哈工大测试大作业——信号的分析与系统特性——锯齿波
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1 题目：
写出下列信号中的一种信号的数学表达通式，求取其信号的幅频谱图（单边谱和双边谱）和相频谱图，若将此信号输入给特性为传递函数为)(s H 的系统，试讨论信号参数的取值，使得输出信号的失真小。
（选其中一个信号）
000
2=tan ,=45,=1w 2K T s T π
ααπ=
=假设锯齿波的斜取周期，则圆周率，A=1 2 幅频谱和相频谱
00()(+nT )( w t w t K t t ==⋅=0 将其分解为三角函数表示形式的傅里叶级数， 200 -00 2 11 1= (t)= = 2 T T T a w dt tdt T T ⎰ ⎰ () 2000 -00 2 22()cos()cos()0 T T T n a w t nw t dt t nw t dt T T = = ⋅=⎰⎰ () 2000 -00 2 22 ()sin()sin()1 =(123)T T T n b w t nw t dt t nw t dt T T n n π= = - =⎰ ⎰ 、、…… 式中00 2= =2w T π π 。 所以0001111 (t)=(sin(w t)+sin(2w t)+sin(3w t)+223 w π-…) 转换为复指数展开式的傅里叶级数： 0000000-20 2 1-0 --1 00-02222 0001= (t)e =e 11 =e e |11 = e (2) T jnw t T n jnw t jnw t jnw t jnw t c w dt T t dt t jnw jnw jnw n w n w w π-⎛⎫-+⋅ ⎪⎝⎭+-=⎰ ⎰ 其中 当n=0时，01 = =22 A c ，0=0ϕ ； =1,2,3,n ±±±当… 时， 111 222n n c A n π=== ， 1,2,32 =1,2,32 n n n π ϕπ⎧=⎪⎪⎨ ⎪-=---⎪⎩ 等 等 用Matlab 做出其双边频谱 图 1锯齿波双边幅频谱 A = 1 T0 = 1 图 2锯齿波双边相频谱 单边频谱： 图 3锯齿波单边频谱 3 频率成分分布 由信号的傅里叶级数形式及其频谱图可以看出，锯齿波是由一系列正弦波 A = 1 ; T0 =1 -20 -15 -10 -5 5 10 15 20 单边幅频 谱 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 单边相频谱 叠加而成，正弦波的频率由0w 到20w ，30w ……，其幅值由 A π 到2A π，3A π ，……依次减小，各频率成分的相位都为0。 3.1 H(s)伯德图 ` 3.1.2 二阶系统22 40()2n n n H s s s ωζωω= ++ M a g n i t u d e (d B ) 101010101010 P h a s e (d e g ) Bode Diagram Frequency (rad/s) 10 10 10 10 10 10 P h a s e (d e g ) Bode Diagram Frequency (rad/s) M a g n i t u d e (d B ) 101010101010P h a s e (d e g ) Bode Diagram Frequency (rad/s)M a g n i t u d e (d B ) 10 10 10 10 10 10 P h a s e (d e g ) Bode Diagram Frequency (rad/s) M a g n i t u d e (d B ) Bode Diagram Bode Diagram 4 讨论减小失真的措施 4.1 一阶系统对特定频率影响 频率成分由0001111 (t)=(sin(w t)+sin(2w t)+sin(3w t)+223 w π-…)构成，对于每 一个频率成分，一阶系统的响应为： -/(t)=A'[sin(wt+)-e sin ]t y τϕϕ 式中 2 1'= 1+() A τω ， =-arctan ()ϕτω ，2 sin =- 1+() τω ϕτω 由于T 0=1s ，所以0=2w π 。对于=0.005, 0.01, 0.015,0.02τ，w =0w ，20w ，3 0w …，A= A π ，2A π，3A π…的频率成分， 可以得到其相应的响应 表 1幅值变化 τ A W 0.005 0.1 0.5 0.7 0w 0.3182 0.2695 0.0965 0.0706 20w 0.1588 0.0991 0.0250 0.018 M a g n i t u d e (d B ) 10 10 10 10 10 10 P h a s e (d e g ) Bode Diagram Frequency (rad/s)ξ=0.7,ω_n=40 M a g n i t u d e (d B ) 10 10 10 10 10 10 P h a s e (d e g ) Bode Diagram Frequency (rad/s) ξ =0.7, ω_n=600