2014年高考广东文科数学模拟试题
称法 则 “ ・ ”为 集合 Ａ上 的一 个 代 数运 算 （ ａ ｌ ｇ ｅ ｂ ｒ ａ ｉ ｃ ｏ ｐ ｅ ｒ ａ —
俯视 图
ｔ ｉ ｏ ｎ ｇ ）． 元素 ｃ是 ａ ， ｂ通过运算 “ ・ ”作用 的结果 ，我们 将此结 果 记为 ｏ ・ ｂ ＝ ｃ ． 那 么 ，下面各项 中 ，不是有 理数集 Ｑ上 的代 数
一
１ ２ ． 已知数列 ｛ ％｝ 为等 比数列 ，且 ａ ｓ ・ ３ ，则 － ａ ｓ ・ ａ ｇ ＝ Ｉ ≥１ ，
ｌ ＂ ｇ 项 和为 ，且对 任意正整数 有 ａ ｌ ａ ． ＝ Ｓ 。 ＋ ． （ １ ）求数列 ｛ ｝ 的通项公式 ； （ ２ ）求数列 ｛ ・ ｌ ｏ ｇ ： ａ ． ｝ 的前 ｎ项和 ． ２ ０ ．（ 本小题 满分 ｌ ４分 ）已知动点 Ｍ（ ｘ ， ， ， ） 到Ｐ （ １ ， ０ ） 点的
）
Ａ ． ： ２ 商
Ｃ． ：
Ｂ ． ２ ：
Ｄ．
Ａ ．６ ３ Ｂ． ２ ．１ Ｚ Ｕ．１ ７
５ ． 已知 。 ， ｂ∈Ｒ则 “ ｌ ｎ ａ ＜ ｌ ｎ ｂ ”是 “ ｅ
’的 （
）
８ ． ＡＡＢ Ｃ中 ，Ａ Ｂ ＝ ２ Ｂ Ｃ ＝ ２ ， Ａ＝ ３ ０ 。 ，则 ＡＡＢ Ｃ的面积等
广东教育・ 高中 ２ ０ １ ４年第 ３期 ６ ７
厩
Ｉ ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ． ＿ ＿ ｊ
二 、填 空题 （ 本大 题共 ５小题 。考生作答 ４小 题 ，每小 题 ５分 ，共 ２ Ｏ分 哿 答案填在题中的横线上 ） （ 一 ）必做题 （ １ １ ～ １ ３题 ）
ＧＵＡＮＧ Ｄ０ ＮＧ Ｊｌ Ａｏ ＹＵ ＧＡ０ ＺＨ０ＮＧ
２ ０ １ ４年高考广 东文科数 学模拟试题
选择题 （ 本大题 共 １ ０小 题 ，每 小 题 ５分 ，共 ５ ０分 ．
一
、
在每小题 给出的四个选 项中 。只有一项是 符合题 目要求的 ）
１ ． 设全集 ， ＿ ｛ 。 ， ｂ ， Ｃ ， ｄ ， ｅ ｝ ， 集合 Ａ ： ｛ ｏ ， ｂ ， ｃ ， ｄ ｝ ， 集合 曰 ＝ ｛ ｃ ， ｄ ， ｅ ｝ ，
＿ ’ 和
Ｌ ｖ ：￡
ｘ＝
１ ＋ ｃｏｓ ２ ０ ，
Ａ、Ｂ两点 ． 点 Ｃ在直线 ｘ ＋ ｌ ＝ ０上 ，问 ：ＡＡ Ｂ Ｃ能 否构成 等边
【 ＋ｓ ｉ ｎ ｙ ＝１
三角形？若能 ，求 出点 ｃ的坐标 ；若不能 ，请说明理 由．
则（ Ｃ Ｉ Ａ） Ｕ（ Ｃ Ｉ ） ＝（ ）
Ａ ．｛ ｎ ｆ
Ｂ ． ｛ ０ ， ｂ ｆ
Ｃ ． ｛ Ⅱ ， ｂ ， ｅ ｝
Ｄ ．｛ ０ ， ｂ ， Ｃ ， ｄ ， ｅ ｝
２ ． 复 数 ≠ 。（ ｉ 是 虚 数 单 位） 的 共 轭 复 数 是（ ）
Ａ ． １ 一 Ｂ ． １ “ ｃ ． 争 一 争 Ｄ ． ｝ ＋ ｝
且不与 Ａ，Ｂ重合 ，Ａ Ａ】 ＝ Ａ Ｂ ＝ ２ ．
（ １ ）求证 ：Ｂ Ｃ上Ａｌ Ｃ ；
（ ２ ）三棱 锥 Ａ － Ａ Ｂ ｃ的体积 是否 存 在最 大值 ？如 果有 ，
．
— —
１ １ ． 函数 ｙ ＝ 、 ／ 可 的定义域为
请求 出：如果不存 在 ，请说 明理 由． １ ９ ．（ 本小题满分 ｌ ４分 ）已知各项 为正数 的数 列 ｛ ％｝ 的前
于 （ ）
Ａ ． 充分不必要条件 Ｃ ． 充要条件
积为 （ ）
Ｂ ． 必要不充分条件 Ｄ ． 既不充分也不必要条件
６ ． 已知某几 何体 的三 视 图如 下 图所示 ．则该几 何体 的体
Ａ ．
Ｂ ．
ｃ ． 孚
Ｄ
９ ． 圆 Ｃ的圆心在 圆 ｘ ２ ＋ ｙ ２ ＝ ｌ的第一象 限上 ，且 与两 坐标 轴 都相切 ，圆 Ｃ的方程 为 （ ）
距离 比到直线 Ｚ ： ｘ ＋ ４ ＝ ０的距离小 ３ ．
１ ３ ． 已 知实数 ， Ｙ 满足｛ ｙ ≤ ， 则目 标函 数ｚ ＝ ｘ ＋ ｙ 的 取值
【 ＋ ｙ ≤ ５ ，
范 围为 ．
（ 二 ）选做题 （ １ ４ ～ １ ５题 ，考生只能从 中选做一题 ） １ ４ ．（ 极 坐标与 参数方程选 做题 ）在平面 直角坐标 系 ｘ Ｏ ｙ
Ａ ． （ 一 孚 ） ＋ ） ＝ ｝
Ｂ ． （ 卅 ） ＋ （ ） ２ ＝
ｃ ． （ 卅
） ２ ＋ （ ｙ 一
） ＝ １
Ｄ ． （ 一 ） 一 孚 ）
１ ０ ． 设 Ａ是一个 非空集合 下列函数中既是奇 函数 ，又在 区间（ ０ ， １ ） 上单 调递增的 函数为 （ ）
Ａ． ～ Ｂ． ｙ＝ ｌ ｎ ｘ Ｃ．ｙ ＝ｓ ｉ ｎ ｘ Ｄ． ｙ＝ ｘ
４ ． 已知平面上不共线的 四点 ０，Ａ，Ｂ，Ｃ满足条件 ＋ ２
＝
３ － ０ － ＃，则以下正确的是 （
运算的是 （ ） Ｂ ． 有理数 的除法
Ｄ ． 有 理 数 的 减 法
Ａ ． １ ６ ＋ ３ ２ ￣ ｒ Ｂ ． １ ６ ＋ 芋 ｃ ． ３ ２ ＋ 孚 Ｄ ． ３ ２ 撕
７ ． 一个算 法框 图如 下图所示 ，则输 出的结果是 （
Ａ． 有 理数 的加 法
Ｃ ． 有 理 数 的乘 法
１
（ １ ）求动点 Ｍ（ ｘ ， ｙ ） 的轨迹方程 ；
（ ２ ）设 过点 Ｐ，且倾斜 角为
ｊ
的直线 与 曲线 相交 于
中 ，曲线 ｃ ｌ 和ｃ ２ 的参数方程 分别为 （ 为 ０参数） ，则它们 的交点坐标为 １ ５ ．（ 几何证 明选讲 选做
题 ）如 图 ，在 Ｒ ｔ △ＡＢ Ｃ中 ， Ｃ ＝ ９ ０ 。 ，Ｅ为 Ａ Ｂ上 一 点 ，
2014年广东省高考文科数学
2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）已知集合{}{}5,3,2,0,4,3,2==N M ,则N M （ ）A. {}2,0B. {}3,2C. {}4,3D. {}5,3（2）已知复数z 满足25)43(=-z i ，则=z （ ）A.i 43--B. i 43+-C. i 43-D. i 43+（3）已知向量)1,3(),2,1(==b a ，则=-a b （ ）A. )1,2(-B. )1,2(-C. )0,2(D. )3,4(（4）若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+304082y x y x 则y x z +=2的学科网最大值等于（ ）A. 7B. 8C. 10D. 115.下列函数为奇函数的是（ ） A.x x 212- B.x x sin 3 C.1cos 2+x D.x x 22+ 6.学科网为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（ ）A.50B.40C.25D.207.在ABC ∆中，角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a 则“b a ≤”是“B A sin sin ≤”的（ ）A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件8.若实数k 满足05k <<，则曲线221165x y k -=-与曲线221165x y k -=-的（ ） A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等9.若空间中四条两两不同的学科网直线1234,,,l l l l ，满足122334,,,l l l l l l ⊥⊥∥则下列结论一定正确的是（ ）A ．14l l ⊥ B.14l l ∥ C.1l 与4l 既不垂直也不平行 D.1l 与4l 的位置关系不确定10.对任意复数12,,w w 定义1212,ωωωω*=其中2ω是2ω的共轭复数，对任意复数123,,z z z 有如下四个命题：①1231323()()();z z z z z z z +*=*+*②1231213()()()z z z z z z z *+=*+*；③123123()();z z z z z z **=**④1221z z z z *=*；则真命题的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.（一）必做题（11—13题）11.曲线53x y e =-+在点()0,2-处的切线方程为________.12.从字母,,,,a b c d e 中任取两个不同字母，则取字母a 的概率为________.13.等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122232425log +log +log +log +log =a a a a a ________.（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 与2C 的方程分别为θθρsin cos 22=与1cos =θρ，以极点为平面直角坐标系的原点，学科网极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 与2C 的直角坐标为________15.（几何证明选讲选做题）如图1，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且AC AE EB ,2=与DE 交于点F 则______=∆∆的周长的周长AEF CDF三.解答题：本大题共6小题，满分80分16.(本小题满分12分)已知函数()sin(),3f x A x x R π=+∈，学科网且5()122f π= （1） 求A 的值；（2） 若()()(0,)2f f πθθθ--=∈，求()6f πθ-某车间20名工人年龄数据如下表：（1） 求这20名工人年龄的众数与极差；（2） 以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；（3） 求这20名工人年龄的方差. 学科网18（本小题满分13分）如图2，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，AB=1,BC=PC=2,作如图3折叠，折痕EF ∥DC.其中点E ，F 分别在线段PD ，PC 上，沿EF 折叠后点P 在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF.（1） 证明：CF ⊥平面MDF（2） 求三棱锥M-CDE 的体积.19.（本小题满分14分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n S 满足()()*∈=+--+-N n n n S n n S n n ,033222. (1)求1a 的值；学科网(2)求数列{}n a 的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有()()().311111112211<+++++n n a a a a a a已知椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的一个焦点为()0,5，离心率为35。
2014广东高考数学文科试卷含答案(WORD版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学 (文科)一、选择题{}{}{}{}{}{}1.2,3,4,0,2,3,5,()..0,2.2,3.3,4.3,5M N M N A B C D === 已知集合则答案:B2.(34)25,()..34.34.34.34z i z z A i B iC iD i-==---+-+已知复数满足则答案:D 2525(34)25(34):=34,.34(34)(34)25i i z i D i i i ++===+--+提示故选 3.(1,2),(3,1),()..(2,1).(2,1).(2,0).(4,3)a b b a A B C D =-=--已知向量则答案:B284.,04,2().03.7.8.10.11x y x y x z x y y A B C D +≤⎧⎪≤≤=+⎨⎪≤≤⎩若变量满足约束条件则的最大值等于 答案:C提示:作出可行域(为一个五边形及其内部区域),易知在点(4,2)处目标函数取到最大值10. 选C. 5.下列函数为奇函数的是（ ）.A.xx212- B.x x sin 3 C.1cos 2+x D.xx 22+答案:A111:()2,(),()22(),222(),A .x xxx x x f x f x R f x f x f x --=--=-=-=-∴提示设则的定义域为且为奇函数故选6.1000,,40,()..50.40.25.20:1000:25.40A B C D C=为了解名学生的学习情况采用系统抽样的方法从中抽取容量为的样本则分段的间隔为答案提示分段的间隔为7.,,,,,,sin sin ().....::,,,sin ,sin ,sin sin .sin sin ABC A B C a b c a b A B A B C D Aa ba b A B a b A B A B∆≤≤=∴≤⇔≤ 在中角所对应的边分别为则“”是“”的充分必要条件充分非必要条件必要非充分条件非充分非必要条件答案提示由正弦定理知都为正数22228.05,11().165165....05,50,160,16(5)21(16)5,x y x y k k k k A B C D k k k k k k <<-=-=--<<∴->->+-=-=-+ 若实数满足则曲线与曲线的实半轴长相等虚半轴长相等离心率相等焦距相等答案:D提示:从而两曲线均为双曲线,又故两双曲线的焦距相等,选D.1234122334141414149.,,,,,//,,()...