数学高中竞赛之初等数论2
数学竞赛筑阶系列讲座02—初等数论之二
数学竞赛筑阶系列讲座——初等数论之二讲解人：凌 彬姓名__________专题二：奇数与偶数一、基本知识奇数的特征：它被2除得的余数是1；即任何奇数都是21n +的形式，其中n Z ∈． 偶数的特征：它被2除得的余数是0；即任何偶数都是2n 的形式，其中n Z ∈． 奇数与偶数的一个最明显的性质是：任何奇数决不会与一个偶数相等． 奇数与偶数还有几条运算性质：1．奇数与奇数的和是偶数；2．奇数与偶数的和是奇数；3．偶数与偶数的和是偶数； 4．奇数与奇数的积是奇数；5．奇数与偶数的积是偶数；6．偶数与偶数的积是偶数． 几个常用的结论：1．两个连续整数的积(1)n n +是偶数； 2．整数a 的幂n a 与a 奇偶性相同； 3．整数a 和b 有“a b ±”与“n n a b ±”的奇偶性相同．这些性质都是很平凡的，但灵活地应用它们却能解决许多问题，包括看上去“无从下手”的问题；下面给出的一些例子，解答除了应用奇偶性之外，还包含了一些非常有用的解题思想；利用奇偶性解题的方法叫奇偶性分析法．这个方法是数学竞赛中特别活跃的方法之一． 二、例题选讲例1．证明：不存在整数x 、y 满足：221990y x =+．例22例3．证明：不存在这样的整数a 、b 、c 、d ，使得abcd a -、abcd b -、abcd c -、abcd d -都是奇数．例4．证明：改变一个自然数各位数码的顺序后得到的数，与原数之和不能等于1989999．例5．设129, ,, a a a 是正整数，任意改变这九个数顺序后记为129, ,, b b b ；证明：112299()()()A a b a b a b =---是偶数．例6．平面上有15个点，任意三点都不在一条直线上，试问：能不能从每个点都引三条线段，且仅引三条线段和其余的某三点相连？证明你的结论．例7．已知一奇数β，使得整系数二次三项式2ax bx c ++的值2a b c ββ++也是奇数，其中c 是奇数；求证：方程20ax bx c ++=没有奇数根．例8．圆周上有1989个点，给每一个点染两次颜色：或红、蓝，或全红，或全蓝；最后统计知；染红色1989次，染蓝色1989次．试证：至少有一点被染上红、蓝两种颜色．例9．黑板上写着三个整数，任意擦去其中的一个，将它改写成为其它两数的和减去1；这样继续下去，最后得到19，2007，2009，问原来的三个数能否是2，2，2．例10．桌上有7只茶杯，杯口全部朝上，每次“运动”是指将其中的4只茶杯同时翻转；问：能否经过若干次运动使杯口全部朝下？例11．一个展览馆有26间展览室（如图），图中每个方格代表一间展览室，每相邻的两间展览室都有门相通，出口入口在图中所示之处；问能否找到一条入口到出口的参观路线，使得不遗漏又不重复地走过每一间展览室？入口出口 的方格纸，随便把其中32个方格涂上黑色，剩下的32个方格涂上白色．例12．设有一张88下面对涂了色的方格纸实施“操作”；每次操作都是把任意横行或者竖列上的各个方格同时改变颜色；问能否最终得到恰有一个黑色方格的方格纸？例13．若两人互相握手，则每人都记握手一次，求证：握手是奇数次的人的总数一定是偶数．三、巩固练习1．设, , a b c 都是整数，2|a b c ++，求证：, , a b c a c b b c a +-+-+-都是偶数．2．若某正整数n 的各位数码在适当改变顺序后所得的数与n 之和等于1010，证明：10|n ．3．设有整数12, , , n x x x ，使120n x x x +++=，12n x x x n =，求证：4|n ．4．如图，给定两张33⨯方格纸，并且在每一方格内填上“+”或“-”号．如图，现在对方格纸中任何一行或一列作全部变号的操作，问可否经过若干次操作，使图（1）变成图（2）？(1)(2)++-++---+--++----+5．试证：找不到两个正整数，使其差与和的乘积等于2010．6．设有n 盏亮着的拉线开关灯，规定每次必须拉动1n -个拉线开关；试问：能否把所有的灯都关闭？证明你的结论或给出一种关灯的办法．。
初等数论§2不定方程
2019/3/4
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问题：对于方程 9 x 24 y 5 z 1000，如何求解？ 令 9 x 24 y t , t 5 z 1000 由于 (9,24) 3, 故可令9 x 24 y 3t，
即3 x 8 y t .
