反比例函数中的模型.docx
反比例函数常见几何模型
反比例函数常见模型一、知识点回忆1..反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=kx〔k≠0〕．其解析式有三种表示方法：①xk y =〔0≠k 〕；②1-=kx y 〔0≠k 〕；③k xy = 2．反比例函数y=kx〔k≠0〕的性质〔1〕当k>0时⇔函数图像的两个分支分别在第一，三象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而减小．〔2〕当k<0时⇔函数图像的两个分支分别在第二，四象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而增大．〔3〕在反比例函数y=kx中，其解析式变形为xy=k ，故要求k 的值(也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积).〔4〕假设双曲线y=kx图像上一点〔a ，b 〕满足a ，b 是方程Z 2－4Z －2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k ，∴k=－2，故双曲线的解析式是y=2x-．〔5〕由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图像和x 轴，y 轴都没有交点，但画图时要表达出图像和坐标轴无限贴近的趋势．二、新知讲解与例题训练 模型一：如图，点A 为反比例函数xk y =图象上的任意一点，且AB 垂直于x 轴，那么有2||k S OAB =∆例1：如图ABC Rt ∆的锐角顶点是直线y=x+m 与双曲线y=xm在第一象限的交点，且3=∆AOB S ,〔1〕求m 的值 〔2〕求ABC ∆的面积变式题1、如下列图，点1A ,2A ,3A 在x 轴上，且O 1A =21A A =32A A ,分别过1A ,2A ,3A 作y 轴平行线，与反比例函数y=x8(x>0)的图像交于点1B ,2B ,3B ，分别过点1B ,2B ,3B 作x 轴的平行线，分别与y 轴交于点1C ,2C ,3C ,连结321,,OB OB OB ,那么图中阴影局部的面积之和为__________2、 如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x=上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，假设四边形ABCD 为矩形，那么它的面积为.模型二：如图：点A 、B 是双曲线)0(≠=k xky 任意不重合的两点，直线AB 交x 轴于M 点，交y 轴于N 点，再过A 、B 两点分别作y AD ⊥轴于D 点，x BF ⊥轴于F 点，再连结DF 两点，那么有：AB DF ||且BM ＝ANDFAB DF MN xy O例2：如图，一次函数y a x b =+的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数ky x=的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有以下四个结论：①DEF CEF S S ∆∆=；②AOB ∆相似于FOE ∆；③△DCE ≌△CDF ；④A C B D =其中正确的结论是．〔把你认为正确结论的序号都填上〕例3：一次函数y ax b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于点,M N ，与反比例函数ky x=的图象相交于点,A B ．过点A 分别作AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，垂足分别为,C E ；过点B 分别作BF x ⊥轴，BD y ⊥轴，垂足分别为F D ，，AC 与BD 交于点K ，连接CD ．〔1〕假设点A B ，在反比例函数ky x=的图象的同一分支上，如图1，试证明： ①AEDK CFBK S S =四边形四边形；②AN BM =． 〔2〕假设点A B ，分别在反比例函数ky x=的图象的不同分支上，如图2，那么AN 与BM 还相等吗？试证明你的结论．y x DC A B O F E模型三：如图，反比例函数ky x=〔k ≠0，x>0〕上任意两点P 、C ，过P 做PA ⊥x 轴，交x 轴于点A ，过C 做CD ⊥x 轴，交x 轴于点D ，那么OPC PADC S S ∆=梯形.图1图2例4：如图，在直角坐标系中，一次函数y =k 1x+b 的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A (1,4)、B (4，1)两点，那么△AOB 的面积是______.例5：如图，在直角坐标系中，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2k y x =的图象交于A 〔1,4〕、B 〔3，m 〕两点，那么△AOB 的面积是______.例6：如图1，直线12y x =与双曲线(0)ky k x=>交于A 、B 两点，且点A 的横坐标为4． 〔1〕求k 的值；〔2〕如图2，过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)ky k x=>于C 、D 两点〔点C 在第一象限且在点A 的左边〕，当四边形ACBD 的面积为24时，求点C 的坐标．模型四：在矩形AOBC 中，OB =a ，OA =b ，分别以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如下列图的平面直角坐标系．