双十字相乘法专题-培优题
初中数学竞赛双十字相乘法因式分解练习100题及答案
初中数学竞赛双十字相乘法因式分解练习100题及答案(1)222541636089x y z xy yz xz+--+-(2)2274012742a ab b a b+-++(3)2227156381341x y z xy yz xz+---+ (4)2224985422242a b c ab bc ac+++--(5)22634455212x xy y x y+-+++ (6)24040593521m mn m n--++(7)22152********x xy y x y+-+--(8)22284233215x y z xy yz xz+--++(9)2263491413206x xy y x y--++-(10)222723531031615x y z xy yz xz+--+-(11)22203973189m mn n m n-+++-(12)22320123346m mn n m n++---(13)22546212x y x y-+-+(14)22152********x xy y x y-+-++ (15)2212104256525x xy y x y+--+-(16)222822472x xy y x y-+-+(17)2227334451818x xy y x y --++-(18)2224275351223x y z xy yz xz --+-+(19)21863733535x xy x y ++++(20)2230774931356x xy y x y ++---(21)22242312501224x xy y x y ---++(22)2230148551025m mn n m n --+-+(23)222122854424m mn n m n +---+(24)221431151421x xy y x y ++--(25)2240316624a ab b a b -+-+-(26)222212721x xy y x y--+-(27)22141122799x xy y x y -+-++(28)226520914x xy y x y -++-+(29)2214217454025p pq q p q -+-++(30)22943103326m mn n m n +-+--(31)222243524222248a b c ab bc 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十字相乘法练习题及答案
十字相乘法练习题及答案一、选择题1. 下列哪个表达式是正确使用十字相乘法的结果？A. (x+2)(x+3)=x^2+5x+6B. (x-1)(x+1)=x^2-1C. (x-1)(x-2)=x^2-3x+2D. (x+1)(x-1)=x^2-12. 以下哪个多项式不能使用十字相乘法分解？A. x^2-4x+3B. x^2+4x+4C. x^2-6x+8D. x^2+x+13. 多项式x^3-3x^2+4x-12使用十字相乘法分解，正确的分解结果是什么？A. (x-3)(x^2+1)(x-4)B. (x-1)(x^2-2x+12)C. (x-3)(x-4)(x+1)D. (x-3)(x-4)(x+4)二、填空题1. 利用十字相乘法分解x^2+7x+10，正确的分解结果应为______。
2. 多项式x^2-10x+25使用十字相乘法分解后，得到的两个一次项的乘积为______。
3. 如果多项式x^3-6x^2+11x-6可以分解为(x-1)(x-a)(x-b)，那么a 和b的值分别是______。
三、解答题1. 给定多项式x^3-9x^2+23x-15，使用十字相乘法分解，并说明分解过程。
2. 证明：使用十字相乘法分解的多项式x^2+(p+q)x+pq，其分解结果为(x+p)(x+q)。
3. 已知多项式x^3-6x^2+11x-6可以分解为三个一次项的乘积，求出这三个一次项，并验证分解的正确性。
四、应用题1. 某工厂生产的产品数量与时间的关系可以用多项式P(t)=t^3-15t^2+54t-36来表示。
如果需要将这个多项式分解为三个一次项的乘积，以便更好地理解生产数量的变化，请写出分解后的表达式。
2. 一个数学竞赛题目要求证明：对于任意正整数n，多项式x^n+x+1不能被分解为实数系数的一次项的乘积。
请尝试使用十字相乘法来说明这一点。
答案：一、选择题1. D2. D3. C二、填空题1. (x+2)(x+5)2. 253. 2, 3三、解答题1. x^3-9x^2+23x-15=(x-3)(x^2-6x+5)=(x-3)(x-1)(x-5)2. 证明略3. x-3, x-2, x+2四、应用题1. P(t)=(t-3)(t-1)(t-4)2. 证明略。
双十字相乘法专题-培优题
例如，分解因式 ．我们将它按x降幂排列，并把y当作常数，于是因式可变形为 可以看作是关于x的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为 。再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解
上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，就是如下图：1 2 -3
精题名解
例1：分解二次五项式
要诀：把缺少的一项当作系数为0，0乘任何数得0，
例：
练习：(1)x2-y2＋2yz-z2
(2)x2-y2+5x+3y+4
例2：分解四次五项式
提示：设x2=y，用拆项法把cx2拆成mx2与ny之和。
1、4x4+13x3+20x2+11x+2
练习：（1）x4+7x3+14x2+7x+1(2)(x+3)(x2-1)(x+5)-20．
（1）m2x2-m2-x＋1 （2）a2-1-2ab＋b2
（3）ab(x2-y2)＋xy(a2-b2) （4）xy2-2xy-3x-y2-2y-1
（5）x2+3xy+2y2+4x+5y+3 （6）2x2-7xy-22y2-5x+35y-3
（7）(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1(8)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1
双十字相乘法
教学目标：
1、理解什么是双十字相乘法
2、会用双十字相乘法分解形如 的二次六项式。
教学内容：
知识精要
概念：
分解形如 的二次六项式 在草稿纸上，将 分解成 乘积作为一列， 分解成 乘积作为第二列， 分解成 乘积作为第三列， 如果 ，即第1,2列和第2,3列都满足十字相乘规则。则原式= 。在这个过程中实际用了两次十字相乘法，如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到如下图m p j
