河南省郑州市2018届高中高三上入学考试数学试卷试题文包括答案.docx
2018河南省高三数学8月开学考试卷(文有答案)
2018河南省高三数学8月开学考试卷（文有答案）2017-2018学年高三8月第一次月考数学（）一、选择题：本大题共12个小题,每小题分,共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知全集，集合，，则（）A．B．．D．2已知向量，，若，则正实数的值为（）A．2 B．3 ．3或-2 D．-3或23设为虚数单位，则复数的共轭复数为（）A．B．．D．4已知命题“ ”，命题“ ”，若命题“ ”是真命题，则实数的取值范围是（）A．B．D．执行如图所示的程序框图，则输出的为（）A．B．D．6设为公比为的等比数列，若和是方程的两根，则（）A．18 B．10 2 D．97如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为（）A．B．D．8设变量满足，则的最大值为（）A．B．3 4 D．209在球内任取一点，则点在球的内接正四面体中的概率是（）A．B．D．10已知下列命题：①命题“ ”的否定是“ ”②已知为两个命题，若“ ”为假命题，则“ ”为真命题③“ ”是“ ”的充分不必要条④“若，则且”的逆否命题为真命题其中真命题的个数为（）A．3个B．2个1个D．0个11已知四棱锥的底面是中心为的正方形，且底面，，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（）A．1 B．2 D．312设函数，，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围为（）A．B．D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题分，满分20分，将答案填在答题纸上）13若是直角三角形的三边（为斜边），则圆被直线所截得的弦长等于．14一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为．1已知，则的最小值为．16已知函数若对任意两个不相等的正实数都有恒成立，则的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出字说明、证明过程或演算步骤）17 在中，设角所对的边分别为，向量，，且（1）求角的大小；（2）若，，求的面积18 某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：（1）求全班人数及分数在之间的频数；（2）估计该班的平均分数，并计算频率分布直方图中间的矩形的高；（3）若要从分数在之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在之间的概率19 如图，在底面是菱形的四棱柱中，，，，点在上（1）证明：平面；（2）当为何值时，平面，并求出此时直线与平面之间的距离20 已知椭圆的右焦点为，为椭圆的上顶点，为坐标原点，且是等腰直角三角形（1）求椭圆的方程；（2）是否存在直线交椭圆于两点，且使为的垂心（垂心：三角形三条高的交点）？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由21 已知，其中（1）求函数的极大值点；（2）当时，若在上至少存在一点，使成立，求的取值范围请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分22选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若与交于两点，点的极坐标为，求的值23选修4-：不等式选讲已知函数，（1）解不等式；（2），，使得，求实数的取值范围试卷答案一、选择题1～ABDD 6～10 ADA 11～12 BB二、填空题13 2 14 1 16 [1,+∞)三、解答题17 解：（Ⅰ）=∵∴，又∵0＜＜，∴＜＜，∴=0，（Ⅱ）∵∴∴，又∵0＜＜∴∴△AB为等腰直角三角形，18（本小题满分12分）解：（1）由茎叶图知，分数在[0,60)之间的频数为2，频率为0008×10=008全班人数=2所以分数在[80,90)之间的频数为2-2-7-10-2=4（2）分数在[0,60)之间的总分数为6+8=114分数在[60,70)之间的总分数为60×7+2+3+3++6+8+9=46分数在[70,80)之间的总分数为70×10+1+2+2+3+4++6+7+8+9=747 分数在[80,90)之间的总分数为8×4=340分数在[90,100]之间的总分数为9+98=193所以，该班的平均分数为估计平均分数时，以下解法也给分：分数在[0,60)之间的频率为=008分数在[60,70)之间的频率为=028分数在[70,80)之间的频率为=040分数在[80,90)之间的频率为=016分数在[90,100]之间的频率为=008所以该班的平均分数约为×008+6×028+7×040+8×016+9×008=738所以频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为÷10=0016（3）将[80,90)之间的4个分数编号为1,2,3,4，[90,100]之间的2个分数编号为,6，在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事为（1,2），（1,3），（1,4），（1,），（1,6），（2,3），（2,4），（2,），（2,6），（3,4），（3,），（3,6），（4,），（4,6），（,6），共1个其中，至少有一份在[90,100]之间的基本事有9个，故至少有一份分数在[90,100]之间的概率是=0619、(1)证明：因为底面是菱形，所以，在中，由知，同理，又因为于点A，所以平面(2)当时，平面证明如下：连接交于，当，即点E为A1D的中点时，连接E，则，所以平面直线与平面之间的距离等于点A1到平面AE的距离，因为E为A1D 的中点，可转化为D到平面AE的距离，，设AD的中点为F，连接EF，则，所以平面，且，可求得，所以又，，，，( 表示点D到平面AE的距离），，所以直线与平面之间的距离为20解：（1）由△F是等腰直角三角形得b=1，a =故椭圆方程为（2）假设存在直线l交椭圆于P,Q两点，且使F为△PQ的垂心设P（, ）,Q（, ）因为（0,1），F（1,0），故，故直线l的斜率于是设直线l的方程为由得由题意知△＞0，即＜3，且由题意应有，又故解得或经检验，当时，△PQ不存在，故舍去；当时，所求直线满足题意综上，存在直线l，且直线l的方程为21解：（1）由已知= ，＞0当-1≤0，即≤1时，在（0,1）上递减，在（1,+∞）上递增，无极大值当0＜-1＜1，即1＜＜2时在（0, -1）上递增，在（-1，1）上递减，在（1,+∞）上递增，所以在处取极大值当-1=1时，即=2时，在（0,+∞）上递增，无极大值当-1＞1时，即＞2时，在（0,1）上递增，在（1，-1）上递减，在（-1,+∞）上递增，故在处取极大值综上所述，当≤1或=2时，无极大值；当1＜＜2时的极大值点位；当＞2时的极大值点为（2）在上至少存在一点，使＞成立，等价于当时，＞由（1）知，①当≤ 时，函数在上递减，在上递增∴∴要使＞成立，必须使＞成立或＞成立由＞，＜由＞解得＜1∵＜1，∴＜1②当≥ 时，函数在上递增，在上递减∴≤ ＜综上所述，当＜1时，在上至少存在一点，使＞成立22．（1）曲线的普通方程为曲线的直角坐标方程为:（2）的参数方程为参数)代入得设是对应的参数,则23．（1）2分等价于综上,原不等式的解集为（2）由(Ⅰ)知所以，实数的取值范围是。
河南省郑州市第一中学2018届高三上学期一轮复习单元检
⎫5 4 2 5 18 届高三一轮复习文科数学单元检测（一）参考答案一、选择题：1-5 CDABD, 6-12 CBCCC, AC二、填空题: 13. - 1214. -1 15. 116. 1502三、解答题17 解：（Ⅰ）当 n ≥ 2 时， a n +1 = 2S n + 1 ， a n = 2S n -1 + 1a n +1 两式相减得： a n +1 - a n = 2(S n - S n -1 ) = 2a na 2 a 1 = 1 ，∴ a 2 = 2S 1 + 1 = 2a 1 + 1 = 3 ，即 a 1∴ = 3 a n= 3n -1∴{a n } 是以1为首项，以 3 为公比的等比数列. 从而 a n = 3 （Ⅱ） c n = log 3 a 2n ，∴ c n = 2n - 1 ，∴ c n + 2 = 2n + 3 (6)分 b = 1 = 1 ( 1 - 1n(2n -1) (2n + 3)4 2n -1 2n + 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴T = ( - + - + - + + - + - n4 15 3 7 5 9 2n - 3 2n + 1 2n - 1 2n + 3 = 1 (1 + 1 - 1 - 1 ) = 1 - 1 ( 1 + 1 ) 4 3 2n + 1 2n + 3 3 4 2n +1 2n + 31 1 由于T n 随着 n 的增大而增大，所以T n 最小值为T 1 = 518.证明：∴ 所求λ的取值范围为：λ<5 (12)分(1) f ⎛ π⎫ = (a + 1) c os ⎛ π +θ= - (a + 1) s in θ = 0 4 ⎪ 2⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ Q θ∈ (0，π) ,∴ sin θ ≠ 0 ,∴ a +1 = 0,∴ a = -1………………………………2 分Q 函数 f (x ) = (a + 2 cos 2 x )cos (2 x +θ) 为奇函数∴ f (0) = ( a + 2) c os θ = cos θ = 0 ……………………………………………………………4 分∴θ = π…………………………………………………………………………………………5 分2(2)有（1）得 f ( x ) = (-1 + 2 cos 2 x )c os ⎛2x + π⎫= - cos 2x g sin 2x = - 1 sin 4x ………7 分2 ⎪ 2Q f ⎛ α⎫ = - 1sin α= - 2 ⎝⎭∴ sin α = 4 ……………………………………………………8 分 ⎪⎝ ⎭2 Q θ∈ ⎛ π π⎫，∴cos α= - 3 …………………………………………………………………10 分 ， ⎪ ⎝ ⎭ 5∴ s in ⎛α+ π⎫ sin αcos π + cos αsin π =4⨯ 1 - 3⨯ 4 - 12 分3 ⎪ 3 3 5 2 5 2 10 ⎝⎭19.解：(Ⅰ)a = 3 2 ，cos ∠ABC = 2 ， c = 3 ，4 由余弦定理： b 2 = c 2 + a 2 - 2c ⋅ a ⋅ cos ∠ABC= 32 + (3 2 )2 - 2 ⨯ 32 ⨯3 ⨯ 2 = 18 ，………………………………2 分4∴ b = 3 2 ． ……………………………………………………………………4 分又 ∠ABC ∈ (0,π) ，所以 sin ∠ABC =1 - cos2 ∠ABC = 14 ，4由正弦定理： c =sin ∠ACB b ， sin ∠ABC 得 sin ∠ACB = c ⨯ sin ∠ABC =b 7．………………………………………6 分 4(Ⅱ) 以 BA ，BC 为 邻 边 作 如 图 所 示 的 平 行 四 边 形 ABCE ， 如 图 ， 则cos ∠BCE = - cos ∠ABC = -2，…………………8 分 E4BE = 2 B D = 6, 在△B C E 中，由余弦定理：BE 2 = CB 2 + CE 2 - 2CB ⋅ CE ⋅ cos ∠BCE ．即 36 = CE 2+ 18 - 2 ⨯ 32 ⨯ CE ⨯ (-2， 4解得： CE = 3 即 AB = 3 …………………10 分所以 S∆ABC= 1 ac sin ∠ABC = 9 2 7.…………………………………………12 分 420．（1）证明：连接 BC1 ，则 O 为 B 1C 与 BC 1 的交点，因为 侧 面 BB 1C 1C 为 菱 形 ， 所 以 B 1C ⊥ BC 1 又 AO ⊥ 平面BB 1C 1C ，所以 B 1C ⊥ AO ，故 B 1C ⊥ 平面ABO由于 AB ⊂ 平面ABO ，故 B 1C ⊥ AB ……………………………6 分（2）解：做 OD ⊥ BC ，垂足为 D ，连接 AD ，做 OH ⊥ AD ，垂足为 H 。
