数学的魅力
数学的魅力我们所生活的世界，包括我们人类自身，无非是质与量两个方面。
所谓"质"，表现为好坏、优劣、善恶、美丑等等；而所谓"量"则表现为长短、粗细、大小、厚薄、轻重、形状以及数量之间的关系等等。
数学就是从量的角度把握和解释世界的一种努力，所以数学是一种思想，一种解释世界的方式，一种精密的语言系统。
数学是对现实世界的数量关系和空间形式的概括和反映。
"数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、慎密周详的推理，以及对完美境界的追求。
"（R·柯朗等：《数学是什么》，湖南教育出版社1985年版，第5页）正如美国数学史家M·克莱因所说的那样，"任何时候，谁想找一个推理的必然性和准确性的例子，一定会想到数学。
"（M·克莱因著，李宏魁译：《数学：确定性的丧失》，湖南科学技术出版社，1997年版，第2页）。
他还曾对数学做过这样的描述："音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，但数学却能提供以上的一切，给人快乐"。
数学依靠的是两样东西：逻辑与创造。
而人们对数学的追求则有两个目的：各种实用的目的以及数学的内在趣味。
对于一些人，这不仅仅指职业数学家，数学的精髓在于它的美妙和它对于智力的挑战。
"数学是最聪明人之间的较量，因此非常具有挑战性，同时，数学的美丽使研究数学成为一种乐趣"。
这就是菲尔兹奖得主、美国数学家符拉基米尔·福沃特斯对常人眼中枯燥的数学的认识。
当然对于另一些人，包括许多科学家和工程师，数学的首要价值是它如何能够被应用于他们的工作之中。
数学语言是表达数学思想的慎重的、有意的而且经常是精心设计的专门语言，具有抽象性、准确性、简约性和形式化等特点。
加强数学语言教学对提高数学阅读能力、数学表达以及交流能力具有重要作用。
数学语言分为符号语言、文字语言和图表语言，三类语言之间的相互转换在数学语言学习中占有重要地位。
社会建构主义数学哲学将主观知识和客观知识看成是相互维护和相互依存的。
关于数学知识的社会建构性质，欧内斯特提出了以下三点根据：1.数学知识的基础是语言知识、约定和规则，而语言知识是一种社会建构；2.个人的主观数学知识经发表后转化为客观数学知识，这需要社会性的交往与交流；3.客观性本身应该理解为社会性的认同。
（Paul Ernest 著，齐建华、张松枝译：《数学教育哲学》，上海教育出版社，1998年版，第51～52页）。
"整个数学知识是由证明予以保证的，其基础和可靠性则依赖于语言知识和规则。
"（同上，第66页）。
数学是科学的主要术语。
数学和科学具有许多共性。
包括都具有对可以理解的规划的信念；想象力和严格逻辑的相互影响；诚实与公开的思想；同行评论的极端重要性。
17世纪以来数学的发展清楚地表明，社会生产推动自然科学的发展，自然科学又推动数学的发展，并为数学发现提供灵感。
美国数学家克莱因下面的论述充分说明了这一点："对自然的深入研究是数学发现最丰富的源泉。
"（M·克莱因：《数学：确定性的丧失》，湖南科学技术出版社，1997年，第293页.）"数学是科学的王后，同时也是它们的女佣。
" （同上，第286页）。
作为人类智慧的伟大结晶，数学受到了普遍的尊敬和推崇。
在高中数学课程《标准》中提到："数学作为人类文化的重要组成部分，构成了公民所必须具备的一种基本素质。
