反比例函数常见几何模型
反比例函数常见几何模型
反比例函数常见模型一、知识点回顾1..反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=kx（k≠0）．其解析式有三种表示方法：①xky =（0≠k ）；②1-=kx y （0≠k ）；③k xy = 2．反比例函数y=kx（k≠0）的性质（1）当k>0时⇔函数图像的两个分支分别在第一，三象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而减小．（2）当k<0时⇔函数图像的两个分支分别在第二，四象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而增大．（3）在反比例函数y=kx中，其解析式变形为xy=k ，故要求k 的值(也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积).（4）若双曲线y=k x图像上一点（a ，b ）满足a ，b 是方程Z 2－4Z －2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k ，∴k=－2，故双曲线的解析式是y=2x-．（5）由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图像和x 轴，y 轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势．二、新知讲解与例题训练 模型一：如图，点A 为反比例函数xk y =图象上的任意一点，且AB 垂直于x 轴，则有2||k S OAB =∆例1：如图ABC Rt ∆的锐角顶点是直线y=x+m 与双曲线y=xm在第一象限的交点，且3=∆AOB S ,（1）求m 的值 （2）求ABC ∆的面积变式题1、如图所示，点1A ,2A ,3A 在x 轴上，且O 1A =21A A =32A A ,分别过1A ,2A ,3A 作y 轴平行线，与反比例函数y=x8(x>0)的图像交于点1B ,2B ,3B ，分别过点1B ,2B ,3B 作x 轴的平行线，分别与y 轴交于点1C ,2C ,3C ,连结321,,OB OB OB ,那么图中阴影部分的面积之和为__________2、 如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x=上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 .模型二：如图：点A 、B 是双曲线)0(≠=k xk y 任意不重合的两点，直线AB 交x 轴于M点，交y 轴于N 点，再过A 、B 两点分别作y AD ⊥轴于D 点，x BF ⊥轴于F 点，再连结DF 两点，则有：AB DF ||且BM ＝ANDFA B DF MNxyO例2：如图，一次函数y a x b =+的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数ky x=的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列四个结论：①DEF CEF S S ∆∆=；②AOB ∆相似于FOE ∆；③△DCE ≌△CDF ；④A C B D =其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）例3：一次函数y ax b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于点,M N ，与反比例函数ky x=的图象相交于点,A B ．过点A 分别作AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，垂足分别为,C E ；过点B 分别作BF x ⊥轴，BD y ⊥轴，垂足分别为F D ，，AC 与BD 交于点K ，连接CD ．（1）若点A B ，在反比例函数ky x=的图象的同一分支上，如图1，试证明： ①AEDK CFBK S S =四边形四边形；②AN BM =． （2）若点A B ，分别在反比例函数ky x=的图象的不同分支上，如图2，则AN 与BM 还相等吗？试证明你的结论．y x DC A B OFE图 1图2模型三：如图，已知反比例函数ky x =（k ≠0，x>0）上任意两点P 、C ，过P 做PA ⊥x 轴，交x 轴于点A ，过C 做CD ⊥x 轴，交x 轴于点D ，则OPC PADC S S ∆=梯形.例4：如图，在直角坐标系中，一次函数y =k 1x+b 的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A (1,4)、B (4，1)两点，则△AOB 的面积是______.例5：如图，在直角坐标系中，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A （1,4）、B （3，m ）两点，则△AOB 的面积是______.例6：如图1，已知直线12y x =与双曲线(0)k y k x =>交于A 、B 两点，且点A 的横坐标为4． （1）求k 的值；（2）如图2，过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)ky k x=>于C 、D 两点（点C在第一象限且在点A 的左边），当四边形ACBD 的面积为24时，求点C 的坐标．模型四：在矩形AOBC 中，OB =a ，OA =b ，分别以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），过F 点的反比例函数(0)ky x x=>的图象与AC 边交于点E ，则CE a CF b =.例7：两个反比例函数k y x =和1y x =在第一象限内的图象如图所示，点P 在k y x=的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交1y x =的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交1y x =的图象于点B ，当点P 在ky x=的图象上运动时，以下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形PAOB 的面积不会发生变化；③PA 与PB始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是 _________（把你认为正确结论的序号都填上）．课堂练习： 一、选择题1、已知m<0，则函数mx y =1与xmy -=2的图像如图，大致是（ ）xB FC E A OyA. B. C. D 2、如图，点A 在双曲线xy 6=上，且OA=4,过点 A 作AC ⊥x 轴，垂足为c ，OA 的垂直平分线交OC 于B,则ABC ∆的周长为（ ）A.72B.5C.74D.22 3、如图，双曲线xky =（k>0）经过矩形OABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D ，若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为（ ） A.x y 1=B. x y 2=C. x y 3=D. xy 6=题 3 题 4 题54、如图，A,B 是函数xy 2=的图像上关于原点对称的任意两点，BC//x 轴，AC//y 轴，ABC ∆的面积记为S ，则S （ ）A.S=2B.S=4C.2<S<4D.S>45、如图所示，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A 在直线y=x 上，其中A 点的横坐标为1，且两条直角边AB ，AC 分别平行于x 轴，y 轴，若双曲线y=kx（k≠0）与△ABC 有交点，则k 的取值范围是（ ）A ．1<k<2B ．1≤k≤3C ．1≤k≤4 D．1≤k<4二、填空题DB AyxO C1、如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x=上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为.2、如图，双曲线)0(2x xy =经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC ＝90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折后得到△AB ＇C ，B ＇点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是 .3、如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOB ＝60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为y = k x，在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ′B ′. （1）当点O ′与点A 重合时，点P 的坐标是 .（2）设P （t ，0）,当O ′B ′与双曲线有交点时，t 的取值范围是.4、如图，已知双曲线(0)ky k x=<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为 .5、双曲线1y 、2y 在第一象限的图像如图，14y x=， 过1y 上的任意一点A ，作x 轴的平行线交2y 于B ，交y 轴于C ，若1AOB S ∆=，则2y 的解析式是 ．课后习练一、填空题1、如图，直线y=kx （k>0）与双曲线y=4x交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则2x 1y 2－7x 2y 1的值等于_______．2、反比例函数y=k x的图像上有一点P （a ，b ），且a ，b 是方程t 2－4t －2=0的两个根，则k=_______；点P 到原点的距离OP=_______．3、已知双曲线xy=1与直线y=－x+b 无交点，则b 的取值范围是______．4、反比例函数y=k x的图像经过点P （a ，b ），其中a ，b 是一元二次方程x 2+kx+4=0的两个根，那么点P 的坐标是_______．5、如图，已知双曲线)0k (xk y ＞=经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k ＝___．第5题图 第6题图与反比例函数y=2x的图像6、如图，已知点A 是一次函数y=x 的图像在第一象限内的交点，点B 在x 轴的负半轴上，且OA=OB ，那么△AOB 的面积为（ ） A ．2 B ．22C ．2D ．22 7、已知P 为函数y=2x的图像上一点，且P 到原点的距离为3，则符合条件的P 点数为（ ） ABCD EyxOA．0个 B．2个 C．4个 D．无数个。
反比例函数常见几何模型
