2003～2004学年第二学期《高等数学》期末考试试题B卷(180学时)
200420052高等数学期末试题
1
dr
1r 2
(3r 2 2z) r dz
0
0
0
2
1
(
3r
3
z
0
r
z2]
1r 2 0
dr
2
1
[3r
3
(1
r
2
)
r
(1
r
2
)2
]dr
0
2
1
(
0
2
r5
r3
r ) dr
2 (
2
r6 6
r4 4
r2 2
)
1 0
5
6
x3dydz y3dzdx (z2 1)dxdy (z2 1)dxdy
2
d
1
[2r
4
cos 4
2r 4
sin4
(1
r2
)2
1]r
dr
0
0
14
2
d
1
[2r
4
cos 4
2r 4
sin4
(1
r
2 )2
1]r
dr
0
0
2
d
1
[2r
5 (cos4
sin4
)
(r 5
2r
3
)]dr
0
0
2 0
[(cos4 sin4 ) r 6
3
1 0
(1 6
r6
1 0
1 2
r4
1 0
6. 求方程 yy ( y)2 0 的通解时,可令( B ).
A. y P,则 y P C. y P,则 y P dP
dx
B. y P,则 y P dP dy
2003高等数学试题B卷
∫∫ | f ( x , y ) | dσ ≥ ∫∫
D1 D2
| g ( x , y ) | dσ
第 1 页 共 7页
3. 设 C 1 , C 2 是围住原点的两条同向的封闭曲线 , 若已知
∫
C1
2 xdx + ydy = K ( 常数 ) ,则 x2 + y 2
∫
2 xdx + ydy ( C2 x2+ y2
学 号
姓
班
广 州 大 学 2003-2004 学 年 第 二 学 期 考 试 卷
课 程:高等数学(B 卷) 考 试 形 式: 闭卷 四 22 五 12 六 14 七 考试 八 总 分 100
级
名
题 次 分 数 得 分 评卷人
一 15
二 15
三 22
一. 选择题(每小题 3 分,共 15 分) 1. 设
求微分方程 x dy y ln y = 0 的通解 . dx
2. (本题 8 分)
求曲线,使其上任一点 ( x , y ) 的切线斜率为该点横坐 标与纵坐标两倍之和,且曲线过原点.
第 7 页 共 7页
�
2. (本题 6 分)
设 z = z ( x , y ) 由方程 z = e
x+ y z
所确定 , 求
z . x
第 3 页 共 7页
3. (本题 8 分)
求函数 z = x 3 + y 3 xy 的极值.
四. 解答下列各题(本大题共 22 分) 1. (本题 6 分)
设 f (x, y) 为连续函数,交换二次积分 的积分次序.
(C ) 当 D1 D 2 时 , 在 D 2 上 , f ( x , y ) ≥ g ( x , y ) 时 ,
第二学期高等数学(B)Ⅱ期末考试试卷答案
解：
G G i j G ∂ ∂ rot A = ∂x ∂y 2 z − 3 y 3x − z
2002-2003 学年第二学期高等数学（B）Ⅱ期末考试试卷答案
北 方
交
通
大
学
2002-2003 学年第二学期高等数学（B）Ⅱ期末考试试卷答案
一．计算题（本题满分 35 分，共有 5 道小题，每道小题 7 分） ， 1．设 z = arctan 解：
y ，求 dz ． x
⎛ y⎞ ⋅ d⎜ ⎟ ， ⎝ x⎠ ⎛ y⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝x⎠ 1
z = 4 1−
求下雨时过房顶上点 P 1, 解：
x2 y2 − ． 16 36
(
3,
11 处的雨水流下的路线方程（不考虑摩擦） ．
)
雨水沿 z 轴下降最快的方向下流，即沿着 z 的梯度
grad z =
∂z G ∂z G i+ j ∂y ∂x
的反方向下流．因而雨水从椭球面上流下的路线在 xOy 坐标面上的投影曲线上任一点处的切线应与
G k G G G ∂ = 2 i + 4 j + 6k ∂z y − 2x
5．求解微分方程 y ′′ + 4 y = 4 cos 2 x ． 解： 先解对应的齐次方程 y ′′ + 4 y = 0 ．其特征方程为 r + 4 = 0 ，得其解为 r1 = 2i ， r2 = −2i ．因而对
2004级高等数学(下)试卷(B卷20057)
2004级高等数学（下）试卷（B 卷2005.7）试卷号：B020001校名___________ 系名___________ 专业___________ 姓名___________ 学号___________ 日期___________一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分4小题, 每小题4分, 共16分)1、曲面z x y =+22是（A ）zox 平面上曲线z x =绕z 轴旋转而成的旋转曲面 （B ）zoy 平面上曲线z y =绕z 轴旋转而成的旋转曲面 （C ）zox 平面上曲线z x =绕x 轴旋转而成的旋转曲面 （D ）zoy 平面上曲线z y =绕y 轴旋转而成的旋转曲面答：（）2、函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=001sin1cos ),(xy xy xy y x y x f ，则极限lim (,)x y f x y →→00= 。