注：该方法对一次项系数较小的方程比较实用。
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二、二元一次不定方程解的形式和判定
ax by c , a , b, c Z , a , b 0 (1)
定理1 若〔1〕式有整数解 x x0 , y y0 则〔1〕式的一切解可以表示为
x x0 b1t , y y0 a1t , a b 其中， a1 ,b , t 0, 1, 2， (a , b) (a , b)
取 x c1 s, y c1t，
即为方程〔1〕的解。
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三、求二元一次不定方程整数解的一般方法 先求一个特殊解，再根据定理1写出其通解。
对于方程(1),若有解，则可化为
ax by c, (a , b) 1
(3)
的形式
一般地，利用辗转相除法，得到 as bt 1,
则 x0 cs, y0 ct .
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例3 求方程 7 x 4 y 1 的一个特殊解。 解：用7、4进行辗转相除法
741
3 3 7 41
4 3 1 1 1 4 31
所以， 1 4 (7 4 1) 1, 即 7 ( 1) 4 2 1.
, an ) d .
〔1〕有解 d a1 ,
, d an d N .
完整word版,高中数学竞赛辅导-初等数论(不定方程)
不定方程不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数的取值范围是受某些限制（如整数、正整数或有理数）的方程.不定方程是数论的一个重要课题，也是一个非常困难和复杂的课题.1．几类不定方程 （1）一次不定方程在不定方程和不定方程组中，最简单的不定方程是整系数方程)0,0(,0≠>=++b a c by ax ①通常称之为二元一次不定方程.一次不定方程解的情况有如下定理.定理一：二元一次不定方程c b a c by ax ,,,=+为整数.有整数解的充分必要条件是c b a |),(. 定理二：若00,,1),(y x b a 且=为①之一解，则方程①全部解为at y y bt x x -=+=00,. （t 为整数）。
（2）沛尔)(pell 方程形如122=-dy x （*d N ∈，d 不是完全平方数）的方程称为沛尔方程. 能够证明它一定有无穷多组正整数解；又设),(11y x 为该方程的正整数解),(y x 中使d y x +最小的解，则其的全部正整数解由111111111[()()]2)()]n nn n n n x x x y x x ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（1,2,3,n =L ）给出.①只要有解),(11y x ，就可以由通解公式给出方程的无穷多组解. ②n n y x ,满足的关系：1(nn x y x y +=+；11211222n n n nn n x x x x y x y y ----=-⎧⎨=-⎩ ， （3）勾股方程222z y x =+这里只讨论勾股方程的正整数解，只需讨论满足1),(=y x 的解，此时易知z y x ,,实际上两两互素. 这种z y x ,,两两互素的正整数解),,(z y x 称为方程的本原解，也称为本原的勾股数。
容易看出y x ,一奇一偶，无妨设y 为偶数，下面的结果勾股方程的全部本原解通解公式。
定理三：方程222z y x =+满足1),(=y x ，2|y 的全部正整数解),,(z y x 可表为2222,2,b a z ab y b a x +==-=，其中，b a ,是满足b a b a ,,0>>一奇一偶，且1),(=b a 的任意整数.4．不定方程zt xy =这是个四元二次方程，此方程也有不少用处，其全部正整数解极易求出：设a z x =),(，则ad z ac x ==,，其中1),(=d c ，故1),(,,===d c dt cy adt acy 因即， 所以bc t bt y y d ==则设,,|. 