反比例函数常见模型一、知识点回顾1..反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=kx（k≠0）．其解析式有三种表示方法：①xk y =（0≠k ）；②1-=kx y （0≠k ）；③k xy = 2．反比例函数y=kx（k≠0）的性质（1）当k>0时⇔函数图像的两个分支分别在第一，三象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而减小．（2）当k<0时⇔函数图像的两个分支分别在第二，四象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而增大．（3）在反比例函数y=kx中，其解析式变形为xy=k ，故要求k 的值(也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积).（4）若双曲线y=k x图像上一点（a ，b ）满足a ，b 是方程Z 2－4Z －2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k ，∴k=－2，故双曲线的解析式是y=2x-．（5）由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图像和x 轴，y 轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势．二、新知讲解与例题训练 模型一：如图，点A 为反比例函数xk y =图象上的任意一点，且AB 垂直于x 轴，则有2||k S OAB =∆例1：如图ABC Rt ∆的锐角顶点是直线y=x+m 与双曲线3=∆AOB S ,（1）求m 的值 （2）求ABC ∆的面积变式题1、如图所示，点1A ,2A ,3A 在x 轴上，且O 1A =21A A =32A A ,行线，与反比例函数y=x8(x>0)的图像交于点1B ,2B ,3B平行线，分别与y 轴交于点1C ,2C ,3C ,连结321,,OB OB OB ,那么图中阴影部分的面积之和为__________2、 如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x=上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 .模型二：如图：点A 、B 是双曲线)0(≠=k xk y 任意不重合的两点，直线AB 交x 轴于M点，交y 轴于N 点，再过A 、B 两点分别作y AD ⊥轴于D 点，x BF ⊥轴于F 点，再连结DF 两点，则有：AB DF ||且BM ＝AN例2：如图，一次函数y a x b =+的图象与x y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数k y x=的图象相交于C ，D 两点，分别过C D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列四个结论：①DEF CEF S S ∆∆=；②AOB ∆相似于FOE ∆；③△DCE ≌△CDF ；④A C B D=其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）例3：一次函数y ax b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于点,M N ，与反比例函数ky x =的图象相交于点,A B ．过点A 分别作AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，垂足分别为,C E ；过点B 分别作BF x ⊥轴，BD y ⊥轴，垂足分别为F D ，，AC 与BD 交于点K ，连接CD ． （1）若点A B ，在反比例函数ky x=的图象的同一分支上，如图1，试证明：①AEDK CFBK S S =四边形四边形；②AN BM =． （2）若点A B ，分别在反比例函数ky x=的图象的不同分支上，如图2，则AN 与BM 还相等吗？试证明你的结论．模型三：如图，已知反比例函数ky x=（k ≠0，x>0）上任意两点P 、C ，过P 做PA ⊥x 轴，交x 轴于点A ，过C 做CD ⊥x 轴，交x 轴y xDCA B O F E图1图2 DF A B D F M Nxy O于点D ，则OPC PADC S S ∆=梯形.例4：如图，在直角坐标系中，一次函数y =k 1x+b 的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A (1,4)、B (4，1)两点，则△AOB 的面积是______. 例5：如图，在直角坐标系中，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A （1,4）、B （3，m ）两点，则△AOB 的面积是______.例6：如图1，已知直线12y x =与双曲线(0)ky k x=>交于A 、B两点，且点A 的横坐标为4． （1）求k 的值；（2）如图2，过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)ky k x=>于C 、D 两点（点C 在第一象限且在点A 的左边），当四边形ACBD 的面积为24时，求点C 的坐标．模型四：在矩形AOBC 中，OB =a ，OA =b ，分别以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），过F点的反比例函数(0)ky x x =>的图象与AC 边交于点E ，则CE a CF b =.例7：两个反比例函数k y x =和1y x =在第一象限内的图象如图所示，点P 在ky x=的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交1y x =的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交1y x =的图象于点B ，当点P 在ky x=的图象上运动时，以下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形P AOB 的面积不会发生变化；③P A 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是 _________（把你认为正确结论的序号都填上）． 课堂练习： 一、选择题1、已知m<0，则函数mx y =1与xmy -=2的图像如图，大致是（ ）A. B. C. D 2、如图，点A 在双曲线xy 6=上，且OA=4,过点 A 作AC ⊥x 轴，垂足为c ，OA 的垂直平分线交OC 于B,则ABC ∆的周长为（ ） A.72C.74D.22 3、如图，双曲线xky =（k>0）经过矩形OABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D ，若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为（ ） A.x y 1=B. x y 2=C. x y 3=D. xy 6= 题3 题4 题5 4、如图，A,B 是函数x y 2=的图像上关于原点对称的任意两点，BC ABC ∆k x 1y x =3y x=2、如图，双曲线)0(2φx xy =经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC ＝90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折后得到△AB ＇C ，B ＇点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是 .3、如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOB ＝60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为y = k x，在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ′B ′. （1）当点O ′与点A 重合时，点P 的坐标是 .（2）设P （t ，0）,当O ′B ′与双曲线有交点时，t 的取值范围是 . 4、如图，已知双曲线(0)ky k x=<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为 .5、双曲线1y 、2y 在第一象限的图像如图，14y x=， 过1y 上的任意一点A ，作x 轴的平行线交2y 于B ， 交y 轴于C ，若1AOB S ∆=，则2y 的解析式是 ．课后习练一、填空题1、如图，直线y=kx （k>0）与双曲线y=4x交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则2x 1y 2－7x 2y 1的值等于_______． 2、反比例函数y=k x的图像上有一点P （a ，b ），且a ，b 是方程t 2－4t －2=0的两个根，则k=_______；点P 到原点的距离OP=_______．3、已知双曲线xy=1与直线y=－x+b 无交点，则b 的取值范围是______．4、反比例函数y=k x的图像经过点P （a ，b ），其中a ，b 是一元二次方程x 2+kx+4=0的两个根，那么点P 的坐标是_______．5、如图，已知双曲线)0k (xky ＞经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k ＝___．第5题图 第6题图 6、如图，已知点A 是一次函数y=x 的图像与反比例函数y=2x的图像在第一象限内的交点，点B 在x 轴的负半轴上，且OA=OB ，那么△AOB 的面积为（ ） A ．2 B ．22C ．2D ．22 7、已知P 为函数y=2x的图像上一点，且P 到原点的距离为3，则符合条件的P 点数为（ ） A ．0个 B ．2个 C ．4个 D ．无数个A B CDEyxO。
(word完整版)反比例函数常见几何模型
反比例函数常见模型一、知识点回顾1。
反比例函数的图像是双曲线,故也称双曲线y=k x （k≠0）．其解析式有三种表示方法：①xky = （0≠k ）；②1-=kx y (0≠k ）；③k xy = 2．反比例函数y=kx（k≠0)的性质 （1）当k>0时⇔函数图像的两个分支分别在第一，三象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而减小． （2）当k 〈0时⇔函数图像的两个分支分别在第二，四象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而增大．(3）在反比例函数y=kx中,其解析式变形为xy=k,故要求k 的值(也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积).（4）若双曲线y=k x图像上一点(a,b ）满足a ，b 是方程Z 2－4Z －2=0的两根,求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k,∴k=－2，故双曲线的解析式是y=2x-．（5）由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零,所以图像和x 轴，y 轴都没有交点,但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势．二、新知讲解与例题训练 模型一：如图,点A为反比例函数xky =图象上的任意一点，且AB 垂直于x 轴，则有2||k S OAB =∆例1:如图ABC Rt ∆的锐角顶点是直线y=x+m 与双曲线xm在第一象限的交点，且3=∆AOB S ，（1)求m 的值 （2）求ABC ∆的面积变式题1、如图所示，点1A ,2A ,3A 在x 轴上，且O 1A =21A A =32A A ,分别过1A ，2A ,3A 作y 轴平行线，与反比例函数y=x8(x 〉0)的图像交于点1B ，2B ,3B ，分别过点1B ,2B ,3B 作x 轴的平行线，分别与y 轴交于点1C ,2C ，3C ，连结321,,OB OB OB ，那么图中阴影部分的面积之和为__________2、 如图,点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x=上,且AB ∥x 轴,C 、D 在x 轴上,若四边形ABCD 为矩形,则它的面积为 .模型二：如图:点A 、B 是双曲线)0(≠=k xk y 任意不重合的两点，直线AB 交x 轴于M 点，交y 轴于N 点，再过A 、B 两点分别作y AD ⊥轴于D 点，x BF ⊥轴于F 点，再连结DF 两点，则有：AB DF ||且BM ＝AN例2:如图，一次函数y a x b =+的图象与x 轴,y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数ky x=的图象相交于C ,D 两点，分别过C ,D 两点作y 轴，x 轴的垂线,垂足为E ,F ，连接CF ,DE ．有下列四个结论：①DEF CEF S S ∆∆=；②AOB ∆相似于FOE ∆；③△DCE ≌△CDF ；④A C B D=其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）y DA B ODFAB DF MN xy O例3:一次函数y ax b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于点,M N ，与反比例函数ky x=的图象相交于点,A B ．过点A 分别作AC x ⊥轴,AE y ⊥轴，垂足分别为,C E ；过点B 分别作BF x ⊥轴,BD y ⊥轴，垂足分别为F D ，，AC 与BD 交于点K ,连接CD ． （1）若点A B ，在反比例函数ky x=的图象的同一分支上，如图1,试证明: ①AEDK CFBK S S =四边形四边形；②AN BM =． （2）若点A B ，分别在反比例函数ky x=的图象的不同分支上，如图2，则AN 与BM 还相等吗？