(A)不存在(B)等于1 (C)等于零 (D)等于2答（）3、设u x x y =+arcsin22则∂∂u x= (A)x x y22+(B)-+y x y22(C) y x y22+ (D) -+x x y22答（ ）4、用格林公式计算，其中C 为圆周x 2+y 2=R 2,其方向为逆时针方向。
则得答( )二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分)1、已知级数∑∞=1n n u 的前n 项部分和13+=n ns n () 2, 1=n则此级数的通项=n u 。
2、设幂级数∑∞=0n n nx a的收敛半径是4，则幂级数∑∞=+012n n nx a的收敛半径是 。
3、已知向量 a 与{} c =-474,,方向相反，且 a =27，则a = ______ 。
4、曲面sin()cos()sin()x y y z z x +++--=++2323222在点(,,)πππ646-处的切平面方程是______。
高等数学考试(2003～2004学年第二学期)题解
高等数学统考试卷（20－2004学年第二学期）参考解答一、1．{}14,7,49±-（漏“一”号扣一分） 2．dy y x xdx y x y 2222+++-3．120()yydy f x y dx -⋅⎰⎰4．275．y ＝0y e kx-二、6．D 7．D 8．C 9．B 10．C三、11．解法1．记 22(,,)(,)F x y z G x yz y xz =++v u x zG x G F +⋅=2 v u y yG zG F 2+= v u z G yG F λ+=x z ∂∂v u u u xG yG zG xG ++-=2， v u v uxG yG xG zG y z ++-=∂∂2 22(2)(2)z zy xz x yz x y ∂∂-+-∂∂[])2)(2()2)(2()(122v u v u v u yG zG yz x zG xG xz y xG yG +-++-+-=[]xy z xG yG z xy xG yG v u v u -=+-+-=22))(4()(1解：将原方程两边同时对x 、y 求导(z=z(x,y))得0)()2(=∂∂++∂∂+x zx z G x z y x G v u （1）()(2)0u v z z G z y G y x y y ∂∂+++=∂∂ （2） 联立（1）、（2）消去G u 、G v 得 22z z z z x y y x z y z x x y y x ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭0)2()2(22=∂∂-+∂∂-y zyz x x z xy y 12．设三条移长分别为x,y,z ，则长方体表面积为求U=2xy+2zx+2yz ，其中x+y+z=3a方法一：由z z y y x x f f f ϕϕϕ==得111yx x z z y +=+=+ 得x=y=z=a 为所求唯一解故当x=y=z=a 时 u=6a 2为所求条件最大值方法二：作)3(222),,,(z y x a yz zx xy z y x F ---+++=λλ 0)(2=-+=λz y F x 解科x=y=z=a （唯一解）0)(2=-+=λx z F y 2()0z F y x λ=+-= （一般不要求判定）判定法（亦是初等解法）222116(183)(2()666)33a u a u x y z xy yz zx -=-=++--- 2221()()()03x y y z z x ⎡⎤=-+-+-≥⎣⎦ 26a u ≤ 且等号仅当x=y=z=a 时或立，故x=y=z=a 时u 取得条件最大值26u a =13．记}2,2,1{1-=n},,{2}2,2,2{z y x z y x n ==令}2,1,2//{},,{-z y x 即⎩⎨⎧-==y z yx 22代入曲面方程9)2()2(222=-+y y y ＋ 1±=y 所求点为(2,1,-2)或 (-2,-1,2)14．原式=aa a dx ydy -⋅⎰⎰-=⋅⨯=-=a a a a dx x a 22222122ππ15．方法一：（投影法，柱面坐标法） 原式=xy DR d zdz σ⋅⎰⎰ 2223:4R D x y +≤xyDd y x R R R σ⎰⎰--+-=)2(2222⎰⎰⋅-⋅+-⋅=πθ20230222)2(R r d rr R R R d22223122(()243R R R R R r π⎡⎤⎢⎥=⋅-⋅+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦444125)811(32832R R R πππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=方法二：截面法，用平行于xoy 平面的平行平面截所给立体域截面积⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-=≤≤-==R z R z R R z z Rz z S D D 2)(20)2()(22221πσπσ原式⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅+=RR D xy z D xy R d zdz d zdz 2)(202122σσ⎰⎰-⋅+-=202222)(2)2(2RRR dz z R z dz z Rz z ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=42224316114141222412322R R R R R R R ππ 1252641583641121244⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=R R ππ15．