因此方程zt xy =的正整数解可表示为d c b a bc t ad z bd y ac x ,,,.,,,====都是正整数，且1),(=d c .反过来，易知上述给出的t z y x ,,,都是解.也可采用如下便于记忆的推导： 设d c d c y t z x 这里,==是既约分数，即1),(=d c . 由于z x 约分后得出dc，故ad z ac x ==,，同理.,ab y cb t ==2．不定方程一般的求解方法1．奇偶分析法；2．特殊模法；3．不等式法；4．换元法； 5．因式分解法6．构造法（构造出符合要求的特解或一个求解的递推关系，证明解无数个） 7．无穷递降法由于不定方程的种类和形式的多样性，其解法也是多种的，上面仅是常用的一般方法. 注：对无穷递降法的理解：以下面的问题为例： 证明：方程442x y z +=无正整数解。
高中数学联赛初等数论专题练习(带答案详解版)
12．若两整数 、 除以同一个整数 ，所得余数相同，即 ，则称 、 对模 同余，用符号 表示，若 ，满足条件的 由小到大依次记为 ，则数列 的前 项和为________.
13．设 ， 表示不超过 的最大整数，若存在实数 ，使得 ， ，…， 同时成立，则正整数 的最大值是．
高中数学联赛初等数论专题练习（详解版)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函数，例如： ， ，已知函数 （ ），则函数 的值域为（）
9．等差数列 的前 项和为 ，且 ， ，记 ，其中 表示不超过 的最大整数，如 ， ，则 _________.
10．已知 表示正整数 的所有因数中最大的奇数，例如：12的因数有1，2，3，4，6，12，则 ；21的因数有1，3，7，21，则 ，那么 _________.
11．用符号 表示小于 的最大整数，如 ，有下列命题：①若函数 ，则 的值域为 ；②若 ，则方程 有三个根；③若数列 是等差数列，则数列 也是等差数列；④若 ，则 的概率为 ．
【解析】
【分析】
首先将函数解析式进行化简，并用换元思想，得到 （ ），研究二次函数在某个区间上的值域，求得 ，根据“高斯函数”的本质，求得结果.
【详解】
因为 ，令 （ ），
则 （ ），函数的对称轴方程为 ，
所以 ，
，所以 ，
所以 的值域为 ，
故选：B.
【点睛】
本小题考查函数的定义域与值域等基础知识，考查学生分析问题，解决问题的能力，运算求解能力，转化与化归思想，换元思想，分类讨论和应用意识.
高中数学竞赛课程讲座：初等数论
高中数学竞赛课程讲座：初等数论
本课程讲座旨在介绍初等数论的基础知识，帮助学生为高中数学竞赛做最好的准备。
我们将深入探讨数论中的基础概念，如质数分解和
算术难题，并探讨一些实际应用的技巧和常用方法，帮助学生在数学
竞赛中取得好成绩。
本次讲座将向您介绍初等数论，它是一门关于形式化、有限数论等术语和方法的数学分支。
简而言之，初等数论在研究有关有限结构的
问题和计算方法时是不可或缺的。
在这个课程中，我们将探讨整数质
因数分解、质数及其应用、素数概念、余数定理、线性算术等，帮助
您为数学竞赛中的第一题做准备。
我们还将深入讨论有关如何构造有
限结构的问题，利用它们来探究多项式的性质；研究几何图形；通过
图论剖析算法，及解决整数方程组等方面的相关内容。
我们相信您在
学习初等数论时会有所收获，从而在高中数学竞赛中尽显实力！
此外，我们还将为您介绍数论的发展和历史，例如，古希腊的Euclid
的元素书、中国的Sunzi的求积算，以及17世纪的Fermat的大定理等，一起探究中国数学家在数论中的贡献。
在讲座中，我们还会解释完整
的幂的概念，从中分析总结出幂的工具，比如抽象代数和提高多项式
的方法等，以帮助您从大量的幂等式中获取实质性的知识，理清思路。
最后，在考试期间，我们将重点讨论质因数分解原理、构造，以及如
何将数论应用于实际情况中，例如Cryptography，帮助您在考试中取得高分。
§2初等数论--整除
2019/11/16
阜阳师范学院 数科院
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5. 100个正整数之和为101101，则它们的最大公约 数的最大可能值是多少?证明你的结论。
6. 证明T 1 1 1 1 (n 1)不是整数.
