微波技术基础电子科大第9次课

2.6 波导正规模的特性
(5)模式函数正交性

功率正交性推广为 （归一化）
S
E0i H 0 j zds 0
i j
i j i j
1 S ei hj zds 0
本证方程的本振函数具有正交性， 任何本征值不同的本征函数的乘积在波导 横截面积分为零——数学基础。
实数
Et 2m Et 1m Ht 2m Ht 1m
Ez 2m Ez 1m
H z 2m H z 1m
下标m为模式指数， m＝{m, n}
虚数
2.6 波导正规模的特性
结论：正规模的电场和磁场的横向分量或纵向分量相互
同相，而横向分量与纵向分量成90°相位差（系数j）。 对于正规模， Ei H i 是传输能量。 对于截止模，不存在变换z的符号问题，只有时间对称 关系：
2.6 波导正规模的特性
Eu u, , z Eumn u, , z E u, , z E mn u, , z
m n
Ez u, , z Ezmn u, , z
m n
m
n
H u u, , z H mn u, , z
两个模式之间有能量交换称为“耦合”，没有能 量交换为“无耦合”或“正交”。
本征函数具 有正交特性 本征函数表征波导的正规模 也就具有正交特性。
一般而言，若以i和j代表两个特定的模式，则波 导正规模的正交性可以表示成如下6种形式: (1)纵场正交 i j,TE模 ( H 0 z )i ( H 0 z ) j ds 0
2.6 波导正规模的特性

正规模：所有模式的集合总称。 以金属波导为例： 金属波导的正规模包括无穷多个结构不同 的TEmn和TMmn模式。

正规模的重要特性：

对称性、正交性、完备性
2.6 波导正规模的特性

对称性 ：
正规模的电场和磁场对时间具有对称和反对称性 1.正规模的电场和磁场波函数对时间t分别为对称函数和 反对称函数，即有：
m n


H u, , z H mn u, , z
m n


H z u, , z H zmn u, , z
m n


2.7不均匀性引起模式耦合

正交性 →只存在于均直无耗传输系统中 不均匀性 →引起模式之间的能量耦合 。
不均匀性 →z方向上横截面发生变化→ 截面边界条件的改变，或者局部引入介质等。 矩形波导为例 ，其交叉功率
( E0t )i 和 ( H0t )i 可以属于TE模或TM模。
令
j i z Ae Vi ( z) i
Bi e ji z Zi Ii ( z)
( E0t )i ei ( H0t )i hi Zi
2.6 波导正规模的特性
则上式还可写为 Et Vi ( z )ei (u, v)
2.6 波导正规模的特性
Et 2 ( z) Et1 ( z) H z 2 ( z) H z1 ( z)
Ez 2 ( z) Ez1 ( z)
下标1为＋z方向 的场， 下标2为－z方向 的场，
Ht 2 ( z ) H t1 ( z )
如果时间t和传播方向（即坐标z）同时变换符号，则电 场和磁场应同时满足以上几式，对称性则变成：
1 ˆ Re Vi I j ei h j zds S 2 ij 1 ˆ Re Vi I i ei hi zds S 2 i
1 i j ˆ e h zds S i j 0 i j
2.6 波导正规模的特性
结果表明，波导中传输任意场时的总功率等于每个正规 模所携带功率之总和，而各模式之间没有能量耦合。 正如前面所讨论的色散导波系统，如矩形波导或圆波导， 其TE和TM模的场解为：





l






i
j
s

E j H i Ei H j ds 0

ij为一正向波和一反向波，得到 i j E j Hi Ei H j ds 0
s

加和减 之后

s
E j H i ds 0
E2m (r ) E1m (r )
H2m (r ) H1m (r )
可见Em是实数，而Hm是虚数，两者相位差90°。体现能 量的交替转换，故对于截止模或消失模， Ei H i 不是 传输能量，而是虚功，是储能。
研究对称性的用途

缘由：麦克方程自身的对称特性和规则波导本 身的对称性。
(3)模式间正交，其实也属于横场正交
在波导截面S上积分


S
TE TM ( E0 ) ( E t i 0 t ) j ds 0
TE TM (H0 ) ( H t i 0 t ) j ds 0
i j i j
S
(4)功率正交
在波导截面S上积分

