2020年广东省梅州市高考数学一模试卷(理科)
高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x=3n-1，n∈N}，B={6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 52.已知复数z满足i（2-z）=3+i，则|z|=（）A. B. 5 C. D. 103.下列函数为奇函数的是（）A. y=B. y=|sin x|C. y=cos xD. y=e x-e-x4.等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足2S3=a3+a7=18，则a1=（）A. 1B. 2C. 3D. 45.某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是( )A. 与2015年相比，2018年一本达线人数减少B. 与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C. 2015年与2018年艺体达线人数相同D. 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加6.如图在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且=2，则=（）A. B. C. D.7.若变量x，y满足约束条件，则z=2x-y的最小值等于（）A. B. -2 C. D. 28.一种电子计时器显示时间的方式如图所示，每一个数字都在固定的全等矩形“显示池”中显示，且每个数字都由若干个全等的深色区域“”组成．已知在一个显示数字8的显示池中随机取一点A，点A落在深色区域内的概率为．若在一个显示数字0的显示池中随机取一点B，则点B落在深色区域的概率为（）A. B. C. D.9.已知双曲线C：=l（a＞0，b＞0）一个焦点为F（2，0），且F到双曲线C的渐近线的距离为1，则双曲线C的方程为（）A. x2=1B. =1C. x2=1D. =110.《九章算术》给出求羡除体积的“术”是：“并三广，以深乘之，又以袤乘之，六而一”，其中的“广”指羡除的三条平行侧棱的长，“深”指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离，“袤”指这两条侧棱所在平行线之间的距离，用现代语言描述：在羡除ABC-A1B1C1中，AA1∥BB1∥CC1，AA1=a，BB1=b，CC1=c，两条平行线AA1与BB1间的距离为h，直线CC1到平面AA1B1B的距离为h′，则该羡除的体积为V=（a+b+c）．已知某羡除的三视图如图所示，则该羡除的体积为（）A. 3B.C.D. 211.设点P在曲线y=ln x上，点Q在曲线y=1-（x＞0）上，点R在直线y=x上，则|PR|+|RQ|的最小值为（）A. B. C. D.12.在等腰直角△ABC中，AB⊥AC，BC=2，M为BC中点，N为AC中点，D为BC边上一个动点，△ABD沿AD翻折使BD⊥DC，点A在平面BCD上的投影为点O，当点D在BC上运动时，以下说法错误的是（）A. 线段NO为定长B.∠AMO+∠ADB＞180°C. 线段CO的长|CO|∈[1，）D. 点O的轨迹是圆弧二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知数列{a n}的前n项和为S n，首项a1=1，且满足：2S n=a n+1-1，则a3+a4+a5=______．14.过定点F（1，0）且与直线x=-1相切的动圆圆心M的轨迹方程为______．15.若将函数f（x）=sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位后所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值为______．16.某大学安排4名毕业生到某企业的三个部门A，B，C实习，要求每个部门至少安排1人，其中甲大学生不能安排到A部门工作，安排方法有______种（用数字作答）．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在△ABC中，已知点D在边BC上，且∠DAC=90°，sin∠BAC=，AB=3，AD=3．（1）求BD长；（2）求cos C．18.已如图，已知矩形ABCD中，AD=2AB=2，点E是AD的中点，将△DEC沿CE折起到△D′EC的位置，使二面角D′-EC-B是直二面角．（1）证明：BE⊥CD′；（2）求二面角D′-BC-E的余弦值．19.某学校为调研学生在A，B两家餐厅用餐的满意度，从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]，得到A餐厅分数的频率分布直方图和B餐厅分数的频数分布表：定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下：（）在抽样的人中，求对餐厅评价“满意度指数”为的人数；（2）以频率估计概率，从该校在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查，试估计其对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”高的概率；（3）如果从A，B两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．20.已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为点F1，F2，其离心率为，短轴长为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点F1的直线l1与椭圆C交于M，N两点，过点F2的直线l2与椭圆C交于P，Q两点，且l1∥l2，证明：四边形MNPQ不可能是菱形．21.已知函数f（x）=2ln x-2mx+x2（m＞0）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当m时，若函数f（x）的导函数f′（x）的图象与x轴交于A，B两点，其横坐标分别为x1，x2（x1＜x2），线段AB的中点的横坐标为x0，且x1，x2恰为函数h（x）=ln x-cx2-bx的零点．求证（x1-x2）h'（x0）≥+ln2．22.已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，直线l与圆C交于A，B两点．(1)求圆C的直角坐标方程及弦AB的长；(2)动点P在圆C上(不与A，B重合)，试求△ABP的面积的最大值．23.已知函数f（x）=|2x-2|+|2x+3|．（1）求不等式f（x）＜15的解集；（2）若f（x）≥a-x2+x对于x∈R恒成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题【解答】解：∵集合A={x|x=3n-1，n∈N}，B={6，8，10，12，14}，∴A∩B={8，14}，∴集合A∩B中元素的个数为2．故选：A．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查复数的模的求法，考查复数代数形式的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．由题意推导出z=2-=1+3i，由此能求出结果．【解答】解：∵i（2-z）=3+i，∴z=2-=1+3i，∴|z|=．故选：C．3.【答案】D【解析】解：A．函数的定义域为[0，+∞），定义域关于原点不对称，故A为非奇非偶函数．B．f（-x）=|sin（-x）|=|sin x|=f（x），则f（x）为偶函数．C．y=cos x为偶函数．D．f（-x）=e-x-e x=-（e x-e-x）=-f（x），则f（x）为奇函数，故选：D．根据函数奇偶性的定义进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性定义是解决本题的关键．4.【答案】A【解析】解：设公差为d，∵2S3=a3+a7=18，∴，解得a1=1，故选：A．设公差为d，由2S3=a3+a7=18，列出关于a1，d的方程组，解得即可．本题考查了等差数列的前n项和公式和等式数列的通项公式，属于基础题．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了柱状图，考查数据处理能力，属于基础题．作差比较可得．【解答】解：设2015年高考考生人数为x，则2018年高考考生人数为1.5x，由24%•1.5x-28%•x=8%•x＞0，故选项A不正确；由（40%•1.5x-32%•x）÷32%•x=，故选项B不正确；由8%•1.5x-8%•x=4%•x＞0，故选项C不正确；由28%•1.5x-32%•x=10%•x＞0，故选项D正确．故选：D．6.【答案】C【解析】解：==-=（）=，故选：C．由平面向量的基本定理得：==-=（）=，得解本题考查了平面向量的基本定理，属简单题．7.【答案】A【解析】解：由变量x，y满足约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得A（-1，）．∴z=2x-y的最小值为2×（-1）-=-．故选：A．由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．8.【答案】D【解析】【分析】设全等矩形“显示池”的面积为S，每一个深色区域的面积为x，运用几何概率的公式，计算可得所求值．本题考查几何概率的应用题，注意运用面积这个测度，考查运算能力和题目的理解能力，属于中档题．【解答】解：设全等矩形“显示池”的面积为S，每一个深色区域的面积为x，则=，可得=，即有点B落在深色区域内的概率为=6×=，故选：D．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的焦点的位置．根据题意，分析可得要求双曲线的焦点在x轴上，且c=2，设双曲线的方程为双曲线C：=l（a＞0，b＞0），求出其渐近线方程为ay±bx=0，又由点F到渐近线的距离为1，则有=1，解可得b的值，计算可得a的值，将a、b的值代入双曲线方程即可得答案．【解答】解：根据题意，要求双曲线C的中心为原点，点F（2，0）是双曲线C的一个焦点，即双曲线的焦点在x轴上，且c=2，设双曲线C：=l（a＞0，b＞0）其渐近线方程为y=±x，即ay±bx=0，若点F到渐近线的距离为1，则有有=1，解可得b=1，则a2=c2-b2=3，则要求双曲线的方程为：-y2=1；故选：B．10.【答案】B【解析】解：由三视图还原原几何体知，羡除ABC-A1B1C1中，AB∥EF，底面ABCD是矩形，AB=CD=2，EF=1，平面ADE⊥平面ABCD，AB，CD间的距离h=AD=2，如图，取AD中点G，连接EG，则EG⊥平面ABCD，由侧视图知，直线EF到平面ABCD的距离为h′=1，∴该羡除的体积为V=（a+b+c）=．故选：B．根据三视图求出羡除的体积V=（a+b+c）中所需数据，代入得答案．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．11.【答案】D【解析】解：函数y=ln x的导数为y′=，设曲线y=ln x与直线y=x的平行线相切的切点为（m，n），可得=1，即m=1，可得切点为（1，0），此时PR的最小值为=；y=1-（x＞0）的导数为y′=，设曲线y=1-（x＞0）与直线y=x的平行线相切的切点为（s，t），可得=1，即s=1，可得切点为（1，0），此时RQ的最小值为=；则P，Q重合为（1，0），R为（，），|PR|+|RQ|取得最小值为．故选：D．求出两曲线对应函数的导数，求得切线的斜率，由与直线y=x的平行，可得切点，由点到直线的距离公式可得最小值，进而得到所求和的最小值本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查点到直线的距离公式的运用，考查最值的求法，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：如图所示，对于A，△AOC为直角三角形，ON为斜边AC上的中线，ON=AC为定长，即A正确；对于B，D在M时，AO=1，CO=1，∴，即正确；对于D，由A可知，点O的轨迹是圆弧，即D正确；故选：B．作出图形，判定A，B，D正确，即可得出结论．本题考查平面图形的翻折，考查学生的计算能力，正确作出图形是关键．13.【答案】117【解析】解：∵2S n=a n+1-1，∴a n+1=2S n+1，∴a1=1，a2=2×1+1=3，a3=2×（1+3）+1=9，a4=2×（1+3+9）+1=27，a5=2×（1+3+9+27）+1=81，故a3+a4+a5=9+27+81=117，故答案为：117．化简可得a n+1=2S n+1，从而依次求数列的前5项即可．本题考查了数列的递推公式的应用，属于基础题．14.【答案】y2=4x【解析】【分析】根据题意，结合抛物线的定义可知动圆圆心的轨迹是以F为焦点，直线l为准线的抛物线，由此不难求出它的轨迹方程．本题给出动圆经过定点并且与定直线相切，求动圆圆心的轨迹方程，着重考查了抛物线的定义与标准方程的知识，属于基础题．【解答】解：设动圆的圆心为M（x，y）∵圆M过点F（1，0）且与直线l：x=-1相切∴点M到F的距离等于点M到直线l的距离．由抛物线的定义，得M的轨迹是以F为焦点，直线l为准线的抛物线设方程为y2=2px（p＞0），则=1，2p=4∴M的轨迹方程是y2=4x故答案为：y2=4x15.【答案】【解析】解：由，把该函数的图象右移φ个单位，所得图象对应的函数解析式为：sin（2x-2φ）．又所得图象关于y轴对称，则φ=k，k∈Z．∴当k=-1时，φ有最小正值是．故答案为：．把函数式f（x）=sin2x+cos2x化积为，然后利用三角函数的图象平移得到sin（2x-2φ）．结合该函数为偶函数求得φ的最小正值．本题考查了三角函数的图象平移，考查了三角函数奇偶性的性质，是中档题．16.【答案】24【解析】解：根据题意，设4名毕业生为甲、A、B、C，分2种情况讨论：①，甲单独一人分配到B或C部门，则甲有2种情况，将A、B、C分成2组，有C31=3种分组方法，再将2组全排列，分配到其他2个部门，有A22=2种情况，则此时有2×3×2=12种安排方法；②，甲和其他人一起分配到B或C部门，在A、B、C中任选1人，与甲一起分配到B或C部门，有C31×2=6种情况，将剩余的2人全排列，分配到其他2个部门，有A22=2种情况，则此时有6×2=12种安排方法；则一共有12+12=24种不同的安排方法；故答案为：24根据题意，设4名毕业生为甲、A、B、C，分2种情况讨论：①，甲单独一人分配到B 或C部门，②，甲和其他人一起分配到B或C部门，由加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，注意优先分析受到限制的元素．17.【答案】（本小题满分12分）解：（1）∵∠DAC=90°，∴sin∠BAC=sin（+∠BAD）=cos∠BAD，∴cos∠BAD=，…（2分）在△ABD中，由余弦定理得，BD2=AB2+AD2-2AB•AD•cos∠BAD，…（4分）即BD2=18+9-2×=3，得BD=．…（6分）（2）由cos∠BAD=，得sin∠BAD=，…（8分）在△ABD中，由正弦定理，得：．∴sin∠ADB===，…（10分）∵∠ADB=∠DAC+C=+C，∴cos C=．…（12分）【解析】（1）由已知利用诱导公式可求cos∠BAD的值，利用余弦定理即可计算BD的长．（2）由（1）可求cos∠BAD的值，利用同角三角函数基本关系式可求sin∠BAD，由正弦定理可求sin∠ADB的值，根据诱导公式可求cos C的值．本题主要考查了诱导公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】解：（1）证明：∵AD=2AB=2，E是AD的中点，∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，∠BEC=90°，又∵平面D'EC⊥平面BEC，面D'EC∩面BEC=EC∴BE⊥面D'EC，∴BE⊥CD’．（2）如图，以EB，EC为x轴、y轴，过E垂直于平面BEC的射线为z轴，建立空间直角坐标系．则设平面BEC的法向量为；平面D'BC的法向量为，代入整理可得：不妨取x2=l得，∴∴二面角D'-BC-E的余弦值为．【解析】（1）一般是通过证明线面垂直得到线线垂直，即证明其中一条直线与另一条直线所在的平面垂直．（2）利用向量法求二面角的平面角，建立空间直角坐标系利用向量的一个运算求出两个平面的法向量，进而求出二面角的余弦值．解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，以便于正确利用线面垂直与线面平行关系，并且利于建立坐标系利用向量法解决空间角与空间建立问题．19.【答案】（本小题满分13分）解：（1）由对A餐厅评分的频率分布直方图，得对A餐厅“满意度指数”为0的频率为（0.003+0.005+0.012）×10=0.2，[（2分）]所以，对A餐厅评价“满意度指数”为0的人数为100×0.2=20．[（3分）]（2）设“对A餐厅评价‘满意度指数’比对B餐厅评价‘满意度指数’高”为事件C．记“对A餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件A1；“对A餐厅评价‘满意度指数’为2”为事件A2；“对B餐厅评价‘满意度指数’为0”为事件B0；“对B餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件B1．所以P（A1）=（0.02+0.02）×10=0.4，P（A2）=0.4，[（5分）]由用频率估计概率得：，．[（7分）]因为事件A i与B j相互独立，其中i=1，2，j=0，1．所以P（C）=P（A1B0+A2B0+A2B1）=0.4×0.1+0.4×0.1+0.4×0.55=0.3．[（10分）]所以该学生对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”高的概率为0.3．（3）如果从学生对A，B两家餐厅评价的“满意度指数”的期望角度看：因为EX=0×0.2+1×0.4+2×0.4=1.2；EY=0×0.1+1×0.55+2×0.35=1.25，所以EX＜EY，会选择B餐厅用餐．[（13分）]注：本题答案不唯一．只要考生言之合理即可．【解析】（1）由对A餐厅评分的频率分布直方图，求解对A餐厅“满意度指数”为0的频率．然后求解对A餐厅评价“满意度指数”为0的人数．（2）设“对A餐厅评价‘满意度指数’比对B餐厅评价‘满意度指数’高”为事件C．记“对A餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件A1；“对A餐厅评价‘满意度指数’为2”为事件A2；“对B餐厅评价‘满意度指数’为0”为事件B0；“对B餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件B1．求出概率，利用独立重复概率乘法公式求解即可．（3）从学生对A，B两家餐厅评价的“满意度指数”的期望角度看：得到分布列，求出期望，即可推出结果．本题考查概率的应用，分布列以及期望的求法，考查分析问题解决问题的能力．20.【答案】（1）解：由已知，得，，又c2=a2-b2，故解得a2=4，b2=3，所以椭圆C的标准方程为．