微积分课后题答案高等教育出版社
高等数学课后习题答案--第一章
《高等数学》习题参考资料第一篇 一元函数微积分第一章 极限与连续§1 函 数习 题1.确定下列初等函数的定义域：(1) 21)(2−−+=x x x x f ；(2)4)(2−=x x f ；(3) 21arcsin )(−=x x f ；(4)2)5lg()(x x x f −=；(5) 4lg )5lg()(2−−=x x x f ；(6)x x x f cos sin )(−=。
1． 【答案】(1) )},2()2,1()1,(|{:+∞∪−∪−−∞∈=x x D (2) )},2[]2,(|{:+∞∪−−∞∈=x x D (3) ]}3,1[|{:;−∈=x x D (4) )}5,0()0,(|{:∪−∞∈=x x D (5) ]}4,1[|{:∈=x x D (6)+ +∈=+∞−∞=U k k k x x D ππ452,412|:.2. 作出下列函数的图象：（1）|sin |sin )(x x x f −=；(2)|1|2)(−−=x x f ；（3）+−−=,1,1,21)(x x x x f .12,21,1||−<<−<<≤x x x 2 【答案】 (1)2(2)2 (3)3.判断下列函数的奇偶性：（1）x x x f ++−=11)(；（2）xxx f x x +−+−=11lg110110)(；（3）x x a a x f x x sin )(++=−；（4）)1lg()(2x x x f ++=。
3. 【答案】 (1) 偶函数; (2) 偶函数; (3) 偶函数; (4) 奇函数 .4.证明:两个奇函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数。
4． 【答案】 设)(x f ,)(x h 是奇函数, )(x g 是偶函数,)()()(x h x f x f =,)()()(x g x f x G =, 于是)()()(x h x f x F −−=−))())(((x h x f −−=)()()(x F x h x f ==, 因此)(x F 是偶函数.)()()(x g x f x G −−=−)()(x g x f −=)(x G −=, 因此)(x G 是奇函数.5．设函数f 满足：D （f ）关于原点对称，且()xc x bf x af =+1)(，其中a ,b ,c 都是常数，||||b a ≠,试证明f 是奇函数。
高等数学高教版课后习题答案
z r 3 (2 s i n2 c o s s i n3 c o s 3 2 s i n c o s 2 ) 。
4．
dz 3 12t 2 。 dt 1 9t 2 24t 4 16t 6
5． 6．
dz e x (1 x) 。 dx 1 x 2 e 2 x
答案与提示
第七章 多元函数微分学
§ 1 多元函数的极限与连续 1． （1）0； （2）2； （3）0； （4）不存在； （5）0； （6）不存在； （7）0； （8）不存在。 8 2． （1） ln 2 ； （2）0； （3） ； （4）0。 5 3． （1）不连续； （2）不连续； （3）连续。 4． （1）当 x m 且 y n （ m, n Z ）时连续； （2）当 x 2 y 2 1 时连续； （3）除点 (a, b) 外都连续。 5． （1）当 | x || y | 时连续； （2）除点 (0, 0) 外都连续。 § 2 全微分与偏导数
（3）
2z ， cos xf1 sin 2 xf11 2 x
2z ， sin x sin yf12 xy
2z ； cos yf 2 sin 2 yf 22 2 y
（4）
2z 4 xy 3 f12 y 4 f 22 ， 2 yf1 4 x 2 y 2 f11 x 2
x 2 x y2 （2） J y x2 y2 y x y2 x 2 x y2
2
xdx ydy du x 2 y 2 ， 。 dv ydx xdy x2 y2
（3）
（4）
z z x xy y (ln x 1) ， x xy 1 ln x 。 x x
高等数学高教版课后习题答案
5 x 2
ax
C4 e
4
ax
（a 0） ；
（9） y (C1 C2 x) sin x (C3 C4 x) cos x ； （10） y C1 C2 x (C3 C4 x)e x 。 2． （1） y
1 7 5 （2） y e 3 x e 3 x ； sin 2 x ； 2 6 6
25．提示：微分方程的解为 y 其中 k 为常数。
1 x 26．函数 f 满足的微分方程 y 2 (2 xy x 2 y ) ，特解： y 。 3 1 x3
§ 3 二阶线性微分方程 1． （1） y C1e 3 x C2 e 2 x ； （2） y C1e 3 x C2 e 3 x ； （3） y C1 cos 2 x C2 sin 2 x ； （4） y (C1 C 2 x)e ； （5） y (C1 C2 x)e 3 x ； （6） y C1e 4 x C2 ； （7） y C1 C2 e 3 x C3 e 2 x ； （8） y C1 cos 4 a x C2 sin 4 a x C3 e
x 3 3 3 2 e ； （3） y （4） y 2e 2 x 4 xe 2 x ； cos x sin x 2 3 2
（5） y
29 x 6 6 x 1 1 e e ； （6） y e 2 x 。 7 7 2 2
3． y C1e x C2 x x 2 1 。 4． y C1e x C2 (1 2 x) 。 5． y x sin x cos x ln(cos x) C1 cos x C2 sin x 。
（3） y ( x C ) cos x ； （4） y e 2 x Ce x ； （5） y 1 Ce x ； （6） y
微积分习题答案
习题1-1１．(1) ［－３，３］；（２）（－∞，０）∪（２，＋∞）；（３）（－２，１）；（４）（－１．０１，－１）∪（－１，０．９９）２．（１）［－１，０）∪（０，１）；（２）（１，２］；（３）［－６，１）．３．（１）（－∞，１）∪（１，２］，f(0)=0,f（２)＝１．当a＜０时，f(a)=1a,当0≤a≤1时，f(a)=2a,当１＜a≤2时，f(a)=1．(2) (-2，2)，f(0)=1,f((-a)２，当1＜a＜2时，f(a)=a２－１．４． 1．５．（１）偶函数；(2) 非奇非偶函数；(3) 奇函数．８．(1) y=13arcsinx2；(2) y=log２x1-x(3) f－１（x）=１２（x＋１），－１≤x≤1，2-2-x， 1＜x≤2．９．（１）y＝１０１＋x２（－∞，＋∞）；（２）y=sinxln２，（－∞，＋∞）；（３）y=arctana２＋x２（－∞，＋∞）．习题1-2１． (1) y=3u，u=arcsinv，v=ax；（２）y=u３，u=sinv,v=lnx;（３）y=au,u=tanv,v=x2;（４）y=lnu,u=v2,v=lnw,w=t3２．（１）［－１，１］，（２）［２kπ，（２k＋１）π］，k∈Z;(3) ［－a，１－a］；（４）（－∞，－１］．３． (1) φ（x)=6+x-x2;(2) g(x)=(1+x)2+(1+x)+1;(3) f(x)=x2-2．习题1-3１． R(x)=4x-12x2．２．R(x)≈１３０x，１１７x＋９１００，０≤x≤７００，７００＜x≤１０００．３．Ｌ＝Ｌ（Ｑ）＝－１５Ｑ２＋８Ｑ－５０，＝－Ｑ５＋８－５０Ｑ．习题2-1略．习题2-2２．f(x)=-1,１，x≤０x＞０，则limx→０f(x)=1，但limx→０－f(x)=-1，limx→０＋f(x)=1，故limx→０f(x)不存在．３．limx→０(x２＋a）＝a,limx→０-e１x＝０，a=0．２．，，，，，，，．３．(1)无穷大量．(2) x→０＋时为无穷大量，x→１时为无穷小量．x→＋∞时为无穷大量．（３）x→０＋时为无穷大量，x→０－时为无穷小量．(4) 无穷小量．（５）无穷小量．(6) 无穷小量．习题2-4５．（１）３/５；（２）０；（３）∞； (4) 1/3；(5) 4/3６．（１） 16；(2) ∞；（３）３；（４）－２２；（５）３x２．（６）４３；（７）n（n＋１）２；（８）１；（９）１；（１０）－１；（１１）０．习题2-5１．53；2．２５；３．１；４．２２；５．２１２；６．e－１；７．e３；８．lna；９．２lna；１０．０；１１．e－１2；１２．１；１３．１；１４．１；１５．e１e；１６．e－１．习题2-6３． tanx－sinx=O（x３）４．(1) ab；(2) k２２；(3) 2；(4) 24；(5) 1；(6) 1；(7) 49；(8) 3．习题2-7４． (1) x=1(可去)，定义f(1)=2;x=2(第二类)；(2) x=0(可去)，定义f(0)=1;x=kπ，k≠0，为整数(第二类)；(3) x=0(第一类；(4) x=2(第二类)；x=-2(可去)，定义f(-2)=0;(5) x=0(可去)，定义f(0)=0．６．f(x)=sgnx，x=0（第一类)，f(x)∈C［（－∞，０）∪（０，＋∞）］７．（１）１２；（２）３；（３）０；（４）π3；(5) 1．习题3-1１．２９．２．－１x２０．３．４x-y-4=0,8x-y-16=0４．（１）-f′(x0);(2) -f′(x0);(3) 2f′(x0)５．（１）１２x；（２）－２３x－５３；（３）１６x－５6．６．连续但不可导．８．（１）f′(2) f′12，f′９．f′(x)＝cosx，１，x＜０，x≥０．１０．a=2,b=-1．１１．（１）在x=0处连续，不可导；(2) 在x=0处连续且可导；(3) 在x=1必连续，不可导．１３．(1) -０．７８m/s；(2) 10-gt;(3) 10g（s)．１４． dＱdtt=t0．１５．（１）limΔＴ→０Q(T＋ΔＴ）－Ｑ（Ｔ）ΔＴ；（２）a＋２bＴ．习题3-2１．(1) 3t；(2) xx+12xlnx；(3) 2xsin２x－２xsinx＋cosx－x２cosx－sin２x＋x２sin２x．