试证明你的结论．模型三:如图，已知反比例函数ky x=(k ≠0,x>0)上任意两点P 、C ，过P 做PA ⊥x 轴，交x 轴于点A ，过C 做CD ⊥x 轴,交x 轴于点D ，则OPC PADC S S ∆=梯形.图1图2例4:如图，在直角坐标系中，一次函数y =k 1x+b 的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A （1，4)、B (4,1）两点，则△AOB 的面积是______.反比例函数例5：如图，在直角坐标系中，一次函数1y k x b =+的图象与是______.2k y x=的图象交于A (1，4）、B （3，m ）两点,则△AOB 的面积两点，且点例6：如图1,已知直线12y x =与双曲线(0)k y k x=>交于A 、BA 的横坐标为4．（1）求k的值；（2）如图2，过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)k y k x=>于C 、D 两点（点C 在第一象限且在点A 的左边），当四边形ACBD 的面积为24时，求点C 的坐标．模型四：在矩形AOBC 中，OB =a ，OA =b ,分别以OB ,OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），过F 点的反比例函数(0)ky x x=>的图象与AC边交于点E ，则CE aCF b=.例7：两个反比例函数k y x =和1y x =在第一象限内的图象如图所示,点P 在k y x=的图象上，PC ⊥x轴于点C ，交1y x=的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ,交1y x=的图象于点B ，当点P 在k y x=的图象上运动时，以下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形PAOB 的面积不会发生变化;③PA 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时,点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是 _________（把你认为正确结论的序号都填上）．课堂练习： 一、选择题1、已知m<0，则函数mx y =1与xmy -=2的图像如图，大致是（ ）A. B 。
反比例函数常见几何模型
反比例函数常见模型一、知识点回顾1..反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=kx（k ≠0）．其解析式有三种表示方法：①xk y =（0≠k ）；②1-=kx y （0≠k ）；③k xy = 2．反比例函数y=kx（k ≠0）的性质（1）当k>0时⇔函数图像的两个分支分别在第一，三象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而减小．（2）当k<0时⇔函数图像的两个分支分别在第二，四象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而增大．（3）在反比例函数y=kx中，其解析式变形为xy=k ，故要求k 的值(也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积).（4）若双曲线y=k x图像上一点（a ，b ）满足a ，b 是方程Z 2－4Z －2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k ，∴k=－2，故双曲线的解析式是y=2x-．（5）由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图像和x 轴，y 轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势．二、新知讲解与例题训练 模型一：如图，点A 为反比例函数xk y =图象上的任意一点，且AB 垂直于x 轴，则有2||k S OAB =∆例1：如图ABC Rt ∆的锐角顶点是直线y=x+m 与双曲线y=xm在第一象限的交点，且3=∆AOB S ,（1）求m 的值 （2）求ABC ∆的面积变式题1、如图所示，点1A ,2A ,3A 在x 轴上，且O 1A =21A A =32A A ,分别过1A ,2A ,3A 作y 轴平行线，与反比例函数y=x8(x>0)的图像交于点1B ,2B ,3B ，分别过点1B ,2B ,3B 作x 轴的平行线，分别与y 轴交于点1C ,2C ,3C ,连结321,,OB OB OB ,那么图中阴影部分的面积之和为__________2、 如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x=上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 .模型二：如图：点A 、B 是双曲线)0(≠=k xk y 任意不重合的两点，直线AB 交x 轴于M点，交y 轴于N 点，再过A 、B 两点分别作y AD ⊥轴于D 点，x BF ⊥轴于F 点，再连结DF 两点，则有：AB DF ||且BM ＝ANDFABDF MNxy O例2：如图，一次函数y a x b =+的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数ky x=的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列四个结论：①DEF CEF S S ∆∆=；②AOB ∆相似于FOE ∆；③△DCE ≌△CDF ；④A C B D =其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）例3：一次函数y ax b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于点,M N ，与反比例函数ky x=的图象相交于点,A B ．过点A 分别作AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，垂足分别为,C E ；过点B 分别作BF x ⊥轴，BD y ⊥轴，垂足分别为F D ，，AC 与BD 交于点K ，连接CD ．（1）若点A B ，在反比例函数ky x=的图象的同一分支上，如图1，试证明： ①AEDK CFBK S S =四边形四边形；②AN BM =． （2）若点A B ，分别在反比例函数ky x=的图象的不同分支上，如图2，则AN 与BM 还相等吗？试证明你的结论．y x DC A B OF E图1图2模型三：如图，已知反比例函数ky x=（k ≠0，x>0）上任意两点P 、C ，过P 做PA ⊥x 轴，交x 轴于点A ，过C 做CD ⊥x 轴，交x 轴于点D ，则OPC PADC S S ∆=梯形.例4：如图，在直角坐标系中，一次函数y =k 1x+b 的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A (1,4)、B (4，1)两点，则△AOB 的面积是______.例5：如图，在直角坐标系中，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A （1,4）、B （3，m ）两点，则△AOB 的面积是______.例6：如图1，已知直线12y x =与双曲线(0)ky k x=>交于A 、B 两点，且点A 的横坐标为4． （1）求k 的值；（2）如图2，过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)ky k x=>于C 、D 两点（点C在第一象限且在点A 的左边），当四边形ACBD 的面积为24时，求点C 的坐标．模型四：在矩形AOBC 中，OB =a ，OA =b ，分别以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），过F 点的反比例函数(0)ky x x =>的图象与AC 边交于点E，则CE a CF b=.例7：两个反比例函数k y x =和1y x=在第一象限内的图象如图所示，点P 在k y x =的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交1y x =的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交1y x =的图象于点B ，当点P 在ky x=的图象上运动时，以下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形PAOB 的面积不会发生变化；③PA 与PB始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是 _________（把你认为正确结论的序号都填上）．课堂练习： 一、选择题1、已知m<0，则函数mx y =1与xmy -=2的图像如图，大致是（ ）xB FC E A O yA. B. C. D 2、如图，点A 在双曲线xy 6=上，且OA=4,过点 A 作AC ⊥x 轴，垂足为c ，OA 的垂直平分线交OC 于B,则ABC ∆的周长为（ ）A.72B.5C.74D.22 3、如图，双曲线xky =（k>0）经过矩形OABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D ，若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为（ ） A.x y 1=B. x y 2=C. x y 3=D. xy 6=题 3 题 4 题54、如图，A,B 是函数xy 2=的图像上关于原点对称的任意两点，BC//x 轴，AC//y 轴，ABC ∆的面积记为S ，则S （ ）A.S=2B.S=4C.2<S<4D.S>45、如图所示，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A 在直线y=x 上，其中A 点的横坐标为1，且两条直角边AB ，AC 分别平行于x 轴，y 轴，若双曲线y=kx（k ≠0）与△ABC 有交点，则k 的取值范围是（ ）A ．1<k<2B ．1≤k ≤3C ．1≤k ≤4D ．1≤k<4二、填空题DB AyxO C1、如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x=上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 .2、如图，双曲线)0(2x xy =经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC ＝90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折后得到△AB ＇C ，B ＇点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是 .3、如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOB ＝60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为y = k x，在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ′B ′. （1）当点O ′与点A 重合时，点P 的坐标是 .（2）设P （t ，0）,当O ′B ′与双曲线有交点时，t 的取值范围是 .4、如图，已知双曲线(0)ky k x=<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为 .5、双曲线1y 、2y 在第一象限的图像如图，14y x=， 过1y 上的任意一点A ，作x 轴的平行线交2y 于B ，交y 轴于C ，若1AOB S ∆=，则2y的解析式是 ．课后习练一、填空题1、如图，直线y=kx （k>0）与双曲线y=4x交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则2x 1y 2－7x 2y 1的值等于_______．2、反比例函数y=k x的图像上有一点P （a ，b ），且a ，b 是方程t 2－4t －2=0的两个根，则k=_______；点P 到原点的距离OP=_______．3、已知双曲线xy=1与直线y=－x+b 无交点，则b 的取值范围是______．4、反比例函数y=k x的图像经过点P （a ，b ），其中a ，b 是一元二次方程x 2+kx+4=0的两个根，那么点P 的坐标是_______． 5、如图，已知双曲线)0k (xky ＞=经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k ＝___．第5题图 第6题图与反比例函数y=2x的图像6、如图，已知点A 是一次函数y=x 的图像在第一象限内的交点，点B 在x 轴的负半轴上，且OA=OB ，那么△AOB 的面积为（ ） A ．2 B ．22C ．2D ．22 7、已知P 为函数y=2x的图像上一点，且P 到原点的距离为3，则符合条件的P 点数为（ ） ABCD EyxOA．0个 B．2个 C．4个 D．无数个。
