(完整版)中考数学常见几何模型简介
2024年中考数学几何模型归纳(全国通用)：全等与相似模型-半角模型(教师版)
专题16全等与相似模型-半角模型全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。
本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.半角模型半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半。
思想方法：通过旋转（或截长补短）构造全等三角形，实现线段的转化。
解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。
半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论。
【模型展示】1）正方形半角模型条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④ AEF的周长=2AB；⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。
2）等腰直角三角形半角模型条件： ABC是等腰直角三角形，∠DAE=45°；结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2；3）等边三角形半角模型（120°-60°型）条件： ABC 是等边三角形， BDC 是等腰三角形，且BD =CD ，∠BDC =120°，∠EDF =60°；结论：①△BDE ≌△CDG ；②△EDF ≌△GDF ；③EF ＝BE ＋FC ；④ AEF 的周长=2AB ；⑤DE 、DF 分别平分∠BEF 和∠EFC 。
4）等边三角形半角模型（60°-30°型）条件： ABC 是等边三角形，∠EAD =30°；结论：①△BDA ≌△CFA ；②△DAE ≌△FAE ；③∠ECF =120°；④DE 2＝(12BD ＋EC)2+2；5）半角模型（2 - 型）条件：∠BAC =2 ，AB =AC ，∠DAE = ；结论：①△BAD ≌△CAF ；②△EAD ≌△EAF ；③∠ECF=180°-2 。
2024年中考数学几何模型归纳(全国通用)：三角形中的导角模型-飞镖模型风筝模型角内翻模型(学生版)
专题02三角形中的导角模型-飞镖模型、风筝模型、角内翻模型近年来各地中考中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。
熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。
本专题就飞镖型、风筝模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1、“飞镖”模型（“燕尾”模型）图1图2图3条件：如图1，凹四边形ABCD ；结论：①BCD A B D ；②AB AD BC CD 。
条件：如图2，线段BO 平分∠ABC ，线段OD 平分∠ADC ；结论：∠O =12（∠A +∠C ）。
条件：如图3，线段AO 平分∠DAB ，线段CO 平分∠BCD ；结论：∠O =12（∠D-∠B ）。
飞镖模型结论的常用证明方法：例1．（2023·重庆·八年级专题练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”：如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和．A．19 B．20例4.（2023·广东·八年级期中）如图，在三角形ABC 中，AB AC BC ，为三角形内任意一点，连结AP ，并延长交BC 于点D .求证：（1）AB AC AD BC ；（2）AB AC AP BP CP . AB D CP 探究：（1）观察“箭头四角形”，试探究BDC 与A 、B 、C 之间的关系，并说明理由；应用：（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ 放置在ABC 上，使三角尺的两条直角边XY 、XZ 恰好经过点60A ，则ABX ACX ；②如图o 3，ABE 、ACE 的2等分线（即角平分线）CF 相交于点F ，若60BAC ，130BEC ，求BFC 的度数；模型2、风筝模型（鹰爪模型）图1图21）风筝（鹰爪）模型：结论：∠A +∠O =∠1+∠2；2）风筝（鹰爪）模型（变形）：结论：∠A +∠O=∠2-∠1。
2024年中考数学常见几何模型全归纳(全国通用)圆中的重要模型之阿基米德折弦(定理)模型(原卷版)