(4) 1-sinx-cosx(1-cosx)2；(5) sec2x；（６）xsecxtanx-secxx2-3secx·tanx；(7) １x１－２ln10＋３ln２；(8) －1+2x(1+x+x2)2．２．（１）２４１＋π２；（２）f′(0)=３２５，f′（２）＝１７１５；（３）f′（１）＝５．３．略．４．(1) 3e3x；(2) 2x1+x4；(3) 12x+1e2x+1；(4) 2xln(x+1+x２）＋１＋x２；(5) ２x·sin１x２－２xcos１x２；(6) －3ax２sin２ax３；(7) xx２·x２－１；(8) ２arcsinx２４－x２；(9) lnxx·1+ln２x；(10) nsinn-1x·cos(n+1)x;(11) １1-x2+1-x２；(12) －１（1+x）２x(1-x)；(13) -thx；（１４）a２-x2．５．１３．６．2x+3y-3=0; 3x-2y+2=0; x=-1; y=0．７． (1) 2xf′(x2);(2) sin2x［f′（sin２x）-f′(cos2x)］．８．（１）-x2-ayy2-ax；(2) 1-yx(lnx+lny+1)；(3) -ey+yexxey+ex;(4)x+yx-y；(5) ex+y－yx-ex+y．９．（１）x+2(3-x)4(x+1)512(x+2)－43-x-5x+1；(2) sinxcosxcos２xsinx-sinxln sinx；(3) e2x(x+3)(x+5)(x-4)2+1x+1-12(x+5)-12(x-4)．１０．（１）sinat+cosbtcosat-sinbt;(2) cosθ-θsinθ1-sinθ-θcosθ．１１．３－２．习题3-3１． f(n)(x)=(-1)n-1(n-1)!(1+x)n．２． y(n)=(-1)n·an·n!·(ax+b)-(n+1)．f(n)(x)=(-1)n2·n!·1(x-1)n+1-1(x+1)n+1３． (1) 0;(2) 4e,8e;(3) 7200,720．４． (1) -b4a2y3;(2) e2y(3-y)(2-y)3;(3) -2csc2(x+y)cot3(x+y);(4) 2x2y［3(y2+1)2+2x4(1-y2)］(y2+1)3．５． (1) -1a(1-cost)2;(2) 1f″(t)．６． (1) 4x２f″(x2)+2f′(x2);(2) f″(x)f(x)-［f′(x)］2f．习题3-4１．(1) sint;(2) －１ωcosωt;(3) ln(1+x);(4) -12e-2x;(5) 2x;(6) 13tanx;(7) ln2x2;(8) -1-x2．２．（１）０．２１，０．２，０．０１；（２）０．０２０１，０．０２，０．０００１．３．（１）（x+1)exdx;(2) 1-lnx〖〗x2dx;(3) -12xsinxdx;(4) 2ln5·5ln tanx·1sin2xdx;(5) -12cscx2dx;(6) 8［xx(1+lnx)-12e2x］dx;(7) 121-x2arcsinx+2arctanx1+x2dx．４．(1) ey1-xeydx;(2)-b2xa2ydx;(3) 22-cosyds;(4)1-y21+2y·1-y2dx．５．(1) ２．００８３；（２）－０．０１；（３）０．７９５４．习题3-5１．（１）１．１；（２）６５０；（３）６５０－５０１２９．２．（１）９６．５６；（２）是，提高2．３．（１）a,axax+b,aax+b;(2) abebx,bx,b;(3) axa-1,a,ax．４．提高8%；提高16%．５．５．９．习题4-1１．ξ＝π２．２．（１）满足，有ξ＝０；（２）不满足第二个条件，没有；(3) 不满足第一和第三个条件，有ξ＝π２．３．有分别位于区间(1，2)，(2，3)，(3，4)内的三个根．４．ξ＝３３．习题4-2１．（１）－３５；（２）１２；（３）mnam-n；（４）１a（５）０；（６）０；（７）1；(8) 32；(9) e；（１０）e－２π；（１１）１e；（１２）∞（１３）１３；（１４）e－１２．２．m=-4,n=3４．f″（x）；习题4-3１． xex=x+x2+x32!+…+xn(n-1)!+1(n+1)!(n+1+θx)eθxxn+1（０＜θ＜１）．２．1x=-1-(x+1)-(x+1)2-…-(x+1)n+(-1)n+1(x+1)n+1［-1+θ(x+1)］n+2（０＜θ＜１）．３．f(x)=-56+21(x-4)+37(x-4)2+11(x-4)3+(x-4)4．４．(1) １６(提示：只要将sinx展开成三次多项式即可)．(2) 12(提示：令u=１x，再将ln(1+u)展开成二次多项式）．习题4-4１．（１）(-∞，-1)和(3，+∞)为增区间，(-1，3)为减区间，f(-1)=3为极大值，f(3)=-61为极小值．(2) (1，+∞)为增区间，(0，1)为减区间，f(1)=1为极小值．（３）（－∞，2)为增区间，(2，+∞)为减区间，f(2)=1为极大值．（４）（－∞，０）和(0，2)为增区间，(2，+∞)为减区间，f(2)=-4为极大值．５．当a=2时，f(x)在x=π３取极大值3．习题4-5１． 15元２．x=αcPQ１１－α３．（１）Ｑ＝３；（２）ＭＣ＝＝６４．(1) 1000件；(2) ６０００件５． (1) ４３１．３２５吨(2) 12次(3) ３０．４５２天(4) 13６６４３．９元６．α＝２３（３－６）π．７．t=１４r２．８．v=３２００００≈２７．１４（km/h）习题4-6１．（１）在-∞，１３下凸，１３，＋∞上凸，拐点13，227；(2) 在(-∞，－１）上凸，(-1，1)下凸，(1，+∞)上凸，拐点(-1，ln２)及(1，ln ２）；（３）在(-∞，－２)上凸，(-2，+∞)下凸，拐点(-2，-2e－２)；（４）在(-∞，+∞)下凸，无拐点；(5) 在(-∞，-3)上凸，(-3，6)上凸，(6，+∞)下凸，拐点6，227；(6) 在-∞，12上凸，12，+∞下凸，拐点12，earctan１２．３．a=-32，b=９２．４．（１）垂直渐近线x=0;(2) 水平渐近线y=0;(3) 水平渐近线y=0，垂直渐近线x＝3；(4) 垂直渐近线x=12，斜渐近线y=12x+1〖〗4．５．（１）定义域(-∞，+∞)，极大值f(1)=12，极小值f(-1)=-12,拐点3，34，-3，-34，渐近线y=0；(2) 定义域(-∞，+∞)，极大值f(-1)=π2-1，极小值f(1)=1-π２，拐点(0，0)，渐近线y=x+π,y=x-π;(3) 定义域(0，+∞)，极大值f(1)=2e，拐点，２，４e2，渐近线y=0．习题5-1１．（１）２７x７〖〗２-103x3２+C；(2) 2x-43x3２+25x5２+C；(3) 3xex１＋ln３＋Ｃ；（４）x＋sinx２＋Ｃ；（５）２x－５２３xln２－ln３＋C；（６）－（cotx＋tanx）＋C．２．（１）y＝x2-2x+1;(2) cosx+C;(3) x-sinx;(4) Q=1000１３Ｐ习题5-2１．(1) 1a；(2) 17；(3)110；(4) -12；(5) 112；(6) 12；(7) -2；(8) 15；(9) -1；(10) -1；(11) 13；(12) 12；(13) -1；(14) 32．２．（１）１５e５t＋Ｃ；（２）－１８（３－２x）４＋Ｃ；（３）－１２ln１－２x＋Ｃ；（４）－１２（２－３x）２３＋Ｃ；（５）－２cost＋Ｃ；（６）lnlnlnx＋Ｃ；（７）１１１tan１１x＋Ｃ；（８）－１２e-x２＋Ｃ；（９）lntanx＋Ｃ；（１０）－lncos１＋x２＋Ｃ；（１１）arctanex＋Ｃ；（１２）－１３（２－３x２）１２＋Ｃ；（１３）－３４ln１－x４＋Ｃ；（１４）１２cos２x＋Ｃ；（１５）１２arcsin２x３＋１４９－４x２＋Ｃ；（１６）x２２－９２ln（x２＋９）＋Ｃ；（１７）１２２ln2x-12x+1+C；(18) 13lnx-2x+1+C；(19) t2+14ωsin２（ωt＋φ）＋Ｃ；（２０）－１３ωcos３（ωt＋φ）＋Ｃ；（２１）１２cosx－１１０cos５x＋Ｃ；（２２）１３sin３x２＋sinx２＋Ｃ；（２３）１４sin２x－１２４sin１２x＋Ｃ；（２４）１３sec３x－secx＋Ｃ；（２５）（arctanx）２＋Ｃ；（２６）－１arcsinx＋Ｃ；（２７）１２（lntanx）２＋Ｃ；（２８）－1xlnx＋Ｃ；（２９）a２２（arcsinxa－xa２a２－x２）＋Ｃ；（３０）x１＋x２＋Ｃ；（３１）x９－９－３arccos３x＋Ｃ；（３２）１２（arcsinx＋lnx＋１－x２）＋Ｃ；（３３）arcsinx－x１＋１-x２＋Ｃ；（３４）arcsinxa－a２－x２＋Ｃ；（３５）－４－x２x－arcsinx２＋Ｃ；（３６）ln１＋x＋x２＋２x－２xx２＋２x＋Ｃ；（３７）－１１＋tanx+Ｃ；（３８）x＋lnx１＋xex＋Ｃ．习题5-3１．（１）-xcosx+sinx+C;(2) -(x+1)e－x +C;(3) xarcsinx+１－x２+C;(4) sinx-cosx2e-x+C;(5) -217e-2xx2＋4sinx2+C;(6) -12x2+xtanx+lncosx+C;(7) -t2+14e－2t+C;(8) x(arcsinx)2+21-x2arcsinx-2x+C;(9) 12-15sin2x-110cos2x）ex+C;(10) 3e3x(３x2-23x+2+C;(11) x2(coslnx+sinlnx)+C;(12) -12x2-32cos2x+x2sin2x+C;(13) 12（x２-1)ln(x-1)-14x2-12x+C;(14) x36+12x2sinx+xcosx-sinx+C;(15) -1x(ln3x+3ln2x+6lnx+6)+C;(16) -14xcos2x+18sin2x+C;(17) -12xcot2x-12x-12cotx+C;(18) 12x2ex2+C;(19) xlnlnx+C;(20) (1+ex)ln(1+ex)-ex+C;(21) 12tanxsecx-12lnsecx+tanx+C;(22) -ln(x+1+x22(1+x2)+x22+x2+C;(23) ex1+x+C;(24) x-121+x2earctanx+C．