2018届河南省郑州市高三上学期第一次质量预测文科数学试题及答案
郑州市2018届高三上学期第一次质量预测试题数学（文）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}|2,|A x x B x x m =>=<,且A B R = ，那么m 的值可以是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．复数1iz i+=（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在 A. 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3． 2.5PM 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒 物，也称为可入肺颗粒物，右图是据某地某日早7点至晚8 点甲、乙两个 2.5PM 监测点统计的数据（单位：毫克／每立方米）列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是 A ．甲 B ．乙C ．甲乙相等D ．无法确定4．如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视 图是平行四边形，则该几何体的体积为A ．B ．C ．D ．5．已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为 A.3 B. 2 C ．1 D ．126．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2478230a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则212b b 等于A ．1B ．2C ．4D ．87．若1sin()34πα-=，则cos(2)3πα+A.78- B ．14- C ．14 D ．788．已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为－2，则该抛物线的准线方程为A ．x=lB ．2x =C ．1x =-D ．2x =-9．设函数())cos(2)()2f x x x πϕϕϕ=+++<，且其图象关于直线0x =对称，则A ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为增函数 B ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为增函数 C ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为减函数 D ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为减函数10．双曲线22221(0,0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，过1F 作倾斜角为30 的直线交双曲线右支于M 点，若2MF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为B D 11．已知向量a 是与单位向量夹角为60 的任意向量，则对任意的正实数t,的最小值是A. 0B.12D. 112. 定义在R 上的函数32()(0)f x ax bx cx a =++≠的单调增区间为（-1，1），若方程23(())2()0a f x bf x c ++=恰有4个不同的实根，则实数a 的值为．A ．12 B ．12- C ．1 D ．－1第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22—24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设,x y 满足约束条件1,3,0,x y x y y -≥-⎧⎪+<⎨⎪>⎩， 则z x y =-的取值范围为________．14．执行右面的程序框图，若输出的78S =，则输入的整 数p 的值为__________．15.已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，各顶 点都在同一球面上，若12,2,1AA AB AC ===．60BAC ∠= ，则此球的表面积等于_________．16．整数数列{}n a 满足21()n n n a a a n N *++=-∈，若此数列的前800项的和是2018，前813项的和是2000，则其前2018项的和为__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知函数()sin(2)(0,0)f x A x A ϕϕπ=+><<，当3x π=-时取得最小值-4．(I)求函数()f x 的解析式；(Ⅱ)若等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且24(0),()6a f a f π==，求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 18．（本小题满分12分）郑州市为了缓解城市交通压力，大力发展公共交通，提倡多坐公交少开车,为了调查市民乘公交车的候车情况，交通主管部门从在某站台等车的45名候车乘客中随机抽取15人，按照他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成6组，如下表所示：(I)估计这45名乘客中候车时间少于12分钟的人数；(Ⅱ)若从上表第四、五组的5人中随机抽取2人做进一步的问卷调查，求抽到的2人恰好来自不同组的概率．19.（本小题满分12分）在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 为矩形，11,AB AA ==D 为1AA 的中点，BD 与1AB 交于点O ，CO ⊥侧面11ABB A ． (I)证明：1BC AB ⊥；(Ⅱ)若OC OA =，求三棱锥1C ABC -的体积． 20．（本小题满分12分）已知△ABC 的两顶点坐标(1,0),(1,0)A B -，圆E 是△ABC 的内切圆，在边AC ，BC ，AB 上的切点分别为P ，Q ，R ，1CP =（从圆外一点到圆的两条切线段长相等），动点C 的轨迹为曲线M ．(I)求曲线M 的方程；(Ⅱ)设直线BC 与曲线M 的另一交点为D ，当点A 在 以线段CD 为直径的圆上时，求直线BC 的方程．21.（本小题满分12分） 已知函数(1)()ln ,()k x f x x x g x x-==． (I)当k e =时，求函数()()()h x f x g x =-的单调区间和极值；； (Ⅱ) 若()()f x g x ≥恒成立，求实数k 的值。
河南省郑州市第一中学2018届高三上学期数学(理)---精校解析 Word版
设集合则B. C. D.【解析】∵,∴.点睛：集合是高考中必考的知识点，一般考查集合的表示、集合的运算比较多．对于集合的表示，特别是为虚数单位,C. D. 03. 执行如图所示的程序框图,如果输入,则输出的的值为，不满足条件，继续执行循环体；，，满足条件，退出循环，输出的是定义在则“对一切成立”是“的最大值小于的最大值小于的最小值”则“对一切成立”.即必要性成立:如下左图所示的一个正三棱柱被平面,则该几何体的正视图是B.D.,的概率为B. C. D.【答案】,的概率为为锐角则A. 1B. 2C.D.,，∴ ，故选的夹角为锐角且则称“同余”.已知被“同余”,则上的投影是B. C. D.【答案】【解析】由题意得9. 已知椭圆与双曲线分别为的离心率的取值范围为B. C. D.，由，所以，所以，故选C.10. 平面过正方体的面对角线且平面平面平面,的正切值为B. C. D.【答案】中，，，∵，∴平面，，∵，∴⊥平面，如图，为侧棱补作一个正方体，使得侧面与平面共面，连结∥连结，交，则平面就是平面且为所求作，∥∴⊥平面∵⊂，∴,点睛：本题考查平面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推已知点在曲线在轴上一定存在两个不同的定点,满足在轴上一定存在两个不同的定点满足为定值的最大值为.B. C. D.【答案】B：由，得，根据椭圆定义存在焦点，满足：根据椭圆的性质，椭圆上一点到焦点的最短距离是，故不正确，所以正确，所以选B. C. D.【解析】∵,.故选D.二、填空题：共4题已知则关于的不等式的解集为【答案】解得：，所以不等式的解集为.....................【答案】8【解析】∴.,,的最小值是,为的中点,且,则的值是____.，则，的中点，∴，∴或，∴ ，故填点睛：本题主要考查了三角形形状的判定，涉及的知识有正弦定理，二倍角的正弦函数，诱导公式，以及对于数列若存在则称数列的“商数数列”和“余数数列”.已知数列是等差数列,是其前项和,.求数列:【答案】（1）；（2【解析】试题分析：（1）根据因为所以因为是除以所以据此即可解答.的公差为由题意可得解得.证明:因为,所以,是除以4的余数所以是除以4的余数两边同时除以4,得左边的余数为右边的余数为所以为了增强高考与高中学习的关联度,考生总成绩由统一高考的语文、数学、外语次考试的总次数服从二项分布，根据二项分布公式即可解决）考生要报考该校该专业，除选择物理外，还需从其他六门学科中任选两科，故共有从二项分布，所以分布列为的数序期望.在四棱柱点是为平面平面,时直线与平面所成角的正弦值是否存在最大值若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.要使平面平面只需只需为的中点，所以，所以）建立空间直角坐标系，写出直线与平面所成角的正弦，利用二次函数求其最大值即可）要使平面平面，只需平面因为四棱柱为长方体，平面，所以又因为，所以只需，，只需∽，所以只需为的中点，所以，所以时，平面平面.）