奇异值分解法计算广义逆
实验二奇异值分解法计算广义逆
实验二奇异值分解法计算广义逆
广义逆是一种可以使得A与其广义逆矩阵乘积仍为一个单位矩阵的矩阵。
对于一个非方阵A，我们可以使用奇异值分解来计算其广义逆矩阵
A^+。
具体计算过程如下：
1.对矩阵A进行奇异值分解，得到A=UΣV^T。
2.对Σ进行逆运算，得到Σ^(-1)。
3.将U和V^T进行转置，得到U^T和V。
4.计算广义逆矩阵A^+=VΣ^(-1)U^T。
这个计算过程的物理解释是：U和V分别表示了原始矩阵A的左奇异
向量和右奇异向量，Σ表示了奇异值的对角矩阵。
奇异值的倒数相当于
对矩阵的奇异值进行逆运算，将非零奇异值取其倒数，零奇异值保持不变。
而广义逆矩阵的计算则是通过右奇异向量V的转置和左奇异向量U的转置
乘以这些逆奇异值来得到。
奇异值分解方法计算广义逆的优点在于它能够处理各种类型的矩阵，
包括非方阵和奇异矩阵等。
同时，奇异值分解还具有数值稳定性好的特点，对于小奇异值可以有效地进行截断处理，避免了矩阵求逆时可能出现的数
值不稳定问题。
此外，奇异值分解还能够提供对矩阵的降维处理，通过选择较大的奇
异值，舍弃较小的奇异值，可以将矩阵维度降低，去除冗余信息。
这对于
处理高维数据和矩阵近似等问题非常有用。
综上所述，奇异值分解法是一种计算广义逆矩阵的有效工具。
它能够稳定地处理各类矩阵，并且具有降维的优势。
在实际应用中，我们可以利用奇异值分解来计算数据的广义逆矩阵，从而解决一些复杂的线性问题。
c++ eigen广义逆矩阵
c++ eigen广义逆矩阵在C++中使用Eigen库计算矩阵的广义逆可以通过以下步骤实现。
首先，确保你已经安装了Eigen库，并且在你的C++项目中包含了Eigen头文件。
然后，你可以使用Eigen库中的`JacobiSVD`类来计算矩阵的广义逆。
下面是一个简单的示例代码，演示了如何使用Eigen库计算矩阵的广义逆：cpp.#include <iostream>。
#include <Eigen/Dense>。
int main()。
{。
Eigen::MatrixXf A(2, 3);A << 1, 2, 3,。
4, 5, 6;Eigen::JacobiSVD<Eigen::MatrixXf> svd(A,Eigen::ComputeThinU | Eigen::ComputeThinV);Eigen::MatrixXf A_inv = svd.matrixV()Eigen::Vector3f(svd.singularValues().array().inverse()) svd.matrixU().transpose();std::cout << "The pseudo inverse of A is:\n" <<A_inv << std::endl;return 0;}。
在这个示例中，我们首先创建了一个2x3的矩阵A，并使用`JacobiSVD`类对其进行奇异值分解。
然后，我们使用奇异值分解的结果计算了矩阵A的广义逆，并将结果打印出来。
需要注意的是，这只是一个简单的示例，实际应用中可能需要根据具体情况进行调整。
希望这个示例能帮助到你理解如何在C++中使用Eigen库计算矩阵的广义逆。
广义逆矩阵的计算方法及意义
广义逆矩阵的计算方法及意义广义逆矩阵是矩阵理论中的一个非常重要的概念，它不仅在数值计算中具有重要意义，而且在优化理论、信号处理以及系统控制等领域也广泛应用。
本文将从广义逆矩阵的定义、计算方法及其意义等方面阐述这一重要概念。
一、广义逆矩阵的定义广义逆矩阵的定义是指，对于任意的一个矩阵A ∈ Rm×n，若存在一个矩阵A+ ∈ Rn×m，使得下列两个条件成立，即：A × A+ × A = AA+ × A × A+ = A+则称A+为A的广义逆矩阵。
其中，A+也满足下列两个条件：(A × A+)T = A × A+(A+ × A)T = A+ × A需要注意的是，如果A的列线性无关，则A+实际上就是A的逆矩阵。
二、广义逆矩阵的计算方法广义逆矩阵的计算方法有以下几种：（1）矩阵求导法矩阵求导法是一种比较简单的计算广义逆矩阵的方法。
它的基本思想是，将A与A的转置相乘，得到一个对称矩阵B，然后对B进行求导，最终就可以得到广义逆矩阵A+。
但是，这种方法的计算复杂度较高，适用范围也比较狭窄。
（2）奇异值分解法奇异值分解法是一种较广泛使用的计算广义逆矩阵的方法。