习题5-4(1) lnx+1x2-x+1+3arctan2x-13+C;(2) x3３+x２2+x+8lnx-3lnx-1-4lnx+1+C；（３） x-tanx+secx+C；（４）14lntanx2-18tan2x2+C．习题6-1１．１３（b3-a3)+b-a．２．（１）１；（２）14πa2．３．(1) ∫10x2dx较大；(2) ∫10exdx较大．４．(1) 6≤∫41(x2+1)dx≤51;(2)π9≤∫3１3xarctanxdx≤23π；(3) 2ae－a2＜∫a-ae-x2dx＜2a；(4)-2e2≤∫02ex2-xdx≤-2e-1〖〗4．习题6-2１．（１）２x１+x4;(2) x5e-3x;(3) (sinx-cosx)cos(πsin2x);(4) sinx-xcosxx2．2．(1) -12;(2) 6;(3) 2．３．cosxsinx-1．4．当x=0时．5．(1) 23(8-33);(2) 16;(3) 1+π8；(4) 203．６．－３２．习题6-3１．（１）０；（２）５１５１２；（３）１６；（４）１４；（５）π６-３８；（６）２（３－１）；（７）２－２３３；（８）π２；（９）１２ln３２；（１０）ln２－１３ln５；（１１）７ln２－６ln（６２＋１）；（１２）４３．２．（１）０；（２）０；（３）３２π．习题6-4２．（１）１－２e;(2) 14（e２+1);(3) 4(2ln2-1);(4) 14-133π+12ln32;(5) 15(eπ-2);(6) 2-34ln2；(7) π3６－π4；(8) 12(esin1-ecos1+1);(9) ln2-12;(10) 12-38ln3．３．０．习题6-5１．（１）１；（２）２；（３）４３；（４）７６；（５）１２＋ln２；（６）１６；（７）e＋１e-２；（８）b-a．２．（１）Vy=2π;(2) Vx=1287π,Vy=12．8π;(3) Vy=310π;(4) Vx=pa2π;(5)Vy=4π2．３．（１） a=1e，(x0,y0)=(e2,1);(2) S=16e2-12．4． 12ln2提示：f(x)=0,x1+x2, x≥０x＜０．5． a=-4,b=6,c=0．６． 50;100．7． (1) Q=2．5,L=6．25;(2) 0．25．８．９６．７３习题6-6１．（１）１３；（２）发散；(3) １a；（４）发散；(5) 发散；(6) π；（７）８３；（８）１；（９）π２；（１０）－１；（１１）发散；(12) 1．２．当k＞１时收敛于1(k-1)(ln2)12-1；当k≤1时发散；当k＝１－１lnln２时取得最小值．３．n!．４．（１）π4；(2) π2５．In=-(2n)!!(2n+1)!!=22n(n!)2〖〗(2n+1)!(n=0,1,2,…）．６．（１）1nΓ1n;(2) Γ(α+1);(3) 1nΓm+1n;(4) 12Γn+12．习题7-1１．略．２．(1) (a,b,-c),(-a,b,c),(a,-b,c);(2) (a,-b,-c),(-a,b,-c),(-a,-b,c);(3) (-a,-b,-c)．３．坐标面： (x0,y0,0),(0,y0,z0),(x0,0,z0)；坐标轴： (x0,0,0),(0,y0,0),(0,0,z0)．４．x轴： 34， y轴： 41， z轴： 5．５．（０，１，－２）．６．略．习题7-2１．ＭＡ→＝－１２（a+b);MB→＝１２（a-b);MC→=12(a+b);MD→=12(b-a)．２．略．３．（２，１，１）．４．（１６，０，－２０）．５．Ｍ１Ｍ２→＝（１，－２，－２），Ｍ１Ｍ２→＝３．１３，－２３，－２３或－１３，２３，２３．习题7-3１．（１）１；（２）４；（３）２８．２．（１）３，５i+j+7k;(2) -18，10i+2j+14k；(3) -10i－２j－１４k．３．－３２．４．±（６２，８２，０）．５．１４．６．略．７．４５j－３５k或－４５j＋３５k．８．∠Ａ＝７６°２２′，∠Ｂ＝７９°２′，∠Ｃ＝２４°３６′．习题7-4１．３x-2y+5z-22=0．２．2x+9y-6z=121．３．略．４．x+z-1=0．５．x+y+z-2=0．６．2x+3y+z-6=0．７．(1) x=2；(2) x+3y=0；(3) x-y=0．８．１３，２３，－２３．９．（１）互相垂直；(2) 互相平行；(3) 斜交(相交但不垂直)．习题7-51．（１）x-23=y-31=z-11；(2) x-31=y-4２=z+4-1；(3) x-21＝y-20=z+1〖〗0；(4) x2=y-31=z+23．２．x+3-5=y=z-25，[JB(｛〗x=-3-5t，y=t，z=2+5t．３．x-2＝y-23=z-4〖〗1．４．x-21=y+22=z3．５．x-10=y+37=z+2〖〗16．６．４６１，６６１，－３６１．７．Ｂ＝１，Ｄ＝－９．８．x-3-1=y-31=z1．９．φ＝arcsin1310．１０．４x-y-2z-1=0．１１．y-z+3=0，x-y-z+1=0．１２．５．１３．（１）垂直，(2) 平行，(3) 重合．习题7-6１．（x+1)2+(y+3)2+(z-2)2=32．２．以点(1，-2，-1)为球心，半径等于6的球面．３．(1) x23+y24+z24=1; x23+y24+z23＝１；(2) x2-y2-z2=1; x2+y2-z2=1．４．（１）母线平行于z轴的椭圆柱面；(2) 母线平行于x轴的抛物柱面；(3) 椭圆锥面；(4) 旋转椭球面；(5) 双叶双曲面；(6) 圆锥面．５．3y2-z2=16, 3x2+2z2=16６．x2+y2+(1-x)2=9，z=0；(1-z)2+y2+z2=9，x=0；x+z=1，y=0．７．（１）椭圆；(2) 双曲线；(3) 抛物线．８．略．习题8-1１．（１）（x,y)x2a2+y2b2≤１；(2) ｛(x,y)x＞y,且x-y≠１｝；(3) (x,y)-1≤yx≤１，且x≠０＝｛x＞０，－x≤y≤x；x＜０，x≤y≤－x｝；（４）｛(x,y)x≥y，x2+y2≤１，y≥０｝．２．（１）３１；（２）１x３－４xy＋１２y２；（３）（x+y）3－２（x２－y２）＋３（x－y）２．３．f(x)＝（x＋２）x，Ｆ（x,y）＝y＋x－１．４．略习题8-2１．（１）不存在，(2) 存在．２．（１）０，（２）１，（３）２，（４）０．３．｛（x,y)y２＝２x，x∈Ｒ｝．习题8-3１．（１）z′x=y(1+x)y-1,z′y=(1+x)yln(1+x);(2) z′x=-yx２cotyx·sec2yx，z′y=1xcotyx·sec2yx；（３）z′x=-yx2+y2，z′y=xx2+y2；(4) u′x=-zlnyx2·yzx，u′y=zx·yzx-1，u′z=１xyzx·lny．２．－１，２．３．１，１＋π６．４．略．５．偏导数存在．６．α＝π４．７．Δz=-0．12,dz=-0．1．８．（１）du＝dx-dy；（２）dz=-xy（x２＋y２）３／２dx＋xy（x２＋y２）３／２dy．习题8-4１．（１）２e2cost＋３t２［３t-sint］；（２）３－４t－３＋３２t１２sec23t+2t2+t32．２．（１）z′u=(2xy-y2)cosv+(x2-2xy)sinv；(2) z′v=-(2xy-y2)usinv,z′y=euvx２+y２（ux+vy）．３．（１）u x=1yf′1，u y＝－xy２f′１＋１zf′２，u z＝－yz２f′２；（２）z x＝２xf′，zy＝２yf′；（３）u x＝f′1+yf′2+yzf′3，u y＝xf′2+xzf′３，u z＝xyf′2．４．略．５．（１）dz=(x２+y２)sin（２x＋y）２sin（２x＋y）x２＋y２（xdx＋yd y）＋cos（２x＋y）ln（x２＋y２）（２dx＋dy）；（２）du＝１f（x２＋y２－z２）dy－yf′（x２＋y２－z２）f（x２＋y２－z２）（２xd x＋２ydy－２zdz）．６．（１）z′x＝ex＋y＋yzez－xy，z′y＝ex＋y＋xzez－xy；（２）z x＝zx＋z，z y＝z２y（x＋z）．７．略．８．z x＝（vcosv－usinv）e－u，z y＝（ucosv+vsinv)e-u．９．dudx＝f′x+y２f′y1-xy+zf′zxz-x．习题8-5１．（１）２z x２＝１２x２－８y２，２z y２＝１２y２－８x２，２z x y＝－１６xy；（２）２z x２＝２xy（x２＋y２）２，２z y２＝－xy（x２＋y２）２，２z xy＝y２－x２（x２＋y２）２；（３）２z x２＝yxln２y，２zy２＝x（x－１）yx-2；２z xy＝yx－１（１＋xlny）；（４）２z x＝１x，２z y２＝－xy２，２z x y＝１y．２．（１）２z x２＝４xf″（x２＋y２）＋２f′（x２＋y２），２z y２＝４yf″（x２＋y２）＋２f′（x２＋y２）；（２）２z x２＝y２f″１１＋２yf″１２＋f″２２，２z y２＝x２f″１１＋４xf″１２＋４f″２２，２z x y＝xyf″１１＋２yf′１２＋f′1+xf″２１＋２f″２２．３．２z x２＝z（２x－２－z２）x２（z－１）３，２z y２＝z（２z－２－z２）y２（z－１）３，２z x y＝－zxy（z－１）３．习题8-6１．１＋２３．２．２３．３．α＝π４时取得最大值2；α＝５π４时取得最小值-2；α＝７π４时，方向导数为零．习题8-7１．（１）极大值f(0,0)=3；(2) 极小值f１２，－１＝－e２；（３）极大值fa３，a３＝a３２７（a＞０)，极小值fa３，a３＝a３２７（a＜０）．２．极大值z（４，１）＝７，最小值z４３＋２２３，－１≈-１１．６７．３．极小值z(2,2)=4．４．a≥１２，最小距离为a－１４；a≤１２，最小距离为a．５．a的分法是三等分时，乘积最大为a３２７．６．x=100,y=25,f(100,25)=1250．７．x=70,y=30,λ＝－７２，Ｌ＝１４５（万元)．习题8-8１．