（2）证明：由（1），知F1（-1，0），如图，易知直线MN不能平行于x轴，所以令直线MN的方程为x=my-1，M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程得（3m2+4）y2-6my-9=0，所以，．此时．同理，令直线PQ的方程为x=my+1，P（x3，y3），Q（x4，y4），此时，，此时，故|MN|=|PQ|．所以四边形MNPQ是平行四边形．若平行四边形MNPQ是菱形，则OM⊥ON，即，于是有x1x2+y1y2=0．又x1x2=（my1-1）（my2-1）=m2y1y2-m（y1+y2）+1，所以有（m2+1）y1y2-m（y1+y2）+1=0，整理得到，即12m2+5=0，上述关于m的方程显然没有实数解，故四边形MNPQ不可能是菱形．【解析】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、平行四边形与菱形的定义与性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（1）由已知，得，，c2=a2-b2，联立解出即可得出．（2）由（1），知F1（-1，0），如图，易知直线MN不能平行于x轴，所以令直线MN 的方程为x=my-1，M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线MN与椭圆的方程得（3m2+4）y2-6my-9=0，利用根与系数的关系可得：．同理，令直线PQ的方程为x=my+1，P（x3，y3），Q（x4，y4），，|MN|=|PQ|．可得四边形MNPQ是平行四边形．若平行四边形MNPQ是菱形，则OM⊥ON，即，得出矛盾即可得出．21.【答案】解：（1）由于f（x）=2ln x-2mx+x2的定义域为（0，+∞），．对于方程x2-mx+1=0，其判别式△=m2-4．当m2-4≤0，即0＜m≤2时，f'（x）≥0恒成立，故f（x）在（0，+∞）内单调递增．当m2-4＞0，即m＞2，方程x2-mx+1=0恰有两个不相等是实根，令f'（x）＞0，得或，此时f（x）单调递增；令f'（x）＜0，得，此时f（x）单调递减．综上所述，当0＜m≤2时，f（x）在（0，+∞）内单调递增；当m＞2时，f（x）在内单调递减，在，内单调递增．（2）证明：由（1）知，，所以f'（x）的两根x1，x2即为方程x2-mx+1=0的两根．因为，所以△=m2-4＞0，x1+x2=m，x1x2=1．又因为x1，x2为h（x）=ln x-cx2-bx的零点，所以，，两式相减得，得．而，所以（x1-x2）h'（x0）====．令，由得，因为x1x2=1，两边同时除以x1x2，得，因为，故，解得或t≥2，所以．设，所以，则y=G（t）在上是减函数，所以，即y=（x1-x2）h'（x0）的最小值为．所以．【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间即可；（2）求出函数的导数，表示出b，令，由得，得，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，是一道综合题．22.【答案】解：（1）由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ，所以x2+y2-4x=0，所以圆C的直角坐标方程为（x-2）2+y2=4．将直线l的参数方程代入圆C：（x-2）2+y2=4，并整理得，解得t1=0，．所以直线l被圆C截得的弦长为．（2）直线l的普通方程为x-y-4=0．圆C的参数方程为（θ为参数），可设曲线C上的动点P（2+2cosθ，2sinθ），则点P到直线l的距离=，当时，d取最大值，且d的最大值为．所以，即△ABP的面积的最大值为2+2．【解析】本题考查了极坐标方程以及普通方程的转化，考查点到直线的距离以及三角函数的性质，是一道中档题．（1）根据极坐标以及直角坐标方程的关系求出圆C的直角坐标方程即可，联立直线的参数方程和圆的方程，求出弦长即可；（2）求出直线的普通方程以及圆的参数方程，可设曲线C上的动点P（2+2cosθ，2sinθ），求出点P到直线l的距离，结合三角函数的性质求出△ABP的面积的最大值．23.【答案】解：（1）函数f（x）=|2x-2|+|2x+3|=；当时，有-4x-1＜15，解得x＞-4，即；当时，5＜15恒成立，即；当x≥1时，有4x+1＜15，解得，即；综上，不等式f（x）＜15的解集为；（2）由f（x）≥a-x2+x恒成立，得a≤|2x-2|+|2x+3|+x2-x恒成立，∵|2x-2|+|2x+3|≥|（2x-2）-（2x+3）|=5，当且仅当（2x-2）•（2x+3）≤0，即是等号成立；又因为，当且仅当时等号成立，又因为，所以，所以a的取值范围是．【解析】（1）利用分类讨论法去掉绝对值，再求不等式f（x）＜15的解集；（2）由题意得出a≤|2x-2|+|2x+3|+x2-x恒成立，求出|2x-2|+|2x+3|+x2-x的最小值即可．本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，是中档题．。
2020年广东省高考数学一模试卷(理科)(附答案详解)
2020年广东省高考数学一模试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ，B 均为全集U ={1,2,3,4,5,6,7}的子集，集合A ={1,2,3,4}，则满足A ∩∁U B ={1,2}的集合B 可以是( )A. {1,2,3,4}B. {1,2,7}C. {3,4,5,6}D. {1,2,3}2. 复数z =4+3i3−4i (i 为虚数单位)的虚部为( )A. −1B. 2C. 5D. 13. 若x ，y 满足约束条件{|x −y|≤1|x|≤2，则z =2x +y 的最大值为( )A. −7B. 3C. 5D. 74. 如图，△OAB 是边长为2的正三角形，记△OAB 位于直线x =t(0<t ≤2)左侧的图形的面积为f(t)，则y =f(t)的大致图象为( )A.B.C.D.5. 将函数f(x)=cos(2x −1)的图象向左平移1个单位长度，所得函数在[0,12]的零点个数是( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个或以上6.某广场设置了一些石凳子供大家休息，这些石凳子是由正方体沿各棱的中点截去八个一样的正三棱锥后得到的．如果被截正方体的棱长为40cm，则石凳子的体积为()A. 1920003cm3 B. 1600003cm3 C. 160003cm3 D. 640003cm37.在某市2014年6月的高二质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N(98,100).已知参加本次考试的全市理科学生约9450人．某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第()名？(参考数值：P(μ−σ<X≤μ+σ)=0.6826；P(μ−2σ<X≤μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<X≤μ+3σ)=0.9974)A. 1500B. 1700C. 4500D. 80008.已知(1+xm)n=a0+a1x+a2x2+⋯+a n x n，若a1=3，a2=4，则m=()A. 1B. 3C. 2D. 49.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，且∠PAQ=5π6，则该双曲线的离心率为()A. √2B. √3C. √213D. √1310.设正项数列{a n}的前n项和为S n，且满足2√S n=a n+1，则数列{a n−7}的前n项和T n的最小值为()A. −494B. −72C. 72D. −1211.已知三棱锥P−ABC满足PA=PB=PC=AB=2，AC⊥BC，则该三棱锥外接球的体积为()A. 3227√3π B. 323π C. 329√3π D. 163π12.已知f(x)是定义在(−π2,π2)上的奇函数，f(1)=0，且当x∈(0,π2)时，f(x)+f′(x)tanx>0，则不等式f(x)<0的解集为()A. (−1,0)∪(1,π2) B. (−1,0)∪(0,1)C. (−π2,−1)∪(1,π2) D. (−π2,−1)∪(0,1)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设函数f(x)=mx2lnx，若曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线ex+y+2020=0平行，则m=______．14. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，a n+1=2a n ，若数列{b n }满足b n ⋅S n =1，则b 1+1b 1+b 2+1b 2+⋯+b 10+1b 10=______．15. 已知A(3,0)，B(0,1)，C(−1,2)，若点P 满足|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |最大值为______．16. 已知抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F ，直线l 过点F 且倾斜角为5π6.若直线l 与抛物线C 在第二象限的交点为A ，过点A 作AM 垂直于抛物线C 的准线，垂足为M ，则△AMF 外接圆上的点到直线√2x −y −3=0的距离的最小值为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 满足√3sin(B +C)=2sin 2A2．(1)求内角A 的大小；(2)若AB =5，BC =7，求BC 边上的高．18. 如图，已知正三棱柱ABC −A 1B 1C 1，D 是AB 的中点，E 是C 1C的中点，且AB =1，AA 1=2． (1)证明：CD//平面A 1EB ； (2)求二面角B −A 1E −D 的余弦值．19. 已知椭圆C ：x 24+y 22=1，A ，B 分别为椭圆长轴的左右端点，M 为直线x =2上异于点B 的任意一点，连接AM 交椭圆于P 点． (1)求证：OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值； (2)是否存在x 轴上的定点Q 使得以MP 为直径的圆恒通过MQ 与BP 的交点．20. 已知函数f(x)=e x +(m −e)x −mx 2．(1)当m =0时，求函数f(x)的极值；(2)若函数f(x)在区间(0,1)内存在零点，求实数m 的取值范围．21. 一支担负勘探任务的队伍有若干个勘探小组和两类勘探人员，甲类人员应用某种新型勘探技术的精准率为0.6，乙类人员应用这种勘探技术的精准率为a(0<a <0.4).每个勘探小组配备1名甲类人员与2名乙类人员，假设在执行任务中每位人员均有一次应用这种技术的机会且互不影响，记在执行任务中每个勘探小组能精准应用这种新型技术的人员数量为ξ．(1)证明：在ξ各个取值对应的概率中，概率P(ξ=1)的值最大．(2)在特殊的勘探任务中，每次只能派一个勘探小组出发，工作时间不超过半小时，如果半小时内无法完成任务，则重新派另一组出发．现在有三个勘探小组A i (i =1,2,3)可派出，若小组A i能完成特殊任务的概率t；t i=P(ξ=i)(i=1,2,3)，且各个小组能否完成任务相互独立．试分析以怎样的先后顺序派出勘探小组，可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小．22.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ−2ρsinθ=1.若P为曲线C1上的动点，Q是射线OP上的一动点，且满足|OP|⋅|OQ|=2，记动点Q的轨迹为C2．(1)求C2的直角坐标方程；(2)若曲线C1与曲线C2交于M，N两点，求△OMN的面积．|x+3|−2(k∈R)．23.已知函数f(x)=|x−k|+12(1)当k=1时，解不等式f(x)≤1；(2)若f(x)≥x对于任意的实数x恒成立，求实数k的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A ，B 均为全集U ={1,2,3,4,5,6,7}的子集，集合A ={1,2,3,4}， 要满足A ∩∁U B ={1,2}； 则1，2∉B ，故符合条件的选项为C ． 故选：C ．根据题意得出1，2∉B ，即可判断结论．本题考查集合了的交、并、补集的混合运算问题，是基础题．2.【答案】D【解析】解：∵z =4+3i3−4i =(4+3i)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=25i 25=i ，∴复数z =4+3i3−4i 的虚部是1， 故选：D ．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：画出x ，y 满足约束条件{|x −y|≤1|x|≤2，可行域如图阴影部分： 由{x =2x −y =−1，得A(2,3)， 目标函数z =2x +y 可看做斜率为−2的动直线，其纵截距越大，z 越大，由图数形结合可得当动直线过点A 时，z 最大=2×2+3=7． 故选：D ．先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值．本题主要考查了线性规划，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属于基础题4.【答案】B【解析】解：当0<x<1时，函数的面积递增，且递增速度越来越快，此时，CD，不合适，当1≤x≤2时，函数的面积任然递增，且递增速度逐渐变慢，排除A，故选：B．根据面积的变换趋势与t的关系进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数递增速度与t的关系是解决本题的关键．难度不大．5.【答案】B【解析】解；设函数f(x)=cos(2x−1)的图象向左平移1个单位长度，所得函数为g(x)，∴g(x)=f(x+1)=cos(2x+1)令t=2x+1，x∈[0,12]，∴t∈[1,2]由g(x)=0，所以2x+1=π2，方程只有一个解．故选：B．先根据平移法则求出平移后的图象解析式，再根据零点定义即可求出．本题主要考查函数的平移法则的应用和函数零点的求法，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：如图，正方体AC1的棱长为40cm，则截去的一个正三棱锥的体积为13×12×20×20×20=40003cm3．又正方体的体积为V=40×40×40=64000cm3，∴石凳子的体积为64000−8×40003=1600003cm 3，故选：B ．由正方体的体积减去八个正三棱锥的体积求解． 本题考查多面体体积的求法，考查计算能力，是基础题．7.【答案】A【解析】解：∵考试的成绩ξ服从正态分布N(98,100).∵μ=98，σ=10， ∴P(ξ≥108)=1−P(ξ<108)=1−Φ(108−9810)=1−Φ(1)≈0.158 7，即数学成绩优秀高于108分的学生占总人数的15.87%．∴9450×15.87%≈1500故选：A ．将正态总体向标准正态总体的转化，求出概率，即可得到结论．本题考查正态总体与标准正态总体的转化，解题的关键是求出ξ≥108的概率．8.【答案】B【解析】解：二项式展开式的通项为：T k+1=1m k C nk x k． 当k =1，2时，可得{a 1=1m C n 1=3a 2=1m 2C n 2=4，解得n =9，m =3． 故选：B ．根据通项求出第二、三项的系数，列方程组求出m 的值．本题考查二项展开式的通项、系数的性质，同时考查学生利用方程思想解决问题的能力和计算能力．属于基础题．9.【答案】D【解析】解：如图，设双曲线的一条渐近线方程为y =ba x ，联立{y =ba x x 2+y 2=c2，解得x P =−a ，x Q =a ，∴Q(a,b)，且AP ⊥x 轴， ∵∠PAQ =5π6，∴∠F 2AQ =π3，则tan π3=b2a =√3， 则b 2=c 2−a 2=12a 2，得e 2=13，即e =√13． 故选：D ．由题意画出图形，联立双曲线渐近线方程与圆的方程，可得P ，Q 的坐标，得到∠F 2AQ =π3，则tan π3=b2a =√3，结合隐含条件即可求得双曲线的离心率． 本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力，是中档题．10.【答案】D【解析】解：2√S n =a n +1， ∴S n =(a n +12)2，S n−1=(a n−1+12)2， a n =S n −S n−1=a n 2+2a n −a n−12−2a n−14，化简得：2(a n +a n−1)=a n 2−a n−12， 正项数列{a n }中，a n −a n−1=2． n =1时，2√S 1=a 1+1， ∴a 1=1．∴数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列． a n =1+2×(n −1)=2n −1． a n −7=2n −8，T n =2×1−8+2×2−8+2×3−8+⋯+2n −8=2×n(n+1)2−8n =n 2−7n =(n −72)2−494，∵n ∈N ∗，n =3或n =4时，T n 的最小值为−12． 故选：D ．根据a n =S n −S n−1求得数列{a n }的通项公式，则可以推出a n −7=2n −8，通过分组求和法求得数列{a n −7}的前n 项和T n ，通过二次函数的最值求得T n 的最小值． 本题主要考查数列通项公式和前n 项和的求解，利用a n =S n −S n−1求得数列{a n }的通项公式和分组求和法是解决本题的关键．11.【答案】A【解析】解：因为AC⊥BC，所以△ABC的外接圆的圆心为斜边AB的中点D，可得外接圆的半径为r=12AB=1，再由PA=PB=PC=AB=2可得PD⊥面ABC，可得PD=√PA2−AD2=√4−1=√3，可得球心O在直线PD所在的直线上，设外接球的半径为R，取OP=OA=R，在△OAD中，R2=r2+(PD−R)2，即R2=1+(√3−R)2，解得：R=2√3=2√33，所以外接球的体积V=4π3R3=32√327π，故选：A．因为AC⊥BC，所以△ABC的外接圆的圆心为斜边AB的中点D，再由PA=PB=PC可得球心O在直线PD所在的直线上，设为O，然后在直角三角形中有勾股定理可得外接球的半径，进而求出外接球的体积．本题考查三棱锥的棱长与外接球的半径之间的关系，及球的体积公式，属于中档题．12.【答案】D【解析】【分析】本题考查了利用导数研究的单调性、构造法、方程与不等式的解法，等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．令g(x)=f(x)sinx，g′(x)=[f(x)+f′(x)tanx]⋅cosx，当x∈(0,π2)时，根据f(x)+f′(x)tanx>0，可得函数g(x)单调递增．又g(1)=0，判断g(x)在(0,π2)上的正负情况，根据f(x)是定义在(−π2,π2)上的奇函数，可得g(x)是定义在(−π2,π2)上的偶函数．进而得出不等式f(x)<0的解集．【解答】解：令g(x)=f(x)sinx，g′(x)=f(x)cosx+f′(x)sinx=[f(x)+f′(x)tanx]⋅cosx，当x∈(0,π2)时，f(x)+f′(x)tanx>0，∴g′(x)>0，即函数g(x)单调递增．又g(1)=0，∴x∈(0,1)时，g(x)=f(x)sinx<0，又sinx>0，所以f(x)<0．