F 是BC 上的一个动点〔不与B 、C 重合〕，过F 点的反比例函数(0)ky x x=>的图象与AC 边交于点E ，那么CE aCF b=.xBF C EAOy例7：两个反比例函数k y x =和1y x =在第一象限内的图象如下列图，点P 在k y x=的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交1y x =的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交1y x =的图象于点B ，当点P 在ky x=的图象上运动时，以下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形PAOB 的面积不会发生变化；③PA与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的选项是_________〔把你认为正确结论的序号都填上〕．课堂练习： 一、选择题1、m<0，那么函数mx y =1与xmy -=2的图像如图，大致是〔 〕A. B. C. D 2、如图，点A 在双曲线xy 6=上，且OA=4,过点 A 作AC ⊥x 轴，垂足为c ，OA 的垂直平分线交OC 于B,那么ABC ∆的周长为〔 〕 A.72 B.5C.74D.22 3、如图，双曲线xky =〔k>0〕经过矩形OABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D ，假设梯形ODBC 的面积为3，那么双曲线的解析式为〔 〕 A.x y 1=B.x y 2=C.x y 3=D.xy 6=题3 题4 题5 4、如图，A,B 是函数xy 2=的图像上关于原点对称的任意两点，BC//x 轴，AC//y 轴，ABC ∆的面积记为S ，那么S 〔 〕A.S=2B.S=4C.2<S<4D.S>45、如下列图，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A 在直线y=x 上，其中A 点的横坐标为1，且两条直角边AB ，AC 分别平行于x 轴，y 轴，假设双曲线y=k x〔k≠0〕与△ABC 有交点，那么k 的取值范围是〔 〕A ．1<k<2B ．1≤k≤3C．1≤k≤4 D．1≤k<4二、填空题1、如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x=上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，假设四边形ABCD为矩形，那么它的面积为.DBAyxOC2、如图，双曲线)0(2x xy =经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC ＝90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折后得到△AB ＇C ，B ＇点落在OA上，那么四边形OABC 的面积是.3、如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B 〔2，0〕，∠AOB ＝60°，点A在第一象限，过点A 的双曲线为y = kx，在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ′B ′. 〔1〕当点O ′与点A 重合时，点P 的坐标是.〔2〕设P 〔t ，0〕,当O ′B ′与双曲线有交点时，t 的取值范围是.4、如图，双曲线(0)ky k x=<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB 相交于点C ．假设点A 的坐标为〔6-，4〕，那么△AOC 的面积为.5、双曲线1y 、2y 在第一象限的图像如图，14y x=，过1y 上的任意一点A ，作x 轴的平行线交2y 于B ， 交y 轴于C ，假设1AOB S ∆=，那么2y 的解析式是．课后习练一、填空题1、如图，直线y=kx 〔k>0〕与双曲线y=4x交于A 〔x 1，y 1〕，B 〔x 2，y 2〕两点，那么2x 1y 2－7x 2y 1的值等于_______．2、反比例函数y=kx的图像上有一点P 〔a ，b 〕，且a ，b 是方程t 2－4t －2=0的两个根，那么k=_______；点P 到原点的距离OP=_______．3、双曲线xy=1与直线y=－x+b 无交点，那么b 的取值范围是______．4、反比例函数y=kx的图像经过点P 〔a ，b 〕，其中a ，b 是一元二次方程x 2+kx+4=0的两个根，那么点P 的坐标是_______． 5、如图，双曲线)0k (xky ＞=经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．假设△OBC 的面积为3，那么k ＝___．第5题图 第6题图6、如图，点A 是一次函数y=x 的图像与反比例函数y=2x的图像在第一象限内的交点，点B 在x 轴的负半轴上，且OA=OB ，那么△AOB 的面积为〔 〕 A ．2 B ．22C ．2D ．22 ABCD E yxO. . jz* 7、P 为函数y=2x的图像上一点，且PP 点数为〔〕 A ．0个 B ．2个 C ．4个 D ．无数个。
反比例函数图象中的等角模型及其在中考题中的应用
反比例函数图象中的等角模型及其在中考题中的应用（原创：昆明郑帆)原先自己研究反比例函数图象，得到了以下三条结论，当时以为解决反比例函数图象难题，用好这三条就足够了。
三条结论分别是：结论一：过反比例函数一支上两点分别向x轴和y轴作垂线段，则垂足连线与原两点连线平行。
如图，即AB∥CD。
证明：根据平行线带来的等面积转换，S△ACD=S△ACO=∣k∣/2=S△BDO=S△BDC，即A，B两点到直线CD的距离相等，且位于CD同侧，故AB∥CD。
