意义，方程（※）有两个不等的实数根x1=

p

-，x

2==

p；

（2）当p=0时，方程（※）有两个相等的实数根x1=x2=0；

（3）当p＜0时，因为对于任意实数x，都有x²≥0，所以方程（※）无实数根.

这种解方程的方法叫做直接开平方法.

板书课题：直接开平方法解一元二次方程

【设计意图】设置问题（1），使学生进一步体验直接开平方法适用的一元二次方程的形式；设置问题（2），通过对一些复杂问题的探究帮助学生更加深入而准确地理解直接开平方法适用的一元二次方程.并为总结出一般的情况作出铺垫.

问题4：例1解方程：(x＋3)2＝5.

【解】x+3=5±

∴x 1=53-

,x 2=53+ . [变式练习]解一元二次方程：

(1)2(x －8)2＝50；(2)(2x －1)2

－32＝0.

【解】(1)原方程可化为（x-8）²=25

∴x-8=±5，

∴x 1=13，x 2=3.

（2）原方程可化为（2x-1）²=32

∴2x-1=24±. ∴x 1=2221-，x 2=222

1+.

例2 已知x 1，x 2是一元二次方程3(x －1)2＝15的两个解，且x 1＜x 2，下列说法正确的是( A )

A ．x 1小于－1，x 2大于3

B ．x 1小于－2，x 2大于3

C ．x 1，x 2在－1和3之间

D ．x 1，x 2都小于3

【解】原方程化为（x-1）2=5

∴x=1±5

即x 1=1-5≈-1.236，x 2=1+5≈3.236

故选A.

例3 若一元二次方程ax 2＝b(ab ＞0)的两个根分别是m ＋1与2m －4，则a

b = . 【解】：方程的解为a

b x ±=， ∴m+1和2m-4是互为相反数，

即(m+1)+(2m-4)=0.

解得，m=1.

∴方程的两个根为2和-2.