方法：（球面坐标法）作锥面3πϕ=将Ω分为Ω1及Ω2两部分原式⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ+=1222zdv zdv⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅⋅⋅+⋅⋅=302023cos 202220cos sin 2cos sin 2ππππϕπρρρϕϕϕθρρρϕϕϕθRR d d d d d d32445203112sin 22sin cos 42R d ππππϕπϕϕϕ=⋅+⨯⨯⎰44)64161(8241432R R ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯--⨯+⋅⨯=ππ441254811632R R ππ=⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=17．2()22()2p Q x y u y y x u y y xϕϕ∂∂''=⋅+≡=⋅+∂∂ 故积分与路径无关选L 1：2225=+y x ，从点A(5,0)到B(3,4) y d y x d x=-⎰⎰⎰+--+==ABL xdx x dx x x 1]2)5([]25)5([352ϕϕ⎰---=-=35332]35[)53(25)325(dx x 48=亦可改选L 2折线A(5,0), C(3,0), B(3,4)34225()((9)6)ABACCBx x dx y y y dy ϕϕ=+=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=++=92525942483)(21)(21y dv v du u ϕϕ )9,(22y v x u +==18．作辅助0:1=∑z原式＝⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑)()()(11上下上＋＋＋⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑+∑∑Ω+-+-+-+=外上＝)()(222222110)666(dv x z z y y x⎰⎰⎰Ω++=dv z y x )(5222⎰⎰⎰⋅⋅⋅⋅=ππρρρϕϕθ20222s i n5Rd d d 552002)2R Rπρπϕπ=⋅-18．⎰⎰⎰⎰-⋅⋅=--=20cos 0222222πθθσrdr r R d d y x R V R Dxy223/2c o s20012()|3R R r d πθθ=⋅--⎰ ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⋅=2033332232)s i n 1(32ππθθR d R19．1111)21(|)(||)(|1⨯=⨯++=∞→+∞→βn u im l x u x u im l n nn n当|x|<|原级数绝对收敛，当|x|>|原级数发散当x=1 β)1(1)(+=n x U n 当β＞1时原级数收敛 当1≤β时原级数发散当x=－1 (1)(1)(1)n n U n β--=+当β＞1时原级数绝对收敛 当0＜1≤β时原级数条件收敛 当0≤β原级数发散20．记0!>=n n n n b11()nn n n n b n l im l im e b n →∞→∞++==故R ＝e当e x <-=|23|||1 幂级数绝对收敛当e x >=32 幂级数发散 21．222'(1)2x x y y xe ++⨯=解：标准化(*)1122222x e x x y x x dx dy +=++ 方法一：先解0122=++y x x dx dy 求得211x ccy y +== 改设)()(1x y x u y = 代入方程（*） 2222111)(x e x xx x u +=+⋅' 22)(x xe x u ='c eu x +=22故得：222112xex c y x +++= 方法二：212)(x xx p += 22()1xp x dx dx x --=+⎰⎰221ln(1)ln 1x x =-+=+211xe p d x+=⎰- ()21p x dx e x ⎰=+ ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⋅++⎰=⎰-dx x e x x c e y x pdx )1(12222)(11222x e c x++= 方法三：原方程为222])1[(x xe y x ='+ c e y x x +=+222)1(2212xec y x ++=22．先解065=+'-''Y Y Y 由0652=+-r r得3,221==r r故知2312x x Y C e C e =+再求 ax ae y y y =+'-''65的特解，*y当32≠≠a a ，，ax ax e a a aAe y 65*2+-== 通解为ax x x e a a ae c e c y 6523221+-++= 当a=2，x x x e e xe A y 22225222*⨯-=-⨯=⨯=通解x x x e e c e c y 232212⨯-+=当a=3 x x x e e xe A y 33335323*⨯=-⨯=⨯= 通解233123x x x y c e c e xe =++。