结论二：三顶点分别在原点、x轴上，y轴上的矩形，若反比例函数图象经过其两边，则两边被分出的两条线段之比对应相等。
如图，即EA：AC=EB：BD证明：连AB，CD，由结论一有AB∥CD，根据相似知识显然结论二成立。
结论三：过双曲线一支上两点作直线与坐标轴相交，则每点与其相邻坐标轴交点构成的线段长相等。
如图，即AE=BF证明：过A作y轴垂线段垂足为C，过B作x轴垂线段垂足为D。
连接CD，由结论一有AB∥CD，则四边形ACDF与BDCE均为平行四边形，得到AC=DF，CE=DB，再通过全等得到△ACE≌△FDB，AE=BF。
另外，这三个结论还有另外一个证明体系，先用面积思想证明结论二，再依次证明结论一和结论三。
现给出结论二的证明：S△CEO=S△DEO（矩形性质），S△CAO=S△BDO（反比例函数图象性质），则S△AEO=S△BEO（等量代换），则S△AEO：S△ACO=S△BEO：S△BDO，即EA：AC=EB：BD至于设点坐标用代数证，一来略超纲，二来繁琐，最重要是没有美感，反正我没有这个习惯。
这三个结论还有一些小的变形，比如一支上的两点变两支上的两点，作垂线的顺序改变等，基本都是结论相同，证明类似，且这些不是今天要讲的重点内容而只是铺垫，因此不再赘述只是给出几张图。
今天要讲的内容：后来才发现，反比例函数图象还有一些模型和结论，不能由前三个结论直接解决，但可以以前三个结论为基础推出结果间接解决。
反比例函数的模型及应用 第一讲
反比例函数模型及应用 第一讲一、反比例函数的四个模型：（证明略）模型一：（1）=ABOC S k 矩形；（2）=2ACO ABO ACN OBM kS S S S ∆∆∆∆===模型二：=ABO AMNB S S ∆梯形;模型三：AM BN =模型四：AB N //M注：以上四个模型中点A 、B 都是反比例函数上的任一点.二、模型的应用例1：如图，一次函数y ax b =+的图象与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数ky x=的图象交于C ，D 两点，过C ，D 两点 分别作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列 四个结论：①△DEF 与△CEF 的面积相等； ②△AOB ∽△FOE ； ③△DCE ≌△CDF ； ④AC=BD ． 其中正确的结论是____________（填写序号）．例2：已知反比例函数(0)ky k x=>的图象与一次函数y=-x+6 相交与第一象限的A 、B 两点，如图所示，过A 、B 两点分别做 x 、y 轴的垂线，线段AC 、BD 相交与P ，给出以下结论：① OA=OB ；②△OAM ∽△OBN ；③若△ABP 的面积是8，则k=5；④ P 点一定在直线y=x 上；其中正确的结论是____________（填 写序号）．例3：（2014遵义）如图，反比例函数(0)ky k x=>的图象与矩 形ABCO 的两边相交于E 、F 两点，若E 是AB 的中点，2BEF S ∆=，则k 得值为____________ .例4：（2013•重庆）如图，在直角坐标系中，正方形OABC 的顶 点O 与原点重合，顶点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，反比例函数(0)ky k x=>的图象与正方形的两边AB 、BC 分别交于点M 、N ， ND ⊥x 轴，垂足为D ，连接OM 、ON 、MN ．下列结论：①△OCN ≌ △OAM ；②四边形DAMN 与△MON 面积相等；③若∠MON=45°， MN=2，则点C的坐标为1)．其中正确的结论是____________（填写序号）．一、反比例函数与几何图形的综合（重庆中考12题） 1. 如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，BC=2AB ，A ，B 两点 的坐标分别是(-1，0)，(0，2)，C ，D 两点在反比例函k y x =（0x <）的图象上，则k 的值为______________．第1题图 第2题图2. 如图，已知第一象限内的点A 在反比例函数2y x=的图象 上，第二象限内的点B 在反比例函数ky x =的图象上，且OA ⊥OB ，，则k 的值为______________．3. 如图，在函数11k y x =（0x <）和22ky x =（0x >）的图象上，分别有A ，B 两点，若AB ∥x 轴，交y 轴于点C ，且OA ⊥OB ，12AOC S =△，92BOC S =△，则线段AB 的长度为__________．第3题图 第4题图4. 如图，等腰直角三角形ABC 的顶点A ，C 在x 轴上，∠ACB= 90°，22AC BC ==3y x=（0x >）的图象分别与AB ，BC 交于点D ，E ．连接DE ，当△BDE ∽△BCA 时，点E 的坐标为______________． 5. 如图，已知直线12y x =与双曲线ky x=（0k >）交于A ，B 两点，点B 的坐标为(-4，-2)，C 为第一象限内双曲线ky x=（0k >）上一点．若△AOC 的面积为6，则点C 的坐标为______________．第5题图 第6题图6. 如图，直线12y x =与双曲线ky x=（0k >，0x >）交于点 A ，将直线12y x =向上平移4个单位长度后，与y 轴交于点C ，与双曲线ky x=（0k >，0x >）交于点B ．若OA=3BC ，则k 的值为____________．7. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，□ABOC 的对角线OA ，BC交于点E ，双曲线ky x =（0k <）经过C ，E 两点．若□ABOC 的面积为10，则k 的值为________________．第7题图第8题图8.如图，正方形ABCD的边BC在x轴上，E是对角线AC，BD的交点．若反比例函数2yx=（0x>）的图象经过A，E两点，则点E的坐标为________________．。