//..l l l l l l l l l l A l l B l l C l l D l l ⊥⊥⊥若空间中四条两两不同的直线满足则下列结论一定正确的是与既不垂直也不平行与的位置关系不确定答案:D1212122212310.,,=,,,,z z z ωωωωωωωω*对任意复数定义其中是的共轭复数对任意复数有如下四个命题:①1231323()()();z z z z z z z +*=*+*②1231213()()()z z z z z z z *+=*+*；③123123()();z z z z z z **=**④1221z z z z *=*；则真命题的个数是（ ）A.1B.2C.3D.412312313231323123123123121312131231231231231231:()()()()()();()()()()()()();(),()()(),,;Bz z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z ++++=+=+=+====≠答案提示:①*===*+*,故①是真命题②**+*,②对③左边=*=右边*左边右边③错 ④左边=2122121,,,z z z z z z z ==≠*右边=*左边右边故④不是真命题.综上,只有①②是真命题,故选B.二、填空题(一)必做题（11-13）''142511.53(0,2)_______.:520:5,5,25,520.12.,,,d,e ________.2:542:105x x x y e x y y e y y x x y a b c a C P C ==-+-++==-∴=-∴+=-++====曲线在点处的切线方程为答案提示所求切线方程为即从字母中任取两个不同字母,则取到字母的概率为答案提示13.等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122232425log +log +log +log +log =a a a a a ________.212223242525242322212152:5:log log log log log ,log log log log log ,25log ()5log 410,5.S a a a a a S a a a a a S a a S =++++=++++∴===∴=答案提示设则2121214.()2cos sin cos =1.,,_____________.C C x C C ρθθρθ=坐标系与参数方程选做题在极坐标系中,曲线与的方程分别为与以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系则曲线与交点的直角坐标为2221212:(1,2):2cos sin 2cos =sin ,2,1,,(1,2).C y x C x C C ρθθρθρθ===∴答案提示由得（）故的直角坐标方程为:的直角坐标方程为:交点的直角坐标为15.()1,,2,,___________.:3:, 3.ABCD E AB EB AE AC DE F CDF AEF CDF CD EB AECDF AEF AEF AE AE=∆=∆∆+∆∆∴===∆ 几何证明选讲选做题如图在平行四边形中点在上且与交于点的周长则的周长答案的周长提示显然的周长三、解答题16.(本小题满分12分) 已知函数()sin(),3f x A x x R π=+∈，且532()122f π=（1） 求A 的值；（2） 若()()3,(0,)2f f πθθθ--=∈，求()6f πθ-5533232:(1)()sin()sin ,2 3.12123422(2)(1):()3sin(),3()()3sin()3sin()333(sin cos cos sin )3(sin()cos cos()sin )33336cos sin 333cos 31cos ,()336f A A A f x x f f f πππππππθθθθππππθθθθπθθπθθ=+==∴=⋅==+∴+-=++-+=++-+-===∴=∴-=解由得1sin()3sin()3cos 3 1.6323πππθθθ-+=-==⨯=17. 某车间20名工人年龄数据如下表:(1)求这20名工人年龄的众数与极差;(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； (3)求这20名工人年龄的方差.:(1)2030,401921.-=解这名工人年龄的众数为极差为 (2)茎叶图如下:()2222222(1928329330531432340)3:30,20120:(11)3(2)3(1)50413210201(121123412100)2012522012.6+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+=⎡⎤-+⨯-+⨯-+⨯+⨯+⨯+⎣⎦=+++++=⨯=年龄的平均数为故这名工人年龄的方差为18.2,,,1, 2.3://,,,,,.(1):;(2).ABCD PD ABCD AB BC PC EF DC E F PD PC EF P AD M MF CF CF MDF M CDE ⊥===⊥⊥-如图四边形为矩形平面作如图折叠折痕其中点分别在线段上沿折叠后点叠在线段上的点记为并且证明平面求三棱锥的体积00:(1):,,,,,,,,,,,,,.11(2),,60,30,==,22,PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD MD ABCD MD CD MD PCD CF PCD CF MD CF MF MD MF MDF MD MF M CF MDF CF MDF CF DF PCD CDF CF CD DE EF DC D ⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥∠=∴∠=∴ 解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面平面又易知从而∥2222221333132,=,,,,2442833336()(),44211362.338216CDE M CDE CDE CF DE DE PE S CD DE P CP MD ME DE PE DE V S MD ∆-∆=∴=∴==⋅==-=-=-=∴=⋅=⋅⋅=即{}{}222119.,(3)3()0,.(1);(2);n n n n n n a n S S S n n S n n n N a a *-+--+=∈设各项均为正数的数列的前项和为且满足求的值求数列的通项公式1 92 8 8 8 9 9 93 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 24 0(3)证明：对一切正整数n ，有()()().311111112211<+++++n n a a a a a a221111*********2221:(1)1:(1)320,60,(3)(2)0,0,2, 2.(2)(3)3()0,:(3)()0,0(),0,30,,2,(1)(1)n n n n n n n n n n n n S S S S S S S S a S n n S n n S S n n a n N S S S n n n a S S n n n n *-=---⨯=+-=∴+-=>∴==⎡⎤-+--+=+-+=⎣⎦>∈∴>+>∴=+⎡∴≥=-=+--+-⎣ 解令得即即由得从而当时12211222,221,2().313(3),()(),221644111111113(1)2(21)44()()()24411111111144(1)()(1)4444111(1)(1)(n k k n n a a n n N k k k N k k k k a a k k k k k k k k k k a a a a a a **⎤=⎦==⨯∴=∈∈+>+-=-+∴==⋅<⋅+++-+⎡⎤⎢⎥=⋅=⋅-⎢⎥⎡⎤⎢⎥-+--⋅+-⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴+++++ 又当时1)1111111()()11111141223(1)444444111111().11434331(1)44n n n n n +⎡⎤⎢⎥<-+-++-⎢⎥⎢⎥-----+-⎣⎦=-=-<+-+-22220022222520.:1(0)(5,0),.3(1);(2)(,),,.55:(1)5,,3,954,31.94(2),,4x y C a b a b C P x y C P C P c c e a b a c a a x y C x y +=>>====∴==-=-=∴+=已知椭圆的一个焦点为离心率为求椭圆的标准方程若动点为椭圆外一点且点到椭圆的两条切线相互垂直求点的轨迹方程解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P 共个002200222000022222000000(3,2),(3,2).(),(),194(94)18()9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4y y k x x x y y k x x y k x k y kx x y kx k y kx y kx k y kx -±±-=-=-++=⎡⎤++-+--=∆=⎣⎦⎡⎤----+=--⎣⎦,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:依题意即:即22222000001220220022(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2),13.k y x k x y k y k k x x y P x y +=-∴--+-=∴=-=--∴+=-±±∴+= 两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方程点的轨迹方程为3200121.()1().3(1)();111(2)0,(0,)(,1),()=().222f x x x ax a R f x a x f x f =+++∈<∈ 已知函数求函数的单调区间当时试讨论是否存在使得'22'2'':(1)()2,20:44,1,0,()0,()(,).1,2011,(,11),()0,(),(11,11),()0,(),(11,)f x x x a x x a a a f x f x a x x a a x a f x f x x a a f x f x x a =++++=∆=-∴≥∆≤∴≥-∞+∞<++=-±-∈-∞--->∴∈----+-<∈-+-+∞解方程的判别式当时此时在上为增函数当时方程的两根为当时此时为增函数当时此时为减函数当时',()0,(),,1,()(,),1,()(,11),(11,),()(11,11).f x f x a f x a f x a a f x a a >≥-∞+∞<-∞----+-+∞----+-此时为增函数综上时在上为增函数当时的单调递增区间为的单调递减区间为323200003322000200000020000200111111(2)()()1()()()12332221111()()()3222111111()()()()()3224222111()()23612211()(4122f x f x x ax a x x a x x x x x x a x x x x x a x x ⎡⎤-=+++-+++⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤=-+++-++-⎢⎥⎣⎦=-+++++=-+00020020014712)111(0,)(,1),()(),222114147120(0,)(,1).220,1416(712)4(2148)0,14221487214872148:,0,,8447+2148,01,721484x a x f x f x x a a a a a a ax x a a ++∴∈=+++=<∴∆=-+=->-±--±--+-=>∴--<<<-< 若存在使得必须在上有解方程的两根为只能是依题意即0000025711,492148121,,12127+2148155=,,,,424425557111(,)(,),(0,)(,1)()().124412222257511(,][,0),(0,)(,1)()(1212422a a a a x a a x f x f a x f x f ∴<-<-<<---=-≠-∴∈----∈=⎧⎫∈-∞---∈=⎨⎬⎩⎭即又由得故欲使满足题意的存在则当时存在唯一的满足当时不存在使1).2。
广东省2014高考数学压轴卷试题 文(含解析)
2014广东省高考压轴卷文科数学本试卷共4页，21小题，总分为150分。
考试用时120分钟。