第二学期高等数学期末考试试卷及答案3
第二学期高等数学期末考试试卷及答案3第二学期高等数学期末考试试卷（B 卷）答案一．填空题（本题满分30分，共有10道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中．1. 设向量AB 的终点坐标为()7,1,2-B ，它在x 轴、y 轴、z 轴上的投影依次为4、4-和7，则该向量的起点 A 的坐标为___________________________．2. 设a 、b 、c 都是单位向量，且满足0 =++c b a ，则=?+?+?ac c b b a_____________________________． 3. 设()()xy xy z 2cos sin +=，则=??yz_____________________________． 4. 设yx z =，则=yx z2___________________．5. 某工厂的生产函数是),(K L f Q =，已知⑴. 当20,64==K L 时，25000=Q ；（2）当20,64==K L 时，劳力的边际生产率和投资的边际生产率为270='Lf ，350='K f 。
如果工厂计划扩大投入到24,69==K L ，则产量的近似增量为_______________6. 交换积分顺序，有()=??--221,y y ydx y x f dy_____________________________．7. 设级数∑∞=1n nu收敛，且u un n=∑∞=1，则级数()=+∑∞=+11n n n u u __________．8. -p 级数∑∞=11n p n 在p 满足_____________条件下收敛． 9. 微分方程x x y sin +=''的通解为=y ______________________．10. 对于微分方程x e y y y -=+'+''23，利用待定系数法求其特解*y 时，应设其特解=*y ______________________ （只需列出特解形式，不必具体求出系数）．答案： 1. ()0,3,2-A ；2. 23-； 3. ()()()xy xy x xy x sin cos 2cos -； 4. ()x y x y ln 11+-； 5. 2750单位； 6.()()----+1111012,,x xdy y x f dxdy y x f dx ；7. 02u u -； 8. 1>p ； 9.213sin 61C x C x x ++-； 10. xAxe y -=*．二．（本题满分8分）求过点()3,2,10-P ，且与两平面12=+z x 和23=-z y 平行的直线方程．解：所求直线l 过点()3,2,10-P ，设其方向向量为s，由于l 平行于平面12=+z x 和23=-z y ，所以其方向向量s 同时垂直于向量{}2,0,11=n 与{}3,1,02-=n ．因此，方向向量s可取为，k j i kj i s n s++-=-=?=32310201 ．从而所求直线方程为:13221-=-=-+z y x ．三．（本题满分8分）设函数??=x y x z F x u k ,，其中k 是常数，函数F 具有连续的一阶偏导数．试求zu z y u y x u x+??+??．解：-??? ??'+??? ??-??? ??'+??? ??=??-22211,,,x y x y xz F x x z x y x z F x x y x zF kx x u kkk ??'-??? ??'-??? ??=---x y xz F yx x y x z F zx x y xz F kxk k k ,,,22121'=???? ??'=??-x y x z F x x x y x z F x y u k k ,1,212'=???? ??'=??-x y xz F x x x y xz F x z u k k ,1,111 所以， zz y u y x u x+??+?? ??'-??? ??'-??? ???=---x y xz F yx x y x z F zx x y xzF kxx k k k ,,,22121'?+??? ??'?+--x y xz F x z x y x z F xy k k ,,1121=x y x z F kx k , 四．（本题满分8分）计算二重积分??≤++=42222y x y xdxdy e I 的值．解：作极坐标变换：θθsin ,cos r y r x ==，则有==≤++220422222rdr e d dxdy eI r y x y x πθ()1212422-=?=e e rππ．五．（本题满分8分）某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为x 台和y 台，成本函数为xy y x y x c -+=222),( （万元）若市场调查分析，共需两种机床8台，求如何安排生产，总成本最少？