2020-2021学年山东省济宁市兖州区高一上学期期中考试数学试题 PDF版
2020—2021学年第一学期期中检测
高一数学试题参考答案
一、单项选择题 题号
1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D C D A B B
二、多项选择题 题号 9 10 11 12 答案 ABD ABC BD CD
三、填空题
13．(-1,1]
14．1
2 15．199 16. 四．解答题
17.解:（1）原式=()213()2122230323341=()127322+41()222829−−×−×
−−−−+ = −； ……………5分
（2）原式
………10分 18.解:
根据题意可得030
x a a x −≥ +−> ，解不等式可得3a x a ≤<+， 所以{}3A x a x a =≤<+， ……………3分 {}1|232254x B x x x =≤≤=−≤≤ ， ……………6分 当5a =−时，{}{}352A x a x a x x =≤<+=−≤<−，此时A B φ∩=
， 即命题p 为假，故不取；
当3a =−时，{}{}330A x a x a x x =≤<+=−≤<，此时{}20A B
x x ∩=−≤<≠∅， 即命题p 为真，
{2U C B x x =<−或}5x >，所以(){}32U
A C
B x x ∩=−≤<−. 当2a =时，{}
{}325A
x a x a x x =≤<+=≤<，此时{}25A B x x ∩=≤<≠∅， 即命题p 为真， {2U C B x x =<−或}5x >，所以()U
A C
B ∩=∅， ………………………………………11分
综上所述，可选3a =−，(){}32U A C B x x ∩=−≤<−
可选2a =时，()U A C B ∩=
∅. ………………………………………12分 19.解：（1）∵()f x 是区间(1,1)−上的奇函数，
∴(0)0f b ==,又12212514
a b f + == +， ∴1a =∴2
()1x f x x =+. ……………………………………………………6分 （2）∵(1)()0f t f t −+<，且()f x 为奇函数，∴()(1)(1)f t f t f t <−−=−
又函数()f x 在区间(1,1)−上是增函数∴111111t t t t <− −<< −<−< ，解得102t << 故关于t 的不等式的解集为102t t <<
． ……………………………………………………12分 20.解：（1）设汽车行驶的速度为x 千米/
小时 运输的总费用=运费+装卸费+损耗费 ∴12060100021260×++≤x x
,化简得213036000−+≤x x 解得:4090x ≤≤ ∴运输的总费用不超过1260元,汽车行驶速度的范围为:[40,90]. ………………………6分 （2）设汽车行驶的速度为x 千米/小时,
运输的总费用=运费+装卸费+损耗费
∴运输的总费用
:
120720060100022100010001240×++=++≥+=x x x x 当且仅当72002=x x
即60x =时取得等号 ∴若要使运输的总费用最小,汽车应以每小时60千米的速度行驶.…………………………12分 21.解： (Ⅰ)因为()()
2332log 82log 4f =−=， 又函数y ＝log 3x 是 (0，+∞)上的增函数，所以f (2)＝log 34＞log 33＝1．……………………4分 (Ⅱ)因为“曲线C 1在直线y ＝1的下方”等价于“f (x )＜1”，所以()3log 82
1x −<．
因为 函数y ＝log 3x 是 (0，+∞)上的增函数，所以 0＜8﹣2x ＜3，
即 5＜2x ＜8，所以x 的取值范围是 (log 25，3)． …………………………8分 (Ⅲ)因为f (x )有意义当且仅当8﹣2x ＞0，解得x ＜3．所以f (x )的定义域为D 1＝ (﹣∞，3)． g (x )有意义当且仅当x ﹣3≥0，解得x ≥3．所以g (x )的定义域为D 2＝[3，+∞)．
因为D 1∩D 2＝∅，所以曲线C 1和C 2没有交点． ……………………………………………………12分 22.解:
（1），定义域为，x ∈R,-x ∈R,关于原点对称， 又， 因此，函数为奇函数； …………………………………………………………………4分 （2）， 任取、且，则， 因为，，，，即.
因此，函数在上为减函数 ………………………………………………………8分 （3）因为函数为上的奇函数，
由可得，
又由于函数为上的减函数，，， 由题意知，存在，使得成立，则， 因为函数在上为减函数，则，. 因此，实数取值范围是. ……………………………………………………12分 ()()
1311333313x x x x f x +−+−==++ R ()()()()()
()31313313133313331x x x x x x x x f x f x −−−−−−−−====−+××++()13133
x x f x +−+=+()()()()()21313213
313313313x x x x x f x −+−===−+++ 1x 2x R ∈12x x <()()()()1212212133312312x x f x f x −=−−−++
()()()()()
2112122222231231231212x x x x x x −=−=++++12x x <21220x x ∴−>1120x +>2120x +>()()120f x f x ∴−>()()12f x f x >()13133
x x f x +−+=+R ()y f x =R ()()131330x x f f k k +−+⋅+>()()()1333113x x x f f k k f +−=⋅−−+>()y f x =R 13313x x
k k +∴⋅+<−()11333x
x k f x +−∴<=+[)0,x ∈+∞()11333
x
x k f x +−<=+()max k f x <()13133
x x f x +−+=+[)0,+∞()()max 00f x f ==0k ∴<k 的(),0−∞。
2019-2020学年山东省济宁市兖州区高一上学期期中数学试题(解析版)
山东省济宁市兖州区高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}2,3,6,7A =，{}2,3,4,5B =，则()U A B =I ð( )A ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,7【答案】C【解析】根据集合中补集运算和交集运算，即可求解. 【详解】由题意，{}1,6,7U B =ð，(){}6,7U A B =I ð故选：C 【点睛】本题考查补集运算和交集运算，属于基础题.2．命题:,||0R p x x x ∀∈+≥，则p ⌝（ ） A ．:,||0R p x x x ⌝∃∈+> B ．:,||0R p x x x ⌝∃∈+< C ．:,||0R p x x x ⌝∃∈+≤ D ．:,||0R p x x x ⌝∃∈+≥【答案】B【解析】全称命题的否定是特称命题，根据已知写出即可. 【详解】解：命题:,||0R p x x x ∀∈+≥，则:,||0R p x x x ⌝∃∈+<， 故选：B. 【点睛】本题考查全称命题否定的书写，是基础题.3．函数()f x =的定义域为 A ．(]-2,0 B ．(]-2,1 C ．()(]--2-2,0∞⋃，D ．()(]--2-2,1∞⋃， 【答案】A【解析】由根式内部的代数式大于等于0，分母中根式内部的代数式大于0联立不等式组求解． 【详解】由12020x x ＞⎧-≥⎨+⎩，解得﹣2＜x ≤0．∴函数()f x =的定义域为(]-2,0． 故选：A ． 【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，考查指数不等式的解法，是基础题．4．已知函数2,0()(3),0x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则(2)f =( ) A ．32 B ．12C ．16D ．132【答案】B【解析】根据自变量符合的范围代入对应的解析式即可求得结果. 【详解】()()()11223122f f f -=-=-==本题正确选项：B 【点睛】本题考查分段函数函数值的求解问题，属于基础题. 5．设()11,,x y R x y a x y +⎛⎫∈++≥⎪⎝⎭恒成立，则实数a 的最大值为（ ） A ．2 B ．4C ．8D ．16【答案】B【解析】将不等式左边展开，然后利用基本不等式求得其最小值，由此求得a 的最大值. 【详解】由于()11224x y x y x y y x ⎛⎫++=++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当1x y ==时等号成立，而()11,,x y R x y a x y +⎛⎫∈++≥⎪⎝⎭恒成立，故4a ≤，也即a 的最大值为4. 故选B. 【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最小值，考查恒成立问题的求解策略，属于基础题. 6．设x ∈R ，则“05x <<”是“()211x -<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】先通过()211x -<求出x 的范围，然后利用充分性和必要性的判断规律来判断即可. 【详解】解：由()211x -<，得02x <<，所以“05x <<”是“02x <<”的必要不充分条件， 故选：B. 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，是基础题. 7．下列各组函数是同一函数的是( )①()f x =()g x =②()f x x =与()g x =③()0f x x =与()01g x x=;④()21f x x x =--与()21g t t t =-- A ．②③ B ．①③ C ．③④ D ．①④【答案】C【解析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数. 【详解】对于①，由220x -≥得0x ≤，即函数()f x 的定义域为(],0-∞，则()f x ==-，两个函数的对应法则不相同，不是同一函数；对于②，()g x x ==，两个函数的对应法则不相同，不是同一函数；对于③，两个函数的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数；对于④，两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数. 故选：C 【点睛】本题考查相同函数的概念，注意函数三要素，当定义域和对应法则一致时值域也一致，是函数定义常考点.8．已知432a =，254b =，1325c =，则（ ） A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<【答案】A【解析】先将b a 和转换为同为2为底的指数，422335244a b ==>=，a 和c 可以转换为指数相同1223332554c a ==>=．所以b a c <<． 【详解】因为422335244a b ==>=，1223332554c a ==>=，所以b a c <<，故选A ． 【点睛】1.比较幂值大小时，要注意区分底数相同还是指数相同．是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性或指数函数的图象解决．要注意图象的应用，还应注意中间量0、1等的运用．2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.3.根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x ＝1与图象的交点进行判断．如图是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，底数a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系为c ＞d ＞1＞a ＞b.规律：在y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．属于较易题目．9．设0,0a b >>则下列各式中不一定成立的是 A ．2a b ab +≥B ．2b a a b+≥ C ．22≥ab abD ．2≥+abab a b【答案】D【解析】令1,2a b ==代入选项，由此确定出正确选项. 【详解】不妨设1,2a b ==，A ：322≥成立；B ：522≥成立；C ：22≥成立；D ：423<，D 选项不成立. 故选D. 【点睛】本小题主要考查不等关系正确与否的判断，属于基础题.10．已知(), ()f x g x ，分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()1f x g x x x -=++，则(1)(1)f g +=（ ）A ．-3B ．-1C ．1D ．3【答案】C【解析】利用奇偶性及赋值法即可得到结果. 【详解】由题意得：(1)(1)1f g ---=，又因为()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，所以(1)(1)(1)(1)1f g f g ---=+=，故选：C ． 【点睛】本题主要考查了奇函数与偶函数的定义在求解函数值中的应用，属于基础试题． 11．函数||()2x x f x x=⋅的图象大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用函数的奇偶性排除选项，通过特殊点的位置即可得到结果．【详解】 函数f （x ）•2xx x=是奇函数，判断出B ，D 不符合题意； 当x ＝1时，f （1）2=，选项C 不成立， 故选A ． 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象. 12．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，例如解析式为221y x =+，值域为{}9的“孪生函数”有三个：（1）{}221,2y x x =+∈；（2）{}221,2y x x =+∈；（3）{}221,2,2y x x =+∈-。
2025届济宁市高三数学上学期期中质量检测试卷及答案解析
2024～2025学年度第一学期期中教学质量检测高三数学试题2024.11本试卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考场、座号、姓名、班级填（涂）写在答题卡上，将条形码粘贴在“贴条形码区”．2．做选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号．3．非选择题须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡中各题目指定的区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．否则，该答题无效．4．考生必须保持答题卡的整洁；书写要求字体工整，符号规范，笔迹清楚．一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{P x y ==，{Q y y ==，则()R P Q =I ð（ ）A. ÆB. [)1,+¥C. (),0-¥ D. (],1-¥-【答案】D 【解析】【分析】首先根据偶次方根的被开方数非负求出集合P ，再求出集合Q ，最后根据集合的运算法则计算可得.【详解】由y =可得210x -³，解得1x ³或1x £-，所以{(][),11,P x y ¥¥===--È+，又210x -³，则0y =³，所以{[)0,Q y y ¥===+，所以()R ,0Q =-¥ð，所以()(]R ,1P Q =-¥-I ð.故选：D2. 若复数12i=-z （i 为虚数单位），则z =（ ）A.21i 55- B.21i 55+ C.33i 55- D.33i 55+【答案】A 【解析】【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用共轭复数的定义可得结果.【详解】因为()()12221222555z ++====+--+i i i i i i ，故21i 55z =-，故选:A3. 已知角a 的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点()1,2--，则tan 2a =（ ）A.34B.43C. 34-D. 43-【答案】D 【解析】【分析】利用三角函数定义求解tan a ，使用二倍角公式求解tan 2a .【详解】由三角函数的定义有：2tan 21a -==-，所以22tan 44tan 21tan 33a a a ===---；故选：D .4. 已知函数()f x 的定义域为R ，满足()()()2024f x y f x f y +-+=éùëû，则下列说法正确的是（ ）A. ()f x 是偶函数 B. ()f x 是奇函数C. ()2024f x +是奇函数 D. ()2024f x +是偶函数【答案】C 【解析】【分析】根据抽象函数，利用奇偶函数的性质直接判断即可.【详解】因为()()()2024f x y f x f y +-+=éùëû，所以令0x y ==，可得()02024f =-，令y x =-，则()()()02024f f x f x ---=，所以()()4048f x f x -=--，则()f x 既不是奇函数又不是偶函数，且()()20242024f x f x -+=-+éùëû，所以()2024f x +是奇函数.故选：C5. 向量()1,2a =r ，()1,1b =-r ，则a r 在b r上的投影向量是（ ）A.B. C. 11,22æö-ç÷èøD. 12,55æö--ç÷èø【答案】C 【解析】【分析】根据投影向量的定义计算得解.【详解】由题意可知，a r在b r 上的投影向量为：()1111,1,222a b b bb ×æö=-=-ç÷èør r r rr .故选：C .6. 已知函数()21,11,11x x f x x x ì-£ï=í>ï-î，则()()3f f =（ ）A. 8B. 34-C. 109-D.12【答案】B 【解析】【分析】利用分段函数求值.【详解】因为函数()21,11,11x x f x x x ì-£ï=í>ï-î，所以()113312f ==-，即()()211331224f f f æöæö==-=-ç÷ç÷èøèø，故选：B.7. 已知πcos 5a =，πsin 4b =，3log 2c =，则（ ）A. b a c <<B. b c a<< C. c a b<< D. c b a<<【答案】D【解析】【分析】根据余弦函数单调性可判断,a b 的大小关系，利用2332>可得3232>>可得,b c 的大小关系，即可得答案.【详解】因为ππ54<，故πππcos cos sin 544>=，即s π4c s πo 5in a b ==>，又2332>，即3232>>333log 3log >\>，即3312,log 2>>，即3l πsin 4og 2b c ==>，故选：D8. 如图，在ABC V中，AC =，AB =，90A Ð=°，若PQ 为圆心为A 的单位圆的一条动直径，则BP CQ ×uuu r uuu r的最大值是（ ）A. 2B. 4C.D.1【答案】A 【解析】【分析】以A 为坐标原点，,AB AC uuu r uuu r的方向分别为x 轴、y 轴，建立坐标系，设(cos ,sin ),[0,2π)P q q q Î，则(cos ,sin )Q q q --，利用向量的坐标运算及三角恒等变换求解即可.【详解】解：以A 为坐标原点，,AB AC uuu r uuu r的方向分别为x 轴、y 轴，如图所示：则(0,0),A B C ，设(cos ,sin ),[0,2π)P q q q Î，则(cos ,sin )Q q q --，的所以(cos ),(cos ,sin BP CQ q q q q ==---uuu r uuu r，所以cos (cos sin (sin BP CQ q q q q ×=-+-uuu r uuu r1q q =-3sin()1q j =+-，其中tan j =j 为第二象限角)，所以当sin()1q j +=时，3sin()1q j +-取最大值，为2.