平面向量基础练习题(1)
高中数学平面向量基础提高练习题含答案【选择填空精选50题难度分类】(最新)
高中数学 平面向量 选择填空题精选50道一、选择题（共36题）【基础题】1. 下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨电流强度；⑩摩擦系数，其中不是向量的有（ ）A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个2. 下列六个命题中正确的是 （ ）①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若丨a 丨＝丨b 丨，则a ＝b ； ③若AB →＝DC →，则ABCD 是平行四边形； ④平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →；⑤若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k ； ⑥若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c. A. ①②③ B. ④⑤ C. ④⑤⑥ D. ⑤⑥3． 以下说法错误的是（ ）A ．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等 C.平行向量方向相同 D.平行向量一定是共线向量4． 已知B 是线段AC 的中点，则下列各式正确的是（ ） （A ）AB →＝－BC → （B ）AC →＝21BC →（C ）BA →＝BC → （D ）BC →＝21AC → 5． 下列四式不能化简为AD →的是（）（A ）（AB →＋CD →）＋BC → （B ）（AD →＋MB →）＋（BC →＋CM →）（C ）MB →＋AD →－BM →（D ）OC →－OA →＋CD →6、已知向量等于则MN ON OM 21),1,5(),2,3(--=-=（ ） A ．)1,8(B ．)1,8(-C ．)21,4(-D ．)21,4(-7、已知向量),2,1(),1,3(-=-=则23--的坐标是（）A ．)1,7(B ．)1,7(--C ．)1,7(-D ．)1,7(-8. 与向量a=(-5,4)平行的向量是（ ）A.（-5k,4k ）B.(-k 5,-k4) C.(-10,2) D.(5k,4k)9. 已知),1,(),3,1(-=-=x 且∥b ，则x 等于（ ） A ．3B ．3-C ．31D ．31-10．已知→a ＝（)1,21，→b ＝(),2223-，下列各式正确的是（ ）（A ） 22⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛→→b a （B ） →a ·→b ＝1 （C ） →a ＝→b （D ） →a 与→b 平行11. 在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 是（）（A ） 矩形 （B ） 菱形 （C ） 直角梯形 （D ） 等腰梯形【中等难度】12、下面给出的关系式中正确的个数是（）① 00 =⋅a ②a b b a ⋅=⋅③22a a =④)()(c b a c b a⋅=⋅⑤b a b a ⋅≤⋅(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 313. 已知ABCD 为矩形，E 是DC 的中点，且−→−AB =→a ，−→−AD ＝→b ，则−→−BE ＝（ ）（A ） →b +→a 21 （B ） →b －→a 21 （C ） →a ＋→b 21 （D ） →a －→b 2114．已知ABCDEF 是正六边形，且−→−AB ＝→a ，−→−AE ＝→b ，则−→−BC ＝（ ）（A ） )(21→→-b a（B ）)(21→→-a b（C ） →a ＋→b 21 （D ）)(21→→+b a15. 设a ，b 为不共线向量， AB →＝a ＋2b ， BC →＝－4 a －b ，CD →＝－5 a －3 b ，则下列关系式中正确的是（ ）（A ）AD →＝BC → （B ）AD →＝2BC → （C ）AD →＝－BC → （D ）AD →＝－2BC →16. 设→1e 与→2e 是不共线的非零向量，且k →1e ＋→2e 与→1e ＋k →2e 共线，则k 的值是（）（A ） 1 （B ） －1 （C ） 1± （D ） 任意不为零的实数17. 在ABC ∆中,M 是BC 的中点，AM=1,点P 在AM 上且满足－2PA PM =,则()PA PB PC ⋅+等于( ) A.49 B.43 C.43- D. 49-18． 已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么丨a ＋3b 丨＝（ ）A ．7B ．10C ．13D ．419．已知| |=4, |b |=3, 与b 的夹角为60°，则| +b |等于（）。
高中数学6.3《平面向量基本定理及坐标表示》基础过关练习题
第六章 6.3 6.3.2 6.3.3 6.3.4A 级——基础过关练1．给出下面几种说法： ①相等向量的坐标相同；②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标； ③一个坐标对应于唯一的一个向量；④平面上一个点与以原点为始点、该点为终点的向量一一对应． 其中正确说法的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】C 【解析】由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③错误．2．设i ，j 是平面直角坐标系内分别与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，O 为坐标原点，若OA →＝4i ＋2j ，OB →＝3i ＋4j ，则2OA →＋OB →的坐标是( )A ．(1，－2)B ．(7,6)C ．(5,0)D ．(11,8)【答案】D 【解析】因为OA →＝(4,2)，OB →＝(3,4)，所以2OA →＋OB →＝(8,4)＋(3,4)＝(11,8)． 3．(2020年重庆月考)若向量a ＝(1，－2)，b ＝(3，－1)，则与a ＋b 共线的向量是( ) A ．(－1,1) B ．(－3，－4) C ．(－4,3)D ．(2，－3)【答案】C 【解析】向量a ＝(1，－2)，b ＝(3，－1)，则a ＋b ＝(4，－3)，所以与a ＋b 共线的向量是λ(4，－3)，其中λ∈R .当λ＝－1时，共线向量是(－4,3)．故选C ．4．(2020年宁波月考)已知A (－1,2)，B (2，－1)，若点C 满足AC →＋AB →＝0，则点C 坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫12，12B ．(－3,3)C ．(3，－3)D ．(－4,5)D 【解析】设C (x ，y )，由A (－1,2)，B (2，－1)，得AC →＝(x ＋1，y －2)，AB →＝(3，－3)．又AC →＋AB →＝0，∴AC →＝－AB →，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝－3，y －2＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝5.∴点C 坐标为(－4,5)．故选D ．5．已知A (－3,0)，B (0,2)，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝45°，设OC →＝λOA →＋(1－λ)OB →(λ∈R )，则λ的值为( )A ．15B ．13C ．25D ．23【答案】C 【解析】如图所示，因为∠AOC ＝45°，所以设C (x ，－x )，则OC →＝(x ，－x )．又因为A (－3,0)，B (0,2)，所以λOA →＋(1－λ)OB →＝(－3λ，2－2λ)．所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3λ，－x ＝2－2λ⇒λ＝25.6．(2020年道里区校级期中)我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称作“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若AB →＝a ，AD →＝b ，E 为BF 的中点，则AE →＝( )A ．45a ＋25bB ．25a ＋45bC ．43a ＋23bD ．23a ＋43b【答案】A 【解析】如图所示，建立直角坐标系．设AB ＝1，BE ＝x ，则AE ＝2x .∴x 2＋4x 2＝1，解得x ＝55.设∠BAE ＝θ，则sin θ＝55，cos θ＝255.∴x E ＝255cos θ＝45，y E ＝255sin θ＝25.设AE →＝mAB →＋nAD →，则⎝⎛⎭⎫45，25＝m (1,0)＋n (0,1)．∴m ＝45，n ＝25.∴AE →＝45a ＋25b .故选A ．7．(2020年苏州期末)已知A (2，－3)，B (8,3)，若AC →＝2CB →，则点C 的坐标为________． 【答案】(6,1) 【解析】设C (x ，y )，∵A (2，－3)，B (8,3)，AC →＝2CB →，∴(x －2，y ＋3)＝2(8－x,3－y )＝(16－2x,6－2y )．∴⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝16－2x ，y ＋3＝6－2y ，解得x ＝6，y ＝1.∴点C 的坐标为(6,1)．8．(2020年广州模拟)已知向量a ＝(3，－2)，b ＝(m,1)．若向量(a －2b )∥b ，则m ＝________. 【答案】－32 【解析】∵向量a ＝(3，－2)，b ＝(m,1)，∴a －2b ＝(3－2m ，－4)．∵(a －2b )∥b ，∴－4m ＝3－2m .∴m ＝－32.9．