最小成本为多少？解：即求成本函数()y x c ,在条件8=+y x 下的最小值构造辅助函数 ())8(2,22-++-+=y x xy y x y x F λ解方程组=-+='=++-='=+-='080402y x F y x F y x F y x λλλ解得 3,5,7==-=y x λ这唯一的一组解，即为所求，当这两种型号的机床分别生产5台和3台时，总成本最小，最小成本为: 2835325)3,5(22=?-?+=c （万）六．（本题满分10分）⑴. 将()21ln arctan x x x x f +-=展开为x 的幂级数；⑵. 指出该幂级数的收敛域；⑶. 求级数()()∑∞=--1121n nn n 的和．解：⑴. 因为()()∑∞=-=+='22111arctan n nn x x x ()1<="" p="" ，且00arctan="，所以，"> =+∞=∞=+-=-=??? ??-=01200200212111arctan n n nn xnn xn n n x n dt t dt t x()11≤<-x而 ()()∑∞=-=+=+12221211ln 211ln n n nx nx x ()11≤≤-x所以， ()21ln arctan x x x x f +-=()()∑∑∞=∞=+--+-=12012121121n nnn n nx nxn x()()()()∑∑∞=+∞=++--+-=012022121121n n n n n nx n xn ()∑∞=+??+-+-=222211211n n n x n n ()()()∑∞=+++-=02222121n n nx n n ()11≤≤-x⑵. 幂级数()()()∑∞=+++-02222121n n n x n n 的收敛域为[]1,1-．⑶. 令1=x ，则有()()()()∑∑∞=∞=--=--1112212121n n n n n n n n ()()-=+-?==2ln 214211ln 1arctan 12122πf2ln 2-=π．七．（本题满分10分）求微分方程()1ln ln +=+'x x y x y x 的通解．解：该方程为一阶线性微分方程xx y x x y ln 1ln ln 1+=+' 因此，()x x x P ln 1=， ()xx x Q ln 1ln +=．代入一阶线性微分方程的求解公式，有+?+?=?-C dx e x x e y dx x x dx x x ln 1ln 1ln 1ln ??+?+=C x d x x x x ln ln 1ln ln 1 ()()C dx x x ++=1ln ln 1()C x x x+=ln ln 1所以，原方程的通解为 ()xC x C x x x y ln ln ln 1+=+=八．（本题满分10分）讨论级数()∑∞=+-11ln1n nnn 的绝对收敛性与条件收敛性．解：⑴. 因为级数()∑∞=+-11ln 1n nnn 为交错级数，nn u n 1ln+=．由于， ()()0122ln 12ln 1ln 12ln 2221<+++=++=+-++=-+n n nn n n n n n n n u u n n 所以数列{}n u 单调减少而且01 lnlim lim =+=∞→∞→nn u n n n ．因此由Leibniz 判别法知，级数()∑∞=+-11ln 1n nnn 收敛．⑵. 讨论级数()∑∑∞=∞=+=+-111ln1ln 1n n nn n n n ．其前n 项部分和为∑=+=nk n k k s 11ln ()()()()[]n n ln 1ln 3ln 4ln 2ln 3ln 1ln 2ln -+++-+-+-= ()∞→+=1ln n ()∞→n所以，级数()∑∑∞=∞=+=+-111ln1ln 1n n nn n n n 发散．综上所述知，级数()∑∞=+-11ln 1n nnn 条件收敛．九．（本题满分8分）设函数()u f 具有二阶连续的导函数，而且()y e f z xsin =满足方程z e yzx z x 22222=??+??，试求函数()u f ．解：设y e u x sin =，则有()y e u f x z x s i n '=??，()y e u f yz x cos '=?? 所以，()()y e u f y e u f x z xx sin sin 2222'+''=??()()y e u f y e u f xzx x s i n c o s 2222'-''=?? 代入方程 z e yz x z x22222=??+??，得，()()()()z e y e u f y e u f y e u f y e u f x x x x x 22222sin cos sin sin ='-''+'+''即，()()xx e u f e u f 22=''由此得微分方程 ()()0=-''u f u f 解此二阶线性微分方程，得其通解为 ()uueC e C u f -+=21 （1C 与2C 为任意常数）此即为所求函数．。
2004-2005(2)期末考试试卷(B)参考答案(高等数学)
5
1
sin
y(1
y)dy
0
8
1 sin1
10
1
5.原式 2 d 2 er2 rdr
0
0
(e4 1)
5 10
6.