参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 为锥体的高．一、选择题：本大题共10小题，每一小题5分，总分为50分．在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． 1．假设集合{}1,0A =-，{}0,1B =，如此AB =A ．{}0B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}1,0,1-2．函数()f x =的定义域是A ．(,1)-∞B ．(],1-∞C ．()(),11,1-∞--D ．()(],11,1-∞--3．假设复数11i z =+，22i z =，如此21z z =A ．1i -+B ．1i +C ．22i -+D ．22i +4．如下函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是A ．sin y x =B ．12x y =C ．3y x =D．y =5．平面向量(1,2)=a ，(2,)y =b ，且//a b ，如此2+a b = A ．(5,6)-B ．(3,6)C ．(5,4)D ．(5,10)6．阅读如图1的程序框图，假设输入4m =，如此输出S 等于 A ．8 B ．12 C ．20 D ．307．“0x >〞是“2430x x ++>〞成立的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．非充分非必要条件 D ．充要条件8．以点(3,1)-为圆心且与直线340x y +=相切的圆的方程是A ．()()22311x y ++-= B ．()()22311x y -++= C ．()()22312x y ++-= D ．()()22312x y -++=9．某几何体的三视图如图2所示，如此该几何体的体积是A ．36a πB ．33a πC ．323a πD ．3a π10．变量x ，y 满足约束条件1440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，，，目标函数z mx y =+仅在点()0,1处取得最小值，如此m 的取值范围是 A ．(),4-∞B ．()4,+∞C ．(),1-∞D ．()1,+∞二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每一小题5分，总分为20分． 〔一〕必做题〔11～13题〕 11．在等差数列{}n a 中，33a =，2810a a +=，如此n a =_________．12．某校高三年级共1200人．学校为了检查同学们的健康状况，随机抽取了高三年级的100名同学作为样本，测量他们的体重〔单位：公斤〕，体重的分组区间为[40,45〕，[45,50〕，[50,55〕，〔55,60〕，[60,65]，由此得到样本的频率分布直方图，如图3．根据频率分布直方图，估计该a正视图左视图俯视图图2校高三年级体重低于50公斤的人数为_________．13．a b c ，，分别是ABC △的三个内角A B C ，，所对的边，假设1a =，b =，60B ∠=，如此AB =_________．〔二〕选做题〔14-15小题，考生只能从中选做一题〕14．〔坐标系与参数方程选做题〕在极坐标系(,)ρθ 0,02πρθ⎛⎫≥≤< ⎪⎝⎭中，曲线4cos 3ρθ=-与(cos sin )1ρθθ+=的交点的极坐标为________．15．〔几何证明选讲选做题〕如图4，圆1O 和圆2O 相交于,A B两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于,C D 两点，5,8,4AC AD AB ===，如此BD =_________．三、解答题：本大题共6小题，总分为80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．〔本小题总分为13分〕函数1()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∈x R . 〔1〕求(0)f 的值；〔2〕求()f x 的最小正周期；〔3〕设⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0,πβα，6235f πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，4242313f πβ⎛⎫+=⎪⎝⎭．求()sin αβ-的值．图4体重/公斤频率组距图317．〔本小题总分为13分〕某校高二年级在3月份进展一次质量考试，考生成绩情况如下表所示：在全体考生中随机抽取1名，抽到理科考生的概率是0.6. 〔1〕求x 的值；〔2〕图5是文科考生不低于550分的6名学生的语文成绩的茎叶图，计算这6名文科考生的语文成绩的平均分、中位数；〔3〕在〔2〕中的6名文科考生中随机地选2名考生，求恰有一名考生的语文成绩在130分以上的概率．18．〔本小题总分为14分〕如图6，四棱锥P ABCD -中，PB ABCD ⊥底面，//AB CD ，AD AB ⊥，2AB =，AD =，3PB =，E 为CD 上一点，3EC =，1DE =．(1) 证明：BE PBC ⊥平面； (2) 求三棱锥B PAC -的体积．19．〔本小题总分为12分〕 数列{}()0n n a a >的首项为1，且前n 项和n S ()12n =≥．2 4 0 5 8 113 12 11 图5PABCDE 图6〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕记()122nn n a b n ==，，，求数列{}n b 的前n 项和n T ．20．〔本小题总分为14分〕点(0,1)F ，点M 是F 关于原点的对称点．〔1〕假设椭圆1C 的两个焦点分别为F ，M ，且离心率为12，求椭圆1C 的方程；〔2〕假设动点P 到定点F 的距离等于点P 到定直线:1l y =-的距离，求动点P 的轨迹2C的方程；〔3〕过点M 作〔2〕中的轨迹2C 的切线，假设切点在第一象限，求切线m 的方程．21．〔本小题总分为14分〕函数()3143f x x ax =++．〔1〕讨论()f x 的单调性； 〔2〕求函数()f x 在区间[]0,3上的最小值()g a ．2014广东省高考压轴卷数学〔文科〕试题参考答案与评分标准一、选择题：本大题共10小题，每一小题5分，总分为50分．在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． 1．【答案】A【解析】{}0A B =．2．【答案】D【解析】∵1010x x -≥⎧⎨+≠⎩，∴11x x ≤⎧⎨≠-⎩，∴函数()f x 的定义域是()(],11,1-∞--．3．【答案】B【解析】()()()212i 1i 2i1i 1i 1i 1i z z -===+++-．4．【答案】C【解析】A 是奇函数但不是增函数；B 既不是奇函数也不是偶函数；C 既是奇函数又是增函数；D 是偶函数． 5．【答案】D【解析】 ∵//a b ，∴220y -⨯=，∴4y =，∴()()()21,222,45,10++=a b =．6．【答案】C【解析】根据程序框图，246820S =+++=． 7．【答案】A【解析】∵2430x x ++>，∴3x <-或1x >-，∴“0x >〞是“2430x x ++>〞成立的充分非必要条件． 8．【答案】B【解析】∵圆心到直线的距离为1d ==，∴所求圆的方程是()()22311x y -++=．9．【答案】A【解析】根据三视图，该几何体为14个圆锥，且底面半径为a ，高为2a ．∴体积是32112436a V a a ππ⎛⎫=⋅⋅⋅=⎪⎝⎭． 10．【答案】D【解析】画出可行域〔如图〕，目标函数向上平移至点()0,1A 时，取得最小值，∴ABm k -<，∴1m >．二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每一小题5分，总分为20分． 11．【答案】n【解析】∵31281232810a a d a a a d =+=⎧⎨+=+=⎩，∴111a d =⎧⎨=⎩，∴1(1)n a n n =+-=．12．【答案】480【解析】估计该校高三年级体重低于50公斤的人数为()12000.0350.055480⨯⨯+⨯=．13．【答案】2【解析】根据余弦定理可得221cos602AB AB +=，解得2AB =．14．【答案】()10，【解析】(cos sin )1ρθθ+=化为直角坐标方程1x y +=，4cos 3ρθ=-化为直角坐标方程2243x y x +=-．联立解方程组22143x y x y x +=⎧⎨+=-⎩，解得1201x x y y ==⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或（舍），∴1,tan 01ρθ====，又02πθ≤<，∴0θ=．∴交点的极坐标为()10，．15．【答案】325【解析】由AC 与圆2O 相切于A ，得CAB ADB ∠=∠，同理ACB DAB ∠=∠，所以ACB ∆∽DAB ∆，∴AC AB AD BD =，即483255AB AD BD AC ⋅⨯===.三、解答题：本大题共6小题，总分为80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．〔本小题总分为13分〕解：〔1〕1(0)2sin2sin21662fππ⎛⎫=-=-=-⨯=-⎪⎝⎭．…………………………………2分〔2〕()f x的最小正周期是2412Tππ==．……………………………………………4分〔3〕∵1622sin22sin32365fπππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+-==⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴3sin5α=∵41424 22sin22sin2cos3236213fππππββββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+==⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴12cos13β=∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0,πβα，∴4cos5α===，5sin13β===∴()sin sin cos cos sinαβαβαβ-=-312451651351365=⨯-⨯=．………………………13分17．〔本小题总分为13分〕解：〔1〕依题意905590.6603519690559xx+++=+++++++，∴26x=．…………………3分〔2〕这6名文科考生的语文成绩的平均分为1111201251281321341256x+++++==中位数为125128126.52x+==……………………………………………………………7分〔3〕从6名文科考生中随机地选2名考生，根本事件有：〔111,120〕，〔111,125〕，〔111,128〕，〔111,132〕，〔111,134〕，〔120,125〕，〔120,128〕，〔120,132〕，〔120,134〕，〔125,128〕，〔125,132〕，〔125,134〕，〔128,132〕，〔128,134〕，〔132,134〕．共15种．记“恰有一名考生的语文成绩在130分以上〞为事件A，其中有〔111,132〕，〔111,134〕，〔120,132〕，〔120,134〕，〔125,132〕，〔125,134〕，〔128,132〕，〔128,134〕．共8种．∴恰有一名考生的语文成绩在130分以上的概率为()815P A=．………………………13分18．〔本小题总分为14分〕〔1〕证明：过B 作CD 的垂线交CD 于F ，如此BF AD ==1EF AB DE =-=，2FC =在Rt BFE ∆中，BE ===，在Rt BFC ∆，BC === 在BCE ∆，∵222BE BC EC +=，∴BE BC ⊥∵PB ABCD ⊥底面，BE ABCD ⊂平面，∴PB BE ⊥又PBBC B =∴BE PBC ⊥平面……………………………………………………………………………8分 〔2〕解：∵//AB CD ，AD AB ⊥， ∴四边形ABCD 是梯形，∴()1=2+42ABCD S ⨯梯形142ADC S ∆=⨯=∴ABC ADC ABCD S S S ∆∆=-==梯形∴13B PAC P ABC ABC V V S PB --∆==⋅⋅133==…………………………………14分19．〔本小题总分为12分〕 解：〔11=．∴数列构成一个首项为1，公差为1的等差数列1(1)1n n=+-⨯=∴2n S n =当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-当1n =时，111a S ==，符合上式∴21n a n =-． …………………………………………………………………………………6分〔2〕∵2122n n n n a n b -==PABCDE F∴123135212222n n n T -=++++① ①×2得21352121222n n n T --=++++②②－①得2211121112222n n n n T --=++++-111212221212n nn ---=+--2121122n n n --=+-…………………………………………………12分20．〔本小题总分为14分〕解：〔1〕依题意，设椭圆1C 的方程为22122:1(0)y x C a b a b +=>>∵222112c c e a c a b =⎧⎪⎪==⎨⎪⎪=-⎩∴224,3a b == ∴椭圆1C 的方程为221:1(0)43y x C a b +=>>……………………………………………5分〔2〕依题意，动点P 的轨迹为焦点(0,1)F 的抛物线， ∴抛物线2C 的方程为24x y =．……………………………………………………………………8分〔3〕设切点2000(0)4x Q x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，．由2x y '=，知抛物线在Q 点处的切线斜率为02x ， ∴所求切线方程2000()42x xy x x -=-， 即20024x x y x =-． ∵22:4C x y=的焦点(0,1)F 关于原点的对称点(0,1)M -．∴点(01)M -，在切线上，∴2014x -=-， ∴02x =或02x =-〔舍去〕．∴所求切线方程为1y x =-．……………………………………………………………………14分21．〔本小题总分为14分〕解：〔1〕()2f x x a '=+．①0a ≥时，()20f x x a '=+≥，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；②0a <时，()(2f x x a x x '=+=+． 令()0f x '=，得10x =，20x =>． ∴()1,x x ∈-∞时，()0f x '>；()12,x x x ∈时，()0f x '<；()2,x x ∈+∞时，()0f x '>． ∴()f x 在()1,x -∞，()2,x +∞上单调递增；在()12,x x 上单调递减．…………………8分 〔2〕①0a ≥时，由(1)知()f x 在(,)-∞+∞上单调递增， ∴()f x 在[]0,3上单调递增， ∴()f x 在0x =处取得最小值，且()04f =． ②0a <时，〔i 〕当203x <<，即90a -<<时，由〔1〕知()f x 在[)20,x 上单调递减，()2,x +∞上单调递增， ∴()f x 在2x x =处取得最小值，且3144433f a =++=+． 〔ii 〕当23x ≥，即9a ≤-时，由〔1〕知()f x 在[]0,3上单调递减，∴()f x 在3x =处取得最小值，且()()3133341333f a a =+⋅+=+． 综上所述，()4,044,903133,9a g a a a a ≥⎧⎪⎪=+-<<⎨⎪+≤-⎪⎩…………………………………………………14分。