即BP CQ ×uuu r uuu r的最大值为2.故选：A.【点睛】关键点睛：本题的关键是建立坐标系，利用向量的坐标运算求解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 下列说法正确的是（ ）A. 命题“x "ÎR ，210x x ++>”的否定形式是“x $ÎR ，210x x ++£”B. 当()0,πx Î时，4sin sin y x x=+的最小值为4C. tan 25tan 20tan 25tan 201°+°+°°=D. “ππ4k q =±（k ÎZ ）”是“π4k q =（k ÎZ ）”的必要不充分条件【答案】AC 【解析】【分析】写出命题“x "ÎR ，210x x ++>”的否定形式判断选项A ；求得当()0,πx Î时，4sin sin y x x=+的最小值判断选项B ；求得tan 25tan 20tan 25tan 20°+°+°°的值判断选项C ；求得“ππ4k q =±（k ÎZ ）”与“π4k q =（k ÎZ ）”的逻辑关系判断选项D.【详解】选项A ：命题“x "ÎR ，210x x ++>”的否定形式是“x $ÎR ，210x x ++£”判断正确；选项B ：当()0,πx Î时，(]sin 0,1x Î，令sin x t =，则4y t t=+在(]0,1单调递减，最小值为5，则当()0,πx Î时，4sin sin y x x=+的最小值为5.判断错误；选项C ：由tan 25tan 201tan 451tan 25tan 20°+°=°=-°°，可得tan 25tan 20tan 25tan 201°+°+°°=.判断正确；选项D ：π4k q =（k ÎZ ），可化为ππ4n q =-或πn q =或ππ4n q =+或ππ2n q =+（n ÎZ ），故“ππ4k q =±（k ÎZ ）”是“π4k q =（k ÎZ ）”的充分不必要条件.判断错误.故选：AC10. 已知函数()cos f x x x =+，则（ ）A. 函数()f x 在π2,6π3éùêúëû上单调递减B. 函数()f x 的图象关于点5π,06æöç÷èø对称C. 函数()f x 的图象向左平移m （0m >）个单位长度后，所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是π3D. 若实数m 使得方程()f x m =在[]0,2π上恰好有三个实数解1x ，2x ，3x ，则1238π3x x x ++=【答案】BCD 【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数，根据三角函数的单调性、对称性、奇偶性以及图像问题逐个选项判断即可.【详解】()1πcos 2cos 2sin 26f x x x x x x öæö=+=+=+÷ç÷÷èøø，对于A ，令π2π,63x éùÎêúëû，则ππ5π,636x éù+Îêúëû，所以对于函数sin y x =，π5π,36x éùÎêúëû时，有增有减，A 错；令5π6x =，则5π5ππ2sin 0666f æöæö=+=ç÷ç÷èøèø，B 正确；对于C ，平移后，得π2sin 6y x m æö=++ç÷èø，若图象关于y 轴对称，则πππ,Z 62m k k +=+Î，ππ,Z 3m k k =+Î，C 正确；因为[]0,2πx Î，作出()f x 图像如下图所示，由()f x 与y m =有且只有三个交点，所以32πx =，又因为()2f x =时π3x =，且12,x x 关于直线π3x =对称，所以123π8π22π33x x x ++=´+=，D 正确.故选：BCD11. 设数列{}n a 前n 项和为n S ，满足()()214100n n a S -=-，*N n Î且10a >，10n n a a -+¹（2n ³），则下列选项正确的是（ ）A. 223n a n =-B. 数列n S n ìüíýîþ为等差数列C. 当10n =时，n S 有最大值D. 设12n n n n b a a a ++=，则当8n =或10n =时，数列{}n b 的前n 项和取最大值【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，由n a 和n S 的关系，求出数列{a n }的通项公式，进行判定；对于B ，由等差数列求和公式求出n S ，由定义判断n S n ìüíýîþ是否为等差数列；对于C ，借助二次函数性质判定；对于D ，由n a 的正负判定12n n n n b a a a ++=正负，即可判定最值.【详解】对于A ，当1n =时，()()21114100a a -=-，解得119a =或121a =-，因为10a >，所以119a =，当2n ³时，由()()214100n n a S -=-，*N n Î得()()21114100n n a S ---=-，*N n Î，所以()()()()22111141004100n n n n a a S S -----=---，整理得()()1120n n n n a a a a --+-+=，因为10n n a a ->+，所以120n n a a --+=，即12n n a a --=-，所以数列{a n }是首项为19，公差为2-的等差数列，所以()()1912221n a n n =+-´-=-+，故A 错误；对于B ，由A 可知，()()21192202n n n S n n n -=+´-=-+，所以22020n S n n n n n-+==-+，所以()()11202011n nS S n n n n+-=-++--+=-+，所以数列n S n ìüíýîþ是首项为19，公差为1-的等差数列，故B 正确；对于C ，因为()222010100n S n n n =-+=--+，*N n Î，所以当10n =时，n S 取得最大值，故C 正确；对于D ，由2210n a n =-+>，得*10N 1n n ££Î，，由2210n a n =-+<，得*N 11n n ³Î，，所以当*1,N 8n n ££Î时，120n n n n b a a a ++=>，当9n =时，9910110b a a a =<，当10n =时，101011120b a a a =>，当*11,N n n ³Î时，120nn n n b a a a ++=<，因为()9910113113b a a a ==´´-=-，()()101133b =´-´-=，所以当8n =或10n =时，数列{b n }的前n 项和取最大值.故D 正确.故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知a ，b 都是正数，且230a b ab +-=，则a b +的最小值为______．【答案】1【解析】【分析】由题意可得213b a+=，从而得12(3)3a ba b b a +=++，利用基本不等式求解即可.【详解】解：因为a ，b 都是正数，且230a b ab +-=，所以213b a+=，所以1211211()()(3(3(313333a b a b a b b a b a +=++=++³+=+=+，当且仅当2a bb a=，即b =时，等号成立，将b =，代入230a b ab +-=，得a b ==时，等号成立.故答案为：1+13. 已知函数()21ln 22xf x x ax =-+在区间()2,+¥上没有零点，则实数a 的取值范围是______．【答案】[)2,-+¥【解析】【分析】根据题意转化为()21ln 022x f x x ax =-+>在区间()2,¥+上恒成立，得到ln22xa x x>-在区间()2,¥+上恒成立，设()ln2,22x g x x x x =->，利用导数求得函数的单调性和最值，即可求解.【详解】因为函数()21ln 22x f x x ax =-+在区间()2,¥+上没有零点，且x 趋向正无穷时，()f x 趋向正无穷，所以()21ln 022xf x x ax =-+>在区间()2,¥+上恒成立，所以ln22xa xx>-在区间()2,¥+上恒成立，设()ln2,22x g x x x x =->，可得2221ln 1ln 222()122x xx g x x x ---=-=¢，因为2x >，ln 02x >，可得21ln 202x x --<，所以()0g x ¢<，所以()g x 在区间()2,¥+上单调递减，所以()()22g x g <=-，所以2a ³-，所以，实数a 的取值范围为[2,)-+¥.故答案为：[2,)-+¥.14. 已知函数e 1()e 1x x f x -=+，()(1)2g x f x =-+，则()g x 的对称中心为______；若12321()()()(n n a g g g g n n n n-=+++×××+（*n ÎN ），则数列{}n a 的通项公式为______．【答案】 ①. (1,2) ②. 42n a n =-【解析】【分析】利用中心对称的定义求出()g x 图象的对称中心，利用函数()g x 的对称性及倒序相加法求出通项.【详解】函数e 1()e 1x x f x -=+的定义域为R ，e 11e ()()e 1e 1x x x x f x f x -----===-++，由()(1)2g x f x =-+，得(1)()2g x f x +=+，则(1)(1)()()224g x g x f x f x -+++=-+++=，因此函数()g x 图象的对称中心是(1,2)；由(1)(1)4g x g x -+++=，得()(2)4g x g x +-=，当*n ÎN 时，11((24g g n n+-=，12321()()()(n n a g g g g n n n n -=+++×××+，2122231((((n n n n a g g g g n n n n---=+++×××+，于是24(21)n a n =-，即42n a n =-，所以数列{}n a 的通项公式为42n a n =-.故答案为：(1,2)；42n a n =-四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知在ABC V 中，角A ，B ，C ，所对的边分别为a ，b ，c，)2cos cos cos b B a C c A =+．（1）求角B ；（2）过点A 作AD BC ∥，连接CD ，使A ，B ，C ，D 四点组成四边形ABCD，若AB =，2AC =，CD =，求AD 长．【答案】（1）π6B =（2）1AD =或2．【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角即可求解；（2）利用余弦定理来求解边边角三角形，得到两解.【小问1详解】由)2cos cos cos b B a C c A =+，结合由正弦定理边化角可得)2sin cos sin cos sin cos B B A C C A ×=+，故()2sin cos B B A C ×=+，而()sin sin 0B A C =+>，所以cos B =B ∈(0,π)，所以π6B =．【小问2详解】在ABC V中，2AB AC ==,由正弦定理可得sin sin B ACB AB AC Ð=´=因为AD BC ∥，所以DAC ACB Ð=Ð，即sin DAC Ð=在ACD V 中，因为CD AC <3cos 4DAC Ð===，又因为2AC =，CD =，结合定理可得3cos 4DAC Ð==．的解得1AD =或2．16. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，22n n a S =+，（*n ÎN ）.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记2log n n c a =，数列n n c a ìüíýîþ的前n 项和为n T ，若关于n 的不等式()()221n n n T n l +-£+恒成立，求实数l 的取值范围．【答案】（1）2n n a = （2）3,2éö+¥÷êëø．【解析】【分析】（1）利用条件，再写一式，两式相减，可证得数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，即可求出数列{}n a 的通项公式；（2）求出数列的通项，利用错位相减法求出n T ，再将题意转化为可得()max12nn n l éù+£êúëû，记()12n nn n b +=，求出n b 的最大值，即可得出答案．【小问1详解】由22n n a S =+，可得1122n n a S ++=+，两式相减可得：1122n n n a a a ++-=，所以12n n a a +=，令1n =，可得1122a a =+，所以12a =，所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，其通项公式为1222n n n a -=´=.【小问2详解】2log 2n n c n ==Q ，2n n n c n a \=．可得212222n n n T =++×××+，则2311122222n n n T +=++×××+，两式相减得：231111122111111222222212nnn n n n n T ++éùæö-êúç÷èøêúëû=+++×××+-=--111211222nn n n n +++æö=--=-ç÷èø，所以222n n n T +=-，因()()()22221n nn n n n T n l ++-=£+，则()12nn n l +£，原题意等价于关于n 的不等式()12nn n l +£恒成立，可得()max12nn n l éù+£êúëû，记()12n nn n b +=，令11n n n n b b b b +-³ìí³î，则()()()()()11112221122n n nn n n n n n n n n+-ì+++³ïïí+-ï³ïî，解得2n =或3，则1234b b b b <=>>×××，即当2n =或3n =时，n b 取到最大值32，可得32l ³，所以实数l 的取值范围3,2éö+¥÷êëø．17. 已知函数()223,02ln ,0x x x f x x x ì+-£=í-+>î（1）请在网格纸中画出()f x 的简图，并写出函数的单调区间（无需证明）；（2）定义函数()()2241,2012,022f x x x xg x x x ì--+-££ï=í-<£ïî在定义域内的0x ，若满足()00g x x =，则称0x 为函数()g x 的一阶不动点，简称不动点；若满足()()00g g x x =，则称0x 为函数()gx 的二阶不动点，简称为稳定点.①求函数()g x 的不动点；②求函数()g x 的稳定点.【答案】（1）作图见解析，单增区间为[]1,0-，()0,¥+，()f x 的单减区间为(],1-¥- （2）①23-；②32-，23-和1.【解析】【分析】（1）根据分段函数解析式，画出相应的函数图像，结合函数图像写出单调区间.（2）结合分段函数解析式，由不动点，稳定点的定义计算分析求解.【小问1详解】()f x 的单增区间为[−1,0]，(0,+∞)，()f x 的单减区间为(],1-¥-.【小问2详解】易知()222,2012,022x x g x x x ---££ìï=í-<£ïî①当020x -££时，()0022g x x =--，令()00g x x =得0022x x --=，解得023x =-；当002x <£时，()200122g x x =-，令()00g x x =得200122x x -=，解得01x =综上所述：函数()g x 的不动点为23-.②当021x -£<-时，()0022g x x =--，且()002g x <£，则()()()()2200000122222242g g x g x x x x =--=---=+令()()00g g x x =得，200024x x x +=，解得032x =-或00x =（舍）；当010x -££时，()0022g x x =--，且()020g x -££，则()()()()000022222242g g x g x x x =--=----=+令()()00g g x x =，得0042x x +=，解得023x =-；当002x <£时，()200122g x x =-，且()020g x -<£，则()()2220000112222222g g x g x x x æöæö=-=---=-+ç÷ç÷èøèø，令()()00g g x x =，得2002x x -+=，解得01x =或02x =-（舍）综上所述：函数()g x 的稳定点有3个，分别是32-，23-和1.18. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如图，某摩天轮最高点距离地面高度为100m ，转盘直径为90m ，均匀设置了依次标号为1～48号的48个座舱．开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动min t 后距离地面的高度为m H ，转一周需要24min ．（1）求在转动一周的过程中，H 关于t 的函数解析式；（2）若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h （单位：m ）关于t 的函数解析式，并求t 为何值时高度差h 最大．（参考公式：sin sin 2cos sin22q jq jq j +--=，cos cos 2sinsin22q jj qq j +--=）【答案】（1）π5545cos12H t =-，[]0,24t Î． （2）π2π45cos 123h t æö=-ç÷èø，[]0,24t Î；8min t =或20mint =【解析】【分析】（1）据题意，设(),π2sin 0H A t B j w j w æö=++>çè£÷ø，由条件确定,,,A B w j 的值；（2）由题意，1号与9号座舱的角度差为π3，不妨假设1号座舱出发早于9号座舱，min t 时1号与9号的高度分别为1H ，9H ，进而求出高度差π2π45cos 123h t æö=-ç÷èø，由余弦函数性质即可求.【小问1详解】设(),π2sin 0H A t B j w j w æö=++>çè£÷ø，则2π12πT w ==，令0t =时，则sin 1j =-，π2j =-，又10010A B A B +=ìí-+=î，解得4555A B =ìí=î，所以πππ45sin 555545cos 12212H t t æö=-+=-ç÷èø，[]0,24t Î．【小问2详解】由题意得：1号与9号座舱的角度差为π3．不妨假设1号座舱出发早于9号座舱，min t 时1号与9号的高度分别为1H ，9H ，则1ππ45sin 55122H t æö=-+ç÷èø，9ππππ5π45sin 5545sin 551223126H t t æöæö=--+=-+ç÷ç÷èøèø，所以高度19πππ5π45sin sin 122126h H H t t æöæö=-=---ç÷ç÷èøèø，由参考公式得，上式π2πππ2π90cos sin 45cos 1236123t t æöæö=-=-ç÷ç÷èøèø从而高度差π2π45cos 123h t æö=-ç÷èø，[]0,24t Î；当π2πcos 1123t æö-=ç÷èø，即π2ππ123t k -=，N k Î时，解得812t k =+，N k Î，又[]0,24t Î，所以8min t =或20min t =，此时高度差h 的最大值为45m ．19. 已知 a ÎR ，函数()ln af x x x=+，()ln 2g x ax x =--.（1）当()f x 与()g x 都存在极小值，且极小值之和为0时，求实数a 的值；为（2）若()()()12122f x f x x x ==¹，求证：12112x x a+>.【答案】（1）1 （2）证明见解析【解析】【分析】（1）分别对()f x ，()g x 求导，讨论0a £和0a >，得出()f x 和()g x 的单调性，即可求出()f x ，()g x 的极小值，即可得出答案.（2）令1211,m n x x ==，由()()()12122f x f x x x ==¹可得1ln ln m na m n -=-，要证12112x x a +> ，不妨设0n m <<，所以只要证()2lnm n m n m n ->+，令()1m t t n =>，()()()21ln 11t h t t t t -=->+，对()h t 求导，得出()h t 的单调性，即可证明.小问1详解】()f x ，()g x 定义域均为(0,+)¥，()221,a a xf x x x x-+¢=-+=， 当0a £时，则()0f x ¢>，()f x 在(0,+)¥单调递增，无极值，与题不符；当0a >时，令()=0f x ¢，解得：=x a ，所以()f x 在()0,a 单调递减，在(),a +¥单调递增，∴在=x a 取极小值，且()1ln f a a =+； 又()1g x a x¢=-，当0a £时：()0g x ¢<，()g x 在(0,+)¥单调递减，无极值，与题不符；当0a >时：令()=0g x ¢，解得：1x a=，所以()g x 在10,a æöç÷èø单调递减，在1,a æö+¥ç÷èø单调递增，∴在1x a =取极小值，且11ln g a a æö=-+ç÷èø； 由题：，解得：=1a .【小问2详解】【令1211,m n x x ==，因为12x x ¹，所以m n ¹，由()()()12122f x f x x x ==¹可得：()()1122+ln =2ln =21ln =22+ln =2ax x am m an n a x x -Þ-ìïìïïííïîïïîL L ，（1）-（2）得：()ln ln a m n m n -=-，所以1ln ln m n a m n-=-，要证：12112x x a +> ，只要证：2m n a +> ，只要证：2ln ln m n m n m n-+>-， 不妨设0n m <<，所以只要证：()2lnm n m n m n->+， 即证：21ln 1m m n m n næö-ç÷èø>+，令()1m t t n =>，只要证：()()21ln 11t t t t ->>+，令()()()21ln 11t h t t t t -=->+， ()()()()()()()222221211114111t t t h t t t t t t t +---¢=-=-=+++，所以()h t 在()1,t Î+¥上单调递增，∴， 即有()()21ln 11t t t t ->>+成立，所以12112x x a +>成立.。