反比例函数19种模型
反比例函数19种模型反比例函数是数学中常见的函数类型之一，用来表示两个变量之间的反比关系。
以下是反比例函数的一些常见模型：1.直线模型：y = k/x，其中k为常数。
2.比例关系模型：y = (kx)/(ax + b)，其中k、a、b为常数。
3.反比例关系模型：y = (k/x) + a，其中k、a为常数。
4.工作时间模型：y = k/t，其中k为常数，t表示时间。
5.人口密度模型：y = k/A，其中k为常数，A表示面积。
6.速度和时间模型：y = k/t，其中k为常数，t表示时间。
7.飞行时间和飞行距离模型：y = k/(x^2)，其中k为常数，x表示距离。
8.投资收益模型：y = k/(x+a)，其中k和a为常数，x表示投资金额。
9.流量与管道直径模型：y = k/(x^2)，其中k为常数，x表示管道直径。
10.压力和体积模型：y = k/x，其中k为常数，x表示体积。
11.购买力和价格模型：y = k/x，其中k为常数，x表示价格。
12.照明强度和距离模型：y = k/(x^2)，其中k为常数，x表示距离。
13.土地价格和面积模型：y = k/A，其中k为常数，A表示面积。
14.音量和距离模型：y = k/(x^2)，其中k为常数，x表示距离。
15.饼干消耗和人数模型：y = k/n，其中k为常数，n表示人数。
16.温度和容器大小模型：y = k/V，其中k为常数，V表示容器大小。
17.实验结果和样本数量模型：y = k/n，其中k为常数，n表示样本数量。
18.电阻和电流模型：y = k/I，其中k为常数，I表示电流。
19.体积和浓度模型：y = k/C，其中k为常数，C表示浓度。
这些模型仅是反比例函数在不同应用领域中的一些示例。
实际上，反比例函数可以描述的反比关系很多，取决于具体应用的背景和需求。
对于不同的问题和场景，可以选择适合的反比例模型来建模和分析。
反比例函数常见几何模型(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】反比例函数常见模型一、知识点回顾1..反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=k x（k≠0）．其解析式有三种表示方法：①xk y = （0≠k ）；②1-=kx y （0≠k ）；③k xy =2．反比例函数y=k x（k≠0）的性质（1）当k>0时⇔函数图像的两个分支分别在第一，三象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而减小．（2）当k<0时⇔函数图像的两个分支分别在第二，四象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而增大．（3）在反比例函数y=k x 中，其解析式变形为xy=k ，故要求k 的值(也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积).（4）若双曲线y=k x图像上一点（a ，b ）满足a ，b 是方程Z 2－4Z －2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k ，∴k=－2，故双曲线的解析式是y=2x-． （5）由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图像和x 轴，y 轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势．二、新知讲解与例题训练 模型一：如图，点A 为反比例函数xk y =图象上的任意一点，且AB 垂直于x 轴，则有2||k S OAB =∆例1：如图ABC Rt ∆的锐角顶点是直线y=x+m 与双曲线y=m 在第一象限的交点，且3=∆AOB S ,（1）求m 的值 （2）求ABC ∆的面积变式题1、如图所示，点1A ,2A ,3A 在x 轴上，且O 1A =21A A =32A A ,分别过1A ,2A ,3A 作y 轴平行线，与反比例函数y=x8(x>0)的图像交于点1B ,2B ,3B ，分别过点1B ,2B ,3B 作x 轴的平行线，分别与y 轴交于点1C ,2C ,3C ,连结321,,OB OB OB ,那么图中阴影部分的面积之和为__________2、 如图，点A 在双曲线1y x=上，点B 在双曲线3y x=上，且AB∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 .模型二：如图：点A 、B 是双曲线)0(≠=k xk y 任意不重合的两点，直线AB交x 轴于M 点，交y 轴于N 点，再过A 、B 两点分别作y AD ⊥轴于D 点，x BF ⊥轴于F 点，再连结DF 两点，则有：AB DF ||且BM ＝AN例2：如图，一次函数y a x b =+的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数kyx=的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列四个结论：①DEF CEFS S ∆∆=；②AOB ∆相似于FOE ∆；③△DCE≌△CDF ；④A CB D =其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）y xDC A BOFEDFABDF MN xy O例3：一次函数y ax b=+的图象分别与x轴、y轴交于点,M N，与反比例函数kyx=的图象相交于点,A B．