x∈(1,π2)时，g(x)=f(x)sinx>0，又sinx>0，所以f(x)>0．x=0时，f(0)=0，舍去．∵f(x)是定义在(−π2,π2)上的奇函数，∴g(x)是定义在(−π2,π2)上的偶函数．则g(x)在(−π2,0)上单调递减，且g(−1)=0，故x∈(−π2,−1)时，g(x)=f(x)sinx>0，又sinx<0，所以f(x)<0．x∈(−1,0)时，g(x)=f(x)sinx<0，又sinx<0，所以f(x)>0．∴不等式f(x)<0的解集为(−π2,−1)∪(0,1)．故选：D．13.【答案】−13【解析】解：f′(x)=m(2xlnx+x)，又曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线ex+y+2020=0平行，∴f′(e)=3em=−e，解得m=−13．故答案为：−13．求出f(x)的导数，然后根据切线与直线ex+y+2020=0平行，得f′(e)=−e，列出关于m的方程，解出m的值．本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，同时考查学生运用方程思想解题的能力和运算能力．14.【答案】2046【解析】解：数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=2a n，∴S n=2n−12−1=2n−1．若数列{b n}满足b n⋅S n=1，∴b n=1Sn =12n−1．∴b n +1b n =2n ． 则b 1+1b 1+b 2+1b 2+⋯+b 10+1b 10=2+22+⋯ (210)2(210−1)2−1=211−2=2046．故答案为：2046．数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，a n+1=2a n ，利用求和公式：S n .由数列{b n }满足b n ⋅S n =1，可得b n =1S n.进而得出b n +1b n，再利用等比数列的求和公式即可得出．本题考查了等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.【答案】√13+1【解析】解：由题，点P 满足|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，说明P 点在以A(3,0)为圆心，1为半径的圆上， 设P(3+cosθ,sinθ)，则OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2+cosθ,3+sinθ)，∴∣OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=√(2+cosθ)2+(3+sinθ)2=√14+2√13sin(θ+φ)(tanφ=23)，根据三角函数的值域，可知|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |最大值为√13+1． 故答案为：√13+1．根据|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，易知P 点在以A(3,0)为圆心，1为半径的圆上，设P(3+cosθ,sinθ)，通过坐标表示出OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再根据模长公式求解．本题主要考查平面向量的模长公式，以及辅助角公式的最值问题，考查学生转化的思想，属于中档题．16.【答案】4√23【解析】解：由抛物线的方程可得焦点F(0,1)，准线方程y =−1， 因为直线l 过点F 且倾斜角为5π6，则直线l 的方程为：y =−√33x +1，直线与抛物线联立{y =−√33x +1x 2=4y，整理可得x 2+4√33x −4=0，解得x 1=√3，x 2=√3，可得y 1=13，y 2=3， 即√33)，由题意可得√3−1)，可得△AMF 的外接圆的圆心N 在线段AM 的中垂线y =1上，也在线段AF 的中垂线上，而AF 的中点(−√3,2)，∴线段AF 的中垂线方程为y −2=√3(x +√3)，即y =√3x +5， 联立{y =1y =√3x +5解得：√31)，所以圆心坐标为√31)，半径r =4√33，圆心到直线√2x −y −3=0的距离d =|−√2√3√3=4√23+4√33， 所以外接圆上的点到直线√2x −y −3=0的距离的最小距离为d −r =4√23， 故答案为：4√23． 由抛物线的方程可得焦点F 的坐标，由题意求出直线l 的方程，代入抛物线的方程求出A ，B 的坐标，由题意求出M 的坐标，求出线段AF 的中垂线，及AM 的中垂线，两条直线的交点为三角形AMF 的外接圆的圆心，及半径，求出圆心到直线√2x −y −3=0的距离d ，则可得圆上的点到直线√2x −y −3=0的最小距离为d −r ．本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合，及求三角形外接圆的圆心和半径，属于中档题．17.【答案】解：(1)在△ABC 中，sin(B +C)=sinA ，内角A ，B ，C 满足√3sin(B +C)=2sin 2A2．所以√3sinA =1−cosA ，则：sin(A +π6)=12，由于A ∈(0,π)， 所以A +π6∈(π6,7π6)，则：A =2π3．(2)由于A =2π3，AB =5，BC =7，由余弦定理得：72=AC 2+52−10AC ⋅cos 2π3，解得AC =3(−8舍去)．则：S △ABC =12×AB ×AC ×sin2π3=15√34． 设BC 边上的高为ℎ，所以12×BC ×ℎ=15√34，解得ℎ=15√314．【解析】(1)直接利用三角函数关系式的恒等变换和三角函数的值的应用求出结果． (2)利用余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．18.【答案】解：(1)证明：取A 1B 的中点F ，连结EF 、DF ，∵D 、F 分别是AB ，A 1B 的中点，∴DF−//12A 1A ，∵A 1A−//C 1C ，E 是C 1C 的中点，∴DF−//EC ，∴四边形CDEF 是平行四边形，∴CD−//EF ，∵CD ⊄平面A 1EB ，EF ⊂平面A 1EB ， ∴CD//平面A 1EB ．(2)解：∵△ABC 是正三角形，D 是AB 的中点，∴CD ⊥AB ， ∵在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ， ∴A 1A ⊥CD ，由(1)知DF//A 1A ，∴CD 、BD 、DF 两两垂直，∴以D 为原点，DB 、DC 、DF 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(12,0,0)，E(0,√32,1)，A 1(−12,0,2)，∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,√32,1)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√32,1)，A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32,−1)， 设平面A 1DE 的法向量n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12x +√32y −z =0n ⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√32y +z =0，取z =√3，得n ⃗ =(4√3,−2,√3)， 设平面A 1BE 的法向量m⃗⃗⃗ =(a,b,c)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12a +√32b −c =0m⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a +√32b +c =0，取c =1，得m⃗⃗⃗ =(2,0,1)， 设二面角B −A 1E −D 的平面角为θ， 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=9√3355．∴二面角B −A 1E −D 的余弦值为9√3355．【解析】(1)取A 1B 的中点F ，连结EF 、DF ，推导出四边形CDEF 是平行四边形，从而CD−//EF ，由此能证明CD//平面A 1EB ．(2)推导出CD 、BD 、DF 两两垂直，以D 为原点，DB 、DC 、DF 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B −A 1E −D 的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角和余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力以及化归与转化思想，是中档题．19.【答案】解：(1)证明：由椭圆的方程可得：A(−2,0)，B(2,0)，设M(2,m)，P(x 0,y 0)，(m ≠0,x 0≠±2)， 则x 024+y 022=1，得y 02=−x 02−42，又k AP =y 0x+2=k AM =m−02−(−2)=m4，k BP =y0x 0−2， 所以k AP ⋅k BP =y 02x 02−4=−12， 又m4⋅y 0x−2=−12，整理可得2x 0+my 0=4， 所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x 0+my 0=4为定值． (2)假设存在定点Q(n,0)满足要求，设M(2,m)，P(x 0,y 0)，(m ≠0,x 0≠±2)， 则以MP 为直径的圆恒通过MQ 与BP 的交点可得MQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以(n −2,−m)⋅(x 0−2,y 0)=nx 0−2n −2x 0+4−my 0=0，① 由(1)得2x 0+my 0=4，②，由①②可得n(x 0−2)=0，因为x 0≠2，解得n =0，所以存在x 轴上的定点Q(0,0)，使得以MP 为直径的圆恒通过MQ 与BP 的交点．【解析】(1)由椭圆的方程可得A ，B 的坐标，设M ，P 的坐标，可得AP ，AM 的斜率相等，求出数量积OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，由k AP ⋅k BP =y 02x 02−4=−12，可得M ，P 的坐标的关系，进而可得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值． (2)假设存在Q 满足条件，因为以MP 为直径的圆恒通过MQ 与BP 的交点可得MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，由(1)可得整理得n(x 0−2)=0，再由x 0≠2可得n =0，本题考查椭圆的性质，及以线段的端点为直径的圆的性质，属于中档题．20.【答案】解：(1)当m =0时，f(x)=e x −ex ，f′(x)=e x −e ，又f′(x)是增函数，且f′(1)=0，∴当x >1时，f′(x)>0，当x <1时，f′(x)<0，∴f(x)在(−∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，∴当x=1时，f(x)取得极小值f(1)=0，无极大值；(2)f′(x)=e x−2mx+m−e，令g(x)=f′(x)=e x−2mx+m−e，则g′(x)=e x−2m，①当m=0时，f(1)=0，由(1)知f(x)在区间(0,1)上没有零点；②当m<0时，则g′(x)>0，故g(x)=f′(x)在(0,1)上单调递增，又g(0)=f′(0)=1+m−e<0，g(1)=f′(1)=−m>0，∴存在x0∈(0,1)，使得g(x0)=f′(x0)=0，且当x∈(0,x0)时，f′(x)<0，f(x)是减函数，当x∈(x0,1)时，f′(x)>0，f(x)是增函数，又∵f(0)=1，f(1)=0，∴f(x)在(0,1)上存在零点；③当m>0，x∈(0,1)时，令ℎ(x)=e x−ex，则ℎ′(x)=e x−e，∵在x∈(0,1)上，ℎ′(x)<0，ℎ(x)是减函数，∴ℎ(x)>ℎ(1)=0，即e x>ex，∴f(x)=e x+(m−e)x−mx2>ex+(m−e)x−mx2=m(x−x2)>0，∴f(x)在(0,1)上没有零点；综上，要使f(x)在(0,1)上内存在零点，则m的取值范围为(−∞,0)．【解析】(1)将m=0带入，求导得f′(x)=e x−e，再求出函数f(x)的单调性，进而求得极值；(2)求导得f′(x)=e x−2mx+m−e，令g(x)=f′(x)，对函数g(x)求导后，分m=0，m<0及m>0讨论，m=0时容易得出结论，m<0时运用零点存在性定理可得出结论，m>0时运用放缩思想，先证明e x>ex，进而可得f(x)>0在(0,1)上恒成立，由此得出结论，以上情况综合，即可求得实数m的取值范围．本题主要考查利用导数研究函数的极值及函数的零点，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)由已知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P(ξ=0)=(1−0.6)⋅(1−a)2=0.4(1−a)2，P(ξ=1)=0.6(1−a)2+(1−0.6)⋅C21a(1−a)=0.2(1−a)(3+a)，P(ξ=2)=0.6⋅C21a(1−a)+(1−0.6)a2=0.4a(3−2a)，P(ξ=3)=0.6a2．∵0<a<0.4，∴P(ξ=1)−P(ξ=0)=0.2(1−a)(1+3a)>0，P(ξ=1)−P(ξ=2)=0.2(3a2−8a+3)>0，P(ξ=1)−P(ξ=3)=−0.2(4a2+2a−3)>0，∴概率P(ξ=1)的值最大．(2)由(1)可知，当0<a<0.4时，有t1=P(ξ=1)的值最大，且t2−t3=P(ξ=2)−P(ξ=3)=0.2a(6−7a)>0，∴t1>t2>t3，∴应当以A1，A2，A3的顺序派出勘探小组，可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小，即优先派出完成任务概率大的小组可减少所需派出的小组个数的均值．证明如下：假定p1，p2，p3为t1，t2，t3(t1>t2>t3)的任意一个排列，即若三个小组A i(i=1,2,3)按照某顺序派出，该顺序下三个小组能完成特殊任务的概率依次为p1，p2，p3，记在特殊勘探时所需派出的小组个数为η，则η=1，2，3，且η的分布列为∴数学期望E(η)=p1+2(1−p1)p2+3(1−p1)(1−p2)=3−2p1−p2+p1p2下面证明E(η)=3−2p1−p2+p1p2≥3−2t1−t2+t1t2成立，∵(3−2p1−p2+p1p2)−(3−2t1−t2+t1t2)=2(t1−p1)+(t2−p2)+p1p2−p1t2+p1t2−t1t2=2(t1−p1)+(t2−p2)+p1(p2−t2)+t2(p1−t1)=(2−t2)(t1−p1)+(1−p1)(t2−p2)≥(1−p1)(t1−p1)+(1−p1)(t2−p2)=(1−p1)[(t1+t2)−(p1+p2)]≥0，∴按照完成任务概率从大到小的A1，A2，A3的先后顺序派出勘探小组，可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小．【解析】(1)每个勘探小组共有3名人员，故ξ的所有可能取值为0，1，2，3，再依据相互独立事件的概率求出每个ξ的取值所对应的概率，并用作差法逐一比较P(ξ=1)与P(ξ=0)、P(ξ=2)、P(ξ=3)的大小关系即可得证；(2)先根据(1)中的结论比较P(ξ=2)和P(ξ=3)的大小，可得到t1>t2>t3，故而可猜想出结论，再进行证明．证明时，设三个小组A i (i =1,2,3)按照某顺序派出，该顺序下三个小组能完成特殊任务的概率依次为p 1，p 2，p 3，记在特殊勘探时所需派出的小组个数为η，则η=1，2，3，然后求出η的分布列和数学期望，只需证明数学期望E(η)=3−2p 1−p 2+p 1p 2≥3−2t 1−t 2+t 1t 2成立即可，这一过程采用的是作差法，其中用到了因式分解的相关技巧．本题考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的分布列和数学期望，以及期望的实际应用等，考查学生对数据的分析能力和运算能力，属于难题．22.【答案】解：(1)曲线C 1的极坐标方程为ρcosθ−2ρsinθ=1．若P 为曲线C 1上的动点，Q 是射线OP 上的一动点，且满足|OP|⋅|OQ|=2，记动点Q 的轨迹为C 2．设P(ρ1,θ)，Q(ρ,θ)，则：ρ1cosθ−2ρ1sinθ=1，即ρ1=1cosθ−2sinθ， 由于|OP|⋅|OQ|=2，所以ρ=2cosθ−4sinθ，整理得ρ2=2ρcosθ−4ρsinθ，转换为直角坐标方程为：(x −1)2+(y +2)2=5(原点除外)．(2)曲线C 1的极坐标方程为ρcosθ−2ρsinθ=1转换为直角坐标方程为：x −2y −1=0． 曲线C 2的圆心为(1,−2)，半径为√5， 所以圆心到直线C 1的距离d =√1+(−2)2=√5．所以|MN|=2√(√5)2−(√5)2=√5．由于点O 到C 1的距离d 2=√12+(−2)2=√5 所以S △OMN =12×|MN|×d 2=12√5√5=35．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(1)当k =1时，不等式f(x)≤1即为|x −1|+12|x +3|≤3，等价为{x ≥1x −1+12x +32≤3或{−3<x <11−x +12x +32≤3或{x ≤−31−x −12x −32≤3，解得1≤x ≤53或−1≤x <1或x ∈⌀， 则原不等式的解集为[−1,53]；(2)f(x)≥x 对于任意的实数x 恒成立，即为|x −k|+12|x +3|≥x +2恒成立． 当x ≤−2时，|x −k|+12|x +3|≥0≥x +2恒成立； 当x >−2时，|x −k|+12|x +3|≥x +2恒成立等价为|x −k|+x+32≥x +2，即|x −k|≥x+12恒成立，当−2<x ≤−1时，|x −k|≥x+12恒成立；当x >−1时，|x −k|≥x+12恒成立等价为x −k ≥x+12或x −k ≤−x+12恒成立．即x ≥2k +1或x ≤23(k −12)恒成立， 则2k +1≤−1解得k ≤−1， 所以k 的取值范围是(−∞,−1]．【解析】(1)由题意可得|x −1|+12|x +3|≤3，由零点分区间法和绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；(2)由题意可得|x −k|+12|x +3|≥x +2恒成立．讨论x ≤−2恒成立，x >−2时，可得|x −k|≥x+12恒成立，讨论−2<x ≤−1，x >−1时，结合绝对值不等式的解法和恒成立思想，可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和分类讨论思想，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。
2020届广东省梅州市高三上学期第一次质量检测数学(理)试卷