初一数学双十字相乘法习题
1．双十字相乘法分解二次三项式时，咱们经常使用十字相乘法．关于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，咱们也能够用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．咱们将上式按x降幂排列，并把y看成常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，能够看做是关于x的二次三项式．关于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也能够用十字相乘法，分解为即-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解因此原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解的进程，实施了两次十字相乘法．若是把这两个步骤中的十字相乘图归并在一路，可取得下图：它表示的是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这确实是所谓的双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，取得一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列组成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列组成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解(1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成0来分解．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．说明(4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．2．求根法咱们把形如a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．依照因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．关于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一样方式的，但是当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，常经常使用下面的定理来判定它是不是有有理根．定理2的根，则必有p是a0的约数，q是a n的约数．专门地，当a0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a n的约数．咱们依照上述定理，用求多项式的根来确信多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2 分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一个整系数一元多项式，原式如有整数根，必是-4的约数，逐个查验-4的约数：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式的一个根，因此依照定理1，原式必有因式x-2．解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，因此原式=(x-2)(x2-2x+2)．说明在上述解法中，专门要注意的是多项式的有理根必然是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不必然是多项式的根．因此，必需对-4的约数逐个代入多项式进行验证．例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．分析因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±为：因此，原式有因式9x2-3x-2．解9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式能够化为9x2-3x-2，如此能够简化分解进程．总之，对一元高次多项式f(x)，若是能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就能够够分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，如此，咱们就能够够继续对g(x)进行分解了．3．待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方式，应用很普遍，那个地址介绍它在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式通过度析，能够判定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确信，这时能够用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，依照多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方式叫作待定系数法．例4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式能够分解因式，那么它的两个一次项必然是x+2y+m和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m 和n，使问题取得解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边对应项的系数，则有解之得m=3，n=1．因此原式=(x+2y+3)(x+y+1)．说明本题也可用双十字相乘法，请同窗们自己解一下．例5 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给的是一元整系数多项式，依照前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经查验，它们都不是原式的根，因此，在有理数集内，原式没有一次因式．