P ye
x ， Q 2x cos y 2 ，
Q x
P y
211
2
由格林公式
I d x d y
D
=
6 10
ydy
7.
1
y2
dx x
两边积分得
ln(1 2
y2)
ln
x
高等数学期末试卷（B）参考答案
05.6 一、填空题(每小题 2 分, 共 12 分)
1. 5
2. 4x y 2
3. a 2 。
4、 9 2 。
5、
x3 6
C1x C2 .
6、 y C1 y1 C2 y2 .
二、解答下列各题(每小题 8 分,，总计 72 分)
1. 所求平面垂直于平面 3x 2 y z 4 0 和 2x 3y 4z 5 0 ，
zx
e z e y cos x 2z xe z
，
4
同理 z y
e y sin x 2z xe z
7dzຫໍສະໝຸດ z x dxz y dy
e z e y cos x 2z xe z
dx +
e y sin x 2z xe z
dy
10
4.
sin y dxdy
1
dy
y sin y dx
Dy
0
y y 2
8
x
又 y x
1，所求特解为 y
1 cos x x
20032004学年第二学期高等数学A期末考试试卷B.
2003～2004学年第二学期高等数学A 期末考试试卷B一、填空：（每小题2分，共16分）1、 设yxxy z +=2，则=dz _________________.2、 设)4)(6(),(22y y x x y x f --=，已知点P （3 , 2）函数是函数的驻点，且)4(2),(2y y y x f xx --="，)2)(3(4),(y x y x f xy --="，),(y x f yy " )6(22x x --=, 在空格中填入),(y x f 在点P 取得的是极大值，还是极小值，还是不取极值_______________________. 3、 曲面2221y x z -=在点)1,1,2(-处的法线方程是______________________. 4、 改换二次积分的积分次序=⎰⎰x edy y x f dx ln 01),(________________________.5、 设曲面∑是xoy 平面内的一个闭区域D ，则对面积的曲面积分与二重积分的关系是=⎰⎰∑ds z y x f ),,(________________________.6、 两类曲线积分之间的联系是对坐标的曲线积分=++⎰PRdz Qdy Pdx _______________________________. 7、 设曲线L 的方程是)()(b x a x y ≤≤=ψ，则曲线积分与定积分的关系是=⎰ds y x f L),(_________________.8、 微分方程x x y cos +=''的通解是=y _______________________.二、单项选择题：(每小题2分，共10分)1、 下列级数中，收敛的级数是( ). （A ）∑∞=1321n n (B)∑∞=-112n ne(C) ∑∞=+12)1(1n n n (D) nn ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛135 2、 已知级数∑∞=1n nu条件收敛，则级数∑∞=1n nu必是（ ）.（A ）收敛 (B)发散 (C)绝对收敛 (D) 有可能收敛，也有可能发散 3、 已知二元函数),(y x z ψ=在点),(y x 处可微分，则在点),(y x 处不一定成立的是( ).（A ） 函数在点),(y x 处连续 （B ） 函数在点),(y x 处的极限存在（C ） 函数在点),(y x 处的两个偏导数yz x z ∂∂∂∂,存在 （D ） 函数在点),(y x 处的偏导数连续4、 设∑是球面2222R z y x =++的下半部分的下侧，将曲面积分⎰⎰∑zdxdy y x 22 化为二重积分正确的是( ). （A ）⎰⎰---xy D dxdy y x R y x 22222 (B) ⎰⎰--xyD dxdy y x R y x 22222 (C) ⎰⎰---xyD dxdy y x R y x 222222(D) ⎰⎰---xyD dxdy y x R y x 2222221 5、 高斯公式表达的是（ ）.