已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA →|＝43，∠xOA ＝60°. (1)求向量OA →的坐标；(2)若B (3，－1)，求BA →的坐标．解：(1)设点A (x ，y )，则x ＝43cos 60°＝23，y ＝43sin 60°＝6，即A (23，6)，OA →＝(23，6)．(2)BA →＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7)．10．如图，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，求AC 与OB 的交点P 的坐标．解：由O ，P ，B 三点共线，可设OP →＝λOB →＝(4λ，4λ)， 则AP →＝OP →－OA →＝(4λ－4,4λ)．连接OC ，则AC →＝OC →－OA →＝(－2,6)．由AP →与AC →共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0， 解得λ＝34.所以OP →＝34OB →＝(3,3)．所以点P 的坐标为(3,3)．B 级——能力提升练11．已知向量a ＝(1＋λ，2)，b ＝(3,4)，若a ∥b ，则实数λ＝( ) A ．－113B ．－52C ．12D ．53【答案】C 【解析】a ∥b ，∴4(1＋λ)＝6，即λ＝12.12．已知a ＝(3，1)，若将向量－2a 绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b ，则b 的坐标为( )A ．(0,4)B ．(23，－2)C ．(－23，2)D ．(2，－23)【答案】B 【解析】∵a ＝(3，1)，∴－2a ＝(－23，－2)．易知向量－2a 与x 轴正半轴的夹角α＝150°(如图)．向量－2a 绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量b ，在第四象限，与x 轴正半轴的夹角β＝30°，∴b ＝(23，－2)．故选B ．13．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b －2c,2(a －c )，d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d 为( )A ．(2,6)B ．(－2,6)C ．(2，－6)D ．(－2，－6)【答案】D 【解析】由题意，得4a ＋4b －2c ＋2(a －c )＋d ＝0，则d ＝－4a －4b ＋2c －2(a －c )＝－6a －4b ＋4c ＝(－2，－6)．14．向量a ＝(sin θ，cos θ)，b ＝(1,2)，则|a|＝________；若向量a ，b 不能作为一组基底，则tan θ＝________.【答案】1 12【解析】∵a ＝(sin θ，cos θ)，∴|a |＝sin 2θ＋cos 2θ＝1.∵向量a ，b 不能作为一组基底，∴a ∥b ，则2sin θ－cos θ＝0，得tan θ＝12.15．设向量OA →绕点O 逆时针旋转π2得向量OB →，且2OA →＋OB →＝(7,9)，则向量OB →＝________.【答案】⎝⎛⎭⎫－115，235 【解析】设OA →＝(m ，n )，则OB →＝(－n ，m )，所以2OA →＋OB →＝(2m －n,2n ＋m )＝(7,9)，即⎩⎪⎨⎪⎧2m －n ＝7，m ＋2n ＝9，解得⎩⎨⎧m ＝235，n ＝115.因此，OB →＝⎝⎛⎭⎫－115，235. 16．已知点A (2,3)，B (5,4)，C (7,10)及AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )． (1)λ为何值时，点P 在第一、三象限的角平分线上？(2)四边形ABCP 能成为平行四边形吗？若能，求出相应的λ的值；若不能，请说明理由．解：设点P 的坐标为(x ，y )，则AP →＝(x －2，y －3)，AB →＝(3,1)，AC →＝(5,7)．∵AP →＝AB →＋λAC →，∴(x －2，y －3)＝(3,1)＋λ(5,7)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5λ＋5，y ＝7λ＋4，∴P (5λ＋5,7λ＋4)．(1)当点P 在第一、三象限的角平分线上时，由5λ＋5＝7λ＋4得λ＝12.(2)AB →＝(3,1)，PC →＝(2－5λ，6－7λ)．若四边形ABCP 为平行四边形，需AB →＝PC →，于是⎩⎪⎨⎪⎧2－5λ＝3，6－7λ＝1.方程组无解，故四边形ABCP 不能成为平行四边形． 17．已知O 是△ABC 内一点，∠AOB ＝150°，∠BOC ＝90°，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，且|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3，试用a ，b 表示c.解：如图，以O 为原点，向量OA →所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系．因为|a |＝2，所以a ＝(2,0)．设b ＝(x 1，y 1)，所以x 1＝|b |·cos 150°＝1×⎝⎛⎭⎫－32＝－32，y 1＝|b |sin 150°＝1×12＝12 .所以b ＝⎝⎛⎭⎫－32，12 .同理可得c ＝⎝⎛⎭⎫－32，－332 .设c ＝λ1a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，所以⎝⎛⎭⎫－32，－332＝λ1(2,0)＋λ2⎝⎛⎭⎫－32，12＝⎝⎛⎭⎫2λ1－32λ2，12λ2.所以⎩⎨⎧2λ1－32λ2＝－32，12λ2＝－332，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝－3，λ2＝－3 3.所以c ＝－3a －33b.C 级——探索创新练18．设OA →＝(－2,4)，OB →＝(－a,2)，OC →＝(b,0)，a ＞0，b ＞0，O 为坐标原点．若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋1b的最小值为________．【答案】32＋2 【解析】AB →＝OB →－OA →＝(2－a ，－2)，AC →＝OC →－OA →＝(b ＋2，－4)．由A ，B ，C 三点共线，得2(2－a )＝b ＋2，即2a ＋b ＝2，所以a ＋b 2＝1.所以1a ＋1b ＝a ＋b 2a ＋a ＋b 2b ＝32＋b 2a ＋a b ≥32＋212＝32＋2，当且仅当b 2a ＝a b ，即a ＝12，b ＝22时等号成立，所以最小值为32＋ 2. 19．已知向量u ＝(x ，y )与向量v ＝(y,2y －x )的对应关系用v ＝f (u )表示． (1)求证：对任意向量a ，b 及常数m ，n ，恒有f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )成立； (2)设a ＝(1,1)，b ＝(1,0)，求向量f (a )及f (b )的坐标； (3)求使f (c )＝(p ，q )(p ，q 是常数)的向量c 的坐标． (1)证明：设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)， 则m a ＋n b ＝(ma 1＋nb 1，ma 2＋nb 2)，∴f (m a ＋n b )＝(ma 2＋nb 2,2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1)，mf (a )＋nf (b )＝m (a 2,2a 2－a 1)＋n (b 2,2b 2－b 1)＝(ma 2＋nb 2,2ma 2＋2nb 2－ma 1－nb 1)， ∴f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )成立． (2)解：f (a )＝(1,2×1－1)＝(1,1)， f (b )＝(0,2×0－1)＝(0，－1)．(3)解：设c＝(x，y)，则f(c)＝(y,2y－x)＝(p，q)，∴y＝p,2y－x＝q，∴x＝2p－q，即向量c＝(2p－q，p)．。
高中数学6.4《平面向量的应用》基础过关练习题
第六章 6.4 6.4.1 6.4.2A 级——基础过关练1．两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N ，则当它们的夹角为120°时，合力大小为( )A ．40 NB ．10 2 NC ．20 2 ND ．10 3 N【答案】B 【解析】|F 1|＝|F 2|＝|F |cos 45°＝102，当θ＝120°时，由平行四边形法则知|F 合|＝|F 1|＝|F 2|＝10 2 N.2．(2020年北京期末)已知正方形ABCD 的边长为1，设AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，则|a －b ＋c|等于( )A ．0B ．2C ．2D ．22【答案】C 【解析】如图，a ＋b ＝c ，则|a －b ＋c|＝|2a|.又|a|＝1，∴|a －b ＋c|＝2.故选C ．3．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的( )A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点【答案】D 【解析】∵OA →·OB →＝OB →·OC →，∴(OA →－OC →)·OB →＝0.∴OB →·CA →＝0.∴OB ⊥AC ．同理OA ⊥BC ，OC ⊥AB ，∴O 为三条高的交点．4．(2020年深圳期中)已知两个力F 1，F 2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N ，合力与F 1的夹角为60°，那么F 2的大小为( )A ．