若是原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，因此有由bd=7，先考虑b=1，d=7有因此原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．说明由于因式分解的唯一性，因此对b=-1，d=-7等能够不加以考虑．本题若是b=1，d=7代入方程组后，无法确信a，c的值，就必需将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因此无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使咱们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有效武之地．练习二1．用双十字相乘法分解因式：(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3；(2)x2-xy+2x+y-3；(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．2．用求根法分解因式：(1)x3+x2-10x-6；(2)x4+3x3-3x2-12x-4；(3)4x4+4x3-9x2-x+2．3．用待定系数法分解因式：(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20；(2)x4+5x3+15x-9。
解一元二次方程(十字相乘法)专项训练
解一元二次方程（十字相乘法）专项训练一、一元二次方程的解法归类：1.直接开平方法：适合)0()(2≥=+k k h x 的形式。
如：07)5(2=--x 解：57,57,75,7)5(212+-=+=±=-=-x x x x2.配方法：→万能方法（比较适合二次项系数等于1，而且一次项系数是偶数的方程）关键步骤：方程两边都加上一次项系数一半的平方。
如：1562=+x x 解：362,362,623,24)3(,915962122--=-=±=+=++=++x x x x x x注：代数式的配方，应先提取二次项系数，将二次项系数变成1，再进行配方。
因为代数式没有两边，无法进行两边都加上一次项系数一半的平方，所以必须加多少再减多少，而且配方与常数项无关，所以常数项必须放到括号以外。
如：455)23(37427)23(37)49493(37)3(379322222+--=++--=+-+--=+--=++-x x x x x x x x 3.公式法：→万能方法（系数比较大的方程不太适合） 如：0122=-+x x 解：∵,1,1,2-===c b a ∴,9)1(24142=-⨯⨯-=-ac b ∴431±-=x 4.因式分解法：①提公因式法：如1)2)(1(+=-+x x x解：3,1,0)3)(1(,0)12)(1(,0)1()2)(1(21=-==-+=--+=+--+x x x x x x x x x ②运用平方差公式：))((22b a b a b a -+=-如0)12(22=--x x 解：1,31,0)1)(13(,0)12)(12(21===--=--+-x x x x x x x x ③运用完全平方公式：222)(2b a b ab a +=++， 222)(2b a b ab a -=+-如：016)1(8)1(2=++-+x x 解：3,0)3(,0)41(2122===-=-+x x x x④十字相乘法：如：0652=++x x 解：3,2,0)3)(2(21-=-==++x x x xx 2x 3x x x 523=+ 0)3)(2(=++x x又如：035682=-+x x 解：47,25,0)74)(52(21=-==-+x x x x x 2 5x 4 7-x x x 62014=+-0)74)(52(=-+x x二、十字相乘法专题练习：（1）01072=++x x （2）0672=++x x（3）0862=+-x x （4）01582=+-x x（5）01662=-+x x（6）0122=--x x（7）03722=++x x（8）071362=+-x x（9）0101962=++x x（10）0351162=--x x三、用恰当的方法解方程：（1）02732=-x（2）142=-x x （3）42)2(3-=-x x x（4）01522=+-x x （5）01492=+-x x （6）07252=--x x。
(完整版)因式分解之十字相乘法专项练习题
十字相乘法进行因式分解1．二次三项式多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式．2．十字相乘法的依据和具体内容利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规律是：（1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．（2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2(a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =⋅21，c c c =⋅21，且b c a c a =+1221， 3．因式分解一般要遵循的步骤多项式因式分解的一般步骤：先考虑能否提公因式，再考虑能否运用公式或十字相乘法，最后考虑分组分解法．对于一个还能继续分解的多项式因式仍然用这一步骤反复进行．以上步骤可用口诀概括如下：“首先提取公因式，然后考虑用公式、十字相乘试一试，分组分解要合适，四种方法反复试，结果应是乘积式”．【典型热点考题】例1 把下列各式分解因式：（1）1522--x x ；（2）2265y xy x +-． 解：例2 把下列各式分解因式： （1）3522--x x ；（2）3832-+x x ． 解：点拨：二次项系数不等于1的二次三项式应用十字相乘法分解时，二次项系数的分解和常数项的分解随机性较大，往往要试验多次，这是用十字相乘法分解的难点，要适当增加练习，积累经验，才能提高速度和准确性．例3 把下列各式分解因式：（1）91024+-x x ； （2）)(2)(5)(723y x y x y x +-+-+；（3）120)8(22)8(222++++a a a a ．