宁夏银川一中2020届高三第四次月考 数学(文)附答案

银川一中2020届高三年级第四次月考文 科 数 学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i z i -=+⋅)1(，那么复数z 对应的点位于复平面内的 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合{}2|1M x Z x =∈≤，{}R |12N x x =∈-<<，则M N =I A ．{1,0,1}-B ．{0,1}C ．{1,0}-D ．{1}3．已知数列{}n a 为等差数列，且π=++1371a a a ,则=+)sin(86a a A ．21 B ．21-C ．23 D ．23-4．设向量(2,1),(,1)x x =+=a b , 则"1"x =是“//a b ”的 A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．直线3430x y -+=与圆221x y +=相交所截的弦长为 A ．45B ．85C ．2D ．36．如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与侧视图都是边长为2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则此几何 体的表面积是 A ． 443+B ．12 C ．3 D ．8俯视图 主视图侧视图7．已知函数x x f x 3log )51()(-=，实数x 0是方程0)(=x f 的解，若01x x 0<<， 则)(1x f 的值 A ．恒为负数 B ．等于零C ．恒为正数D ．可正可负8．将函数x y 2cos =的图象向左平移4π个单位长度，所得函数的解析式是 A ．)42cos(π+=x yB ．)42cos(π-=x yC ． x y 2sin -=D ．x y 2sin =9．已知点F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A 、B 两点，若△ABF 2为正三角形，则椭圆的离心率是 A ．2B ． 2C ．3D ．3310．已知双曲线),2(*1221N n n a a x a y a n n n n ∈≥=---的焦点在y 轴上，一条渐近线方程是x y 2=，其中数列}{n a 是以4为首项的正项数列，则数列}{n a 通项公式是A ．nn a -=32 B ．nn a 22=C ．132-=n n aD ．12+=n n a11．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知BC=AB=1,0190=∠BCC ，AB 丄侧面BB 1C 1C ，且直线C 1B 与底面ABC 所成角的正弦值为552,则此三棱柱的外接球的表面积为 A ．π3B ．π4C ．π5D ．π612．已知函数32()f x x x ax b =-++，12,(0,1)x x ∀∈且 12x x ≠，都有1212|()()|||f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围是 A ．2(1,]3-- B ．2(,0]3-C ．2[,0]3-D ．[1,0]-二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．） 13．设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为________.14．某银行开发出一套网银验证程序，验证规则如下：（1）有两组数字，这两组数字存在一种对应关系；第一组数字,,a b c 对应于第二组数字2,2,3a b c b a c +++；（2）进行验证时程序在电脑屏幕上依次显示产生第二组数字，用户要计算出第一组数字后依次输入电脑，只有准确输入方能进入，其流程图如图，试问用户应输入a,b,c 的值是__________.15．已知圆4)2()(:221=++-y a x C 与圆1)2()(:222=+++y b x C相外切，则ab 的最大值为_________.16．在双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，的右支上存在点A ，使得点A 与双曲线的左、右焦点1F ，2F 形成的三角形的内切圆P 的半径为a ，若12AF F △的重心G 满足12PG F F ∥，则双曲线C 的离心率为__________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本题满分12分）在ABC △中a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，已知sin 12sin sin 2cos B A C C=-．（1）求角B 的大小；（2）若1a =，7b ，求ABC △的面积．18.（本题满分12分）已知{}n a 是等比数列，12a =，且1a ，31a +，4a 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2log n n b a =，求数列{}n n b a 前n 项的和n S ．19.（本题满分12分）如图，四边形ABCD 是正方形，MA ⊥平面ABCD ，MA //PB ，PB =AB =2MA =2。

（1）判断P 、C 、D 、M 四点是否在同一平面内。

并说明理由； （2）求证：面PBD ⊥面PAC ； （3）求多面体PABCDM 的体积.20.（本题满分12分）设函数()2ln f x x ax x =+-.(1)若1a =,试求函数()f x 的单调区间;(2)过坐标原点O 作曲线)(x f y =的切线,证明:切点的横坐标为1.21.（本题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆经过点)6,1P-，且△PF 1F 2的面积为2．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设斜率为1的直线l 与以原点为圆心，半径为2的圆交于A ，B 两点，与椭圆C 交于C ，D 两点，且||||AB CD λ=（R ∈λ），当λ取得最小值时，求直线l 的方程.(二)选考题：共10分。