S
( E0t )i ( H 0t ) j zds 0 i j,TE或TM模
i
Ht Ii ( z)hi (u, v)
i
式中Vi ( z ) 和 I i ( z ) 称为第i模式的模式电压和模式电流。 当波导中传输任意场时，所传输的总功率为 1 1 ˆ Re Et H t zds ˆ P0 Re E H zds S S 2 2 1 ˆ Re Vi ei I j h j zds S 2 i j


s
Ei H j ds 0

功率正交性得证。 其他正交性请根据麦克斯韦方程组和格林恒等式，散度定理 等加以证明，增加理解。
思考题：简并模是否具有功率正交性？ 矩形波导的TE11和TM11具有功率正交性， 但m，n增加时，可能不正交

完备性
如前所述，波导正规模是本征函数的乘积， 而本征函数系是完备的，所以正规模必然是完备 的。
E u,, z au Eu u,, z a E u,, z az Ez u,, z
H u,, z au Hu u,, z a H u,, z az H z u,, z
而场解的分量可能存在的完备形式为：
E2 (r, t ) E1 (r, t )
H2 (r, t ) H1 (r, t )
或
E2 (r ) E1)
下标1为＋t 的场， 下标2为－t 的场，
2.正规模的电场和磁场的波函数关于纵坐标z的对称性。 横向电场Et与纵向磁场Hz是坐标z的对称函数； 横向磁场Ht与纵向电场Ez是坐标z的反对称函数，即有
sin m1 I 0 cos a
a
sin m2 x cos a
b sin n sin n2 1 x dx • y y dy 0 cos b cos b
2.7不均匀性引起模式耦合
m1 m2 或 n1 n2

微波集成传输线
2.6 波导正规模的特性
模式：模式即波型 导波系统中，能够独立存在的一种导波场 分布。



不同模式之间彼此相互独立，可以单独存在，也可 同时并存
——满足麦克斯韦方程和边界条件的任何一个独立特解 都可以称为是一种模式。

同轴线：TEM，TEmn，TMmn ，都是模式 矩形波导： TEmn，TMmn 某些导波系统中（部分介质填充的金属波导）：EHmn ， HEmn
，有 I ＝ 0→三角函数的正交性 在三角函数在积分区间取波导截面的整个区域 0 x a 和 0 y b 时才成立→均匀波导 →正交性 不均匀性，假设 宽边两侧种插入 一片金属薄片， 在不均匀区 即a→a‘
a‘
2.7不均匀性引起模式耦合
因为交叉功率的积分I中对的积分区域由a 变为a’，这样，即使模式标号m1≠m2的两个不同模式， I中对X的积分也不一定等于零了，因此，m1≠m2， n1≠n2的不同模式之间就不一定正交。→由于金 属片的插入，使得模式标号m不同的模式之间可能 发生能量的交换→原来边界条件下的正交本征函 数对于新的边界条件不再正交了，因此就出现了 模式之间的耦合。 在均匀区，导波系统如果传输的是单一主模， 到达不均匀区将激励起一些高次模。
波导中的任意电磁场都可以用正规模叠加来代表， 即用正规模的展开式来表示。
2.6 波导正规模的特性
波导中的任意电磁场的横向场可以表示为（沿正z方向传 播情况）：
Et Ai ( E0t )i e ji z
i
Ht Bi ( H 0t )i e ji z
i
系数和可用正交关系像确定傅立叶级数的系数那样来确定。
不同模式的电场和磁场不能产生功率、模式的独立 性，无相互作用——同时还提供了可以多模共存的 依据

（6）横纵场正交 不同模式的横纵场也正交
S ( E0t )i ( H 0 z ) j zds 0 ( E0z )i ( H 0t ) j zds 0
S

多种模式能够并存的依据2

波导激励、不连续性等问题会用到。 思考： 用对称性再次证明第一章的1.1习题

2.6 波导正规模的特性
正交性 一般而言，波方程都具有一定正交性。 当把场的一般解表示成模式的叠加时， 尤其实在考虑功率问题时，模式的正 交性尤为重要。 前提：均直无耗传输系统

2.6 波导正规模的特性
正交性
2.8 奇偶禁戒规则
模式之间的耦合意味着能量的转移，这在微波技术中是 一个重要的问题，在不均匀区将激励起并能传播的场模 式取决于： ①传播条件：λ<λc； ②激励条件：奇偶禁戒规则。 传输系统中第i和第j模式之间的交叉功率为：