（１）∫１－１dx∫３－３f(x,y)dy, ∫３－３dy∫１－１f(x,y)dx;（２）∫４０dx∫２xxf(x,y)dy, ∫４０dy∫y１４y２f(x,y)dx;（３）∫r－rdx∫r２－x２０f(x,y)dy, ∫r０dy∫r２－y２－r２－y２f(x,y)dx．２．（１）∫１０dx∫xx２f（x，y）dy；（２）∫a０dy∫a＋a２－y２a－a２－y２f （x，y）dx;（３）∫１０dy∫２－yyf（x，y）dx．３．（１）e－１e２；（２）２９１５；（３）－１２；（４）２３；（５）１－２π；（６）２πＲ２２＋Ｒ３；（７）３６４π２；（８）２－π２．４．５１４４．５．π．６．８π．７．ＳＤ＝１２e－１，ＶＤ＝１２e２－e－１２．习题9-1１．（１）a＞１收敛；0＜a≤１发散；(2) 发散；(3) 发散；(4) 收敛；(5) 发散；(6) 发散；(7) 发散；(8) 发散．２．（１）收敛，s＝３２；（２）收敛，s＝１４；（３）发散；(4) 发散．习题9-2１．（１）收敛；(2) 发散；(3) 发散；(4) 收敛；(5) a＞１，收敛；0＜a≤１发散；(6) 发散；(7) 发散；(8) 收敛；(9) 发散；(10) 发散；(11) 收敛；(12) 收敛；(13) 收敛；(14) 收敛；(15) 收敛；(16) 收敛．习题9-3１．（１）条件收敛；(2) 绝对收敛；(3) 绝对收敛；(4) 绝对收敛；(5) 绝对收敛；(6) 条件收敛；(7) 绝对收敛；(8) 条件收敛．习题9-4１．（１）（-∞，+∞)；(2) (-e，e）；(3) (-2，2)；(4) (-1，1)；(5) (-4，0)；(6) １２，３〖〗２．２．（１）－ln（１＋x）；x＜１；（２）２x（１－x２）２，x＜１；（３）当x≠０且x＜１时，s(x)＝１＋１x－１ln（１－x）；当x＝０时，s(x)＝０；（４）１＋x（１－x）２，x＜１．３．（１）１５３２；（２）１２ln（１＋２）；（３）１０９；（４）４．习题9-5１．（１）１－x２２·２！＋x４２·４！－…＋（－１）nx２n２·（２n）！＋…（－∞＜x＜＋∞）；（２）∑∞n=1（－１）n-1（２n－１）！x２２n－１（－∞＜x＜＋∞）；（３）∑∞n=1（－１）n-1x2n-1〖〗（n－１）！（－∞＜x＜＋∞）；（４）∑∞n=0x2n, x＜１；（５）２２∑∞n=0（－１）nx2n（2n）！＋x2n+1（２n+1）！（－∞＜x＜＋∞）．２．（１）∑∞n=0１２n+1（x－１）n（－１＜x＜３）；（２）∑∞n=0[ＪＢ（（〗（－１）n２·x－π３２n（２n）！＋（－１）n＋１３２x－π２２n＋１（２n＋１）！（－∞＜x＜＋∞）；（３）∑∞n=0(－１）n１２n＋２－１２２n＋３（x－１）n（－１＜x＜３）；（４）∑∞n=0（－１）n３n＋１（x－３）n（０＜x＜６）．３．（１）２．７１８２８；（２）０．２５０４９．习题10-1１．（１）一阶，(2) 二阶，(3) 三阶，(4) 一阶．２．略．３．y′=y-xx．４．y′＝y－x＋１．习题10-2１．（１）（１－x)(1+y)=Ｃ（Ｃ为任意常数，以下Ｃ，Ｃ１，Ｃ２…均为任意常数)；(2) １－x２＝lny＋Ｃ；（３）y２＝Ｃ（１－x２）－１；（４）secx＋tany＝Ｃ；（５）２y３＋３y２－２x３－３x２＝５；（６）（y＋１）e－y＝１２（１＋x２）；（７）ey＝１２（e２x＋１）．２．Ｔ＝Ｔ０e－kt＋α（１－e－kt）， k为比例系数．３．（１）y+x２+y2=Ｃx2;(2) y=2xarctan(Ｃx);(3) x3+y3=Ｃx2;(4) y=2x1+x2;(5) y=xe1-x;(6) (x+3)２+(y+1)2=Ｃe-arctanyx;(7) x+3y+2ln2-x-y=Ｃ．４．（１）y=Ｃex－12（sinx+cosx);(2) y=xn(Ｃ+ex);(3) x=2(y-1)+Ｃe-y;(4) x=y+Ｃcosy；(5) y=(x+1)ex;(6) y=2(1+x3)3(1+x2);(7) y=2lnx-x+2;(8) y=(1+sinx-xcosx)·e－x2；(9) y3=Ｃx3+3x4;(10) １x2=1-y2+Ｃe-y2．５．y′=３yx2－2·yx，y-x=-x3y．６．x=ab+x0-abe-bt．７．f(x)=-2e-3x-1．８．Ｃ(x)=(x+1)［Ｃ０+ln(x+1)］．９．x＝ab（Ｃ０x０－a）１b＋１·x０．习题10-3１．（１）y=(x-3)ex+12Ｃ1x2+Ｃ2x+Ｃ3;(2) y=xarctanx-12ln（１＋x２）＋C1x＋C2；(3) y=C１arctanx+C2;(4) y=-lnx+c１+c2；(5) 1+C1x2=(C2t+C2)2；（６）lny=C1(y-x)+C2．２．（１）y=16x3lnx-1136(x3-1);（２）y=lnx+12ln２x;(3) y=x．３．C１＋C２ex＋x．４．（１）y=(Ｃ１＋Ｃ２x)e２x；（２）y＝Ｃ１e－x＋Ｃ２e２x；（３）y＝９e－２x－８e－３x；（４）y＝－１３exxcos３x．５．（１）y＝（１－１２x）e－２x＋Ｃ１e－５x＋Ｃ２e２x；（２）y＝（x＋１）２＋Ｃ１e２x＋Ｃ２e４x；（３）y＝１１８cosx＋４sinx－１８cos３x；（４）y＝x＋１２x２e４x．６．f（x）＝２（ex－x）．７．a=-3,b=2,α=-1;y=Ｃ１ex＋Ｃ２e２x＋xex．８．φ（x）＝１２（sinx＋cosx＋ex）．９．y＝２３e２x－２３e－x－xe－x．１０．y＝－７e－２x＋８e－x＋（３x２－６x）e－x．１１．s＝mgkt－m２gk２（１－e－kmt）．习题10-4１．C（x)=3ex（１＋２e３x）－１．２．Ｒ＝abs０（ebt－１），Ｓ（t）＝s０e－bt．３．Ｙ（t）＝Ｙ０eγt，Ｄ（t）＝αＹ０γeγt＋βt＋Ｄ０－αＹ０γ，limt→＋∞Ｄ（t）Ｙ（t）＝α〖〗γ．４．（１）Ｙ（t）＝（Ｙ０－Ｙe）eμt＋Ｙe，Ｙe＝b１－a，μ＝１－aka，Ｃ（t)=a(Ｙ０－Ｙe）eμt＋Ｙe，Ｉ（t)=(1-a)(Ｙ０－Ｙe）eμt；(2) limt→＋∞Ｙ（t）Ｉ（t）＝１１－a．５．y(6)=５０００１＋１１．５e－３（ln１１．５－ln８）．习题11-1１．（３），（４）．２．（１）一阶；(2) 五阶；(3) 三阶；(4) 六阶；(5) 二阶．３．（１）Δ２yt＝２；（２）Δyt＝（e－１）２et；（３）Δ２yt＝６（t＋１），Δ３yt＝６；（４）Δ２yt＝lnt２＋４t＋３t２＋４t＋４．４．略．习题11-2１．yＡ(t)＝Ａ１＋Ａ２t＋１（Ａ１，Ａ２为任意常数．以下A，A１，Ａ２…均为任意常数)．２．a(t)＝－１＋１５，f(t)＝１－１t·２t．３．略．４．（１）yt＝Ａ－１３t＋１；（２）yt＝Ａ－１２t＋７９＋１３t ；（３）yt＝Ａ（－１）t＋１３·２t；（４）yt＝Ａ－１３·２tcosπt．５．（１）yt＝０．１×３８t＋０．１；（２）yt＝１２t－２＋t；（３）yt＝２t－t＋４；（４）yt＝（－４）t＋sinπt．６．yt＝Ａ（－a）t＋b１＋a．７．（１）略；(2) yt＝１y０－bＣ－aaＣt＋bＣ－a）－１，１y０＋bat－１，当Ｃ≠a时，当Ｃ=a时．（３）yt＝１２t＋１＋３２－１．习题11-3１．（１）yＡ(t)＝Ａ１（－１）t＋Ａ２１２t；（２）yＡ（t）＝（３）t（Ａ１cosωt＋Ａ２sinωt），tanω＝－２；（３）yＡ（t）＝（Ａ１＋Ａ２t）·４t；（４）yＡ（t）＝Ａ１cosπ３t＋Ａ２sinπ３t；（５）yＡ（t）＝Ａ１（１．８）t＋Ａ２（２．１）t；（６）yＡ（t）＝Ａ１［２（a＋１）＋２a＋１）］t＋Ａ２［２（a＋１）－２a＋１］t．２．（１）yt＝Ａ１５＋１７２t＋Ａ２５－１７２t－１；（２）yt＝２tＡ１cosπ３t＋Ａ２sinπ３t＋１３（a＋bt）；（３）yt＝Ａ１＋Ａ２·２t＋１４×５t；（４）yt＝Ａ１＋Ａ２－１３t＋cosπ２t－２sinπ２t；（５）yt＝Ａ１（－１）t＋Ａ２（－２）t＋t２－t＋３；（６）yt＝Ａ１（－２）tt＋Ａ２·３t·t１１５t－２２５．３．（１）t＝２５t２＋１２５t＋６４１２５＋１８６１２５（－４）t；（２）t＝４t＋４３（－２）t－４３；（３）t＝１９５１３０－２０〖〗１３０（－４）t－９２６１３t；（４）t＝４＋３２１２t＋１２－７２t．习题11-4１．Ｙt＝（Ｙ０－Ｙe）αt＋Ｙe，Ｙe＝１＋β１－α；Ｃt＝（Ｙ０－Ｙe）αt＋αＩ＋β１－α．２．Ｙt＝（Ｙ０－Ｙe）·λt＋Ｙe，其中λ＝１＋r（１－α），Ｙe＝β１－α；Ｃt＝α（Ｙ０－Ｙe)λt＋Ｙe；Ｉt＝（１－α）（Ｙ０－Ｙe）λt．３．Ｙt＝Ｙ０＋βα·λt－βα，其中λ＝δrδr－α；Ｓt＝（αＹ０＋β）·λt；Ｉt＝１δ（αＹ０＋β）·λt．４．Ｄn（t）＝Ａ１λt１＋Ａ２λt２，其中λ１，２＝２［（ab＋１）±１＋２ab］．５．Ｙt＝（β)t（Ａ１cosωt＋Ａ２sinωt）＋α１－β，其中ω＝arctan１β－１，０＜ω＜πＵπ＝（β）t＋１［Ａ１cosω（t－１）＋Ａ２sinω（t－１）］＋αβ１－β；Ｓt＝（β）t｛Ａ１［βcosω（t－１）－cosω（t－２）］＋Ａ２［βsinω（t－１）－sinω（t－２）］｝．（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
大学数学微积分第二版上册课后练习题含答案
大学数学微积分第二版上册课后练习题含答案前言数学是一门抽象的学科，需要大量的练习才能真正理解和掌握。
微积分作为数学中的基础学科，更是如此。
本文将为大家提供大学数学微积分第二版上册的课后习题及其答案，供大家参考和练习。
课后习题及答案第一章函数与极限习题1.11.计算以下极限:1.$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 1}\\frac{x-1}{x^2-1}$2.$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 0}\\frac{\\sqrt{1+x}-1}{x}$3.$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 0}(\\frac{1}{\\sin{x}}-\\frac{1}{x})$答案：1.$\\frac{1}{2}$2.$\\frac{1}{2}$3.02.求曲线$y=\\frac{1}{x}$与直线y=x在第一象限中形成的夹角。