5 3 NB ．5 NC ．10 ND ．5 2 N【答案】A 【解析】由题意可知对应向量如图．由于α＝60°，∴F 2的大小为|F 合|·sin60°＝10×32＝5 3 N ．故选A ．5．已知直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ＝2，DC ＝1，AB ∥DC ，则当AC ⊥BC 时，AD ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A 【解析】建立平面直角坐标系，如图所示．设AD ＝t (t ＞0)，则A (0,0)，C (1，t )，B (2,0)，则AC →＝(1，t )，BC →＝(－1，t )．由AC ⊥BC 知AC →·BC →＝－1＋t 2＝0，解得t ＝1，故AD ＝1.6．一纤夫用牵绳拉船沿直线方向前进60 m ，若牵绳与行进方向夹角为30°，纤夫的拉力为50 N ，则纤夫对船所做的功为________J.【答案】1 5003 【解析】所做的功W ＝60×50×cos 30°＝1 5003(J)．7．在平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则y 与x 的函数关系式为________．【答案】y ＝－12x ＋2 【解析】OP →·OA →＝(x ，y )·(1,2)＝x ＋2y ＝4，∴x ＋2y －4＝0，则y＝－12x ＋2.8．在四边形ABCD 中，已知AB →＝(4，－2)，AC →＝(7,4)，AD →＝(3,6)，则四边形ABCD 的面积是________．【答案】30 【解析】BC →＝AC →－AB →＝(3,6)＝AD →，又因为AB →·BC →＝(4，－2)·(3,6)＝0，所以四边形ABCD 为矩形．又|AB →|＝42＋(－2)2＝25，|BC →|＝32＋62＝35，所以S ＝|AB→||BC →|＝25×35＝30.9．如图，平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，求对角线AC 的长．解：设AD →＝a ，AB →＝b ，则BD →＝a －b ，AC →＝a ＋b ，而|BD →|＝|a －b|＝a 2－2a·b ＋b 2＝1＋4－2a·b ＝5－2a·b ＝2，所以5－2a·b ＝4.所以a·b ＝12.又|AC →|2＝|a ＋b|2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝1＋4＋2a·b ＝6，所以|AC →|＝6，即AC ＝ 6.10．质量m ＝2.0 kg 的木块，在平行于斜面向上的拉力|F|＝10 N 的作用下，沿倾斜角θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s |＝2.0 m 的距离(g 取9.8 N/kg)．(1)分别求物体所受各力对物体所做的功；(2)在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？解：(1)木块受三个力的作用，重力G ，拉力F 和支持力F N ，如图所示．拉力F 与位移s 方向相同，所以拉力对木块所做的功为W F ＝F·s ＝|F|·|s |cos 0°＝20(J)．支持力F N 的方向与位移方向垂直，不做功，所以W N ＝F N ·s ＝0.重力G 对物体所做的功为W G ＝G·s ＝|G||s |cos(90°＋θ)＝－19.6(J)．(2)物体所受各力对物体做功的代数和为W ＝W F ＋W N ＋W G ＝0.4(J)．B 级——能力提升练11．△ABC 中，若动点D 满足CA →2－CB →2＋2AB →·CD →＝0，则点D 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．垂心D ．重心【答案】A 【解析】取AB 的中点E ，则CA →2－CB →2＋2AB →·CD →＝(CA →＋CB →)·(CA →－CB →)＋2AB →·CD →＝2CE →·BA →＋2AB →·CD →＝2AB →·(CD →－CE →)＝2AB →·ED →＝0，∴AB ⊥ED ，即点D 在AB 的垂直平分线上．∴点D 的轨迹一定通过△ABC 的外心．12．如图，用两根分别长52米和10米的绳子，将100 N 的物体吊在水平屋顶AB 上，平衡后，G 点距屋顶距离恰好为5米，绳子的重量忽略不计，则A 处所受力的大小为( )A ．1202－50 6 NB ．1502－50 6 NC ．1203－50 2 ND ．1503－50 2 N【答案】B 【解析】如图，由已知条件可知AG 与垂直方向成45°角，BG 与垂直方向成60°角．设A 处所受力为F a ，B 处所受力为F b ，物体的重力为G ，∠EGC ＝60°，∠EGD ＝45°，则有|F a |·cos 45°＋|F b |cos 60°＝G ＝100①，且|F a |·sin 45°＝|F b |sin 60°②.由①②解得|F a |＝1502－50 6.故选B ．13．(2020年太原月考)在△ABC 中，若AD →＝13AB →＋12AC →，记S 1＝S △ABD ，S 2＝S △ACD ，S 3＝S △BCD ，则下列结论正确的是( )A ．S 3S 1＝23B ．S 2S 3＝12C ．S 2S 1＝23D ．S 1＋S 2S 3＝163【答案】C 【解析】如图，作AE →＝13AB →，AF →＝12AC →，则AD →＝AE →＋AF →，∴四边形AEDF是平行四边形．∴S △ADE ＝S △ADF .设△ABD 的边AB 上的高为h 1，△ACD 的边AC 上的高为h 2，则12|AE →|h 1＝12|AF →|h 2，∴13·⎝⎛⎭⎫12|AB →|h 1＝12·⎝⎛⎭⎫12|AC →|h 2.∴13S 1＝12S 2.∴S 2S 1＝1312＝23.故选C ．14．如图所示，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2，6)，则AC 和OB 的交点P 的坐标为________．(3,3) 【解析】设P (x ，y )，OB →＝(4,4)，OP →＝(x ，y )，由于OB →∥OP →，所以x －y ＝0.AC →＝(－2,6)，AP →＝(x －4，y )，由于AP →∥AC →，所以6(x －4)＋2y ＝0.可得x ＝3，y ＝3，故P 的坐标是(3,3)．15．已知P ，Q 为△ABC 内的两点，且AQ →＝14AC →＋12AB →，AP →＝12AC →＋14AB →，则△APQ 的面积与△ABC 的面积之比为________．【答案】316 【解析】如图，根据题意，P ，Q 为△ABC 中位线DE ，DF 的中点，PQ ＝12EF ＝14BC ，而A 到PQ 的距离是到BC 距离的34，根据三角形的面积公式可知，S △APQ ＝316S △ABC ．16．若a ，b 是两个不共线的非零向量，t ∈R .(1)t 为何值时，共起点的三个向量a ，t b ，13(a ＋b )的终点在一条直线上？(2)若|a|＝|b|且a 与b 的夹角为60°，t 为何值时，|a －t b |最小？解：(1)由题意得a －t b 与a －13(a ＋b )共线，则设a －t b ＝m ⎣⎡⎦⎤a －13(a ＋b )，m ∈R ，化简得⎝⎛⎭⎫23m －1a ＝⎝⎛⎭⎫m 3－t b .因为a 与b 不共线，所以⎩⎨⎧23m －1＝0，m 3－t ＝0，解得⎩⎨⎧m ＝32，t ＝12.所以当t ＝12时，a ，t b ，13(a ＋b )三个向量的终点在一条直线上．(2)因为|a|＝|b|，所以|a －t b |2＝(a －t b )2＝|a |2＋t 2|b |2－2t |a||b |cos 60°＝(1＋t 2－t )|a |2＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫t －122＋34·|a |2.所以当t ＝12时，|a －t b |有最小值32|a |.17．某人骑车以每小时a 千米的速度向东行驶，感到风从正北方向吹来；而当速度为每小时2a 千米时，感到风从东北方向吹来，试求实际风速和方向．解：设a 表示此人以每小时a 千米的速度向东行驶的向量，无风时此人感到风速为－a .设实际风速为v ，那么此时人感到风速为v －a ，设OA →＝－a ，OB →＝－2a ，PO →＝v .因为PO →＋OA →＝P A →，所以P A →＝v －a ，这就是感到由正北方向吹来的风速．因为PO →＋OB →＝PB →，所以PB →＝v －2a .于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是PB →.由题意∠PBO ＝45°，P A ⊥BO ，BA ＝AO ，从而，△POB 为等腰直角三角形，所以PO ＝PB ＝2a ，即|v |＝2a .所以实际风速是每小时2a 千米的西北风．C 级——探索创新练18．在△ABC 中，AC ＝BC ＝33AB ＝1，且CE →＝xCA →，CF →＝yCB →，其中x ，y ∈(0,1)，且x ＋4y ＝1.若M ，N 分别为线段EF ，AB 中点，则线段MN 的最小值为________．【答案】77【解析】如图，连接CM ，CN ，∵等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ＝1，AB ＝3，∴∠ACB ＝120°.∴CA →·CB →＝|CA →|·|CB →|cos 120°＝－12.又CM 是△CEF 的中线，∴CM →＝12(CE→＋CF →)＝12(xCA →＋yCB →)．同理可得CN →＝12(CA →＋CB →)，∴MN →＝CN →－CM →＝1－x 2CA →＋1－y 2CB →.∴MN→2＝(1－x )24＋(1－x )(1－y )2×⎝⎛⎭⎫－12＋(1－y )24.由x ＋4y ＝1，得1－x ＝4y ，代入上式得MN →2＝214y 2－32y ＋14.又x ，y ∈(0,1)，∴当y ＝17时，MN →2取得最小值17，此时|MN →|的最小值为77，即线段MN 的最小值为77.。