2014年广东省高考数学试卷(文科)答案与解析
2014年广东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）z==3+4i3．（5分）（2014•广东）已知向量=（1，2），=（3，1），则﹣=（）解：∵向量=，﹣=4．（5分）（2014•广东）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值等于（），由于﹣6．（5分）（2014•广东）为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取7．（5分）（2014•广东）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sinA≤sinB”解：由正弦定理可知⇒，8．（5分）（2014•广东）若实数k满足0＜k＜5，则曲线﹣=1与﹣=1的﹣=1﹣=19．（5分）（2014•广东）若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2∥l3，10．（5分）（2014•广东）对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω2=ω12，其中2是ω2的共轭复数，对任意复数z1，z2，z3有如下命题：①（z1+z2）*z3=（z1*z3）+（z2*z3）②z1*（z2+z3）=（z1*z2）+（z1*z3）③（z1*z2）*z3=z1*（z2*z3）；④z1*z2=z2*z1122）12=（）1+z1=1，21z1，2，等式不成立，故错误；二、填空题（共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（11-13题）11．（5分）（2014•广东）曲线y=﹣5e x+3在点（0，﹣2）处的切线方程为5x+y+2=0．．12．（5分）（2014•广东）从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为0.4．中任取两个不同字母，共有=10=4=0.413．（5分）（2014•广东）等比数列{a n}的各项均为正数，且a1a5=4，则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=5．（二）（14-15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）（2014•广东）在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ=sinθ与ρcosθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为（1，2）．，解得：．【几何证明选讲选做题】15．（2014•广东）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则=3．．=四、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16．（12分）（2014•广东）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．x+）=，）﹣x+））（）=Asin））﹣））﹣（cos=3sin，﹣）．名工人年龄数据如下表：（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；（3）求这20名工人年龄的方差．=30[18．（13分）（2014•广东）如图1，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB=1，BC=PC=2作如图2折叠；折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF．（1）证明：CF⊥平面MDF；（2）求三棱锥M﹣CDE的体积．CD=；=，即=，，∴PE=CD；MD=，S MD=××=．19．（14分）（2014•广东）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n满足S n2﹣（n2+n﹣3）S n﹣3（n2+n）=0，n∈N*．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有++…+＜．得：，即．）由．，．）可知=，=＜（时，显然有=＜时，+﹣•＜，有20．（14分）（2014•广东）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为（，0），离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．）依题意知+=1++21．（14分）（2014•广东）已知函数f（x）=x3+x2+ax+1（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a＜0时，试讨论是否存在x0∈（0，）∪（，1），使得f（x0）=f（）．）转化为（的两根为）时，，）∵∴若存在∪，使得在的两根为，∴依题意有，且，且．∪时，存在唯一的∪，使得∪}∪，使得。
2014年高考(广东卷)文科数学
2014年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(文科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高． 一组数据x 1，x 2，…，x n 的方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-+⋯+-，其中x 表示这组数据的平均数．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2014广东，文1)已知集合M ＝{2,3,4}，N ＝{0,2,3,5}，则M ∩N ＝( )． A ．{0,2} B ．{2,3} C ．{3,4} D ．{3,5} 答案：B解析：由题意知M ∩N ＝{2,3}，故选B.2．(2014广东，文2)已知复数z 满足(3－4i)z ＝25，则z ＝( )． A ．－3－4i B ．－3＋4i C ．3－4i D ．3＋4i 答案：D解析：由题意知2525(34i)34i 34i (34i)(34i)z +===+--+，故选D. 3．(2014广东，文3)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(3,1)，则b －a ＝( )． A ．(－2,1) B ．(2，－1) C ．(2,0) D ．(4,3) 答案：B解析：由题意得b －a ＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1)，故选B.4．(2014广东，文4)若变量x ，y 满足约束条件280403x y x y ≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩+，，，则z ＝2x ＋y 的最大值等于( )．A ．7B ．8C ．10D ．11 答案：C解析：画出x ，y 约束条件限定的可行域如图阴影部分所示，作直线l ：y ＝－2x ，平移直线l ，经过可行域上的点A (4,2)时，z 取最大值，即z max ＝2×4＋2＝10，故选C.5．(2014广东，文5)下列函数为奇函数的是( )． A ．122xx -B ．x 3sin xC ．2cos x ＋1D ．x 2＋2x 答案：A解析：对于A 选项，函数的定义域为R .令()122xx f x =-，()11()2222x x x x f x f x ---=-=-=-，故A 正确；对于B 选项，函数的定义域为R ，令g (x )＝x 3sin x ，g (－x )＝(－x )3sin(－x )＝x 3sin x ＝g (x )，该函数为偶函数；对于C 选项，函数定义域为R ，令h (x )＝2cos x ＋1，h (－x )＝2cos(－x )＋1＝2cos x ＋1＝h (x )，h (x )为偶函数；对于D 选项，令m (x )＝x 2＋2x ，由m (1)＝3，3(1)2m -=，m (1)≠m (－1)，m (1)≠－m (－1)，知该函数为非奇非偶函数，故选A.6．(2014广东，文6)为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为( )．A ．50B ．40C ．25D ．20 答案：C解析：由题意知分段间隔为10002540=，故选C. 7．(2014广东，文7)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )．A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件 答案：A解析：由正弦定理2sin sin a bR A B==(R 为三角形外接圆半径)得，a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，故a ≤b ⇔2R sin A ≤2R sin B ⇔sin A ≤sin B ，故选A.8．(2014广东，文8)若实数k 满足0＜k ＜5，则曲线22=1165x y k --与曲线22=1165x y k --的( )．A ．实半轴长相等B ．虚半轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等答案：D解析：∵0＜k ＜5，∴5－k ＞0,16－k ＞0，∴对于双曲线22=1165x y k--，实轴长为8，虚轴长为，焦距为对于双曲线22=1165x y k --，实轴长为，虚轴长为焦距为 D.9．(2014广东，文9)若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2∥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )．A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定 答案：D解析：如图所示正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，取l 1为BB 1，l 2为BC ，l 3为AD ，l 4为CC 1，则l 1∥l 4，可知选项A 错误；取l 1为BB 1，l 2为BC ，l 3为AD ，l 4为C 1D 1，则l 1⊥l 4，故B 错误，则C 也错误，故选D.10．(2014广东，文10)对任意复数ω1，ω2，定义1212ωωωω*=，其中2ω是2ω的共轭复数．对任意复数z 1，z 2，z 3，有如下四个命题：①(z 1＋z 2)*z 3＝(z 1*z 3)＋(z 2*z 3)； ②z 1*(z 2＋z 3)＝(z 1*z 2)＋(z 1*z 3)； ③(z 1*z 2)*z 3＝z 1*(z 2*z 3)； ④z 1*z 2＝z 2*z 1.则真命题的个数是( )．A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B解析：由定义知12312313231323()()()()z z z z z z z z z z z z z z +*=+⋅=+=*+*，故①正确；对于②，12312312312131213()()z z z z z z z z z z z z z z z z z *+=⋅+=+=+=*+*，故②正确；对于③，左边＝123123()z z z z z z ⋅*=，右边＝123123()z z z z z z *=，左边≠右边，故③错误；对于④，取z 1＝1＋i ，z 2＝2＋i ，左边＝12(1i)(2i)3i z z =+-=+；右边＝21(2i)(1i)3i z z =+-=-，左边≠右边，故④错误，故选B.二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． (一)必做题(11～13题)11．(2014广东，文11)曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为________． 答案：5x ＋y ＋2＝0解析：∵y ′＝－5e x ，∴所求曲线的切线斜率00e |55x k y ='==-=-，∴切线方程为y －(－2)＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.12．(2014广东，文12)从字母a ，b ，c ，d ，e 中任取两个不同字母，则取到字母a 的概率为________．