2023-2024学年山东省济宁市兖州区高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省济宁市兖州区高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合M 满足∁U M ＝{1，3}，则（ ） A ．2∈MB ．3∈MC ．4∉MD ．5∉M2．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2﹣x +2≤0，则p 的否定为（ ） A ．∃x ∈R ，x 2﹣x +2＞0 B ．∀x ∉R ，x 2﹣x +2＞0 C ．∀x ∈R ，x 2﹣x +2≤0 D ．∀x ∈R ，x 2﹣x +2＞03．设函数f （x ）={1−x 2，x ≤1x 2+x −2，x ＞1则f （1f(2)）的值为（ ）A ．18B ．−2716C ．89D ．15164．下列各组函数表示同一函数的是（ ）A ．f （x ）＝x +1，g （x ）=x 2−1x−1B ．f （x ）＝1，g （x ）＝x 0C ．f(x)=√x 2，g(x)=(√x)2D ．f （x ）={x(x ≥0)−x(x ＜0)g （t ）＝|t |5．下列函数中，满足“对任意的x 1，x 2∈（0，+∞），使得f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0”成立的是（ ）A ．f （x ）＝﹣x 2﹣2x +1B ．f （x ）＝x −1xC ．f （x ）＝x +1D ．f （x ）＝lnx +26．“函数f （x ）＝x a 在（0，+∞）上单调递减”是“函数g （x ）＝x 4﹣（a +1）x 是偶函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a ，b ，x ，y ＞0，则a 2x+b 2y≥(a+b)2x+y，当且仅当a x=by时等号成立．根据权方和不等式，函数f(x)=2x+91−2x (0＜x ＜12)的最小值为（ ） A ．16 B ．25 C ．36 D ．498．高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数y ＝[x ]称为高斯函数，其中[x ]表示不超过实数x 的最大整数，当x ∈（﹣1.5，3]时，函数y =[x−22]的值域为（ ） A ．{﹣1，0}B ．{﹣2，1，0}C ．{2，﹣1，0}D ．{﹣2，﹣1，0}二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知集合M ＝{1，2，3，4}，N ＝{﹣2，2}，下列结论不成立的是（ ） A ．N ⫋MB ．M ∪N ＝MC ．M ∩N ＝ND ．M ∩N ＝{2}10．下列命题为真命题的是（ ） A ．∀x ∈R ，x 2+x +1＞0B ．当ac ＞0时，∃x ∈R ，ax 2+bx ﹣c ＝0C ．f （0）＝0是函数f （x ）为奇函数的充要条件D ．若a ＞0，d ＞c ＞0，则dc ＜d+a c+a11．若函数f(x)=x(x+1)(x−a)为奇函数，则（ ）A ．a ＝1B ．f （x ）的定义域为（﹣1，1）C ．f （x ）的值域是RD ．f （x ）在R 上是增函数12．对任意x ，y ，x 2+y 2﹣xy ＝1，则（ ） A ．x +y ≤1B ．x +y ≥﹣2C ．x 2+y 2≤2D ．xy ≤1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．某校校园文化节开展“笔墨飘香书汉字，文化传承展风采”书法大赛，高一（1）班共有32名同学提交了作品进行参赛，有20人提交了楷书作品，有12人提交了隶书作品，有8人提交了行书作品，同时提交楷书作品和隶书作品的有4人，同时提交楷书作品和行书作品的有2人，没有人同时提交三种作品，则同时提交隶书作品和行书作品的有 人．14．已知f （x ）定义域为[﹣1，1]，值域为[0，1]，且f （﹣x ）﹣f （x ）＝0，写出一个满足条件的f （x ）的解析式是 ．15．已知f （x +1）＝x 2﹣x +1，则当x ＞1时，g(x)=f(x)x−1的最小值为 ．16．设函数f(x)=2023(x+1)2+x 2025x 2+1(−3≤x ≤3)的最大值为M ，最小值为m ，则M +m ＝ ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知函数f(x)=√3−x 1√x+2的定义域为集合A ，集合B ＝{x |（x ﹣2）（x +3）＞0}． （1）求集合A ；（2）求A ∩B ，（∁R A ）∪B ．18．（12分）已知集合A ={x|x−6x−2＜0}，B ＝{x |x 2﹣4x ＜0}． （1）求∁R （A ∪B ）．（2）已知集合C ＝{x |m +1＜x ＜2m ﹣1}，若满足_____，求实数m 的取值范围．请从①C ⊆（C ∩B ），②∁R C ⊇∁R B ，③“x ∈C ”是“x ∈B ”的充分不必要条件中选一个填入（2）中横线处进行解答．19．（12分）已知函数f(x)=ax+b 1+x 2是定义在（﹣1，1）上的函数，且f(12)=25，f(13)=310．（1）利用定义判断函数f （x ）在（﹣1，1）上的单调性； （2）解不等式f （x ﹣1）+f （x ）＜0．20．（12分）某地区上年度电价为0.8元/（kW •h ），年用电量为akW •h ，本年度计划将电价下降到0.55元/（kW •h ）至0.75元/（kW •h ）之间，而用户期望电价为0.4元/（kW •h ）．经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为k ）．该地区的电力成本价为0.3元/（kW •h ）．记本年度电价下调后电力部门的收益为y （单位：元），实际电价为x （单位：元/（kW •h ））．（收益＝实际电量×（实际电价﹣成本价））（1）当k ＝0.2a 时，实际电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？ （2）当k ＝0.4a 时，求收益y 的最小值． 21．（12分）已知二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c ．（1）若f （x ）＞0的解集为{x |﹣3＜x ＜4}，求函数f （x ）＝ax 2+bx +c 的单调递减区间；（2）已知b ＝4，a ＞c ，若f （x ）≥0对于一切实数x 恒成立，并且存在x a ∈R ，使得ax 02+bx 0+c =0成立，求4a 2+c 22a−c的最小值．22．（12分）函数f(x)=x 2+(3a+1)x+c x+a(a ，c ∈R)．（1）当a ＝0时，是否存在实数c ，使得f （x ）为奇函数； （2）当a ＝1，c ＝﹣3时，求函数f(x)=x 2|−(3a−1)|x+cx+a在区间[1，2]上的值域． （3）函数f （x ）的图像过点（1，3），且f （x ）的图像与x 轴负半轴有两个交点，求实数a 的取值范围．2023-2024学年山东省济宁市兖州区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合M 满足∁U M ＝{1，3}，则（ ） A ．2∈MB ．3∈MC ．4∉MD ．5∉M解：因为全集U ＝{1，2，3，4，5}，∁U M ＝{1，3}， 所以M ＝{2，4，5}，所以2∈M ，3∉M ，4∈M ，5∈M ． 故选：A ．2．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2﹣x +2≤0，则p 的否定为（ ） A ．∃x ∈R ，x 2﹣x +2＞0 B ．∀x ∉R ，x 2﹣x +2＞0 C ．∀x ∈R ，x 2﹣x +2≤0D ．∀x ∈R ，x 2﹣x +2＞0解：因为命题p ：∃x ∈R ，x 2﹣x +2≤0，则p 的否定为：∀x ∈R ，x 2﹣x +2＞0． 故选：D ． 3．设函数f （x ）={1−x 2，x ≤1x 2+x −2，x ＞1则f （1f(2)）的值为（ ）A ．18B ．−2716 C ．89D ．1516解：函数f （x ）={1−x 2，x ≤1x 2+x −2，x ＞1，f （2）＝22+2﹣2＝4，则f （1f(2)）＝f （14）＝1−(14)2=1516． 故选：D ．4．下列各组函数表示同一函数的是（ ） A ．f （x ）＝x +1，g （x ）=x 2−1x−1B ．f （x ）＝1，g （x ）＝x 0C ．f(x)=√x 2，g(x)=(√x)2D ．f （x ）={x(x ≥0)−x(x ＜0)g （t ）＝|t |解：要判断两个函数是否是同一个函数，需要从三个方面来分析， 即定义域，对应法则和值域， A 选项两个函数的定义域不同， B 选项两个函数的定义域不同， C 选项两个函数的定义域不同，故选：D ．5．下列函数中，满足“对任意的x 1，x 2∈（0，+∞），使得f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0”成立的是（ ）A ．f （x ）＝﹣x 2﹣2x +1B ．f （x ）＝x −1xC ．f （x ）＝x +1D ．f （x ）＝lnx +2解：根据题意，“对任意的x 1，x 2∈（0，+∞），使得f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0”则函数f （x ）在（0，+∞）上为减函数， 据此依次分析选项：对于A ，f （x ）＝﹣x 2﹣2x +1，为二次函数，对称轴为x ＝﹣1，在（0，+∞）上递减，符合题意； 对于B ，f （x ）＝x −1x ，其导数f ′（x ）＝1+1x 2，在（0，+∞）上递增，不符合题意； 对于C ，f （x ）＝x +1，为一次函数，在（0，+∞）上递增，不符合题意； 对于D ，f （x ）＝lnx +2，在（0，+∞）上递增，不符合题意； 故选：A ．6．“函数f （x ）＝x a 在（0，+∞）上单调递减”是“函数g （x ）＝x 4﹣（a +1）x 是偶函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：根据题意，f （x ）＝x a ，若函数在（0，+∞）上单调递减，则有a ＜0， 对于g （x ）＝x 4﹣（a +1）x 中，函数是偶函数， 则有{g(−x)=(−x)4−(a +1)(−x)g(x)=x 4−(a +1)xg(x)=g(−x)，解得：a ＝﹣1， 若“函数f （x ）＝x a 在（0，+∞）上单调递减”，不一定有“函数g （x ）＝x 4﹣（a +1）x 是偶函数”， 反之，若“函数g （x ）＝x 4﹣（a +1）x 是偶函数”，一定有“函数f （x ）＝x a 在（0，+∞）上单调递减”； 故“函数f （x ）＝x a 在（0，+∞）上单调递减”是“函数g （x ）＝x 4﹣（a +1）x 是偶函数”的必要不充分条件． 故选：B ．7．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a ，b ，x ，y ＞0，则a 2x+b 2y≥(a+b)2x+y，当且仅当a x=by时等号成立．根据权方和不等式，函数f(x)=2x +91−2x (0＜x ＜12)的最小值为（ ） A ．16 B ．25 C ．36 D ．49解：∵0＜x＜12，∴1﹣2x＞0，∴f（x）=2x+91−2x=42x+91−2x≥(2+3)22x+1−2x=25，当且仅当22x =31−2x，即x=15时等号成立，∴函数f（x）的最小值为25，故选：B．8．高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数y＝[x]称为高斯函数，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，当x∈（﹣1.5，3]时，函数y=[x−22]的值域为（）A．{﹣1，0}B．{﹣2，1，0}C．{2，﹣1，0}D．{﹣2，﹣1，0}解：x∈（﹣1.5，3]时，﹣1.75＜x−22≤0.5，当﹣1.75＜x−22＜−1时，y＝[x−22]＝﹣2，当﹣1≤x−22＜0时，y＝[x−22]＝﹣1，0≤x−22≤0.5时，y＝[x−22]＝0，故函数y=[x−22]的值域为{﹣2，﹣1，0}．故选：D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知集合M＝{1，2，3，4}，N＝{﹣2，2}，下列结论不成立的是（）A．N⫋M B．M∪N＝M C．M∩N＝N D．M∩N＝{2}解：∵﹣2∈N，﹣2∉M，∴集合N不是M的子集，选项A错误；∵M∪N＝{﹣2，1，2，3，4}≠M，∴选项B错误；∵M∩N＝{2}≠N，∴选项C错误，选项D正确．故选：ABC．10．下列命题为真命题的是（）A．∀x∈R，x2+x+1＞0B．当ac＞0时，∃x∈R，ax2+bx﹣c＝0C．f（0）＝0是函数f（x）为奇函数的充要条件D ．若a ＞0，d ＞c ＞0，则d c＜d+a c+a解：根据题意，依次分析选项：对于A ，x 2+x +1＝（x +12）2+34＞0，故∀x ∈R ，x 2+x +1＞0，A 正确；对于B ，当ac ＞0时，对于ax 2+bx ﹣c ＝0，其Δ＝b 2+4ac ＞0，方程有2解，故∃x ∈R ，ax 2+bx ﹣c ＝0，B 正确；对于C ，对于函数y ＝x 2，满足f （0）＝0，但f （x ）不是奇函数，故f （0）＝0不是函数f （x ）为奇函数的充分条件，C 错误； 对于D ，dc−d+a c+a=dc+da−cd−acc(c+a)=a(d−c)c(a+c)，由于a ＞0，d ＞c ＞0，则a +c ＞0，d ﹣c ＞0，则dc−d+a c+a=a(d−c)c(a+c)＞0，则d c＞d+a c+a，D 错误．故选：AB ． 11．若函数f(x)=x(x+1)(x−a)为奇函数，则（ ）A ．a ＝1B ．f （x ）的定义域为（﹣1，1）C ．f （x ）的值域是RD ．f （x ）在R 上是增函数解：对于A ：因为函数f(x)=x(x+1)(x−a)为奇函数，所以定义域关于原点对称，因为f （x ）的定义域为{x |x ≠1且x ≠a }，所以a ＝1，故A 正确； 对于B ：因为f(x)=x(x+1)(x−a)=x(x+1)(x−1)=xx 2−1，所以x 2﹣1≠0，解得x ≠1且x ≠﹣1，即定义域为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（1，+∞），故B 不正确； 对于C ：因为y =x(x+1)(x−1)=xx 2−1，所以关于x 的方程y •x 2﹣x ﹣y ＝0有实根，即Δ＝（﹣1）2﹣4•y •（﹣y ）＝1+4y 2≥0，解得y ∈R ，所以f （x ）的值域为R ，故C 正确； 对于D ：因为f(x)=x (x+1)(x−a)=x (x+1)(x−1)=x x 2−1=1x−1x，令t ＝x −1x ，则y =1t ，因为函数t ＝x −1x在定义域内只有增区间，而y =1t 在定义域内只有减区间，根据同增异减得y =x(x+1)(x−1)只能有减区间，故D 不正确． 故选：AC ．12．对任意x ，y ，x 2+y 2﹣xy ＝1，则（ ） A ．x +y ≤1B ．x +y ≥﹣2C ．x 2+y 2≤2D ．xy ≤1解：由 x 2+y 2﹣xy ＝1可得(x +y)x −1=3xy ≤3(x+y2)2，解得﹣2≤x +y ≤2，当且仅当x ＝y ＝﹣1时，x +y ＝﹣2，当且仅当x ＝y ＝1时，x +y ＝2，所以A 错误，B正确；由x 2+y 2﹣xy ＝1可得(x 2+y 2)−1=xy ≤x x +y 22， 解得x 2+y 2≤2，当且仅当x ＝y ＝±1时取等号，所以C 正确；由x 2+y 2﹣xy ＝1可得x 2+y 2＝xy +1≥2xy ，当且仅当x ＝y ＝1或x ＝y ＝﹣1时取等号， 所以xy ≤1，D 正确． 故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．某校校园文化节开展“笔墨飘香书汉字，文化传承展风采”书法大赛，高一（1）班共有32名同学提交了作品进行参赛，有20人提交了楷书作品，有12人提交了隶书作品，有8人提交了行书作品，同时提交楷书作品和隶书作品的有4人，同时提交楷书作品和行书作品的有2人，没有人同时提交三种作品，则同时提交隶书作品和行书作品的有 2 人． 解：画出韦恩图如下：设同时提交隶书作品和行书作品的有x 人， 则20+12+8﹣32＝2+4+x ， 解得x ＝2，即同时提交隶书作品和行书作品的有2人． 故答案为：2．14．已知f （x ）定义域为[﹣1，1]，值域为[0，1]，且f （﹣x ）﹣f （x ）＝0，写出一个满足条件的f （x ）的解析式是 f （x ）＝|x |，x ∈[﹣1，1] ．解：根据题意，要求函数f （x ）同时满足以下条件：①定义域为[﹣1，1]；②值域为[0，1]；③f （﹣x ）﹣f （x ）＝0， 可以考虑y ＝|x |，x ∈[﹣1，1]，（答案不唯一）， 故答案为：f （x ）＝|x |，x ∈[﹣1，1]，（答案不唯一）．15．已知f （x +1）＝x 2﹣x +1，则当x ＞1时，g(x)=f(x)x−1的最小值为 1 ． 解：因为f （x +1）＝x 2﹣x +1＝（x +1）2﹣3（x +1）+3， 所以f （x ）＝x 2﹣3x +3， 则令t ＝x ﹣1，当x ＞1时，t ＞0，g(x)=f(x)x−1=x 2−3x+3x−1=(t+1)2−3(t+1)+3t =t 2−t+1t =t +1t−1，因为y ＝t +1t −1≥2√t ⋅1t −1＝1，当且仅当t ＝1时取等号． 故答案为：1．16．设函数f(x)=2023(x+1)2+x 2025x 2+1(−3≤x ≤3)的最大值为M ，最小值为m ，则M +m ＝ 4046 ．