答案：$\\frac{\\pi}{4}$3.证明：$\\lim\\limits_{x\\rightarrow 0}x\\sin\\frac{1}{x}=0$答案：对任意$\\epsilon>0$，取$\\delta=\\epsilon$，则当$0<|x|<\\delta$时，有$|x\\sin\\frac{1}{x}-0|<|x|<\\delta=\\epsilon$ 习题1.21.求下列函数的导数：1.y=2x3+3x2−4x+12.$y=\\frac{1}{2}x^3-x^2+2x-1$3.$y=\\frac{1}{\\sqrt{x}}+x\\ln{x}$答案：1.y′=6x2+6x−42.$y'=\\frac{3}{2}x^2-2x+2$3.$y'=-\\frac{1}{2x^{\\frac{3}{2}}}+\\ln{x}+1$2.求函数y=xe x在x=1处的导数。
答案：y′=e+13.求f(x)=|x−2|的导函数。
微积分课后题答案习题详解
微积分课后题答案习题详解IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】第二章习题2-11. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立.证：而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。
3. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=0； (2) lim n →∞2!n n =0.证：（1）因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+ 而且 21lim0n n →∞=，2lim 0n n→∞=， 所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭. （2）因为22222240!1231n n n n n<=<-，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在.(1) x n =11n e +，n =1,2,…；(2) x 1x n +1,n =1,2,…. 证：（1）略。
微积分课后题答案 高等教育出版社1
习 题 一 （A ）1．解下列不等式，并用区间表示不等式的解集：（1）74<-x ； （2）321<-≤x ；（3）)0(><-εεa x ； （4）)0,(0><-δδa x ax ；（5）062>--x x ； （6）022≤-+x x ．解：1)由题意去掉绝对值符号可得：747<-<-x ，可解得j .113．x <<-即)11,3(-. 2）由题意去掉绝对值符号可得123-≤-<-x 或321<-≤x ，可解得11≤<-x ,53<≤x .即]5,3[)1，1(⋃-3）由题意去掉绝对值符号可得εε<-<-x ,解得εε+<<-a x a .即)a , (εε+-a ； 4）由题意去掉绝对值符号可得δδ<-<-0x ax ,解得ax x ax δδ+<<-00，即ax ax δδ+-00 , ()5）由题意原不等式可化为0)2)(3(>+-x x ,3>x 或2-<x 即）（3， 2） ， (∞+⋃--∞. 6）由题意原不等式可化为0)1)(2(≤-+x x ,解得12≤≤-x .既1] , 2[-.２．判断下列各对函数是否相同，说明理由： （1）x y =与x y lg 10=； （2）xy 2cos 1+=与x cos 2；（3）)sin (arcsin x y =与x y =；（4）)arctan (tan x y =与x y =；（5）)1lg(2-=x y 与)1lg()1lg(-++=x x y ； （6）xx y +-=11lg 与)1lg()1lg(x x x +--=．解：1)不同，因前者的定义域为) , (∞+-∞，后者的定义域为) , 0(∞+； 2)不同,因为当))(2 , )212((ππ23k k x k ++∈+∞-∞-时，02cos 1 >+x ,而0cos 2<x ；3）不同，因为只有在]2, 2[ππ-上成立；4）相同；5)不同，因前者的定义域为) , (11) , (∞+⋃--∞)，后者的定义域为) , 1(∞+；6）相同3．求下列函数的定义域（用区间表示）： （1）1)4lg(--=x x y ；（2）45lg2x x y -=；（3）xx y +-=11； （4）)5lg(312x x x y -+-+-=； （5）342+-=x x y ；（6）xy xlg 1131--=；（7）xy x-+=1 lg arccos 21； （8）6712arccos2---=x x x y ．解：1)原函数若想有意义必须满足1>-x 和4>-x 可解得⎩⎨⎧<<-<41 1x x ,即)4 , 1()1 , (⋃--∞.2)原函数若想有意义必须满足0452>-x x ,可解得 50<<x ,即)5 , 0(.3)原函数若想有意义必须满足011≥+-xx,可解得 11≤<-x ,即)1 , 1(-.4)原函数若想有意义必须满足⎪⎩⎪⎨⎧>-≠-≥-050302x x x ,可解得 ⎩⎨⎧<<<≤5332x x ,即) 5 , 3 (] 3 , 2 [⋃,3]. 5)原函数若想有意义必须满足⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥+-0)1)(3(0342x x x x,可解得 ⎩⎨⎧≥-≤31x x ,即(][) , 3 1 , ∞+⋃-∞.6)原函数若想有意义必须满足⎪⎩⎪⎨⎧≠-≠>0lg 100x x x ,可解得⎩⎨⎧><<10100x x ,即) , 10()10 , 0(∞+⋃. 7)原函数若想有意义必须满足01012≤≤-x 可解得21010--≤<x 即]101 , 0()0 , 101[22--⋃- 8)原函数若想有意义必须满足062>--x x ,1712≤-x 可解得) 4 , 3 (] 2 , 3 [⋃--.4．求下列分段函数的定义域及指定的函数值，并画出它们的图形： （1）⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<-=43,13,922x x x x y ，求)3( , )0(y y ；（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞<<+-≤≤-<=x x x x x x y 1, 1210, 30,1，求)5( , )0( , )3(y y y -．解：1）原函数定义域为：)4 , 4(-3)0(==y 8)3(==y .图略2)原函数定义域为：) , (∞+-∞31)3(-=-y 3)0(-==y 9)5(-=y y(5)＝-9.图略5．利用x y sin =的图形，画出下列函数的图形：(1)1sin +=x y ； （2）x y sin 2=； （3）⎪⎭⎫⎝⎛+=6sin πx y ．解：x y sin =的图形如下(1)1sin +=x y 的图形是将x y sin =的图形沿沿y 轴向上平移1个单位(2)x y sin 2=是将x y sin =的值域扩大2倍。
经济应用数学基础(一)-微积分-课后习题答案_高
第一章 函 数习 题 一（A）１．解下列不等式，并用区间表示解集合（其中δ＞０）：（１）（x－２）２＞９； （２）｜x＋３｜＞｜x－１｜；（３）｜x－x０｜＜δ；（４）０＜｜x－x０｜＜δ．解 （１）由（x－２）２＞９得｜x－２｜＞３，从而解得x－２＞３ 或 x－２＜－３由此得 x＞５或x＜－１．因此，解集合为（－∞，－１）∪（５，＋∞）（２）由绝对值的几何意义知，不等式｜x＋３｜＞｜x－１｜表示点x与－３的距离大于点x与１的距离，如下图所示：因此，该不等式的解集合为（－１，＋∞）（３）由｜x－x０｜＜δ得－δ＜x－x０＜δ，由此得x０－δ＜x＜x０＋δ，因此，解集合为（x０－δ，x０＋δ）（４）由０＜｜x－x０｜知x≠x０，由｜x－x０｜＜δ知x０－δ＜x＜x０＋δ．因此，解集合为（x０－δ，x０）∪（x０，x０＋δ）２．证明如下不等式：（１）｜a－b｜≤｜a｜＋｜b｜；（２）｜a－b｜≤｜a－c｜＋｜c－b｜证 （１）由绝对值性质（４），有｜a－b｜≤｜a｜＋｜－b｜＝｜a｜＋｜b｜．（２）｜a－b｜＝｜a－c＋c－b｜≤｜a－c｜＋｜c－b｜．３．判断下列各对函数是否相同，并说明理由：（１）y＝x与y＝x２；（２）y＝１－x２＋x与y＝（１－x）（２＋x）；（３）y＝１与y＝ｓｉｎ２x＋ｃｏｓ２x；（４）y＝２ｃｏｓx与y＝１＋ｃｏｓ２x；（５）y＝ｌｎ（x２－４x＋３）与y＝ｌｎ（x－１）＋ｌｎ（x－３）；（６）y＝ｌｎ（１０－３x－x２）与y＝ｌｎ（２－x）＋ｌｎ（５＋x）．解 （１）因y＝x２＝｜x｜与y＝x的对应规则不同（值域也不同），故二函数不相同．（２）因y＝１－x２＋x与y＝（１－x）（２＋x）的定义域均为D f＝［－２，１］，故此二函数相同．（３）因ｓｉｎ２x＋ｃｏｓ２x≡１，x∈（－∞，＋∞），故此二函数相同．（４）因y＝１＋ｃｏｓ２x＝２ｃｏｓ２x＝２｜ｃｏｓx｜与y＝２ｃｏｓx的对应规则不同，可知此二函数不相同．（５）因y＝ｌｎ（x２－４x＋３）＝ｌｎ［（x－１）（x－３）］的定义域为D f＝（－∞，１）∪（３，＋∞）；y＝ｌｎ（x－１）＋ｌｎ（x－３）的定义域为D f＝（３，＋∞）．因此，此二函数不相同．（６）因y＝ｌｎ（１０－３x－x２）＝ｌｎ［（２－x）（５＋x）］与y＝ｌｎ（２－x）＋ｌｎ（５＋x）的定义域均为D f＝（－５，２），故此二函数相同．４．