答案：25解析：基本事件总数有10个，即(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，(b ，c )，(b ，d )，(b ，e )，(c ，d )，(c ，e )，(d ，e )，其中含a 的基本事件有(a ，b )，(a ，c )，(a ，d )，(a ，e )，共4个，故由古典概型知所求事件的概率42105P ==. 13．(2014广东，文13)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝________.答案：5解析：由等比数列性质知a 1a 5＝a 2a 4＝a 32＝4. ∵a n ＞0，∴a 3＝2，∴a 1a 2a 3a 4a 5＝(a 1a 5)·(a 2·a 4)·a 3＝25， ∴log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5 ＝log 2(a 1a 2a 3a 4a 5)＝log 225＝5.(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14．(2014广东，文14)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ＝sin θ与ρcos θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为________．答案：(1,2)解析：曲线C 1的普通方程为y ＝2x 2，曲线C 2的普通方程为x ＝1，联立212,x y x ⎧⎨⎩=，=解得12.x y ⎧⎨⎩=，=因此交点的直角坐标为(1,2)．15．(2014广东，文15)(几何证明选讲选做题)如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF ∆∆的周长的周长＝________.答案：3解析：∵EB ＝2AE ，∴AB ＝3AE . 又∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，∴△CDF ∽△AEF ， ∴3CDF CD ABAEF AE AE∆===∆的周长的周长.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．(本小题满分12分)(2014广东，文16)已知函数()π=sin 3f x A x ⎛⎫+⎪⎝⎭，x ∈R，且5π=122f ⎛⎫ ⎪⎝⎭(1)求A 的值； (2)若()(ff θθ--π02θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，求π6f θ⎛⎫- ⎪⎝⎭.解：(1)∵()π=sin 3f x A x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，且5π12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴5π5ππ3πsin sin 121234f A A A ⎛⎫⎛⎫=+=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴A ＝3.(2)∵π()3sin 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，且()(f f θθ-- ∴()ππ()=3sin 3sin 33f f θθθθ⎛⎫⎛⎫--+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝ππππ3sin coscos sin sin cos cos sin 3333θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝π32sin cos =3sin 3θθ⋅∴sin θ=π02θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴cos θ==. ∴πππ=3sin 663f θθ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝π3sin(2θθ-17．(本小题满分13分)(2014广东，文17)某车间20名工人年龄数据如下表：年龄(岁) 工人数(人) 19 1 28 3 29 3 30 5 31 4 32 3 40 1合计20 (1)求这20名工人年龄的众数与极差；(2)以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图； (3)求这20名工人年龄的方差．解：(1)由图可知，众数为30.极差为：40－19＝21. (2)(3)根据表格可得：19283293305314323403020x ⨯⨯⨯⨯⨯==++++++，∴s 2＝120[(19－30)2＋3(28－30)2＋3(29－30)2＋5(30－30)2＋4(31－30)2＋3(32－30)2＋(41－30)2]＝13.65.18．(本小题满分13分)(2014广东，文18)如图1，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2.作如图2折叠；折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF.图1图2(1)证明：CF⊥平面MDF；(2)求三棱锥M－CDE的体积．(1)证明：∵PD⊥平面ABCD，且PD⊂平面PCD，∴平面PCD⊥面ABCD，交线为CD.又∵四边形ABCD为矩形，AD⊥CD，AD⊂平面ABCD，∴MD⊥平面PCD.又由于CF⊂平面PCD，∴MD⊥CF.∵MF⊥CF，且MD∩MF＝M，∴CF⊥平面MDF.(2)解：∵MD⊥平面PCD，∴V M－CDE＝13·S△CDE·MD.∵CF⊥平面MDF，DF⊂平面MDF，∴CF⊥DF.∵在Rt△PCD中，CD＝1，PC＝2，∴∠PCD＝60°，且CD＝1，∴12CF=，故13222PF=-=.∴32 MF=.又∵CF⊥MF，故利用勾股定理得：CM=，∴在Rt △MDC中，CM =，CD ＝1，得DM =又∵F 点位于CP的四等分点，且PD =，∴E 为PD的四等分点，故DE =，∴11122CDE S CD DE ∆=⋅=⨯=， ∴V M －CDE ＝13S △CDE ·DM＝16.19．(本小题满分14分)(2014广东，文19)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足2n S －(n 2＋n －3)·S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有11221111(1)(1)(1)3n n a a a a a a ++<…++++.(1)解：由2n S －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *， 令n ＝1，得21S －(－1)S 1－6＝0， 即21160a a +-=，解得a 1＝2或a 1＝－3. 由于数列{a n }为正数数列，所以a 1＝2.(2)解：由2n S －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *， 因式分解得(S n ＋3)(S n －n 2－n )＝0.由数列{a n }为正数数列可得S n －n 2－n ＝0， 即S n ＝n 2＋n . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －[(n －1)2＋(n －1)]＝2n ， 由a 1＝2可得，∀n ∈N *，a n ＝2n . (3)证明：由(2)可知11(1)2(21)n n a a n n =++， ∀n ∈N *，111111(1)2(21)(21)(21)22121n n a a n n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪-+⎝⎭++-+.当n ＝1时，显然有11111<163a a =(+)；当n ≥2时，1122111111n n a a a a a a +⋯(+)(+)(+)++111111111111<2(21)23557212+132213n n n ⎛⎫<+-+-++-=-⋅ ⎪⋅-+⎝⎭…+, 所以，对一切正整数n ，有11221111<1113n n a a a a a a +⋯(+)(+)(+)++. 20．(本小题满分14分)(2014广东，文20)已知椭圆C ：2222=1x y a b+ (a ＞b ＞0)的一个焦点为，离心率为3.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．解：(1)由c =c e a ==得：a ＝3，b ＝2. 椭圆方程为：22=194x y +. (2)设两个切点分别为A ，B .①当两条切线中有一条斜率不存在时，即A ，B 两点分别位于椭圆长轴与短轴的端点，P 点坐标为(±3，±2)．②当两条切线斜率均存在时，设椭圆切线斜率为k ，过点P 的椭圆的切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，联立0022()194y y k x x x y -⎧⎪⎨⎪⎩-=，+=，得(9k 2＋4)x 2＋(18ky 0－18k 2x 0)x ＋2209k x －18kx 0y 0＋209y －36＝0， Δ＝0⇒9k 2＋4＝(kx 0－y 0)2⇒(20x －9)k 2－2x 0y 0k ＋20y －4＝0， 设P A ，PB 斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝y 20－4x 20－9，又P A ，PB 互相垂直，∴201220419y k k x -⋅==--，化简得2200013(3)x y x +=≠±． 又∵P (±3，±2)在220013x y +=上， ∴点P 在圆x 2＋y 2＝13上． ∴点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝13.21．(本小题满分14分)(2014广东，文21)已知函数()32113f x x x ax =+++(a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a ＜0时，试讨论是否存在0110,,122x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得()012f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.解：(1)由()32113f x x x ax =+++，求导得f ′(x )＝x 2＋2x ＋a . 令f ′(x )＝0，即x 2＋2x ＋a ＝0，Δ＝4－4a .①当Δ≤0，即a ≥1时，f ′(x )≥0恒成立，f (x )在R 上单调递增； ②当Δ＞0，即a ＜1时，方程x 2＋2x ＋a ＝0的两根分别为：1x =-21x =-当(1x ∈∞－，-时，f ′(x)＞0，f (x )单调递增； 当(11x ∈--时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当(1)x ∈+∞-时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增． (2)当a ＜0时，由(1)，令111x=-=，解得a ＝－3.①当a ＜－3时，1<-，由(1)的讨论可知f (x )在(0,1)上单调递减，此时不存在0110,,122x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得01()2f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.②当－3＜a ＜0时，1>-f (x )在(0,-上递减，在(-上递增，1125(1)2224f f a ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭， 依题意，若f (x )存在0110,,122x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得01()2f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，只需1125(1)02224f f a ⎛⎫-=+> ⎪⎝⎭，解得2512a >-，于是有25012a -<<即为所求．。
2014年高考文科数学试题(广东卷)及参考答案
C． 与 既不垂直也不平行D． 与 的位置关系不确定
10．对任意复数 ，定义 ，其中 是 的共轭复数，对任意复数 ，有如下四个命题：
① ；② ；
③ ；④
则真命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
（一）必做题（11～13题）
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 ， ，全国统一考试（广东卷）
数学（文科）试题及参考答案
本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签宇笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
年龄（岁）工人数（人）
19 1
28 3
29 3
30 5
31 4
32 3
40 1
（1）求这20名工人年龄的众数与极差；
（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；
（3）求这20名工人年龄的方差.