反比例函数常见几何模型归纳(七大模型)(解析版)-初中数学
反比例函数常见几何模型归纳(七大模型)考点归纳【模型1：定值矩形与定值三角形】【模型2：平行线之间的定值三角形】【模型3：“重叠型”定值矩形/定值三角形】【模型4：“喇叭三角形”】【模型5：中点模型】【模型6：比例模型】【模型7：相等模型】考点精讲【模型1：定值矩形与定值三角形】【方法点拨】1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P 在反比例函数y =6x的图象上，过点P 作P A ⊥y 轴，PB ⊥x 轴，垂足分别为A 、B ，则矩形AOBP 的面积是()A.12B.9C.6D.3【答案】C【分析】本题考查了反比例函数y =k x k ≠0 系数k 的几何意义：从反比例函数y =kxk ≠0 图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为k ．因为过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积S 是个定值，即S =k ，据此解答即可．【详解】解：∵点P 在反比例函数y =6x的图象上，过点P 作P A ⊥y 轴，PB ⊥x 轴，∴矩形AOBP 的面积=6 =6．故选：C ．2.如图，点A 是反比例函数y =-4x <0 的图象上的一点，过点A 作平行四边形ABCD ，使B 、C 在x 轴上，点D 在y 轴上，则平行四边形ABCD 的面积为()A.2B.4C.6D.8【答案】B【分析】本题考查了反比例函数y =k x k ≠0 系数k 的几何意义：从反比例函数y =kxk ≠0 图象上任意一点向x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为k ．作AH ⊥OB 于H ，根据平行四边形的性质得AD ∥OB ，则S 平行四边形ABCD =S 矩形AHOD ，再根据反比例函数y =kxk ≠0 系数k 的几何意义得到S 矩形AHOD =-4 =4，所以有S 平行四边形ABCD =4．【详解】解：作AH ⊥OB 于H ，如图，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥OB ，∴S 平行四边形ABCD =S 矩形AHOD ，∵点A 是反比例函数y =-4xx <0 的图象上的一点，∴S 矩形AHOD =-4 =4，∴S 平行四边形ABCD =4．故选：B ．3.如图，A 、B 是反比例函数y =kx(k ≠0)的图象上两点，点C 、D 、E 、F 分别在坐标轴上，若正方形OCAD 的面积为6，则矩形OEBF 的面积为．【答案】6【分析】本题主要考查反比例函数中比例系数k 的几何意义和函数图象的对称性，难易程度适中，是中考较常见的考查点．根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的四边形的面积S 的关系即S =k ，进行解答即可．【详解】解：∵S 正方形OCAD =OD ⋅OC =x A ⋅y A =k =6，∴S 长方形OCAD =OE ⋅OF =x B ⋅y B =k =6．故答案为：6．4.如图是反比例函数y =-4x在第二象限内的图象，则图中矩形BCOA 的面积为．【答案】4【分析】根据矩形的面积公式S 矩形BCOA =AB ⋅BC =a ⋅b =ab ，再根据反比例函数的性质解答即可．本题考查了矩形的面积公式，反比例函数的性质，熟练运用反比例函数的性质是解题的关键．【详解】解：设点B a ,b ，∵四边形BCOA 是矩形，∴AB =a ，BC =b ，∴S 矩形BCOA =AB ⋅BC =a ⋅b =ab ，∵点B 在反比例函数y =-4x在图象上，∴a ⋅b =-4，∴a ⋅b =4，∴S 矩形BCOA =ab =4；故答案为4．【模型2：平行线之间的定值三角形】【方法点拨】5.如图，是反比例函数y =5x 和y =-9x在x 轴上方的图象，x 轴的平行线AB 分别与这两个函数图象相交于点A ，B ，则△AOB 的面积是()A.7B.14C.18D.28【答案】A【分析】本题考查了反比例函数k 的几何意义，利用反比例函数的比例系数的几何意义直接写出答案即可．【详解】解：∵x 轴的平行线AB 分别与这两个函数图象相交于点A ．B ，∴AB ⊥y 轴，∵点A 、B 在反比例函数y =5x 和y =-9x 的x 轴上方的图象上，∴S △AOB =S △COB +S △AOC =12(5+9)=7，故选：A ．6.已知反比例函数y =-6x x <0 与y =2xx >0 的图象如图所示，过y 轴正半轴上的任意一点P 作x 轴的平行线，分别与这两个函数的图象交于M ，N 两点．若点A 是x 轴上的任意一点，连接MA ，NA ，则S △AMN 等于．【答案】4【分析】本题考查了反比例函数k 的几何意义，连接MO ,NO ，根据MN ∥x 轴可得，S △AMN =S △OMN ，进而即可求解．【详解】解：如图所示，连接MO ,NO ，∵MN ∥x 轴∴S △AMN =S △OMN =S △POM +S △PON =-62+22=4故答案为：4．7.如图，在函数y =2x x >0 的图象上任取一点A ，过点A 作y 轴的垂线交函数y =-8xx <0 的图象于点B ，连接OA 、OB ，则△AOB 的面积是．【答案】5【分析】根据反比例函数系数k 的几何意义进行计算即可．理解反比例函数系数k 的几何意义是正确解答的关键．【详解】解：如图，∵点A 在函数y =2xx >0 的图象上，∴S △AOC =12×2=1，又∵点B 在反比例函数y =-8xx <0 的图象上，∴S △BOC =12×8=4，∴S △AOB =S △AOC +S △BOC =1+4=5，故答案为：5．8.如图，B 、C 两点分别在函数y =5x (x >0)和y =-1x(x <0)的图象上，线段BC ⊥y 轴，点A 在x 轴上，则△ABC 的面积为．【答案】3【分析】设B m ,n ，则mn =5，结合BC ⊥y 轴，得到C -1n ,n ，计算BC =m --1n =m +1n，根据平行线间的距离处处相等，得到△ABC 的面积为1BC ·y B =1m +1×n 计算即可．本题考查了反比例函数的性质，平行线间距离处处相等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．【详解】设B m ,n ，根据题意，得mn =5，∵BC ⊥y 轴，∴C -1n ,n ，∴BC =m --1n =m +1n，根据平行线间的距离处处相等，得到△ABC 的面积为12BC ·y B =12m +1n ×n =12mn +1 =3，故答案为：3．【模型3：“重叠型”定值矩形/定值三角形】【方法点拨】9.如图，点A 在反比例函数y =1x 的图像上，点B 在反比例函数y =3x的图像上，且AB ∥x 轴，点C ．D 在x 轴上，若四边形ABCD 为长方形，则它的面积为．【答案】2【分析】此题考查了反比例函数的系数k 的几何意义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．首先延长BA 交y 轴于点E ，易得四边形ADOE 与四边形BCOE 是矩形，又由点A 在反比例函数y =1x 的图像上，点B 在反比例函数y =3x的图像上，即可得S 矩形ADOE =1,S 矩形BCOE =3，继而求得答案．【详解】解：延长BA 交y 轴于点E ，∵四边形ABCD 为矩形，且AB ∥x 轴，点C 、D 在x 轴上，∴AE ⊥y 轴，∴四边形ADOE 与四边形BCOE 是矩形，∵点A 在反比例函数y =1x 的图像上，点B 在反比例函数y =3x的图像上，∴S 矩形ADOE =1,S 矩形BCOE =3，∴S 矩形ABCD =S 矩形BCOE -S 矩形ADOE =3-1=2．故答案为：2．10.如图，点A 、B 分别是反比例函数y =3xx >0 的图象上两点，分别过点A 、B 向坐标轴作垂线，四边形ACEG 的面积记作S 1，四边形BFDG 的面积记作S 2，则S 1S 2(填>、<或=)．【答案】=【分析】本题考查了反比例系数k 的几何意义，在反比例函数y =kx图像中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值k ，在反比例函数的图像上任意一点作坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12k ，且保持不变．根据反比例函数解析式中k 的几何意义可知S 矩形ACOD =S 矩形BEOF =3，设S 矩形DOEG =m ，得出S 1=3-m ，S 2=3-m ，即可得出答案．【详解】解：∵A ，B 两点在反比例函数y =3xx >0 的图像上，∴S 矩形ACOD =S 矩形BEOF =3，设S 矩形DOEG =m ，∴S 1=3-m ，S 2=3-m ，∴S 1=S 2．故答案为：=．11.如图，平行于x 轴的直线l 与函数y =6x (x >0)和y =2x(x >0)的图象分别相交于A ,B 两点，分别连接AO 、BO ，则△ABO 的面积为．【答案】2【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，k 的几何意义，设l 交y 轴于点M ，根据反比例函数k 的几何意义，得出S △ABO =S △AOM -S △BOM =2，即可求解．【详解】解：如图，设l 交y 轴于点M ，∵S △AOM =3，S △BOM =1，则S △ABO =S △AOM -S △BOM =2，故答案为：2．12.如图，点A 在双曲线y =1x 上，点B 在双曲线y =3x上，且AB ∥x 轴，则△ABO 的面积是．【答案】1【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，延长BA 交y 轴于C ，则AB ⊥y 轴，根据反比例函数比例系数的几何意义可得S △AOC =12，S △BOC =32，则S △AOB =S △BOC -S △AOC =1．【详解】解：如图所示，延长BA 交y 轴于C ，∵AB ∥x 轴，∴AB ⊥y 轴，∵点A 在双曲线y =1x 上，点B 在双曲线y =3x上，∴S △AOC =12，S △BOC =32，∴S △AOB =S △BOC -S △AOC =1，故答案为：1．【模型4：“喇叭三角形”】【方法点拨】13.如图，点A ，B ，在反比例函数y =4x的图象上，连接OA ，OB ，分别过点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，图中两块阴影部分面积分别为S 1、S 2；若S 1=1，则AMBN=．【答案】2【分析】本题考查的是反比例函数系数k 的几何意义，熟知在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积为12|k |是解答此题的关键．利用k 的几何意义求出△OAM 、△OBN 的面积，然后求出△OCM 的面积，利用相似三角形的性质得到S △OCM S △OBN =OM ON 2即可求解．【详解】解：设OB 交AM 于点C ，∵分别过点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，∴S △OAM =S △OBN =2，∴S △OCM =S △OAM -S 1=2-1=1，又∵AM ∥BN ，∴△OCM ∽△OBN ，∴S △OCM S △OBN =OM ON2=12，∴OM ON=22，又∵OM ⋅AM =ON ⋅BN ，∴AM BN =ON OM =2．