平面向量的基本概念及线性运算练习题(基础、经典、好用)
平面向量的基本概念及线性运算一、选择题1．(2013·湛江质检)若a ＋c 与b 都是非零向量，则“a ＋b ＋c ＝0”是“b ∥(a ＋c )”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC→＋BA →＝2BP →，则( ) A.P A →＋PB→＝0 B.PC →＋P A →＝0 C.PB →＋PC →＝0 D.P A →＋PB→＋PC →＝0 3．下列命题中是真命题的是( )①对任意两向量a 、b ，均有：|a |－|b |＜|a |＋|b |；②对任意两向量a 、b ，a －b 与b －a 是相反向量；③在△ABC 中，AB→＋BC →－AC →＝0； ④在四边形ABCD 中，(AB→＋BC →)－(CD →＋DA →)＝0. A ．①②③ B ．②④ C ．②③④ D ．②③4．已知A 、B 、C 三点共线，点O 在该直线外，若OB →＝λOA →＋μOC →，则λ＋μ的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．35．(2013·佛山调研)已知e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，则a 与b 共线的条件是( )A ．λ＝0B ．e 2＝0C ．e 1∥e 2D ．e 1∥e 2或λ＝0二、填空题6．如图4－1－2所示，向量a －b ＝________(用e 1，e 2表示)．图4－1－27．(2013·揭阳模拟)已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且OA→＋OB →＋OC →＝0，则△ABC 的内角A 等于________．8．已知向量a ，b 是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a 、b 共线的条件是________(将正确的序号填在横线上)．①2a －3b ＝4e ，且a ＋2b ＝－3e ；②存在相异实数λ、μ，使λa ＋μb ＝0；③xa ＋yb ＝0(实数x ，y 满足x ＋y ＝0)；④若四边形ABCD 是梯形，则AB→与CD →共线． 三、解答题图4－1－39．(2013·清远调研)如图4－1－3所示，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，求实数m 的值． 10．设a ，b 是不共线的两个非零向量．(1)若OA→＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，OC →＝a －3b ，求证：A 、B 、C 三点共线． (2)若AB→＝a ＋b ，BC →＝2a －3b ，CD →＝2a －kb ，且A 、C 、D 三点共线，求k 的值． 11．设O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →|AB→|＋AC →|AC →|)，λ∈[0，＋∞)．求点P 的轨迹，并判断点P 的轨迹通过下述哪一个定点： ①△ABC 的外心；②△ABC 的内心；③△ABC 的重心；④△ABC 的垂心．解析及答案一、选择题1．【解析】 若a ＋b ＋c ＝0，则b ＝－(a ＋c )，∴b ∥(a ＋c )；若b ∥(a ＋c )，则b ＝λ(a ＋c )，当λ≠－1时，a ＋b ＋c ≠0，因此“a ＋b ＋c ＝0”是“b ∥(a ＋c )”的充分不必要条件．【答案】 A2．【解析】 由BC→＋BA →＝2BP →知，点P 是线段AC 的中点， 则PC →＋P A →＝0.【答案】 B3．【解析】 ①假命题．∵当b ＝0时，|a |－|b |＝|a |＋|b |.∴该命题不成立．②真命题，这是因为(a －b )＋(b －a )＝0，∴a －b 与b －a 是相反向量．③真命题．∵AB→＋BC →－AC →＝AC →－AC →＝0. ④假命题．∵AB→＋BC →＝AC →，CD →＋DA →＝CA →， ∴(AB→＋BC →)－(CD →＋DA →)＝AC →－CA →＝AC →＋AC →≠0， ∴该命题不成立．【答案】 D4．【解析】 因为A 、B 、C 三点共线，所以AB→＝kAC →， ∴OB→－OA →＝k (OC →－OA →)，所以OB →＝OA →＋kOC →－kOA →， ∴OB→＝(1－k )OA →＋kOC →，又因为OB →＝λOA →＋μOC →，所以λ＝1－k ，μ＝k ，所以λ＋μ＝1. 【答案】 B5．【解析】 若e 1与e 2共线，则e 2＝λ′e 1，∴a ＝(1＋λλ′)e 1，此时a ∥b ，若e 1与e 2不共线，设a ＝μb ，则e 1＋λe 2＝μ·2e 1，∴λ＝0，1－2μ＝0.【答案】 D二、填空题6．【解析】 由图知，a －b ＝BA →＝e 1＋(－3e 2)＝e 1－3e 2. 【答案】 e 1－3e 27．【解析】 由OA→＋OB →＋OC →＝0，知点O 为△ABC 重心，又O 为△ABC 外接圆的圆心，∴△ABC 为等边三角形，A ＝60°.【答案】 60°8．【解析】 由①得10a －b ＝0，故①对．②对．对于③当x ＝y ＝0时，a 与b 不一定共线，故③不对．若AB ∥CD ，则AB→与CD →共线，若AD ∥BC ，则AB →与CD →不共线，故④不对． 【答案】 ①②三、解答题9．【解】 如题图所示，AP→＝AB →＋BP →， ∵P 为BN 上一点，则BP→＝kBN →， ∴AP→＝AB →＋kBN →＝AB →＋k (AN →－AB →)， 又AN →＝13NC →，即AN →＝14AC →， 因此AP →＝(1－k )AB →＋k 4AC →， 所以1－k ＝m ，且k 4＝211，解得k ＝811.则m ＝1－k ＝311.10．【解】 (1)证明 AB →＝OB →－OA →＝a ＋2b ，AC→＝OC →－OA →＝－a －2b . 所以AC→＝－AB →，又因为A 为公共点， 所以A 、B 、C 三点共线．(2)AC→＝AB →＋BC →＝(a ＋b )＋(2a －3b )＝3a －2b ， 因为A 、C 、D 三点共线，所以AC→与CD →共线． 从而存在实数λ使AC →＝λCD →，即3a －2b ＝λ(2a －kb )，解得λ＝32，k ＝43，所以k ＝43.11．【解】 如图，记AM →＝AB →|AB →|，AN →＝AC →|AC→|，则AM →，AN →都是单位向量， ∴|AM→|＝|AN →|，AQ →＝AM →＋AN →，则四边形AMQN 是菱形，∴AQ 平分∠BAC . ∵OP →＝OA →＋AP →，由条件知OP →＝OA →＋λAQ →， ∴AP →＝λAQ →(λ∈[0，＋∞))，∴点P 的轨迹是射线AQ ，且AQ 通过△ABC 的内心．。
平面向量加减法(印)
向量概念加减法•基础练习、选择题1若a是任一非零向量，b是单位向量，下列各式①丨a丨>| b |；②a // b ；③丨—* —*■—Fa | > 0:④丨b | =± 1；⑤==b，其中正确的有（）aA.①④⑤B.③C.①②③⑤D.②③⑤2. 四边形ABCD中，若向量AB与CD是共线向量，则四边形ABCD（）A.是平行四边形B.是梯形C.是平行四边形或梯形D.不是平行四边形，也不是梯形3•把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是（）A. —条线段B. —个圆面C.圆上的一群弧立点D. —个圆—fe-f—t —1- f f —1-4. 若a ,—ip b是两个不平行的非零向量，并且—¥■—*a // c,b // c,则向量c等于（）A.0B. aC. bD.c不存在5. 向量（AB + MB ) + ( BO + BC ) + OM化简后等于（)A.BC B . AB C.AC D . AM6.—b-a、b为非零向量,且1―b- —fea + b1 = 1 a | + 1b |则()—tf ―—I-―卜-I-―卜—kA. a // b且a、b方向相同B. a = bC. a =- bD.以上都不对7.化简（AB-CD ) + (BE - DE）的结果是( )一A.CAB. 0 C . AC D. AE&在四边形ABCD中, AC =AB + AD，则（) A. ABCD是矩形 B. ABCD是菱形 C. ABCD是正方形D. ABCD是平行四边形9.已知正方形ABCD勺边长为1, AB=a,AC=c, BC =b ,则| a + b+c |为( )9.已知正方形 ABCD 勺边长为1, AB =a ,AC =c , BC =b ,则| a + b +c |为() A. 0 B . 3 C. .. 2D. 2 2 10 .下列四式不能化简为 AD 的是（） A. ( AB + CD ) + BCB . ( AD + MB ) + ( BC + CM ) C. MB +AD -BM D. OC - OA + CD11 .设b 是a 的相反向量，则下列说法错误的是（） A. a 与b 的长度必相等B . a // bC . a 与b 一定不相等D. a 是b 的相反向量 12 .如果两非零向量a 、b 满足：| a | >| b | ,那么a 与b 反向，则（ )―卜 —!■—k ―卜 —F ― A. | a +b | =| a 1 - | b |B. | a -b 1 =| a | - | b |C. | a - b | = | b 1 - | a |D. | a + b 1 =| a | + | b | 、判断题1 . 向量AB 与BA 是两平行向量.（ )2 . 若a 是单位向量， b 也是单位向量，则 —fc> —fe ( )3 . 长度为1且方向向东的向量是单位向量, 长度为1 而方 向为北偏东 30° 的向量就不是单 位向量.（） 4. 与任一向量都平行的向量为 0向量.（ ）5. 若AB = DC ,则A B C D 四点构成平行四边形.（ ）7.设O 是正三角形ABC 的中心，则向量 AB 的长度是OA 长度的3倍.（ ）9. 在坐标平面上，以坐标原点 O 为起点的单位向量的终点 P 的轨迹是单位圆.（ ）10. 凡模相等且平行的两向量均相等. （ ）三、填空题 1 -1 •已知四边形 ABCD 中，AB=— DC ,且| AD | = | BC | ,则四边形 ABCD 的形状2 是 _______ .2.已知 AB = a , BC = b , CD = c , DE =d , AE = e ,贝U a +b +c + d = . 5. a ="向东走4km" , b ="向南走3km",贝U|3. 已知 OA = a , OB =b ,且 | a | = | b | =4, Z AOB=60 ① 求 | a +b | ,| a - b | ② 求a + b 与a 的夹角，a - b 与a 的夹角. 2.已知△ ABC 试用几何法作出向量： BA + BC , CA +CB . 3•已知向量a 、b 的模分别为3，4，则| a -b I 的取值范围为4. 已知 | OA | =4, | OB | =8, Z AOB=60 ,贝, AB四、解答题1•作图。