该方法的基本思想是，将A进行奇异值分解，得到A = UΣVT，然后对Σ进行逆运算，得到Σ+，最后通过A+ = VΣ+UT，就可以得到广义逆矩阵A+。
（3）正交交替投影法正交交替投影法是一种可以解决较大规模矩阵计算问题的方法。
该方法的基本思想是，通过Von Neumann展开，将广义逆矩阵的计算转化为一个正交投影问题，然后利用正交的性质以及平衡收敛的原理，不断迭代求解，最终得到广义逆矩阵A+。
三、广义逆矩阵的意义广义逆矩阵作为一种重要的矩阵理论工具，具有许多重要的应用意义，下面我们对其进行简单的介绍：（1）最小二乘法在数据处理的过程中，经常会出现数据不完备或者存在噪声的情况。
numpy奇异值分解,广义逆矩阵与行列式
numpy奇异值分解,⼴义逆矩阵与⾏列式SVD是⼀种因⼦分解运算, 将⼀个矩阵分解为3个矩阵的乘积其中, 奇异值矩阵是对⾓线矩阵Key_Functionnp.linalg.svd函数, 可以对矩阵进⾏奇异值分解. U: 正交矩阵 sigma: 表⽰奇异值矩阵对⾓线的数组, 其他⾮对⾓线元素均为0 V: 正交矩阵np.diag函数, 得出完整的奇异值矩阵Codeimport numpy as npA = np.mat("4 11 14; 8 7 -2")print(A)'''[[ 4 11 14][ 8 7 -2]]'''U, Sigma, V = np.linalg.svd(A, full_matrices=False)print(U)'''[[-0.9486833 -0.31622777][-0.31622777 0.9486833 ]]'''print(Sigma) # 这个Sigma只是奇异值矩阵对⾓线上的值'''[ 18.97366596 9.48683298]'''print(np.diag(Sigma))'''[[ 18.97366596 0. ][ 0. 9.48683298]]'''print(V)'''[[-0.33333333 -0.66666667 -0.66666667][ 0.66666667 0.33333333 -0.66666667]]'''print(U * np.diag(Sigma) * V)'''[[ 4. 11. 14.][ 8. 7. -2.]]'''⼴义逆矩阵Key_Functionnp.linalg.pinv函数np.inv函数Codeimport numpy as npA = np.mat("4 11 14; 8 7 -2")print(A)'''[[ 4 11 14][ 8 7 -2]]'''pseudoinv = np.linalg.pinv(A)print(pseudoinv)'''[[-0.00555556 0.07222222][ 0.02222222 0.04444444][ 0.05555556 -0.05555556]]'''print(A * pseudoinv)'''⼗分接近单位矩阵[[ 1.00000000e+00 0.00000000e+00] [ 8.32667268e-17 1.00000000e+00]] '''数学概念⼴义逆矩阵的定义或者⼴义逆矩阵的求解⾏列式Key_Functionnp.linalg.det函数, 计算矩阵的⾏列式Codeimport numpy as npA = np.mat("3 4; 5 6")print(A)'''[[3 4][5 6]]'''print(np.linalg.det(A))# -2.0。
矩阵的广义逆行列式
矩阵的广义逆行列式
矩阵的广义逆行列式是指一个矩阵在广义逆的定义下所对应的行列式。
在线性
代数中，给定一个矩阵A，如果存在一个矩阵B使得AB和BA都是广义单位矩阵（设为I），则B被称为矩阵A的广义逆，记作A⁺。
对于一个矩阵A的广义逆行列式，我们可以通过以下步骤计算得出。
首先，我们需要求出A的广义逆矩阵A⁺，这可以通过奇异值分解(SVD)来得出。
将矩阵A
作SVD，可以得到矩阵A的奇异值分解形式为A = UΣV^T，其中U和V是正交矩阵，Σ是对角阵。
我们可以将矩阵Σ的对角元素进行求逆，得到Σ的伪逆矩阵Σ⁺。
然后，将U
和V^T进行转置操作，得到U^T和V的转置矩阵(V^T)^T=V，分别表示U和V的伪逆矩阵。
通过上述步骤，我们可以得到矩阵A的广义逆矩阵A⁺=VΣ⁺U^T。
最后，我
们可以计算矩阵A的广义逆行列式。
由于矩阵A⁺并不一定是方阵，所以其行列式并不能简单地通过行列式的计算公式求得。