数学科学历来是自然科学和社会科学的基础……越来越广泛的数学应用，正在不断地渗入社会生活的方方面面。
……高度发展的数学思维成为人类社会进步的重要标志。
"数学有着极其重要的教育价值。
数学是训练客观且精确的判断力的基本因素之一，数学尤其需要积极的思维活动及对结果的验证，而这会对其他学科的学习（在智力上和道德上）产生影响。
数学的奥妙不在于发现它的完美和复杂，相反在于找到最经济和简单的表述和论证。
因为数学在现代文化中扮演着中心的角色，所以对数学性质的基本了解成为科学素养的需要。
要做到这一点，学生需要将数学视为科学活动的一部分，了解数学思维的本质，并熟悉重要的数学概念和技巧。
作为一门理论学科，数学探索抽象概念之间的关系，并不考虑这些抽象在现实世界是否存在对应的本物。
心理学研究表明，一切智力的核心在于思维。
儿童数学能力的发展应该包括认知、计算、思维三个方面，而不能简单地将计算等同于数学。
有学者富有见地地指出：珠算、心算对于提高儿童的计算能力的确有很好的促进作用，但对儿童思维发展的贡献却十分有限。
数学教学的目的就在于帮助学生形成行动上的逻辑程序（思考、分析、抽象、简明、计划、演绎、推理、普遍化、具体化、应用、评判等），形成合理的思想及其表达的质量（秩序、精确、明了、简洁等），引起观察，形成空间和数目的概念，培养抽象领域里的直觉和想像，注意和关注的能力、毅力和有规则的努力之习惯，最后形成科学素养（客观、诚实、研究兴趣等等）。
这是作为一个现代人所受教育的一个基础部分，哪怕他今后从事非科学或非技术性的工作。
如何发展学生的数学能力，进行有效的教学？荷兰数学教育家弗赖塔尔认为：学习数学的惟一正确方法是实行"再创造"，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来。
国际数学教育专家在一份数学教育指导性的文件中提出了如下意见：引导学生自己形成思想，发现数学的关系和性质，而不是把承认成熟的思维强加给他们；更注意思维和推理而不是机械训练和死记硬背，限制死记一些固定的基本结论；强调数学内在的统一性；就数学思想和正在学习的理论的主要历史发展阶段作出说明；保持数学与应用数学的科学之间的合作；贯彻数学思维的要求，增加语言的精确度、语言的清晰度和简明性。
我国正在进行的基础教育课程改革对数学也提出了如下教学指导思想：1、以学生发展为本，把学习的主动权交给学生，让学生自主探索，主动积极地获取知识，使学生人人在原有基础上有所收获，有成功感，得到和谐地发展。
2、确立关于学生和教师的观念：每一个学生都可以学习数学；不同的学生学习不同水平的数学；允许学生以不同的速度学习数学；学生可以用自己的方法学习数学。
教师是课程实施过程中的决策者，是教学过程中的组织者、指导者和参与者。
3、教学中要激发学生学习数学的兴趣，要为学生提供丰富多彩的情景，要为学生留有探索与思考的余地，倡导合作交流的课程气氛。
数学知识源于生活，但并不等于生活本身的摹本，它是对生活中的数量关系与空间形式的提炼，因此，它高于生活、概括生活、具有高度的抽象性。
在教学中，联系学生的生活经验，接通生活的源头活水，就会使原本枯燥单调的理论变得鲜活生动起来。
比如初中数学中的"一次函数的表达式"为：y=k x+b，这些符号之间是怎样的一种关系呢？这个表达式能够描述和解释怎样的现象和事实？我们假定y这个因变量代表一个餐厅服务员一个月的薪水，x代表餐厅一个月的营业额（或一个服务员通过其服务所带来的营业额），k 代表从营业额中提成的比例，b也是一个常量，代表基本工资，或称之为底薪。