解：因为f(x)=2023(x+1)2+x 2025x 2+1=2023+x 2025+4046xx 2+1（﹣3≤x ≤3），设h （x ）=x 2025+4046xx 2+1（﹣3≤x ≤3），定义域关于原点对称，由h （﹣x ）=(−x)2025+4046(−x)(−x)2+1=−x 2025+4046xx 2+1=−h （x ），知函数h （x ）为奇函数，所以h （x ）max +h （x ）min ＝0，因为M ＝2023+h （x ）max ，m ＝2023+h （x ）min ， 所以M +m ＝2023+h （x ）max +2023+h （x ）min ＝4046． 故答案为：4046．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知函数f(x)=√3−x 1x+2的定义域为集合A ，集合B ＝{x |（x ﹣2）（x +3）＞0}． （1）求集合A ；（2）求A ∩B ，（∁R A ）∪B ．解：（1）依题意{3−x ≥02+x ＞0得：﹣2＜x ≤3，故定义域为：A ＝{x |﹣2＜x ≤3}；（2）B ＝{x |（x ﹣2）（x +3）＞0}＝{x |x ＞2或x ＜﹣3}，∴A ∩B ＝{x |2＜x ≤3}，∁R A ＝{x |x ≤﹣2或x ＞3}，（∁R A ）∪B ＝{x |x ≤﹣2或x ＞2}． 18．（12分）已知集合A ={x|x−6x−2＜0}，B ＝{x |x 2﹣4x ＜0}． （1）求∁R （A ∪B ）．（2）已知集合C ＝{x |m +1＜x ＜2m ﹣1}，若满足_____，求实数m 的取值范围．请从①C ⊆（C ∩B ），②∁R C ⊇∁R B ，③“x ∈C ”是“x ∈B ”的充分不必要条件中选一个填入（2）中横线处进行解答． 解：（1）根据题意，x−6x−2＜0⇔（x ﹣6）（x ﹣2）＜0⇒2＜x ＜6，则集合A ={x|x−6x−2＜0}=（2，6），x 2﹣4x ＜0⇔0＜x ＜4，则集合B ＝{x |x 2﹣4x ＜0}＝（0，4），则A ∪B ＝（0，6），故∁R （A ∪B ）＝（﹣∞，0]∪[6，+∞）； （2）选①，若C ⊆（C ∩B ），则有C ⊆B ， 当C ＝∅时，有m +1≥2m ﹣1，解可得m ≤2， 当C ≠∅时，有{m +1＜2m −1m +1≥02m −1≤4，解可得2＜m ≤52，综合可得：m ≤52，即m 的取值范围为（﹣∞，52]．选②，若∁R C ⊇∁R B ，则有C ⊆B ，当C ＝∅时，有m +1≥2m ﹣1，解可得m ≤2， 当C ≠∅时，有{m +1＜2m −1m +1≥02m −1≤4，解可得2＜m ≤52，综合可得：m ≤52，即m 的取值范围为（﹣∞，52]．选③，若“x ∈C ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，则有C ⫋B ， 当C ＝∅时，有m +1≥2m ﹣1，解可得m ≤2，当C ≠∅时，有{m +1＜2m −1m +1≥02m −1≤4且等号不同时成立，解可得2＜m ≤52，综合可得：m ≤52，即m 的取值范围为（﹣∞，52]．19．（12分）已知函数f(x)=ax+b 1+x2是定义在（﹣1，1）上的函数，且f(12)=25，f(13)=310． （1）利用定义判断函数f （x ）在（﹣1，1）上的单调性； （2）解不等式f （x ﹣1）+f （x ）＜0． 解：（1）根据题意，f （x ）=ax+b1+x 2是定义在（﹣1，1）上的函数， 又由f(12)=25，f （13）=310， 则a×(12)1+14=25，13a+b 1+19=310，解可得a ＝1，故a ＝1，b ＝0，可得：f （x ）=x1+x 2， 设﹣1＜x 1＜x 2＜1， f （x 1）﹣f （x 2）=x 11+x 12−x 21+x 22=(x 1−x 2)(1−x 1x 2)(1+x 12)(1+x 22)，又由﹣1＜x 1＜x 2＜1，则x 1﹣x 2＜0，1﹣x 1x 2＞0，1+x 12＞0，1+x 22＞0则f （x 1）﹣f （x 2）＜0，故函数f （x ）在（﹣1，1）上是增函数；（2）由于f （x ﹣1）+f （x ）＜0⇒f （x ﹣1）＜﹣f （x ）⇒f （x ﹣1）＜f （﹣x ），则有{−1＜−x ＜1−1＜x −1＜1x −1＜−x，解可得0＜x ＜12； 则不等式的解集为（0，12）． 20．（12分）某地区上年度电价为0.8元/（kW •h ），年用电量为akW •h ，本年度计划将电价下降到0.55元/（kW •h ）至0.75元/（kW •h ）之间，而用户期望电价为0.4元/（kW •h ）．经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为k ）．该地区的电力成本价为0.3元/（kW •h ）．记本年度电价下调后电力部门的收益为y （单位：元），实际电价为x （单位：元/（kW •h ））．（收益＝实际电量×（实际电价﹣成本价））（1）当k ＝0.2a 时，实际电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？（2）当k ＝0.4a 时，求收益y 的最小值．解：（1）由题意知，下调电价后新增用电量为k x−0.4， 故电力部门的收益y =(k x−0.4+a)(x −0.3)，0.55≤x ≤0.75．（1）当k ＝0.2a 时，y =(0.2a x−0.4+a)(x −0.3)=a(0.2x−0.4+1)(x −0.3)． 由题意知a(0.2x−0.4+1)(x −0.3)≥a(0.8−0.3)×(1+20%)且0.55≤x ≤0.75， 化简得x 2﹣1.1x +0.3≥0，解得x ≤0.5或x ≥0.6，又0.55≤x ≤0.75，∴0.6≤x ≤0.75，所以实际电价最低定为：0.6元/（kW •h ）时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%．（2）当k ＝0.4a 时，y =(0.4a x−0.4+a)(x −0.3)=a(0.4x−0.4+1)(x −0.3)，令t ＝x ﹣0.4，∵0.55≤x ≤0.75，∴0.15≤t ≤0.35，∵a ＞0，∴y =a(0.4t +1)(t +0.1)=a(0.04t +t +0.5)≥a(2√0.04+0.5)=0.9a ， 当且仅当t ＝0.2时取等号，故收益y 的最小值0.9a ．21．（12分）已知二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c ．（1）若f （x ）＞0的解集为{x |﹣3＜x ＜4}，求函数f （x ）＝ax 2+bx +c 的单调递减区间；（2）已知b ＝4，a ＞c ，若f （x ）≥0对于一切实数x 恒成立，并且存在x a ∈R ，使得ax 02+bx 0+c =0成立，求4a 2+c 22a−c 的最小值．解：（1）∵ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |﹣3＜x ＜4}，∴a ＜0，﹣3+4=−b a ，﹣3×4=c a，∴b ＝﹣a ，c ＝﹣12a （a ＜0），则f （x ）＝ax 2+bx +c ＝ax 2﹣ax ﹣12a 开口向下，对称轴x =12，故函数的单调递减区间为[12，+∞）； （2）由f （x ）≥0对于一切实数x 恒成立，可得{a ＞0Δ=16−4ac ≤0， 即{a ＞0ac ≥4， 由存在x 0∈R ，使得ax 02+bx 0+c =0成立可得Δ＝16﹣4ac ≥0，∴Δ＝16﹣4ac ＝0，∴ac ＝4，又a ＞c ，∴4a 2+c 22a−c =(2a−c)2+162a−c ≥2⋅(2a−c)⋅42a−c =8，当且仅当2a ﹣c ＝4时“＝“成立，∴最小值为8．22．（12分）函数f(x)=x 2+(3a+1)x+c x+a(a ，c ∈R)． （1）当a ＝0时，是否存在实数c ，使得f （x ）为奇函数；（2）当a ＝1，c ＝﹣3时，求函数f(x)=x 2|−(3a−1)|x+c x+a在区间[1，2]上的值域． （3）函数f （x ）的图像过点（1，3），且f （x ）的图像与x 轴负半轴有两个交点，求实数a 的取值范围． 解：（1）当a ＝0时，f(x)=x 2+x+c x， 因为f(x)+f(−x)=x 2+x+c x +x 2−x+c −x=2≠0， 所以不存在实数c ，使得f （x ）为奇函数．（2）当a ＝1，c ＝﹣3时，f(x)=x 2+4x−3x+1=(x +1)−6x+1+2， 令x +1＝t ，则t ∈[2，3]，因为y ＝t 在t ∈[2，3]为增函数，y =−6t +2在t ∈[2，3]为增函数，所以由单调性知y =t −6t +2，t ∈[2，3]为增函数，所以1≤y ≤3， 所以函数f （x ）在区间[1，2]上的值域为[1，3]．（3）因为函数f （x ）的图象过点（1，3），所以1+(3a+1)+c a+1=3，所以c ＝1，所以f(x)=x 2+(3a+1)x+1x+a ，且x ≠﹣a ， 因为f （x ）的图象与x 轴负半轴有两个交点，则{(3a +1)2−4＞0−(3a +1)＜0(−a)2+(3a +1)(−a)+1≠0， 所以{ a ＜−1或a ＞13a ＞−13a ≠−1且a ≠12，所以13＜a ＜12或a ＞12， 所以实数a 的取值范围(13，12)∪(12，+∞)．。
2020-2021学年山东省济宁市兖州区高一上学期期中考试数学试题(解析版)
2020-2021学年山东省济宁市兖州区高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则C U B AA ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,7【答案】C 【分析】先求UA ，再求UBA ．【详解】由已知得{}1,6,7U C A =，所以U B C A ⋂={6,7}，故选C ．【点睛】本题主要考查交集、补集的运算．渗透了直观想象素养．使用补集思想得出答案．2．命题“2,220x x x ∃∈++≤R ”的否定是（ ） A ．2,220x x x ∀∈++>R B ．2,220x R x x ∀∈++≤ C ．2,220x x x ∃∈++>R D ．2,220x x x ∃∈++≥R【答案】A【分析】根据特称命题的否定是全称命题的知识，选出正确选项.【详解】特称命题的否定是全称命题，注意到要否定结论，故A 选项正确. 故选A.【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题的否定，属于基础题. 3．下列各组函数中，两个函数相同的是（ ）A ．()1f x x ，2()g x =B ．()1f x x =-，()g x =C ．()f x x =，()g x =D ．24()2x f x x -=-，()2g x x =+【答案】C【分析】逐一判断每个选项中两个函数的定义域和解析式是否一样即可. 【详解】选项A ，()f x 的定义域是R ，()g x 的定义域是[)1,+∞，故不相同；选项B ，()1g x x ==-，故不相同；选项C ，()f x 、()g x 的定义域是R ，()g x x ==，故相同选项D ，()f x 的定义域是{}2x x ≠，()g x 的定义域是R ，故不相同 故选：C4．不等式23520x x +-＞的解集为（ ）A ．13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()1,3,2⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭C ．1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1,3,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】将23520x x +->化为22530x x --<，即()1302x x ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，所以不等式23520x x +->的解集为1,32⎛⎫-⎪⎝⎭.故选C. 5．设053a =．，30.5b =，3log 0.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a c b >>【答案】A【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．【详解】解：∵00.51333<<，∴0.5131<<，即13a <<， ∵3000.80.8<<，∴300.81<<，即01b <<， ∵3log y x =在(0,)+∞上为增函数，且0.51<， ∴33log 0.5log 10<=，即0c < ∴a b c >>， 故选：A ．【点睛】此题考查对数式、指数式比较大小，属于基础题6．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ） A ．必要条件 B ．充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 【答案】A【分析】由充分条件、必要条件的定义即可得解.【详解】由题意，“返回家乡”可推出“攻破楼兰”，但“攻破楼兰”不一定“返回家乡”， 所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件. 故选：A.【点睛】本题考查了命题充要条件的判断，考查了逻辑推理能力，属于基础题. 7．函数()221xf x x =+的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．【答案】B【分析】先判断函数的定义域和奇偶性，再判断()221xf x x =+和()1g x =大小关系，最后判断出图象一致形状. 【详解】()221xf x x =+的定义域为全体实数集，()222()2()()11x xf x f x x x --==-=--++，所以该函数是全体实数集上的奇函数，故排除C,D ；设()1g x =，则有2222(1)()()10()()11x x g x f x g x f x x x --=-=≥⇒≥++，当且仅当1x =时，取等号，故函数有最大值为1，排除选项A. 故选：B【点睛】本题考查了函数图象，考查了函数奇偶性的判断，考查了函数的最值，属于基础题.8．已知函数1,0,()ln 1,0,x x f x x x ⎧+≤=⎨+>⎩若方程()()f x m m R =∈恰有三个不同的实数解a ，b ，()c a b c <<，则()a b c +的取值范围是（ ）A ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．22,e ⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．52,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】画出()f x 的图像，根据图像求出m 以及a +b 的值和c 的范围，进一步求出答案.【详解】画出()f x 的图像，因为方程()()f x m m R =∈恰有三个不同的实数解a ，b ，()c a b c << 可知m 的范围(]0,1由题可知a +b =-2，0ln 11c <+≤ 所以11c e<≤ 所以()22-≤+<-a b c e. 故选：B.【点睛】本题考查的是函数与方程的知识点，涉及到数形结合的思想，属于基础题.二、多选题9．已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ） A ．2212a b +≥B ．122a b->C ．22log log 2a b +≥-D 2a b ≤【答案】ABD【分析】根据1a b +=，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 【详解】对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确； 对于B ，211a b a -=->-，所以11222a b-->=，故B 正确；对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭， 当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为2112a b =+≤++=，，当且仅当12a b ==时，等号成立，故D 正确； 故选：ABD【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养. 10．下列命题为真命题的是（ ）A ．已知幂函数()af x kx =的图象过点()2,4，则3k a +=B ．x R ∀∈，210x x ++>C ．函数()110,1x y aa a -=+>≠过定点()1,2 D ．1x >时，11x x +-的最小值为2 【答案】ABC【分析】对于A ：根据函数()af x kx =是幂函数和函数的图象过点()2,4，可求得k a ，，由此可判断；对于B ：由22131++024x x x ⎛⎫++=> ⎪⎝⎭，可判断；对于C ：因为当1x =时，1112y a-=+=，可判断；对于D ：由111+1311x x x x +=-+≥=--，可判断． 【详解】对于A ：因为函数()af x kx =是幂函数，所以1k =，又函数的图象过点()2,4，所以()224a f ==，2a =，所以+3k a =，故A 正确；对于B ：因为22131++024x x x ⎛⎫++=> ⎪⎝⎭，所以B 正确；对于C ：因为当1x =时，1112y a-=+=，所以函数()110,1x y aa a -=+>≠过定点()1,2，故C 正确；对于D ：因为1x >，所以10x ->，所以()1111+121+13111x x x x x x +=-+≥-⨯=---，当且仅当111x x -=-，即2x =时取等号，故D 不正确； 故选：ABC ．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.11．如图所示是函数()y f x =的图象,图中x 正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交,则以下描述正确的是( )A ．函数()f x 的定义域为[)4,4-B ．函数()f x 的值域为[)0,+∞C ．此函数在定义域内是增函数D ．对于任意的()5,∈+∞y ,都有唯一的自变量x 与之对应 【答案】BD【分析】根据函数图象,逐项判断,即可求得答案.【详解】对于A,由函数的图象可知,函数的定义域为[4,0][1,4)-⋃,故A 不正确; 对于B,由函数的图象可知,函数的值域为:[0,)+∞,故B 正确;对于C,函数在[4,0],[1,4)-是增函数,结合图象可知,此函数在定义域内不是增函数,故C 错误;对于D,由函数的图象可知,对于任意的()5,∈+∞y ,都有唯一的自变量x 与之对应,故D正确. 故选:BD.【点睛】本题主要考查了根据函数图象判断函数相关性质,解题关键是掌握函数的基础知识,考查了分析能力,属于基础题.12．已知定义在R 上函数()f x 的图象是连续不断的，且满足以下条件：①R x ∀∈，()()f x f x -=；②12,(0,)x x ∀∈+∞，当12x x ≠时，都有()()21210f x f x x x ->-；③(1)0f -=.则下列选项成立的是（ ） A ．(3)(4)>-f f B ．若(1)(2)-<f m f ，则(,3)∈-∞m C ．若()0f x x>，(1,0)(1,)x ∈-+∞∪ D ．x R ∀∈，∃∈M R ，使得()f x M ≥【答案】CD【分析】由条件可得()f x 是偶函数且()f x 在(0,)+∞上单调递增，然后即可判断出每个答案正确与否.【详解】由条件①得()f x 是偶函数，条件②得()f x 在(0,)+∞上单调递增 所以(3)(4)(4)f f f <=-，故A 错若(1)(2)-<f m f ，则12m -<，得13m -<<，故B 错若()0f x x >则0()0x f x >⎧⎨>⎩或0()0x f x <⎧⎨<⎩，因为(1)(1)0f f -== 所以1x >或01x <<，故C 正确因为定义在R 上函数()f x 的图象是连续不断的，且在(0,)+∞上单调递增 所以min ()(0)f x f =，所以对x R ∀∈，只需(0)M f ≤即可，故D 正确 故选：CD【点睛】1.偶函数的图象关于y 轴对称，比较函数值的大小即比较自变量到y 轴的远近 2. 