因此，矩阵的广义逆行列式并不是一个常见或常规的矩阵特征。
在求解过程中，我们更关注广义逆矩阵A⁺的性质，如A⁺A和AA⁺的性质，以及广义逆在线性方程组求解、最小二乘问题等方面的应用。
总结而言，矩阵的广义逆行列式是一个复杂且非常规的特征，不能通过简单的
行列式计算公式直接求得。
对于矩阵A的广义逆行列式的计算，我们首先需要求
出A的广义逆矩阵A⁺，然后可以通过该矩阵的性质进行进一步的研究和应用。
第三章 广义反演法
(
3
4
3
)
T
2 3 F=U r U T = 1 r 3 1 3
1 3 3 5 -1 6 6 5 -1 6 6 1
数据分辨矩阵性质： 1. 主对角要素表明理论数据与观测数据之 间的逼近程度。纯欠定情况下的数据分辨力 最高； 2. 数据分辨矩阵与观测数据无关，只与核 函数（系数矩阵）和先验信息相关。
第二节 奇异值分解和自然逆
奇异值分解： 奇异值分解：SVD（singular value decomposition） （ ）
1. G是M阶实对称、非奇异矩阵
G = UΛU
T
U T U = UU T = E
λ1 L L λ2 Λ= O 0 0 λM
U是G的M个特征向量组成的特 是 的 个特征向量组成的特 征向量矩阵， 征向量矩阵，正交矩阵 Λ是G的M个特征值组成的对角 是 的 个特征值组成的对角 线矩阵
−1 T µ m=G L d=Vr Λ r U r d
T −1 T $ µ d=Gm=GG L d=U r Λ r Vr Vr Λ r U r d
F = Ur U
T r
M阶 阶
纯欠定： 纯欠定： F = U r U T =I M r
m1 + m2 = 3 m3 = 3
m= 3
1 0 Ur = 0 1
第五节 参数分辨矩阵
参数分辨矩阵： 参数分辨矩阵：parameter resolution matrix
µ m=G L d=G L Gm
µ Λ −1U T U Λ V T m m=Vr r r r r r
T r r
R =VV
三矩阵相乘的广义逆 -回复
三矩阵相乘的广义逆-回复三矩阵相乘的广义逆，其实指的是当三个矩阵A，B，C满足一定条件时，如何求得一个矩阵X，使得AXC=B成立。
这个问题在数学和工程领域中都有广泛的应用，比如在线性代数、信号处理、图像处理等领域中都会遇到。
接下来，我将分步回答这个问题。
首先，我们先来了解一下什么是矩阵的广义逆。
对于一个矩阵A，如果存在一个矩阵X，使得AXA=A，并且满足一定的附加性质，那么我们称X 为A的广义逆。
也就是说，广义逆是一个使得矩阵乘法满足类似于元素乘法的逆的性质的矩阵。
接下来，我们来详细讨论三矩阵相乘的广义逆的求解过程。
假设我们已经有了三个矩阵A，B和C，我们要求解一个矩阵X使得AXC=B成立。
第一步是判断是否存在广义逆。
根据矩阵乘法的性质，如果存在广义逆矩阵X，那么必须满足A的列空间与C的行空间相互垂直，且A的行空间与C的列空间相互垂直。
也就是说，A的列空间与C的行空间是互补的，同时A的行空间与C的列空间也是互补的。
第二步是求解广义逆。
我们可以使用SVD（奇异值分解）来求解三矩阵相乘的广义逆。
SVD将矩阵A分解为三个矩阵的乘积，即A=UΣV^T，其中U和V是正交矩阵，Σ是奇异值矩阵。
接下来，我们可以根据SVD分解得到的U、Σ、V^T来求解广义逆。
首先，我们可以将Σ矩阵中非零奇异值的逆取出，得到矩阵Σ^+。
然后，我们可以通过将U的前k列按照奇异值的倒数进行缩放并保留V^T的前k行，得到一个矩阵X^+，即X^+ = V_kΣ_k^+U_k^T。
最后一步是验证广义逆。
我们将计算出来的广义逆矩阵X^+带入原始等式AXC=B中，如果AX^+C与B的差异在误差范围内，那么我们可以认为X^+是AXC=B的解的广义逆。
总结起来，求解三矩阵相乘的广义逆可以按照以下步骤进行：首先判断是否存在广义逆，然后使用SVD分解矩阵A，接着根据分解结果求解广义逆，最后验证求解出的广义逆是否满足等式AXC=B。
三矩阵相乘的广义逆在实际应用中非常重要。
线性代数中的广义逆
线性代数中的广义逆线性代数中的广义逆是一种特殊的矩阵运算，它在解决线性方程组、最小二乘问题以及矩阵逆的计算中具有重要作用。
本文将详细介绍广义逆的定义、性质和应用，以加深对该概念的理解。
一、广义逆的定义与性质广义逆是针对非方阵而言的。