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n
7. 求自然数n，使得28 211 2n是一个整数的平方。
2019/11/16
阜阳师范学院 数科院
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定理2 在上面的表达式( * )中，有 (a,b) rn , (rn1 0).
证明：令 (a,b) d , 则 d a ,d b.
a bq1 r1 b r1q2 r2
由r1 a bq1 d r1 ; 由r2 b r1q2 d r2 ;
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§1.1 整除的概念 带余数除法 一、整除的概念
定义1：设a,b是整数，b 0,如果存在整数q,使得 a bq成立，则称b整除a,或a能被b整除.记作：b a .
相关概念：因数、约数、倍数、奇数、偶数。 注：显然每个非零整数a都有约数 1，a，称这四个 数为a的平凡约数，a的另外的约数称为非平凡约数。
rn2 rn1 qn (余rn )
b r1q2 r2 , 0 r2 r1 (*)
rn2 rn1qn rn , 0 rn rn1
rn1 rn qn1 ,(rn1 0) rn1 rnqn1 rn1 , rn1 0.
2019/11/16
阜阳师范学院 数科院
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二、辗转相除法
定义：设有整数 a,b(b 0)，在a b 的带余数除法中， 每次用余数去除除数，直到余数为0停止，这种运算 方法称为辗转相除法。即有
a b q1 (余r1 )
《数学竞赛辅导》——初等数论
《数学竞赛辅导》——初等数论部分数论是竞赛数学中最重要的一部分，特别是在1991年，IMO 在中国举行，国际上戏称那一年为数论年，因为6道IMO 试题中有5道与数论有关。
数论的魅力在于它可以适合小孩到老头，只要有算术基础的人均可以研究数论――在前几年还盛传广东的一位农民数学爱好者证明了哥德巴赫猜想，当然，这一谣言最终被澄清了。
可是这也说明了最难的数论问题，适合于任何人去研究。
初等数论最基础的理论在于整除，由它可以演化出许多数论定理。
做数论题，其实只要整除理论即可，然而要很快地解决数论问题，则要我们多见识，以及学习大量的解题技巧。
这里我们介绍一下数论中必需的一个内容：对于N r q N b a ∈∃∈∀,,,，满足r bq a +=，其中b r <≤0。
除了在题目上选择我们努力做到精挑细选，在内容的安排上我们也尽量做到讲解详尽，明白。
相信通过对本书学习，您可以对数论有一个大致的了解。
希望我们共同学习，相互交流，在学习交流中，共同提高。
编者：刘道生2007-8-21于江西赣州第一节 整数的p 进位制及其应用正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制，这是一种位值记数法。
进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系，近几年来，国内与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。
在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。
基础知识给定一个m 位的正整数A ，其各位上的数字分别记为021,,,a a a m m --，则此数可以简记为：021a a a A m m --=（其中01≠-m a ）。
由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A 可以表示成10的1-m 次多项式，即012211101010a a a a A m m m m +⨯++⨯+⨯=---- ，其中1,,2,1},9,,2,1,0{-=∈m i a i 且01≠-m a ，像这种10的多项式表示的数常常简记为10021)(a a a A m m --=。
初等数论第二章：不定方程
( y0 y ) 是整数, 令这个整数为t1 , 代入上式,得 a x x0 bt1 , 即x x0 bt1 . 同时由 ( y0 y ) t1 , 得y y0 at1 . a
1、辗转相除法 对于ax+by=c,先利用辗转相除法得到 ax+by=1的一个解;再两边乘于c,得到ax+by=c的一个解; 最后运用定理(2.2)写出一切整数解.