如图 2，△ABC 中，∠ABC＝60°，AB＝8，BC＝6，D 是 AB 上一点，BD＝1，作 DE⊥AB 交△ABC 的外
接圆于 E，连接 EA，则∠EAC＝
°．
例 2．（2023·浙江温州·九年级校考阶段练习）阿基米德是古希腊最伟大的数学家之一，他曾用图 1 发现了
阿基米德折弦定理．如图 2，已知 BC 为⊙O 的直径，AB 为一条弦(BC AB)，点 M 是 ABC 上的点，MD⊥BC
如图 1 所示，AB 和 BC 是⊙O 的两条弦(即 ABC 是圆的一条折弦)，BC>AB，M 是 A BC 的中点，则从 M
向 BC 所作垂线之垂足 D 是折弦 ABC 的中点，即 CD=AB+BD。
M B
D
C
F
M
B
D
C
M
HM C
C
B
DG
B
DG
A
A
A
A
图1 常见证明的方法：
图2
图3
图4
1）补短法：如图 2，如图，延长 DB 至 F，使 BF=BA；
例 4．（2023·江苏·九年级假期作业）问题呈现：阿基米德折弦定理：如图 1， AB 和 BC 是 O 的两条弦（即 折线 ABC 是圆的一条折弦），BC AB ，M 是 ABC 的中点，则从 M 向 BC 所作垂线的垂足 D 是折弦 ABC 的 中点，即 CD AB BD ．下面是运用“截长法”证明 CD AB BD 的部分证明过程．
例 5．（2023·河南商丘·统考二模）阅读下面材料，完成相应的任务： 阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一、《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古 希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的．其中论述了阿基米德折弦定理：从圆周
2024中考数学常见几何模型归纳总结—三角形中的倒角模型-高分线模型、双(三)垂直模型
2024中考数学常见几何模型归纳总结—三角形中的倒角模型-高分线模型、双（三）垂直模型近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。
熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。
本专题高分线模型、双垂直模型、子母型双垂直模型（射影定理模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1：高分线模型条件：AD 是高，AE 是角平分线结论：∠DAE=2B C∠∠-例1．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在ABC 中，30A ∠=︒，50B ∠=︒，CD 为ACB ∠的平分线，CE AB ⊥于点E ，则ECD ∠度数为（）A ．5︒B ．8︒C ．10︒D ．12︒【答案】C 【分析】依据直角三角形，即可得到40BCE ∠=︒，再根据30A ∠=︒,CD 平分ACB ∠,即可得到BCD ∠的度数,再根据DCE BCD BCE ∠=∠-∠进行计算即可．【详解】解：50,B CE AB ∠=︒⊥ ,40BCE ∴∠=︒,又30A ∠=︒ ,CD 平分ACB ∠,1118050305022()BCD BCA ∴∠=∠=⨯︒-︒-︒=︒，504010DCE BCD BCE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒,故选：C ．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180︒是解答此题的关键．例2．（2023春·河南南阳·七年级统考期末）如图，在△ABC 中，∠1＝∠2，G 为AD 的中点，BG 的延长线交AC 于点E ，F 为AB 上的一点，CF 与AD 垂直，交AD 于点H ，则下面判断正确的有（）①AD 是△ABE 的角平分线；②BE 是△ABD 的边AD 上的中线；③CH 是△ACD 的边AD 上的高；④AH 是△ACF 的角平分线和高A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【详解】解：①根据三角形的角平分线的概念，知AG 是△ABE 的角平分线，故此说法错误；②根据三角形的中线的概念，知BG 是△ABD 的边AD 上的中线，故此说法错误；③根据三角形的高的概念，知CH 为△ACD 的边AD 上的高，故此说法正确；④根据三角形的角平分线和高的概念，知AH 是△ACF 的角平分线和高线，故此说法正确．