18．（本小题满分13分）
如图2，四边形 为矩形， 平面 ， ， .作如图3折叠：折痕 ∥ ，其中点 分别为线段 上，沿 折叠后点 叠在线段 上的点记为 ，并且 .
15．（几何证明选讲选做题）如图1，在平行四边形
2014年广东省高考文科数学试卷及参考答案与试题解析
2014年广东省高考文科数学试卷及参考答案与试题解析一、选择题：(本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(5分)已知集合M＝{2,3,4},N＝{0,2,3,5},则M∩N＝( )A.{0,2}B.{2,3}C.{3,4}D.{3,5}2.(5分)已知复数z满足(3－4i)z＝25,则z＝( )A.－3－4iB.－3＋4iC.3－4iD.3＋4i3.(5分)已知向量＝(1,2),＝(3,1),则－＝( )A.(－2,1)B.(2,－1)C.(2,0)D.(4,3)4.(5分)若变量x,y满足约束条件,则z＝2x＋y的最大值等于( )A.7B.8C.10D.115.(5分)下列函数为奇函数的是( )A.2x－B.x3sinxC.2cosx＋1D.x2＋2x6.(5分)为了解1000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段的间隔为( )A.50B.40C.25D.207.(5分)在△ABC中,角A、B、C所对应的边分别为a,b,c,则“a≤b”是“sinA≤sinB”的( )A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件8.(5分)若实数k满足0＜k＜5,则曲线－＝1与－＝1的( )A.实半轴长相等B.虚半轴长相等C.离心率相等D.焦距相等9.(5分)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( )A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定10.(5分)对任意复数ω1,ω2,定义ω1*ω2＝ω12,其中2是ω2的共轭复数,对任意复数z 1,z2,z3有如下命题：①(z1＋z2)*z3＝(z1*z3)＋(z2*z3)②z1*(z2＋z3)＝(z1*z2)＋(z1*z3)③(z1*z2)*z3＝z1*(z2*z3)；④z1*z2＝z2*z1则真命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4二、填空题(共3小题,考生作答4小题,每小题5分,满分15分)(一)必做题(11-13题)11.(5分)曲线y＝－5e x＋3在点(0,－2)处的切线方程为.12.(5分)从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母,则取到字母a的概率为.13.(5分)等比数列{an }的各项均为正数,且a1a5＝4,则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝.(二)(14-15题,考生只能从中选做一题)【坐标系与参数方程选做题】14.(5分)在极坐标系中,曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ＝sinθ与ρcosθ＝1,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C1与C2交点的直角坐标为.【几何证明选讲选做题】15.如图,在平行四边形ABCD中,点E在AB上且EB＝2AE,AC与DE交于点F,则＝.四、解答题(本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)16.(12分)已知函数f(x)＝Asin(x＋),x∈R,且f()＝.(1)求A的值；(2)若f(θ)－f(－θ)＝,θ∈(0,),求f(－θ).(2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这20名工人年龄的茎叶图；(3)求这20名工人年龄的方差.18.(13分)如图1,四边形ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD,AB＝1,BC＝PC＝2作如图2折叠；折痕EF∥DC,其中点E,F分别在线段PD,PC上,沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M,并且MF ⊥CF.(1)证明：CF⊥平面MDF；(2)求三棱锥M－CDE的体积.19.(14分)设各项均为正数的数列{an }的前n项和为Sn满足Sn2－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0,n∈N*.(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n,有＋＋…＋＜.20.(14分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为(,0),离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动点P(x0,y)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.21.(14分)已知函数f(x)＝x3＋x2＋ax＋1(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a＜0时,试讨论是否存在x0∈(0,)∪(,1),使得f(x)＝f().2014年广东省高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题：(本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(5分)已知集合M＝{2,3,4},N＝{0,2,3,5},则M∩N＝( )A.{0,2}B.{2,3}C.{3,4}D.{3,5}【分析】根据集合的基本运算即可得到结论.【解答】解：∵M＝{2,3,4},N＝{0,2,3,5},∴M∩N＝{2,3},故选：B.【点评】本题主要考查集合的基本运算,比较基础.2.(5分)已知复数z满足(3－4i)z＝25,则z＝( )A.－3－4iB.－3＋4iC.3－4iD.3＋4i【分析】由题意利用两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i的幂运算性质,计算求得结果.【解答】解：∵满足(3－4i)z＝25,则z＝＝＝3＋4i,故选：D.【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i的幂运算性质,属于基础题.3.(5分)已知向量＝(1,2),＝(3,1),则－＝( )A.(－2,1)B.(2,－1)C.(2,0)D.(4,3)【分析】直接利用向量的减法的坐标运算求解即可.【解答】解：∵向量＝(1,2),＝(3,1),∴－＝(2,－1)故选：B.【点评】本题考查向量的坐标运算,基本知识的考查.4.(5分)若变量x,y满足约束条件,则z＝2x＋y的最大值等于( )A.7B.8C.10D.11【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用z的几何意义,进行平移即可得到结论.【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝2x＋y,得y＝－2x＋z,平移直线y＝－2x＋z,由图象可知当直线y＝－2x＋z经过点B(4,2)时,直线y＝－2x＋z的截距最大,此时z最大,此时z＝2×4＋2＝10,故选：C.【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用z的几何意义,利用数形结合是解决本题的关键.5.(5分)下列函数为奇函数的是( )A.2x－B.x3sinxC.2cosx＋1D.x2＋2x【分析】根据函数的奇偶性的定,对各个选项中的函数进行判断,从而得出结论.【解答】解：对于函数f(x)＝2x－,由于f(－x)＝2－x－＝－2x＝－f(x),故此函数为奇函数.对于函数f(x)＝x3sinx,由于f(－x)＝－x3(－sinx)＝x3sinx＝f(x),故此函数为偶函数.对于函数f(x)＝2cosx＋1,由于f(－x)＝2cos(－x)＋1＝2cosx＋1＝f(x),故此函数为偶函数.对于函数f(x)＝x2＋2x,由于f(－x)＝(－x)2＋2－x＝x2＋2－x≠－f(x),且f(－x)≠f(x),故此函数为非奇非偶函数.故选：A.【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断方法,属于基础题.6.(5分)为了解1000名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则分段的间隔为( )A.50B.40C.25D.20【分析】根据系统抽样的定义,即可得到结论.【解答】解：∵从1000名学生中抽取40个样本,∴样本数据间隔为1000÷40＝25.故选：C.【点评】本题主要考查系统抽样的定义和应用,比较基础.7.(5分)在△ABC中,角A、B、C所对应的边分别为a,b,c,则“a≤b”是“sinA≤si nB”的( )A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件【分析】直接利用正弦定理以及已知条件判断即可.【解答】解：由正弦定理可知⇒＝,∵△ABC中,∠A,∠B,∠C均小于180°,角A、B、C所对应的边分别为a,b,c,∴a,b,sinA,sinB都是正数,∴“a≤b”⇔“sinA≤sinB”.∴“a≤b”是“sinA≤sinB”的充分必要条件.故选：A.【点评】本题考查三角形中,角与边的关系正弦定理以及充要条件的应用,基本知识的考查.8.(5分)若实数k满足0＜k＜5,则曲线－＝1与－＝1的( )A.实半轴长相等B.虚半轴长相等C.离心率相等D.焦距相等【分析】根据k的取值范围,判断曲线为对应的双曲线,以及a,b,c的大小关系即可得到结论. 【解答】解：当0＜k＜5,则0＜5－k＜5,11＜16－k＜16,即曲线－＝1表示焦点在x轴上的双曲线,其中a2＝16,b2＝5－k,c2＝21－k,曲线－＝1表示焦点在x轴上的双曲线,其中a2＝16－k,b2＝5,c2＝21－k,即两个双曲线的焦距相等,故选：D.【点评】本题主要考查双曲线的方程和性质,根据不等式的范围判断a,b,c是解决本题的关键.9.(5分)若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( )A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定【分析】根据空间直线平行或垂直的性质即可得到结论.【解答】解：在正方体中,若AB所在的直线为l2,CD所在的直线为l3,AE所在的直线为l1,若GD所在的直线为l4,此时l1∥l4,若BD所在的直线为l4,此时l1⊥l4,故l1与l4的位置关系不确定,故选：D.【点评】本题主要考查空间直线平行或垂直的位置关系的判断,比较基础.10.(5分)对任意复数ω1,ω2,定义ω1*ω2＝ω12,其中2是ω2的共轭复数,对任意复数z 1,z2,z3有如下命题：①(z1＋z2)*z3＝(z1*z3)＋(z2*z3)②z1*(z2＋z3)＝(z1*z2)＋(z1*z3)③(z1*z2)*z3＝z1*(z2*z3)；④z1*z2＝z2*z1则真命题的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4【分析】根据已知中ω1*ω2＝ω12,其中2是ω2的共轭复数,结合复数的运算性质逐一判断四个结论的真假,可得答案.【解答】解：①(z1＋z2)*z3＝(z1＋z2)＝(z1＋z2＝(z1*z3)＋(z2*z3),正确；②z1*(z2＋z3)＝z1()＝z1(＋)＝z1＋z1＝(z1*z2)＋(z1*z3),正确；③(z1*z2)*z3＝z1,z1*(z2*z3)＝z1*(z2)＝z1()＝z1z3,等式不成立,故错误；④z1*z2＝z1,z2*z1＝z2,等式不成立,故错误；综上所述,真命题的个数是2个,故选：B.【点评】本题以命题的真假判断为载体,考查了复数的运算性质,细心运算即可,属于基础题.二、填空题(共3小题,考生作答4小题,每小题5分,满分15分)(一)必做题(11-13题)11.(5分)曲线y＝－5e x＋3在点(0,－2)处的切线方程为5x＋y＋2＝0. .