（A ） 曲面∑上的曲面积分与沿∑的边界曲线Γ的曲线积分间的联系（B ） 沿空间曲线Γ的曲线积分与三重积分间的联系（C ） 空间闭区域Ω上的三重积分与其边界曲面∑上的曲面积分间的联系 （D ） 平面区域D 上的二重积分与其边界曲线L 上的曲线积分间的关系三、(10分)设)ln(2y x z +=，求22222,,,,yzx z y x z y z x z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂四、(10分)设函数),(y x z z =由方程ze z y x =-+所确定，求yx z y z x z ∂∂∂∂∂∂∂2,五、(10分)利用极坐标计算二重积分⎰⎰++D2211dxdy y x，其中D ：4122≤+≤y x六、(10分)计算⎰⎰⎰Ω++dV z y x)(22，其中Ω为由22y x z +=与,122=+y x0,0,0===z y x 所围第一卦限中的闭区域.七、(10分)设x e ex y y y x xsin 3432--+=+'+''（1）求出所对应的齐次方程的通解（2）写出所设非齐次方程的特解*y （仅设出*y ，不必求出*y ）八、(8分)求幂级数∑∞=--+-1121)1(4)1(n n nn x n 的收敛半径及收敛区间.九、(8分)利用格林公式计算曲线积分（若用其它方法计算则不能得分）⎰-++-=Ly y dy x e x xdx e I )sin 1(cos 2其中L 为半圆21y x -=从点)1,0(-A 到点)1,0(B 的一段弧.十、（8分）设曲线积分[]dy x f dx xyx f tgx L )(cos )(2+⋅-⎰与路径无关，其中)(x f 具有一阶连续导数，且1)0(-=f ，试求函数)(x f . 十一、。
2003年高数(二)试题与解答
P 1 AP .
【答案】 矩阵 A 的特征多项式为
220
EA 8
2 a ( 6)[( 2)2 16]
0
0
6
= ( 6)2 ( 2) ，
故 A 的特征值为 1 2 6, 3 2. 由于 A 相似于对角矩阵 ，故对应 1 2 6 应有两个线性无关的特征向量，即 3 r(6E A) 2 ，于是有 r(6E A) 1.
当 k=4，即 4-k=0 时， (x) 0 有唯一实根，即两条曲线只有一个交点；
当 k>4，即 4-k<0 时，由于
lim (x) lim[ln x(ln3 x 4) 4x k]
；
x0
x0
lim (x) lim [ln x(ln3 x 4) 4x k]
，
x
x
故 (x) 0 有两个实根，分别位于(0,1)与 (1, ) 内，即两条曲线有两个交点.
1
x0
4
= 4 lim eax x0
x 2 ax 1 x2
aeax 4 lim
2x a
2a 2
4.
x0
令 f (0 0) f (0 0) ，有 6a 2a 2
或2x .
4 ，得 a 1 a 2
当 a=-1 时， lim f (x) 6 f (0) ，即 f(x)在 x=0 处连续. x0
当 a=-2 时， lim f (x) 12 x0
【 答 案 】 (1) 设 在 t 时 刻 ， 液 面 的 高 度 为 y， 则 由 题 设 知 此 时 液 面 的 面 积 为
2 ( y) 4 t , 从而 t 2 ( y) 4.
(2) 液面的高度为 y 时，液体的体积为 y 2 (u)du 3t 3 2 ( y) 12. 0
2002～2003 学年第二学期《高等数学》期末考试试题A卷及答案(216 学时)
0 2002～2003 学年第二学期《高等数学》期末考试试题 A 卷（216 学时） 专业班级学号 姓名一、填空题（每小题 4 分，共 12 分）（1）设 S 为: x 2+ y 2+ z 2= 4 ,则 ⎰⎰(x 2 + y 2)d S = 。
S（ 2 ） 设 D= {(x , y ) | x 2 + y 2 ≤ ρ 2 } ， f为 连 续 函 数 ， 则lim1f (x , y )d x d y = 。
ρ →0πρ 2 ⎰⎰（3）周期为 2 的函数 f (x ) ；设它在一个周期[-1,1] 上的表达式为 f (x ) = 级数的和函数为 s (x ) ，则 s (-5) = 。
二、选择题（每小题 4 分，共 12 分）（1） 微分方程 y ' - y = ex+ 1的一个特解应有形式（式中 a , b 为常数）x ，它的傅立叶 A. ae x + bB. axe x + bxC. ae x + bxD. axe x + b♣sin 2(x 2 + y 2) ♠ x 2 + y 2 ≠ 0（2）函数 f (x , y ) = ♦ ♠♥x 2 + y 22 x 2+ y 2在点(0,0) 处= 0A.无定义B.连续C.有极限但不连续D.无极限（3） 设 L 是 y= 1 - x 2(-1 ≤ x ≤ 1) 表示的围线的正向，则⎰ L2x d x + y d y 2x 2 + y 2之值等于 A． 0B. 2π 三、(12 分)计算下列积分:C. - 2πD. 4 ln 2(1) I =⎰⎰ x d x d y ,其中 D = {(x , y ) | 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ x 2}。