故答案为：214.如图是一个反比例函数(x >0)的图象，点A (2，4)在图象上，AC ⊥x 轴于C ，当点A 运动到图象上的点B (4，2)处，BD ⊥x 轴于D ，△AOC 与△BOD 重叠部分的面积为()A.1B.2C.34D.13【答案】A【解答】解：如图所示：∵点A (2，4)，点B (4，2)，AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，∴点C 的坐标为(2，0)，点D 的坐标为(4，0)，AC ∥BD ，∴△OCE ∽△ODB ，∴OC OD =CE DB ，即24=CE 2解得CE =1，∴S △OCE OC ⋅CE 2=2×12=1，即△AOC 与△BOD 重叠部分的面积为1．故选：A ．15.如图，过反比例函数y =9x(x >0)的图象上任意两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OA 、OB ，设△AOC 和△BOD 的面积分别是S 1、S 2，比较它们的大小，可得()A.S 1>S 2B.S 1=S 2C.S 1<S 2D.大小关系不能确定【答案】B 【解答】解：由于A 、B 均在反比例函数y =9x 的图象上，且AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，则S 1=92；S 2=92．故S 1=S 2．故选：B ．16.如图，在第一象限内，点P (2，3)，M (a ，2)是双曲线y =k x (k ≠0)上的两点，P A ⊥x 轴于点A ，MB ⊥x 轴于点B ，P A 与OM 交于点C ，则△OAC 的面积为()A.32B.43C.2D.83【答案】B 【解答】解：把P (2，3)，M (a ，2)代入y =k x得k =2×3=2a ，解得k =6，a =3，设直线OM 的解析式为y =mx ，把M (3，2)代入得3m =2，解得m =23，所以直线OM 的解析式为y =23x ，当x =2时，y =23×2=43，所以C 点坐标为(2，43)，所以△OAC 的面积=12×2×43=43．故选：B ．【方法点拨】条件：A /B 两点分别位y =k x上不同两点，延长AB 交x 轴与点F ，B 位AF 的中点结论：①▲ACF ~▲BDF ，且相似比为BF AF =12。
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【最新整理，下载后即可编辑】反比例函数常见模型一、知识点回顾1..反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=k x（k≠0）．其解析式有三种表示方法：①xk y = （0≠k ）；②1-=kx y （0≠k ）；③k xy =2．反比例函数y=k x（k≠0）的性质（1）当k>0时⇔函数图像的两个分支分别在第一，三象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而减小．（2）当k<0时⇔函数图像的两个分支分别在第二，四象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而增大．（3）在反比例函数y=k x 中，其解析式变形为xy=k ，故要求k 的值(也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积).（4）若双曲线y=k x图像上一点（a ，b ）满足a ，b 是方程Z 2－4Z －2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k ，∴k=－2，故双曲线的解析式是y=2x-． （5）由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图像和x 轴，y 轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势．二、新知讲解与例题训练 模型一：如图，点A 为反比例函数xk y =图象上的任意一点，且AB 垂直于x 轴，则有2||k S OAB =∆例1：如图ABC Rt ∆的锐角顶点是直线y=x+m 与双曲线y=m 在第一象限的交点，且3=∆AOB S ,（1）求m 的值 （2）求ABC ∆的面积变式题1、如图所示，点1A ,2A ,3A 在x 轴上，且O 1A =21A A =32A A ,分别过1A ,2A ,3A 作y 轴平行线，与反比例函数y=x8(x>0)的图像交于点1B ,2B ,3B ，分别过点1B ,2B ,3B 作x 轴的平行线，分别与y 轴交于点1C ,2C ,3C ,连结321,,OB OB OB ,那么图中阴影部分的面积之和为__________2、 如图，点A 在双曲线1y x=上，点B 在双曲线3y x=上，且AB∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 .模型二：如图：点A 、B 是双曲线)0(≠=k xk y 任意不重合的两点，直线AB交x 轴于M 点，交y 轴于N 点，再过A 、B 两点分别作y AD ⊥轴于D 点，x BF ⊥轴于F 点，再连结DF 两点，则有：AB DF ||且BM ＝AN例2：如图，一次函数y a x b =+的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数kyx=的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列四个结论：①DEF CEFS S ∆∆=；②AOB ∆相似于FOE ∆；③△DCE≌△CDF ；④A CB D =其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）y xDC A BOFEDFABDF MN xy O例3：一次函数y ax b=+的图象分别与x轴、y轴交于点,M N，与反比例函数kyx=的图象相交于点,A B．过点A分别作AC x⊥轴，AE y⊥轴，垂足分别为,C E；过点B分别作BF x⊥轴，BD y⊥轴，垂足分别为F D，，AC与BD交于点K，连接CD．（1）若点A B，在反比例函数kyx=的图象的同一分支上，如图1，试证明：①AEDK CFBKS S=四边形四边形；②AN BM=．（2）若点A B，分别在反比例函数kyx=的图象的不同分支上，如图2，则AN与BM还相等吗？试证明你的结论．模型三：如图，已知反比例函数kyx=（k≠0，x>0）上任意两点P、C，过P做PA⊥x轴，交x轴于点A，过C做CD⊥x轴，交x轴于点D，则OPC PADCS S∆=梯形.图1 图2例4：如图，在直角坐标系中，一次函数y =k 1x+b 的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A (1,4)、B (4，1)两点，则△AOB 的面积是______.例5：如图，在直角坐标系中，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A （1,4）、B （3，m ）两点，则△AOB 的面积是______.例6：如图1，已知直线12y x =与双曲线(0)k y k x=>交于A 、B 两点，且点A 的横坐标为4． （1）求k 的值；（2）如图2，过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)k y k x=>于C 、D 两点（点C 在第一象限且在点A 的左边），当四边形ACBD 的面积为24时，求点C 的坐标．模型四：在矩形AOBC 中，OB =a ，OA =b ，分别以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），过F 点的反比例函数(0)k y x x=>的图象与AC 边交于点E ，则CEaCFb=.例7：两个反比例函数k y x=和1y x=在第一象限内的图象如图所示，点P 在k y x=的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交1y x=的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交1y x=的图象于点B ，当点P 在k y x=的图象上运动时，以下结论： ①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形PAOB 的面积不会发xBFC EAOy生变化；③PA 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是 _________（把你认为正确结论的序号都填上）．课堂练习： 一、选择题1、已知m<0，则函数mx y =1与xmy -=2的图像如图，大致是（ ）A. B. C. D2、如图，点A 在双曲线xy 6=上，且OA=4,过点A 作AC ⊥x 轴，垂足为c ，OA 的垂直平分线交OC于B,则ABC ∆的周长为（ ）A.72B.5C.74D.223、如图，双曲线xk y =（k>0）经过矩形OABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D ，若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为（ ）A.xy 1= B.xy 2=C.xy 3=D.x y 6=题 3 题 4 题54、如图，A,B 是函数xy 2=的图像上关于原点对称的任意两点，BC//x 轴，AC//y 轴，ABC ∆的面积记为S ，则S （ ）A.S=2B.S=4C.2<S<4D.S>45、如图所示，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A 在直线y=x 上，其中A 点的横坐标为1，且两条直角边AB ，AC 分别平行于x 轴，y 轴，若双曲线y=k x（k≠0）与△ABC 有交点，则k 的取值范围是（ ）A ．1<k<2B ．1≤k≤3C ．1≤k≤4 D．1≤k<4二、填空题1、如图，点A 在双曲线1y x=上，点B 在双曲线3y x=上，且AB∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 .2、如图，双曲线)0(2 x xy =经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC ＝90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折后得到△AB ＇C ，B ＇点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是 . 3、如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOB ＝60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为y = k x，在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ′B ′.（1）当点O ′与点A 重合时，点P 的坐标是 .（2）设P （t ，0）,当O ′B ′与双曲线有交点时，t 的取值范围是 .4、如图，已知双曲线(0)k y k x=<经过直角三角形OAB 斜边OA 的DBAyxOC中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（6-，4），则△AOC的面积为.5、双曲线1y、2y在第一象限的图像如图，14yx=，过1y上的任意一点A，作x轴的平行线交2y于B，交y轴于C，若1AOBS∆=，则2y的解析式是．课后习练一、填空题1、如图，直线y=kx（k>0）与双曲线y=4x交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2－7x2y1的值等于_______．2、反比例函数y=kx的图像上有一点P（a，b），且a，b是方程t2－4t－2=0的两个根，则k=_______；点P到原点的距离OP=_______．3、已知双曲线xy=1与直线y=－x+b无交点，则b的取值范围是______．4、反比例函数y=kx的图像经过点P（a，b），其中a，b是一元学习靠自觉，进步靠努力，每天比别人多付出一点点，将来比别人收获多许多!!! 【最新整理，下载后即可编辑】 二次方程x 2+kx+4=0的两个根，那么点P 的坐标是_______．5、如图，已知双曲线)0k (xk y ＞ 经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k ＝___．第5题图 第6题图6、如图，已知点A 是一次函数y=x 的图像与反比例函数y=2x 的图像在第一象限内的交点，点B 在x 轴的负半轴上，且OA=OB ，那么△AOB 的面积为（ ）A ．2B ．22C ．2D ．22 7、已知P 为函数y=2x 的图像上一点，且P 到原点的距离为3，则符合条件的P 点数为（ ） A ．0个 B ．2个C ．4个D ．无数个AB CD E y x O。