也就是说，餐厅服务员一个月的收入等于底薪加营业额按一定比例的提成。
这就是一个比较合理的、双赢的雇主和雇员之间的关系：作为餐厅的服务员，如果你能以自己优质的服务，赢得更多的回头客，你的收入也会更多；即使由于其他的原因，餐厅的营业额不佳，对于服务员来说，至少还有基本工资。
这样学生不仅能够很好地理解这个表达式的意念，也能真切地感受到数学学习对于生活的意义。
如果我们这样联系生活学生就能感受到数字的意义，就能发现数学尽管十分抽象，其实它是源于生活，联系生活，也能培养学生生活的智慧，当他今后成为一个经营者，或者是就业者时，怎样去处理类似的问题。
而当学生感受到学习的意义时,学习就会是快乐的，也就是更有效的。
在课堂中，与学生密切相连的生活事例，对学生而言，有一种特别的亲和力，它能够拉近学生与数学的距离。
数学解题是学生应用知识、解决问题的过程，也是学习的巩固和知识迁移的过程。
学会解题是学习成果的重要体现。
著名数学家波利亚在《怎样解题》中对数学解题划分为四个阶段：弄清问题=>拟定计划=>实现计划=>回顾。
其中"回顾"就是解题后的反思，它是解题思维过程中的深化和提高。
解题过程的反思，实际是解题学习的信息反馈调控阶段，通过反思，有利于学生深层次的建构。
体验生活化的数学魅力现实世界是数学的丰富源泉,数学源于生活、寓于生活、用于生活。
数学家华罗庚曾经说过：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，日用之繁，无处不用数学。
这是对数学与生活的精彩描述。
新颁布的《国家新课程标准》十分强调数学与现实生活的联系，在教学要求中增加了“使学生感受数学与现实生活的联系”，不仅要求选材必须密切联系学生生活实际，而且要求“数学教学必须从学生熟悉的生活情景和感兴趣的事件出发，为他们提供观察和操作的机会”, 使他们有更多的机会从周围熟悉的事物中学习数学和理解数学，体会到数学就在身边，感受到数学的趣味和作用，让生活走进数学课堂，体验到数学的魅力。
在教学过程中如何让生活问题走进数学课堂教学，我就来谈一谈自己的看法：一、数学知识生活化，生活经验数学化荷兰数学教育家汉斯.弗赖登塔尔认为：“数学来源与现实，存在于现实，并且应用与现实，数学过程应该是帮助学生把现实问题转化为数学问题的过程。
”在初学儿童学习过程中体现刚入学的儿童，不是一无所知的，无论是生活经验还是学习中的基础知识，他们都有一些。
但什么是数学，在儿童初学阶段，我们在引导认识的时候，不可能给出抽象的概念，而只能通过具体的内容，说明我们在使用数学知识。
如家里有几口人，家住在哪里，从家到学校有多远，买雪糕用多少钱，怎么付钱，一天吃多少米饭，等等，孩子们理解这些随时随地接触的东西时就用到了数学知识，从而也就有了初步的理解。
在学习的过程中，新知识的学习如果建立在已有经验的基础上，学习的效率就会得到极大的提高。
教师应关注学生的生活经验，学会用数学的眼光看待生活，善于发现生活中的数学问题，在教学中，从孩子的心里特点出发，设计孩子感兴趣的生活素材以丰富多彩的形式展现给学生。
比如，教学观察与测量时，可以通过观察汽车模型并为汽车公司设计汽车广告这一情境让学生在不同角度去观察去比较；再如，学习百以内数的认识时，先让学生估计10粒豆子有多少，再数出10粒豆子，再抓一把豆子估一估，看实际与估计的差别；从学校到家有几米；在家里吃饭时，数数碗中剩下的饭粒有多少。