存在.理由如下：建立如图所示的空间直角坐标系，所以，得，则，的法向量为，，取，则，设直线与平面所成的角为，则，，所以当，即，时，取得最大值1.已知椭圆的左焦点和上顶点在直线上为椭圆上位于的一点且轴,为椭圆上不同于.求椭圆设直线与轴交于点,求实数【解析】试题分析：（1）根据题意及直线方程，联立椭圆方程求出M点横坐标，用换的取值范围）依题意得椭圆的左焦点为，上顶点为，，所以，所以椭圆）设直线的斜率为，因为，所以关于直线对称，所以直线的斜率为，所以直线的方程是，消去，得，将上式中的换成，得，，所以直线的方程是，代入椭圆方程，得，，解得在点下方，所以，的方程，求出即可，注意的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出已知函数若函数在求实数时分别求函数的最小值和并证明当令,时判断函数；【解析】试题分析：（在）分别求出函数的导数可判断出再利用零点存在性定理进行判断由题意得,有即所以.(2)由题意可得,则所以在上单调递减,在上单调递增所以当时,，,,在上单调递增,所以,时,时.,,其定义域为,,,所以在,,，又,个零点.点睛：已知曲线的参数方程为过极坐标系内的两点和.写出曲线并求直线的斜率设直线与曲线交于两点求，【解析】试题分析：利用消参法将参数方程转化成普通方程写出直线,由题意得曲线的普通方程为,,∴直线的斜率为易知直线的参数方程为得,设方程的两个根为,点睛：本题主要是考查普通方程与参数方程的互化已知函数.若不等式的解集为若不等式对任意求实数的取值范围）；（2）或【解析】试题分析：,得出）不等式等价于,转化成,不等式的性质得出,进而得出,据此解答.不等式的解集为,得,解得.(2)不等式等价于因为不等式对任意恒成立,,,或.。
河南省郑州一中2018届高三上学期入学数学试卷文科 含解析
2018-2018学年河南省郑州一中高三（上）入学数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知全集U=R，集合P={x|lnx2≤1}，Q={y|y=sinx+tanx，x∈[0，]}，则P∪Q为（）A．（﹣，）B．[﹣，]C．（0，]D．（0，]2．复数z1，z2在复平面内对应的点关于直线y=x对称，且z1=3+2i，则z1•z2=（）A．12+13i B．13+12i C．﹣13i D．13i3．已知向量，满足||=2，||=1，（ +）•=0，那么向量，的夹角为（）A．30°B．60°C．150°D．120°4．已知公差不为0的等差数列{a n}满足a1，a3，a4成等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，则的值为（）A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣35．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器﹣﹣商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x 为（）A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2.46．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F1，作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．7．函数与的图象关于直线x=a对称，则a可能是（）A．B．C．D．8．见如图程序框图，若输入a=110011，则输出结果是（）A．51 B．49 C．47 D．459．已知函数f（x）=2018x+log2018（+x）﹣2018﹣x+2，则关于x的不等式f（3x+1）+f（x）＞4的解集为（）A．（﹣，+∞）B．（﹣∞，﹣）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）10．已知实数x，y满足，若目标函数z=﹣mx+y的最大值为﹣2m+10，最小值为﹣2m﹣2，则实数m的取值范围是（）A．[﹣1，2] B．[﹣2，1] C．[2，3]D．[﹣1，3]11．过双曲线x2﹣=1的右支上一点P，分别向圆C1：（x+4）2+y2=4和圆C2：（x﹣4）2+y2=1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2﹣|PN|2的最小值为（）A．10 B．13 C．16 D．1912．定义域为R的可导函数y=f（x）的导函数f′（x），满足f（x）＞f′（x），且f（0）=2，则不等式f（x）＜2e x的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，2）C．（0，+∞）D．（2，+∞）二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，b=3，cosC=，则sinA=．14．F1，F2分别为椭圆=1的左、右焦点，A为椭圆上一点，且=（+），=（+），则||+|| ．15．过球O表面上一点A引三条长度相等的弦AB、AC、AD，且两两夹角都为60°，若球半径为R，求弦AB的长度．16．已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知f（x）=sinx•cosx+cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在锐角△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f（C）=1，求的取值范围．18．在三棱锥D﹣ABC，AB=BC=CD=DA=9，∠ADC=∠ABC=120°，M、O分别为棱BC，AC的中点，DM=4．（1）求证：平面ABC⊥平面MDO；（2）求点M到平面ABD的距离．19．襄阳市某优质高中为了选拔学生参加“全国中学生英语能力竞赛（NEPCS）”，先在本校进行初赛（满分150分），若该校有100名学生参加初赛，并根据初赛成绩得到如图所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，计算这100名学生参加初赛成绩的中位数；（2）该校推荐初赛成绩在110分以上的学生代表学校参加竞赛，为了了解情况，在该校推荐参加竞赛的学生中随机抽取2人，求选取的两人的初赛成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率．20．已知点C为圆（x+1）2+y2=8的圆心，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且有点A（1，0）和AP上的点M，满足•=0，=2．（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；（Ⅱ）若斜率为k的直线l与圆x2+y2=1相切，直线l与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同的两点F，H，O是坐标原点，且≤•≤时，求k的取值范围．21．已知f（x）=a（x﹣lnx）+，a∈R．（I）讨论f（x）的单调性；（II）当a=1时，证明f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AC•BC=AD•AE；（Ⅱ）若AF=2，CF=2，求AE的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ﹣4sinθ．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）若直线l和曲线C相交于A，B两点，且|AB|=3，求直线l的斜率．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=m|x|﹣2，（m∈R）．（1）解关于x的不等式f（x）＞3；（2若不等式f（x）≥g（x）对任意x∈R恒成立，求m的取值范围．2018-2018学年河南省郑州一中高三（上）入学数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知全集U=R，集合P={x|lnx2≤1}，Q={y|y=sinx+tanx，x∈[0，]}，则P∪Q为（）A．（﹣，）B．[﹣，]C．（0，]D．（0，]【考点】并集及其运算．【分析】先化简集合P，Q，再根据并集的定义即可求出．【解答】解：∵lnx2≤1=lne，∴0＜x2≤e，∴﹣≤x＜0或0＜x≤，∴P=[﹣，0）∪（0，]，∵y=sinx+tanx，在[0，]为增函数，∴y∈[0，]，∴Q=[0，]，∴P∪Q=[﹣，]，故选：B．2．复数z1，z2在复平面内对应的点关于直线y=x对称，且z1=3+2i，则z1•z2=（）A．12+13i B．13+12i C．﹣13i D．13i【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】求出复数的对称点的复数，利用复数的乘法运算法则求解即可．【解答】解：复数z1在复平面内关于直线y=x对称的点表示的复数z2=2+3i，所以z1•z2=（3+2i）（2+3i）=13i．故选：D．3．已知向量，满足||=2，||=1，（ +）•=0，那么向量，的夹角为（）A．30°B．60°C．150°D．120°【考点】平面向量数量积的运算．【分析】展开（+）•=0，代入数量积公式即可求得向量，的夹角．【解答】解：设向量，的夹角为θ，由||=2，||=1，（ +）•=0，得，即2×1×cosθ=﹣1，∴cos．∵θ∈[0°，180°]，∴θ=120°．故选：D．4．已知公差不为0的等差数列{a n}满足a1，a3，a4成等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，则的值为（）A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．【分析】由题意可得：a3=a1+2d，a4=a1+3d．结合a1、a3、a4成等比数列，得到a1=﹣4d，进而根据等差数列的通项公式化简所求的式子即可得出答案．【解答】解：设等差数列的公差为d，首项为a1，所以a3=a1+2d，a4=a1+3d．因为a1、a3、a4成等比数列，所以（a1+2d）2=a1（a1+3d），解得：a1=﹣4d．所以==2，故选：A．5．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器﹣﹣商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x 为（）A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2.4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．利用体积求出x．【解答】解：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．由题意得：1，（5.4﹣x）×3×1+π•（2）2x=12.6，x=1.6．故选：B．6．