2020届广东省梅州市高三上学期第一次质量检测理 科 数 学 试 卷总分：150分 完成时间：120分钟 2019.10一．选择题（60分）1.已知集合{}=|10A x x -<，{}2|20B x x x =-<，则A B =A.{}|0x x <B.{}|1x x <C.{}|01x x <<D.{}|12x x <<2.已知,p q R ∈，1i +是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，则p q ⋅=A.4-B.0C.2D.43.已知ln3a =，3log 10b =，lg3c =，则a ，b ，c 的大小关系为A.c b a <<B.a c b <<C.b c a <<D.c a b <<4.函数()21x f x x-=的图象大致为A. B.C. D.5.右图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆和一个四分之一圆构成，两个阴影部分分别标记为A 和M .在此图内任取一点，此点取自A 区域的概率记为()P A ，取自M 区域的概率记为()P M ，则A.()()P A P M >B.()()P A P M <C.()()P A P M =D.()P A 与()P M 的大小关系与半径长度有关6.右图是判断输入的年份x 是否是闰年的程序框图，若先后输入1900x =，2400x =，则输出的结果分别是（注：xMODy 表示x 除以y 的余数） A.1900是闰年，2400是闰年 B.1900是闰年，2400是平年 C.1900是平年，2400是闰年D.1900是平年，2400是平年7.若sin 78m =，则sin 6=8.已知等差数列{}n a 的公差不为零，其前n 项和为n S ，若3S ,9S ,27S 成等比数列，则93S S = A.3B.6C.9D.129.双曲线)0(1:222>=-a y ax C 的右焦点为F ，点P 为C 的一条渐近线上的点，O 为坐标原点，若PF PO =，则OPF S ∆的最小值为A.41 B.21 C.1 D.210．已知函数()ln4xf x x=-，则 A. ()y f x =的图象关于点(2,0)对称 B. ()y f x =的图象关于直线2x =对称 C. ()f x 在(0,4)上单调递减 D. ()f x 在(0,2)上单调递减，在(2,4)上单调递增 11．已知函数()sin f x a x x =的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为A. 3π-B. 0C.3πD.23π 12．设()f x 是定义在R 上的偶函数，x R ∀∈，都有(2)(2)f x f x -=+，且当[0,2]x ∈时，()22xf x =-，函数()()log (1)a g x f x x =-+()0,1a a >≠在区间(1,9]-内恰有三个不同零点，则实数a 的取值范围是A ．1(0,)(7,)9+∞ B. 1(,1)(1,3)9 C. 11(,)(3,7)95 D. 11(,)(5,3)73二、填空题（共20分）13.若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤+-≥+-02201202y x y x y x ，则y x z -=3的最大值为______.14.已知21,e e 是夹角为60°的两个单位向量，21212,e e b e e a -=-=，则=⋅b a _____. 15.已知函数()04sin )(>⎪⎭⎫⎝⎛+=ωπωx x f ，若)(x f 在[]π2,0上恰有3个极值点，则ω的取值范围是______. 16.在三棱锥ABC P -中，,3,90,60==︒=∠=∠︒=∠PC PB PCA PBA BAC 点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥ABC P -的外接球的表面积为________. 三．（解答题，共70分）17.（12分）ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC △的面积为A b S tan 612=. （1）证明：A c b cos 3= （2）若,22,2tan ==a A 求S18.（12分）某音乐院校举行“校园之星”评选活动，评委由本校全体学生组成，对B A,两位选手，随机调查了20个学生的评分，得到下面的茎叶图：（1）通过茎叶图比较B A ,两位选手所得分数的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）； （2）校方将会根据评分记过对参赛选手进行三向分流：记事件:C “A 获得的分流等级高于B”，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C 发生的概率.19.（12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，侧棱⊥PD 底面ABCD ，DC PD =，点E 是PC 的中点.（1）求证：//PA 平面BDE ；（2）若直线BD 与平面PBC 所成角为︒30，求二面角D PB C --的大小.20.（12分）已知F 为抛物线y x T 4:2=的焦点，直线2:+=kx y l 与T 相交于B A ,两点. （1）若1=k ，求FB FA +的值；（2）点)2,3(--C ，若CFB CFA ∠=∠，求直线l 的方程.21.（12分）已知函数()sin f x x x =，(0,)x π∈，()f x '为()f x 的导数，且()()g x f x '=. 证明：（1）()g x 在22,3π⎛⎫⎪⎝⎭内有唯一零点t ； （2）()2f x <.（参考数据：sin 20.9903≈，cos20.4161≈-，tan 2 2.1850≈- 1.4142≈， 3.14π≈.） （二）选考题：共10分.请考生在第（22），（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.[选修44-：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中，圆:4cos C ρθ=.以极点O 为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ，直线l 经过点(1,M --且倾斜角为α.（1）求圆C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；（2）已知直线l 与圆C 交与A ，B ，满足A 为MB 的中点，求α.23.[选修45-：不等式选讲]（10分） 设函数()211f x x x =-++. （1）画出()y f x =的图像；（2）若()f x m x n ≤+，求m n +的最小值.2019-2020学年第一学期高三第一次质检理科数学参考答案2019.10一．选择题：CADDC CBCBADC 二．填空题： （13）0（14）32（15）(98，138] （16）6π三．解答题：17．解：（1）由S ＝ 1 2bc sin A ＝ 16b 2tan A 得3c sin A ＝b tan A ．因为tan A ＝sin A cos A ，所以3c sin A ＝b sin Acos A ，又因为0＜A ＜π，所以 sin A ≠0， 因此b ＝3c cos A ．…4分（2）因为tan A ＝2，所以cos A ＝55， 由（1）得2bc cos A ＝2b 23，c ＝5b3．…8分由余弦定理得8＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以8＝b 2＋5b 29－2b 23＝8b 29，从而b 2＝9． 故S ＝ 16b 2tan A ＝3． …12分18．解：（1）通过茎叶图可以看出，A 选手所得分数的平均值高于B 选手所得分数的平均值；A 选手所得分数比较集中，B 选手所得分数比较分散．…4分（2）记C A 1表示事件：“A 选手直接晋级”，C A 2表示事件：“A 选手复赛待选”； C B 1表示事件：“B 选手复赛待选”，C B 2表示事件：“B 选手淘汰出局”．则C A 1与C B 1独立，C A 2与C B 2独立，C A 1与C A 2互斥，C ＝(C A 1C B 1)∪(C A 1C B 2)∪(C A 2C B 2)． P (C )＝P (C A 1C B 1)＋P (C A 1C B 2)＋P (C A 2C B 2)＝P (C A 1)P (C B 1)＋P (C A 1)P (C B 2)＋P (C A 2)P (C B 2)．由所给数据得C A 1，C A 2，C B 1，C B 2发生的频率分别为820，1120，1020，320，故 P (C A 1)＝820，P (C A 2)＝1120，P (C B 1)＝1020，P (C B 2)＝320，P (C )＝820×1020＋820×320＋1120×320＝137400．…12分19．解：（1）连接AC 交BD 于O ，连接OE ． 由题意可知，PE ＝EC ，AO ＝OC ，∴P A ∥EO ，又P A ⊄平面BED ，EO ⊂平面BED ， ∴P A ∥平面BED ．…4分（2）以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D －xyz ，设PD ＝CD ＝1，AD ＝a ，则A (a ，0，0)，B (a ，1，0)，C (0，1，0)，P (0，0，1)，DB →＝(a ，1，0)，PB →＝(a ，1，－1)，PC →＝(0，1，－1)设平面PBC 的法向量n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧PB →·n ＝0，PC →·n ＝0，得⎩⎨⎧ax ＋y －z ＝0，y －z ＝0，取n ＝(0，1，1)．…7分直线BD 与平面PBC 所成的角为30︒，得|cos 〈DB →，n 〉|＝|DB →·n ||DB →||n |＝1a 2＋1×2＝ 1 2，解得a ＝1．…9分 同理可得平面PBD 的法向量m ＝(－1，1，0)，…10分cos 〈n ，m 〉＝n ·m|n ||m |＝12×2＝ 1 2，∵二面角C −PB −D 为锐二面角， ∴二面角C −PB −D 的大小为60°．…12分20．解：（1）由已知可得F (0，1)，设A (x 1，x 214)，B (x 2，x 224)，y ＝kx ＋2与x 2＝4y 联立得，x 2－4kx －8＝0，x 1＋x 2＝4k ， ① x 1x 2＝－8．② …2分 |F A |＋|FB |＝x 214＋1＋x 224＋1 ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 24＋2．…4分当k ＝1时，由①②得|F A |＋|FB |＝10…5分（2）由题意可知，FA →＝(x 1，x 214－1)，FB →＝(x 2，x 224－1)，FC →＝(－3，－3).∠CF A ＝∠CFB 等价cos 〈FA →，FC →〉＝cos 〈FB →，FC →〉， …8分又|F A |＝x 214＋1，|FB |＝x 224＋1则F A →·FC→|F A →||FC →|＝FB →·FC→|FB →||FC →|，整理得4＋2(x 1＋x 2)－x 1x 2＝0， 解得k ＝－ 32，…11分所以，直线l 的方程为3x ＋2y －4＝0．…12分21．解：（1）g (x )＝f '(x )＝x cos x ＋sin x ，所以x ∈(0，π2]时，g (x )＞0，即g (x )在(0，π2]内没有零点．…2分x ∈(π2，π)时，g '(x )＝2cos x －x sin x ，因为cos x ＜0，x sin x ＞0，从而g '(x )＜0， 所以g (x )在(π2，π)上单调递减，又g (2)＝(2＋tan 2)cos 2＞0，g(2π3)＝－π3＋32＜0， 所以g (x )在(2，2π3)内有唯一零点t ．…6分（2）由（1）得，x ∈(0，t )时，g (x )＞0，所以f '(x )＞0，即f (x )单调递增； x ∈(t ，π)时，g (x )＜0，所以f '(x )＜0，即f (x )单调递减， 即f (x )的最大值为f (t )＝t sin t ． 由f '(t )＝t cos t ＋sin t ＝0得t ＝－tan t ， 所以f (t )＝－tan t ·sin t ， 因此f (t )－2＝－sin 2t －2cos tcos t＝cos 2t －2cos t －1cos t＝(cos t －1)2－2cos t．…9分因为t ∈(2，2π3)，所以cos t ∈(－ 12，cos 2)，从而(cos 2－1)2－2＝(－1.4161)2－(2)2＞0， 即(cos t －1)2－2cos t＜0，所以f (t )－2＜0， 故f (x )＜2． …12分22．解：（1）由圆C ：ρ＝4cos θ可得ρ2＝4ρcos θ， 因为ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ， 所以x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4．直线l ：⎩⎨⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝－33＋t sin α（t 为参数，0≤α＜π）．…5分（2）设A ，B 对应的参数分别为t A ，t B ，将直线l 的方程代入C 并整理，得t 2－6t (3sin α＋cos α)＋32＝0， 所以t A ＋t B ＝6(3sin α＋cos α)，t A ·t B ＝32． 又A 为MB 的中点，所以t B ＝2t A ， 因此t A ＝2(3sin α＋cos α)＝4sin (α＋π 6)，t B ＝8sin (α＋ π6)， …8分所以t A ·t B ＝32sin 2(α＋π 6)＝32，即sin 2(α＋ π6)＝1． 因为0≤α＜π，所以 π 6≤α＋ π 6＜7π6，从而α＋ π 6＝ π 2，即α＝ π3．…10分23．解：（1）f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ＜－1，－x ＋2，－1≤x ≤1 2，3x ，x ＞12． …3分y ＝f (x )的图象如图所示：…5分n≥2．x|＋n≥3|x|．（※）若m≥3，（※）式明显成立；若m＜3，则当|x|＞n3－m时，（※）式不成立．…8分另一方面，由图可知，当m≥3，且n≥2时，f(x)≤m|x|＋n．故当且仅当m≥3，且n≥2时，f(x)≤m|x|＋n．因此m＋n的最小值为5．…10分。
广东省梅州市中学2020年高三数学理测试题含解析
广东省梅州市中学2020年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在平面直角坐标系xOy中，设.若不等式组，所表示平面区域的边界为三角形，则a的取值范围为（）A.(1,+∞)B.(0,1)C.(－∞,0)D. (－∞,1)∪(1,+∞)参考答案：A化简，得到，即表示直线的上面部分；化简，得到，即表示直线的上面部分。
又因为两直线交于(0,1)点，且与所包围区域为三角形，所以2. 若，则( ) A．B．C． D．参考答案：B3. 若两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别是S n和T n，已知，则=（）A．7 B．C．D．参考答案：D【考点】等差数列的性质．【分析】由已知，根据等差数列的性质，把转化为求解．【解答】解：．故选：D．4. 在中，若b=2，A=120°，三角形的面积，则三角形外接圆的半径为A. B.2 C. D.4参考答案：B略5. 已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则A∩B=（）A．{﹣1，0} B．{0，1} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}参考答案：A【考点】1E：交集及其运算．【分析】解一元二次不等式，求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：B={x|﹣2＜x＜1}，A={﹣2，﹣1，0，1，2}；∴A∩B={﹣1，0}．故选：A．6. 定义在R上的函数可导，且图像连续，当时的零点的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：B7. 已知集合= （）A．B．C．D．{—2，0}参考答案：C略8. 如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）A．8πB．12πC．16πD．48π参考答案：B9. “等式sin（α+γ）=sin2β成立”是“α、β、γ成等差数列”的( )A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件参考答案：A考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：由正弦函数的图象及周期性：当sinα=sinβ时，α=β+2kπ或α+β=π+2kπ，k∈Z，而不是α=β．解答：解：若等式sin（α+γ）=sin2β成立，则α+γ=kπ+（﹣1）k?2β，此时α、β、γ不一定成等差数列，若α、β、γ成等差数列，则2β=α+γ，等式sin（α+γ）=sin2β成立，所以“等式sin（α+γ）=sin2β成立”是“α、β、γ成等差数列”的．必要而不充分条件．点评：本题考查充要条件的判断和三角函数的有关知识，属基本题．10. 设是等差数列，下列结论中正确的是（）．A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则参考答案：D项．∵，∴，的正负无法判断，正负无法判断，错误，项错误，∵，∴，正负无法判断，项错误，，项正确，∵，∴，．∴．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若等比数列满足，，则的前n项和________. 参考答案：略12. 若函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图所示，则ω=．参考答案：3【考点】正弦函数的图象．【分析】由函数y=sin （ωx+φ）的部分图象求出周期T ，从而求出ω的值． 【解答】解：由函数y=sin （ωx+φ）（ω＞0）的部分图象知， =（x 0+）﹣x 0=，∴T=，即=，解得ω=3． 故答案为：3．【点评】本题主要考查了y=Asin （ωx+?）的图象与性质的应用问题，是基础题．13. 已知函数与的图象上存在关于y 轴对称的点，则a的前取值范围是参考答案：（0,）14. 在直角坐标系中,曲线的参数方程为（t 为参数），在极坐标系 （与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点,以轴正半轴为极轴）中，曲线的极坐标方程为,则与的两个交点之间的距离等于 .15. 设椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的标准方程为 。
广东省梅州市2020届高三数学上学期第一次质量检测试题理
B. A.
D. C.
5.右图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆和
MA在此图内任取一和一个四分之一圆构成，两个阴影部分分别标记为.MPAPMA，区域的概率记为点，此点取自区域的概率记为，取自则MPPAAPPMA. B.