D(2) I =⎰⎰⎰ xy 2 z 3d x d y d z ,其中∧ 是由曲面 z = xy , y = x , x = 1及 z = 0 围成的闭区域。
∧四、（8 分）求曲面4x 2+ 4z 2-17 y 2+ 2 y -1 = 0 在点 M (2,1,0) 处的切平面方程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1
1
x
f ( x) f ( y )dy =
二、解下列各题（每题 7 分，共 5 题）
1. 验证函数 z = xf ( 微函数。
y ∂z ∂z ) ， x ≠ 0 ，满足方程式 x + 2 y = z ，其中 f 为任意的可 2 ∂x ∂y x
2．求微分方程 y ′′ − 3 y ′ + 2 y = xe
4．设周期为 2 的奇函数 f ( x) 在 [ −1, 0] 上的表达式为 f ( x) = x + 1 ，它的傅里叶级数 的和函数为 S ( x) ， 则 S ( −4) = 5 ． 设 。
f ( x) 在 区 间
[0,1]
。
上 连 续 ， 且
∫
1
0
f ( x)dx = A ， 则
∫ dx ∫
0
c
y[ϕ ′( x) + e x ]dx + ϕ ′( x)dy = 0 且
ϕ (0) = 0, ϕ ′(0) = 1 ，
求 ϕ ( x) 。 四、 （9 分）设 f ( x, y ) 为连续函数， I = 交换所给积分的积分次序。 五、 （10 分）计算
∫
0
−1
dx ∫ f ( x, y )dy + ∫ dx ∫
⎧ xy , ( x , y ) ≠ ( 0, 0), ⎪ 5．讨论函数 f ( x , y ) = ⎨ x + y 在 ( 0, 0) 的连续性和可微性。 ⎪0 , ( x , y ) = ( 0, 0) ⎩
三、 （ 9 分 ） 设 ϕ ( x) 二 次 可微 ， 对 任 意闭 曲 线 c 有
v ∫
2x
的通解。
3．计算二重积分： 4．计算线积分
∫∫ sin
D
x 2 + y 2 dxdy, D: π 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4π 2 。
∫
L
zdx + xdy + yzdz , 其中 L 是曲线 x = cos t ， y = sin t ， z = t 上从
点 A(1, 0, 0) 到点 B (1, 0, 2π ) 的一条曲线段。
2 2 2
x2 y 2 z 2 + + = 1 (a > b > c) 下的最大 a 2 b2 c2
值与最小值。
七、 （7 分）求三重积分
∫∫∫ zdxdydz ， 其 中 Ω 是 由 球 面 x
Ω
2
+ y2 + z2 = 4 与 拋 物 面
x 2 + y 2 = 3z 所围成的区域。
−x 0
1
1
1
1− 1− x 2
f ( x, y )dy
∫∫ ( y + z )dxdy + ( x − z )dydz 其中 Σ 是平面 x + z = 1 ，曲面 y =
Σ
x 及坐
标面 y = 0, z = 0 所围 成立体的外表面，但除去 z = 0 那个表面。
六、 （10 分）求函数 f ( x y z ) = x + y + z 在条件
在 点 (1,
π , 0) 处 的 切 平 面 方 程 2 G
3 5 4 ) 的方向导 5
。பைடு நூலகம்
在指定点 (1, − 1) 沿指定方向 S = ( ,
数是
。 3． 设 f ( x, y ) = arc tan
y 2 2 ，x ≠ 0 ， 则 [ f x ( x, y )] + [ f y ( x, y )] = x
2003～2004 学年第二学期 《高等数学》 期末考试试题 B 卷 （180 学时） 专业班级
一、填空题（每小题 4 分，共 5 小题） 1 ． 曲 面 sin xy + sin yz + sin zx = 1 为 。 2．函数 f ( x, y ) = x − xy + 2 y
2 2
学号_______________ 姓名