使学生感受到计算问题来自生活，从而培养学生的数感、估算和观察能力。
美、趣、有价值——数学的魅力所在
积 公 式蕴含 简洁 美 ， 看谁能通 过 动 手 实
践发现 它 。 学生 顿 时兴 趣 盎 然 ， 通 过 把
圆剪 、 拼 、 摆 及 全 部 感 官协 同参与 活 动 。
拼 出各种 美丽 而 简洁 的 图案。 此 刻 学生
对数 学美 的 体 验 ， 激 发 了他 们 对数 学进
行 再 创 造 的 动 力 ，通 过 观 察 思 考每 个 图
形 ，底 (或 长 )与 圆周 长 的 关 系 ， 高(或
宽 )与 圆的半径 的 关 系，推 导 出 圆的 面
积 公 式 即 为 s = 丌 r2 ， 多简洁 的 公 式
啊 ! 通 过 把 枯 燥 无 味 的教 学公 式 的 推 导
'I
转化 成对数 学美的 体 验 与 追 求 ， 学生 的 创 新 意 识 也 就 随 之 产 生 了 创 。 造 能 力 也 就 得到 了发展 。
对称图形 ? 激发学生深入探 究 ，得 出结
论 ：圆 、 长 方形 正 、 方形 、 等腰 三 角形 等
都是轴对称图形 。 教师补充说明 ：其中
有着无数 条对称轴的圆被誉为“ 一 切平
面 图形 中最 美 的 图形 ” 。
2 ．
数学的简洁美。 数学的简洁美
包括了符号 、 公式 、 技巧 、逻 辑上 的简
学的机 会 。
例如 一 ，
位 教 师在教 学二 年
级 “ 两 步计算 实际 问题 ” 时 ，正 好 当天 是
“ 三 八 ” 妇 女 节 ， 于是他 充分利 用这 一 生
活 素材 来解 决 实 际 问 题 ：今 天 是 “ 三 八 ”
妇 女 节 ， 男 同 学做 了 一 些 纸 花 ， 女 同 学 也做 了一 些纸 花 ，你们 猜一 猜是 男 同学
数学系学生的演讲稿范文
大家好！今天，我站在这里，怀着无比激动的心情，与大家分享我在数学系的学习心得和感悟。
数学，作为一门古老而充满活力的学科，承载着人类智慧的结晶，引领着我们探索未知的世界。
在此，我将以“数学的魅力与人生的价值”为题，与大家共话数学之美。
一、数学的魅力1. 数学是一门逻辑严谨的学科数学是一门逻辑严谨的学科，它以简洁、明了、精确的语言描述了世界的本质。
在数学的世界里，每一个概念、每一个公式、每一个定理都经过严格的推导，使得我们能够用逻辑的力量去揭示事物的规律，把握事物的本质。
2. 数学是一门富有创造性的学科数学是一门富有创造性的学科，它鼓励我们不断探索、创新。
在数学的海洋中，我们不仅要学会运用已有的知识解决问题，还要敢于突破传统的束缚，寻求新的方法，为数学的发展贡献自己的力量。
3. 数学是一门应用广泛的学科数学在各个领域都有着广泛的应用，如物理学、生物学、经济学、计算机科学等。
数学的应用使得我们在解决实际问题时能够更加科学、严谨，提高工作效率。
二、数学人生的价值1. 数学培养我们的思维能力学习数学能够锻炼我们的思维能力，提高我们的逻辑推理能力、抽象思维能力、空间想象能力等。
这些能力在我们的日常生活、学习和工作中都发挥着重要作用。
2. 数学提升我们的综合素质数学是一门综合性很强的学科，它要求我们具备严谨的治学态度、良好的团队协作精神、勇于创新的精神。
这些素质将使我们成为全面发展的人才。
3. 数学拓宽我们的视野数学的发展与人类文明的进步息息相关。
通过学习数学，我们能够了解人类历史的发展脉络，拓宽我们的视野，激发我们对未知世界的探索欲望。