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F1，作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】把x=﹣c代入椭圆方程求得P的坐标，进而根据∠F1PF2=60°推断出=整理得e2+2e﹣=0，进而求得椭圆的离心率e．【解答】解：由题意知点P的坐标为（﹣c，）或（﹣c，﹣），∵∠F1PF2=60°，∴=，即2ac=b2=（a2﹣c2）．∴e2+2e﹣=0，∴e=或e=﹣（舍去）．故选：D．7．函数与的图象关于直线x=a对称，则a可能是（）A．B．C．D．【考点】余弦函数的对称性．【分析】根据函数关于x=a的对称函数为，利用诱导公式将其化为余弦表达式，根据它与一样，求得a的值．【解答】解：由题意，设两个函数关于x=a对称，则函数关于x=a的对称函数为，利用诱导公式将其化为余弦表达式为，令，则．故选：A．8．见如图程序框图，若输入a=110011，则输出结果是（）A．51 B．49 C．47 D．45【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量b的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，t=1，b=1，i=2，不满足退出循环的条件，第二次执行循环体后，t=1，b=3，i=3，不满足退出循环的条件，第三次执行循环体后，t=0，b=3，i=4，不满足退出循环的条件，第四次执行循环体后，t=0，b=3，i=5，不满足退出循环的条件，第五次执行循环体后，t=1，b=19，i=6，不满足退出循环的条件，第六次执行循环体后，t=1，b=51，i=7，满足退出循环的条件，故输出b值为51，故选：A．9．已知函数f（x）=2018x+log2018（+x）﹣2018﹣x+2，则关于x的不等式f（3x+1）+f（x）＞4的解集为（）A．（﹣，+∞）B．（﹣∞，﹣）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）【考点】其他不等式的解法．【分析】可先设g（x）=2018x+log2018（+x）﹣2018﹣x，根据要求的不等式，可以想着判断g（x）的奇偶性及其单调性：容易求出g（﹣x）=﹣g（x），通过求g′（x），并判断其符号可判断其单调性，从而原不等式可变成，g（3x+1）＞g（﹣x），而根据g（x）的单调性即可得到关于x的一元一次不等式，解该不等式即得原不等式的解．【解答】解：设g（x）=2018x+log2018（+x）﹣2018﹣x，g（﹣x）=2018﹣x+log2018（+x）﹣2018x+=﹣g（x）；g′（x）=2018x ln2018++2018﹣x ln2018＞0；∴g（x）在R上单调递增；∴由f（3x+1）+f（x）＞4得，g（3x+1）+2+g（x）+2＞4；∴g（3x+1）＞g（﹣x）；∴3x+1＞﹣x；解得x＞﹣；∴原不等式的解集为（﹣，+∞）．故选：A．10．已知实数x，y满足，若目标函数z=﹣mx+y的最大值为﹣2m+10，最小值为﹣2m﹣2，则实数m的取值范围是（）A．[﹣1，2] B．[﹣2，1] C．[2，3]D．[﹣1，3]【考点】简单线性规划的应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，由z=﹣mx+y的最大值为﹣2m+10，即当目标函数经过点（2，10）时，取得最大，当经过点（2，﹣2）时，取得最小值，利用数形结合确定m的取值范围．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由目标函数z=﹣mx+y得y=mx+z，则直线的截距最大，z最大，直线的截距最小，z最小．∵目标函数z=﹣mx+y的最大值为﹣2m+10，最小值为﹣2m﹣2，∴当目标函数经过点（2，10）时，取得最大，当经过点（2，﹣2）时，取得最小值，∴目标函数z=﹣mx+y的目标函数的斜率m满足比x+y=0的斜率大，比2x﹣y+6=0的斜率小，即﹣1≤m≤2，故选：A．11．过双曲线x2﹣=1的右支上一点P，分别向圆C1：（x+4）2+y2=4和圆C2：（x﹣4）2+y2=1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2﹣|PN|2的最小值为（）A．10 B．13 C．16 D．19【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线x2﹣=1的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），连接PF1，PF2，F1M，F2N，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．【解答】解：圆C1：（x+4）2+y2=4的圆心为（﹣4，0），半径为r1=2；圆C2：（x﹣4）2+y2=1的圆心为（4，0），半径为r2=1，设双曲线x2﹣=1的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），连接PF1，PF2，F1M，F2N，可得|PM|2﹣|PN|2=（|PF1|2﹣r12）﹣（|PF2|2﹣r22）=（|PF1|2﹣4）﹣（|PF2|2﹣1）=|PF1|2﹣|PF2|2﹣3=（|PF1|﹣|PF2|）（|PF1|+|PF2|）﹣3=2a（|PF1|+|PF2|﹣3=2（|PF1|+|PF2|）﹣3≥2•2c﹣3=2•8﹣3=13．当且仅当P为右顶点时，取得等号，即最小值13．故选B．12．定义域为R的可导函数y=f（x）的导函数f′（x），满足f（x）＞f′（x），且f（0）=2，则不等式f（x）＜2e x的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，2）C．（0，+∞）D．（2，+∞）【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】构造函数g（x）=，通过导函数判断函数的单调性，利用单调性得出x的范围．【解答】设g（x）=，则g'（x）=，∵f（x）＜f′（x），∴g'（x）＞0，即函数g（x）单调递增．∵f（0）=2，∴g（0）=f（0）=2，则不等式等价于g（x）＞g（0），∵函数g（x）单调递增．∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞），故选：C．二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，b=3，cosC=，则sinA=．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由余弦定理可得：解得c=3．△ABC是等腰三角形．于是cosC==sin，cos=．利用sinA=2sin cos即可得出．【解答】解：由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=22+32﹣2×2×3×=9，解得c=3．∴△ABC是等腰三角形．∴cosC==sin，cos==．∴sinA=2sin cos=，故答案为：．14．F1，F2分别为椭圆=1的左、右焦点，A为椭圆上一点，且=（+），=（+），则||+|| 6．【考点】椭圆的简单性质．【分析】求得椭圆的a=6，运用椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a=12，由向量的中点表示形式，可得B为AF1的中点，C为AF2的中点，运用中位线定理和椭圆定义，即可得到所求值．【解答】解：椭圆=1的a=6，由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a=12，=（+），可得B为AF1的中点，=（+），可得C为AF2的中点，由中位线定理可得|OB|=|AF2|，|OC|=|AF1|，即有||+||=（|AF1|+|AF2|）=a=6，故答案为：6．15．过球O表面上一点A引三条长度相等的弦AB、AC、AD，且两两夹角都为60°，若球半径为R，求弦AB的长度R．【考点】球内接多面体．【分析】由条件可抓住A﹣BCD是正四面体，A，B，C，D为球上四点，则球心在正四面体中心，利用勾股定理建立方程，即可求出弦AB的长度．【解答】解：由题意，球心在正四面体中心，设AB=a，则截面BCD与球心的距离d=a﹣R，过点B、C、D的截面圆半径r=a，所以（a）2=R2﹣（a﹣R）2，得a=R．故答案为：R．16．已知函数f（x）=，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是（3，+∞）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】作出函数f（x）=的图象，依题意，可得4m﹣m2＜m（m ＞0），解之即可．【解答】解：当m＞0时，函数f（x）=的图象如下：∵x＞m时，f（x）=x2﹣2mx+4m=（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2，∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，必须4m﹣m2＜m（m＞0），即m2＞3m（m＞0），解得m＞3，∴m的取值范围是（3，+∞），故答案为：（3，+∞）．三、解答题（本大题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知f（x）=sinx•cosx+cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在锐角△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f（C）=1，求的取值范围．【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．【分析】（I）由三角函数公式化简可得f（x）=+sin（2x+），解可得单调递增区间；（II）可得，由余弦定理得表达式，由锐角三角形可得再由正弦定理得的范围，由函数的值域可得．【解答】解：（I）由三角函数公式化简可得：f（x）=sin2x+（1+cos2x）=+sin（2x+），由可得∴函数f（x）的单调递增区间为；（II）∵f（C）=+sin（2x+）=1，∴sin（2x+）=，∴或，k∈Z，∴结合三角形内角的范围可，由余弦定理得c2=a2+b2﹣ab，∴，∵△ABC 为锐角三角形，∴，∴由正弦定理得∴18．在三棱锥D ﹣ABC ，AB=BC=CD=DA=9，∠ADC=∠ABC=120°，M 、O 分别为棱BC ，AC 的中点，DM=4．（1）求证：平面ABC ⊥平面MDO ； （2）求点M 到平面ABD 的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；平面与平面垂直的判定． 【分析】（I ）证明OD ⊥OM ．OD ⊥AC ．推出OD ⊥平面ABC ，然后证明平面ABC ⊥平面MDO ． （Ⅱ）利用V M ﹣ABD =V D ﹣MAB ，求出相关几何体的底面面积，以及高，求解点M 到平面ABD 的距离． 