对于一个m×n的矩阵A，在矩阵A的扩展实数域中，若存在一个n×m的矩阵B，使得AB和BA均为投影矩阵，则称B为A的广义逆，记作A^+。
广义逆具有以下性质：1. 幂等性：(A^+)^+ = A^+2. 逆性：(AB)^+ = B^+A^+3. 秩性：(A^+)A和A(A^+)的秩相等4. 唯一性：若A^+和B^+都是A的广义逆，则A^+ = B^+二、广义逆的应用广义逆在线性方程组的求解中扮演着重要角色。
对于一个m×n的线性方程组Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b为已知向量。
若A的行秩等于列秩，则该方程组有唯一解。
然而，在实际问题中，方程组常常出现行秩小于列秩的情况，此时无法直接求解。
利用广义逆的概念，我们可以构造最小二乘解。
最小二乘解是指使得||Ax-b||^2（欧氏范数下的二范数）最小的解。
通过广义逆的求解方法，可以找到最接近方程组Ax=b的解x*，即使得||Ax*-b||^2取得最小值。
特别地，当A的列秩等于n（A是满秩列）时，最小二乘解与精确解重合。
广义逆还在矩阵逆的计算中起到重要作用。
当方阵A不可逆时，可以使用广义逆来近似计算逆矩阵。
通过广义逆的逆性质，我们可以得到A的近似逆矩阵A^+的逼近解析表达式。
三、广义逆的计算方法1. 伪逆法：通过奇异值分解（SVD）求解广义逆，即A^+=VΣ^+U^T，其中U、Σ、V分别是A的左奇异向量矩阵、对角奇异值矩阵和右奇异向量矩阵。
2. 矩阵分块法：将矩阵A分块，利用分块矩阵性质求解广义逆。
3. Moore-Penrose逆矩阵：Moore-Penrose逆矩阵是一种特殊的广义逆矩阵，是广义逆的一种常用表示形式。
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奇异值分解法计算广义逆 线性最小二乘问题的广义逆求解
(丁梁波 整理)
对于任意的n m ⨯方程组：b Ax =
其中⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=mn m n a a a a A 1111 ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x 1 ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b 1 如果n m =，只要n 方阵A 非奇异，就有逆阵1-A ，从而得到解b A x 1-=。
然而，对于n m ≠的一般情况，A 是长方阵，就没有通常的逆阵。
不过它仍然可以有相应于特定方程类型的几种形式的广义逆矩阵，其中适于任何情况的广义逆叫做Penrose 广义逆，记为+A 。
于是，方程的解可以为：
b A x +=
由奇异值分解（SVD ）可以将A 分解为：
T V U A ∑=
其中U ，V 分别为m ,n 阶正交阵
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣
⎡=∑001
r σσ
这样A 的广义逆+A 可表示为：
T U V A 1-+∑=
其中
⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡∑=∑-
-0001
1
r
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∑---1111r r σσ
这样我们可以看出，完成A 的奇异值分解后，求解A 的广义逆就变得很简单，从
而可以方便地求出方程组的最小二乘解。
下面我们说明对矩阵进行奇异值分解的方法和步骤。
通常情况下我们考虑m>n 时矩阵A 的奇异值分解，因为当m<n 时，可以将n-m 行补零使其成为方阵后再进行分解。
这样我们就将矩阵A 的奇异值分解分为两大步，若干小步如下：
一．用Householder 变换将A 约化为双对角矩阵。
具体步骤如下： 1. 以A 的第1列作为v ，取i=1，按下列式子构造Householder 矩阵Q 式中i H 为Q ，为了方便以后的说明我们还用i H 表示
2
/122
)
(1)(12
)(22
)(),,,,0,0(),,,)(,,0,0()
1(∑=++==+=-
=m
i k k i T m i i i T m i i i i i i
T i i i v v
v v v v v v v v sign v u u u u I H 其中，