§2.2 解二元一次不定方程
• 对于二元一次不定方程(2.1)整数解的研 究,最理想的结果是能像一元二次方程那 样,找出表示方程(2.1)所有整数解的公式. • 这个公式是能够找到的,但它是建立在方 程(2.1)的一个整数解(即所谓的特解)的 基础上的.因些如何找到方程(2.1)的一个 整数解就成为求出它一切整数解的关键.
)
（6）的解为：y 2 33t , x y x 3 37t (t 0, 1, 2,
)
从而原方程的解为：x 3 37t , y 2 x y 8 107t (t 0, 1, 2, )
或先求出原方程的一个特解，再给出一切整数解。
在（2）式两端同乘以c1得 asc1 btc1 (a, b)c1 c 令x0 =sc1 , y0 =tc1，即得 ax0 by0 c， 故（2. 1）式有一组整数解x0，y0 .
注：定理的证明过程实际给出求解方程（2.1）的方法：
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1 4 7 10 13 … 4 9 14 19 24 … 7 14 21 28 35 … 10 19 28 37 46 … … … … … … … 定理2：不定方程x 2+y 2=z 2满足（x ，y ）=1，x ，y ，z ＞0，2|x 的全部整数解可表示为 x=2ab ，y=a 2－b 2，z=a 2+b 2。
其中a ＞b ＞0，a 、b 一奇一偶，（a ，b ）=1为任意整数。
四、例题与练习
1、右表的结构为：第一行是以1为首项，3为
公差的无穷等差数列；第一列中的数与第一行
中的数对应相等；第n （n ≥2）行是公差为2n+1
的无穷等差数列。
证明：⑴若N 在表中，则2N+7
不是素数；⑵若N 不在表中，则2N+7是素数。
2、证明：若正整数x 、y 使得2xy | x 2+y 2－x ，则x 是完全平方数。
3、证明：存在一个1997的整倍数，它不超过11位，且各位数字不含2，3，4，5，6，7。
4、设c 为奇自然数，且存在自然数a ≤
13-c ，使（2a －1）2+8c 为平方数，求证：c 为合数。
5、求最大的正整数x ，使得对任意y ∈N ，有x|（1127-+y y ）
6、证明：方程3
25y x =+无整数解。
7、求方程235=-y x 的全部整数解。
8、给数集M={1，2，…，n －1}（n ≥3）中的数染色，满足⑴i 与n －i 同色；⑵有一个k ∈M ，（k ，n ）=1，使得当i ≠k 时i 与|k －i|同色，求证：M 中有一色。
9、在一个圆周上标记了4个整数，规定一个方向，使每个整数都有相邻的下一个数，每一步操作是指对每一个数，同时用该数与下一个数之差来替换，即对于a 、b 、c 、d 依次用a －b 、b －c 、c －d 、d －a 来替换。
问经过1996步这样的替换之后，是否可以得到4个数a 、b 、c 、d ，使得|bc －ad|、|ac －bd|、|ab －cd|都是素数。
（IMO －37预选题）
10、求所有大于3的自然数n ，使得1+321n n n C C C ++整除20002（CMO －
1998）
11、有多少个正整数对x 、y ，x ≤y ，使得（x ，y ）=5！和[x ，y]=50！成立？（1997年加拿大）
12、设w （n ）表示自然数n 的素因数的个数，n ＞1。
证明：存在无穷多个n ，使得w （n ）＜w （n+1）＜w （n+2）。
13、求最小的整数n （n ≥4），满足从任意n 个不同的整数中能选出四个不同的数a 、b 、c 、d ，使a+b －c －d 可以被20整数。
14、求所有实数对（a ，b ），使对所有的正整数n 满足a[bn]=b[an]，其中[x]表示不超过x 的最大整数。
（IMO －39预选题）。