【解答】解：（I ）证明：由题意：OM=OD=4，∵，∴∠DOM=90°，即OD ⊥OM ．又∵在△ACD 中，AD=CD ，O 为AC 的中点，∴OD ⊥AC ． ∵OM ∩AC=O ，∴OD ⊥平面ABC ，又∵OD ⊂平面MDO ，∴平面ABC ⊥平面MDO ．… （Ⅱ）由（I ）知OD ⊥平面ABC ，OD=4△ABM 的面积为．又∵在Rt △BOD 中，OB=OD=4，得，AB=AD=8，∴．∵V M ﹣ABD =V D ﹣MAB ，即∴，∴点M 到平面ABD 的距离为．…19．襄阳市某优质高中为了选拔学生参加“全国中学生英语能力竞赛（NEPCS）”，先在本校进行初赛（满分150分），若该校有100名学生参加初赛，并根据初赛成绩得到如图所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，计算这100名学生参加初赛成绩的中位数；（2）该校推荐初赛成绩在110分以上的学生代表学校参加竞赛，为了了解情况，在该校推荐参加竞赛的学生中随机抽取2人，求选取的两人的初赛成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率．【考点】频率分布直方图．【分析】（1）根据频率分布直方图，求出每个矩形的面积，即每组的概率，每组的中值乘以每组的频率之和即这100名学生参加选拔测试的平均成绩；（2）利用频率分布直方图计算分数在[110，130）和[130，150）的人数分别予以编号，列举出随机抽出2人的所有可能，找出符合题意得情况，利用古典概型计算即可．【解答】（1）设初赛成绩的中位数为x，则：（0.001+0.018+0.018）×20+0.18×（x﹣70）=0.5…解得x=81，所以初赛成绩的中位数为81；…（2）该校学生的初赛分数在[110，130）有4人，分别记为A，B，C，D，分数在[130，150）有2人，分别记为a，b，在则6人中随机选取2人，总的事件有（A，B），（A，C），（A，D），（A，a），（A，b），（B，C），（B，D），（B，a），（B，b），（C，D），（C，a），（C，b），（D，a），（D，b），（a，b）共15个基本事件，其中符合题设条件的基本事件有8个…故选取的这两人的初赛成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率为P=…20．已知点C为圆（x+1）2+y2=8的圆心，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且有点A（1，0）和AP上的点M，满足•=0，=2．（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；（Ⅱ）若斜率为k的直线l与圆x2+y2=1相切，直线l与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同的两点F，H，O是坐标原点，且≤•≤时，求k的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）利用线段的垂直平分线的性质、椭圆的定义即可得出．（II）设直线l：y=kx+b，F（x1，y1），H（x2，y2）直线l与圆x2+y2=1相切，可得b2=k2+1．直线方程与椭圆方程联立可得：（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣2=0，△＞0，可得k≠0，再利用数量积运算性质、根与系数的关系及其≤•≤，解出即可得出．【解答】解：（I）由题意知MQ中线段AP的垂直平分线，∴，∴点Q的轨迹是以点C，A为焦点，焦距为2，长轴为的椭圆，，故点Q的轨迹方程是．（II）设直线l：y=kx+b，F（x1，y1），H（x2，y2）直线l与圆x2+y2=1相切联立，（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣2=0，△=16k2b2﹣4（1+2k2）2（b2﹣1）=8（2k2﹣b2+1）=8k2＞0，可得k≠0，∴，===，∴为所求．21．已知f（x）=a（x﹣lnx）+，a∈R．（I）讨论f（x）的单调性；（II）当a=1时，证明f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，然后对a分类分析导函数的符号，由导函数的符号确定原函数的单调性；（Ⅱ）构造函数F（x）=f（x）﹣f′（x），令g（x）=x﹣lnx，h（x）=．则F（x）=f（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x），利用导数分别求g（x）与h（x）的最小值得到F（x）＞恒成立．由此可得f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=a（x﹣lnx）+，得f′（x）=a（1﹣）+==（x＞0）．若a≤0，则ax2﹣2＜0恒成立，∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当a＞0，若0＜a＜2，当x∈（0，1）和（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（1，）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；若a=2，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）上为增函数；若a＞2，当x∈（0，）和（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；（Ⅱ）解：∵a=1，令F（x）=f（x）﹣f′（x）=x﹣lnx﹣1=x﹣lnx+．令g（x）=x﹣lnx，h（x）=．则F（x）=f（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x），由，可得g（x）≥g（1）=1，当且仅当x=1时取等号；又，设φ（x）=﹣3x2﹣2x+6，则φ（x）在[1，2]上单调递减，且φ（1）=1，φ（2）=﹣10，∴在[1，2]上存在x0，使得x∈（1，x0）时φ（x0）＞0，x∈（x0，2）时，φ（x0）＜0，∴函数h（x）在（1，x0）上单调递增；在（x0，2）上单调递减，由于h（1）=1，h（2）=，因此h（x）≥h（2）=，当且仅当x=2取等号，∴f（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x）＞g（1）+h（2）=，∴F（x）＞恒成立．即f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AC•BC=AD•AE；（Ⅱ）若AF=2，CF=2，求AE的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I）如图所示，连接BE．由于AE是⊙O的直径，可得∠ABE=90°．利用∠E与∠ACB都是所对的圆周角，可得∠E=∠ACB．进而得到△ABE∽△ADC，即可得到．（II）利用切割线定理可得CF2=AF•BF，可得BF．再利用△AFC∽△CFB，可得AF：FC=AC：BC，进而根据sin∠ACD=sin∠AEB，AE=，即可得出答案．【解答】证明：（I）如图所示，连接BE．∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°．又∠E与∠ACB都是所对的圆周角，∴∠E=∠ACB．∵AD⊥BC，∠ADC=90°．∴△ABE∽△ADC，∴AB：AD=AE：AC，∴AB•AC=AD•AE．又AB=BC，∴BC•AC=AD•AE．解：（II）∵CF是⊙O的切线，∴CF2=AF•BF，∵AF=2，CF=2，∴（2）2=2BF，解得BF=4．∴AB=BF﹣AF=2．∵∠ACF=∠FBC，∠CFB=∠AFC，∴△AFC∽△CFB，∴AF：FC=AC：BC，∴AC==．∴cos∠ACD=，∴sin∠ACD==sin∠AEB，∴AE==[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ﹣4sinθ．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）若直线l和曲线C相交于A，B两点，且|AB|=3，求直线l的斜率．【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程．【分析】（I）利用可把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，可得圆心、半径，由于直线l过点（1，﹣1），求出该点到圆心的距离，与半径半径即可判断出位置关系；（II）利用点到直线的距离公式与弦长公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ﹣4sinθ，∴ρ2=2ρcosθ﹣4ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x﹣4y，即（x﹣1）2+（y+2）2=5，∵直线l过点（1，﹣1），且该点到圆心的距离为，∴直线l与曲线C相交．（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，直线l过圆心，|AB|=2≠3，因此直线l必有斜率，设其方程为y+1=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k﹣1=0，圆心到直线l的距离=，解得k=±1，∴直线l的斜率为±1．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=m|x|﹣2，（m∈R）．（1）解关于x的不等式f（x）＞3；（2若不等式f（x）≥g（x）对任意x∈R恒成立，求m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（1）由f（x）＞3，得|x﹣2|＞3，由此求得x的范围．（2）由题意可得|x﹣2|≥m|x|﹣2 恒成立．当x=0时，不等式显然成立；当x≠0时，问题等价于m≤对任意非零实数恒成立，再利用绝对值三角不等式求得m的范围．【解答】解：（1）由f（x）＞3，得|x﹣2|＞3，可得x﹣2＞3，或x﹣2＜﹣3．求得x＜﹣1，或x＞5，故原不等式的解集为{x|x＜﹣1，或x＞5}．（2）由f（x）≥g（x），得|x﹣2|≥m|x|﹣2 恒成立．当x=0时，不等式|x﹣2|≥m|x|﹣2 恒成立；当x≠0时，问题等价于m≤对任意非零实数恒成立．∵≥=1，∴m≤1，即m的取值范围是（﹣∞，1]．2018年10月18日。
河南省2018届高三数学8月开学考试试题 理(扫描版)