2. 将Q 1左乘A 得到矩阵Q 1 A ，并以Q 1 A 的第1行作为v ，取i=2，按（1）式构造Householder 矩阵H 2， 右乘Q 1A 得到Q 1A H 2。
3. 取Q 1A H 2的第2列为v ，i=2，按（1）式构造Householder 矩阵Q 2，左乘Q 1A H 2，得到Q 2 Q 1A H 2，并将计算Q 2 Q 1将其存入Q 1。
4. 取Q 2 Q 1A H 2的第2行为v ，i=3，按（1）式构造Householder 矩阵H 3，右乘Q 2 Q 1A H 2，得到Q 2 Q 1A H 2 H 3，并将H 2 H 3存入H 2。
5. 依次类推，计算出Q n Q n-1…Q 1AH 2 H 3…H n-1为双对角矩阵，并将Q n Q n-1…Q 1存入到Q 1中，H 2 H 3…H n-1存入到H 2 中。
Q n Q n-1…Q 1AH 2 H 3…H n-1为双对角矩阵记为：
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=-00
01
3
22
1
n n n B βγβγβγβ
需要注意的是：当n m =时，只计算到Q n-1…Q 1AH 2 H 3…H n-2
二．用原点位移QR 算法进行迭代，计算所有的奇异值，并最终结合（一）计算出出U 和V 。
1. 按下式列旋转矩阵H 0
⎥⎥
⎥
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=11
0 c s s c H （2） 式中
()
(
)
[]
2
/121
2
2
2
1
21222121222
122112
2212142
121//-----+--+-+++==-=+===n n n n n n n n n n r r
s r c γ
γγβγβγβγβσγβξσβξξξξξ
并将计算BH 0
2. 按下式构造列旋转矩阵
⎥⎥
⎥
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=11
1 c s s c Q 并计算Q 1 BH 0 3. 构造列旋转矩阵
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=1111 c s s c H
并计算Q 1 BH 0H 1以及H 0H 1
4. 构造列旋转矩阵
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=1112 c s s c Q
并计算Q 2 Q 1 BH 0H 1以及Q 2 Q 1
5. 按类似（3），（4）的方法构造列旋转矩阵，并计算相应的新矩阵Q i …Q 2 Q 1 BH 0H 1
…
H i-1,
直
到
i=n
，
并
记
1
21
1Q Q Q Q n =，
11011-=n H H H H ，110121
11-==n n H H BH Q Q Q Q B 即11
111BH Q B = 6. 判断B 1的次对角线元素是否在误差范围内可以认为是0，若是则分解完毕，若否，则将B 1作为上面的B 重复步骤1，2，3，4，5，6。
直到B k 可以近似看作是对角阵。
即：11111-----=k k k k k k H B Q B
记112211Q Q Q Q k k --=，112211--=k k H H H H
则B k 的对角线元素就是矩阵A 的奇异值，即T V U A ∑=中的∑已经求得，从上面的过程中我们可以将A 按下面的式子进行分解：
21HH QB Q A k =
对比T V U A ∑=，k T
T
B H H V Q
Q U =∑==21，
这样我们就完成了矩阵A 的奇异值分解，由于U 和V 都是正交阵，我们能够得到A 的广义逆+A ，从而可以根据下列公式计算方程组的最小二乘解：
b A x +=
程序说明：
程序共有一个主程序MAIN.FOR和三个主要功能子程序：
MAIN.FOR—主要功能有：方程组的初始化，输出系数矩阵及其广义逆、广义逆法的最小二乘解以及逆的逆对方法进行验证。
BMUA V.FOR—程序的核心部分，奇异值分解程序，输入系数矩阵，输出分解后的U，V，∑
AGMIV.FOR—计算广义逆+A以及方程组的最小二乘解
BGINV.FOR—仅计算广义逆+A
另外还有一个奇异值分解的辅助小程序SSS.FOR。