反比例函数中k的几何意义常见7大模型
反比例函数中k的几何意义常见7大模型摘要：一、反比例函数的基本概念和性质二、反比例函数k的几何意义1.矩形面积模型2.三角形面积模型3.梯形面积模型4.平行四边形面积模型5.菱形面积模型6.圆面积模型7.椭圆面积模型三、总结与实践应用正文：反比例函数是数学中一种重要的函数类型，其一般形式为y = k/x，其中k 为常数，x是自变量，y是自变量x的函数。
在反比例函数中，k的几何意义尤为重要。
首先，我们来回顾一下反比例函数的基本性质。
当k>0时，函数图像位于第一、第三象限；当k<0时，函数图像位于第二、第四象限。
此外，反比例函数的图像具有对称性，即关于原点对称。
接下来，我们来探讨反比例函数k的几何意义。
1.矩形面积模型：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N，则矩形PMON的面积为SPM·PNy·xxyk。
因此，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数，从而有k的绝对值。
2.三角形面积模型：在反比例函数的图像中，任取一点P，作x轴、y轴的垂线PM、PN，连接PM、PN与原点O，构成一个三角形。
根据三角形的面积公式，可得到三角形面积与k的关系。
3.梯形面积模型：在反比例函数的图像中，任取一点P，作x轴、y轴的垂线PM、PN，连接PM、PN与原点O，构成一个梯形。
根据梯形的面积公式，可得到梯形面积与k的关系。
4.平行四边形面积模型：在反比例函数的图像中，任取一点P，作x轴、y 轴的垂线PM、PN，连接PM、PN与原点O，构成一个平行四边形。
根据平行四边形的面积公式，可得到平行四边形面积与k的关系。
5.菱形面积模型：在反比例函数的图像中，任取一点P，作x轴、y轴的垂线PM、PN，连接PM、PN与原点O，构成一个菱形。
根据菱形的面积公式，可得到菱形面积与k的关系。
6.圆面积模型：在反比例函数的图像中，任取一点P，作x轴、y轴的垂线PM、PN，连接PM、PN与原点O，构成一个圆。
反比例函数常见几何模型
反比例函数常见几何模型反比例函数是一种特殊的函数类型，它描述了一种比例关系，其中一个变量的变化与另一个变量的变化成反比。
它在数学上的一般形式为y=k/x，其中k是一个常数，x和y是变量。
在几何学中，反比例函数常见于许多不同的模型中。
以下是一些常见的几何模型，这些模型可以用反比例函数来描述。
1.电阻和电流：欧姆定律描述了电阻和电流之间的关系，即电流与电阻成反比。
根据欧姆定律，电流I在电阻R中的关系为I=V/R，其中V是电压。
这个关系可以使用反比例函数来描述。
2.凸透镜的放大力：凸透镜的放大力与物体离透镜的距离成反比。
放大力是指通过透镜放大影像的能力。
根据物理学的知识，放大力F与物体离透镜的距离s的关系为F=k/s，其中k是一个常数。
这个关系可以使用反比例函数来表示。
3.时间和速度：根据物理学中的速度定义，速度v等于物体所走的距离d除以所花费的时间t。
因此，速度与时间成反比。
速度v和时间t之间的关系可以表示为v=k/t，其中k是一个常数。
这个关系可以使用反比例函数来描述。
4.管道流量和管道直径：在液体或气体流体力学中，管道的直径和流量之间成反比。
根据伯努利原理，如果管道的截面积减小，则液体或气体的速度增加，从而使流量增加。
因此，管道的直径和流量之间的关系可以用反比例函数表示。
5.球体的表面积和半径：球体的表面积与其半径成反比。
根据数学知识，球体的表面积S与其半径r之间的关系为S=4πr^2、从这个方程可以看出，当半径增加时，表面积会减小。
因此，球体的表面积和半径之间可以用反比例函数描述。
6.声波的衰减：声波在传播过程中会经历衰减，衰减的程度与传播距离成反比。
声波的衰减率与传播距离之间的关系可以用反比例函数来描述。
以上是反比例函数在几何模型中的一些常见应用。
这些模型在科学研究和实际应用中都具有重要的意义。
通过理解和运用反比例函数，我们可以更好地了解和解释这些几何模型。
初中数学解题模型专题讲解36---反比例函数常见几何模型
初中数学解题模型专题讲解 专题36 反比例函数常见模型一、知识点回顾1..反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=kx（k≠0）．其解析式有三种表示方法：①xky = （0≠k ）；②1−=kx y （0≠k ）；③k xy =2．反比例函数y=kx（k≠0）的性质 （1）当k>0时⇔函数图像的两个分支分别在第一，三象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而减小．（2）当k<0时⇔函数图像的两个分支分别在第二，四象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而增大．（3）在反比例函数y=kx中，其解析式变形为xy=k ，故要求k 的值(也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积).（4）若双曲线y=kx图像上一点（a ，b ）满足a ，b 是方程Z 2－4Z －2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k ，k=∴－2，故双曲线的解析式是y=2x−． （5）由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图像和x 轴，y 轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势．二、新知讲解与例题训练 模型一模型一：：如图如图，，点A 为反比例函数xk y =图象上的任意一点图象上的任意一点，，且AB 垂直于x 轴，则有2||k S OAB =∆例1：如图ABC Rt ∆的锐角顶点是直线y=x+m 与双曲线y=xm在第一象限的交点，且3=∆AOB S ,（1）求m 的值 （2）求ABC ∆的面积变式题1、如图所示，点1A ,2A ,3A 在x 轴上，且O 1A =21A A =32A A ,分别过1A ,2A ,3A 作y 轴平行线，与反比例函数y=x8(x>0)的图像交于点1B ,2B ,3B ，分别过点1B ,2B ,3B 作x 轴的平行线，分别与y 轴交于点1C ,2C ,3C ,连结321,,OB OB OB ,那么图中阴影部分的面积之和为__________2、 如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x=上，且AB∥x 轴，C、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 .模型二模型二：：如图如图：：点A 、B 是双曲线)0(≠=k xky 任意不重合的两点任意不重合的两点，，直线AB 交x 轴于M 点，交y 轴于N 点，再过A 、B 两点分别作y AD ⊥轴于D 点，x BF ⊥轴于F 点，再连结DF 两点两点，，则有则有：：AB DF ||且BM ＝AN例2：如图，一次函数y ax b =+的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数ky x=的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列四个结论：①DEF CEF S S ∆∆=；②AOB ∆相似于FOE ∆；③△DCE ≌△CDF ；④AC BD =其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）例3：一次函数y ax b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于点,M N ，与反比例函数k y x=的 DF图象相交于点,A B ．过点A 分别作AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，垂足分别为,C E ；过点B 分别作BF x ⊥轴，BD y ⊥轴，垂足分别为F D ，，AC 与BD 交于点K ，连接CD ． （1）若点A B ，在反比例函数ky x=的图象的同一分支上，如图1，试证明： ①AEDK CFBK S S =四边形四边形；②AN BM =． （2）若点A B ，分别在反比例函数ky x=的图象的不同分支上，如图2，则AN 与BM 还相等吗？试证明你的结论．模型模型三三：如图，已知反比例函数ky x=（k ≠0，x>0）上任意两点P 、C ，过P 做PA ⊥x 轴，交x 轴于点A ，过C 做CD ⊥x 轴，交x 轴于点D ，则OPC PADC S S ∆=梯形.例4：如图，在直角坐标系中，一次函数y =k 1x+b 的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A (1,4)、B (4，1)两点，则△AOB 的面积是______.例5：如图，在直角坐标系中，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A （1,4）、B （3，m ）两点，则△AOB 的面积是______.例6：如图1，已知直线12y x =与双曲线(0)ky k x=>交于A 、B 两点，且点A 的横坐标为4． （1）求k 的值；（2）如图2，过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)ky k x=>于C 、D 两点（点C 在第一象限且在点A 的左边），当四边形ACBD 的面积为24时，求点C 的坐标．模型模型四四：在矩形AOBC 中，OB =a ，OA =b ，分别以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系所示的平面直角坐标系．．F 是BC 上的一个动点上的一个动点（（不与B 、C 重合重合），），过过F 点的反比例函数(0)ky x x=>的图象与AC 边交于点E ，则CE aCF b=.例7：两个反比例函数k y x =和1y x =在第一象限内的图象如图所示，点P 在ky x=的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交1y x =的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交1y x=的图象于点B ，当点P 在ky x=的图象上运动时，以下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形P AOB 的面积不会发生变化；③P A 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是 _________（把你认为正确结论的序号都填上）．课堂练习课堂练习：： 一、选择题x1、已知m<0，则函数mx y =1与xmy −=2的图像如图，大致是（ ）A. B. C. D 2、如图，点A 在双曲线xy 6=上，且OA=4,过点 A 作AC ⊥x 轴，垂足为c ，OA 的垂直平分线交OC于B,则ABC ∆的周长为（ ）A.72B.5C.74D.22 3、如图，双曲线xky =（k>0）经过矩形OABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D ，若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为（ ）A.x y 1=B. x y 2=C. x y 3=D. xy 6=题3 题4 题5 4、如图，A,B 是函数xy 2=的图像上关于原点对称的任意两点，BC//x 轴，AC//y 轴，ABC ∆的面积记为S ，则S （ ）A.S=2B.S=4C.2<S<4D.S>45、如图所示，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A 在直线y=x 上，其中A 点的横坐标为1，且两条直角边AB ，AC 分别平行于x 轴，y 轴，若双曲线y=kx（k≠0）与ABC △有交点，则k 的取值范围是（ ） A ．