高中数学必修二6.1《平面向量的概念》高频考点练习题目含答案解析
第六章平面向量及其应用6.1 平面向量的概念课后篇巩固提升必备知识基础练1.有下列物理量:①质量;②速度;③力;④加速度;⑤路程;⑥功.其中,不是向量的个数是( )A.1B.2C.3D.4,又有方向,所以它们是向量;而质量、路程和功只有大小,没有方向,所以它们不是向量,故不是向量的个数是3.2.在同一平面上,把向量所在直线平行于某一直线的一切向量的起点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是( ) A.一条线段 B.一条直线C.圆上一群孤立的点D.一个半径为1的圆,而向量所在直线平行于同一直线,所以随着向量模的变化,向量的终点构成的是一条直线.3.如图所示,在正三角形ABC 中,P ,Q ,R 分别是AB ,BC ,AC 的中点,则与向量PQ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是( )A.PR ⃗⃗⃗⃗⃗ 与QR ⃗⃗⃗⃗⃗B.AR ⃗⃗⃗⃗⃗ 与RC⃗⃗⃗⃗⃗ C.RA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CR ⃗⃗⃗⃗⃗ D.PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与QR ⃗⃗⃗⃗⃗,方向相同,因此AR ⃗⃗⃗⃗⃗ 与RC ⃗⃗⃗⃗⃗ 都是和PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量. 4.若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |且BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则四边形ABCD 的形状为 ( )A.正方形B.矩形C.菱形D.等腰梯形BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 知,AB=CD 且AB ∥CD ,即四边形ABCD 为平行四边形.又因为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以四边形ABCD 为菱形.5.(多选题)(2021福建福清期中)下列说法正确的是( )A.若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |且BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则四边形ABCD 是菱形B.在平行四边形ABCD 中,一定有AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗C.若a =b ,b =c ,则a =cD.若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥cA,由BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,知AB=CD 且AB ∥CD ,即四边形ABCD 为平行四边形,又因为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以四边形ABCD 为菱形,故A 正确;对于B,在平行四边形ABCD 中,对边平行且相等,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向相同,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故B 正确;对于C,由向量相等的定义知,当a =b ,b =c 时,有a =c ,故C 正确;对于D,当b =0时不成立,故D 错误.故选ABC .6.(多选题)设点O 是正方形ABCD 的中心,则下列结论正确的是( ) A.AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.BO ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线 D.AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =BO⃗⃗⃗⃗⃗图,∵AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同,长度相等,∴选项A 正确; ∵BO ⃗⃗⃗⃗⃗ 与DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向相反, ∴BO ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,选项B 正确; ∵AB ∥CD ,∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线, ∴选项C 正确; ∵AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BO ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向不同,∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠BO⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴选项D 错误. 7.如图,四边形ABCD ,CEFG ,CGHD 都是全等的菱形,HE 与CG 相交于点M ,则下列关系不一定成立的是( )A.|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |B.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与FH ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线C.BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线D.DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与EC⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,直线BD 与EH 不一定平行,因此BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不一定与EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,C 项错误. 8.如图所示,4×3的矩形(每个小方格的边长均为1),在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中,试问: (1)与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量共有几个? (2)与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 平行且模为√2的向量共有几个? (3)与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同且模为3√2的向量共有几个?与向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量共有5个(不包括AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 本身). (2)与向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 平行且模为√2的向量共有24个. (3)与向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同且模为3√2的向量共有2个. 关键能力提升练9.已知a 为单位向量,下列说法正确的是( ) A.a 的长度为一个单位长度 B.a 与0不平行C.与a 共线的单位向量只有一个(不包括a 本身)D.a 与0不是平行向量已知a 为单位向量,∴a 的长度为一个单位长度,故A 正确;a 与0平行,故B 错误;与a 共线的单位向量有无数个,故C 错误;零向量与任何向量都是平行向量,故D 错误. 10.(多选题)如图,在菱形ABCD 中,∠DAB=120°,则以下说法正确的是( )A.与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量只有一个(不包括AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 本身) B.