A,B两12分）某音乐院校举行“校园之星”评选活动，评委由本校全体学生组成，对（18.位选手，随机调查了20个学生的评分，得到下面的茎叶图：
A,B两位选手所得分数的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，）通过茎叶图比较1（得出结论即可）；
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（2）校方将会根据评分记过对参赛选手进行三向分流：
记事件“A获得的分流等级高于B”，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事:C件发生的概率，求事件C发生的概率.
PABCDABCDABCDPD，如图，在四棱锥是矩形，侧棱底面中，底面19.（12分）PDDCPCE的中点是，点.
PA//BDE；）求证：平面（1PBC30CPBDBD的大小，求二面角与平面所成角为（2）若直线.
2y4:xTB,2Al:ykxTF.相交于与分）已知20.（12两点为抛物线的焦点，直线 FBFA1k，求的值；（1）若)2,C(3lCFBCFA.，若（2）点的方程，求直线
12分）21.（)x((gx)(0,xf)f)(xf(x)x)f(xxsin.，为已知函数，的导数，且证明：22,t)(gx；在1）内有唯一零点（ 3f(x)2.
）（2 21.41420.990322.1850tan0.4161cos2sin2，：，，，据数考（参3.14.）
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2020年广东省高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)
2020年广东省高考数学一模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集U={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩(C U B)=()A. {0}B. {0,1,2,3,4}C. {0,1}D. {1}2.复数1+2i2−i的虚部是()A. iB. −iC. −1D. 13.若变量x，y满足约束条件{x+2y≥0x−y≤0x−2y+2≥0，则z=2x−y的最小值等于()A. −52B. −2 C. −32D. 24.若a>1，b<0，则函数y=a x+b的图象有可能是()A.B.C.D.5.函数f(x)=18x−cosx的零点个数为()A. 3B. 4C. 5D. 66.如果一个正四面体的体积为163√2dm3，则其表面积S的值为()A. 16dm2B. 18 dm2C. 18√3dm2D. 16√3dm27.某次数学考试中，某校学生的数学成绩服从正态分布N(100,25).估计数学成绩大于115分的学生所占的百分比为()(参考数据：P(μ−σ<X≤μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<X≤μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<X≤μ+3σ)=0.9974)A. 0.13％B. 1.3％C. 3％D. 3.3％8.设(2−x)6=a0+a1x+a2x2+⋯+a6x6则|a1|+|a2|+⋯+|a6|的值是()A. 665B. 729C. 728D. 639.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右两个焦点分别为F1，F2，A，B为其左、右两个顶点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，且∠AMB=30°，则该双曲线的离心率为()A. √212B. √13 C. 2√3 D. √19210. 已知数列{a n }的前n 项和S n =12n(n +1)，n ∈N ∗，b n =3a n +(−1)n−1a n ，则数列{b n }的前2n +1项和为( ) A. 32n+2−12+n B. 12⋅32n+2+n +12 C. 32n+2−12−n D. 12⋅32n+2−n +32 11. 已知三棱锥P −ABC 中，PA =√23，AB =3，AC =4，AB ⊥AC ，PA ⊥面ABC ，则此三棱锥的外接球的内接正方体的体积为( )A. 16B. 28C. 64D. 9612. 已知函数f(x)=x −sinx ，则不等式f(x +1)+f(2−2x)>0的解集是( )．A. (−∞,13)B. (−13,+∞)C. (−∞,3)D. (3,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设函数f(x)=(x +a)lnx ，若曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x −y =0平行，则实数a 的值为______．14. 已知在数列{a n }中，a 1=2，2n (a n +a n+1)=1，设T n =a 1+2a 2+⋯+2n−1a n ，b n =3T n −n−1a n ，数列{b n }的前n 项和S n =______．15. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A(0,sinα)，B(cosα,0)，动点C 满足|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值是________． 16. 过抛物线C ：x 2=4y 的准线上任意一点P 作抛物线的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，则A点到准线的距离与B 点到准线的距离之和的最小值是____________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 如图，在△ABC 中，已知4sin 2A−B 2+4sinAsinB =3．(I)求角C 的大小；(Ⅱ)若AC =8，点D 在BC 边上，且BD =2，cos∠ADB =17，求边AB的长．18.如图所示，四棱锥P—ABCD中，AB⊥AD，AB//DC，PA=AB=AD=2DC=2，PB=2√2，∠PAD=120°，E为PB的中点．(1)证明：EC//平面PAD；(2)求二面角C−AE−B的余弦值．19.如图，已知椭圆x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的长轴为AB，过点B的直线l与x轴垂直，椭圆的离心率e=√32，F为椭圆的左焦点，且AF⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB⃗⃗⃗⃗⃗ =1．(Ⅰ)求此椭圆的方程；(Ⅱ)设P是此椭圆上异于A，B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP=FQ.连接AQ并延长交直线l于点M，N为MB的中点，判定直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系．20.求函数f(x)=x2e−x的极值．21.在合作学习小组的一次活动中，甲、乙、丙、丁、戊五位同学被随机地分配承担A，B，C，D四项不同的任务，每个同学只能承担一项任务．(1)若每项任务至少安排一位同学承担，求甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率；(2)设这五位同学中承担任务A的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=−1+2cosφy=2sinφ(其中φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为ρ=√2sin(θ+π4)，设l1与C相交于A，B两点，AB的中点为M，过点M作l1的垂线l2交C于P，Q两点．(1)写出曲线C的普通方程与直线l1的直角坐标方程；(2)求|PQ||MP|⋅|MQ|的值．23.已知函数f(x)=|x−2|．(1)求不等式f(x)−|x|<1的解集；(2)设g(x)=|x+1|，若∀x∈R，f(x)+g(x)≥a2−2a恒成立，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题主要考查了交、并、补集的混合运算，考查学生的计算能力，属于基础题．根据题意可得C U B ，从而即可得A ∩(C U B)．解：∵全集U ={0,1,2,3,4}，集合A ={1,2,3}，B ={2,3,4}，∴C U B ={0,1}，∴A ∩(C U B)={1}，故选D ．2.答案：D解析：本题考查了复数运算，属于基础题．根据复数运算法则即可求解．解：令z =1+2i 2−i =(1+2i )(2+i)(2−i)(2+i)=5i5=i ，故复数z 的虚部为1，故选D ．3.答案：A解析：解：由变量x ，y 满足约束条件{x +2y ≥0x −y ≤0x −2y +2≥0作出可行域如图，由图可知，最优解为A ，联立{x +2y =0x −2y +2=0，解得A(−1,12). ∴z =2x −y 的最小值为2×(−1)−12=−52．故选：A ．由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．4.答案：A解析：本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数单调性以及与y轴的交点的范围是解决本题的关键．根据指数函数的单调性以及函数与y轴交点纵坐标的取值范围进行判断即可．解：当a>1时，函数为增函数，排除B，D，当x=0时，y=a0+b=1+b<1，排除C，故选：A．5.答案：C解析：解：函数f(x)=18x−cosx的零点，即函数y=18x与y=cosx图象交点的横坐标，在同一坐标系中画出函数y=18x与y=cosx的图象，如下图所示：由图可知：函数y=18x与y=cosx的图象有5个交点，故函数f(x)=18x−cosx有5个零点，故选：C将函数的零点问题转化为两个函数的交点问题，结合图象，问题容易解得．本题考察了函数的零点问题，渗透了数形结合思想，是一道基础题．6.答案：D解析：解：如果一个正四面体的棱长为a．则体积V=√212a3=163√2dm3，故a=4dm，则其表面积S=√3a2=16√3dm2，故选：Da3，求出棱长，再由棱长为a的正四面体的表面积S=√3a2，根据棱长为a的正四面体的体积V=√212可得答案．a3，表面积本题考查的知识点是正四面体的几何特征，熟练掌握棱长为a的正四面体的体积V=√212S=√3a2，是解答的关键．7.答案：A解析：本题主要考查正态分布的性质，属于基础题．解：某校学生的数学成绩服从正态分布N(100,25)．P(85<μ<115)=0.9974.估计数学成绩大于×(1−0.9974)×100％=0.0013×100％=0.13％.115分的学生所占的百分比为12故选A．8.答案：A解析：本题考查了二项式定理和赋值法的应用问题，由二项式定理知a0，a2，a4，a6均为正数，a1，a3，a5均为负数，|a0|+|a1|+|a2|+⋯+|a6|=a0−a1+a2−a3+a4−a5+a6，利用赋值法把x=−1，x=0分别代入已知式子计算即可，属基础题目．解：∵(2−x)6=a0+a1x+a2x+⋯+a6x，由二项式定理可知a0，a2，a4，a6均为正数，a1，a3，a5均为负数，令x=−1可得：∴|a0|+|a1|+|a2|+⋯+|a6|=a0−a1+a2−a3+a4−a5+a6=(2+1)6=729，x=0时，a0=26=64；∴|a1|+|a2|+⋯+|a6|=729−64=665．故选A．9.答案：B解析：本题考查双曲线的方程和性质，考查直线和圆的位置关系，考查离心率的求法，属于基础题．求出双曲线的渐近线方程和圆的方程，求出交点M，再由两点的斜率公式，得到a，b的关系，再由离心率公式即可得到所求值．解：双曲线x2a −y2b=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax，以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2，将直线y=bax代入圆的方程，可得，x=√a2+b2=a(负的舍去)，y=b，即有M(a,b)，又A(−a,0)，B(a,0)，由于∠AMB=30°，BM⊥x轴，则tan30°=2ab =√33，即有b=2√3a，则离心率e=ca =√1+b2a2=√13．故选：B．10.答案：A解析：解：当n=1时，a1=S1=12×1×2=1；当n≥2时，a n=S n−S n−1=12n(n+1)−12(n−1)n=n．故a n=n．∴b n=3a n+(−1)n−1a n=3n+(−1)n−1n，则数列{b n}的前2n+1项和S2n+1=(31+32+⋯+32n+1)+[1−2+3−4+⋯+(2n−1)−2n+ (2n+1)]=3(1−32n+1)1−3+(n+1)=32n+2−12+n．故选：A．由数列的前n项和求出数列{a n}的通项公式，代入b n=3a n+(−1)n−1a n，整理后分组，然后利用等比数列的前n项和得答案．本题考查了数列递推式，考查了数列的分组求和，考查了等比数列的前n项和，是中档题．11.答案：C解析：解：∵三棱锥P−ABC中，PA=√23，AB=3，AC=4，AB⊥AC，PA⊥面ABC，∴以AB，AC，AP为棱构造长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P−ABC的外接球，∴三棱锥P−ABC的外接球的半径R=√23+9+16=2√3，2设此三棱锥的外接球的内接正方体的半径为a，=2√3，解得a=4，则R=√3a2∴此三棱锥的外接球的内接正方体的体积V=a3=43=64．故选：C．以AB，AC，AP为棱构造长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P−ABC的外接球，三棱锥P−ABC=2√3，解得的外接球的半径R=2√3，设此三棱锥的外接球的内接正方体的半径为a，则R=√3a2a=4，由此能求出此三棱锥的外接球的内接正方体的体积．本题考查三棱锥的外接球的内接正方体的体积的求法，考查三棱锥及外接球、球的内接正方体等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.答案：C解析：本题考查函数的奇偶性及利用导数研究函数的单调性，属于基础题．由f(x)=x−sinx，则f′(x)=1−cosx≥0，所以f(x)是增函数，再由f(x)是奇函数，f(x+1)+f(2−2x)>0，即f(x+1)>f(2x−2)，得x+1>2x−2，解得．解：由f(x)=x−sinx，则f′(x)=1−cosx≥0，所以f(x)是增函数，再由f(x)=x−sinx，f(−x)=−f(x)，∴f(x)是奇函数，∴f(x+1)+f(2−2x)>0，即f(x+1)>f(2x−2)，得x+1>2x−2，解得x<3．故选C．13.答案：1解析：解：函数f(x)=(x+a)lnx的导数为f′(x)=lnx+x+a，x可得曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为k =1+a ， 由切线与直线2x −y =0平行， 可得1+a =2， 解得a =1， 故答案为：1．求得函数f(x)的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a 的值． 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，正确求导是解题的关键，属于基础题．14.答案：2n+1−2解析：解：由题意可知因为T n =a 1+2a 2+⋯+2n−1a n ，所以2T n =2a 1+22a 2+⋯+2n a n ， 两式相加3T n =a 1+2(a 1+a 2)+22(a 1+a 2)+⋯+2n−1(a n−1+a n )+2n a n=2+2×12+22×122+⋯+2n−1×12n−1+2n a n=2+(n −1)×1+2n a n =n +1+2n a n所以b n =2n ， 从而S n =2(1−2n )1−2=2n+1−2．故答案为：22n+1−2．先根据条件求出数列{b n }的通项公式，再根据通项公式的特点确定求和的方法．本题考查由递推式式求数列的通项公式以及等比数列的前n 项和公式，解题的关键对条件的分组转化，难度较大．15.答案：2解析：本题主要考查向量的计算和模长的计算，属于基础题． 解：依题意，设C(cosβ,sinβ)，则|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(cosα+cosβ)2+(sinα+sinβ)2=2+2cos(α−β)， 所以当cos(α−β)=1时，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2取得最大值4， 故|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2的最大值是2．故答案为2．16.答案：4解析：本题主要考查的是抛物线的性质的有关知识，根据到准线的距离转化为到焦点的距离，三点共线时距离最小，进而求出最小值．解：设A(x1,x124)，B(x2,x224)，由x2=4y可得y=x24，∴y′=x2，所以直线PA，PB的方程分别为：y−x124=x12(x−x1)①，y−x224=x22(x−x2)②，①②方程联立可得P(x1+x22,x1x24)，∵点P在准线上，∴x1x24=−1，∴x1x2=−4，设直线AB的方程为：y=kx+m，代入抛物线的方程可得：x2−4kx−4m=0，可得x1x2=−4m，所以可得m=1，即直线恒过(0,1)点，即直线恒过焦点(0,1)，即直AB的方程为：y=kx+1，代入抛物线的方程：x2−4kx−4=0，x1+x2=4k，所以y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2，A点到准线的距离与B点到准线的距离之和=AF+BF=y1+y2+2=4k2+4≥4，当k=0时，距离之和最小且为4，这时直线AB平行于x轴．故答案为：4．17.答案：解：(I)由4sin2A−B2+4sinAsinB=3，变形得：2[1−cos(A−B)]+4sinAsinB=3，即2−2(cosAcosB+sinAsinB)+4sinAsinB=3，整理得：2−2cos(A+B)=3，即2+2cosC=3，∴cosC=12，则C =π3；(Ⅱ)∵cos∠ADB =17，∠ADB +∠ADC =π， ∴cos∠ADC =−17，sin∠ADC =4√37，在△ADC 中，由正弦定理AD sinC =AC sin∠ADC 得：AD =ACsinCsin∠ADC =8×√324√37=7，由余弦定理得：AB 2=DA 2+DB 2−2DA ·DB ·cos∠ADB =49+4−4=49， 则AB =7．解析：(I)已知等式利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用两角和与差的余弦函数公式化简，求出cos C 的值，即可确定出角C 的大小；(Ⅱ)由cos∠ADB 的值求出cos∠ADC 的值，进而求出sin∠ADC 的值，再由sin C 与AC 的长，利用正弦定理求出AD 的长，再利用余弦定理求出AB 的长即可．此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．18.答案：解：(1)取PA 中点F ，连接EF ，DF ，因为E 为PB 中点， 所以EF//AB ，EF =12AB ． 又因为AB//DC ，AB =2DC ， 所以EF//DC ，EF =DC ． 所以四边形DCEF 为平行四边形， 所以EC//DF ． 又DF ⊂平面PAD ，平面PAD ，所以EC//平面PAD ．(2)因为由题可知AP =AB =2，PB =2√2， 所以AP 2+AB 2=PB 2， 所以AB ⊥AP ，又因为AB ⊥AD ，AP ∩AD =A ，AP ，AD ⊂平面PAD ． 所以AB ⊥平面PAD ．所以以A 为坐标原点，AP ，AB 所在直线为x ，y 轴，在面PAD 内过点A 与AP 垂直的直线为z 轴， 建立空间直角坐标系，A(0,0，0)，E(1,1，0)，C(−1,1，√3)， 设平面AEC 的法向量为n ⃗ =(x,y ，x)， 所以{n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0即{x =−y2y =−√3z, 令y =√3，得x =−√3，z =−2． 所以n ⃗ =(−√3√3,−2)，易知平面AEB 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(0,0，1)， 所以|cos(n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ )|=|n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗|n ⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗⃗⃗ || =|√3,√3,−2)⋅(0,0,1)√10|=√105， 因为二面角C −AE −B 为锐角， 所以二面角C −AE −B 的余弦值为√105．解析：本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题．(1)取PA 中点F ，在接EF ，DF ，推导出四边形DCEF 为平行四边形，证得EC//DF ，由此能证明EC //平面PAD ；(2)A 为坐标原点，AP ，AB 所在直线为x ，y 轴，在面PAD 内过点A 与AP 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面AEC 与平面AEB 的法向量，进而求得结果．19.