过点A分别作AC x⊥轴，AE y⊥轴，垂足分别为,C E；过点B分别作BF x⊥轴，BD y⊥轴，垂足分别为F D，，AC与BD交于点K，连接CD．（1）若点A B，在反比例函数kyx=的图象的同一分支上，如图1，试证明：①AEDK CFBKS S=四边形四边形；②AN BM=．（2）若点A B，分别在反比例函数kyx=的图象的不同分支上，如图2，则AN与BM还相等吗？试证明你的结论．模型三：如图，已知反比例函数kyx=（k≠0，x>0）上任意两点P、C，过P做PA⊥x轴，交x轴于点A，过C做CD⊥x轴，交x轴于点D，则OPC PADCS S∆=梯形.图1 图2例4：如图，在直角坐标系中，一次函数y =k 1x+b 的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A (1,4)、B (4，1)两点，则△AOB 的面积是______.例5：如图，在直角坐标系中，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A （1,4）、B （3，m ）两点，则△AOB 的面积是______.例6：如图1，已知直线12y x =与双曲线(0)k y k x=>交于A 、B 两点，且点A 的横坐标为4． （1）求k 的值；（2）如图2，过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)k y k x=>于C 、D 两点（点C 在第一象限且在点A 的左边），当四边形ACBD 的面积为24时，求点C 的坐标．模型四：在矩形AOBC 中，OB =a ，OA =b ，分别以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），过F 点的反比例函数(0)k y x x=>的图象与AC 边交于点E ，则CEaCFb=.例7：两个反比例函数k y x=和1y x=在第一象限内的图象如图所示，点P 在k y x=的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交1y x=的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交1y x=的图象于点B ，当点P 在k y x=的图象上运动时，以下结论： ①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形PAOB 的面积不会发xBFC EAOy生变化；③PA 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是 _________（把你认为正确结论的序号都填上）．课堂练习： 一、选择题1、已知m<0，则函数mx y =1与xmy -=2的图像如图，大致是（ ）A. B. C. D2、如图，点A 在双曲线xy 6=上，且OA=4,过点A 作AC ⊥x 轴，垂足为c ，OA 的垂直平分线交OC于B,则ABC ∆的周长为（ ）A.72B.5C.74D.223、如图，双曲线xk y =（k>0）经过矩形OABC 的边BC 的中点E ，交AB 于点D ，若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为（ ）A.xy 1= B.xy 2=C.xy 3=D.x y 6=题 3 题 4 题54、如图，A,B 是函数xy 2=的图像上关于原点对称的任意两点，BC//x 轴，AC//y 轴，ABC ∆的面积记为S ，则S （ ）A.S=2B.S=4C.2<S<4D.S>45、如图所示，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A 在直线y=x 上，其中A 点的横坐标为1，且两条直角边AB ，AC 分别平行于x 轴，y 轴，若双曲线y=k x（k≠0）与△ABC 有交点，则k 的取值范围是（ ）A ．1<k<2B ．1≤k≤3C ．1≤k≤4 D．1≤k<4二、填空题1、如图，点A 在双曲线1y x=上，点B 在双曲线3y x=上，且AB∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 .2、如图，双曲线)0(2 x xy =经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC ＝90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折后得到△AB ＇C ，B ＇点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是 . 3、如图，将一块直角三角板OAB 放在平面直角坐标系中，B （2，0），∠AOB ＝60°，点A 在第一象限，过点A 的双曲线为y = k x，在x 轴上取一点P ，过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，线段OB 经轴对称变换后的像是O ′B ′.（1）当点O ′与点A 重合时，点P 的坐标是 .（2）设P （t ，0）,当O ′B ′与双曲线有交点时，t 的取值范围是 .4、如图，已知双曲线(0)k y k x=<经过直角三角形OAB 斜边OA 的DBAyxOC中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（6-，4），则△AOC的面积为.5、双曲线1y、2y在第一象限的图像如图，14yx=，过1y上的任意一点A，作x轴的平行线交2y于B，交y轴于C，若1AOBS∆=，则2y的解析式是．