十字相乘法专项练习题(1) a2－7a+6；(2)8x2+6x－35；(3)18x2－21x+5；(4) 20－9y－20y2；(5)2x2+3x+1；(6)2y2+y－6；(7)6x2－13x+6；(8)3a2－7a－6；(9)6x2－11x+3；(10)4m2+8m+3；(11)10x2－21x+2；(12)8m2－22m+15；(13)4n2+4n－15；(14)6a2+a－35；(15)5x2－8x－13；(16)4x2+15x+9；(17)15x2+x－2；(18)6y2+19y+10；(19) 2(a+b)2 +(a+b)(a －b)－6(a －b)2； (20)7(x －1)2 +4(x －1)－20；把下列各式分解因式：（1）6724+-x x ； （2）36524--x x ；（3）422416654y y x x +-； （4）633687b b a a --；（5）234456a a a --； （6）422469374b a b a a +-．15．把下列各式分解因式：（1）2224)3(x x --； （2）9)2(22--x x ； ( 3）2222)332()123(++-++x x x x ；（4）60)(17)(222++-+x x x x ； （5）8)2(7)2(222-+-+x x x x ；（6）48)2(14)2(2++-+b a b a ．(1)22157x x ++ (2) 2384a a -+ (3) 2576x x +- (4) 261110y y --(5)2252310a b ab +- (6)222231710a b abxy x y -+ (7) 22712x xy y -+(8)42718x x +- (9)22483m mn n ++ (10) 53251520x x y xy --六、解下列方程（1）220x x --= (2)2560x x +-= (3)23440a a +-= (4)227150b b +-=。
初中数学思维训练双十字相乘法因式分解练习100道及答案
初中数学思维训练双十字相乘法因式分解练习100道及答案(1)2227422454215x xy y x y--+++ (2)22183********m mn n m n+-+++ (3)22546920663412x xy y x y-+-++ (4)222541523724a b c ab bc ac-++--(5)22218153x y x y-++-(6)22352510216a ab b a b----(7)222245323817x y z xy yz xz++--+ (8)2227126252213a b c ab bc ac+++++(9)22016512828a ab a b--++(10)22124335498449a ab b a b+++++ (11)222948416a b c ab bc ac-----(12)2225725124030a b c ab bc ac++-+-(13)2225154502521x xy y x y---++ (14)2235192163x xy y x y++---(15)22252524201026a b c ab bc ac-++++ (16)222725830a b c ab bc+-++(17)2221631521246x y z xy yz xz -++-+(18)2236313621212x xy y x y ++--+(19)22446125a ab b a b -+-++(20)2151031218x xy x y --+-(21)222958141834x y z xy yz xz +--+-(22)226336112749x xy y x y --+-+(23)22104692p pq q p q +---+(24)22232215164x y z xy yz xz +-+++(25)2221385542624x xy y x y ++--+(26)22242143371315x y z xy yz xz--++-(27)22632039u uv v u v+-+-(28)222291892712x y z xy yz xz+++--(29)226381664024a ab b a b +----(30)224017551367x xy y x y --+--(31)22236109429x y z xy yz+--+(32)22225308553230x y z xy yz xz++-+-(33)224303857a ab a b ----(34)22298126421x y z xy yz xz-++++(35)2222820188945x y z xy yz xz -++--(36)2242914941425x xy y x y -+-++(37)2221815831430x y z xy yz xz -+---(38)22248106461936x y z xy yz xz +++--(39)2228424411712x y z xy yz xz -++--(40)22241043099x xy y x y --+-+(41)2252215191112x xy y x y +-+++(42)22251012232228x y z xy yz xz -----(43)2223630669819x y z xy yz xz +-+--(44)2227330101337x y z xy yz xz+-+--(45)2227361251346x xy y x y ++---(46)22428673a ab a b ----(47)221210122093m mn n m n +--++(48)23015672135m mn m n ++++(49)2271031174x xy y x y -++-+(50)22218249227x y z xy yz xz-+-++(51)22215125111128x y z xy yz xz-++-+(52)22227153424x y z xy yz+-++(53)22218249218x y z xy yz xz -++--(54)2227783539274x xy y x y -++-+(55)22220491863219a b c ab bc ac +-+++(56)22221128331022a b c ab bc ac +-+++(57)22224305563526a b c ab bc ac +++--(58)2251510211720x xy y x y -+-+-(59)2215123617304x xy y x y +-+--(60)222428816a ab b a b --++-(61)22724201111142x xy y x y +-+++(62)2271243685x xy y x y --+++(63)223554747136m mn n m n -++-+(64)227766x y x y-++(65)22283615544843x y z xy yz xz+++++(66)22205535446224x xy y x y +++++(67)2263222162615a ab b a b ---++(68)22245212191047a bc ab bc ac+++++(69)2228156142a b c ab bc ac+-+--(70)22322420125535x xy y x y +--+-(71)22542435835x y x y ----(72)2221276311718x y z xy yz xz ++--+(73)2212544240357x xy y x y -+-+-(74)22220209402727x y z xy yz xz ++-+-(75)2265741m mn n m n ----+(76)22274191335x xy y x y --+-+(77)2214410273320x xy y x y +--+-(78)226464151643x xy y x y ++---(79)224297243320a ab b a b ++--+(80)2224493021726a b c ab bc ac-++--(81)228190253620x xy y x y-+-+(82)26423147a ab a b +--+(83)2535242816m mn m n ++++(84)223661212133x xy y x y +--+-(85)222949159a ab b a b +++++(86)2210141211176x xy y x y +--+-(87)22241061710x xy y x y ---+-(88)222437517143x xy y x y ---++(89)22535254914x xy x y +++-(90)22491434921x xy y x y ---+(91)2221375328m mn n m n 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v++-(28)(33)(236)x y z x y z+-+-(29)(744)(946)a b a b++--(30)(57)(851)x y x y++--(31)(623)(653)x y z x y z---+ (32)(552)(564)x y z x y z----(33)(61)(457)a a b+--(34)(323)(344)x y z x y z-+++ (35)(756)(443)x y z x y z--+-(36)(771)(675)x y x y----(37)(334)(652)x y z x y z--+-(38)(623)(852)x y z x y z+-+-(39)(874)(6)x y z x y z--+-(40)(43)(643)x y x y++-+(41)(534)(53)x y x y-+++ (42)(522)(56)x y z x y z++--(43)(453)(962)x y z x y z+-++ (44)(6)(735)x y z x y z+-++ (45)(326)(961)x y x y+-++(46)(673)(41)a b a--+ (47)(233)(641)m n m n+---(48)(57)(635)m m n+++ (49)(734)(1)x y x y-+-+ (50)(324)(6)x y z x y z-+++ (51)(53)(345)x y z x y z-+++ (52)(33)(953)x y z x y z+-++ (53)(322)(62)x y z x y z+---(54)(374)(951)x y x y-+-+(55)(473)(576)a b c a b c+-++(56)(334)(742)a b c a b c+++-(57)(46)(655)a b c a b c+-+-(58)(25)(554)x y x y---+ (59)(561)(364)x y x y--++(60)(64)(44)a b a b+--+ (61)(847)(956)x y x y-+++(62)(25)(721)x y x y-+++ (63)(71)(576)m n m n-+-+ (64)()(776)x y x y+-+ (65)(65)(863)x y z x y z++++ (66)(474)(556)x y x y++++(67)(975)(733)a b a b--+-(68)(53)(924)a b c a b c++++(69)(25)(43)a b c a b c+-++ (70)(455)(847)x y x y+--+ (71)(967)(645)x y x y++--(72)(373)(42)x y z x y z-+-+ (73)(661)(277)x y x y-+--(74)(443)(553)x y z x y z----(75)(651)(1)m n m n+---(76)(25)(47)x y x y++-+ (77)(754)(225)x y x y-++-(78)(853)(831)x y x y+-++(79)(44)(75)a b a b+-+-(80)(75)(476)a b c a b c+---(81)(95)(954)x y x y---(82)(321)(27)a b a+--(83)(74)(54)m n m+++ (84)(643)(631)x y x y+--+(85)(23)(43)a b a b++++ (86)(532)(243)x y x y-++-(87)(32)(865)x y x y+--+ (88)(83)(351)x y x y+---(89)(572)(57)x y x+-+ (90)(73)(77)x y x y-+-(91)(27)(74)m n m n++--(92)(273)(443)m n m n++-+ (93)(476)(53)x y z x y z-++-(94)(73)(32)a b c a b c-+--(95)(372)(526)x y x y++++ (96)(656)(447)m n m n++-+ (97)(921)(35)x y x y+--(98)(833)(64)x y x y+-++ (99)(274)(631)m n m n---+ (100)(722)(853)x y x y-+++。
十字相乘法例题及答案
十字相乘法例题及答案1，什么是十字相乘法：十字相乘法是因式分解中十四种方法之一，另外十三种分别都是：1.提公因式法、2.公式法、3.双十字相乘法、4.轮换对称法、5.拆添项法、6.配方法7.因式定理法、8.换元法、9.综合除法、10.主元法、11.特殊值法、12.待定系数法、13.二次多项式。
2，十字分解法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