答案：解：(Ⅰ)由题得{e =ca =√32(a −c)(a +c)=1，解得{a 2=4c 2=3 则b 2=a 2−c 2=1 则椭圆方程为x 24+y 2=1．(Ⅱ)QN 与以AB 为直径的圆O 相切，证明如下：设P(x P ,y P )(|x P |<2,0<|y P |≤1)，则Q(x P ,2y P )又因为点A 坐标为(−2,0) 所以直线AQ 的斜率k AQ =2y Px P +2则直线AQ 的方程为y =2y Px P+2(x +2)，当x =2时，y =8y PxP +2则M 点坐标为(2,8y PxP+2)，又因为B(2,0)，则N(2,4y PxP +2)则直线QN 的斜率为k QN =−2x P y P(2+xP )(2−x P )则直线QN 的方程为：2x P yP 4−x P2x +y −8yP4−x P2=0则点O(0,0)到直线QN 的距离为d =8y P4−x P2×√(4−x P2)24x P 2y P 2+(4−x P2)又因为y P 2=1−x P24则d =8y P4−x P2×√(4−x P2)24x P 2y P2+(4−x P2)=84−x P2×√4−x P22×√(4−x P2)24x P 2(1−x P 24)+(4−x P 2)2=2则QN 与以AB 为直径的圆O 相切．解析：(Ⅰ)由题得{e =c a=√32(a −c)(a +c)=1，及其b 2=a 2−c 2=1，即可得出．(Ⅱ)QN 与以AB 为直径的圆O 相切，分析如下：设P(x P ,y P )(|x P |<2,0<|y P |≤1)，则Q(x P ,2y P ).又因为点A 坐标为(−2,0)，可得直线AQ 的方程为y =2y Px P+2(x +2)，可得M 点坐标为(2,8y PxP +2)，又因为B(2,0)，则N(2,4y PxP +2).直线QN 的方程为：2x P yP 4−x P 2x +y −8yP 4−x P 2=0.又y P 2=1−x P 24，可得点O(0,0)到直线QN 的距离为d =2，即可证明QN 与以AB 为直径的圆O 相切．本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、直线方程，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.答案：解：f′(x)=2xe x −x 2e x(e x )2=−x(x−2)e x，令f′(x)=0，得x =0或2， 得出f(x)与f′(x)的表格，所以当x =0时，函数有极小值，且f(0)=0． 当x =2时，函数有极大值，且f(2)=4e 2．解析：本题考查了利用导数研究函数的极值，先求导，列表即可得出极值．21.答案：解：(1)设甲、乙两人同时承担同一项任务为事件M ，则P(M)=A 44C 52A 44=110，所以甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率是P(M)=1−P(M)=910， 答：甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率是910； (2)ξ的可能取值为ξ=0,1,2,3,4,5， P(ξ=0)=3545=(34)5，P(ξ=1)=C 51⋅3445=5⋅3445， P(ξ=2)=C 52⋅3345=10⋅3345， P(ξ=3)=C 53⋅3245=10⋅3245，P(ξ=4)=C 54⋅3145=1545， P(ξ=5)=C 55⋅3045=145，ξ的分布列为：所以E (ξ)=∑i ⋅P i 5i=0=54．解析：本题考查离散型随机变量的期望的求解及古典概型．(1)利用古典概型求出甲、乙两人同时承担同一项任务的概型，然后利用对立事件的概率公式求解即可；(2)分析ξ的取值，求出各自的概率，得出分布列，再求期望．22.答案：解：(1)由曲线C 的参数方程{x =−1+2cosφy =2sinφ，消去参数φ，得曲线C 的普通方程为(x +1)2+y 2=4．由曲线l 1的极坐标方程ρsin (θ−π4)=√22，得ρsin θ+ρcos θ=1，将x =ρcos θ，y =ρsin θ代入，得l 1的直角坐标方程为x +y −1=0； (2)由l 1⊥l 2，得直线l 2的斜率k l 2=−1k l 1=1，所以l 2的倾斜角为π4，又l 2过圆心(−1,0)，所以l 2的方程为y =x +1，与x +y −1=0联立，得AB 的中点M(0,1)，故l 2的参数方程为{x =tcos π4y =1+tsin π4,(t 为参数)，即{x =√22t y =1+√22t ,(t 为参数)，代入(x +1)2+y 2=4中，化简、整理得t 2+2√2t −2=0， 设P ，Q 对应的参数分别为t 1，t 2，则由韦达定理得t 1·t 2=−2， 又线段PQ 为圆的直径，所以|PQ|=4， 所以|PQ||MP|⋅|MQ|=4|−2|=2．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型． (1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.答案：解：(1)不等式f(x)−|x|<1，即为|x −2|−|x|<1，当x >2时，x −2−x <1，即x >2； 当x <0时，2−x +x <1，即x ∈⌀；当0≤x ≤2时，2−x −x <1，解得x >12，即有12<x ≤2， 综上可得不等式的解集为(12,+∞)； (2)∀x ∈R ，f(x)+g(x)≥a 2−2a 恒成立，即为|x−2|+|x+1|≥a2−2a恒成立，由|x−2|+|x+1|≥|x−2−x−1|=3，当且仅当−1≤x≤2时，取得最小值3，可得a2−2a≤3，解得−1≤a≤3．解析：(1)由题意可得|x−2|−|x|<1，讨论x的范围，去绝对值，解不等式，求并集即可得到所求解集；(2)由题意可得|x−2|+|x+1|≥a2−2a恒成立，运用绝对值不等式的性质可得不等式左边的最小值，解a的不等式，即可得到所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质：求最值，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，考查运算能力，属于中档题．。
2020年广东省梅州市高考数学质检试卷(理科)(5月份)(一模) (解析版)
2020年广东省梅州市高考数学质检试卷(理科)(5月份)(一模)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|2<x<4}，B={x|(x−1)(x−3)<0}，则A∩B=()A. (1,3)B. (1,4)C. (2,3)D. (2,4)2.设复数z满足1+2z1−z=i，则z=()A. 15+35i B. 15−35i C. −15+35i D. −15−35i3.若f(x)=lnxx,e<b<a，则()A. f(a)>f(b)B. f(a)=f(b)C. f(a)<f(b)D. f(a)f(b)>14.函数f(x)=(x2−2|x|)e|x|的图象大致为()A. B.C. D.5.一个扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4cm，则弦长AB=()cmA. 2B. 2sin1C. 2sin2D. sin 16.将一枚质地均匀的硬币抛掷三次，则出现“2次正面朝上，1次反面朝上”的概率为()A. 14B. 38C. 12D. 347.若向量a⃗，b⃗ 满足|a⃗|=1，|b⃗ |=√2，且a⃗⊥(a⃗+b⃗ )，则a⃗与b⃗ 的夹角为()A. π2B. 2π3C. 3π4D. 5π68.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出k的结果是()A. 2B. 3C. 4D. 59.已知公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，若a10=S4，则S8a9等于()A. 4B. 5C. 8D. 1010.已知抛物线y2=2px(p>0)与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)有相同的焦点F，点A是两曲线的一个公共点，且AF⊥x轴，则椭圆的离心率为()A. √3−1B. √2−1C. √5−12D. 2√2−1211.奇函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)为偶函数，且f(1)=2，则f(4)+f(5)的值为()A. 2B. 1C. −1D. −212.如图，圆锥的底面直径AB=2，母线长VA=3，点C在母线长VB上，且VC=1，有一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点A到点C，则这只蚂蚁爬行的最短距离是()A. √13B. √7C. 4√33D. 3√32二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为________．14.若等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，S3，S2成等差数列，则数列{a n}的公比为______．15.“三个臭皮匠，赛过诸葛亮”，这是我们常说的口头禅，主要是说集体智慧的强大．假设李某智商较高，他独自一人解决项目M的概率为P1=0.9；同时，有n个水平相同的人也在研究项目M，他们各自独立的解决项目M的概率都是0.5.现在李某单独研究项目M，且这n个人组成的团队也同时研究项目M，且这n个人研究项目M的结果相互独立．设这n个人团队解决项目M的概率为P2，若P2≥P1，则n的最小值是________．16.曲线x2+4y2=4关于点M(3,5)对称的曲线方程为__________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）)−csinB=0．17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知bsin(C−π3(1)求角C的值；(2)若a=4，c=2√7，求△ABC的面积．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且∠BAP=∠CDP=90°．(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A−PB−C的余弦值．19.平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)右焦点的直线x+y−√3=0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为12．求M的方程．20.已知函数f(x)=lnx+ax−1，a∈R．(1)若函数f(x)的最小值为2，求a的值；(2)当x∈(0,π)时，证明：e xsinx>1−lnx．21.已知{a n}是公差不为零的等差数列，{a n}的前n项和为S n，若a1，a2，a5成等比数列，且S4=16．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足b n=(−1)n⋅a3n−2，求b1+b2+b3+⋯+b10的值．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=4t 2,y=4t(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ⋅cosθ−√3ρ⋅sinθ−1=0．(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求直线l被曲线C所截的弦长．23.已知a，b，c为正数，且满足abc=1.证明：(1)1a +1b+1c≤a2+b2+c2；(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：B={x|(x−1)(x−3)<0}={x|1<x<3}，A={x|2<x<4}，∴A∩B={x|2<x<3}=(2,3)．故选：C．求出集合B，然后求解集合的交集．本题考查集合的交集的求法，考查计算能力．2.答案：C解析：本题考查了复数的本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由1+2z1−z=i，得1+2z=i−iz，∴z= −1+i2+i = (−1+i)(2−i) (2+i)(2−i) =−15+35i．故选C．3.答案：C解析：∵f′(x)=1−lnxx2，当x>e时，f′(x)<0，则f(x)在(e,+∞)上单调递减，又∵e<b<a，∴f(a)< f(b)．4.答案：B解析：【试题解析】本题考查函数图象的识别，函数的奇偶性，属于基础题．根据函数奇偶性的定义判断函数为偶函数，结合函数特殊值的大小，利用排除法即可求解．解：因为f(x)=(x2−2|x|)e|x|的定义域为R，且f(−x)=[(−x)2−2|−x|]e |−x|=(x 2−2|x|)e |x|=f(x)， 故f(x)为偶函数，排除C ；代入x =1，则f(1)=−e <−1，排除A ，D ． 故选B ．5.答案：B解析：解：设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ， 则：{12lr =1l +2r =4，解得：{r =1l =2，∴圆心角α=lr =2rad ．如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，则∠AOH =1 rad ．∴AH =1⋅sin 1=sin 1(cm)， ∴AB =2sin 1(cm)． 故选：B ．由已知利用扇形面积公式，可求扇形的半径和弧长，过O 作OH ⊥AB 于H ，解三角形即可得解AB 的值．本题主要考查了扇形的面积公式，弧长公式，同角三角函数基本关系式的应用，考查了数形结合思想，属于基础题．6.答案：B解析：本题考查了n 次独立重复试验恰好发生k 次的概率．此问题相当于进行3次独立重复试验恰好发生2次正面朝上的概率． 解：将一枚质地均匀的硬币抛掷三次，则出现“2次正面朝上，1次反面朝上”的概率是P =C 32(12)2⋅12=38．。
2020年广东省梅州市高考理科数学模拟试卷及答案解析
2020年广东省梅州市高考理科数学模拟试卷
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．已知集合A＝{x|log2（x+1）＞0}，B＝{x|0＜x＜1}，则∁A B＝（）A．（0，1）B．（0，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）
2．若复数为纯虚数，则实数a＝（）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
3．直线y＝2x+1和圆x2+y2＝1交于A，B两点，以x轴的正方向为始边，OA为终边（O是坐标原点）的角为α，OB为终边的角为β，则sin（α+β）＝（）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为900、900、1200人，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高三年级抽取的学生人数为（）
A．15B．20C．25D．30
5．如图所示，已知双曲线的右焦点为F，双曲线C的右支上一点A，它关于原点O的对称点为B，满足∠AFB＝120°，且|BF|＝3|AF|，则双曲线C的离心率是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．如图，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且EF＝2，动点Q在棱D′C′上，则三棱锥A′﹣EFQ的体积（）
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广东省2020年高考一模 数学(理)试卷 (解析版)
2020年高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题）1．已知集合A ，B 均为全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7}的子集，集合A ＝{1，2，3，4}，则满足A ∩∁U B ＝{1，2}的集合B 可以是（ ）A ．{1，2，3，4}B ．{1，2，7}C ．{3，4，5，6}D ．{1，2，3} 2．复数z =4+3i 3−4i（i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．﹣1 B ．2 C ．5 D ．13．若x ，y 满足约束条件{|x −y|≤1|x|≤2，则z ＝2x +y 的最大值为（ ） A ．﹣7 B ．3 C ．5 D ．74．如图，△OAB 是边长为2的正三角形，记△OAB 位于直线x ＝t （0＜t ≤2）左侧的图形的面积为f （t ），则y ＝f （t ）的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．5．将函数f （x ）＝cos （2x ﹣1）的图象向左平移1个单位长度，所得函数在[0，12]的零点个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个或以上 6．某广场设置了一些石凳子供大家休息，这些石凳子是由正方体沿各棱的中点截去八个一样的正三棱锥后得到的．如果被截正方体的棱长为40cm ，则石凳子的体积为（ ） A ．1920003cm 3 B ．1600003cm 3 C ．160003cm 3 D ．640003cm 37．在某市2020年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N （98，100），已知参加本次考试的全市理科学生约有9450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第（ ）附：若X ～N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜X ＜μ+σ）＝0.6826，P （μ﹣2σ＜X ＜μ+2σ）＝0.9544A ．1500名B ．1700名C ．4500名D ．8000名 8．已知(1+x m )n =a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x n ，若a 1＝3，a 2＝4，则m ＝（ ）A ．1B ．3C ．2D ．49．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，A 为双曲线的左顶点，以F 1F 2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P ，Q 两点，且∠PAQ =5π6，则该双曲线的离心率为（ ）A ．√2B ．√3C ．√213D ．√1310．设正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2√S n =a n +1，则数列{a n ﹣7}的前n 项和T n 的最小值为（ ）A ．−494B ．−72C ．72D ．﹣12。
广东省梅州市2002届高三高考数学(理科)一模试题