河南省2018届高三数学8月开学考试试题理（扫描版）数学（理）答案一选择题 CA A BA D D A DA A D二填空题 13. 14. 15.62 16.三解答题1718．【解】（Ⅰ）由题意，得，解得；…………1分又由最高矩形中点的的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20（克），……2分而个样本小球重量的平均值为：（克）故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为克；…………………………4分（Ⅱ）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在内的概率为，………………5分则.的可能取值为、、、，……………………………………6分，，，. ……………10分的分布列为：.（或者）………………12分19．解：（1）∵A1在底面ABC上的射影为AC的中点D，∴平面A1ACC1⊥平面ABC，∵BC⊥AC且平面A1ACC1∩平面ABC=AC，∴BC⊥平面A1ACC1，∴BC⊥AC1，∵AC1⊥BA1且BC∩BA1=B，∴AC1⊥平面A1BC。
（2）如图所示，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，∵AC1⊥平面A1BC，∴AC1⊥A1C，∴四边形A1ACC1是菱形，∵D是AC的中点，∴∠A1AD=60°，∴A（2，0，0），A1（1，0，），B（0，2，0）， C1（-1，0，），∴=（1，0，），=（-2，2，0），设平面A1AB的法向量=（x，y，z），∴，令z=1，∴=（，，1），∵=（2，0，0），∴，∴C1到平面A1AB的距离是。
（3）平面A1AB的法向量=（，，1），平面A1BC的法向量=（-3，0，），∴，设二面角A-A1B-C的平面角为θ，θ为锐角，∴，∴二面角A-A1B-C的余弦值为。
20．I）解：∵直线AB过点F且与抛物线C交于A，B两点，，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB（不垂直x轴）的方程可设为．∴，．∵直线OA与OB的斜率之积为﹣p，∴．∴，得 x1x2=4．由，化为，其中△=（k2p+2p）2﹣k2p2k2＞0∴x1+x2=，x1x2=．∴p=4，抛物线C：y2=8x．（Ⅱ）证明：设M（x0，y0），P（x3，y3），∵M为线段AB的中点，∴，．∴直线OD的斜率为．直线OD的方程为代入抛物线C：y2=8x的方程，得．∴．∵k2＞0，∴21.解：（1）当时：，（）故当时：，当时：，当时：．故的减区间为：，增区间为……2分（2）令，故,,…3分显然，又当时：．当时：．故，，．故在区间上单调递增，……4分注意到：当时，，故在上的零点个数由的符号决定．……5分①当，即：或时：在区间上无零点，即无极值点．②当，即：时：在区间上有唯一零点，即有唯一极值点．综上：当或时：在上无极值点．当时：在上有唯一极值点．……7分（3）假设存在，使得在区间上与轴相切，则必与轴相切于极值点处，由（2）可知：．不妨设极值点为，则有：…（*）同时成立．……8分联立得：，即代入（*）可得．令，．……9分则，，当时（2）．故在上单调递减．又，．故在上存在唯一零点．即当时，单调递增．当时，单调递减．因为，．故在上无零点，在上有唯一零点．……11分由观察易得，故，即：．综上可得：存在唯一的使得在区间上与轴相切．……12分请考上在第22、23三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22．解：（I）由解得点的直角坐标为因此点的极坐标为（II）设直线的参数方程为为参数），代入曲线的直角坐标方程并整理得设点对应的参数分别为则当时，，有最小值23. (1)当时,.由可得,或或,解得或即函数的定义域为(2)依题可知恒成立,即恒成立,而当且仅当即时取等号,所以。
【数学】河南省郑州市2018届高三上学期入学考试数学理试题Word版含答案
【关键字】数学郑州一中2017-2018上期高三入学测试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，（）A．B．C．D．2.已知向量均为单位向量，若它们的夹角为，则等于（）A．B．C．D．43.若二项式展开式的二项式系数之和为8，则该展开式的系数之和为（）A．-1 B．．27 D．-274.将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象如图所示，则函数的解析式是（）A．（）B．（）C. （）D．（）5.已知两条不重合的直线和两个不重合的平面，若，，则下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则其中正确命题的个数是（）A．0 B．.2 D．36.阅读下面程序框图，输出的结果的值为（）A．B．. D．7.已知圆与直线相切于第三象限，则的值是（）A．B． C. D．8.若变量满足条件，则的取值范围是（）A．B． C. D．9.在中，，，，则（）A．B． C. D．10.设，若函数存在整数零点，则符合条件的的取值个数为（）A．2 B．. 4 D．511.已知双曲线（）的左、右两个焦点分别为，以线段为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，若，该双曲线的离心率为，则（）A．2 B． C. D．12.数学上称函数（，）为线性函数，对于非线性可导函数，在点附近一点的函数值，可以用如下方法求其近似代替值：，利用这一方法，的近似代替值（）A．大于B．小于 C.等于D．与的大小关系无法确定第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设函数（），若，，则．14.由数学2，0，1，7组成没有重复数字的四位偶数的个数为．15.下图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图均是高为2，底边长为的等腰三角形，俯视图是边长为2的正方形，则该几何体的外接球的体积是．16.已知函数（），则的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 等差数列中，已知，且为递加的等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若数列的通项公式（），求数列的前项和.18. 河南多地遭遇跨年霾，很多学校调整元旦放假时间，提前放假让学生们在家躲霾，郑州市根据《郑州市人民政府办公厅关于将重污染天气黄色预警升级为红色预警的通知》，自12时将黄色预警升级为红色预警，0时启动I级响应，明确要求“幼儿园、中小学等教育机构停课，停课不停学”学生和家长对停课这一举措褒贬不一，有为了健康赞成的，有怕耽误学习不赞成的，某调查机构为了了解公众对该举措的态度，随机调查采访了50人，将调查情况整理汇总成下表：（1）请在图中完成被调查人员年龄的频率分布直方图；（2）若从年龄在，两组采访对象中各随机选取2人进行深度跟踪调查，选中4人中不赞成这项举措的人数为，求随机变量的分布列和数学期望.19. 如图所示的多面体中，是平行四边形，是矩形，面，，. （1）求证：平面平面；（2）若，求与平面所成角的正弦值.20. 已知椭圆（）的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为8. （1）求椭圆的方程；（2）如图，斜率为的直线与椭圆交于两点，点在直线的左上方，若，且直线分别与轴交于点，求线段的长度21. 已知函数（），曲线在点处的切线与直线垂直. （1）试比较20172016与20162017的大小，并说明理由；（2）若函数()()g x f x k =-有两个不同的零点12,x x ，证明：212x x e •>.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩，（t 为参数，[0,)απ∈），以原点O 为极点，以x 轴正关轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=.（1）设(,)M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围； （2）若直线l 与曲线C 交于两点,A B ，求AB 的最小值. 23.选修4-5：不等式选讲已知()215f x x ax =-+-（05a <<） （1）当1a =时，求不等式()9f x ≥的解集； （2）如果函数()y f x =的最小值为4，求实数a 的值.试卷答案一、选择题1-5: BCAAC 6-10:CBDBC 11、12：DA二、填空题13.16.2三、解答题17.解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意2333(2)(2)()a d a d a d -+=-， 即220d d -=，解之得2d =或0d =（舍去），所以3(3)21n a a n d n =+-=-，即21n a n =-，*n N ∈为所求 （2）当2n k =，*k N ∈时，22214nn =+-； 当21n k =-，*k N ∈时，12n k +=综上，2212221,24232,214nn n n n k S n n n k -⎧+-=⎪⎪=⎨+-⎪+=-⎪⎩，（*k N ∈）18.解：（1）补全频率分布直方图如图年示： （2）X 的所有可能的取值为0，1，2，3，2264225109015(0)45075C C P X C C ==•==， 2111264644222251051020434(1)45075C C C C C P X C C C C •==•+•==， 1112246444222251051013222(2)45075C C C C C P X C C C C ==•+•==，所以X 的数学期望为() 1.2E X =.19.（1）证明：在平行四边形ABCD 中，6ABD π∠=，2AB AD =，由余弦定理，得BD =，从而222BD AD AB +=，故BD AD ⊥. 可得ABD ∆为直角三角形且090ADB ∠=，又由DE ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，得DE BD ⊥ 又ADDE D =，所以BD ⊥平面ADE .由BD ⊂平面BDEF ，得平面BDEF ⊥平面ADE ， （2）解：由（1）可得在Rt ABD ∆中，3BAD π∠=，BD =，又由ED BD =设1AD =，BD ED ==DE ⊥平面ABCD ，BD AD ⊥，建立以D 为坐标原点，以射线,,DA DB DE 分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系，如图所示：得(1,0,0)A，(C -，E，F设平面AEC 的法向量为(,,)n x y z =，得00n AE n AC ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩，所以020x x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩令1z =，得(3,2,1)n =又因为(AF =-， 所以42cos ,14n AF n AF n AF•==• 所以直线AF 与平面AEC所成角的正弦值为14. 20.