求下列函数的定义域：（１）y＝x２＋x－２； （２）y＝ｓｉｎ（x）；（２）y＝９－x２＋１ｌｎ（１－x）；（４）y＝ｌｎx２－９x１０；（５）y＝１x－３x＋１０x－１０；（６）y＝（x－１）（x－３）x－３．解 （１）使该函数有定义的x应满足条件：x２＋x－２＝（x－１）（x＋２）≥０由此解得x≥１或x≤－２．因此，该函数定义域为D f＝（－∞，２］∪［１，＋∞）．（２）使该函数有定义的x应满足条件：x≥０ 且 ｓｉｎx≥０而由ｓｉｎx≥０得２kπ≤x≤（２k＋１）π，k＝０，１，２，…．因此，该函数的定义域为D f＝∪∞k＝０［（２kπ）２，（２k＋１）π２］．（３）使该函数有定义的x应满足如下条件：９－x２≥０， １－x＞０， １－x≠１解得 ｜x｜≤３且x＜１且x≠０．因此，该函数定义域为D f＝［－３，０）∪（０，１）．（４）使该函数有定义的x应满足条件：x２－９x１０≥１由此得 x２－９x－１０＝（x＋１）（x－１０）≥０，解得x≥１０或x≤－１因此，该函数定义域为D f＝（－∞，－１］∪［１０，＋∞）（５）使该函数有定义的x应满足如下条件：x－３≠０， x－１０≠０， x＋１０x－１０≥０由此解得x＞１０或x≤－１０．因此，该函数定义域为D f＝（－∞，－１０］∪（１０，＋∞）．（６）使该函数有定义的x应满足条件：x－３≠０， （x－１）（x－２）x－３≥０即（x－１）（x－２）≥０ 且 x－３＞０痴x＞３（x－１）（x－２）≤０ 且 x－３＜０痴１≤x≤２因此，该函数定义域为D f＝［１，２］∪（３，＋∞）．５．已知函数f（x）＝q－x２，｜x｜≤３x２－９，｜x｜＞３求函数值f（０），f（±３），f（±４），f（２＋a）．解 因为x＝０，x＝±３时，｜x｜≤３，所以f（０）＝９＝３， f（±３）＝９－（±３）２＝０又因为x＝±４时，｜x｜＞３，所以f（±４）＝（±４）２－９＝７当｜２＋a｜≤３即－５≤a≤１时，f（２＋a）＝q－（２＋a）２＝（１－a）（５＋a）当｜２＋a｜＞３即a＞１或a＜－５时，f（２＋a）＝（２＋a）２－９＝（a－１）（a＋５）所以f（２＋a）＝（１－a）（５＋a），－５≤a≤１（a－１）（５＋a），a＜－５或a＞１．６．讨论下列函数的单调性：（１）y＝１＋６x－x２； （２）y＝ｅ｜x｜．解 （１）易知该函数定义域为D f＝［０，６］．设x１，x２∈（０，６）， x１＜x２则f（x１）－f（x２）＝６x１－x２１－６x２－x２２＝（６x１－x２１）－（６x２－x２２）６x１－x２１＋６x２－x２２＝６（x１－x２）－（x２１－x２２）６x１－x２１＋６x２－x２２＝［６－（x１＋x２）］（x１－x２）６x１－x２１＋６x２－x２２＜０，０＜x１＜x２＜３＞０，３＜x１＜x２＜６所以该函数在区间（０，３）上单调增加，在区间（３，６）上单调减少．另解，因６x－x２＝９－（x－３）２，所以y＝１＋６x－x２是圆（x－３）２＋（y－１）２＝３２的上半圆．由此可知，该函数在（０，３）上单调增加，在（３，６）上单调减少．（２）因y＝ｅ｜x｜＝ｅx，x≥０ｅ－x，x＜０所以，该函数在［０，＋∞）上单调增加，在（－∞，０］上单调减少．７．讨论下列函数是否有界：（１）y ＝x ２１＋x２； （２）y ＝ｅ－x ２；（３）y ＝ｓｉｎ１x；（４）y ＝１１－x．解 （１）因为｜y ｜＝x２１＋x ２＝１－１１＋x２≤１所以，该函数有界．（２）因为｜y ｜＝ｅ－x ２＝１ｅx ２≤１ｅ０＝１所以，该函数有界．（３）因为ｓｉｎ１x≤１（x ≠０），所以，该函数有界．（４）对任意给定的正数M ＞０，令x ０＝１－１２M≠１，则｜y （x ０）｜＝１１－１－１２M＝２M ＞M此式表明，对任意给定的M ＞０，存在点x ０∈D f ，使｜y （x ０）｜＞M ．因此，该函数无界．８．讨论下列函数的奇偶性：（１）f （x ）＝x ｓｉｎx ＋ｃｏｓx ； （２）y ＝x ５－x ３－３；（３）f （x ）＝ｌｎ（x ＋１－x ２）；（４）f （x ）＝１－x ，x ＜０，１，x ＝０，１＋x ，x ＞０．解 （１）因为f （－x ）＝（－x ）ｓｉｎ（－x ）＋ｃｏｓ（－x ）＝x ｓｉｎx ＋ｃｏｓx ＝f （x ），x ∈（－∞，＋∞）所以，该函数为偶函数．（２）因为f （－x ）＝－x ５＋x ３－３≠f （x ）或－f （x ）所以，该函数既不是偶函数，也不是奇函数．（３）因为f （－x ）＝ｌｎ（－x ＋１＋x ２）＝ｌｎ（１＋x ２）－x２x ＋１＋x２＝－ｌｎ（x＋１＋x２）＝－f（x）， x∈（－∞，＋∞）所以，该函数为奇函数．（４）因为x＞０（即－x＜０）时， f（－x）＝１－（－x）＝１＋xx＜０（即－x＞０）时， f（－x）＝１＋（－x）＝１－x所以f（－x）＝１－x，x＜０１，x＝０１＋x，x＞０＝f（x）因此，该函数为偶函数．９．判别下列函数是否是周期函数，若是周期函数，求其周期：（１）f（x）＝ｓｉｎx＋ｃｏｓx； （２）f（x）＝｜ｓｉｎx｜；（３）f（x）＝xｃｏｓx；（４）f（x）＝１＋ｓｉｎπx．解 （１）因为f（x）＝ｓｉｎx＋ｃｏｓx＝２ｓｉｎx＋π４所以f（x＋２π）＝２ｓｉｎx＋２π＋π４＝２ｓｉｎx＋π４＝f（x）因此，该函数为周期函数，周期为２π．（２）因f（x＋π）＝｜ｓｉｎ（x＋π）｜＝｜－ｓｉｎx｜＝｜ｓｉｎx｜＝f（x）所以，该函数为周期函数，周期为π．（３）因ｃｏｓx是以２π为周期的周期函数，但是f（x＋２π）＝（x＋２π）ｃｏｓ（x＋２π）＝（x＋２π）ｃｏｓx≠xｃｏｓx＝f（x）所以，该函数不是周期函数．（４）因为f（x＋２）＝１＋ｓｉｎ（x＋２）π＝１＋ｓｉｎπx＝f（x）所以，该函数为周期函数，周期为２．１０．求下列函数的反函数及其定义域：（１）y＝１－x１＋x； （２）y＝１２（ｅx－ｅ－x）；（３）y＝１＋ｌｎ（x－１）；（４）y＝５３x－５；（５）y＝２ｓｉｎx３， x∈－π２，π２；（６）y＝２x－１，０＜x≤１２－（x－２）２，１＜x≤２．解 （１）由y＝１－x１＋x 解出x，得x＝１－y１＋y因此，反函数为y＝１－x１＋x其定义域为D（f－１）＝（－∞，－１）∪（－１，＋∞）（２）由所给函数解出ｅx，得ｅx＝y±１＋y２＝y＋１＋y２（因为ｅx＞０，所以舍去“－”号）由此得x＝ｌｎ（y＋１＋y２）因此反函数为y＝ｌｎ（x＋１＋x２）其定义域为D（f－１）＝（－∞，＋∞）．（３）所给函数定义域为D（f）＝（１，＋∞），值域为Z（f）＝（－∞，＋∞）．由所给函数解出x，得x＝１＋ｅy－１，故反函数为y＝１＋ｅx－１其定义域为D（f－１）＝（－∞，＋∞）．（４）所给函数定义域、值域分别为D（f）＝（－∞，＋∞）， Z（f）＝（－∞，＋∞）由所给函数解出x，得x＝１３（y５＋５）， y∈Z（f）＝（－∞，＋∞）所以，反函数为y＝１３（x５＋５）其定义域为D（f－１）＝Z（f）＝（－∞，＋∞）（５）由所给函数解出x，得x＝３ａｒｃｓｉｎy２所以，反函数为y＝３ａｒｃｓｉｎx２其定义域为D（f－１）＝Z（f）＝［－１，１］．（６）由所给函数可知：当０＜x≤１时，y＝２x－１，y∈（－１，１］；当１＜x≤２时，y＝２－（x－２）２，y∈（１，２］；由此解出x，得x＝１２（１＋y），－１＜y≤１２－２－y，１＜y≤２ （舍去“＋”号，因１＜x≤２）因此，反函数为y＝１２（１＋x），－１＜x≤１２－２－x，１＜x≤２其定义域为D（f－１）＝Z（f）＝（－１，２］．１１．分析下列函数由哪些基本初等函数复合而成：（１）y＝ｌｏｇa x； （２）y＝ａｒｃｔａｎ［ｔａｎ２（a２＋x２）］；（３）y＝ｅ２x／（１－x２）；（４）y＝ｃｏｓ２x２－x－１．解 （１）所给函数由对数函数y＝ｌｏｇa u与幂函数u＝x复合而成；（２）所给函数由反正切函数y＝ａｒｃｔａｎu、幂函数u＝v２、正切函数v＝ｔａｎw 和多项式函数w＝a２＋x２复合而成；（３）所给函数由指数函数y＝ｅu和有理分式函数u＝２x１＋x２复合而成；（４）所给函数由幂函数y＝u２、余弦函数u＝ｃｏｓv、幂函数v＝w与多项式函数w＝x２－x－１复合而成．１２．设销售某种商品的总收入R是销售量x的二次函数，且已知x＝０，１０，２０时，相应的R＝０，８００，１２００，求R与x的函数关系．解 设总收入函数为R（x）＝ax２＋bx＋c（a≠０）已知R（０）＝０ 所以c＝０又知R（１０）＝８００， R（２０）＝１２００即有１００a＋１０b＝８００， ４００a＋２０b＝１２００整理后，得联立方程组１０a＋b＝８０， ２０a＋b＝６０由此解得 a＝－２，b＝１００．因此，总收入函数为R（x）＝１００x－２x２＝x（１００－２x）．１３．某种电视机每台售价为２０００元时，每月可售出３０００台，每台售价降为１８００元时，每月可多售出６００台，求该电视机的线性需求函数．解 设该电视机的线性需求函数为Q＝a－bp则由已知条件有Q（２０００）＝a－２０００b＝３０００Q（１８００）＝a－１８００b＝３６００由此解得a＝９０００，b＝３．因此，该商品的线性需求函数为Q＝９０００－３p．１４．已知某商品的需求函数与供给函数分别由下列方程确定：３p＋Q２d＋５Q d－１０２＝０p－２Q２s＋３Q s＋７１＝０试求该商品供需均衡时的均衡价格p e和均衡数量Q e．解 供需均衡的条件为Q d＝Q s＝Q e，对应均衡价格为p e，于是有３p３＋Q２e＋５Q－１０２＝０p e－２Q２e＋３Q e＋７１＝０由其中第二个方程得p e＝２Q２e－３Q３－７１ （倡）将上式代入第一个方程，得７Q２e－４Q e－３１５＝０由此解得Q e＝７（舍去负根）．将Q e＝７代入（倡）得p e＝６．因此，该商品供需均衡时，均衡价格p e＝６，均衡数量Q e＝７．（B）１．填空题：（１）已知函数f（x）的定义域为（０，１］，则函数f（ｅx）的定义域为，函数f x－１４＋f x＋１４的定义域为；（２）已知函数f（x）＝x１＋x２，则f（ｓｉｎx）＝；（３）已知函数f（x）＝x１－x，则f［f（x）］＝，f｛f［f（x）］｝＝；（４）已知f（３x－２）＝x２，则f（x）＝；（５）已知某商品的需求函数、供给函数分别为：Q d＝１００－２p， Q s＝－２０＋１０p，则均衡价格p e＝，均衡数量Q e＝；答 （１）（－∞，０］，１４，３４； （２）ｓｉｎx｜ｃｏｓx｜；（３）x１－２x，x１－３x；（４）１９（x＋２）２；（５）１０，８０．