三、如何在数学系实现人生价值1. 树立远大理想，坚定信念作为一名数学系的学生，我们要树立远大理想，坚定信念，为实现自己的人生目标而努力奋斗。
我们要坚信，只要付出努力，就一定能够实现自己的梦想。
2. 严谨治学，勤奋学习数学是一门严谨的学科，我们要严谨治学，勤奋学习。
在课堂上，认真听讲，做好笔记；课后，积极复习，巩固所学知识。
数学的魅力与应用
数学的魅力与应用数学是一门奇妙的学科，它是以逻辑推理和推断为基础的一种科学，能够帮助人们研究各种问题并解决问题。
数学的魅力和应用远不止于纸上谈兵和作业练习，数学是人类文明发展和科技创新的关键所在。
一、数学的魅力数学有着独特的魅力，它不仅能够抽象化现实问题，还能够解决问题，甚至创造出一些没有实际应用的概念和物品，从而拓展了我们的思维和想象力。
1. 数学是思维的训练场数学的学习过程需要我们思维的反复运转和归纳推理。
通过数学的练习，不仅能够提高我们的逻辑思维能力，更能够训练我们的创造性和领悟力。
例如，掌握了数学的思维模式，我们就可以更清晰地解决复杂的问题，比如统计学中的概率预测和数据分析，这些领域的应用几乎贯穿了我们的生活。
2. 数学是一种语言数学可以看作一种语言，它不同于我们的日常交流中使用的语言，而是一种可以被世界各地的科学家和数学家理解和通用的语言。
举一个例子，除了我们普通人所常见的“阿拉伯数字”以外，数学家们还有一种特殊的数字写法——罗马数字，它们在古代就有广泛应用，比如在建筑和商业领域中都有使用。
通过学习数学，我们不仅可以掌握一种全球通用的语言，还能够了解到不同的数字记法和利用，扩展我们世界观的维度。
3. 数学的同时符合美感和艺术性数学在表现力上也能对我们产生一种魅力的效应，它既是逻辑性的，同时也充满着美感和艺术性。
比如，数学中的黄金分割、欧几里得几何、正弦函数等概念都能让我们感受到优美和自然的美感，同时也拓展了我们对这个世界的认识。
二、数学的应用自古以来，数学就是人类探索和认识世界的重要方法，从建筑、艺术到科学技术和社会经济，都与数学密切相关。
数学的应用远远超过了书本上所展示的范围。
1. 数学在科技领域的应用在当今科技飞速发展的大背景下，数学应用也变得越来越重要。
例如，微积分可以用于搜索引擎算法中的排序排序问题和减少数据库查询时间，进一步改善用户体验；数据分析和统计学可以帮助企业提高生产效率和货物库存控制；人工智能领域底层的数学框架——线性代数、优化和概率统计等也在日渐成为人工智能研究的基础。
数学的作用和魅力
数学的作用和魅力
数学被认为是一门最严谨活跃的学科，在历史中又无情又美好。
其发展为我们
带来了极大的益处，也使数学得以广泛研究、日新月异。
数学有着它独特的魅力，它温暖我们的心灵，彰显我们的智慧，并给人以无尽的乐趣。
数学为生活娱乐提供了大量机会，给人带来了良好的生活与娱乐的体验。
在生
活中，我们可以利用它，除用其深奥的研究外，也可用其技巧来减轻我们的工作量，提高我们的效率，比如做菜、安排行程等。
在娱乐活动中，数学依然有着强大的魅力。
它不仅能为我们带来精神上的满足，还能使心旷神怡，消除烦恼。
比如拼图、编码等，都是充满着数学的精彩活动，它有着很强的吸引力。
此外，人们可以利用数学来认识自然，它让我们更好地理解自然界的奥妙，研
究如何改善生活，减少污染、提高生活质量等，都是数学发挥重要作用的一个例子。
总之，数学像一把键，给我们鉴赏生活乐趣；也像一盏灯，引导我们走向更明
亮的未来。