1<k<2 B ．1≤k≤3 C ．1≤k≤4 D ．1≤k<4二、填空题1、如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x=上，且AB∥x 轴，C、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 .2、如图，双曲线)0(2f x xy =经过四边形OABC 的顶点A、C，∠ABC＝90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折后得到△AB＇C，B＇点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是 .3、如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOB ＝60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为y = kx ，在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ′B ′. （1）当点O ′与点A 重合时，点P 的坐标是.（2）设P （t ，0）,当O ′B ′与双曲线有交点时，t 的取值范围是 .4、如图，已知双曲线(0)ky k x=<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6−，4），则△AOC 的面积为 .5、双曲线1y 、2y 在第一象限的图像如图，14y x=， 过1y 上的任意一点A ，作x 轴的平行线交2y 于B ， 交y 轴于C ，若1AOB S ∆=，则2y 的解析式是 ．课后习练 一、填空题1、如图，直线y=kx （k>0）与双曲线y=4x交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则2x 1y 2－7x 2y 1的值等于_______．2、反比例函数y=kx的图像上有一点P （a ，b ），且a ，b 是方程t 2－4t －2=0的两个根，则k=_______；点P 到原点的距离OP=_______．3、已知双曲线xy=1与直线y=－无交点，则b 的取值范围是______． 4、反比例函数y=kx的图像经过点P （a ，b ），其中a ，b 是一元二次方程x 2+kx+4=0的两个根，那么点P 的坐标是_______．5、如图，已知双曲线)0k (xk y ＞=经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k ＝___．第5题图 第6题图6、如图，已知点A 是一次函数y=x 的图像与反比例函数y=2x的图像在第一象限内的交点，点B 在x 轴的负半轴上，且OA=OB ，那么AOB △的面积为（ ） A ．2 BCD ．7、已知P 为函数y=2x的图像上一点，且P，则符合条件的P 点数为（ ）A ．0个B ．2个C ．4个D ．无数个。
反比例函数常见几何模型
反比例函数常见模型一、知识点回顾1..反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=kx（k ≠0）．其解析式有三种表示方法：①xk y =（0≠k ）；②1-=kx y （0≠k ）；③k xy = 2．反比例函数y=kx（k ≠0）的性质（1）当k>0时⇔函数图像的两个分支分别在第一，三象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而减小．（2）当k<0时⇔函数图像的两个分支分别在第二，四象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而增大．（3）在反比例函数y=kx中，其解析式变形为xy=k ，故要求k 的值(也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积).（4）若双曲线y=kx图像上一点（a ，b ）满足a ，b 是方程Z 2－4Z －2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k ，∴k=－2，故双曲线的解析式是y=2x-． （5）由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图像和x 轴，y 轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势．二、新知讲解与例题训练 模型一：如图，点A 为反比例函数xk y =图象上的任意一点，且AB 垂直于x 轴，则有2||k S OAB =∆例1：如图ABC Rt ∆的锐角顶点是直线y=x+m 与双曲线y=xm在第一象限的交点，且3=∆AOB S ,（1）求m 的值 （2）求ABC ∆的面积变式题1、如图所示，点1A ,2A ,3A 在x 轴上，且O 1A =21A A =32A A ,分别过1A ,2A ,3A 作y 轴平行线，与反比例函数y=x8(x>0)的图像交于点1B ,2B ,3B ，分别过点1B ,2B ,3B 作x 轴的平行线，分别与y 轴交于点1C ,2C ,3C ,连结321,,OB OB OB ,那么图中阴影部分的面积之和为__________2、 如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x=上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 .模型二：如图：点A 、B 是双曲线)0(≠=k xk y 任意不重合的两点，直线AB 交x 轴于M点，交y 轴于N 点，再过A 、B 两点分别作y AD ⊥轴于D 点，x BF ⊥轴于F 点，再连结DF 两点，则有：AB DF ||且BM ＝AN例2：如图，一次函数y a x b =+的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数ky x=的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列四个结论：①DEF CEF S S ∆∆=；②AOB ∆相似于FOE ∆；③△DCE ≌△CDF ；④A C B D=其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）yxDC A B OFEDFAB DF MN xy O例3：一次函数y ax b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于点,M N ，与反比例函数ky x=的图象相交于点,A B ．过点A 分别作AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，垂足分别为,C E ；过点B 分别作BF x ⊥轴，BD y ⊥轴，垂足分别为F D ，，AC 与BD 交于点K ，连接CD ．（1）若点A B ，在反比例函数ky x=的图象的同一分支上，如图1，试证明： ①AEDK CFBK S S =四边形四边形；②AN BM =． （2）若点A B ，分别在反比例函数ky x=的图象的不同分支上，如图2，则AN 与BM 还相等吗？试证明你的结论．图1图2模型三：如图，已知反比例函数ky x=（k ≠0，x>0）上任意两点P 、C ，过P 做PA ⊥x 轴，交x 轴于点A ，过C 做CD ⊥x 轴，交x 轴于点D ，则OPC PADC S S ∆=梯形.例4：如图，在直角坐标系中，一次函数y =k 1x+b 的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A (1,4)、B (4，1)两点，则△AOB 的面积是______.例5：如图，在直角坐标系中，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2k y x =的图象交于A （1,4）、B （3，m ）两点，则△AOB 的面积是______.例6：如图1，已知直线12y x =与双曲线(0)ky k x=>交于A 、B 两点，且点A 的横坐标为4． （1）求k 的值；（2）如图2，过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)ky k x=>于C 、D 两点（点C 在第一象限且在点A 的左边），当四边形ACBD 的面积为24时，求点C 的坐标．模型四：在矩形AOBC 中，OB =a ，OA =b ，分别以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），过F 点的反比例函数(0)ky x x=>的图象与AC边交于点E ，则CE aCF b=.例7：两个反比例函数k y x =和1y x =在第一象限内的图象如图所示，点P 在k y x=的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交1y x =的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交1y x =的图象于点B ，当点P 在ky x=的图象上运动时，以下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形PAOB 的面积不会发生变化；③PA 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是 _________（把你认为正确结论的序号都填上）．课堂练习：xBFC EAOy一、选择题1、已知m<0，则函数mx y =1与xmy -=2的图像如图，大致是（ ）A. B. C. D 2、如图，点A 在双曲线xy 6=上，且OA=4,过点 A 作AC ⊥x 轴，垂足为c ，OA 的垂直平分线交OC 于B,则ABC ∆的周长为（ ）A.72B.5C.74D.22 3、如图，双曲线xky =（k>0）经过矩形OABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D ，若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为（ ） A.x y 1= B. x y 2= C. x y 3= D. xy 6=题3 题4 题5 4、如图，A,B 是函数xy 2=的图像上关于原点对称的任意两点，BC//x 轴，AC//y 轴，ABC ∆的面积记为S ，则S （ ）A.S=2B.S=4C.2<S<4D.S>45、如图所示，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A 在直线y=x 上，其中A 点的横坐标为1，且两条直角边AB ，AC 分别平行于x 轴，y 轴，若双曲线y=kx（k ≠0）与△ABC 有交点，则k 的取值范围是（ ）A ．1<k<2B ．1≤k ≤3C ．1≤k ≤4D ．1≤k<4二、填空题1、如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x=上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 .2、如图，双曲线)0(2x xy =经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC ＝90°，OC 平分DBAyxOC OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折后得到△AB ＇C ，B ＇点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是 .3、如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOB ＝60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为y = k x，在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ′B ′. （1）当点O ′与点A 重合时，点P 的坐标是.（2）设P （t ，0）,当O ′B ′与双曲线有交点时，t 的取值范围是 .4、如图，已知双曲线(0)ky k x=<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为 .5、双曲线1y 、2y 在第一象限的图像如图，14y x=，过1y 上的任意一点A ，作x 轴的平行线交2y 于B ，交y 轴于C ，若1AOB S ∆=，则2y的解析式是 ．课后习练一、填空题1、如图，直线y=kx （k>0）与双曲线y=4x交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则2x 1y 2－7x 2y 1的值等于_______．2、反比例函数y=k x的图像上有一点P （a ，b ），且a ，b 是方程t 2－4t －2=0的两个根，则k=_______；点P 到原点的距离OP=_______．3、已知双曲线xy=1与直线y=－x+b 无交点，则b 的取值范围是______．4、反比例函数y=k x的图像经过点P （a ，b ），其中a ，b 是一元二次方程x 2+kx+4=0的两个根，那么点P 的坐标是_______．角三角形OAB 斜边OB 的5、如图，已知双曲线)0k (x k y ＞=经过直中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k ＝___．A B C D E y x O第5题图 第6题图6、如图，已知点A 是一次函数y=x 的图像与反比例函数y=2x的图像在第一象限内的交点，点B 在x 轴的负半轴上，且OA=OB ，那么△AOB 的面积为（ ）A ．2B ．2 C D ．7、已知P 为函数y=2x的图像上一点，且P P 点数为（ ）A ．0个B ．2个C ．4个D ．无数个。