12,(,)x x a b ∀∈，当12x x ≠时，都有()()21210f x f x x x ->⇔-()f x 在(,)a b 上单调递增；12,(,)x x a b ∀∈，当12x x ≠时，都有()()21210f x f x x x -<⇔-()f x 在(,)a b 上单调递减.三、填空题13．函数2211x y x-=+的值域是_____________. 【答案】(]1,1-【分析】由2211x y x -=+，知()2110y x y ++-=，当10y +≠时，()()4110y y ∆=-+-≥，解得11y -<≤，检验当10y +=时不成立，由此能求出函数2211x y x-=+的值域. 【详解】2211x y x-=+，221y yx x ∴+=-， 整理，得()2110y x y ++-=，当10y +≠时，()()4110y y ∆=-+-≥， 解得11y -<≤，当10y +=时，11-=不成立，1y ∴≠-，故答案为(]1,1- .【点睛】本题考查了函数值域的求法，高中函数值域求法有：1观察法；2.配方法；3.反函数法；4.判别式法；5.换元法；6.数形结合法；7.不等式法；8.分离常数法；9.单调性法；10.利用导数求函数的值域； 11.最值法；12.构造法； 13.比例法,要根据题意选择 .14．已知函数,1()log ,1x a a x f x x x ⎧≤=⎨>⎩(0a >且1a ≠)，若()12f =，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭____________. 【答案】12【分析】根据函数的解析式结合()12f =可得a 的值，先求12f ⎛⎫⎪⎝⎭，再求12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可.【详解】因为,1()log ,1x a a x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，所以()12f a ==，又因为12122f ⎛⎫==⎪⎝⎭，所以211log 22f f f ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：12. 15．2018年5月至2019年春，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蚂虫迅速繁衍，呈现几何式的爆发，仅仅几个月，蝗虫数量增长了8000倍，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为5%，最初有0N 只，则经过____________天能达到最初的16000倍（参考数据：ln1.050.0488,ln1.50.4055,ln16007.3778≈≈≈，ln160009.6803≈.【答案】199【分析】设过x 天能达到最初的16000倍，得到方程00(10.05)16000xN N +=，结合对数的运算性质，即可求解.【详解】设过x 天能达到最初的16000倍，由已知00(10.05)16000xN N +=，解得ln16000198.4ln1.05x =≈，又因为x ∈N ，所以过199天能达到最初的16000倍. 故答案为：199.【点睛】本题主要考查了函数的实际应用问题，其中解答中认真审题，列出方程，结合对数的运算公式求解是解答的关键，着重考查运算与求解能力.16．已知0a b >>，且4ab =，则22a b a b+-的最小值为_______.【答案】【分析】将所求式子进行整理228a b a b a b a b+=-+--，然后利用基本不等式，即可求出结果.【详解】因为a b >，所以0a b ->，又4ab =， 所以()222228a b ab a b ab a b a b a b a b a b a b-++==-+=-+≥=----，即22a b a b+≥-，当且仅当8a b a b -=-，即a =，b 时取等号．故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.四、解答题 17．计算：（1）22301212732(2)482--⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）()26666log 4log 3log 12log 3+⋅+ 【答案】（1）12；（2）2. 【分析】（1）根据幂的运算法则可计算得答案； （2）根据对数运算法则计算得答案. 【详解】解：（1）原式()12223213(220)3127322+3341=()1()2292248--⨯-⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ -----+⎪⎝⎭⎝⎭=⎝⎭；（2）原式()()266666666log 2log 3log 3log 122log 22log 32log 2log 32=+⋅+=+=+=.18．设全集U =R ，函数()()lg 3f x a x =+-的定义域为集合A ，集合1|2324x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，命题p ：若______时，则A B φ⋂≠，从①5a =-，②3a =-，③2a =这三个条件中选择一个条件补充到上面命题p 中，使命题p 为真，说明理由；并求()U A C B ⋂.【答案】3a =-；(){}32U A C B x x ⋂=-≤<-【分析】求出定义域集合{}3A x a x a =≤<+，集合{}|25B x x =-≤≤，取a 值使A B φ⋂≠，然后利用集合的交补运算即可求解.【详解】根据题意可得030x a a x -≥⎧⎨+->⎩，解不等式可得3a x a ≤<+，所以{}3A x a x a =≤<+，{}1|232254x B x x x ⎧⎫=≤≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭，当5a =-时，{}{}352A x a x a x x =≤<+=-≤<-，此时A B φ⋂=， 即命题p 为假，故不取；当3a =-时，{}{}330A x a x a x x =≤<+=-≤<，此时{}20A B x x ⋂=-≤<≠∅，即命题p 为真，{2U C B x x =<-或}5x >，所以(){}32U A C B x x ⋂=-≤<-，当2a =时，{}{}325A x a x a x x =≤<+=≤<，此时{}25A B x x ⋂=≤<≠∅， 即命题p 为真，{2U C B x x =<-或}5x >，所以()U A C B ⋂=∅，综上所述，可选3a =-，(){}32U A C B x x ⋂=-≤<-【点睛】本题考查了对数型复合函数的定义域、指数函数单调性解不等式、命题的真假以及集合的交补运算，属于基础题. 19．已知定义在(1,1)-上的奇函数2()1ax bf x x +=+是增函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的解析式； （2）解不等式(1)(2)0f t f t -+<．【答案】（1）2()1xf x x =+；（2）102t t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.【分析】（1）利用()00f =及1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭即可确定a 与b 的值，则可得到()f x 的解析式；（2）利用()f x 为奇函数，且在(1,1)-上为增函数将不等式(1)(2)0f t f t -+<转化为()(1)f t f t <-求解.【详解】解：（1）∵()f x 是区间(1,1)-上的奇函数，∴(0)0f b ==,又12212514a bf +⎛⎫== ⎪⎝⎭+， ∴1a =∴2()1xf x x =+，此时2()()1x f x f x x --==-+， ()f x ∴为奇函数；（2）∵(1)()0f t f t -+<，且()f x 为奇函数， ∴()(1)(1)f t f t f t <--=- 又函数()f x 在区间(1,1)-上是增函数∴111111t tt t <-⎧⎪-<<⎨⎪-<-<⎩，解得102t <<故关于t 的不等式的解集为102t t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭． 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求参，考查利用函数的单调性与奇偶性综合求解不等式问题，难度一般，灵活转化是关键.20．为了缓解市民吃肉难的生活问题，某生猪养殖公司欲将一批猪肉用冷藏汽车从甲地运往相距120千米的乙地，运费为每小时60元，装卸费为1000元，猪肉在运输途中的损耗费(单位：元)是汽车速度(km/h )值的2倍.(说明：运输的总费用=运费+装卸费+损耗费)（1）为使运输的总费用不超过1260元，求汽车行驶速度的范围； （2）若要使运输的总费用最小，汽车应以每小时多少千米的速度行驶？【答案】（1）[40,90]；（2）若要使运输的总费用最小，汽车应以每小时60千米的速度行驶.【分析】（1）设汽车行驶的速度为x 千米/小时，列出总费用的表达式，根据题意及一元二次不等式的解法，即可求得答案；（2）设汽车行驶的速度为x 千米/小时，列出总费用的表达式，利用基本不等式，即可求得答案.【详解】（1）设汽车行驶的速度为x 千米/小时，运输的总费用=运费+装卸费+损耗费，∴12060100021260⨯++≤x x，化简得213036000-+≤x x解得：4090x ≤≤∴运输的总费用不超过1260元，汽车行驶速度的范围为：[40,90].（2）设汽车行驶的速度为x 千米/小时，运输的总费用=运费+装卸费+损耗费，∴运输的总费用：120720060100022100010001240⨯++=++≥=x x x x 当且仅当72002=x x即60x =时取得等号， ∴若要使运输的总费用最小，汽车应以每小时60千米的速度行驶.21．在直角坐标系xOy 中，记函数()()3log 82xf x =-的图象为曲线C 1，函数()g x =C 2．（Ⅰ）比较f （2）和1的大小，并说明理由；（Ⅱ）当曲线C 1在直线y ＝1的下方时，求x 的取值范围； （Ⅲ）证明：曲线C 1和C 2没有交点．【答案】（Ⅰ）f (2)＞1，理由见解析；（Ⅱ）(log 25,3)；（Ⅲ）证明见解析 【分析】(Ⅰ)因为()()2332log 82log4f =-=，求出f (2)的值，结合函数的单调性判断f (2)和1的大小．(Ⅱ)因为“曲线C 在直线y ＝1的下方”等价于“f (x )＜1”，推出()3log 821x-<．求解即可．(Ⅲ)求出两个函数的定义域，然后判断曲线C 1和C 2没有交点． 【详解】解： (Ⅰ)因为()()2332log 82log4f =-=，又函数y ＝log 3x 是 (0，+∞)上的增函数， 所以f (2)＝log 34＞log 33＝1．(Ⅱ)因为“曲线C 在直线y ＝1的下方”等价于“f (x )＜1”， 所以()3log 821x-<．因为 函数y ＝log 3x 是 (0，+∞)上的增函数， 所以 0＜8﹣2x ＜3， 即 5＜2x ＜8，所以x 的取值范围是 (log 25，3)． (Ⅲ)因为f (x )有意义当且仅当8﹣2x ＞0，解得x ＜3．所以f (x )的定义域为D 1＝ (﹣∞，3)． g (x )有意义当且仅当x ﹣3≥0， 解得x ≥3．所以g (x )的定义域为D 2＝[3，+∞)． 因为D 1∩D 2＝∅，所以曲线C 1和C 2没有交点．【点睛】本题考查函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．22．定义域为R 的函数()13133x x f x +-+=+.（1）判断()f x 的奇偶性；（2）判断函数()f x 在R 上的单调性； （3）若不等式()()131330xx f f k k +-+⋅+>在区间[)0,+∞上有解，求实数k 的取值范围.【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）减函数，证明见解析；（3）(),0-∞.【分析】（1）将函数()y f x =的解析式化简为()()13313x x f x -=+，然后利用函数奇偶性的定义证明即可；（2）任取1x 、2x R ∈且12x x <，作差()()12f x f x -，并判断()()12f x f x -的符号，即可证明出函数()y f x =在R 上的单调性； （3）由()()131330xx f f k k +-+⋅+>可得出()()13313x x f k k f +⋅+>-，再由（2）中的结论得出()11333xx k f x +-<=+，求出函数()y f x =在区间[)0,+∞上的最大值，即可得出实数k 的取值范围. 【详解】（1）()()1311333313x xx x f x +-+-==++，定义域为R ，关于原点对称，又()()()()()()31313313133313331x x x x x x x xf x f x --------====-+⨯⨯++， 因此，函数()13133x x f x +-+=+为奇函数；（2）()()()()()21313213313313313x x x x xf x -+-===-+++， 任取1x 、2x R ∈且12x x <，则()()()()1212212133312312x x f x f x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=---++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()()()2112122222231231231212x x x x x x -=-=++++， 12x x <，21220x x ∴->，1120x +>，2120x +>，()()120fx f x ∴->，即()()12f x f x >.因此，函数()13133x x f x +-+=+在R 上为减函数；（3）函数()y f x =为R 上的奇函数，由()()131330xx f f k k +-+⋅+>可得()()()1333113x x x f f k k f +-=⋅--+>，又由于函数()y f x =为R 上的减函数，13313x x k k +∴⋅+<-，()11333xx k f x +-∴<=+，由题意知，存在[)0,x ∈+∞，使得()11333xx k f x +-<=+成立，则()max k f x <，因为函数()13133x x f x +-+=+在[)0,+∞上为减函数，则()()max 00f x f ==，0k ∴<.因此，实数k 的取值范围是(),0-∞.【点睛】本题考查利用定义证明函数的奇偶性与单调性，同时也考查了利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式能成立问题，解题的关键就是将问题转化为与函数最值相关的不等式来求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.。
山东省济宁市2020-2021学年高一上学期期末考试数学试题(word版,含答案)
2020-2021学年度第一学期质量检测高一数学试题2021.02一､选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分｡在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的｡1.已知集合A={x|-2<x<1},B={-2,- 1,0,1,2},则A ∩B=A.{-2,-1,0}B.{-1,0,1}C.{-1,0}D.{0,1} 2.已知命题p:21,40,x x ∃>-<则¬p 是2.1,40A x x ∃>-≥ “”2.1,40B x x ∃≤-< 2.1,40C x x ∀≤-≥2.1,40D x x ∀>-≥3.“2πϕ=”是“函数sin()y x ϕ=+为偶函数”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 4.若0.5222,sin,log 0.2,5a e b c π===则a ､b ､c 的大小关系为 A.b>a>c B.a>b>c C.c>a>b D.b>c>a5.函数cos(2)4y x π=+的图象经过怎样的平移可得到函数y=cos2x 的图象 A.向左平行移动4π个单位长度B.向右平行移动4π个单位长度 C.向左平行移动8π个单位长度 D.向右平行移动8π个单位长度 6.函数y=xcosx+sinx 在区间[-π,π]上的图象大致为7.已知角A ､B ､C 分别是△ABC 的三个内角,且4cos 25A =则cos(B+C)= 7.25A - 16.25B - 7.25C 16.25D 8.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术",即已知三角形三边长求三角形面积的公式:设三角形的三条边长分别为a ､b ､c,则三角形的面积S 可由公式()()()S p p a p b p c =---,其中p 为三角形周长的-半,这个公式也被称为海伦-秦九韶公式,现有一个三角形的边长满足a=3,b+c=5,则此三角形面积的最大值为 3.2A B.3 .7C .11D二､选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求｡全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分｡9.如果a>b>0,那么下列不等式成立的是.A a b >2211.B a b < 22.C ac bc > D.a-c>b-c 10.若方程220x x λ++=在区间(-1,0)上有实数根,则实数λ的取值可以是A.-3 1.8B 1.4C D.111.已知1(0,),sin cos 5θπθθ∈+=-,则下列结论正确的是.(,)2A πθπ∈ 3.cos 5B θ=- 3.tan 4C θ=- 7.sin cos 5D θθ-= 12.已知实数12,x x 为函数21()()|log (1)2x f x x =--|的两个零点,则下列结论正确的是 12.(2)(2)(,0)A x x --∈-∞12.(1)(1)(0,1)B x x --∈ 12.(1)(1)1C x x --= 12.(1)(1)(1,)D x x --∈+∞三､填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分｡31log 22513.39lg 2lg 22+++=____. 14.已知函数1()2(0x a f x a x a -=++>且a ≠1)的图象恒过定点P,则点P 的坐标为____.15.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示,则此函数的解析式为____.16.若实数x,y 满足x>y>0,且22log log 1,x y +=则22x y x y+-的最小值为____.四､解答题:本题共6小题,共70分｡解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤｡17.(10分)在①A ∪B=B;②"x ∈A"是“x B ∈”的充分不必要条件;③A B ⋂=∅这三个条件中任选一个,补充到本题第(II)问的横线处,求解下列问题.问题:已知集合A={x|a-1≤x ≤a+1},B={x|-1≤x ≤3}.(I)当a=2时,求A ∪B;(II)若______,求实数a 的取值范围.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.18.(12分)如图,角θ的顶点与平面直角坐标系xOy 的原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合,终边与单位圆交于点P,若点P 的坐标为04(,).5y - (I)求tanθ-sin2θ的值;(II)若将OP 绕原点O 按逆时针方向旋转40°,得到角α,设tanα=m,求tan(θ+85°)的值.19.(12分)目前,"新冠肺炎"在我国得到了很好的遏制,但在世界其他一些国家还大肆流行.因防疫需要,某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒,药熏开始前要求学生全部离开教室.已知在药熏过程中,教室内每立方米空气中的药物含量y(毫克)与药熏时间t(小时)成正比;当药熏过程结束,药物即释放完毕,教室内每立方米空气中的药物含量y(毫克)达到最大值.此后,教室内每立方米空气中的药物含量y(毫克)与时间t(小时)的函数关系式为1()32t a y -=(a 为常数).已知从药熏开始,教室内每立方米空气中的药物含量y(毫克)关于时间t(小时)的变化 曲线如图所示.(I)从药熏开始,求每立方米空气中的药物含量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式;(II)据测定,当空气中每立方米的药物含量不高于0.125毫克时,学生方可进入教室,那么从药熏开始,至少需要经过多少小时后,学生才能回到教室?20.(12分)已知函数1()2sin cos().62f x x x π=-- (I)求函数f(x)的最小正周期;(II)求函数f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间.21.(12分)设函数2()(2) 3.f x ax b x =+-+(I)若不等式f(x)>0的解集为(-1,1),求实数a,b 的值;(II)若f(1)=0,且存在x ∈R ,使f(x)>4成立,求实数a 的取值范围.22.(12分)已知函数()sin cos ,()sin 2().f x x x g x x f x =+=- (I)求函数y=f(x)图象的对称轴的方程;(II)当[,0]2x π∈-时,求函数g(x)的值域;(III)设91()91x x h x -=+,存在集合M,当且仅当实数m ∈M,且在x ∈(0,+∞)时,不等式()()02x mh h x ->恒成立.若在(II)的条件下,恒有ag(x)∉M(其中a>0),求实数a 的取值范围.。