数学之美在于它无时不在，它不拒世俗，也不怕探索，它使我们不断攀登，从而扩展我们的智慧与思维。
数学文化第四讲 数学的魅力
*
一、渔网的几何规律
用数学方法可以证明，无论你用什么绳索织一片 网，无论你织一片多大的网，它的结点数(V)，网眼 数(F)，边数(E)都必定适合下面的公式：
V + F– E = 1
*
多面体的欧拉公式
• V + F– E =2
*
数学就有这样的本领，能够把看起来复杂 的事物变得简明，把看起来混乱的事物理出 规律。
*
• 1879年，一位英国律师肯泊在《美国数学杂志》上 发表论文，宣布证明了“四色猜想”。
• 但十一年后，一位叫希伍德的年轻人指出，肯泊的 证明中有严重错误。
*
• 一个看来简单，且似乎容易说清楚的问题，居然如此困难， 这引起了许多数学家的兴趣，体现了该问题的魅力。 • 实际上，对于地图着色来说,各个地区的形状和大小并不重要 ,重要的是它们的相互位置。 • 下图中的三个地图对地图着色来说都是等价的。从数学上看, 问题的实质在于地图的“拓扑结构”。
*
拉姆塞（Ramsay）理论
拉姆塞是位天才的英国科学家，只活 了26岁。在他去世的1930年，他发表了 一篇学术论文，其副产物就是所谓拉姆 塞理论。
• 在一个集会上，两个人或者彼此认识，或 者彼此不认识，拉姆塞得出结果是说，当 集会人数大于或等于6时，则必定有3个人 ，他们或者彼此者认识或者彼此都不认识 。6称为拉姆塞数，记r（3,3）。 • 进一步当集会人数大于或等于18时，则必 定有4个人，他们或者彼此都认识或者彼此 都不认识，用记号表示就是r（4,4）=18。
*
练习
• 向量组的秩 • 矩阵的秩 • 线性空间的维数
*
• 三角形有多种多样，“三角形三内角之和等 于180度”也是“变中有不变”的性质。 • 陈省身说“不好”是相对的，有层次的区别。 “变中有不变”也是有层次的。 • 我们在学习和科学研究中，要善于抓住“变 中有不变”的性质，要有这样的素养！
高中数学的魅力
高中数学的魅力
高中数学的魅力在于其严谨、简洁与对称性。
首先，数学语言具有严谨的特点，每个概念、公式和推理都要求准确无误。
这使得数学成为一种精确的科学语言，可以用来描述各种现象和规律。
其次，数学具有简洁美的特点。
数学公式和定理的表述往往言简意赅，既不冗长繁琐，也不含糊不清。
通过数学语言，我们可以更清晰地认识和理解世界。
最后，数学中的对称性也是其魅力所在。
对称广泛存在于艺术中，如伊特鲁里亚人的墓中骑士图、中国剪纸艺术等。
在数学中，对称性也被广泛应用于几何、代数等领域。
这种对称美不仅使人赏心悦目，还可以帮助我们更好地理解和探索数学规律。
此外，高中数学也具有逻辑之美。
数学中的推理和证明过程严格遵循逻辑法则，使得数学成为一种逻辑严谨的科学。
在解决数学问题时，我们可以通过逻辑推理将复杂的问题转化为简单的子问题，从而找到问题的答案。
这种逻辑之美也体现了数学的魅力。
总之，高中数学的魅力在于其严谨性、简洁性和对称性，以及其独特的逻辑之美。
这些特点使得数学成为一种富有吸引力的学科，激发了人们对探索和理解世界的渴望。
数学的魅力
素数在加法方面的规律：哥德巴赫猜想 素数在乘法方面的规律：整数的唯一分解定理 造密码
9
6．哥尼斯堡七桥问题
(“抽象”的典型，图论的起源)
10
11
12
7．庞加莱：
地球上任何时候总有一处风速为0
13
8． 把5个重要常数和谐地统一 在一个等式中
i
e
1 0
14