故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念，注意：三角形的角平分线、中线、高都是线段，且都是顶点和三角形的某条边相交的交点之间的线段．透彻理解定义是解题的关键．例3．（2023·安徽合肥·七年级统考期末）如图，已知AD 、AE 分别是Rt △ABC 的高和中线，AB ＝9cm ，AC ＝12cm ，BC ＝15cm ，试求：（1）AD 的长度；（2）△ACE 和△ABE 的周长的差．【答案】（1）AD 的长度为365cm ；（2）△ACE 和△ABE 的周长的差是3cm ．【分析】（1）利用直角三角形的面积法来求线段AD 的长度；（2）由于AE 是中线，那么BE ＝CE ，再表示△ACE 的周长和△ABE 的周长，化简可得△ACE 的周长﹣△ABE 的周长＝AC ﹣AB 即可．【详解】解：（1）∵∠BAC ＝90°，AD 是边BC 上的高，∴S △ACB =12AB•AC ＝12BC•AD ，∵AB ＝9cm ，AC ＝12cm ，BC ＝15cm ，∴AD ＝AB AC CB ⋅＝91215⨯＝365（cm ），即AD 的长度为365cm ；（2）∵AE 为BC 边上的中线，∴BE ＝CE ，∴△ACE 的周长﹣△ABE 的周长＝AC+AE+CE ﹣（AB+BE+AE ）＝AC ﹣AB ＝12﹣9＝3（cm ），即△ACE 和△ABE 的周长的差是3cm ．【点睛】此题主要考查了三角形的面积，关键是掌握直角三角形的面积求法．例4．（2023·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，在ABC 中，AD ，AE 分别是ABC 的高和角平分线，若30B ∠=︒，50C ∠=︒．(1)求DAE ∠的度数．(2)试写出DAE ∠与C B ∠-∠关系式，并证明．(3)如图，F 为AE 的延长线上的一点，FD BC ⊥于D ，这时AFD ∠与C B ∠-∠的关系式是否变化，说明理由．【答案】(1)10︒(2)()12DAE C B ∠=∠-∠(3)不变，理由见解析【分析】（1）根据三角形内角和求出BAC ∠，根据角平分线的定义得到50BAE ∠=︒，根据高线的性质得到90ADE ∠=︒，从而求出60BAD ∠=︒，继而根据角的和差得到结果；（2）根据角平分线的定义得到12BAE BAC ∠=∠，根据三角形内角和求出119022EAC B C ∠=︒-∠-∠，根据角的和差得到结果；（3）过A 作AG BC ⊥于G ，结合（2）知1()2EAG C B ∠=∠-∠，证明FD AG ∥，得到AFD EAG ∠=∠，即可证明．【详解】（1）解：∵30B ∠=︒，50C ∠=︒，∴1805030100BAC ∠=︒-︒-︒=︒，∵AE 平分BAC ∠，∴1502BAE CAE BAC ∠=∠=∠=︒，∵AD 是高，∴90ADE ∠=︒，∵30B ∠=︒，∴60BAD ∠=︒，∴10DAE BAD BAE ∠=∠-∠=︒；（2）()12DAE C B ∠=∠-∠，证明如下：∵AE 平分BAC ∠，∴12EAC BAC ∠=∠，∵180BAC B C ∠=︒-∠-∠，∴()11101902822B C B C EAC ︒-∠-∠-∠︒-==∠∠，∴EAD EAC DAC ∠=∠-∠()11090922B C C =︒∠---∠︒-∠()12C B =∠-∠；（3）不变，理由是：如图，过A 作AG BC ⊥于G ，由（2）可知：1()2EAG C B ∠=∠-∠，AG BC ⊥ ，90AGB ∠=︒，FD BC ⊥ ，90FDC ∴∠=︒，AGD FDC ∴∠=∠，FD AG ∴∥，AFD EAG ∴∠=∠，1()2AFD C B ∴∠=∠-∠．【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理、角平分线的性质、直角三角形的性质和平行线的判定与性质，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的性质是解题的关键．模型2：双垂直模型结论：①∠A =∠C ；②∠B =∠AFD =∠CFE ；③AB CD AE BC ⋅=⋅。
初中数学63个几何模型
初中数学63个几何模型不同的几何模型在我们日常生活和学习中都有着广泛的应用。
通过学习这些几何模型，我们可以更好地理解和应用数学知识。
下面介绍63个几何模型的相关知识和应用。
第一类几何模型是平面图形。
平面图形包括三角形、四边形、五边形、六边形等。
三角形是最简单的平面图形，也是许多几何定理的基础，比如直角三角形的勾股定理。