解：（1）由题意知22228c a ab a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解之得：28a =，22b =所以椭圆C 的方程为22182x y += （2）设直线1:2l y x m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y 将12y x m =+代入22182x y +=中，化简整理，得222240x mx m ++-= 22(2)4(24)0m m ∆=-->，得22m -<<于是有122x x m +=-，21224x x m =-，1112PA y k x -=-，2212PB y k x -=-， 注意到121221121211(1)(2)(1)(2)22(2)(2)PA PB y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=---- 上式中，分子122111(1)(2)(1)(2)22x m x x m x =+--++-- 从而，0PA PB k k +=，由090APB ∠=，可知1,1PA PB k k ==- 所以PMN ∆是等腰直角三角形，24P MN x ==即为所求. 21.解：（1）依题意得'2ln ()()x axx f x x a +-=+， 所以'211()(1)1a f x a a +==++，又由切线方程可得'(1)1f =，即111a =+，解得0a = 此时ln ()x f x x =，'21ln ()x f x x-=， 令'()0f x >，即1ln 0x ->，解得0x e <<； 令'()0f x <，即1ln 0x -<，解得x e > 所以()f x 的增区间为(0,)e ，减区间为(,)e +∞ 所以(2016)(2017)f f >，即ln 2016ln 201720162017>， 2017ln 20162016ln 2017>，2017201620162017>.（2）证明：不妨设120x x >>因为12()()0g x g x ==所以化简得11ln 0x kx -=，22ln 0x kx -=可得1212ln ln ()x x k x x +=+，1212ln ln ()x x k x x -=-.要证明212x x e >，即证明12ln ln 2x x +>，也就是12()2k x x +>因为1212ln ln x x k x x -=-，所以即证121212ln ln 2x x x x x x ->-+即112212lnx x x x x x ->+，令12x t x =，则1t >，即证2(1)ln 1t t t ->+. 令2(1)()ln 1t h t t t -=-+（1t >），由2'2214(1)()0(1)(1)t h t t t t t -=-=>++ 故函数()h t 在(1,)+∞是增函数，所以()(1)0h t h >=，即2(1)ln 1t t t ->+得证. 所以212x x e >.22.解：（1）将曲线C 的极坐标方程2cos 4sin ρθθ=，化为直角坐标方程为24x y = ∵(,)M x y 为曲线C 上任意一点，∴2211(2)144x y x x x +=+=+- ∴x y +的取值范围是[1,)-+∞.（2）将cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩，代入24x y =整理得22cos 4sin 40t t αα--=，∴2216sin 16cos 160αα∆=+=>，设方程22cos 4sin 40t t αα--=的两根为12,t t 所以12244cos AB t t α=-=≥，当0α=时AB 取得最小值4. 23.解：（1）当1a =时，()215f x x x =-+-所以1()92639x f x x ⎧<⎪≥⇔⎨⎪-≥⎩或15249x x ⎧≤<⎪⎨⎪+≥⎩或5369x x ≥⎧⎨-≥⎩ 解之，得1x ≤-或5x ≥，即所求不等式的解集为(,1][5,)-∞-+∞（2）∵05a <<，∴51a >，则1(2)6,215()(2)4,25(2)6,a x x f x a x x a a x x a ⎧-++<⎪⎪⎪=-+≤≤⎨⎪⎪+->⎪⎩，注意到12x <时()f x 单调递减，5x a>时()f x 单调递增， 故()f x 的是小值在152x a≤≤时取到，即min 021()()42a f x f <≤⎧⎪⎨==⎪⎩，或min 255()()4a f x f a <≤⎧⎪⎨==⎪⎩， 解之，得2a =.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
河南省郑州市第一中学2018届高三12月月考数学(理)试题Word版含答案
D. 3 2
①对于不重合的两条直线， “两条直线的斜率相等”是“两条直线平行”的必要不充分条件；
②命题“ x R ， sin x 1”的否定是“ x R ， sin x 1”；
③“ p 且 q 为真”是“ p 或 q 为真”的充分不必要条件；
④已知直线 a ， b 和平面 ，若 a ， b ，则 a b .
A.1
B.2
C.3
D.4
8. 已知直线 ax by 1 0 与圆 x2 y2 1相切，则 a b ab 的最大值为（
）
A.1
B. 1
C. 2 1 2
D. 1 2
9. 已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn 2n 1 k ，则 f x x3 kx2 2x 1 的极大值为
（）
A.2
B.3
C. 7
D. 5
河南省郑州市第一中学 2018 届高三上学期诊断测试
数学（理科）
本试卷共 23 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。
注意事项：
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分
. 答卷前考生务必将自己的姓
名、准考证号填写在答题卡上 .
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑
2
2
Байду номын сангаас
10. “今有垣厚七尺八寸七有五，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日
自半，问几何日相逢？” ，意思是“今有土墙厚 7.875 尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一
天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天
打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢需要的天数为（
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河南省郑州市2018 届高三上入学考试数学试题（文）含答案郑州 2017-2018 上期高三入学测试文科数学试题卷第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共12 个小题 , 每小题 5 分 , 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A{ x N n6} ，B{ x R x23x0} ，则 A B（）{3,4,5,6}B { x 3 x6}C{4,5,6}D{ x x0或3 x 6}A．．．．2. 已知ai b 2i （ a,b R ），其中 i 为虚数单位，则 a b（）iA． -3B． -2C． -1D．13. 每年三月为学雷锋活动月，某班有青年志愿者男生 3 人，女生 2 人，现需选出 2 名青年志愿者到社区做公益宣传活动，则选出的 2 名志愿者性别相同的概率为（）A．3B．2C．1D．3 555104.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还. ”其意思为：“有一个人走378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6 天后到达目的地，请问第二天走了（）A． 96 里B． 48 里 C. 192里D．24里5. 已知抛物线x 28 y与双曲线y 2x21（ a0 ）的一个交点为 M , F 为抛物线的焦点，a2若 MF 5 ，则该双曲线的渐近线方程为（）A．5x 3y 0B．3x 5y 0 C.4x 5y 0D．5x 4 y 0 6.如下程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图（图中“ mMODn ”表示m除以n的余数），若输入的m, n 分别为495，135，则输出的m（）A． 0B．5C. 45D．907.ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，2AO AB AC ，且OA AB，则向量CA在向量 CB 方向上的投影为（）A．1B．3 C.1D．3 2222x y18. 已知x, y N *且满足约束条件2x y2，则 x y 的最小值为（）x5A． 1B． 4 C.6D． 79. 定义运算：a1a2a1a4 a2 a3，将函数f (x)3sin x0 ）的图象向左平a3a41cox（x移2个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是（）3A．1B．5C.7D．3 444410. 设曲线f (x)m21cos x （m R ）上任一点 ( x, y) 处切线斜率为g ( x) ，则函数y x2 g(x) 的部分图象要以为（）11.某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率新工件的体积））（原工件的体积A．8B．16C.4( 2 1)3D．12( 2 1)3 9912. 设函数f (x)1x22x2, x0a 有四个不同的解2，若关于 x 的方程 f ( x)log 2 x , x0x1, x2 , x3 , x4，且 x1x2x3x1 x21）x4，则的取值范围是（x4x32 x4A．( 3,)B． (,3) C.[ 3,3)D． (3,3]第Ⅱ卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知 S n是等差数列 { a n} 的前n项和，若 S55a4 10 ，则数列 { a n} 的公差为．14.已知 A, B,C 三点都在体积为500的球 O 的表面上，若AB43 ，ACB600，则3球心 O 到平面 ABC 的距离为．15.已知曲线 y x ln x 在点 (1,1)处的切线为 l ，若 l 与曲线y ax2(a2)x1相切，则 a．16.已知 F1 , F2x2y21(a b0) 的左、右焦点，P是椭圆上一点（异于左、分别是椭圆b2a2F1PF2的角平分线交2PF1PF2右顶点），过点P 作x 轴于点M，若2 PM，则该椭圆的离心率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . ）17.在ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为a,b, c ，且满足 b cos A (2 c a)cos(B) .（1）求角B的大小；（2）若b 4，ABC的面积为 3 ，求ABC的周长.18. 