山东省济宁市兖州区2023-2024学年高三上学期期中考试 数学含解析
2023-2024学年第一学期期中质量检测高三数学试题（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为U ，集合M ，N 满足M N U ⊂⊂，则下列运算结果为U 的是（）A .M N⋃ B.()()UUN M 痧 C.()U M Nð D.()U N Mð2.命题p ：n ∃∈N ，22n n ≥，则命题p 的否定为（）A .n ∀∈N ，22nn ≤ B.n ∃∈N ，22n n ≤C.n ∀∈N ，22n n < D.n ∃∈N ，22n n <3.函数()f x =的单调递增区间为（）A.1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.(,1)-∞- C.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭4.已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且•••PA PB PB PC PC PA ==，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）A.重心外心垂心 B.重心外心内心C.外心重心垂心D.外心重心内心5.2023年8月6日2时33分，山东平原县发生里氏5.5级地震，8月8日3时28分，菏泽市牡丹区发生2.6级地震，短时间内的两次地震引起了人们对地震灾害和避险方法的关注.地震发生时会释放大量的能量，这些能量是造成地震灾害的元凶.研究表明地震释放的能量E （单位：焦耳）的常用对数与震级M 之间满足线性关系，若4级地震所释放的能量为106.310⨯焦耳，6级地震所释放的能量为136.310⨯焦耳，则这次平原县发生的地震所释放的能量约为（）（参考数据：lg 6.30.8≈，0.0510 1.1≈）A.11810⨯焦耳B.111.110⨯焦耳C.12810⨯焦耳D.131.110⨯焦耳6.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7.已知()f x 的定义域为()R,21y f x =-为奇函数，()1y f x =+为偶函数，若当()1,1x ∈-时，()e x f x =，则()194f =（）A.1eB.0C.1D.e8.已知ω是正整数，函数()()sin f x x ωω=+在()0,πω内恰好有4个零点，其导函数为()f x '，则()()f x f x '+的最大值为（）A.2B.C.3D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知复数21iz =+（i 是虚数单位），则下列命题中正确的是（）A.z = B.z 在复平面上对应点在第二象限C.1iz =+ D.z 的虚部为1-10.下列命题中正确．．的是（）A.若向量()1,2a =r ，()3,1b = ，则,a b可作为平面向量的一组基底B.若四边形ABCD 为平行四边形，且()()()5,1,1,7,1,2A B C --，则顶点D 的坐标为(7,6)-C.若ABC 是等边三角形，则π,3AB BC = ．D.已知向量,a b 满足()1,1a = ，4b = ，且π,4a b = ，则b 在a 上的投影向量的坐标为(2,2)11.若,,a b c ∈R ，则下列说法不成立的是（）A.若0ab ≠且a b <，则11a b> B.若c b a <<且0ac <，则22cb ab <C.若01a <<，则3a a< D.若0a b >>，则11b ba a+<+12.已知函数32()1f x x ax bx =-++，则下列说法正确的是（）A.当0b =时，()f x 有两个极值点B.当0a =时，()f x 的图象关于()0,1中心对称C.当24a b =，且4a >-时，()f x 可能有三个零点D.当()f x 在R 上单调时，23a b≥三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知23,25a b ==，则2log 45=___________.（用,a b 表示）14.曲线2x 1y x 2-=+在点()1,3--处的切线方程为__________．15.如图，,αβ是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角，则αβ+=______.16.如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点E 为AB 的中点．以A 为圆心，AE 为半径，作圆弧交AD 于点F ，若P 为劣弧EF 上的动点，则PC PD ⋅的最小值为__________．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知不等式2(21)(1)0x a x a a -+++≤的解集为集合A ，集合(2,2)B =-．（1）若2a =，求A B ⋃；（2）若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围．18.已知a 、b是非零向量，()a ab ⊥- ，且a = 、4b = ．（1）求a 与b的夹角θ；（2）求32a b -．19.已知()1f x a b =⋅- ，其中向量(sin 2,2cos ),)(R)a x x b x x ==∈,（1）求()f x 的最小正周期和最小值；（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，若4A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，a =，8b =，求边长c 的值.20.已知数列{}n a 的前n 项和,232-=n n nS .（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ,若对N ,4n n t T *∀∈≤恒成立，求实数t 的最大值.21.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如下图，某摩天轮最高点距离地面高度为100m ，转盘直径为90m ，均匀设置了依次标号为1~48号的48个座舱.开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动min t 后距离地面的高度为m H ，转一周需要30min.（1）求在转动一周的过程中，H 关于t 的函数解析式；（2）若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h （单位：m ）关于t 的函数解析式，并求高度差的最大值.（参考公式：sin sin 2cossin ,cos cos 2sin sin 2222θϕθϕθϕϕθθϕθϕ+-+--=-=）22.已知函数()()e xf x a a x =+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0a >时，()32ln 2f x a >+．2023-2024学年第一学期期中质量检测高三数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集为U ，集合M ，N 满足M N U ⊂⊂，则下列运算结果为U 的是（）A.M N ⋃B.()()UUN M 痧 C.()U M Nð D.()U N Mð【答案】D 【解析】【分析】由题意作出Venn 图，再由集合的运算逐一判断即可【详解】全集U ，集合M ，N 满足M N U ⊂⊂，绘制Venn 图，如下：对于A ：M N N ⋃=，A 错误；对于B ：()()U UUN M M =痧，B 错误；对于C ：()U M N ðU ⊂，C 错误；对于D ：()U N M U ⋃=ð，D 正确.故选：D.2.命题p ：n ∃∈N ，22n n ≥，则命题p 的否定为（）A.n ∀∈N ，22n n ≤B.n ∃∈N ，22n n ≤C.n ∀∈N ，22n n <D.n ∃∈N ，22nn <【答案】C 【解析】【分析】由存在量词命题的否定为全称量词命题，判断命题p 的否定形式.【详解】存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题p 的否定应该为n ∀∈N ，22n n <．故选：C ．3.函数()f x =的单调递增区间为（）A.1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.(,1)-∞- C.3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】由根式性质求定义域，结合二次函数和幂函数的性质确定增区间.【详解】由题意，令223t x x =--=()()2310x x -+≥，即1x ≤-或32x ≥，根据二次函数性质知：223t x x =--在(,1]-∞-上递减，在3,+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭上递增又y =在定义域上递增，故()f x =3,+2⎡⎫∞⎪⎢⎣⎭.故选：C4.已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且•••PA PB PB PC PC PA ==，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心）A.重心外心垂心 B.重心外心内心C.外心重心垂心 D.外心重心内心【答案】C 【解析】【详解】试题分析：因为OA OB OC ==，所以O 到定点,,A B C 的距离相等，所以O 为ABC ∆的外心，由0NA NB NC ++= ，则NA NB NC +=- ，取AB 的中点E ，则2NA NB NE CN +=-=，所以2NE CN = ，所以N 是ABC ∆的重心；由•••PA PB PB PC PC PA ==，得()0PA PC PB -⋅= ，即0AC PB ⋅=，所以AC PB ⊥，同理AB PC ⊥，所以点P 为ABC ∆的垂心，故选C.考点：向量在几何中的应用.5.2023年8月6日2时33分，山东平原县发生里氏5.5级地震，8月8日3时28分，菏泽市牡丹区发生2.6级地震，短时间内的两次地震引起了人们对地震灾害和避险方法的关注.地震发生时会释放大量的能量，这些能量是造成地震灾害的元凶.研究表明地震释放的能量E （单位：焦耳）的常用对数与震级M 之间满足线性关系，若4级地震所释放的能量为106.310⨯焦耳，6级地震所释放的能量为136.310⨯焦耳，则这次平原县发生的地震所释放的能量约为（）（参考数据：lg 6.30.8≈，0.0510 1.1≈）A.11810⨯焦耳B.111.110⨯焦耳C.12810⨯焦耳D.131.110⨯焦耳【答案】D 【解析】【分析】根据对数的运算性质即可代入数据求解 1.5 4.810M E +=,进而可求解.【详解】由题意可设lg E M λμ=+，则()()1013lg 6.3104lg 6.3106λμλμ⎧⨯=+⎪⎨⨯=+⎪⎩，解得 1.54.8λμ=⎧⎨=⎩，所以lg 1.5 4.8E M =+，所以 1.5 4.810M E +=，所以当 5.5M =时， 1.55.54.813.050.05131310101010 1.110E ⨯+===⨯≈⨯焦耳.故选:D.6.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C 【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n 项和与第n 项的关系推理判断作答.，【详解】方法1，甲：{}n a 为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ，则1111(1)1,,222212n n n n S S S n n n d d dS na d a d n a n n n +--=+=+=+--=+，因此{}nS n为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：{}nS n为等差数列，即111(1)1(1)(1)n n n n n n S S nS n S na S n n n n n n +++-+--==+++为常数，设为t ，即1(1)n nna S t n n +-=+，则1(1)n n S na t n n +=-⋅+，有1(1)(1),2n n S n a t n n n -=--⋅-≥，两式相减得：1(1)2n n n a na n a tn +=---，即12n n a a t +-=，对1n =也成立，因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C 正确.方法2，甲：{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的首项1a ，公差为d ，即1(1)2n n n S na d -=+，则11(1)222n S n d d a d n a n -=+=+-，因此{}n S n 为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：{}n Sn 为等差数列，即11,(1)1n n n S S S D S n D n n n+-==+-+，即1(1)n S nS n n D =+-，11(1)(1)(2)n S n S n n D -=-+--，当2n ≥时，上两式相减得：112(1)n n S S S n D --=+-，当1n =时，上式成立，于是12(1)n a a n D =+-，又111[22(1)]2n n a a a nD a n D D +-=+-+-=为常数，因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.故选：C7.已知()f x 的定义域为()R,21y f x =-为奇函数，()1y f x =+为偶函数，若当()1,1x ∈-时，()e x f x =，则()194f =（）A.1eB.0C.1D.e【答案】C 【解析】【分析】根据函数的奇偶性可以求出函数的周期，利用周期运用代入法进行求解即可.【详解】()21y f x =-为奇函数，即()()21210f x f x -+--=，所以()f x 关于()1,0-中心对称，则()(2)f x f x =---，()1y f x =+为偶函数，即()()1()1(2)f x f x f x f x +=-+⇒-=，所以(2)(2)(2)(2)(4)()f x f x f x f x f x f x -=---⇒+=--⇒+=-，故()()()84f x f x f x +=-+=，即()f x 是周期为8的周期函数，所以()()()()1948242201f f f f =⨯+===，故选：C【点睛】关键点睛：本题的关键是利用函数的奇偶性求出函数的周期.8.已知ω是正整数，函数()()sin f x x ωω=+在()0,πω内恰好有4个零点，其导函数为()f x '，则()()f x f x '+的最大值为（）A.2B.C.3D.【答案】B 【解析】【分析】根据函数零点的定义，导数的运算公式，结合正弦型函数的最值性质进行求解即可.【详解】因为()f x 在()0,πω内恰好有4个零点，所以35π022T T ω<-≤，即3π5ππωωω<≤，所以235ω<≤，又N ω+∈，所以2ω=，所以()()sin 22f x x =+，()()2cos 22f x x '=+，所以()()()22f x f x x ϕ'+=++≤πtan 20,2ϕϕ⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知复数21iz =+（i 是虚数单位），则下列命题中正确的是（）A.z = B.z 在复平面上对应点在第二象限C.1i z =+ D.z 的虚部为1-【答案】ACD 【解析】【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的模长公式可判断A 选项；利用复数的几何意义可判断B选项；利用共轭复数的定义可判断C 选项；利用复数的概念可判断D 选项.【详解】因为()()()21i 21i 1i 1i 1i z -===-++-.对于A 选项，z =A 对；对于B 选项，z 在复平面上对应点的坐标为()1,1-，位于第四象限，B 错；对于C 选项，1i z =+，C 对；对于D 选项，z 的虚部为1-，D 对.故选：ACD.10.下列命题中正确．．的是（）A.若向量()1,2a =r ，()3,1b = ，则,a b可作为平面向量的一组基底B.若四边形ABCD 为平行四边形，且()()()5,1,1,7,1,2A B C --，则顶点D 的坐标为(7,6)-C.若ABC 是等边三角形，则π,3AB BC = ．D.已知向量,a b 满足()1,1a = ，4b = ，且π,4a b = ，则b 在a 上的投影向量的坐标为(2,2)【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，由基底的定义分析判断，对于B ，由AB DC =可求出点D 的坐标，对于C ，由向量夹角的定义分析判断，对于D ，由数量积的几何意义分析判断.【详解】对于A ，因为()1,2a =r ，()3,1b = ，且满足1231≠，所以,a b 不共线，所以,a b可作为平面向量的一组基底，所以A 正确，对于B ，设(,)D x y ，因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AB DC =，所以(6,8)(1,2)x y -=--，解得7,6x y ==-，所以顶点D 的坐标为(7,6)-，所以B 正确，对于C ，因为ABC 是等边三角形，所以32π,AB BC = ，所以C 错误，对于D ，因为向量,a b 满足()1,1a = ，4b = ，且π,4a b = ，所以b 在a上的投影向量的坐标为cos ,4(2,2)2a b a b a⋅=⨯=，所以D 正确，故选：ABD11.若,,a b c ∈R ，则下列说法不成立的是（）A.若0ab ≠且a b <，则11a b > B.若c b a <<且0ac <，则22cb ab <C.若01a <<，则3a a< D.若0a b >>，则11b b a a+<+【答案】ABD【解析】【分析】A.