二、数学的“用处”
35
为了下面表述得清楚，我们把前面的一 个结论用“反面说法”，总结为 “把两堆相等的状况留给对方，自己可以
取胜。”
然后再讨论 a、b、c 的不同情况。以其中
最小的a为“主要线索”分情况讨论。
36
（1）a ＝ 1 时，即状况为（1 , b , c）。
下面再 对 b 分情况。
由于a < b < c ,即 a、b、c “前小后大”，因此
这个命题不好。
5
三角形三内角之和 = 180 度 n 边形 n 内角之和 = ？
n 边形 n 内角之和 = 180 度 × ( n – 2 )
6
n 边形 n 外角之和 = 360 度
不变量 （向量组的秩；矩阵的秩）
曲边形
7
4．圆的魅力
车轮，是历史上最伟大的发明之一
圆，是平面图形中对称性最强的图形
第三节 数学的魅力
1
你可能喜欢音乐，因为它有优美和谐的旋律； 你可能喜欢图画，因为它从视觉上反映人和自然 的美；那么，你应该更喜欢数学，因为它像音乐 一样和谐，像图画一样美丽，而且它在更深的层 次上，揭示自然界和人类社会内在的规律，用简 洁的、漂亮的定理和公式描述世界的本质。
数学，有无穷的魅力！
2
16
数学的魅力
数学之美庞加莱曾说:“数学家十分重视其研究方法和理论是否十分优美，这并非华而不实的作风。
所谓优美的解答或证明，那就是各个部分间的和谐、对称以及恰到好处的平稳”。
数学的美是数学科学本质力量的感性和理性的显现，是一种人的本质力量通过宜人的数学思维结构的呈现。
它是自然美的客观反映，是科学美的核心。
数学的美学风格，和艺术风格是一脉相承的。
数学的美感在于其简单、和谐、丝丝入扣。
就像古代描写美人:增一分则太肥，少一分则太瘦。
徐利治早就把数学概念和诗的意境相结合，如借“孤帆远影碧空尽”来描述极限，就是一种高品位的美学欣赏。
爱舍儿的数学画，显示出浓厚的哲学意味，而奇异的数学分形艺术则是20世纪计算机技术的产物。
16.1 理智的音乐与感觉的数学乐谱的书写是表现数学对音乐影响的第一个显著的领域。
在乐稿上，我们看到速度、节拍、全音符、二分音符、四分音符、八分音符、十六分音符等。
书写乐谱时确定每小节内的某分音符数，与求公分母的过程相似——不同长度的音符必须与某一节拍所规定的小节相适应。
作曲家创作的音乐是将乐谱的严密结构美丽而又毫不费力地融为一体。
若将一件完成了的作品加以分析，可见每一小节都使用不同长度的音符构成规定的拍数。
除了数学与乐谱的明显关系外，音乐还与比率、周期函数、指数函数、三角级数、常微分方程、偏微分方程等密切联系着。
据记载，毕达哥拉斯学派是最先用比率将音乐与数学联系起来的。
传说毕达哥拉斯有一次路过铁匠作坊，被叮叮当当的打铁声迷住了。
这清脆悦耳的声音中肯定有着一定规律。
于是，他走进作坊，测量了铁砧和铁锤敲打位置的尺寸，发现当它们的比为1:0.618时，声调最和谐优美。
自此，他受到启发，进一步阐明了敲打乐和弦乐的乐音与弦长的关系。
两根绷得一样紧的弦，若一根长是另一根长的两倍，就产生谐音，而且两个音正好相差八度。
若两弦之比为3:2，则产生另一种谐音，此时短弦发出的音比长弦发出的音高五度。
事实上，产生每一种谐音的各种弦的长度都成正整数比。
数学的魅力
究起来却出人意料地困难。（当然，素数的有些规
律表述出来也是相当复杂的。）
关于素数的规律，人类有许多的“猜想”。至今还
有不少关于素数的重要猜想，既没有被证明，也没
有被否定。
有的猜想的解决，现在看来可能会十分遥远。有人