与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 的模相等的向量有9个(不包括AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 本身) C.BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的模为DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 模的√3倍 D.CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线项,由相等向量的定义知,与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量只有DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故A 正确;B 项,因为AB=BC=CD=DA=AC ,所以与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模相等的向量除AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 外有9个,故B 正确;C 项,在Rt △ADO 中,∠DAO=60°,则DO=√32DA ,所以BD=√3DA ,故C 正确;D 项,因为四边形ABCD 是菱形,所以CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,故D 错误.11.给出下列四个条件:①a =b ;②|a |=|b |;③a 与b 方向相反;④|a |=0或|b |=0.其中能使a ∥b 成立的条件是 .(填序号)a =b ,则a 与b 大小相等且方向相同,所以a ∥b ;若|a |=|b |,则a 与b 的大小相等,而方向不确定,因此不一定有a ∥b ;方向相同或相反的向量都是平行向量,因此若a 与b 方向相反,则有a ∥b ;零向量与任意向量平行,所以若|a |=0或|b |=0,则a ∥b .12.如图,四边形ABCD 和ABDE 都是边长为1的菱形,已知下列说法: ①AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ 都是单位向量; ②AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ; ③与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量有3个(不包括AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 本身); ④与AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的向量有3个(不包括AE⃗⃗⃗⃗⃗ 本身); ⑤与向量DC⃗⃗⃗⃗⃗ 大小相等、方向相反的向量为DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ . 其中正确的是 .(填序号)由两菱形的边长都为1,故①正确;②正确;③与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故③错误;④与AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的向量是EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,故④正确;⑤正确.13.已知在四边形ABCD 中,AB⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,tan D=√3,判断四边形ABCD 的形状.在四边形ABCD 中,AB⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AB DC ,∴四边形ABCD 是平行四边形. ∵tan D=√3,∴∠B=∠D=60°.又|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,∴△ABC 是等边三角形. ∴AB=BC ,故四边形ABCD 是菱形.学科素养创新练14.如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成,方格纸中有两个定点A ,B ,点C 为小正方形的顶点,且|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5.(1)画出所有的向量AC⃗⃗⃗⃗⃗ ;⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值与最小值.(2)求|BC⃗⃗⃗⃗⃗ 如图所示.(2)由(1)所画的图知,⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值√12+22=√5;①当点C位于点C1或C2时,|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最大值√42+52=√41.②当点C位于点C5或C6时,|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为√41,最小值为√5.∴|BC。
初中数学平面向量基础专项练习题(含答案)
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．无数个
10.如图所示，已知点 G 是△ABC 的重心，过点 G 作直线与 AB，AC 两边分别交于 M，N 两
1
点，且
AM
xAB,
AN
yAC
，则
xy x y
的值为(
)
A．．．3． B．．.13． ． C．．．2． D．．.12．．
11.设 a ， b 是两个非零向量，下列命题正确的是（ ） A.若 a b a b ，则 a b B.若 a b ，则 a b a b
28.已知 e1 ， e2 为不共线的单位向量，
m
1 4
，n
ke1 e2 (k R)
，若
mn
1 4
恒成
立，则 e1 ， e2 的夹角的最小值为_________
29.（本小题满分 12 分）已知△ABC 在平面直角坐标系 xOy 中，其顶点 A，B，C 坐标分别
为 A(2,3) ， B(1,6) ， C(2 cos ,2sin ) .
可以唯一地表示成 c a b ( ， 为实数)，则实数 m 的取值范围是( )
A.(－∞,2)
B.
6 5
,
C.(－∞,－2)∪(－2,+∞)
D.
,
6 5
6 5
,
7.已知 RtABC ，点 D 为斜边 BC 的中点， AB 6
2,
AC 6 ,
AE
1
ED
,则
2
AE EB 等于 A. －14
∴ （ ＋ ）＝2
故选 D．
19. 1
20.120° 由条件知|a|＝ 5 ，|b|＝2 5 ，a＋b＝(－1，－2)，∴|a＋b|＝ 5 ，∵(a＋b)·c＝ 5 ，
平行向量基本定理题型练习-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
第六章 6.3.1 平行向量基本定理【基础篇】题型1 平面向量基本定理的理解1．已知{e 1，e 2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能．．作为基底的一组是( )A ．2e 1－e 2和2e 2－4e 1B ．e 1＋e 2和e 1－2e 2C ．e 1－2e 2和e 1D ．e 1＋e 2和2e 2＋e 12．(多选)如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列叙述中正确的有( ) A ．λe 1＋μe 2(λ，μ∈R )可以表示平面α内的所有向量B ．对于平面α内的任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数λ，μ有无数多对C ．若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)D ．若存在实数λ，μ使λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝03．如图所示，平面内的两条相交直线OP 1和OP 2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅰ，Ⅰ，Ⅰ(不包括边界)．若OP →＝aOP 1→＋bOP 2→，且点P 落在第Ⅰ部分，则实数a ，b 满足( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0题型2 向量相等4． 如图所示，平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点．若DE →＝λ2AB →＋2μAD→(λ，μ∈R )，则λ＋μ等于( )A ．1B ．－1C .14D .185．设E 为△ABC 的边AC 的中点，BE →＝mAB →＋nAC →，则m ＋n ＝________.题型3 平面向量的分解6．如图所示，在正六边形ABCDEF 中，设AB →＝a ，AF →＝b ，则AC →＝( )A ．a ＋2bB ．2a ＋3bC ．2a ＋bD .32a ＋b7．如图，在△ABC 中，点D 是线段AB 上靠近A 的三等分点，点E 是线段CD 的中点，则( )A .AE →＝16AB →＋12AC →B.AE →＝13AB →＋12AC →C.AE →＝16AB →－12AC →D.AE →＝13AB →－12AC →8．已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝7e 1－4e 2，用向量a 和b 表示c ，则c ＝________．9．在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，DC 边的中点，BE ，BF 分别与AC 交于R ，T 两点，ET →＝xAB →＋yAD →(x ，y ∈R )，则x ＋y ＝( ) A .16B .13C .23D .56【提升篇】1．