请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，已知圆C ：2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，点P 在直线l ：40x y +-=上，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系． （1）求圆C 和直线l 的极坐标方程；（2）射线OP 交圆C 于R ，点Q 在射线OP 上，且满足2OP OR OQ =⋅，求Q 点轨迹的极坐标方程．23．[选修4－5：不等式选讲]已知函数|2|f x x k x k R =-++∈（）（），|2|g x x m m Z =+∈（）（）. （1）若关于x 的不等式1g x ≤（）的整数解有且仅有一个值4-，当2k =时，求不等式f x m ≤（）的解集； （2）若223h x x x =-+（），若120x R x ∀∈∃∈+，（，）∞，使得12f x h x ≥（）（）成立，求实数k 的取值范围.银川一中2020届高三年级第四次月考（文科）参考答案一、选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BBCABBCCDDDB二、填空题： 13. 2； 14. 3,4,5； 15. 49： 16. 2 三．解答题： 17.解：（1）由sin 12sin sin 2cos B A C C=-得()2sin cos 2sin sin 2sin cos 2cos sin sin B C B C C B C B C C =+-=+-， ——2分 2cos sin sin B C C ∴=，又在ABC △中，sin 0C ≠，——4分 1cos 2B ∴=，0πB <<Q ，π3B ∴=．——6分 （2）在ABC △中，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即271c c =+-，——2分 260c c ∴--=，解得3c =，——4分∴ABC △的面积133sin 2S ac B ==——6分18.解：（1）设数列{}n a 公比为q ，则2231·2a a q q ==，3341·2a a q q ==，因为1a ，31a +，4a 成等差数列，所以()14321a a a +=+，即()3222221q q +=+，——3分整理得()220qq -=，因为0q ≠，所以2q =，——4分 所以()1*222n n n a n -=⨯=∈N ．——6分（2）因为22log log 2n n n b a n ===，nn n n b a 2=∴——2分n n n S 2232221321⋅++⋅+⋅+⋅=K132222)1(22212+⋅+⋅⋅-++⋅+⋅=n n n n n S Λ——4分两式相减得：132122222+⋅-++++=-n n n n S Λ=12)1(2+-+-n n12)1(2+-+=∴n n n S ——6分19. 反证法：假设P 、C 、D 、M 四点在同一平面内， //.DC AB DC ∴Q //面ABPM Q 面DCPM∩面ABPM=PM ，//,//DC PM DC AB ∴又//AB MP ∴，这显然不成立。

∴假设不成立，即P 、C 、D 、M 四点不在同一平面内 —— 4分（2）//,MA PB MA ⊥Q 平面ABCD ， PB ∴⊥平面ABCD ，PB AC ∴⊥又由,AC BD AC ⊥∴⊥面PBD ，AC ∴⊂面PAC ，∴面PBD ⊥面PAC —— 8分（3）11112102222232323P BCD D ABPM V V V --+=+=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=——12分 20.解: (1)1a =时, 2()(0)f x x x lnx x =+->1'()21f x x x ∴=+-(21)(1)x x x-+= ——2分 ()()110,,'0,,,'022x f x x f x ⎛⎫⎛⎫∈<∈+∞> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 的减区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,增区间1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭——4分(2)设切点为()(),M t f t ,()1'2f x x a x=+-切线的斜率12k t a t=+-,又切线过原点()f t k t=()22212ln 211ln 0f t t a t at t t at t t t t=+-+-=+-∴-+=，即： ------ 6分 1t =满足方程21ln 0t t -+=,由21,ln y x y x =-=图像可知21ln 0x x -+=有唯一解1x =,切点的横坐标为1; ____10分 或者设()21ln t t t ϕ=-+,()1'20t t tϕ=+>()()0+t ϕ∞在，递增,且()1=0ϕ,方程21ln 0t t -+=有唯一解 ————12分21.解：（1）由12PF F △的面积可得12122c ⋅⋅=，即2c =，∴224a b -=．① 又椭圆C 过点)6,1P-，∴22611a b +=．② 由①②解得22a =2b =，故椭圆C 的标准方程为22184x y+=．————4分（2）设直线l 的方程为y x m =+，则原点到直线l 的距离2m d =由弦长公式可得2222822m AB m =-=-————6分将y x m =+代入椭圆方程22184x y +=，得2234280x mx m ++-=， 由判别式()221612280m m ∆=-->，解得2323m -<<．由直线和圆相交的条件可得d r <22m <22m -<<，综上可得的取值范围是()2,2-．————8分 设()11,C x y ，()22,D x y ，则1243m x x +=-，212283m x x -=， 由弦长公式，得()2222121216832424212933m m CD x x x x m -=+-=⋅-=-．由CD AB λ=，得222412228313482m CD AB m m λ-===+--——10分∵22m -<<，∴2044m <-≤，则当0m =时，λ26， 此时直线l 的方程为y x =．————12分22．解：（1）圆C 的极坐标方程2ρ=， ………3分 直线l 的极坐标方程ρ＝4sin θ＋cos θ. ………5分 (2)设,,P Q R 的极坐标分别为12(,),(,),(,)ρθρθρθ， 因为124,2sin cos ρρθθ==+ ………6分又因为2OP OR OQ =⋅，即212ρρρ=⋅ ………9分2122161(sin cos )2ρρρθθ∴==⨯+，81sin 2ρθ∴=+ …………10分 23. 解：（1）由题意，不等式1g x ≤（），即21x m +≤，所以2121+-≤≤--m x m ， 又由1154322m m ---+<≤-≤<--，解得79m <<， 因为Z m ∈，所以8m =， ………2分 当2k =时，⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤--<-=++-=)2(2)22(4)2(2|2||2|)(x x x x x x x x f ，不等式8f x ≤（）等价于228x x <-⎧⎨-≤⎩，或2248x -≤≤⎧⎨≤⎩，或228x x >⎧⎨≤⎩，即42x -≤<-，或22≤-x ，或24x <≤，综上可得44x -≤≤，故不等式8f x ≤（）的解集为[-4，4] . ………5分 （2）因为|2|2|2|f x x k x x k x k =-++≥--+=+（）（）（）， 由222312h x x x x =-+=-+（）（），0x ∈+∞（，），可得12min h x h ==（）（）， ………7分 又由120x R x ∀∈∃∈+，（，）∞，使得12f x h x ≥（）（）成立，则22k +≥， ………9分解得4k ≤-或0k ≥，故实数k 的取值范围为(,4][0,)-∞-+∞U . ………10分。