课后习练一、填空题1、如图，直线y=kx（k>0）与双曲线y=4x交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则2x1y2－7x2y1的值等于_______．2、反比例函数y=kx的图像上有一点P（a，b），且a，b是方程t2－4t－2=0的两个根，则k=_______；点P到原点的距离OP=_______．3、已知双曲线xy=1与直线y=－x+b无交点，则b的取值范围是______．4、反比例函数y=kx的图像经过点P（a，b），其中a，b是一元学习靠自觉，进步靠努力，每天比别人多付出一点点，将来比别人收获多许多!!! 【最新整理，下载后即可编辑】 二次方程x 2+kx+4=0的两个根，那么点P 的坐标是_______．5、如图，已知双曲线)0k (xk y ＞ 经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k ＝___．第5题图 第6题图6、如图，已知点A 是一次函数y=x 的图像与反比例函数y=2x 的图像在第一象限内的交点，点B 在x 轴的负半轴上，且OA=OB ，那么△AOB 的面积为（ ）A ．2B ．22C ．2D ．22 7、已知P 为函数y=2x 的图像上一点，且P 到原点的距离为3，则符合条件的P 点数为（ ） A ．0个 B ．2个C ．4个D ．无数个AB CD E y x O。
反比例函数常见几何模型
反比例函数常见模型一、知识点回顾1..反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=kx（k≠0）．其解析式有三种表示方法：①xk y =（0≠k ）；②1-=kx y （0≠k ）；③k xy = 2．反比例函数y=kx（k≠0）的性质（1）当k>0时⇔函数图像的两个分支分别在第一，三象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而减小．（2）当k<0时⇔函数图像的两个分支分别在第二，四象限内⇔在每一象限内，y 随x 的增大而增大．（3）在反比例函数y=kx中，其解析式变形为xy=k ，故要求k 的值(也就是求其图像上一点横坐标与纵坐标之积).（4）若双曲线y=kx图像上一点（a ，b ）满足a ，b 是方程Z 2－4Z －2=0的两根，求双曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k ，∴k=－2，故双曲线的解析式是y=2x-．（5）由于反比例函数中自变量x 和函数y 的值都不能为零，所以图像和x 轴，y 轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势．二、新知讲解与例题训练 模型一：||=||,2k S k S ∆=矩形xyO已知 点P 是反比例函数 在第一象限内图象上的一动点.如图，若 轴于点B ， 轴于点N ，连接PM ，PN ，则矩形MONP 的面积为|K|yxMO PNyxMO PNyxMO PNyxMOPN已知 点P 是反比例函数 在第一象限内图象上的一动点.如图，若点B 为y 轴（不同于O ）的任意一点，连接 ，则△PAB 的面积为|K|/2.y x AO PByxA O PByxA O P ByxA O P（B ）已知 点P 是反比例函数 在第一象限内图象上的一动点.如图，若 轴于点M ，N 为 轴上任意一点，连接MN ，PN ，则△PMN 的面积为_________yx MO P（N ）yx MOPNyx MOPNyxMOPN例1：如图ABC Rt ∆的锐角顶点是直线y=x+m 与双曲线y=xm在第一象限的交点，且3=∆AOB S ,（1）求m 的值 （2）求ABC ∆的面积变式题1、如图所示，点1A ,2A ,3A 在x 轴上，且O 1A =21A A =32A A ,分别过1A ,2A ,3A 作y 轴平行线，与反比例函数y=x8(x>0)的图像交于点1B ,2B ,3B ，分别过点1B ,2B ,3B 作x 轴的平行线，分别与y 轴交于点1C ,2C ,3C ,连结321,,OB OB OB ,那么图中阴影部分的面积之和为__________模型二：如图：点A 、B 是双曲线)0(≠=k xk y 任意不重合的两点，直线AB 交x 轴于M点，交y 轴于N 点，再过A 、B 两点分别作y AD ⊥轴于D 点，x BF ⊥轴于F 点，再连结DF 两点，则有：AB DF ||且BM ＝AN如图，直线 与反比例函数 相交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作AE ⊥y 轴、BF ⊥x 轴，求证： ①AC=BD ，AE=BF ②AB ∥EF③△ACE ≌△BDFy x EC D FOBAy x EC D F O BAyxP EC D FOB ADFAB DF MN xy O例2：如图，一次函数y a x b =+的图象与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与反比例函数ky x=的图象相交于C ，D 两点，分别过C ，D 两点作y 轴，x 轴的垂线，垂足为E ，F ，连接CF ，DE ．有下列四个结论：①DEF CEF S S ∆∆=；②AOB ∆相似于FOE ∆；③△DCE ≌△CDF ；④A C B D =其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）例3：一次函数y ax b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于点,M N ，与反比例函数ky x=的图象相交于点,A B ．过点A 分别作AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，垂足分别为,C E ；过点B 分别作BF x ⊥轴，BD y ⊥轴，垂足分别为F D ，，AC 与BD 交于点K ，连接CD ．