【分析】利用导数的几何意义可得切线的斜率即可.【解答】解：y′＝－5e x,∴y′|x＝0＝－5.因此所求的切线方程为：y＋2＝－5x,即5x＋y＋2＝0.故答案为：5x＋y＋2＝0.【点评】本题考查了导数的几何意义、曲线的切线方程,属于基础题.12.(5分)从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母,则取到字母a的概率为.【分析】求得从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母、取到字母a的情况,利用古典概型概率公式求解即可.【解答】解：从字母a,b,c,d,e中任取两个不同字母,共有＝10种情况,取到字母a,共有＝4种情况,∴所求概率为＝.故答案为：.【点评】本题考查古典概型,是一个古典概型与排列组合结合的问题,解题时先要判断该概率模型是不是古典概型,再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.13.(5分)等比数列{an }的各项均为正数,且a1a5＝4,则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝ 5 .【分析】可先由等比数列的性质求出a3＝2,再根据性质化简log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝5log2a3,代入即可求出答案.【解答】解：log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝log2a1a2a3a4a5＝log2a35＝5log2a3.又等比数列{an }中,a1a5＝4,即a3＝2.故5log2a3＝5log22＝5.故选为：5.【点评】本题考查等比数列的性质,灵活运用性质变形求值是关键,本题是数列的基本题,较易.(二)(14-15题,考生只能从中选做一题)【坐标系与参数方程选做题】14.(5分)在极坐标系中,曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ＝sinθ与ρcosθ＝1,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线C1与C2交点的直角坐标为(1,2) .【分析】直接由x＝ρcosθ,y＝ρsinθ化极坐标方程为直角坐标方程,然后联立方程组求得答案.【解答】解：由2ρcos2θ＝sinθ,得：2ρ2cos2θ＝ρsinθ,即y＝2x2.由ρcosθ＝1,得x＝1.联立,解得：.∴曲线C1与C2交点的直角坐标为(1,2).故答案为：(1,2).【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化,考查了方程组的解法,是基础题.【几何证明选讲选做题】15.如图,在平行四边形ABCD中,点E在AB上且EB＝2AE,AC与DE交于点F,则＝3 .【分析】证明△CDF∽△AEF,可求.【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形,EB＝2AE,∴AB∥CD,CD＝3AE,∴△CDF∽△AEF,∴＝＝3.故答案为：3.【点评】本题考查三角形相似的判断,考查学生的计算能力,属于基础题.四、解答题(本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)16.(12分)已知函数f(x)＝Asin(x＋),x∈R,且f()＝.(1)求A的值；(2)若f(θ)－f(－θ)＝,θ∈(0,),求f(－θ).【分析】(1)通过函数f(x)＝Asin(x＋),x∈R,且f()＝,直接求A的值；(2)利用函数的解析式,通过f(θ)－f(－θ)＝,θ∈(0,),求出cosθ,利用两角差的正弦函数求f(－θ).【解答】解：(1)∵函数f(x)＝Asin(x＋),x∈R,且f()＝,∴f()＝Asin(＋)＝Asin＝,∴.(2)由(1)可知：函数f(x)＝3sin(x＋),∴f(θ)－f(－θ)＝3sin(θ＋)－3sin(－θ＋)＝3[()－()]＝3•2sinθcos＝3sinθ＝,∴sinθ＝,∴cosθ＝,∴f(－θ)＝3sin()＝3sin()＝3cosθ＝.【点评】本题考查两角和与差的三角函数,三角函数的解析式的求法,基本知识的考查.(2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这20名工人年龄的茎叶图；(3)求这20名工人年龄的方差.【分析】(1)根据众数和极差的定义,即可得出；(2)根据画茎叶图的步骤,画图即可；(3)利用方差的计算公式,代入数据,计算即可.【解答】解：(1)这20名工人年龄的众数为30,极差为40－19＝21；(2)茎叶图如下：(3)年龄的平均数为：＝30.这20名工人年龄的方差为S2＝[(19－30)2＋3×(28－30)2＋3×(29－30)2＋5×(30－30)2＋4×(31－30)2＋3×(32－30)2＋(40－30)2]＝12.6.【点评】本题考查了众数,极差,茎叶图,方差的基本定义,属于基础题.18.(13分)如图1,四边形ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD,AB＝1,BC＝PC＝2作如图2折叠；折痕EF∥DC,其中点E,F分别在线段PD,PC上,沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M,并且MF ⊥CF.(1)证明：CF⊥平面MDF；(2)求三棱锥M－CDE的体积.【分析】(1)要证CF⊥平面MDF,只需证CF⊥MD,且CF⊥MF即可；由PD⊥平面ABCD,得出平面PCD⊥平面ABCD,即证MD⊥平面PCD,得CF⊥MD；(2)求出△CDE的面积S△CDE ,对应三棱锥的高MD,计算它的体积VM－CDE.【解答】解：(1)证明：∵PD⊥平面ABCD,PD⊂平面PCD, ∴平面PCD⊥平面ABCD；又平面PCD∩平面ABCD＝CD,MD⊂平面ABCD,MD⊥CD,∴MD⊥平面PCD,CF⊂平面PCD,∴CF⊥MD；又CF⊥MF,MD、MF⊂平面MDF,MD∩MF＝M,∴CF⊥平面MDF；(2)∵CF⊥平面MDF,∴CF⊥DF,又∵Rt△PCD中,DC＝1,PC＝2,∴∠P＝30°,∠PCD＝60°,∴∠CDF＝30°,CF＝CD＝；∵EF∥DC,∴＝,即＝,∴DE＝,∴PE＝,∴S△CDE＝CD•DE＝；MD＝＝＝,∴VM－CDE ＝S△CDE•MD＝××＝.【点评】本题考查了空间中的垂直关系的应用问题,解题时应结合图形,明确线线垂直、线面垂直以及面面垂直的相互转化关系是什么,几何体的体积计算公式是什么,是中档题.19.(14分)设各项均为正数的数列{an }的前n项和为Sn满足Sn2－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0,n∈N*.(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n,有＋＋…＋＜.【分析】(1)本题可以用n＝1代入题中条件,利用S1＝a1求出a1的值；(2)利用an 与Sn的关系,将条件转化为an的方程,从而求出an；(3)利用放缩法,将所求的每一个因式进行裂项求和,即可得到本题结论. 【解答】解：(1)令n＝1得：,即.∴(S1＋3)(S1－2)＝0.∵S1＞0,∴S1＝2,即a1＝2.(2)由得：.∵an＞0(n∈N*),∴Sn＞0.∴.∴当n≥2时,,又∵a1＝2＝2×1,∴.(3)由(2)可知＝,∀n∈N*,＝＜＝(),当n＝1时,显然有＝＜；当n≥2时,＜＋＝－•＜所以,对一切正整数n,有.【点评】本题考查了数列的通项与前n项和的关系、裂项求和法,还用到了放缩法,计算量较大,有一定的思维难度,属于难题.20.(14分)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为(,0),离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动点P(x0,y)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.【分析】(1)根据焦点坐标和离心率求得a和b,则椭圆的方可得.(2)设出切线的方程,带入椭圆方程,整理后利用△＝0,整理出关于k的一元二次方程,利用韦达定理表示出k1•k2,进而取得x和y的关系式,即P点的轨迹方程.【解答】解：(1)依题意知,求得a＝3,b＝2,∴椭圆的方程为＋＝1.(2)①当两条切线中有一条斜率不存在时,即A、B两点分别位于椭圆长轴与短轴的端点,P的坐标为(±3,±2),符合题意,②当两条切线斜率均存在时,设过点P(x0,y)的切线为y＝k(x－x)＋y,＋＝＋＝1,整理得(9k2＋4)x2＋18k(y0－kx)x＋9[(y－kx)2－4]＝0,∴△＝[18k(y0－kx)]2－4(9k2＋4)×9[(y－kx)2－4]＝0,整理得(x02－9)k2－2x×y×k＋(y2－4)＝0,∴－1＝k1•k2＝＝－1,∴x02＋y2＝13.把点(±3,±2)代入亦成立,∴点P的轨迹方程为：x2＋y2＝13.【点评】本题主要考查了椭圆的标准方程,轨迹方程的相关问题.对于求轨迹方程,最重要的是建立模型求得x和y关系.21.(14分)已知函数f(x)＝x3＋x2＋ax＋1(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a＜0时,试讨论是否存在x0∈(0,)∪(,1),使得f(x)＝f().【分析】对第(1)问,先求导,再通过一元二次方程的实根讨论单调性；对第(2)问,可将f(x0)＝f()转化为f(x)－f()＝0,即将“函数问题”化为“方程是否有实根问题”处理.【解答】解：(1)由f(x)得f′(x)＝x2＋2x＋a,令f′(x)＝0,即x2＋2x＋a＝0,判别式△＝4－4a,①当△≤0即a≥1时,f′(x)≥0,则f(x)在(－∞,＋∞)上为增函数.②当△＞0即a＜1时,方程f′(x)＝0的两根为,即, 当x∈(－∞,－1－)时,f′(x)＞0,则f(x)为增函数；当时,f′(x)＜0,则f(x)为减函数；当,＋∞)时,f′(x)＞0,则f(x)为增函数.综合①、②知,a≥1时,f(x)的单调递增区间为(－∞,＋∞),a＜1时,f(x)的单调递增区间为(－∞,和,＋∞),f(x)的单调递减区间为.(2)∵＝＝＝＝＝.∴若存在∪,使得,即,则关于x的方程4x2＋14x＋7＋12a＝0在∪内必有实数解.∵a＜0,∴△＝142－16(7＋12a)＝4(21－48a)＞0,方程4x2＋14x＋7＋12a＝0的两根为,即,＞0,∴,∵x依题意有,且,即,且,∴49＜21－48a＜121,且21－48a≠81,得,且.∴当∪时,存在唯一的∪,使得成立；当∪∪{}时,不存在∪,使得成立.【点评】1.求含参数的函数的单调区间时,导函数的符号往往难以确定,如果受到参数的影响,应对参数进行讨论,讨论的标准要根据导函数解析式的特征而定.如本题中导函数为一元二次函数,就有必要考虑对应方程中的判别式△.2.对于存在性问题,一般先假设所判断的问题成立,再由假设去推导,若求得符合题意的结果,则存在；若得出矛盾,则不存在.。