四边形是指四条线段构成的图形，其中包括正方形、长方形、菱形等。
五边形和六边形则分别称为五边形和六边形。
这些平面图形在建筑、绘画、地图测量等方面都有广泛的应用。
第二类几何模型是立体图形。
立体图形包括长方体、正方体、圆柱、圆锥、球体等。
长方体和正方体是最常见的立体图形，它们具有稳定的立体结构，广泛应用于建筑、包装、设备、器具等领域。
圆柱和圆锥也有着广泛的应用，例如烟囱、钢管、饮水机等。
球体则广泛应用于科学、艺术、体育竞技等方面，例如地球仪、篮球、高尔夫球等。
第三类几何模型是曲面图形。
曲面图形包括椭球、双曲面、抛物面等。
椭球广泛应用于天文、地理和工程学等领域，例如地球表面的形状、汽车、飞机等的外形设计。
双曲面和抛物面则具有独特的形状和结构，广泛应用于建筑、航空航天、汽车等领域。
第四类几何模型是向量。
向量是表示大小和方向的量，具有几何意义。
向量广泛应用于物理学、工程学、计算机科学等领域，例如机器人运动控制、人工智能、网络传输等。
第五类几何模型是二次曲线。
二次曲线是由二次方程所定义的曲线，包括椭圆、超椭圆、双曲线等。
二次曲线具有丰富的形状和特征，在计算机图形学、通信工程、密码学等领域有着广泛应用。
总之，学习这些几何模型不仅可以帮助我们更好地理解和应用数学知识，还可以拓展我们的思维方式和解决问题的能力。
对于初中数学学习者而言，掌握这些几何模型是非常重要的，可以为以后的学习和工作打下坚实的基础。
中考数学几何模型大汇总
中考数学几何模型大汇总下面是中考几何模型的大汇总：1、平面直角坐标系模型平面直角坐标系模型中，我们可以使用坐标系来描述平面上图形和点的位置关系。
这个模型常用于图形的平移、旋转、对称等问题。
2、矩形模型矩形模型用于讨论四边形的性质、面积、周长等问题。
在这个模型中，我们将四边形近似为一个矩形，从而使问题更易解决。
3、三角形模型三角形模型是中考中最常见的模型之一、它可以用于计算三角形的面积、周长，讨论三角形的性质。
在这个模型中，我们通常使用海伦公式、正弦定理、余弦定理等方法来求解。
4、圆形模型圆形模型用于讨论圆、弧、扇形等问题。
在这个模型中，我们通常使用圆的周长、面积公式，以及角度与弧长的关系来进行计算。
5、球体模型球体模型用于讨论球体的体积、表面积以及球冠、球缺等问题。
在这个模型中，我们通常使用球的体积、表面积公式，以及球冠、球缺的体积和表面积公式来求解。
6、棱锥模型棱锥模型用于讨论棱锥的体积、表面积、正棱锥、锥台等问题。
在这个模型中，我们通常使用棱锥的体积、表面积公式，以及正棱锥、锥台的体积和表面积公式来求解。
7、棱柱模型棱柱模型用于讨论棱柱的体积、表面积、正棱柱、柱台等问题。
在这个模型中，我们通常使用棱柱的体积、表面积公式，以及正棱柱、柱台的体积和表面积公式来求解。
8、立体几何模型立体几何模型用于讨论正方体、长方体、正六面体等立体图形的体积、表面积、对角线等问题。
在这个模型中，我们通常使用立体图形的体积、表面积公式，以及对角线长的求法来计算。
总之，几何模型是中考数学中重要的一环，通过利用这些模型，我们可以更好地理解几何知识，更好地应对考试。
初中数学八大几何模型归纳
初中数学八大几何模型归纳
初中数学中的八大几何模型包括:
1. 三角形相关模型：三角形的各种性质、三角形的面积计算、三角形的周长计算等;
2. 四边形相关模型：四边形的各种性质、四边形的面积计算、四边形的周长计算等;
3. 圆相关模型：圆的各种性质、圆的面积计算、圆的周长计算、圆的弧长计算等;
4. 相似三角形相关模型：相似三角形的定义、相似三角形的判定、相似三角形的面积计算等;
5. 直角三角形相关模型：直角三角形的定义、直角三角形的判定、直角三角形的面积计算等;
6. 二次函数相关模型：二次函数的定义、二次函数的图像、二次函数的值域、二次函数的对称轴等;
7. 轴对称相关模型：轴对称的定义、轴对称的图像、轴对称的性质、轴对称的图形设计等;
8. 平移相关模型：平移的定义、平移的性质、平移的图像等。
这些几何模型是初中数学中非常重要的知识点，学生在学习过程中需要熟练掌握。
此外，这些模型也是中考数学考试中经常出现的知识点，学生需要在平时的学习中多加练习，熟练掌握各种计算方法和技巧。
初三数学几何模型
初三数学几何模型
初三数学几何模型是指在初三数学课程中使用的用来展示和解决
几何问题的模型。
这些模型可以帮助学生理解和掌握几何概念和定理，提高他们的几何思维能力和问题解决能力。
常见的初三数学几何模型包括平面图形模型、立体几何模型和投
影模型等。
平面图形模型可以使用纸板、剪纸和绳子等材料制作，用
来展示和研究平行线、垂直线、相交线、三角形、四边形、圆等几何
图形的性质和相关定理。