（1）若点A B ，在反比例函数ky x=的图象的同一分支上，如图1，试证明： ①AEDK CFBK S S =四边形四边形；②AN BM =． （2）若点A B ，分别在反比例函数ky x=的图象的不同分支上，如图2，则AN 与BM 还相等吗？试证明你的结论．y x DC A B O F E图1图2模型三：如图，A 、B 是反比例函数 在第一象限内图象上的一两个不重合的动点，AC ⊥x 轴于点C ， BD ⊥x 轴于点D ，求证：S △OAB=S 梯ACDB .yx DC OAByxS 2S 1DC OAB例4：如图，在直角坐标系中，一次函数y =k 1x+b 的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A (1,4)、B (4，1)两点，则△AOB 的面积是______.例5：如图，在直角坐标系中，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2k y x=的图象交于A （1,4）、B （3，m ）两点，则△AOB 的面积是______.例6：如图1，已知直线12y x =与双曲线(0)ky k x=>交于A 、B 两点，且点A 的横坐标为4． （1）求k 的值；（2）如图2，过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)ky k x=>于C 、D 两点（点C 在第一象限且在点A 的左边），当四边形ACBD 的面积为24时，求点C 的坐标．模型四：在矩形AOBC 中，OB =a ，OA =b ，分别以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是BC 上的一个动点（不与B 、C 重合），过F 点的反比例函数(0)ky x x =>的图象与AC 边交于点E ，则CE a CF b=.A 、B 是反比例函数 在第一象限内图象上的一两个不重合的动点， AC ⊥y 轴于点C ， BD ⊥x 轴于点D ，AC 与BD 相交于点E ，求证：A EB EA CB D=y xCE DO AByxS 1S 2CE DOABxB FC E A O y例7：两个反比例函数k y x =和1y x =在第一象限内的图象如图所示，点P 在ky x=的图象上，PC ⊥x 轴于点C ，交1y x =的图象于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交1y x =的图象于点B ，当点P 在ky x=的图象上运动时，以下结论：①△ODB 与△OCA 的面积相等；②四边形P AOB 的面积不会发生变化；③P A 与PB 始终相等；④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．其中一定正确的是 _________（把你认为正确结论的序号都填上）．【结论1】一次函数y= - x+b(b ＞0)与反比例函数xy=k(k ＞0)的图像交于点A ，B ，一次函数图像与y 轴和x 轴分别交于点C 、D 。
反比例函数八大解题模型(模型+例题+练习题)
3、特征
[象限]经过一三象限或二四象限 [坐标轴]双曲线与x轴或y轴无限接近, 但永不相交 [变化趋势]在一三象限,图象呈下降趋势, 在二四象限,图象呈上升趋势
模型一： 模型一：判断是否为反比例函数
（1）给出解析式判断是否为反比例函数（y 是 x 的函数） 例 1、下列函数中，是反比例函数的是（ ） A y = x +1 B y=
2、下列函数中 y 是 x 的反比例函数的是（ ） （A 级） A y=
y=
2 x +1
D y=
1 −1 x
（2）给出文字先列解析式再判断是否为反比例函数 例 2：当路程 s 一定时。速度 v 与时间 t 之间的函数是（ A 正比例函数 B 反比例函数 C 一次函数 对象：路程 s 角度：速度 v、时间 t 分析与解：路程=速度 × 时间 即 s = vt → v = ） （A 级） D 二次函数
第 2 页 共 8 页
是:________________;药物燃烧后 y 关于 x 的函数关系式为:___________________. (2)研究表明,当空气中每立方米的含药量低于 1.6 毫克时学生方可进教室,那么从消毒开始,至少需要经 过_______分钟后,学生才能回到教室; (3)研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于 3 毫克且持续时间不低于 10 分钟时,才能有效杀灭空 气中的病菌,那么此次消毒是否有效?为什么?
反比例函数八大 反比例函数八大解题模型 八大解题模型（ 解题模型（模型+例题+练习题） 练习题）
基本知识点 1、定义：反比例函数的图像是经过 A（1，k）和 B（k，1）的双曲线 对应解析式 y = 2、举例说明： y =
k k ← 经过（x， （k 是常数，k≠0） ） x x
反比例函数6个模型证明
反比例函数6个模型证明
反比例函数是一种数学模型，可以用来描述两个变量之间的关系。
反比例函数的一般形式是 y = k/x，其中 k 是常数，表示两个变量之间的比例因子。
1. 水缸填水速度和填充时间：当水缸填水速度增加时，填充时间减少。
填充时间与填水速度成反比例关系，可以用反比例函数模型来描述。
2. 人口密度和土地面积：人口密度是指单位面积内的人口数量。
当土地面积固定时，人口密度与土地面积成反比例关系。
可以用反比例函数模型来描述不同土地面积下的人口密度。
3. 电阻值和电流强度：根据欧姆定律，电阻值与电流强度成反比例关系。
当电流强度增加时，电阻值减小。
可以用反比例函数模型来描述电阻值与电流强度之间的关系。