由0,0a b <>判断；B.由0b =判断；C.作差法判断；D 作差法判断.【详解】A.若0,0a b <>得不到11a b>，故错误；B.若0b =时，不成立，故错误；C.因为01a <<，所以()()3110a a a a a -=+-<，故正确；D.()()10111b b ab a ab b a b a a a a a a ++----==>+++，所以11b b a a+>+，故错误；故选：ABD.12.已知函数32()1f x x ax bx =-++，则下列说法正确的是（）A.当0b =时，()f x 有两个极值点B.当0a =时，()f x 的图象关于()0,1中心对称C.当24a b =，且4a >-时，()f x 可能有三个零点D.当()f x 在R 上单调时，23a b≥【答案】BC【解析】【分析】特殊值法可排除A 项，利用函数的对称性可判定B ，取特殊值结合导数研究函数的单调性、极值与最值可判定C ，利用导函数非负结合判别式可判定D .【详解】对于A ，当0b =时，32()1f x x ax =-+，2()32f x x ax '=-，若0a =时，2()30f x x '=≥，则()f x 在定义域内单调递增，无极值点，故A 错误；对于B ，当0a =时，3()1f x x bx =++，3()1f x x bx -=--+，则()()2f x f x +-=，所以()f x 的图象关于()0,1中心对称，故B 正确；对于C 项，当24a b =时，232()14a f x x ax x =-++，22()323462a a a f x x ax x x '⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，取4a -<<-，即36454a -<<-时，此时62a a >，所以当2a x <时，()0f x '>，所以()f x 在,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，当26a a x <<时，()0f x '<，所以()f x 在,26a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，当6a x >时，()0f x '>，所以()f x 在,6a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以函数极小值为310654a a f ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，函数极大值为102a f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，即026a a f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在,26a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭有一个零点，又因为325()1042a f a =+<-<，()39104a f a -=-+>，所以()f x 在,6a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭有一个零点，在,2a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭有一个零点，即当4a -<<-时，()f x 有三个零点，故C 正确；对于D 项，若()f x 在定义域R 上是单调函数，则2()320f x x ax b '=-+≥恒成立，所以2Δ4120a b =-≤，解得23a b ≤，所以D 错误，故选：BC ．【点睛】关键点睛：本题C 项，利用导数研究函数的零点个数，结合极大小值的正负及取特殊点判断函数值符合是关键.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知23,25a b ==，则2log 45=___________.（用,a b 表示）【答案】2a b +##2b a+【解析】【分析】根据指数式与对数式的互化，求出22log 3,log 5a b ==，结合对数的运算法则化简，即可得答案.【详解】因为23,25a b ==，所以22log 3,log 5a b ==，故2222log 45log 59log 52log 322b a a b =⨯=+=+=+，故答案为：2a b+14.曲线2x 1y x 2-=+在点()1,3--处的切线方程为__________．【答案】520x y -+=【解析】【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．【详解】由题，当=1x -时，=3y -，故点在曲线上．求导得：()()()()222221522x x y x x +--==++'，所以1|5x y =-='．故切线方程为520x y -+=．故答案为：520x y -+=．15.如图，,αβ是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角，则αβ+=______.【答案】π4【解析】【分析】结合图形，可得1tan 3α=，1tan 2β=，利用正切的和角公式,即可得出答案.【详解】由图得：1tan 3α=，1tan 2β=，所以1132tan()111132αβ++==-⨯，又因为,αβ为锐角，从而π4αβ+=.故答案为：π4.16.如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点E 为AB 的中点．以A 为圆心，AE 为半径，作圆弧交AD 于点F ，若P 为劣弧EF 上的动点，则PC PD ⋅ 的最小值为__________．【答案】5-【解析】【分析】建立直角坐标系，设(cos ,sin )(0)2P πθθθ≤≤，利用坐标运算求出PC PD ⋅ ，再利用辅助角公式即可求解.【详解】解：如图所示：建立平面直角坐标系，则(2,2)C ，(0,2)D ，由题意可设：(cos ,sin )(0)2P πθθθ≤≤，则(2cos ,2sin )PC θθ=-- ，(cos ,2sin )PD θθ=-- ，PC PD ⋅ 2cos (2cos )(2sin )θθθ=--+-2cos 4sin 5θθ=--+5)θφ=-+，其中1tan 2φ=，∴PC PD ⋅ 的最小值为5-.故答案为：5-.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知不等式2(21)(1)0x a x a a -+++≤的解集为集合A ，集合(2,2)B =-．（1）若2a =，求A B ⋃；（2）若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围．【答案】（1）(]2,3A B ⋃=-（2）{|3a a ≤-或}2a ≥【解析】【分析】（1）可得出[],1,2A a a a =+=时，可得出集合A ，然后进行并集的运算即可；（2）根据[],1,(2,2)A a a B =+=-，并且A B ⋂=∅即可得出12a +≤-或2a ≥，从而可得出a 的取值范围．【小问1详解】2a =时，2(21)(1)0x a x a a -+++≤解得23x ≤≤，[]2,3A =，且(2,2)B =-，∴(]2,3A B =- ；【小问2详解】由2(21)(1)0x a x a a -+++≤解得1a x a ≤≤+，[],1A a a =+，(2,2)B =-，且A B ⋂=∅，12a ∴+≤-或2a ≥，3a ∴≤-或2a ≥，∴实数a 的取值范围为{|3a a ≤-或}2a ≥．18.已知a 、b 是非零向量，()a ab ⊥- ，且a = 、4b = ．（1）求a 与b的夹角θ；（2）求32a b - ．【答案】（1）6π（2）【解析】【分析】（1）依题意可得()0a a b ⋅-= ，根据数量积的运算律求出a b ⋅ ，再根据cos a b a b θ⋅=⋅ 计算可得；（2）根据32a b -= 及数量积的运算律计算可得；【小问1详解】解：因为()a a b ⊥- ，所以()0a a b ⋅-= ，即20a a b -⋅= ，即212a b a ⋅== ，所以cos 2a b a b θ⋅⋅=== ，因为[]0,θπ∈，所以6πθ=；【小问2详解】解：32a b -====19.已知()1f x a b =⋅-，其中向量(sin 2,2cos ),)(R)a x x b x x ==∈ ,（1）求()f x 的最小正周期和最小值；（2）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若4A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，a =，8b =，求边长c 的值.【答案】（1）最小正周期为π，最小值为2-.（2）2或6．【解析】【分析】（1）利用向量的数量积化简()f x 的解析式，进而可得()f x 的最小正周期和最小值；（2）先由4A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭求得π3A =，再利用余弦定理列方程，即可求得边长c 的值.【详解】（1）()1f x a b =⋅-(sin 2,2cos ))1x x x =⋅-2π22cos 12cos 22sin 26x x x x x ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭则()f x 的最小正周期2ππ2T ==，最小值为2-.（2）ππ2sin 22sin 64426A A A f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则2πsin 62A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又0πA <<，则ππ2π6632A <+<，故32ππ6A +=，解之得π3A=又a =，8b=，由余弦定理得(22218282c c =+-⨯⨯，即28120c c -+=，解之得2c =或6c =.经检验，均符合题意.20.已知数列{}n a 的前n 项和,232-=n n n S .（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ,若对N ,4n n t T *∀∈≤恒成立，求实数t 的最大值.【答案】（1）32n a n =-（2）1【解析】【分析】（1）首先求得1a 的值，然后利用n a 与n S 的关系推出数列{}n a 的通项公式；（2）首先结合（1）求得n b 的表达式，然后用裂项法求得n T ，再根据数列{}n T 的单调性求得t 的最大值．【小问1详解】当1n =时，由111a S ==；当2n ≥时，22133(1)(1)3222n n n n n n n a S S n -----=-=-=-，又11a =满足上式，所以{}n a 的通项公式为32n a n =-.【小问2详解】由32n a n =-，可得()()111111323133231n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭，则12...n n T b b b =+++1111111...3447323131n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.因为()()()1110311313134n n n n T T n n n n ++-=-=>+++++，所以1n n T T +>，所以数列{}n T 是递增数列，所以1141444n n t t t T T T t ≤⇔≤⇔≤=⇔≤，所以实数t 的最大值是1.21.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色，如下图，某摩天轮最高点距离地面高度为100m ，转盘直径为90m ，均匀设置了依次标号为1~48号的48个座舱.开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动min t 后距离地面的高度为m H ，转一周需要30min .（1）求在转动一周的过程中，H 关于t 的函数解析式；（2）若甲、乙两人分别坐在1号和9号座舱里，在运行一周的过程中，求两人距离地面的高度差h （单位：m ）关于t 的函数解析式，并求高度差的最大值.（参考公式：sin sin 2cos sin ,cos cos 2sin sin 2222θϕθϕθϕϕθθϕθϕ+-+--=-=）【答案】（1）45sin 55152ππH t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[]0,30t ∈（2）π2π45cos 153h t ⎛⎫=-⎪⎝⎭，[]0,30h ∈；45m 【解析】【分析】（1）设sin()H A t B ωϕ=++π20,ωϕ⎛>≤⎫ ⎪⎝⎭，根据所给条件求出A 、B 、ω、ϕ；（2）由题意得：1号与9号座舱的角度差为π3，不妨假设1号座舱出发早于9号座舱，t min 时1号与9号的高度分别为19,H H ，即可得到19πππ5π45sin sin 152156h H H t t ⎛⎫⎛⎫=-=---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由和差化积公式得到π2π45cos 153h t ⎛⎫=-⎪⎝⎭，[]0,30t ∈，最后根据余弦函数的性质计算可得.【小问1详解】设sin()H A t B ωϕ=++π20,ωϕ⎛>≤⎫ ⎪⎝⎭，则2ππ15T ω==，令0=t 时，sin 1ϕ=-，π2ϕ=-，又100451055A B A A B B +==⎧⎧⇒⎨⎨-+==⎩⎩，所以45sin 55152ππH t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，[]0,30t ∈.【小问2详解】由题意得：1号与9号座舱的角度差为π3.不妨假设1号座舱出发早于9号座舱，t min 时1号与9号的高度分别为19,H H ，则145sin 55152ππH t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，9πππ45sin 551523H t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，所以高度19πππ5π45sin 55sin 55152156h H H t ⎛⎫⎛⎫=-=-+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππ5π45sin sin 152156t t ⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由参考公式得，上式为π2πππ2π90cos sin 45cos 1536153t t ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，从而高度差为π2π45cos 153h t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，[]0,30t ∈；当π2πcos 1153t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即π2ππ153t k -=，N k ∈，解得1015t k =+，N k ∈，又[]0,30t ∈，所以10t =min 或25t =min ，此时高度差h 的最大值为45m.22.已知函数()()e xf x a a x =+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0a >时，()32ln 2f x a >+．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求导，再分类讨论0a ≤与0a >两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；（2）方法一：结合（1）中结论，将问题转化为21ln 02a a -->的恒成立问题，构造函数()()21ln 02g a a a a =-->，利用导数证得()0g a >即可.方法二：构造函数()e 1xh x x =--，证得e 1x x ≥+，从而得到2()ln 1f x x a a x ≥+++-，进而将问题转化为21ln 02a a -->的恒成立问题，由此得证.【小问1详解】因为()()e x f x a a x =+-，定义域为R ，所以()e 1xf x a '=-，当0a ≤时，由于e 0x >，则e 0x a ≤，故()0e 1xf x a -'=<恒成立，所以()f x 在R 上单调递减；当0a >时，令()e 10x f x a '=-=，解得ln x a =-，当ln x a <-时，()0f x '<，则()f x 在(),ln a -∞-上单调递减；当ln x a >-时，()0f x ¢>，则()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增；综上：当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞-上单调递减，()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增.【小问2详解】方法一：由（1）得，()()()ln min 2ln ln ln e1a f a a x a f a a a --+=++=+=，要证3()2ln 2f x a >+，即证2312ln 2ln a a a ++>+，即证21ln 02a a -->恒成立，令()()21ln 02g a a a a =-->，则()21212a g a a a a-'=-=，令()0g a '<，则02a <<；令()0g a '>，则2a >；所以()g a 在0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()2min 1ln ln 02222g a g ⎛⎫⎛==--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()0g a >恒成立，所以当0a >时，3()2ln 2f x a >+恒成立，证毕.方法二：令()e 1x h x x =--，则()e 1xh x '=-，由于e x y =在R 上单调递增，所以()e 1xh x '=-在R 上单调递增，又()00e 10h '=-=，所以当0x <时，()0h x '<；当0x >时，()0h x '>；所以()h x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，故()()00h x h ≥=，则e 1x x ≥+，当且仅当0x =时，等号成立，因为()2ln 22()e e e ln 1x x x a f x a a x a a x a x x a a x +=+-=+-=+-≥+++-，当且仅当ln 0x a +=，即ln x a =-时，等号成立，所以要证3()2ln 2f x a >+，即证23ln 12ln 2x a a x a +++->+，即证21ln 02a a -->，令()()21ln 02g a a a a =-->，则()21212a g a a a a-'=-=，令()0g a '<，则202a <<；令()0g a '>，则22a >；所以()g a 在0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()2min 2212ln ln 02222g a g ⎛⎫⎛==--= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则()0g a >恒成立，所以当0a >时，3()2ln 2f x a >+恒成立，证毕.。
山东省济宁市兖州区2019-2020学年高一上学期期中检测数学试题
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2020-2021学年山东省济宁市任城区高一上学期期中考试数学试题