解 （１）由０＜ｅx≤１得x∈（－∞，０］，由０＜x－１４≤１且０＜x＋１４≤１，得x∈１４，３４；（２）f（ｓｉｎx）＝ｓｉｎx１－ｓｉｎ２x＝ｓｉｎxｃｏｓ２x＝ｓｉｎx·｜ｃｏｓx｜；（３）f［f（x）］＝f（x）１－f（x）＝x１－２x，f｛f［f（x）］｝＝f［f（x）］１－f［f（x）］＝x１－３x；（４）令t＝３x－２，则x＝１３（t＋２），于是f（t）＝f（３x－２）＝x２＝１３（t＋２）２＝１９（t＋２）２所以f（x）＝１９（x＋２）２（５）由Q d＝Q s＝Q e，得１００－２p e＝－２０＋１０p e解得 p e＝１０，从而Q e＝８０．２．单项选择题：（１）若函数y＝x＋２与y＝（x＋２）２表示相同的函数，则它们的定义域为．（Ａ）（－∞，＋∞）； （Ｂ）（－∞，２］；（Ｃ）［－２，＋∞）；（Ｄ）（－∞，－２］．（２）设f （x ）＝１，｜x ｜＜１，０，｜x ｜＞１，则f ｛f ［f （x ）］｝＝．（Ａ）０；（Ｂ）１（Ｃ）１，｜x ｜＜１，０，｜x ｜≥１；（Ｄ）１，｜x ｜≥１，０，｜x ｜＜１．（３）y ＝ｓｉｎ１x在定义域内是．（Ａ）周期函数；（Ｂ）单调函数；（Ｃ）偶函数；（Ｄ）有界函数．（４）设函数f （x ）在（－∞，＋∞）内有定义，下列函数中，必为偶函数．（Ａ）y ＝｜f （x ）｜；（Ｂ）y ＝［f （x ）］２；（Ｃ）y ＝－f （－x ）；（Ｄ）y ＝f （x ２）ｃｏｓx ．（５）设函数f （x ）在（－∞，＋∞）内有定义，且f （x ＋π）＝f （x ）＋ｓｉｎx ，则f （x ）．（Ａ）是周期函数，且周期为π；（Ｂ）是周期函数，且周期为２π；（Ｃ）是周期函数，且周期为３π；（Ｄ）不是周期函数．答 （１）Ｃ； （２）Ｃ； （３）Ｄ； （４）Ｄ； （５）Ｂ．解 （１）由（x ＋２）２＝｜x ＋２｜＝x ＋２≥０可知x ≥－２，故选（Ｃ）．（２）因f ［f （x ）］＝１，｜f （x ）｜＜１０，｜f （x ）｜≥１＝１，｜x ｜≥１０，｜x ｜＜１f ｛f ［f （x ）］｝＝１，｜f ［f （x ）］｜＜１０，｜f ［f （x ）］｜≥１＝１，｜x ｜＜１０，｜x ｜≥１故选（Ｃ）．（３）因ｓｉｎ１x≤１，橙x ≠０，故选（Ｄ）．（４）因f （（－x ）２）ｃｏｓ（－x ）＝f （x ２）ｃｏｓx ，故选（Ｄ）．（５）因f （x ＋２π）＝f （x ＋π）＋ｓｉｎ（x ＋π）＝f （x ）＋ｓｉｎx －ｓｉｎx ＝f （x ）故f （x ）为周期函数，且周期为２π，选（Ｂ）．３．设f２x ＋１２x －２－１２f （x ）＝x ，求f （x ）．解 令t ＝２x ＋１２x －２，则x ＝２t ＋１２t －２，代入所给方程，得f （t ）－１２f ２t ＋１２t －２＝２t ＋１２t －２其中，由所给方程有f２t ＋１２t －２＝t ＋１２f （t ）于是得f （t ）－１２t ＋１２f （t ）＝２t ＋１２t －２由此得f （t ）＝２３t ２＋t ＋１t －１因此f （x ）＝２３x ２＋x ＋１x －１．４．证明下列各题：（）若函数f （x ），g （x ）在D 上单调增加（或单调减少），则函数h （x ）＝f （x ）＋g （x ）在D 上单调增加（或单调减少）．（２）若函数f （x ）在区间［a ，b ］，［b ，c ］上单调增加（或单调减少），则f （x ）在区间［a ，c ］上单调增加（或单调减少）．证 （１）对任意的x １，x ２∈D ，且x １＜x ２，因f （x ），g （x ）单调增加（减少），故有f （x １）＜f （x ２） （f （x １）＞f （x ２））g （x １）＜g （x ２） （g （x １）＞g （x ２））于是h （x １）＝f （x １）＋g （x １）＜f （x ２）＋g （x ２）＝h （x ２）（h （x １）＞h （x ２））所以，h （x ）＝f （x ）＋g （x ）在D 上单调增加（减少）．（２）对任意的x１，x２∈［a，c］，x１＜x２，若 a≤x１＜x２≤b或b≤x１＜x２≤c，则由题设有f（x１）＜f（x２） （或f（x１）＞f（x２））若 a≤x１≤b＜x２≤c，则由题设有f（x１）≤f（b）＜f（x２） （或f（x１）≥f（b）＞f（x２））综上所述，f（x）在［a，c］上单调增加（或单调减少）．５．设函数f（x）与g（x）在D上有界，试证函数f（x）±g（x）与f（x）g（x）在D 上也有界．证 因f（x）与g（x）在D上有界，故存在常数M１＞０与M２＞０，使得｜f（x）｜＜M１， ｜g（x）｜＜M２， 橙x∈D．令M＝M１＋M２＞０，则有｜f（x）±g（x）｜≤｜f（x）｜＋｜g（x）｜＜M１＋M２＝M，橙x∈D因此，f（x）±g（x）在D上有界．再令M＝M１M２，则有｜f（x）g（x）｜＝｜f（x）｜｜g（x）｜＜M１M２＝M，橙x∈D因此，f（x）g（x）在D上有界．６．证明函数f（x）＝xｓｉｎx在（０，＋∞）上无界．证 要证f（x）＝xｓｉｎx在（０，＋∞）上无界，只需证明：对任意给定的常数M＞０，总存在x０∈（０，＋∞），使得｜x０ｓｉｎx０｜＞M．事实上，对任意给定的M＞０，令x０＝π２＋２（１＋［M］）π∈（０，＋∞）（［M］为M的整数部分），则有｜f（x０）｜＝π２＋２（１＋［M］）π·ｓｉｎπ２＋２（１＋［M］）π＝π２＋２（１＋［M］）πｓｉｎπ２＝π２＋２（１＋［M］）π＞M于是，由M＞０的任意性可知，f（x）＝xｓｉｎx在（０，＋∞）上无界．７．已知函数函数f（x）满足如下方程af（x）＋bf１x＝c x，x≠０其中a，b，c为常数，且｜a｜≠｜b｜．求f （x ），并讨论f （x ）的奇偶性．解 由所给方程有af１x＋bf （x ）＝cx于是，解方程组af （x ）＋bf １x＝c xaf１x＋bf （x ）＝cx可得f （x ）＝ac －bcx ２（a ２－b ２）x因为f （－x ）＝ac －bc （－x ）２（a ２－b ２）（－x ）＝－ac －bcx２（a ２－b ２）x＝－f （x ）所以，f （x ）为奇函数．８．某厂生产某种产品１０００吨，当销售量在７００吨以内时，售价为１３０元／吨；销售量超过７００吨时，超过部分按九折出售．试将销售总收入表示成销售量的函数．解 设R （x ）为销售总收入，x 为销售量（单位：吨）．依题设有当０≤x ≤７００时，售价p ＝１３０（元／吨）；当７００＜x ≤１０００时，超过部分（x －７００）的售价为p ＝１３０×０．９＝１１７（元／吨）．于是，销售总收入函数为R （x ）＝１３０x ， ０≤x ≤７００１３０×７００＋１１７×（x －７００）， ７００＜x ≤１０００＝１３０x ，０≤x ≤７００１１７x ＋９１００，７００＜x ≤１０００可见销售总收入R （x ）为销售量x 的分段函数．９．某手表厂生产一只手表的可变成本为１５元，每天固定成本为２０００元，每只手表的出厂价为２０元，为了不亏本，该厂每天至少应生产多少只手表？解 设每天生产x 只手表，则每天总成本为C （x ）＝１５x ＋２０００因每只手表出厂价为２０元，故每天的总收入为２０x （元），若要不亏本，应满足如下关系式：２０x ≥１５x ＋２０００解得x≥４００（只）即，若要不亏本，每天至少应生产４００只手表．１０．某玩具厂每天生产６０个玩具的成本为３００元，每天生产８０个玩具的成本为３４０元，求其线性成本函数．该厂每天的固定成本和生产一个玩具的可变成本各为多少？解 设线性成本函数为C（x）＝ax＋b其中C（x）为总成本，x为每天的玩具生产量．由题设有C（６０）＝６０a＋b＝３００（元）C（８０）＝８０a＋b＝３４０（元）由此解得a＝２， b＝１８０因此，每天的线性成本函数为C（x）＝２x＋１８０其中a＝２元为生产一个玩具的可变成本，b＝１８０元为每天的固定成本．第二章 极限与连续习 题 二（A）１．观察判别下列数列的敛散性；若收敛，求其极限值：（１）u n＝５n－３n； （２）u n＝１nｃｏｓnπ；（３）u n＝２＋－１２n；（４）u n＝１＋（－２）n；（５）u n＝n２－１n；（６）u n＝a n（a为常数）．解 （１）将该数列具体写出来为２，７２，４，１７４，２２５，…，５－３n，…观察可知u n→５（n→∞）．因此，该数列收敛，其极限为５．（２）因为u n＝１nｃｏｓnπ＝１n（－１）n＝１n→０（n→∞）所以，该数列收敛，其极限为０．（３）因为u n－２＝－１２n＝１２n→０（n→∞）所以，该数列收敛，其极限为２．（４）该数列的前五项分别为：－１，５，－７，１７，－３１，…观察可知u n→∞（n→∞）．因此，该数列发散．（５）该数列的前五项分别为０，３２，８３，１５４，２４５，…观察可知u n→∞（n→∞）．所以，该数列发散．（６）当a＜１时，u n＝a n→０（n→∞）；当a＞１时，u n＝a n→∞（n→∞）；当a＝１时，u n＝１→１（n→∞）；当a＝－１时，u n＝（－１）n，发散因此，a＜１时，数列收敛，其极限为０；a＝１时，数列收敛，其极限为１；a ≤－１或a＞１时，数列发散．２．利用数列极限的定义证明下列极限：（１）ｌｉｍn→∞－１３n＝０； （２）ｌｉｍn→∞n２＋１n２－１＝１；（３）ｌｉｍn→∞１n＋１＝０；（４）ｌｉｍn→∞n２＋a２n＝１（a为常数）．证 （１）对任意给定的ε＞０（不妨设０＜ε＜１），要使u n－０＝１３n＜ε只需n＞ｌｏｇ３１ε （∵０＜ε＜１，∴ｌｏｇ３１ε＞０）取正整数N＝１＋ｌｏｇ３１ε＞ｌｏｇ３１ε，则当n＞N时，恒有－１３n－０＜ε因此ｌｉｍn→∞－１３n＝０．（２）对任意给定的ε＞０，要使u n－１＝n２＋１n２－１－１＝２n２－１＝２n＋１·１n－１≤１n－１＜ε只需n＞１＋１ε．取正整数N＝１＋１ε，则当n＞N时，恒有n２＋１n２－１－１＜ε由此可知ｌｉｍn →∞n ２＋１n ２－１＝１．（３）对任意给定的ε＞０，要使u n －０＝１n ＋１－０＝１n ＋１＜１n＜ε只需n ＞１ε２．