甚至预言，“人类探寻素数规律的历史，将等同于 人类的整个文明史”。
27
三个关于素数规律的问题
到1976年6月,他们终于获得成功。他们使用了3台
IBM360型超高速电子计算机,耗时1200小时,终于证
明了四色猜想。
22
这是一个惊人之举。当这项成果在1977年发表时,
当地邮局特地制作了纪念邮戳"四色足够"(FOUR COLORS SUFFICE)，加盖在当时的信件上。
23
拓展了人们对“证明”的理解
7
天津市南开区 至少有两个人头发根数一样多
构造性证明 ：
一个一个地去数天津市南开区中所有人的头发 根数，一定可以找到两个具体的人，不妨称之为张 三和李四，他们的头发根数一样多，便完成了证明。
8
天津市南开区 至少有两个人头发根数一样多
纯存在性证明 ：
“抽屉原理” 证明“367个人中至少有两个人的生日是相同的” 证明“天津市南开区中一定存在两个头发根数一样
想是正确的。
1926年雷诺兹将国家的数目提高到27个。 1936年弗兰克林将国家的数目提高到31个。 1968年挪威数学家奥雷证明了,不超过40个国家的地图可以
用四种颜色着色。但是，他们都没有最终证明“四色猜想”。
21
四色问题的解决
直到1972年，美国依利诺大学的哈肯和阿佩尔在前
人给出算法的基础上，开始用计算机进行证明。
数学的魅力
15
11月7日午夜，海面突然息浪静，巴顿军团按计划登
陆成功。事后人们说这是侥幸取胜，这位“血胆将军” 拿将士的生命作赌注。 其实，巴顿将军在出发前就和气象学家详细研究了 摩洛哥海域风浪变化的规律和相关参数，知道11月4日至 7日该海域虽然有大风，但根据该海域往常最大浪高波长 和舰艇的比例关系，恰恰达不到翻船的程序，不会对整 个舰队造成危险。相反，11月8日却是一个有利于登陆的 好天气。巴顿正是利用科学预测和可靠边缘参数，抓住 “可怕的机会”，突然出现在敌人面前。
6
虽然存在有少数花朵不符合“斐波那契数 列”，但是大部分花朵都符花朵的花瓣数会符合“斐波那契数 列”，而为什么会有少数花朵不符合“斐波那 契数列”呢，造成这种不同选择的原因是什么？ 大自然太奇妙了，目前我们对它的研究还很不 充分，需要研究的课题还有很多呢。 还有人在研究花朵的几何形状，发现花瓣 对称地排列在花托边缘，整个花朵几乎完美无 缺地呈现出辐射对称形状，除了颜色的丰富多 样，五颜六色之外，那就花瓣的形状也是有很 大的差异。但是花瓣形状之美以及整个花朵呈 现出来的对称之美，实在是让人看了之后赞叹 不已。
克芬诺基沼泽地的生态系统的动态模型。将植物及丝柏
斑块的地图与随机分形的地图相比较。结果，无需广泛 的历史资料便能得出，在物种竞争中怎样的种类能够残
留下来）。
10
事实上，生态系统用分形来处理已成为当前
的一种主要手段，它对于确定酸雨的扩散和研究 其他环境污染问题也有重要的作用。分形打开了 一个完全崭新和令人兴奋的几何学大门。这一新 的数学领域，触及到我们生活的方方面面，诸如
16
三、山本五十六输在换弹的五分钟
在战争中，有时候忽略了一个小小的数据，也会招致整个战局
的失利。二战中日本联合舰队司令山本五十六也是一位“要么全赢， 要么输个精光”的“拼命将军”。 在中途岛海战中，当日本舰队发现按计划空袭失利，海面出现 美军航空母舰时，山本五十六不听同僚的合理建议，妄图一举歼灭 敌方，根本不考虑美军4舰载飞机可能先行攻击可能。他命令停在甲 板上的飞机卸下炸弹换上鱼雷起飞攻击美舰，只图靠鱼雷击沉航空