2020年广东省梅州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合220{|}A x x x =≥﹣﹣，{|}1||2B x x =≤﹣，则A B ⋂=（ ）A ．{}[]12,3-⋃B ．[]2,3C ．[]1,3D ．{}[]11,3-⋃ 2．设复数z 满足z i i z i -=+，则z =（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．1i - D ．1i +3．已知0x >，a x =，2x b x x=-，ln 1c x =+（），则（ ） A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a << 4．函数()()11x xf x e =+的图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．5．在很多地铁的车厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如图所示将弯管形状近似地看成是圆弧，已知弯管向外的最大突出（图中CD ）有15cm ，跨接了6个坐位的宽度（AB ），每个座位宽度为43cm ，估计弯管的长度，下面的结果中最接近真实值的是（ ）A ．250cmB ．260cmC ．295cmD ．305cm6．抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现的概率相同，连续抛掷5次，至少连续出现3次正面朝上的概率是（ ）A ．14B ．13C ．532D ．3167．已知平面向量a ，b 满足a b =，且)b b -⊥，则a ，b 所夹的锐角为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．08．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，程序运行输出的结果是（ ）A ．1.1B ．1C ．0.9D ．0.89．已知等差数列{}n a 的公差不为零，且11a ，31a ，41a 构成新的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若存在n 使得0n S =，则n =（ ）A ．10B ．11C ．12D ．1310．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的焦点分别为1F ，2F ，其中焦点2F 与抛物线22y px =的焦点重合，且椭圆与抛物线的两个交点连线正好过点2F ，则椭圆的离心率为（ ）AB1 C．3- D111．设函数()f x 定义域为全体实数，令()()()g x f x f x =-，有以下6个论断：①()f x 是奇函数时，()g x 是奇函数；②()f x 是偶函数时，()g x 是奇函数；③()f x 是偶函数时，()g x 是偶函数；④()f x 是奇函数时，()g x 是偶函数；⑤()g x 是偶函数；⑥对任意的实数x ，()0g x ≤．那么正确论断的编号是（ ）A ．③④B ．①②⑥C ．③④⑥D ．③④⑤12．在空间直角坐标系O xyz -中，四面体OABC 各顶点坐标分别为：()0,0,0O ，()0,0,2A ，B ⎫⎪⎭，C ⎛⎫ ⎪⎝⎭．假设蚂蚁窝在O 点，一只蚂蚁从O 点出发，需要在AB ，AC 上分别任意选择一点留下信息，然后再返回O 点．那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是（ ）A ．BCD ．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13．曲线21ln y x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在()1,0处的切线方程是______． 14．已知等比数列{}n a 满足公比1q ≠，n S 为其前n 项和，2S ，4S ，6S 构成等差数列，则2020S =______．15．一个村子里一共有n 个人，其中一个人是谣言制造者，他编造了一条谣言并告诉了另一个人，这个人又把谣言告诉了第三个人，如此等等．在每一次谣言传播时，谣言的接受者都是在其余1n -个村民中随机挑选的，当谣言传播()2k k ≥次之后，还没有回到最初的造谣者的概率是______．16．已知曲线Q ：()2222102x y x a a -=>，点A ，B 在曲线Q 上，且以AB 为直径的圆的方程是()()22211x y -+-=．则a =______．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题（共60分.）17．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足条件2c b =，4C π=． （1）求角A ；（2）若ABC △边AB AB 的长．18．如图，在正四棱锥P ABCD -中，2AB =，3APC π∠=，M 为PB 上的四等分点，即14BM BP =． （1）证明：平面AMC ⊥平面PBC ；（2）求平面PDC 与平面AMC 所成锐二面角的余弦值．19．在平面直角坐标系xOy 中，设1m ≥，过点(),0m 的直线l 与圆P ：221x y +=相切，且与抛物线Q ：22y x =相交于A ，B 两点．（1）当m 在区间[)1,+∞上变动时，求AB 中点的轨迹；（2）设抛物线焦点为F ，求ABF △的周长（用m 表示），并写出2m =时该周长的具体取值．20．已知函数()1x f x e x=--．证明： （1）()f x 在区间()0,1单调递减；（2）对任意的()0,1x ∈有11x x e x e x--<-<-e ． 21．在孟德尔遗传理论中，称遗传性状依赖的特定携带者为遗传因子，遗传因子总是成对出现．例如，豌豆携带这样一对遗传因子：A 使之开红花，a 使之开白花，两个因子的相互组合可以构成三种不同的遗传性状：AA 为开红花，Aa 和aA 一样不加区分为开粉色花，aa 为开白色花．生物在繁衍后代的过程中，后代的每一对遗传因子都包含一个父系的遗传因子和一个母系的遗传因子，而因为生殖细胞是由分裂过程产生的，每一个上一代的遗传因子以12的概率传给下一代，而且各代的遗传过程都是相互独立的．可以把第n 代的遗传设想为第n 次实验的结果，每一次实验就如同抛一枚均匀的硬币，比如对具有性状Aa 的父系来说，如果抛出正面就选择因子A ，如果抛出反面就选择因子a ，概率都是12；对母系也一样．父系、母系各自随机选择得到的遗传因子再配对形成子代的遗传性状．假设三种遗传性状AA ，Aa （或aA ），aa 在父系和母系中以同样的比例()::1u v u v ωω++=出现，则在随机杂交实验中，遗传因子A 被选中的概率是2v p u =+，遗传因子a 被选中的概率是2v q ω=+，称p ，q 分别为父系和母系中遗传因子A 和a 的频率，:p q 实际上是父系和母系中两个遗传因子的个数之比．基于以上常识回答以下问题：（1）如果植物的，上一代父系、母系的遗传性状都是Aa ，后代遗传性状为AA ，Aa （或aA ），aa 的概率各是多少？（2）对某一植物，经过实验观察发现遗传性状aa 具有重大缺陷，可人工剔除，从而使得父系和母系中仅有遗传性状为AA 和Aa （或aA ）的个体，在进行第一代杂交实验时，假设遗传因子A 被选中的概率为p ，a 被选中的概率为q ，1p q +=．求杂交所得子代的三种遗传性状AA ，Aa （或aA ），aa 所占的比例1u ，1v ，1ω．（3）继续对（2）中的植物进行杂交实验，每次杂交前都需要剔除性状为aa 的个体．假设得到的第n 代总体中3种遗传性状AA ，Aa （或aA ），aa 所占比例分别为n u ，n v ，n ω()1n n n u v ω++=．设第n 代遗传因子A 和a 的频率分别为n p 和n q ，已知有以下公式21n n n n v u p ω+=-，21n n n v q ω=-，1,2,n =⋅⋅⋅，证明1n q ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列．（4）求n u ，nv ，n ω的通项公式，如果这种剔除某种遗传性状的随机杂交实验长期进行下去，会有什么现象发生？（二）选考题（共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分.）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为：22440cos sin ρρθρθ+=﹣﹣，曲线2C 的参数方程为x t a y a t=+⎧⎨=-⎩，其中t R ∈，t 为参数，a 为常数．（1）写出1C 与2C 的直角坐标方程；（2）a 在什么范围内取值时，1C 与2C 有交点．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a ，b 都是大于零的实数．（1）证明：22a b a b b a+≥+； （2）若a b >，证明：()2214a a b a a b ++>-．2020年广东省梅州市高考数学一模试卷（理科）参考答案一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．A ； 2．B ； 3．D ； 4．C ； 5．B ； 6．D ； 7．B ； 8．C ； 9．D ； 10．B ；11．A ； 12．C ；二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13．()21y x =-；14．0；15．121k n n --⎛⎫ ⎪-⎝⎭；16．±； 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题（共60分.）17．______；18．______；19．______；20．______；21．______；（二）选考题（共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分.）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．______；[选修4-5：不等式选讲]23．______；。
广东省梅州市2020届高三数学上学期9月第一次质量检测试题 理(含解析)
广东省梅州市2020届高三数学上学期9月第一次质量检测试题 理（含解析）一．选择题（60分）1.已知集合{}|10A x x =-<，{}2|20B x x x =-<，则A B =I （）A. {}|0x x <B. {}|1x x <C. {}1|0x x <<D.{}|12x x <<【答案】C 【解析】 【分析】先分别求出集合A 和B ，由此能求出A B I .【详解】集合{}{}|10|1A x x x x =-<=<，集合{}{}2|20|02B x x x x x =-<=<<，所以A B =I {}1|0x x <<. 故选：C【点睛】本题考查交集的运算和不等式的解法，属于基础题．2.已知p ，q ∈R ，1i +是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，则p q ⋅=（）A. 4-B. 0C. 2D. 4【答案】A 【解析】 【分析】由1i +是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，代入方程化简得(2)=0p q p i +++，根据复数相等的充要条件，列出方程组，即可求解. 【详解】依题意，复数1i +是关于x方程20x px q ++=的一个根，可得21)(1)=0i p i q +++（＋，即：(2)=0p q p i +++， 所以020p q p +=⎧⎨+=⎩，解得22p q =-⎧⎨=⎩，所以4p q ⋅=-，故选A.【点睛】本题主要考查了复数方程的应用，以及复数相等的充要条件的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.已知ln3a =，3log 10b =，lg 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A. c b a <<B. a c b <<C. b c a <<D.c a b <<【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的单调性，分别求得,,a b c 的范围，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，根据对数的单调性，可得2ln ln 3ln e e <<，即12a <<，333log 9log 10log 27<<，即23b <<，lg3lg101c =<=，即1c <，所以c a b <<，故选D.【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性的应用，其中解答中熟记对数函数的单调性，合理求解,,a b c 得范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.函数()21x f x x-=的图象大致为（）A. B.C. D.【解析】 【分析】根据函数的解析式，得到()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，图象关于y 对称，排除B 、C ；再由函数的单调性，排除A ，即可得到答案.【详解】由题意，函数()21x f x x -=，可得()()22()11x x f x f x x x----===-， 即()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，图象关于y 对称，排除B 、C ；当0x >时，()211x f x x x x-==-，则21'()1f x x =+＞0，所以函数在0∞（，＋）上递增，排除A ， 故选D .【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与函数单调性的应用，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和单调性，进行合理排除是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆和一个四分之一圆构成，两个阴影部分分别标记为A 和M .在此图内任取一点，此点取自A 区域的概率记为()P A ，取自M 区域的概率记为()P M ，则（）A. ()()P A P M >B. ()()P A P M <C. ()()P A P M =D. ()P A 与()P M 的大小关系与半径长度有关 【答案】C 【解析】利用圆的面积公式和扇形的面积公式，分别求得阴影部分的面积，得到阴影部分A 的面积＝阴影部分M 的面积，即可求解.【详解】由题意，设四分之一圆的半径为R ，则半圆的半径为22R ， 阴影部分A 的面积为212R ，空白部分的面积为221142R R π-， 阴影部分M 的面积为：22221211122422R R R R ππ⎛⎫⎛⎫⨯⨯--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 阴影部分A 的面积＝阴影部分M 的面积，所以P A P M （）＝（），故选C. 【点睛】本题主要考查了几何概型的应用，其中解答中认真审题，正确求解阴影部分的面积是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6.下图是判断输入的年份x 是否是闰年的程序框图，若先后输入1900x =，2400x =，则输出的结果分别是（注：xMODy 表示x 除以y 的余数）（）A. 1900是闰年，2400是闰年B. 1900是闰年，2400是平年C. 1900是平年，2400是闰年D. 1900是平年，2400是平年【答案】C 【解析】 【分析】由给定的条件分支结构的程序框图，根据判断条件，准确计算，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，输入1900x =时，190040a MOD == ，19001000b MOD == 1900400c MOD == 3输出1900是平年，输入2400x =时，240040a MOD == 24001000b MOD == 24004000c MOD == 输出2400是润年， 故选C【点睛】本题主要考查了条件分支结构的程序框图的计算结果的输出，其中解答中根据条件分支结构的程序框图，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.若sin 78m =o ，则sin 6=o （）【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数的诱导公式，求得12sin 78cos m ==o o ，再由余弦的倍角公式，即可求解，得到答案.【详解】由三角函数的诱导公式，可得12sin(9012)sin 78cos m =-==oooo， 又由余弦的倍角公式，可得2126sin m -=o ，所以sin 6=o B. 【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式的化简求值，其中解答中熟练应用三角函数的基本公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.已知等差数列{}n a 的公差不为零，其前n 项和为n S ，若3S ，9S ，27S 成等比数列，则93S S =（） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12【答案】C 【解析】 【分析】由题意，得29327S S S =⨯，利用等差数列的求和公式，列出方程求得12d a =，即可求解93S S 的值，得到答案.【详解】由题意，知3S ，9S ，27S 成等比数列，所以29327S S S =⨯，即219131279()3()27()222a a a a a a +++⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭， 整理得2521437821a a a =⨯，所以2111(4)()(13)a d a d a d +=++，解得12d a =，所以919135329()3()9223S a a a a a S a ++=÷=＝11113(4)2793a d a a d a +==+， 故选C.【点睛】本题主要考查了等比中项公式，以及等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，其中解答中熟练应用等差数列的通项公式和前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.双曲线222:1(0)x C y a a-=>的右焦点为F ，点P 为C 的一条渐近线上的点，O 为坐标原点，若PO PF =，则OPF S ∆的最小值为（） A.14B.12C. 1D. 2【答案】B 【解析】 【分析】求得双曲线222:1(0)x C y a a-=>的一条渐近线为1y x a =，由PO PF =，得到点P 的坐标为,22c c a ⎛⎫⎪⎝⎭，利用三角形的面积公式和基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，双曲线222:1(0)x C y a a-=>的一条渐近线为1y x a =，设0F c （，）， 因为PO PF =，可得点P 的横坐标为2x c=， 代入渐近线1y x a =，可得2y c a =，所以点P 的坐标为,22c c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以22112244OPFc c a S c a a a+=⨯⨯===V 111244442a a a a +≥⨯=， 当且仅当144a a =时，即1a =时，等号成立，即OPF S ∆的最小值为12. 故选B.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，利用基本不等式准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10.已知函数()ln4xf x x=-，则( ) A. ()y f x =的图象关于点(2,0)对称 B. ()y f x =的图象关于直线2x =对称C. ()f x 在(0,4)上单调递减D. ()f x 在(0,2)上单调递减，在(2,4)上单调递增 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知中的函数的解析式，分析函数的单调性和奇偶性，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，函数()ln 4x f x x =-，可得04xx>-，解得04x <<， 令4144x t x x ==----， 故4x t x =-在(0,4)为单调递增函数，所以函数()ln 4xf x x=-在(0,4)为单调递增函数，可排除C 、B 、D 项，又由()ln 4xf x x=-，满足()(4)f x f x -=-， 所以函数()ln 4xf x x=-的图象关于点(2,0)对称，故选A.【点睛】本题主要考查了函数的定义域，函数的单调性，以及函数的对称性的应用，其中解答中熟记函数的基本性质，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.11.已知函数()sin f x a x x =-的图像的一条对称轴为直线56x π=，且12()()4f x f x ⋅=-，则12x x +的最小值为( )A. 3π-B. 0C.3π D.23π 【答案】D 【解析】【分析】运用辅助角公式，化简函数()f x 的解析式，由对称轴的方程，求得a 的值，得出函数()f x 的解析式，集合正弦函数的最值，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数2()sin 3cos 3sin()(f x a x x a x θθ=-=++为辅助角)， 由于函数的对称轴的方程为56x π=，且53()622a f π=+， 即23322a a +=+，解得1a =，所以()2sin()3f x x π=-， 又由12()()4f x f x ⋅=-，所以函数必须取得最大值和最小值，所以可设11152,6x k k Z ππ=+∈，2222,6x k k Z ππ=-∈， 所以1212222,3x x k k k Z πππ+=++∈， 当120k k ==时，12x x +的最小值23π，故选D.【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质，其中解答中利用三角恒等变换的公式，化简函数的解析式，合理利用正弦函数的对称性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.12.设()f x 是定义在R 上的偶函数，x R ∀∈，都有(2)(2)f x f x -=+，且当[]0,2x ∈时，()22x f x =-，若函数()()log (1)a g x f x x =-+（0a >，1a ≠）在区间(]1,9-内恰有三个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1(0,)(7,)9⋃+∞ B. 1(,1)(1,3)9⋃C. 11(,)(3,7)95⋃D. 11(,)(5,3)73⋃【答案】C 【解析】试题分析：由(2)(2)f x f x -=+得函数()f x 的图象关于直线2x =对称，又()f x 是偶函数，即图象关于直线0x =对称，因此它还是周期函数，且周期为2(20)4T =⨯-=，函数()g x 的零点个数就是函数()y f x =与曲线的图象交点的个数，如图由奇偶性和周期性作出()y f x =的图象，作出的图象，由图象知，两图象只有三个交点，则有1{log 32log 72a a a ><>或01{log 51log 91a a a <<>-<-，解得37a <<或1195a <<．故选C ．考点：函数的零点．【名师点睛】本题考查函数零点，函数()f x 的零点，就是方程()0f x =的解，也是函数()y f x =的图象与x 轴交点的横坐标，它们个数是相同的，因此有解决零点个数问题时，常常进行这方面的转化，把函数零点转化为函数图象交点．在转化时在注意较复杂的函数是确定的（没有参数），变化的是比较简单的函数，如基本初等函数，大多数时候是直线，这样变化规律比较明显，易于观察得出结论．本题解法是数形结合思想的应用．