2014广东高考文科试题及答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1.已知集合{}{}5,3,2,0,4,3,2==N M ,则N M （ ）A.{}2,0B. {}3,2C. {}4,3D. {}5,32.已知复数z 满足25)43(=-z i ，则=z （ ）A.i 43--B. i 43+-C. i 43-D. i 43+3..已知向量)1,3(),2,1(==b a ，则=-a b （ ）A.)1,2(-B. )1,2(-C. )0,2(D. )3,4(4. 若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+304082y x y x 则y x z +=2的最大值等于（ ）A. 7B. 8C. 10D. 115.下列函数为奇函数的是（ ）A.x x 212- B.x x sin 3 C.1cos 2+x D.x x 22+ 6.为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（ ）A.50B.40C.25D.207.在ABC ∆中，角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a 则“b a ≤”是“B A sin sin ≤”的（ ）A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件8.若实数k 满足05k <<，则曲线221165x y k -=-与曲线221165x y k -=-的（ ） A.实半轴长相等 B.虚半轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等9.若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,,l l l l l l ⊥⊥∥则下列结论一定正确的是（ ）A ．14l l ⊥ B.14l l ∥ C.1l 与4l 既不垂直也不平行 D.1l 与4l 的位置关系不确定10.对任意复数12,,w w 定义1212,ωωωω*=其中2ω是2ω的共轭复数，对任意复数123,,z z z 有如下四个命题： ①1231323()()();z z z z z z z +*=*+* ②1231213()()()z z z z z z z *+=*+*；③123123()();z z z z z z **=** ④1221z z z z *=*；则真命题的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.（一）必做题（11—13题）11.曲线53xy e =-+在点()0,2-处的切线方程为________. 12.从字母,,,,a b c d e 中任取两个不同字母，则取字母a 的概率为________.13.等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则2122232425log +log +log +log +log =a a a a a ________.（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 与2C 的方程分别为θθρsin cos 22=与1cos =θρ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 与2C 交点的直角坐标为________15.（几何证明选讲选做题）如图1，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且AC AE EB ,2=与DE 交于点F 则______=∆∆的周长的周长AEF CDF三.解答题：本大题共6小题，满分80分。
2014年广东省高考数学试卷(文科)
2014年广东省高考数学试卷（文科）2014年广东省高考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）3．（5分）已知向量=（1，2），=（3，1），则﹣=（）4．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值等于（）8．（5分）若实数k满足0＜k＜5，则曲线﹣=1与﹣=1的（）10．（5分）对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω2=ω12，其中2是ω2的共轭复数，对任意复数z1，z2，z3有如下命题：①（z1+z2）*z3=（z1*z3）+（z2*z3）②z1*（z2+z3）=（z1*z2）+（z1*z3）③（z1*z2）*z3=z1*（z2*z3）；④z1*z2=z2*z1二、填空题（共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（11-13题）11．（5分）曲线y=﹣5e x+3在点（0，﹣2）处的切线方程为_________．12．（5分）从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为_________．13．（5分）等比数列{a n}的各项均为正数，且a1a5=4，则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=_________．（二）（14-15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ=sinθ与ρcosθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为_________．【几何证明选讲选做题】15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则=_________．四、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；（3）求这20名工人年龄的方差．18．（13分）如图1，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB=1，BC=PC=2作如图2折叠；折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF．（1）证明：CF⊥平面MDF；（2）求三棱锥M﹣CDE的体积．19．（14分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n满足S n2﹣（n2+n﹣3）S n﹣3（n2+n）=0，n∈N*．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有++…+＜．20．（14分）（2014•广东）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的每一个焦点为（，0），离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．21．（14分）已知函数f（x）=x3+x2+ax+1（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a＜0时，试讨论是否存在x0∈（0，）∪（，1），使得f（x0）=f（）．2014年广东省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）==3+4i3．（5分）已知向量=（1，2），=（3，1），则﹣=（）向量=∴﹣4．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值等于（）=7．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sinA≤sinB”的（）解：由正弦定理可知8．（5分）若实数k满足0＜k＜5，则曲线﹣=1与﹣=1的（）﹣=1﹣10．（5分）对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω2=ω12，其中2是ω2的共轭复数，对任意复数z1，z2，z3有如下命题：①（z1+z2）*z3=（z1*z3）+（z2*z3）②z1*（z2+z3）=（z1*z2）+（z1*z3）③（z1*z2）*z3=z1*（z2*z3）；④z1*z2=z2*z112，其中）12=（+）1+z11，2））1z12，等式不成立，故错误；二、填空题（共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（11-13题）11．（5分）曲线y=﹣5e x+3在点（0，﹣2）处的切线方程为5x+y+2=0．．12．（5分）从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为0.4．中任取两个不同字母，共有=10，共有所求概率为13．（5分）等比数列{a n}的各项均为正数，且a1a5=4，则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=5．（二）（14-15题，考生只能从中选做一题）【坐标系与参数方程选做题】14．（5分）在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ=sinθ与ρcosθ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为（1，2）．，解得：．【几何证明选讲选做题】15．如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则=3．，可求∴=3四、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16．（12分）已知函数f（x）=Asin（x+），x∈R，且f（）=．（1）求A的值；（2）若f（θ）﹣f（﹣θ）=，θ∈（0，），求f（﹣θ）．x+），，﹣）（=（+）=∴）（）﹣（cos=3sin=，（（=（2）以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；（3）求这20名工人年龄的方差．=3018．（13分）如图1，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB=1，BC=PC=2作如图2折叠；折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF．（1）证明：CF⊥平面MDF；（2）求三棱锥M﹣CDE的体积．CD=；，∴，即，DE===MD=××．19．（14分）设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n满足S n2﹣（n2+n﹣3）S n﹣3（n2+n）=0，n∈N*．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有++…+＜．得：，即．）由∴．时，∴．时，∵∴∴20．（14分）（2014•广东）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的每一个焦点为（，0），离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点P（x0，y0）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．）依题意知椭圆的方程为+=+=21．（14分）已知函数f（x）=x3+x2+ax+1（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a＜0时，试讨论是否存在x0∈（0，）∪（，1），使得f（x0）=f（）．（（的两根为，即）时，）∵=若存在∪，使得，即，∪的两根为，∴，依题意有，且．当∪时，存在唯一的∪∪∪{时，不存在∪参与本试卷答题和审题的老师有：caoqz；742048；sxs123；qiss；whgcn；maths；wsj1012；刘长柏；尹伟云；xintrl；孙佑中；王老师；翔宇老师（排名不分先后）菁优网2014年6月23日。
2014年广东省高考文科数学模拟试卷及参考答案
17. （本小题满分 12 分）（本小题主要考查概率与统计的概念，考查运算求解能力等．
）
解（ 1） ∵
x
0.19
2000
x 380
………………３ 分
（ 2）高三年级人数为 y＋z＝2000 －（ 373＋ 377＋ 380＋ 370）＝ 500， …………………５ 分 现用分层抽样的方法在全校抽取 48 名学生，应在高三年级抽取的人数为：
棱锥的高为 2， 连结 AM ，则 AM=
2
AB
BM 2 =
2
2
BM 2 ，
由（ 2）知 PA
AM
∴S
1 PAM= PA ? AM
2
1 2 22 BM 2 2
4 BM 2
∴ V D— PAM= 1 ? S PAM 3
?2= 1 ?
3
4
BM 2 ? 2 = 2 4 BM 2
3
…………………
11分
∵ S AMD
5
（ 1）求 cos( A C ) 的值；
（ 2）求 sin B
的值；
6
uuur uuur （ 3）若 BAgBC 20 ，求
ABC 的面积 .
.
17．（本小题满分 12 分） 某完全中学高中部共有学生
2000 名，各年级男、女生人数如下表：
女生
高一年级 373
高二年级 x
高三年级 y
男生
377
370
∴ GH//AD//EF ，
∴ E， F， G， H 四点共面。
…………………………２ 分
又 H 为 AB 中点，∴ EH//PB 。
…………………………３ 分
又 EH 面 EFG， PB 平面 EFG，