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反比例函数常见模型一、知识点回顾1..反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=k x（k≠0）．其解析式有三种表示方法：①xky =（0≠k ）；②1-=kx y （0≠k ）；③k xy = 2．反比例函数y=k x（k≠0）的性质（1）当k>0时⇔函数图像的两个分支分别在第一，三象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而减小．（2）当k<0时⇔函数图像的两个分支分别在第二，四象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而增大．（3）在反比例函数y=k x中，其解析式变形为xy=k ，故要求k 的值(也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积).（4）若双曲线y=k x图像上一点（a ，b ）满足a ，b 是方程Z 2－4Z －2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k ，∴k=－2，故双曲线的解析式是y=2x-． （5）由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图像和x 轴，y 轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势． 二、新知讲解与例题训练模型一：如图，点A 为反比例函数xk y =图象上的任意一点，且AB 垂直于x 轴，则有2||k S OAB =∆ 例1：如图ABC Rt ∆的锐角顶点是直线y=x+m 与双曲线y=xm在第一象限的交点，且3=∆AOB S ,（1）求m 的值 （2）求ABC ∆的面积变式题1、如图所示，点1A ,2A ,3A 在x 轴上，且O 1A =21A A =32A A ,分别过1A ,2A ,3A 作y 轴平行线，与反比例函数y=x8(x>0)的图像交于点1B ,2B ,3B ，分别过点1B ,2B ,3B 作x 轴的平行线，分别与y 轴交于点1C ,2C ,3C ,连结321,,OB OB OB ,那么图中阴影部分的面积之和为__________2、 如图，点A 在双曲线1y x=上，点B 在双曲线3y x=上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 . 模型二：如图：点A 、B 是双曲线)0(≠=k xk y 任意不重合的两点，直线AB 交x 轴于M 点，交y 轴于N 点，再过A 、B 两点分别作y AD ⊥轴于D 点，x BF ⊥轴于F 点，再连结DF两点，则有：AB DF ||且BM ＝AN例2：如图，一次函数y a x b =+的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两F点，与反比例函数ky x=的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列四个结论：①DEF CEF S S ∆∆=；②AOB ∆相似于FOE ∆；③△DCE ≌△CDF ；④A C B D =其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）例3：一次函数y ax b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于点,M N ，与反比例函数ky x=的图象相交于点,A B ．过点A 分别作AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，垂足分别为,C E ；过点B 分别作BF x ⊥轴，BD y ⊥轴，垂足分别为F D ，，AC 与BD 交于点K ，连接CD ． （1）若点A B ，在反比例函数ky x=的图象的同一分支上，如图1，试证明： ①AEDK CFBK S S =四边形四边形；②AN BM =． （2）若点A B ，分别在反比例函数ky x=的图象的不同分支上，如图2，则AN 与BM 还相等吗？试证明你的结论．模型三：如图，已知反比例函数k y x=（k ≠0，x>0）上任意两点P 、C ，过P 做PA ⊥x 轴，交x 轴于点A ，过C 做CD ⊥x 轴，交x 轴于点D ，则OPC PADC S S ∆=梯形.例4：如图，在直角坐标系中，一次函数y =k 1x+b 的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A (1,4)、B (4，1)两点，图1则△AOB 的面积是______.例5：如图，在直角坐标系中，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A （1,4）、B （3，m ）两点，则△AOB 的面积是______. 例6：如图1，已知直线12y x =与双曲线(0)k y k x=>交于A 、B 两点，且点A 的横坐标为4． （1）求k 的值；（2）如图2，过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)k y k x=>于C 、D 两点（点C 在第一象限且在点A 的左边），当四边形ACBD 的面积为24时，求点C 的坐标． 模型四：在矩形AOBC 中，OB =a ，OA =b ，分别以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），过F 点的反比例函数(0)k y x x=>的图象与AC 边交于点E ，则CE aCF b=. 例7：两个反比例函数ky x=和1y x=在第一象限内的图象如图所示，点P 在k y x=的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交1y x=的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交1y x=的图象于点B ，当点P 在ky x=的图象上运动时，以下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形PAOB 的面积不会发生变化；③PA 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是 _________（把你认为正确结论的序号都填上）． 课堂练习：一、选择题1、已知m<0，则函数mx y =1与xmy -=2的图像如图，大致是（ ） A. B. C. D 点 2、如图，点A 在双曲线xy 6=上，且OA=4,过A 作AC ⊥x 轴，垂足为c ，OA 的垂直平分线交OC于B,则ABC ∆的周长为（ ）A.72B.5C.74D.22 3、如图，双曲线xky =（k>0）经过矩形OABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D ，若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为（ ） A.x y 1=B. x y 2=C. x y 3=D. xy 6= 题3 题4 题5 4、如图，A,B 是函数xy 2=的图像上关于原点对称的任意两点，BC//x 轴，AC//y 轴，ABC ∆的面积记为S ，则S （ ）A.S=2B.S=4C.2<S<4D.S>45、如图所示，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A 在直线y=x 上，其中A 点的横坐标为1，且两条直角边AB ，AC 分别平行于x 轴，y 轴，若双曲线y=k x（k≠0）与△ABC 有交点，则k 的取值范围是（ ）A ．1<k<2B ．1≤k≤3C ．1≤k≤4D ．1≤k<4 二、填空题1、如图，点A 在双曲线1y x=上，点B 在双曲线3y x=上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 .2、如图，双曲线)0(2φx xy =经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC ＝90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折后得到△AB ＇C ，B ＇点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是 .3、如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOB ＝60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为y = k x，在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ′B ′. （1）当点O ′与点A 重合时，点P 的坐标是.（2）设P （t ，0）,当O ′B ′与双曲线有交点时，t 的取值范围是 . 4、如图，已知双曲线(0)k y k x=<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．若点A 的坐标为（6-，4），则△AOC 的面积为 .5、双曲线1y 、2y 在第一象限的图像如图，14y x=， 过1y 上的任意一点A ，作x 轴的平行线交2y 于B ，交y 轴于C ，若1AOB S ∆=，则2y 的解析式是 ． 课后习练 一、填空题1、如图，直线y=kx （k>0）与双曲线y=4x交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则2x 1y 2－7x 2y 1的值等于_______．2、反比例函数y=kx的图像上有一点P （a ，b ），且a ，b 是方程t 2－4t －2=0的两个根，则k=_______；点P 到原点的距离OP=_______．3、已知双曲线xy=1与直线y=－x+b 无交点，则b 的取值范围是______．4、反比例函数y=kx的图像经过点P （a ，b ），其中a ，b 是一元二次方程x 2+kx+4=0的两个根，那么点P 的坐标是_______．5、如图，已知双曲线)0k (xk y ＞=经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB相交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k ＝___．第5题图 第6题图6、如图，已知点A 是一次函数y=x 的图像与反比例函数y=2x的图像在第一象限内的交点，点B 在x 轴的负半轴上，且OA=OB ，那么△AOB 的面积为（ ）A ．2B ．22C ．2D ．22 y7、已知P 为函数y=2x 的图像上一点，且P P 点数为（ ）A ．0个B ．2个C ．4个D ．无数个。