山东省济宁市任城区2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共4页.满分150分，考试时间120分钟. 注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2．第I 卷（选择题）选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上.3. 第II 卷（非选择题）请用0.5毫米黑色签字笔在相应位置处答题，如需改动，用“\”划掉重新答题.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{}0,1,2,3,4U =，设集合{}0,1,2A =，{}1,2,3B =，则)(B C A U ( )A ．{}3 B ．φ C ．{}1,2 D ．{}02.命题“3[0,),0x x x ∀∈+∞+≥”的否定是（ ）A ．3(,0),0x x x ∀∈-∞+< B ．3(,0),0x x x ∀∈-∞+≥ C ．3[0,),0x x x ∃∈+∞+<D ．3[0,),0x x x ∃∈+∞+≥ 3.已知a ∈R ，则“1a >”是“11a <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A ．2()()f x g x ==B ．()()f x g x x ==C ．0()1,()f x g x x ==D ．211(),()11x f x g x x x +==--5.已知函数()f x 是一次函数，且(1)35f x x -=-，则函数()f x 的解析式为（ ）A ．()32f x x =+B ．()32f x x =-C ．()23f x x =+D ．()23f x x =-6.函数241xy x =+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7.已知两个正实数,x y 满足211x y +=，并且222x y m m +≥-恒成立，则实数m 的取值范（ ）A ．(2,4)-B ． [2,4]-C ．(,2)(4,)-∞-+∞D ．(,2][4,)-∞-+∞8.设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()f x f x x --<的解集为（ ）A ．(10)(1)-+∞，，B ．(1)(01)-∞-，，C ．(1)(1)-∞-+∞，， D ．(10)(01)-，，二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的的0分，部分选对的的3分.9.对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题，其中正确的是（ ）A ．若a b >，c d >，则ac bd >B ．若22ac bc >，则a b >C ．若a b >，则11a b <D ．若a b >，c d >，则a d b c ->-10.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（ ）A ．()()⋅f x g x 是奇函数 B ．()()f xg x ⋅是奇函数 C ．()()f x g x ⋅是奇函数D ．()()f xg x ⋅是奇函数11.小王从甲地到乙地往返的速度分別为a 和()b a b <，其全程的平均速度为v ，则（ ）A．a v <<B．v =C2a b v +<<D ．2abv a b =+12.符号[]x 表示不超过x 的最大整数,如[2.1]2=,[π]3=,[1.2]2-=-,定义函数{}[]x x x =-，以下结论正确的是（ ）A ．函数{}x 的定义域是R ,值域为[0,1) B ．方程{}x =12有无数个解 C ．函数{}x 是奇函数 D ．函数{}x 是增函数.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数1()2f x x =-的定义域是______；14.设幂函数221()(m 21)m f x m x -=-+是在(0,)+∞上单调递增，则m 的值为_____；15.已知函数()2f x x a=-的单调递增区间是[3,)+∞，则a 的值为______；16.若关于x 不等式210kx kx -+>的解集为R ，则实数k 的取值范围是______.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知集合{}|13A x x =-<≤，{}|31B x m x m =≤<+.（I ）当1m =时,求A B ；（II ）当A C B R ⊆时，求m 的取值范围.18.（本小题满分12分）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()22f x x x=-.（I ）求函数()f x 的解析式，并画出函数()f x的图象；（II ）根据图象写出的单调区间和值域．19.（本小题满分12分）解关于x 的不等式2()()0,a x x a a --<∈R .第18题20.（本小题满分12分）围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x （单位：m ）．设修建此矩形场地围墙的总费用为y （单位：元）. （I ）将y 表示为x 的函数；（II ）试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．21.（本小题满分12分）已知二次函数()[]22204f x x ax x =-+∈，，．（I ）当1a =时，求()f x 的最值；（II ）若不等式()6f x a ≤+对定义域的任意实数恒成立，求实数a 的取值范围．22.（本小题满分12分）已知函数()f x＝21ax bx ++是定义在(－1，1)上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.（I ）确定函数()f x 的解析式；（II ）用定义证明()f x 在(－1，1)上是增函数； （III ）不等式：(1)()0f t f t -+<.第20题图——★ 参 考 答 案 ★——一、单选题（5分⨯8=40分）1.D2.C3.A4.B5.B6.A7.B8.D 二、多选题（5分⨯4=20分）9.BD 10.AC 11.AD 12.AB 三、填空题（5分⨯4=20分） 13.{}|12x x x ≥-≠且 14.2 15.6 16 )4,0[四、解答题：17.解：（I ）1m =，{}|14B x x =≤<，{}|14A B x x =-<<………………4分（II ）{}31>-≤=x x x A C R 或当B =∅时，即31m m ≥+，得12m ≤-，满足A C B R ⊆ ………………6分当B ≠∅时， 若A C B R ⊆，则31311m m m <+⎧⎨+≤-⎩或313m m m <+⎧⎨>⎩………………8分 解得：3m > ………………………9分综上所述：m 的取值范围是1(,](3,)2-∞-+∞ ……………………10分18解：（I ）由20,()2x f x x x ≥=-时，当0-0x x <>时，，2()2f x x x ∴-=+ 又函数()f x 为偶函数，2()2f x x x ∴=+……………………………………2分故函数的解析式为222(0)(){2(0)x x x f x x x x -≥=+<…………………………3分 图象如图…………………………7分 （II ）由函数的图像可知，函数()f x 的单调递增区间为单调递减区间为…………………9分函数()f x 的值域为[)1,-+∞………………………12分19.解:原不等式可化为2()()0,x a x a a R -->∈， 当1a >或0a <时，2a a >，原不等式的解集为2{|,}x x a x a <>或；………3分 当01a <<时，2a a <，原不等式的解集为2{|,}x x a x a <>或 ……………6分 当1a =时，原不等式的解集为{|1}x x ≠； ……………………9分 当0a =时，原不等式的解集为{|0}x x ≠； …………………12分20.解：（I ）如图，旧墙的长度为x m ，则矩形的另一边长为360x m则36045180(2)1802y x x x =+-+⨯⨯=2360225360,(0)x x x +-> ……………6分（II ）． ………………………………………10分当且仅当2360225x x =时，即24=x m 时等号成立．………10分 所以当24=x m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元． ……………12分21. 解：（I ）当1a =，()222f x x x =-+，对称轴1x = ……………2分因为[]04x ∈，，所以()y f x =在[]01，上单调递减，在[]14，上单调递增．∴当1x =时()y f x =有最小值，()min 1f x =； ………………… 4分当4x =时()y f x =有最大值，()max 10f x =． ………………6分（II ）依题意得：()max 6f x a ≤+，当2a ≤时，()()max 18864f a a x f =-≤+=，∴43a ≥，∴423a ≤≤ …………………………………8分当2a >时，()()max 026f x a f ==≤+，∴4a ≥-∴2a > ……………………………………10分综上所述，符合条件的a 的取值范围是43⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，……………………………………12分 22.解：（I ）()f x 在(－1，1)上为奇函数，且1225f ⎛⎫=⎪⎝⎭有(0)012()25f f =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩，()f x ＝21xx +， ……………………3分 此时2()(),()1xf x f x f x x --==-∴+为奇函数，故()f x ＝21x x +； ……………………………………………………4分（II ）证明：任取－1＜x 1＜x 2＜1， ……………………………………………5分则12122212()()11x x f x f x x x -=-++12122212()(1)(1)(1)x x x x x x --=++ …………………6分而021<-x x 0121>+x 0122>+x ，且1211x x -<<，即1210x x ->， ∴12())0(f x f x -<，)()(21x f x f <)(x f 在(－1，1)上是增函数. ………………………8分（III ）因为(1)()0f t f t -+<所以)()()1(t f t f t f -=-<-，又()f x 在(－1，1)上是增函数∴⎪⎩⎪⎨⎧<<-<-<--<-111111t t tt 解得0＜t ＜12∴不等式的解集为1|02t t ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ ……………………………………12分。
山东省济宁市第一中学2020-2021学年高一上学期期中模块考试——数学试题
高2019级2019—2020学年度第一学期期中模块考试数学试题一.选择题(本题共12个小题,每小题5分,共60分.下列各题的四个选项中只有一个正确,请选出)1.已知全集U={0,1,2,3,4},且集合B={1,2,4},集合A={2,3},则B∩(C U A)=（）A．{1,4} B．{1} C．{4} D．φ2.下列各命题中,真命题是( )A．∀x∈R,1-x2<0 B．∀x∈N,x2≥1 C．∃x∈Z,x3<1 D．∃x∈Q,x2=2 3.若不等式x2+ax+b<0(a,b∈R)的解集为{x|2<x<5},则a,b的值为( )A．a=-7,b=10 B．a=7,b=-10C．a=-7,b=-10 D．a=7,b=104.“k>0”是“一次函数y=kx+b(k,b是常数)是增函数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5.若集合A={x|x2-3x<0},B={x|x2≥1},则图中阴影部分表示的集合为( )．A.{x|x>0}B.{x|0<x≤1}C.{x|1≤x<3}D.{x|0<x<1或x≥3}6.若不等式-x2+ax-1≤0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围为( )．A．{a|-2≤a≤2} B．{a|a≤-2或a≥2}C．{a|-2<a<2} D．{a|a<-2或a>2}7.如果函数y=x2+(1-a)x+2在区间(-∞,4]上单调递减,那么实数a的取值范围是( )A．a≤-7 B．a≤－3 C．a≥5 D．a≥98.设集合A={x|-1≤x<3},集合B={x|0<x≤2},则“a∈A”是“a∈B”的( )．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( )A.y=x+1B.y=-x3C.y=x|x|D.y=1 x10.已知a=20.4,b=30.2,c=50.2,则( )A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b11.小王从甲地到乙地和从乙地到甲地的时速分别为a和b(a>b),其全程的平均时速为v,则()A ．a<v<abB ．b<v<abC ．ab<v<a ＋b 2D ．v ＝a ＋b2 12.若函数f(x)=x+1x-2(x>2)在x=n 处取得最小值,则n=( )A. 52 B ．72 C ．4 D ．3二.填空题(本题共4个小题,每小题5分,共20分.请将结果直接填在题中横线上) 13.若命题“∃x ∈R,x 2-3ax+9≤0”为假命题,则实数a 的取值范围是_______. 14.函数y=11-x 2的定义域为_______．15.若a>0,b>0,且满足1a +1b =1,则2a+b 的最小值为_____.16.已知f(x)=⎩⎨⎧x 2+1 (x ≥0)-2x (x<0),若f(x)=10,则x=______.三.解答题(本题共6个题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本题12分)已知集合A={x|0≤x ≤4},集合B={x|m+1≤x ≤1-m},且A ∪B=A,求实数m 的取值范围18.(本题12分)已知集合A={x|x 2+x-2=0},集合B={x|x 2+ax+a+3=0},若A B=B,求实数a 的取值集合．19.(本题12分)已知函数y=f(x)在定义域[-1,1]上是奇函数,又是减函数,若f(1-a 2)+f(1-a)<0,求实数a 的范围.20.(本题12分)要制作一个体积为32m 3,高为2m 的长方体纸盒,怎样设计用纸最少？21.(本题10分)已知二次函数f(x)=x 2-2ax+a-1在区间[0,1]上有最小值-2,求实数a 的值.22.(本题12分) 已知函数f(x)=x+2x . (1)求它的定义域和值域(2)用单调性的定义证明:f(x)在(0,2)上单调递减.高2019级2019—2020学年度第一学期期中模块考试数学试题参考答案一.选择题 ACAC CADB CBBD二.填空题13. -2<a<2; 14.(-1,1)； 15. 3+22; 16. 3或-5三.解答题17.解:由A ∪B=A 得B ⊆A 2分 当m+1>1-m,即m>0时,B=φ,显然B ⊆A 5分 当B ≠φ时,由B ⊆A 得⎩⎪⎨⎪⎧m+1≤1-m m+1≥01-m ≤4,解得-1≤m ≤0 10分综上可知,m ≥-1 12分18.解:A={-2,1}, 2分 由A B=B 得B ⊆A,当a 2-4(a+3)<0,a 2-4a-12<0,即-2<a<6时,B=φ,显然B ⊆A; 4分 当B ≠φ时,由B ⊆A 得B={-2},{1},{-2,1}若B={-2},则⎩⎨⎧a 2-4(a+3)=04-2a+a+3=0,即⎩⎨⎧a=-2或a=6a=7,φ; 6分 若B={1},则⎩⎨⎧a 2-4(a+3)=01+a+a+3=0,即⎩⎨⎧a=-2或a=6a=-2,a=-2; 8分若B={-2,1},则⎩⎪⎨⎪⎧a 2-4(a+3)>0-a=-1a+3=-2,即⎩⎪⎨⎪⎧a<-2或a>6a=1a=-5,φ; 10分 综上可知,实数a 的取值集合为{a|-2≤a<6} 12分19.解:由题意得⎩⎨⎧-1≤1-a 2≤1-1≤1-a ≤1,解得⎩⎨⎧0≤a 2≤20≤a ≤2,即0≤a ≤ 2 5分由f(1-a 2)+f(1-a)<0得f(1-a)<-f(1-a 2) ∵函数y=f(x)是奇函数 ∴-f(1-a 2)=f(a 2-1)∴f(1-a)<f(a 2-1) 8分 又∵函数y=f(x)在定义域[-1,1]上是减函数∴1-a>a 2-1,a 2+a-2<0,解得-2<a<1 10分由⎩⎨⎧0≤a ≤2-2<a<1得,0≤a<1 12分20.解:由题意得,长方体纸盒的底面积为16m 2, 1分 设长方体纸盒的底面一边长为xm,则另一边长为16x m,长方体纸盒的全面积为ym 2, 2分 则由题意得y=2(2x+32x +16)=4(x+16x )+32(x>0) 6分 ∵x>0∴x+16x ≥8,当且仅当x=16x ,即x=4时,等号成立∴当x=16x =4时,y 的最小值为64 10分 答:当长方体纸盒的底面是边长为4m 的正方形时,用纸最少为64m 2. 12分21.解:二次函数f(x)=x 2-2ax+a-1图像的对称轴是x=a 当a ≤0时,f(x)在区间[0,1]上单调递增∴f(x)min =f(0)=a-1=-2,解得a=-1; 3分 当a ≥1时,f(x)在区间[0,1]上单调递减∴f(x)min =f(1)=1-2a+a-1=-2,解得a=2; 6分 当0<a<1时,f(x)min =f(a)=a 2-2a 2+a-1=-2,即a 2-a-1=0,解得a=1±52,不合题意,舍去; 9分综上可得,a=-1或a=2 10分22.(1)解:函数的定义域是{x|x ≠0} 1分 当x>0时,x+2x ≥22,当且仅当x=2x 即x=2时等号成立； 3分 当x<0时,-x>0,-x+2-x )≥22,当且仅当-x=2-x 即x=-2时等号成立； 5分 ∴函数f(x)的值域是(-∞,-22]∪[22,0) 6分(2)证明:设0<x1<x2<2,则f(x1)-f(x2)=(x1+2x1)-(x2+2x2)=(x1-x2)(x1x2-2)x1x29分∵0<x1<x2< 2∴x1-x2<0,0<x1x2<2 ∴x1x2-2<0∴f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2) 11分∴f(x)在(0,2)上单调递减12分如何学好数学高中学生不仅仅要“想学”，还必须“会学”，要讲究科学的学习方法，提高学习效率，才能变被动为主动。
2020—2021学年度山东邹城第一学期期中测试数学试题扫描版带答案
解得 c 2 . ……………………………………………………………………12 分
19.解：（Ⅰ）由图象可知，振幅 A 3 ， ………………………………………1 分
最小正周期 T
2
5 6
3
,所以
2 T
2.
………………………2 分
【方法一】由
f
7 12
3 sin
7 6
3
，所以
sin
7 6
义域内不是单调函数，而函数① g t at b ；② g t a ln t b ；③ g t a 均
t
在其定义域内是单调函数，所以这三个函数不符合，
因此可选函数④ g t a t m2 n . ………………………………………2 分
由表中的数据可得 m 60 ，将表中的相关数据代入 g t a t 602 n ，得
所以 6 f x 3 .
2
故函数
f
x
在0, m上值域为
6, 2
3 .
…………………………………12 分
20.（Ⅰ）解：当 n 2 时， Sn Sn1 2an 1 2an1 1 2an 2an1 ，
所以 an 2an1 . …………………………………………………………………2 分
所以，函数 f x 在区间20，40单调递增；在区间40，80 单调递减.
所以，当 x 40 时，函数 f x 取得最大值， ………………………………11 分
此时，乙项目的投资为100 40 60 （万元）.
故当甲项目投资 40 万元、乙项目投资 60 万元时，总收益最大.……………12 分
在 ABC 中，由余弦定理 b2 a2 c2 2ac cos B 及 B ,得 3