立体几何模型可以通过拼装和折纸的方式制作，用来研究平行四边形、正方体、棱柱、棱锥、圆锥、圆柱等立体
图形的性质和相关定理。
投影模型则可以使用灯光和投影仪等设备进
行展示，用来研究平行投影、垂直投影、中心投影等几何问题。
在初三数学课堂上，老师可以使用这些模型进行教学和演示，引
导学生观察、推理和实证，培养他们的几何思维和几何直觉。
通过实
际操作和观察，学生能够更加深入地理解几何概念和定理，提升解决
几何问题的能力。
同时，这些几何模型也可以激发学生的兴趣，使数
学学习更加生动有趣。
因此，初三数学几何模型在教学中起着重要的作用，它们能够帮
助学生更好地理解和应用几何知识，提高他们的数学水平和学习成绩。
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初中几何常见模型解析
模型一：手拉手模型-旋转型全等
（1）等边三角形
➢条件：均为等边三角形
➢结论：①；②；③平分。
（2）等腰
➢条件：均为等腰直角三角形
➢结论：①；②；
➢③平分。
（3）任意等腰三角形
➢条件：均为等腰三角形
➢结论：①；②；
➢③平分
模型二：手拉手模型-旋转型相似
（1）一般情况
➢条件：，将旋转至右图位置
➢结论：
➢右图中①；
➢②延长AC交BD于点E，必有
（2）特殊情况
➢条件：，，将旋转至右图位置
➢结论：右图中①；②延长AC交BD于点E，必有；
③；
④；
⑤连接AD、BC，必有；
⑥（对角线互相垂直的四边形）
模型三：对角互补模型
（1）全等型-90°
➢条件：①；②OC平分
➢结论：①CD=CE; ②；③
➢证明提示：
①作垂直，如图，证明；
②过点C作,如上图（右），证明；
➢当的一边交AO的延长线于点D时：
以上三个结论：①CD=CE（不变）；
②；③
此结论证明方法与前一种情况一致，可自行尝试。
（2）全等型-120°
➢条件：①；
➢②平分；
➢结论：①；②；
➢③
➢证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；
②如图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明
为等边三角形。
（3）全等型-任意角
➢条件：①；②；
➢结论：①平分；②；
➢③.
➢当的一边交AO的延长线于点D时（如右上图）：
原结论变成：①；
②；
③；
可参考上述第②种方法进行证明。
请思考初始条件的变化对模型的影响。
➢对角互补模型总结：
①常见初始条件：四边形对角互补；注意两点：四点共圆及直角三角形斜边中线；
②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别；
③两种常见的辅助线作法；
④注意平分时，相等如何推导？
模型四：角含半角模型90°
（1）角含半角模型90°-1
➢条件：①正方形；②；
➢结论：①；②的周长为正方形周长的一半；
也可以这样：
➢条件：①正方形；②
➢结论：
（2）角含半角模型90°-2
➢条件：①正方形；②；
➢结论：
➢辅助线如下图所示：
（3）角含半角模型90°-3
➢条件：①；②；
➢结论：
若旋转到外部时，结论仍然成立。
（4）角含半角模型90°变形
➢条件：①正方形；②；
➢结论：为等腰直角三角形。
模型五：倍长中线类模型
（1）倍长中线类模型-1
➢条件：①矩形；②;③；
➢结论：
模型提取：①有平行线；②平行线间线段有中点；
可以构造“8”字全等。
（2）倍长中线类模型-2
➢条件：①平行四边形；②；③；④.➢结论：
模型六：相似三角形360°旋转模型
（1）相似三角形（等腰直角）360°旋转模型-倍长中线法
➢条件：①、均为等腰直角三角形；②
➢结论：①；②
（1）相似三角形（等腰直角）360°旋转模型-补全法
➢条件：①、均为等腰直角三角形；②；
➢结论：①；②
（2）任意相似直角三角形360°旋转模型-补全法
➢条件：①；②;③。
➢结论：①；②
（2）任意相似直角三角形360°旋转模型-倍长法
➢条件：①；②;③。
➢结论：①；②
模型七：最短路程模型
（1）最短路程模型一（将军饮马类）
（2）最短路程模型二（点到直线类1）
➢条件：①平分；②为上一定点；③为上一动点；④为上一动点；➢求：最小时，的位置？
（3）最短路程模型二（点到直线类2）
➢条件：
➢问题：为何值时，最小
➢求解方法：①轴上取，使；②过作，交轴于点，即为所求；
③，即.
（4）最短路程模型三（旋转类最值模型）
模型八：二倍角模型
模型九：相似三角形模型
（1）相似三角形模型-基本型（2）相似三角形模型-斜交型
（3）相似三角形模型-一线三角型（4）相似三角形模型-圆幂定理型。