二、填空题（共20分）13.若,x y 满足约束条件20210220x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪-+≤⎩，则3z x y=-最大值为______.【答案】0 【解析】 【分析】作出约束条件表示的平面区域，结合图象，确定目标函数的最优解，代入目标函数，即可求解，得到答案.【详解】由题意，作出约束条件20210220x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪-+≤⎩所表示的平面区域，如图所示，目标函数3z x y =-可化为直线3y x z =-，当直线3y x z =-过点C 时，此时目标函数取得最大值，又由20210x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，解得1,3x y ==，即1,3C （），所以目标函数的最大值为3130z =⨯-=.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．14.已知12,e e u r u u r 是夹角为60︒的两个单位向量，1212,2a e e b e e =-=-r u r u u r r u r u u r ，则a b ⋅=r r_____.【答案】32【解析】 【分析】根据平面向量的数量积的运算公式，准确运算，即可求解，得到答案. 【详解】由向量的数量积的运算公式，可得2212121212()(2)23e e e b e e e a e e -⋅-=+-⋅=u r u u r u r u u r u r u u r u r r r g u u r 123123||||cos602e e +-⨯︒=u r u u r ＝. 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15.已知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在[]0,2π上恰有3个极值点，则ω的取值范围是______. 【答案】91388⎡⎫⎪⎢⎣⎭, 【解析】 【分析】根据三角函数的图象与性质，求得函数的极值点为()14x k k Z πω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，再由()f x 在[]0,2π上恰有3个极值点，得到1122344πππωω⎛⎫⎛⎫+<≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求解. 【详解】由题意，令()sin 14f x x πω⎛⎫=+=± ⎪⎝⎭，即()42x k k Z ππωπ+=+∈， 解得()14x k k Z πω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 的极值点为()14x k k Z πω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭， 又()f x 在[]0,2π上恰有3个极值点， 所以这三个极值点只能是在0,1,2k k k ===，所以有1122344πππωω⎛⎫⎛⎫+≤<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得98138ω<≤. 所以实数ω的取值范围是91388⎡⎫⎪⎢⎣⎭,.故答案为91388⎡⎫⎪⎢⎣⎭,. 【点睛】本题主要考查了三角还函数的图象与性质的应用，以及函数极值点的定义的应用，其中解答熟练应用三角函数的图象与性质，得到关于实数ω的不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.16.在三棱锥P ABC -中，60ABC ∠=o ，90PBA PCA ∠=∠=o ，3PB PC ==，点P 到底面ABC 的距离为2，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为________. 【答案】6π 【解析】 【分析】由90PBA PCA ∠=∠=o ，可知PA 为三棱锥P ABC -的外接球的一条直径，过点P 作PE ⊥平面ABC ，可知AE 为ABC ∆外接圆的一条直径，计算出AE 的长度，再利用勾股定理计算出PA 的长度，即可得出该球的直径，再利用球体表面积公式可得出结果.【详解】设PA 的中点为点O ，90PBA PCA ∠=∠=o Q ，12OA OB OC OP PA ∴====， PA ∴为三棱锥P ABC -的外接球O 的一条直径，过点P 作PE ⊥平面ABC ，垂足为点E ，BE Q 、CE 、AE ⊂平面ABC ，PE BE ∴⊥，PE CE ⊥，PE AE ⊥，3PB PC ==Q 2PE =，由勾股定理可得1BE CE ==，同理可知AC BC =， 60ABC ∠=o Q ，ABC ∆∴为等边三角形，设ABC ∆的外接圆圆心为点F ，连接OF ，则//OF PE ，且1222OF PE ==， 由中位线的性质可知点F 为AE 的中点，AE ∴为圆F 的一条直径，所以，90ABE ACE ∠=∠=o ，由圆的内接四边形的性质可知，120BEC ∠=o ，30BCE CBE ∴∠=∠=o ，由正弦定理可得12sin sin 30BE AE BCE ===∠o，226PA PE AE ∴=+=O 的表面积为26PA ππ⨯=，故答案为：6π.【点睛】本题考查多面体的外接球表面积的计算，解题时要充分分析多边形的形状，找出球心的位置，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三．（解答题，共70分）17.ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC △的面积为21tan 6S b A =. ()1证明：3cos b c A =； ()2若tan 2,A a ==求S .【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】 【分析】（1）由三角形的面积公式化简得3csinA btanA =，进而得到sin 3cos b AcsinA A=，即可作出证明；（2）因为2tanA =，求得cosA =，由（1）得222,3b bccosA c ==求得29b =，再由面积公式，即可求解. 【详解】（1）由三角形的面积公式，可得21126S bcsinA b tanA ==，即3csinA btanA =， 又因为sin cos A tanA A =，所以sin 3cos b AcsinA A=， 又因为0A π<<，所以0sinA ≠，所以3b ccosA =.（2）因为2tanA =，由三角函数的基本关系式，可得5cosA =，由（1）得222,33b bccosAc ==，由余弦定理得22222282)33b bc bccosA b =+-=++，解得29b =， 所以2111sin tan 923266S bc A b A ===⨯⨯=.【点睛】本题主要考查了余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.18.某音乐院校举行“校园之星”评选活动，评委由本校全体学生组成，对,A B 两位选手，随机调查了20个学生的评分，得到下面的茎叶图：()1通过茎叶图比较,A B 两位选手所得分数的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；()2校方将会根据评分记过对参赛选手进行三向分流：所得分数 低于60分 60分到79分不低于80分 分流方向 淘汰出局复赛待选直接晋级记事件C “A 获得的分流等级高于B ”，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C 发生的概率. 【答案】（1）详见解析（2）137400【解析】 【分析】（1）通过茎叶图可以看出，A 得分数的平均值高于B 得分数的平均值，A 得分数比较集中，B 得分数比较分散；（2）记1A C 表示事件:“A 选手直接晋级”2A C 表示事件:“A 选手复赛待选”1B C 表示事件:“B 选手复赛待选”2B C 表示事件:“B 选手淘汰出局利用独立事件的概率乘法公式，即可求解.【详解】（1）通过茎叶图可以看出，A 选手所得分数的平均值高于B 选手所得分数的平均值；A 选手所得分数比较集中，B 选手所得分数比较分散.（2）记1A C 表示事件:“A 选手直接晋级”2A C 表示事件:“A 选手复赛待选”1B C 表示事件:“B 选手复赛待选”2B C 表示事件:“B 选手淘汰出局则1A C 与1B C 独立，2A C 与2B C 独立，1A C 与2A C 互斥， 则()()()111222A B A B A B C C C C C C C =⋃⋃，()()()()111222A B A B A B P C C P C C P C C P C C ==++ ()()()()()()111222A B A B A B P C P C P C P C P C P C =++由所给数据得1A C ，2A C ，1B C ，2B C 发生的频率分别为811103,,,20202020. 故()1820A P C =，()21120A P C =，()11020B P C =，()2320B P C =， 所以()81083113137202020202020400P C ⨯+⨯+⨯==. 【点睛】本题主要考查了茎叶图的应用，以及相互独立事件的概率的计算，其中解答中正确理解题意，准确利用独立事件的概率乘法公式计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，点E 是PC中点.()1求证：//PA 平面BDE ；()2若直线BD 与平面PBC 所成角为30°，求二面角C PB D --的大小.【答案】（1）证明见解析（2）60︒ 【解析】 【分析】（1）连接AC 交BD 于O ，连接OE ，利用线面平行的判定定理，即可证得//PA 平面BED ；()2以D 为坐标原点，,,DA DC DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设1PD CD ==，AD a =，分别求得平面PBC 和平面PBD 的一个法向量n r 和m u r，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）连接AC 交BD 于O ，连接OE ， 由题意可知，,PE EC AO OC ==，//PA EO ∴，又PA 在平面BED 外，EO ⊂平面BED ，所以//PA 平面BED .()2以D 为坐标原点，,,DA DC DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，设1PD CD ==，AD a =，则(,0,0)A a ，(,1,0)(0,1,0)B a C ，，1(0)0,P ，，(,1,0)DB a =u u u v，(,)1,1PB a =-u u u r ，()0,1,1PC =-u u u r ，设平面PBC 的法向量(,)n x y z =v，，由·0·0PB n PC n ⎧=⎨=⎩u u u v vu u u v v，得00ax y z y z +-=⎧⎨-=⎩，取(0,1,1)n =r ，又由直线BD 与平面PBC 所成的角为30o ，得21cos ,212DB n DB n DB n a ===+⨯u u u r r g u u u r r u u ur r ，解得1a =， 同理可得平面PBD 的法向量1,)0(1,m =-u r，由向量的夹角公式，可得1cos ,222n m n m n m===⨯r u rr u r g r u r ，又因为二面角C PB D --为锐二面角，所以二面角C PB D --的大小为60︒.【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20.已知F 为抛物线2:4T x y =的焦点，直线:2l y kx =+与T 相交于,A B 两点.()1若1k =，求FA FB +的值；()2点(3,2)C --，若CFA CFB ∠=∠，求直线l 的方程.【答案】（1）10（2）3240x y +-= 【解析】 分析】（1）联立方程组224y kx x y =+⎧⎨=⎩，利用根与系数的关系和抛物线的定义，即可求解.()2由CFA CFB ∠=∠，可得cos ,cos ,FA FC FB FC =u u u r u u u r u u u r u u u r，利用向量的夹角公式，联立方程组，求得32k =-，即可求得直线的方程. 【详解】（1）由题意，可得()0,1F ，设221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立方程组224y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得2480x kx --=，则124x x k +=，128x x =-，又由22121144x x FA FB +++=+()2121222104x x x x +-=+=.（2）由题意，知211,14x FA x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，222,14x FB x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，()3.3FC =--u u u r ，由CFA CFB ∠=∠，可得cos ,cos ,FA FC FB FC =u u u r u u u r u u u r u u u r又2114x FA =+，2214x FB =+，则FA FC FB FC FA FC FB FC =u u u r u u u r u u u r u u u r g g u u u r u u u r u u u r u u u r ， 整理得()1212420x x x x ++-=，解得32k =-， 所以直线l 的方程为3240x y +-=.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21.已知函数()sin f x x x =，(0,)x π∈，()f x '为()f x 的导数，且()()g x f x '=.证明：()1()g x 在22,3π⎛⎫⎪⎝⎭内有唯一零点；()2()2f x <.（参考数据：sin 20.9903≈，cos20.4161≈-，tan 2 2.1850≈-1.4142≈， 3.14π≈.） 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）由题意，得()()'g x f x xcosx sinx ==+，分别求得在区间0,2π⎛⎤⎥⎝⎦和,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性，利用零点的存在定理，即可求解；（2）由（1）得，求得函数的单调性，得到()f x 的最大值为()f t tsint =，再由()0f t '=得t tant =-，得到()tan f t t sint =-g ，利用作差比较，即可求解.【详解】（1）由题意，函数()sin f x x x =，则()sin cos f x x x x '=+所以()()'g x f x xcosx sinx ==+， 当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，可得()0g x >，即()g x 在0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦内没有零点， 当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()2sin g x cosx x x '=-， 因为cos 0,sin 0x x x <>，所以()'0g x <，所以()g x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，又()()22tan 220g cos =+>，且20332g ππ⎛⎫=-+<⎪⎝⎭， 所以()g x 在22,3π⎛⎫⎪⎝⎭内有唯一零点t . （2）由（1）得，当,()0x t ∈时，()0g x >，所以()'0f x >，即()f x 单调递增； 当,()x t π∈时，()0g x <，所以()0f x <，即()f x 单调递减， 即()f x 的最大值为()f t tsint =，由()cos 0f t t t sint '=+=得t tant =-，所以()f t tant sint =-g， 因此()2sin 2cos 2cos t t f t t ---=2cos 2cos 1cos t t t --=()2cos 12cos t t--=， 因为22,3t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1,cos 22cost ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭从而()222212 1.4160(1)cos --=-->，即()2cos 120cos t t --<，所以()20f t -<，故()2f x <.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．（二）选考题：共10分.请考生在第（22），（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在极坐标系中，圆:4cos C ρθ=.以极点O 为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ，直线l经过点(1,M --且倾斜角为α. ()1求圆C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；()2已知直线l 与圆C 交与A ，B ，满足A 为MB 的中点，求α.【答案】（1）()2224x y -+=，1 x tcos y tsin αα=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，(t 为参数，0a π≤<).（2）3πα= 【解析】【分析】（1）利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，可求解圆C 的直角坐标方程，根据直线参数方程的形式，即可求得直线的参数方程；()2将直线l 的方程代入圆C 的方程，利用根与系数的关系，求得A B t t +，A B t t g ，由A 为MB的中点，得到2B A t t =，求得,A B t t ，即可求得A B t t g的表达式，利用三角函数的性质，即可求解.【详解】（1）由题意，圆:4C cos ρθ=，可得24cos ρρθ=，因为222x y ρ=+，cos x ρθ=，所以224x y x +=，即()2224x y -+=，根据直线的参数方程的形式，可得直线l:1x tcos y tsin αα=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，(t 为参数，0a π≤<). ()2设, A B 对应的参数分别为, A B t t ，将直线l 的方程代入C，整理得2620)3t t cos αα-++=，所以6)A B t t cos αα+=+，32A B t t =g， 又A 为MB 的中点，所以2B A t t =，因此)246A t cos sin πααα⎛⎫ ⎪⎝=++⎭=， 8sin 6B t πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 所以232sin 326A B t t πα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭g ，即2sin 16πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 因为0a π≤<，所以7666πππα≤+<， 从而=62ππα+，即3πα=.【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程，直线参数方程的求解，以及直线参数方程的应用，其中解答中合理利用直线参数中参数的几何意义求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.23.设函数()211f x x x =-++.()1画出()y f x =的图像；()2若()f x m x n ≤+，求m n +的最小值.【答案】（1）画图见解析（2）5【解析】【分析】（1）根据绝对值的定义，可得分段函数()f x 的解析式，进而作出函数的图象；（2）由不等式()f x m x n ≤+，可得()0f n ≤，解得2n ≥，再由绝对值的三角不等式，求得当且仅当3m ≥，且2n ≥时，()f x m x n ≤+成立，即可求解m n +的最小值. 【详解】（1）由题意，根据绝对值的定义，可得分段函数()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩， 所以()y f x =的图象如图所示：（2）由()f x m x n ≤+，可得()0f n ≤，解得2n ≥，又因为()()21|()31f x x x x ≥++=-，所以3m x n x +≥.(※)若3m ≥，(※)式明显成立；若3m <，则当3n x m>-时，(※)式不成立， 由图可知，当3m ≥，且2n ≥时，可得()f x m x n ≤+， 所以当且仅当3m ≥，且2n ≥时，()f x m x n ≤+成立， 因此m n +的最小值为5.【点睛】本题主要考查了绝对值的定义及应用，以及绝对值三角不等式的应用，其中解答中利用绝对值的定义去掉绝对值号，以及合理利用绝对值不等式是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题.。