如果{a ，b }是一个基底，那么下列不能作为基底的是( ) A ．a ＋b 与a －bB ．a ＋2b 与2a ＋bC ．a ＋b 与－a －bD ．a 与－b2．在△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB .若CB →＝a ，CA →＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则CD →＝( ) A .13a ＋23b B .23a ＋13b C .35a ＋45bD .45a ＋35b3．(多选)[浙江宁波九校2022高一期末]在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AC 与BD 交于M .设AB →＝a ，AD →＝b ，则下列结论正确的有( ) A .AC →＝12a ＋bB .BC →＝－12a ＋bC .BM →＝－13a ＋23bD .EF →＝－14a ＋b4．如图，在△ABC 中，D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BC →＝3BD →，EC →＝λAE →，F 是AD ，BE 的交点．若AF →＝35AD →，则λ＝( )A ．2B ．3C ．6D ．75．某中学八角形校徽由两个正方形叠加组合而成，体现“方方正正做人”之意，又体现南开人“面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神．如图的多边形，由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针旋转45°后的正方形组合而成．已知向量n ，k ，则向量a ＝( )A ．3k ＋2nB ．3k ＋(2＋2)nC ．(2＋2)k ＋(2＋2)nD ．(2＋2)k ＋(1＋2)n6．(多选)[湖北孝感2022高一期末]已知△ABC 中，O 是BC 边上靠近B 的三等分点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N .设AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，其中m >0，n >0，则下列结论正确的是( ) A .AO →＝23AB →＋13AC →B.AO →＝13AB →＋23AC →C ．2m ＋n ＝3D ．m ＋2n ＝37．在等腰梯形ABCD 中，DC →＝2AB →，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点，记DA →＝a ，DC →＝b .若用a ，b 表示DF →，则DF →＝________.8．在△ABC 中，AD →＝12AB →，BE →＝23BC →.若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________.9．如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 的两个三等分点，BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________．10．如图，在正△ABC 中，点G 为边BC 的中点，边AB ，AC 上的动点D ，E 分别满足AD →＝λAB →，AE →＝(1－2λ)AC →，λ∈R .设DE 的中点为F ，记|FG →||BC →|＝R(λ)，则R(λ)的取值范围为________．11．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AB 的中点，F ，G 分别是AD ，BC 的四等分点⎝⎛⎭⎫AF ＝14AD ，BG ＝14BC .设AB →＝a ，AD →＝b . (1)用a ，b 表示EF →，EG →.(2)如果|b |＝2|a |，EF ，EG 有什么位置关系？用向量的方法证明你的结论．12．如图所示，在△OAB 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M .过点M 的直线l与OA ，OB 分别交于点E ，F . (1)试用OA →，OB →表示向量OM →；(2)设OE →＝λOA →，OF →＝μOB →，求证：1λ＋3μ是定值．13．如图，在直角梯形OABC 中，OA ∥CB ，OA ⊥OC ，OA ＝2BC ＝2OC ，M 为AB 上靠近B的三等分点，OM 交AC 于点D ，P 为线段BC 上的动点． (1)用OA →和OC →表示OM →； (2)求OD DM；(3)设OB →＝λCA →＋μOP →，求λμ的取值范围．答案及解析【详解】对于A 选项，因为2e 2－4e 1＝－2(2e 1－e 2)，所以2e 1－e 2和2e 2－4e 1共线，A 选项不满足条件；对于B 选项，设e 1＋e 2＝λ(e 1－2e 2)＝λe 1－2λe 2，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，－2λ＝1，无解，故e 1＋e 2和e 1－2e 2不共线，B 选项能作为基底；同理可知e 1－2e 2和e 1不共线，e 1＋e 2和2e 2＋e 1也不共线，C ，D 选项均能作为基底．故选A.2．【答案】AD【详解】由平面向量基本定理可知，A ，D 正确．对于B ，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于C ，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，λ有无数个．故选AD.3．【答案】B【详解】取第Ⅰ部分内一点画图易得a >0，b <0.4．【答案】D【详解】因为E 为AO 的中点，所以AE →＝14AC →＝14(AB →＋AD →)，所以DE →＝AE →－AD →＝14(AB →＋AD →)－AD →＝14AB →－34AD →.又因为DE →＝λ2AB →＋2μAD →，所以⎩⎨⎧λ2＝14，2μ＝－34，解得⎩⎨⎧λ＝12，μ＝－38，所以λ＋μ＝18，故选D.5．【答案】－12【详解】因为BE →＝BA →＋AE →＝－AB →＋12AC →＝mAB →＋nAC →，所以m ＝－1，n ＝12，所以m ＋n ＝－12.6．【答案】C【详解】在正六边形ABCDEF 中，连接FC ，则FC ∥AB ，FC ＝2AB ，所以AC →＝AF →＋FC →＝AF →＋2AB →＝2a ＋b .故选C.【详解】由题图知AE →＝12AD →＋12AC →＝16AB →＋12AC →.故选A.8．【答案】a －2b【详解】因为a ，b 不共线，设c ＝xa ＋yb (x ，y ∈R)，则xa ＋yb ＝x (3e 1－2e 2)＋y (－2e 1＋e 2)＝(3x －2y )e 1＋(－2x ＋y )e 2＝7e 1－4e 2.又因为e 1，e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝7，－2x ＋y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，所以c ＝a －2b .9．【答案】D 【详解】如图所示，设CT →＝μCA →＝2μCF →＋μCB →(μ∈R)．因为F ，T ，B 共线，所以3μ＝1，解得μ＝13.所以AT →＝23AC →，所以ET →＝AT →－AE →＝23AC →－AE →＝23AB →＋16AD →.又ET →＝xAB →＋yAD →，所以x ＝23，y ＝16，所以x ＋y ＝56.故选D.【详解】由题意知，a 与b 不共线，根据平行四边形法则，可知A ，B ，D 选项中的两个向量都可以作为基底，而a ＋b 与－a －b 共线，不能作为基底．2．【答案】B【详解】∵CD 平分∠ACB ，∴|CA →||CB →|＝|AD →||DB →|＝2.∴AD →＝2DB →＝23AB →＝23(CB →－CA →)＝23(a －b )．∴CD→＝CA →＋AD →＝b ＋23(a －b )＝23a ＋13b .3．【答案】ABD【详解】由题意得，AC →＝AD →＋DC →＝b ＋12a ，故A 正确；BC →＝BA →＋AC →＝－a ＋b ＋12a ＝b －12a ，故B 正确；由△CMD ∽△AMB ，且CD ＝12AB 得AM →＝23AC →，则BM →＝BA →＋AM →＝－a ＋23AC →＝－a ＋23b ＋13a ＝23b －23a ，故C 错误；EF →＝EA →＋AD →＋DF →＝－12a ＋b ＋14a ＝b －14a ，故D 正确．故选ABD.4．【答案】A【详解】由题意得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →.因为B ，E ，F 三点共线，所以AF →＝kAB →＋(1－k )AE →＝kAB →＋1－k λ＋1AC →.因为AF →＝35AD →，所以kAB →＋1－k λ＋1AC →＝35⎝⎛⎭⎫23AB →＋13AC →，则⎩⎨⎧k ＝25，1－k λ＋1＝15.解得λ＝2，故选A.5．【答案】D【详解】根据题意可得|n |＝|k |，已知该图形是由以正方形中心为中心逆时针旋转45°后的正方形与原正方形组合而成，如图，由对称性可得|AB |＝|BC |＝|CD |＝|DE |＝|EQ |＝|QF |，|CE |＝|EF |＝|FG |＝2|AB |＝2|n |. 由图可知点B ，C ，E ，Q 共线，点Q ，F ，G 共线，所以BQ →＝BC →＋CE →＋EQ →＝(2＋2)k ， QG →＝QF →＋FG →＝(1＋2)n ，所以a ＝BG →＝BQ →＋QG →＝(2＋2)k ＋(1＋2)n .故选D.6．【答案】AC【详解】AO →＝AB →＋BO →＝AB →＋13BC →＝AB →＋13(AC →－AB →)＝23AB →＋13AC →，A 正确，B 错误．因为AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，所以AO →＝23AB →＋13AC →＝2m 3AM →＋n 3AN →.