已知某中学高三文科班学生共有800 人参加了数学与地理的水平测试，学校决定利用随机数表法从中抽取 100 人进行成绩抽样调查，先将800 人按 001， 002，, ，800 进行编号（1）如果从第8 行第 7 列的数开始向右读，请你依次写出最先检查的 3 个人的编号；（下面摘取了第 7 行到第 9 行）84 42 17 53 3157 24 55 06 8877 04 74 47 6721 76 33 50 2583 92 12 067663 01 63 78 5916 95 56 67 1998 10 50 71 7512 86 73 58 0744 39 52 387933 21 12 34 2978 64 56 07 8252 42 07 44 3815 51 00 13 4299 66 02 7954（2）抽取的100 人的数学与地理的水平测试成绩如下表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向，纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有20 18442 .①若在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a, b的值：人数数学优秀良好及格优秀7205地理良好9186及格a4b②在地理成绩及格的学生中，已知a11， b7 ，求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率 .19.如图，在四棱锥 P ABCD 中，PC AD CD 1AB 2 ，AB // DC ，AD CD ，2PC平面 ABCD .（1）求证：BC平面 PAC ；（2）若M为线段PA的中点，且过C , D , M三点的平面与线段PB 交于点N，确定点N的位置，说明理由；并求三棱锥A CMN 的高.20. 已知圆C1: x2y2 6 x0关于直线 l1 : y 2x 1对称的圆为C.（1）求圆C的方程；（2）过点( 1,0)作直线 l 与圆 C 交于 A, B 两点， O 是坐标原点，是否存在这样的直线l ，使得在平行四边形OASB 中 OS OA OB ？若存在，求出所有满足条件的直线l 的方程；若不存在，请说明理由 .21. 已知函数f ( x)ln x(1a)x2x .（1）讨论函数f(x) 的单调性；（2）当a 1时，证明：对任意的x(0, ) ，有 f (x)ln x(1 a)x2a1.x请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修 4-4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系x 1 costxOy 中，圆 C 的参数方程为（ t 为参数），以坐标原点为极点，y sin tx轴的正半轴为极轴，建立极坐标系. .（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2 sin() 2 2 ，曲线C1的极坐标方程为0 ，其中04满足 tan02 ，曲线 C 与圆C的交点为O, P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长.123.选修 4-5 ：不等式选讲已知函数 f ( x)2x 1 .（1）求不等式f(x)x 1 2的解集；（2）若函数g( x) f ( x) f (x1) 的最小值为a，且m n a （m 0, n0 ），求41m n 的最小值 .试卷答案一、选择题1-5:CABAB6-10: CDBD 11、12：AD二、填空题13.214.315. 816.22三、解答题17. （ 1）∵b cos A (2 c a)cos(B) ，∴ b cos A (2 c a)( cos B) .由正弦定理可得，sin B cos A(2sin C sin A)cos B ，即 sin( A B)2sin C cos B sin C又角 C 为ABC 内角， sin C0 ，∴ cos B 1，又 B(0, ) ，∴ B2. 23（2）有S ABC 13 ，得 ac4 . ac sin B2又 b2a2c2ac ( a c) 2ac 16∴ a c 2 5，所以 ABC 周长为4 25.18.解：（1） 785，667， 199.（2）①7 9a30%，∴ a14 ； b10030 (20 18 4) (5 6) 17 .100② a b 100(7205) (918 6)431.因为 a 11 ， b7 ，所以 a, b 的搭配：(11,20) ， (12,19) ， (13,18) ， (14,17)， (15,16) ， (16,15) ， (17,14) ， (18,13) ， (19,12) ，(20,11) ， (21,10) ， (22,9)， (23,8) ， (24,7)，共有 14 种 .设 a 11 ， b7 时，数学成绩优秀的人数比及格的人数少为事件 A ，a5 b .事件 A 包括：(11,20)，(12,19)，共 2 个基本事件；P( A)2121，数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率为14. 147719. （ 1）证明：连接AC ，在直角梯形ABCD 中，AC AD 2DC 2 2 2 ，BC( AB CD )2AD 222 ，所以 AC 2BC2AB2，即 AC BC .又 PC平面 ABCD ，∴ PC BC ，又 AC PC C ，故 BC平面 PAC .（2）N为PB的中点，因为 M 为 PA 的中点，N为 PB 的中点，所以MN // AB，且MN 1AB 2 . 2又∵ AB // CD ，∴ MN // CD ，所以 M , N , C, D 四点共面，所以点 N 为过 C , D , M 三点的平面与线段PB交点.因为 BC平面 PAC ， N 为PB的中点，所以N 到平面 PAC 的距离 d 1BC2 .1S ACP1112 2又SACM AC PC 2 ，所以 V N ACM22.22233由题意可知，在直角三角形 PCA 中， PA2 22 3 ， CM 3 ，AC PC 在直角三角形 PCB 中， PBBC 2 PC 22 3 ， CN3 ，所以 S CMN 2 .设三棱锥 A CMN故三棱锥 A CMN的高为 h ， V N ACM1 2 h2 VA CMN，解得 h233的高为220. 解：（1）圆 C 1 化为标准为 ( x 3)2 y 2 9 .设圆 C 1 的圆心 C 1(3,0) 关于直线 l 1 : y 2x1的对称点为 C (a, b) ，则 k CC k 11 ，1且 CC 的中点 M (a3 , b) 在直线 l : y 2x1上，12 2 1b 21a3所以有，b(a3)1 02a 1解得2b所以圆 C 的方程为 ( x 1)2 ( y 2)2 9 .（2）由 OS OA OB BA ，所以四边形 OASB 为矩形，所以 OA OB ，是使 OAOB ，必须使 OA OB0 ，即： x 1 x 2 y 1 y 2 0 .①当直线 l 的斜率不存在时，可得直线l 的方程 x1 ，与圆 C( x 1)2( y 2)2 9交于两点A( 1, 5 2) ， B( 1,5 2) .因为 OA OB( 1)(1) ( 52)(5 2)0 ，所以 OA OB ，所以当直线 l 的斜率不存在时，直线 l : x1满足条件 .②当直线 l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为 yk( x 1) .设 A( x 1, y 1 ) ， B( x 2 , y 2 ) ，由 ( x 1)2( y 2)29，得y k( x1)(1 k2 ) x2(2k24k2)x k24k40由于点 (1,0) 在圆 C 内部，所以0 恒成立.x1,2(2k 24k2)(2k24k2)24(1 k 2 )(k 24k 4)2(1k 2 )x1x22k 24k2，x1x2k24k4 1k21k2要使 OA OB ，必须使OA OB0，即：x1 x2y1 y20，也就是：k 24k *4k2( x11)(x21)0 1 k 2整理得： (1k 2 )k24k4k 22k 24k2k 20 .1k 21k2解得： k1，所以直线 l 的方程为y x. 1存在直线 x 1 和 y x1，它们与圆 C 交于 A, B 两点，且四边形 OASB 对角线相等.21. 解：（1）由题知f'( x)2(1a) x2x1（ x0 ），x当 a1时，由f'( x)0得 2(1a) x2x10且98a ，x11 9 8a， x2 1 9 8a 4(1a)4(1a)①当 a 1 时， f (x) 在(0,1)上单调递增，在(1,) 上单调递减；②当 a 1时， f (x) 在(0, x2)上单调递增，在( x2 ,) 上单调递减；③当 a9时， f ( x) 在 (0,)上单调递增；89④当a1时， f ( x) 在(0, x2)和(x1,) 上单调递增，在 ( x2 , x1) 上单调递减.8（2）当a 1 时，要证 f ( x)ln x(1a)x2a1在 (0,)上恒成立，ln x x只需证 ln x x a 1 在 (0,) 上恒成立，x令 F ( x) ln xx ， g( x) ln x 1 a ，x因为 F ' ( x)1 1 ，x易得 F ( x) 在 (0,1) 上递增，在 (1,ln x'由 g( x)1 a 得 g ( x)) 上递减，故 F ( x) F (1) 1 1 ln xln x1x 2x 2（ x0 ） .当 0 xe ， g ' (x) 0 ；当 x e 时， g ' ( x) 0 .所以 g( x) 在 (0, e) 上递减，在 (e,) 上递增 .所以 g(x) g(e)1 1 a .e1 1 又 a1，∴1 a 1 ，即 F ( x)max g( x) min ，ee所以 ln xxln x1) 在 (0,)上恒成立，a(xxln x 故 a1时，对任意的 x(0,) ， f ( x)a( x 1) 恒成立 .x22. （ 1）圆 C 的普通方程为22( x1)y，又 xcos， ysin ，所以圆 C 的1极坐标方程为2cos ；12cos112 5（2）设 ( 1, 1 ) 为点 P 的极坐标，则有，解得5tan 12tan122 2(sin 2 cos cos 2 sin) 22，解得225设 ( 2 , 2 ) 为点 Q 的极坐标，4 4 3 .tan22tan22 由于2 ，所以 PQ12 45 ，所以线段 PQ 的长为 4 5115153x, x123. （ 1） f ( x)x 1x 2,1 x 1 ，23x, x12当 x 1时， 3x 2 ，得 x2x；，即3当 1x 1时， x 2 2 ，得 x0，即 0 x 1 ；221 21 2当 x 时， 3x 2 ，得 x 3，即x.223综上，不等式的解集为(0, 2) .3（2）由条件得 g(x) 2x 1 2x 3 (2 x 1) (2 x 3)2 ，当且仅当x [ 1 , 3] 时，其最小值 a2 ，即 m n 2 .2 2又41 1 ( m n)( 4 1 ) 1 (5 4n m ) 1 (52 4n m ) 9 ，m n 2 m n 2 m n 2m n2所以41 的最小值为 9，当且仅当 m4 ， n 2 时等号成立 . m n 23 3。