其实就是运用乘法公式运算来进行因式分解。
,3，因式分解解释把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解（也叫作分解因式）。
它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。
因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。
4，用十字相乘法分解因式：(1)2x2－5x－12；(2)3x2－5x－2；(3)6x2－13x+5；(4)7x2－19x－6；(5)12x2－13x+3；(6)4x2+24x+27.5，把下列各式分解因式：(1)6x2－13xy+6y2；(2)8x2y2+6xy－35；(3)18x2－21xy+5y2；(4)2(a+b)2+(a+b)(a－b)－6(a－b)2. 答案：1.(1)(x－4)(2x+3)；(2)(x－2)(3x+1)；(3)(2x－1)(3x－5)；(4)(x－3)(7x+2)；(5)(3x－1)(4x－3)；(6)(2x+3)(2x+9).2.(1)(2x－3y)(3x－2y)；(2)(2xy+5)(4xy－7)；(3)(3x－y)(6x－5y)；(4)(3a－b)(5b－a).。
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双十字相乘法
教学目标：
1、理解什么是双十字相乘法
2、会用双十字相乘法分解形如f ey dx cy bxy ax +++++22的二次六项式。
教学内容：
知识精要
概念：
分解形如f ey dx cy bxy ax +++++2
2
的二次六项式 在草稿纸上，将a 分解成mn 乘积作为一列，c 分解成pq 乘积作为第二列，f 分解成jk 乘积作为第三列， 如果
d nj mk
e qj pk b np mq =+=+=+,,，即第1,2列和第2,3列都满足十字相乘规则。
则原
式=))((k qy nx j py mx ++++。
在这个过程中实际用了两次十字相乘法，如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到如下图m p j
n q k
例如，分解因式335522722
2
-+---y x y xy x ．我们将它按x 降幂排列，并把y 当作常数，于是因式可变形为)33522()75(22
2
+--+-y y x y x 可以看作是关于x 的二次三项式．对于常数项而言，它是关于y 的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为
)111)(32(335222+--=-+-y y y y 。
再利用十字相乘法对关于x 的二次三项式分解
)
1112)(32()]111(2)][32([+--+=+-+-+=y x y x y x y x 原式
上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，就是如下图：1 2 -3 2 -11 1
很快可得到原式)1112)(32(+--+=y x y x 。
这就是所谓的双十字相乘法。
用双十字相乘法对多项式f ey dx cy bxy ax +++++2
2
进行因式分解的步骤是：
(1)用十字相乘法分解22cy bxy ax ++，得到一个十字相乘图(有两列)； (2)把常数项f 分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey ，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx ．
热身练习
因式分解下列各式
1、x 2-y 2＋2yz-z 2
2、(1-xy)2-(y-x)2
3、x 3＋3x 2-4
4、4x 2＋8x ＋3
5、9x 2-30x ＋25
6、39x 2-38x ＋8
7、4x 2-6ax ＋18a 2 8、20a 3bc-9a 2b 2c-20ab 3c
9、x 2＋ax-12＝(x ＋b)(x-2）求a,b 的值
精题名解
例1：分解二次五项式
要诀：把缺少的一项当作系数为0，0乘任何数得0， 例：22
--++b a b ab
练习：(1)x 2
-y 2
＋2yz-z
2
(2)x 2-y 2+5x+3y+4
例2：分解四次五项式
提示：设x 2=y ，用拆项法把cx 2拆成mx 2与ny 之和。
1、4x 4+13x 3+20x 2+11x+2
练习：（1）x 4+7x 3+14x 2+7x+1 (2)(x+3)(x 2-1)(x+5)-20．
2、 462222+---xy y x y x
例3：分解二次六项式
22227376z yz xz y xy x -+---
练习：（1）x 2-8xy+15y 2+2x -4y -3 （2）3x 2-11xy+6y 2-xz -4yz -2z 2
例4：若2x 3＋11x 2＋18x ＋9＝(x ＋1)(ax ＋3)(x ＋b)，求a-b 的值。
例5：若a 2＋b 2＋c 2＋4a-8b-14c ＋69＝0，求a ＋2b-3c 的值
例6：22)2(20)2)(1(4)1(7+-+-+-y y x x
练习：22)(6))(()(2b a b a b a b a ---+++
巩固练习：
1、若x ＋2是x 2＋kx-8的因式，求k
2、用双十字相乘法分解下列因式：
（1）x 2-xy+2x+y -3； (2) 12--+y xy x
(3)2)13()4116(--+++b b b a a ; (4)xy+y 2+x -y -2；
(5)x 2-y 2+5x+3y+4； (6)x 2-3xy -10y 2+x+9y -2；
(7)425322-++-+y x y xy x ; (8)222325322xz xyz y x xy x ----;
(9) 22220232656z yz xz y xy x -----;
(10)21120132234++++x x x x
3、用合适的方法分解下列因式
（1）m2x2-m2-x＋1 （2）a2-1-2ab＋b2
（3）ab(x2-y2)＋xy(a2-b2) （4）xy2-2xy-3x-y2-2y-1 （5）x2+3xy+2y2+4x+5y+3 （6）2x2-7xy-22y2-5x+35y-3 （7）(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1 (8)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1
(9)m
22-
-
2
+
+
mb
mb
ma
mab4
2
2。