又因为M ，O ，N 三点共线，所以2m 3＋n3＝1，故2m ＋n ＝3，C 正确，D 错误．故选AC.7．【答案】14a ＋38b【详解】DE →＝12DB →＋12DC →＝12(DA →＋AB →)＋12DC →＝34DC →＋12DA →，∴DF →＝12DE →＝38DC →＋14DA →，即DF →＝14a ＋38b .8．【答案】12【详解】DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，又DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，所以λ1＋λ2＝12.9．【答案】78【详解】∵E ，F 是AD 的两个三等分点，D 是BC 的中点，∴BF →＝BD →＋DF →，CF →＝CD →＋DF →＝DF →－BD →，BA →＝BD →＋DA →＝BD →＋3DF →，CA →＝CD →＋DA →＝3DF →－BD →.∴BA →·CA →＝9|DF →|2－|BD →|2＝4， BF →·CF →＝|DF →|2－|BD →|2＝－1， 解得|DF →|2＝58，|BD →|2＝138.又∵BE →＝BD →＋DE →＝BD →＋2DF →，CE →＝CD ＋DE →＝2DF →－BD →，∴BE →·CE →＝4|DF →|2－|BD →|2＝208－138＝78.10．【答案】⎣⎡⎦⎤12，74 【解析】设正△ABC 的边长为2，则AB →·AC →＝2×2×cos π3＝2，|BC →|＝2. FG →＝AG →－AF →＝12(AB →＋AC →)－12(AD →＋AE →)＝12(1－λ)AB →＋λAC →，所以|FG →|＝ （1－λ）2＋4λ2＋2λ（1－λ）＝3λ2＋1.又0≤1－2λ≤1，0≤λ≤1，所以0≤λ≤12，因此|FG →|＝3λ2＋1∈⎣⎡⎦⎤1，72，R(λ)＝3λ2＋12∈⎣⎡⎦⎤12，74.11．【答案】(1)由已知，得AE →＝EB →＝12a ，AF →＝BG →＝14b ， 所以EF →＝EA →＋AF →＝14b －12a ， EG →＝EB →＋BG →＝14b ＋12a . (2)EF 与EG 互相垂直．证明如下：EF →·EG →＝⎝⎛⎭⎫14b ＋12a ·(14b －12a )＝116b 2－14a 2， 因为|b |＝2|a |，所以EF →·EG →＝0，即EF ⊥EG ，所以EF 与EG 互相垂直．12．【答案】(1)【解】由A ，M ，D 三点共线可得存在实数m ，使得OM →＝mOA →＋(1－m )OD →，又OD →＝12OB →，故OM →＝mOA →＋1－m 2OB →. 由C ，M ，B 三点共线可得存在实数n ，使得OM →＝nOC →＋(1－n )OB →，又OC →＝14OA →，故OM →＝n 4OA →＋(1－n )OB →. 由题意知OA →，OB →不共线，则⎩⎨⎧m ＝14n ，1－m 2＝1－n ，解得⎩⎨⎧m ＝17，n ＝47，故OM →＝17OA →＋37OB →. (2)【证明】由E ，M ，F 三点共线，可设OM →＝kOE →＋(1－k )OF →(k ∈R)，由OE →＝λOA →，OF →＝μOB →，得OM →＝kλOA →＋(1－k )μOB →.由(1)知OM →＝17OA →＋37OB →， 则⎩⎨⎧kλ＝17，（1－k ）μ＝37，即⎩⎨⎧λ＝17k ，3μ＝7－7k ，所以1λ＋3μ＝7，故1λ＋3μ是定值． 13．【答案】(1)依题意CB →＝12OA →，AM →＝23AB →， ∴AM →＝23(OB →－OA →)＝23(OC →＋CB →)－23OA →＝23OC →－13OA →， ∴OM →＝OA →＋AM →＝OA →＋⎝⎛⎭⎫23OC →－13OA →＝23OA →＋23OC →.(2)设OD →＝tOM →(t ∈R)．由(1)可知OD →＝23tOA →＋23tOC →. 又A ，C ，D 三点共线，∴23t ＋23t ＝1，解得t ＝34，故OD DM ＝3. (3)由题意得OB →＝OC →＋CB →＝OC →＋12OA →， 已知P 是线段BC 上的动点，设CP →＝xOA →⎝⎛⎭⎫0≤x ≤12. ∵OB →＝λCA →＋μOP →＝λ(OA →－OC →)＋μ(OC →＋CP →)＝(λ＋μx )OA →＋(μ－λ)OC →，又OC →，OA →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧μ－λ＝1，λ＋μx ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ－1，μ＝32＋2x. 又0≤x ≤12，∴1≤x ＋1≤32，∴1≤μ≤32. 可知λμ＝μ(μ－1)＝⎝⎛⎭⎫μ－122－14在区间⎣⎡⎦⎤1，32上单调递增， 当μ＝1时，(λμ)min ＝0，当μ＝32时，(λμ)max ＝34， 故λμ的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，34.。
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uuur uuur uuur 1）在四边形 ABCD 中，若 AC AB AD ，则四边形 ABCD 的形状一定是 ( )
(A) 平行四边形 (B) 菱形 (C) 矩形 (D) 正方形 2）如果 a ， b 是两个单位向量，则下列结论中正确的是 （ ）
(A) a b (B) a b = 1
10）已知向量 a (1, 5) ， b ( 3, 2) ，则向量 a 在 b 方向上的投影为
．
r 11）已知 a
r 3， b
rr 4 ， a 与 b 的夹角为
3
，
r (3a
rr b) (a
r 2b) =__________.
4
10）已知向量 a (1, 5) ， b ( 3, 2) ，则向量 a 在 b 方向上的投影为
实数 k 的值为
．
(A) 0
(B) 3
(C) 2
(D) 2 2
5）下列各组的两个向量，平行的是
r
r
A 、 a ( 2,3) ， b (4,6)
r
r
C、 a (2,3) ， b (3, 2)
r
r
B、 a (1, 2) ， b (7,14)
r
r
D、 a ( 3,2) ， b (6, 4)
6）若平行四边形的 3 个顶点分别是（ 4，2），（ 5， 7），（ 3，4），则第 4 个顶点的坐标不 可能是（ ）
(C) a 2 b2
(D) a b
uuur uuur uuur 3） AB BC AD （ ）
uuur A 、 AD
uuru B、 CD
uuur C、 DB
uuur D、 DC
uuur
uuur
பைடு நூலகம்
uuur
4）已知正方形 ABCD 的边长为 1， AB a ， BC b ， AC c ， 则 a b c 等于 ( )
(A) （12，5） (B) （ -2 ，9） (C) （3，7） (D) （ -4 ，-1 ）7）点 A(0, m) (m
r
r
按向量 a 平移后的对应点的坐标是 (m,0) ，则向量 a 是（ ）
0) ，
A 、 ( m, m) B、 (m, m)
C、 ( m, m)
r
r
rr
8）已知 a (6,0) ， b ( 5,5) ，则 a 与 b 的夹角为
(C) a 2 b 2
(D) a b
uuur uuur uuur 3） AB BC AD （ ）
uuur A 、 AD
uuru B、 CD
uuur C、 DB
uuur D、 DC
uuur
uuur
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4）已知正方形 ABCD 的边长为 1， AB a ， BC b ， AC c ， 则 a b c 等于 ( )
r
r
按向量 a 平移后的对应点的坐标是 ( m,0) ，则向量 a 是（ ）
0) ，
A 、 ( m, m)
B、 ( m, m)
C、 ( m, m)
r
r
rr
8）已知 a (6,0) ， b ( 5,5) ，则 a 与 b 的夹角为
D、 (m, m)
A 、 45 0 B、 60 0 C、 135 0 D、 120 0 9）已知 M (3, 2) ， N ( 1,0) ，则线段 MN 的中点 P 的坐标是 ________。
D、 (m, m)
A 、 45 0 B、 60 0 C、 135 0 D、 120 0 9）已知 M (3, 2) ， N ( 1,0) ，则线段 MN 的中点 P 的坐标是 ________。
(A) 0
(B) 3
(C) 2
(D) 2 2
5）下列各组的两个向量，平行的是
r
r
A、 a ( 2,3) ， b (4,6)
．
r 11）已知 a
r 3， b
rr 4， a 与 b 的夹角为
3
r ， (3a
rr b) ( a
r 2b) =__________.
4
12）已知 a 3 ， b 4 ，且向量 a ， b 不共线，若向量 a k b 与向量 a k b 互相垂直，则
实数 k 的值为
．
12） 已知 a 3 ， b 4 ，且向量 a ， b 不共线，若向量 a k b 与向量 a k b 互相垂直，则
r
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C、 a (2,3) ， b (3,2)
r
r
B、 a (1, 2) ， b (7,14)
r
r
D、 a ( 3, 2) ， b (6, 4)
6）若平行四边形的 3 个顶点分别是（ 4，2），（5，7），（ 3，4），则第 4 个顶点的坐标不 可能是（ ）
(A) （ 12，5） (B) （-2 ，9） (C) （3，7） (D) （-4 ，-1 ）7）点 A(0, m) (m
平面向量基础练习
uuur uuur uuur 1）在四边形 ABCD 中，若 AC AB AD ，则四边形 ABCD 的形状一定是 ( )
(A) 平行四边形 (B) 菱形 (C) 矩形 (D) 正方形 2）如果 a ， b 是两个单位向量，则下列结论中正确的是 （ ）
(A) a b (B) a b = 1