4. 速度和旅行时间：当旅行时间固定时，速度与旅行距离成反比例关系。
旅行速度越快，旅行距离相应地减小，可以使用反比例函数模型来描述这种关系。
5. 工人数量和任务完成时间：假设一项任务需要完成固定的工作量，当工人数量增加时，任务完成时间减少。
工人数量与任务完成时间成反比例关系，可以用反比例函数模型来描述。
6. 阻尼力和物体振幅：在振动系统中，阻尼力与振幅成反比例关系。
阻尼力越大，振幅相应减小。
可以使用反比例函数模型来描述阻尼力与物体振幅之间的关系。
总之，反比例函数可以用来描述许多现实生活中的关系，并且在数学建模和解决实际问题中起到了重要作用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
反比例函数中的模型（讲义）一、知识点睛
与反比例函数相关的几个结论，在解题时可以考虑调用．
①y
y=
C B k
x
y
y=
D
k
x
C
O A x A x
O B
结论：S矩形2S | k | 结论：S OCD S ABCD
△梯形
ABCO ABO
△
y
y
②
A
A
B
k
O y=
C
x
D D x
B
C
x
O
结论：AB=CD
③y y= k
x
y
B
A
C
D
A
P
D B
O x
E
x
O C
结论：B D∥CE
二、精讲精练
1. 如图，已知点A，B在双曲线y k
x
（x>0）的图象上，AC⊥x 轴于点C，BD⊥y 轴于点D，AC 与
BD相交于点P，且P是AC的中点．若△ABP的面积为3，则k=________．
2. 如图，A，B是双曲线y k
x
（k>0）上的点，且A，B两点的横坐标分别为a，2a，线段AB的延
长线交x 轴于点C．若S△AOC=6，则k=________．
y
y
A
A
B
B
O
C
x
O
C
x
第 2 题图
第 3 题图
3. 如图，直线
4 y x 与双曲线 3 y k x
（x>0）交于点 A ．将直线 4 y x 向右平移 3
9 2
个单位后，与双曲
线 y
k x AO （x> 0）交于点 B ，与 x 轴交于点 C ，若
2
BC
，则 k=________．
4. 如图，平行四边形 AOBC 中，对角线交于点 E ，双曲线 形 AOBC 的面积为 18，
y
k x （k>0）经过 A ，E 两点．若平行四边
则k=________．
y
y
y A E C
A O
B C
D
x B C
A D O
x
x
O
B 第 4 题图
第 5 题图
5. 如图，已知函数 y x 1的图象与 x 轴、y 轴分别交于 C ，B 两点，与双曲线
点．若 AB+CD=B ，C 则 k 的值为________．
y
k x 交于 A ，D 两
6. 已知：如图，直线 3
y x 6与双曲线 4
y k x
（x<0）相交于 A ，B 两点，与 x 轴、y 轴分别交于 D ，
C 两点，若 AB=5，则 k=_________．
3
7. 如图，直线 y
x b
3
AB AC 4， 与 y 轴交于点 A ，与双曲线
k y
在第一象限交于 B ，C 两点，且 x
则k=_______
y
y
A B
A B
B'
C
C
x
O
x
O
8. 双曲线y11
x
， 2
y
3
x
在第一象限内的图象如图所示，过y2 上的任意一点 A 作x 轴的平行线，交
y 于点B，交y 轴于点C，过点 A 作x轴的垂线，交1 y 于点D，交x 轴于点E，连接BD，CE，则
1
BD
CE
=________．
y y
N
A
B
B A
C
D
y2
y1
x O E
O M x
第9 题图第10 题图
9. 如图，双曲线y 2
x
（x> 0）经过四边形OABC的顶点A，C，∠ABC=90°，OC平分OA与x轴正半
轴的夹角，AB∥x 轴．将△ABC沿AC翻折后得△A B′C，且点B′恰好落在OA上，则四边形OABC 的面积为__________．
10. 如图，双曲线y k
x
经过Rt△OMN斜边上的点A，与直角边MN 相交于点B，已知OA=2AN，△OAB
的面积为5，则k 的值是__________．
11. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x 轴、y 轴分别交于点A，B，与反比例函数k
y
（ k
x 为常数，且k>0）在第一象限的图象交于点E，F．过点E作EM⊥y 轴于M，过点F 作FN⊥x 轴于N，直线EM 与FN 交于点C．若BE:BF=1:m（m 为大于1 的常数）．记△CEF的面积为S1，△OEF 的面积为S2，则S1:S2=__________．（用含m 的代数式表示）
y
y
B M E C
A
B
C F
x O N A x O
12. 如图，一次函数y k1x b 的图象过点A(0，3)，且与反比例函数y k
2
x
（x>0）的图象相交于B，
C两点．（1）若B(1，2)，求k1 k2 的值．
（2）若A B=B C，则k1 k2 的值是否为定值若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．解：（1）将A(0，3)，B(1，2)
代入y k x b ，
1
得b 3
，___________
解得k1 ____
b ____
．
k
将B( 1，2)代入 2
y
x
，
得k2=______，
∴k1 k2 =______．
（2）_____定值，k k =____．理由：
1 2
过点B作BG⊥y 轴于点G，
过点C作C H⊥y 轴于点H，
则BG∥CH．
又∵AB=BC，
∴AG=____，CH=___BG．
k 设B(m， 2
m )，则C(_____，_____ )，
∴AG=_______，GH=_______，
k
∴3 2
m
=______，
∴m=_____，
∴B( ，)．
把B( ，)代入y=k1x+3，得____________，
∴k1 k2 =________．。