取正整数N ＝１ε２＋１，则当n ＞N ＞１ε２时，恒有１n ＋１－０＜ε．由此可知ｌｉｍn→∞１n ＋１＝０．（４）对任意给定的ε＞０，要使u n －１＝n ２＋a２n －１＝a２n （n ２＋a ２＋n ）＜a２２n２＜ε只需n ＞a２ε．取正整数N ＝a ２ε＋１，则当n ＞N ＞a２ε时，恒有n ２＋a２n－１＜ε因此ｌｉｍn →∞n ２＋a２n＝１．３．求下列数列的极限：（１）ｌｉｍn →∞３n ＋５n ２＋n ＋４； （２）ｌｉｍn →∞（n ＋３－n ）；（３）ｌｉｍn →∞（１＋２n＋３n＋４n）１／n；（４）ｌｉｍn →∞（－１）n＋２n（－１）n ＋１＋２n ＋１；（５）ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n ；（６）ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n１＋１４＋１４２＋…＋１４n．解 （１）因为３n ＋５n ２＋n ＋４＝３＋５n１＋１n ＋４n ２→３（n →∞）所以ｌｉｍn→∞３n ＋５n ２＋n ＋４＝３．（２）因为n ＋３－n ＝３n ＋３＋n →０（n →∞）所以ｌｉｍn →∞（n ＋３－n ）＝０．（３）因为（１＋２n＋３n＋４n）１／n＝４１４n＋２４n＋３４n＋１１／n→４（n →∞）所以ｌｉｍn→∞（１＋２n＋３n＋４n）１／n＝４．（４）因为（－１）n＋２n（－１）n ＋１＋２n ＋１＝１２·－１２n＋１－１２n ＋１＋１→１２（n →∞）所以ｌｉｍn →∞（－１）n＋２n（－１）n ＋１＋２n ＋１＝１２．（５）因为 １＋１２＋１２２＋…＋１２n ＝１－１２n ＋１１－１２＝２１－１２n ＋１→２（n →∞）所以ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n ＝２．（６）因为１＋１２＋１２２＋…＋１２n ＝２１－１２n ＋１，１＋１４＋１４２＋…＋１４n ＝１－１４n －１１－１４＝４３１－１４n ＋１于是１＋１２＋１２２＋…＋１２n １＋１４＋１４２＋…＋１４n ＝３２·１－１２n ＋１１－１４n ＋１→３２（n →∞）所以ｌｉｍn →∞１＋１２＋１２２＋…＋１２n１＋１４＋１４２＋…＋１４n＝３２．４．利用函数极限的定义，证明下列极限：（１）ｌｉｍx →３（２x －１）＝５； （２）ｌｉｍx →２＋x －２＝０；（３）ｌｉｍx →２x ２－４x －２＝４；（４）ｌｉｍx →１－（１－１－x ）＝１．证 （１）对任意给定的ε＞０，要使（２x －１）－５＝２x －３＜ε只需取δ＝ε２＞０，则当０＜x －３＜δ时，恒有（２x －１）－５＝２x －３＜２δ＝ε因此ｌｉｍx →３（２x －１）＝５．（２）对任意给定的ε＞０，要使x －２－０＝x －２＜ε只零取δ＝ε２＞０，则当０＜x －２＜δ时，恒有x －２－０＝x －２＜δ＝ε所以ｌｉｍx →２＋x －２＝０．（３）对任意给定的ε＞０，要使（x ≠２）x ２－４x －２－４＝（x ＋２）－４＝x －２＜ε只需取δ＝ε＞０，则当０＜x －２＜δ时，恒有x ２－４x －２－４＝x －２＜δ＝ε因此ｌｉｍx →２x ２－４x －２＝４．（４）对任意给定的ε＞０，要使（１－１－x ）－１＝１－x ＜ε只需０＜１－x ＜ε２取δ＝ε２＞０，则当０＜１－x ＜δ时，恒有（１－１－x ）－１＝１－x ＜δ＝ε因此ｌｉｍx →１－（１－１－x ）＝１．５．讨论下列函数在给定点处的极限是否存在？若存在，求其极限值：（１）f （x ）＝１－１－x ，x ＜１，在x ＝１处；x －１，x ＞０（２）f （x ）＝２x ＋１，x ≤１，x ２－x ＋３，１＜x ≤２，x ３－１，２＜x ，在x ＝１与x ＝２处．解 （１）因为f （１－０）＝ｌｉｍx →１－f （x ）＝ｌｉｍx →１－（１－１－x ）＝１f （１＋０）＝ｌｉｍx →１＋f （x ）＝ｌｉｍx →１＋（x －１）＝０这表明f （１－０）≠f （１＋０）．因此，ｌｉｍx →１f （x ）不存在．（２）在x ＝１处，有f （１－０）＝ｌｉｍx →１－（２x ＋１）＝３．f （１＋０）＝ｌｉｍx →１＋（x ２－x ＋３）＝３．因f （１－０）＝f （１＋０）＝３，所以，ｌｉｍx →１f （x ）＝３（存在）；在x ＝２处，有f （２－０）＝ｌｉｍx →２－（x ２－x ＋３）＝５f （２＋０）＝ｌｉｍx →２＋（x ３－１）＝７因f（２－０）≠f（２＋０），所以ｌｉｍx→２f（x）不存在．６．观察判定下列变量当x→？时，为无穷小：（１）f（x）＝x－２x２＋２； （２）f（x）＝ｌｎ（１＋x）；（３）f（x）＝ｅ１－x；（４）f（x）＝１ｌｎ（４－x）．解 （１）因为当x→２或x→∞时，x－２x２＋２→０因此，x→２或x→∞时，x－２x２＋２为无穷小．（２）因为当x→０时，ｌｎ（１＋x）→０因此，x→０时，ｌｎ（１＋x）为无穷小．（３）因为当x→＋∞时，ｅ１－x＝ｅｅx→０，因此，x→＋∞时，ｅ１－x为无穷小．（４）因为当x→４－或x→－∞时，１ｌｎ（４－x）→０因此，x→４－或x→－∞时，１ｌｎ（４－x）为无穷小．７．观察判定下列变量当x→？时，为无穷大：（１）f（x）＝x２＋１x２－４； （２）f（x）＝ｌｎ１－x；（３）f（x）＝ｅ－１／x；（４）f（x）＝１x－５．解 （１）因为当x→±２时，x２－４x２＋１→０因此当x→±２时，x２＋１x２－４→∞所以，x→±２时，x２＋１x２－４为无穷大．（２）因为当x→１时，１－x→０＋当x→∞时，－x→＋∞因此当x→１时，ｌｎ１－x→－∞当x→∞时，ｌｎ１－x→＋∞所以，x→１或x→∞时，ｌｎ１－x为无穷大．（３）因为ｌｉｍn→０－－１x＝＋∞所以ｌｉｍx→０－ｅ－１／x＝＋∞由此可知，x→０－时，ｅ－１／x为无穷大．（４）因为ｌｉｍx→５＋x－５＝０所以ｌｉｍx→５＋１x－５＝＋∞由此可知，x→５＋时，１x－５为无穷大．８．求下列函数的极限：（１）ｌｉｍx→３（３x３－２x２－x＋２）； （２）ｌｉｍx→０５＋４２－x；（３）ｌｉｍx→１６x－５x＋４x－１６；（４）ｌｉｍx→０（x＋a）２－a２x（a为常数）；（５）ｌｉｍx→０x２＋a２－ax２＋b２－b（a，b为正的常数）；（６）ｌｉｍx→１x＋x２＋…＋x n－nx－１（提示：x＋x２＋…＋x n－n＝（x－１）＋（x２－１）＋…＋（x n－１））解 （１）由极限的线性性质，得原式＝３ｌｉｍx→３x３－２ｌｉｍx→３x２－ｌｉｍx→３x＋２＝３x３３－２×３２－３＋２＝６２（２）因为ｌｉｍx→０（２－x）＝２≠０，所以原式＝５＋ｌｉｍx →０４２－x ＝５＋４ｌｉｍx →０（２－x ）＝５＋４２＝７．（３）因为x －５x ＋４＝（x －４）（x －１），x －１６＝（x －４）（x ＋４）．所以原式＝ｌｉｍx →１６（x －４）（x －１）（x －４）（x ＋４）＝ｌｉｍx →１６x －１x ＋４＝３８．（４）因为（x ＋a ）２－a ２＝x （x ＋２a ），所以原式＝ｌｉｍx →０x （x ＋２a ）x＝ｌｉｍx →０（x ＋２a ）＝２a ．（５）原式＝ｌｉｍx →０（x ２＋a ２－a ）（x ２＋a ２＋a ）（x ２＋a ２＋b ）（x ２＋b ２－b ）（x ２＋b ２＋b ）（x ２＋a ２＋a ）＝ｌｉｍx →０x ２（x ２＋b ２＋b ）x ２（x ２＋a ２＋a ）＝ｌｉｍx →０x ２＋b ２＋bx ２＋a ２＋a＝b a（６）因为 x ＋x ２＋…＋x n－n ＝（x －１）＋（x ２－１）＋…＋（x n－１）＝（x －１）［１＋（x ＋１）＋…＋（xn －１＋xn －２＋…＋１）］所以原式＝ｌｉｍx →１（x －１）［１＋（x ＋１）＋…＋（xn －１＋xn －２＋…＋１）］x －１＝ｌｉｍx →１［１＋（x ＋１）＋…＋（x n －１＋xn －２＋…＋１）］＝１＋２＋…＋n ＝１２n （n ＋１）．９．求下列函数的极限：（１）ｌｉｍx →∞［x ２＋１－x ２－１］； （２）ｌｉｍx →∞（x －１）１０（３x －１）１０（x ＋１）２０；（３）ｌｉｍx →＋∞５x ３＋３x ２＋４x ６＋１；（４）ｌｉｍx →∞（x ＋３１－x ３）；（５）ｌｉｍx →＋∞x （３x －９x ２－６）；（６）ｌｉｍx →＋∞（a x＋９）－a x＋４（a ＞０）．解 （１）原式＝ｌｉｍx →∞２x ２＋１＋x ２－１＝０．（２）原式＝ｌｉｍx→∞１－１x１０３－１x １０１＋１x２０＝３１０（３）原式＝ｌｉｍx →＋∞５＋（３／x ）＋（４／x ３）１＋（１／x ３）＝５．（４）因为（x ＋３１－x ３）［x ２－x３１－x ３＋（３１－x ３）２］＝x ３－（３１－x ３）３＝１所以原式＝ｌｉｍx→∞１x ２－x ３１－x ３＋（３１－x ３）２＝０．（５）因为x （３x －９x ２－６）＝x （３x －９x ２－６）（３x ＋９x ２－６）３x ＋９x ２－６＝x ［９x ２－（９x ２－６）］３x ＋９x ２－６＝６x３x ＋９x ２－６所以原式＝ｌｉｍx →＋∞６x３x ＋９x ２－６＝ｌｉｍx →＋∞６３＋９－（６／x ２）＝１（６）原式＝ｌｉｍx →＋∞５a x＋９＋a x＋４＝１，０＜a ＜１１０－５，a ＝１０，a ＞１．１０．求下列各题中的常数a 和b ：（１）已知ｌｉｍx →３x －３x ２＋ax ＋b＝１；（２）已知ｌｉｍx →＋∞（x ２＋x ＋１－ax －b ）＝k （已知常数）．解 （１）由于分子的极限ｌｉｍx →３（x －３）＝０，所以分母的极限也应为０（否则原式＝０≠１），即有ｌｉｍx →３（x ２＋ax ＋b ）＝９＋３a ＋b ＝０另一方面，因分子＝x －３，故分母x ２＋ax ＋b ＝（x －３）（x －c ），于是原式＝ｌｉｍx →３x －３（x －３）（x －c ）＝ｌｉｍx →３１x －c ＝１３－c＝１由此得c ＝２．于是得x ２＋ax ＋b ＝（x －３）（x －２）＝x ２－５x ＋６由此得a ＝－５，b ＝６（２）原式可变形为原式＝ｌｉｍx →＋∞［x ２＋x ＋１－（ax ＋b ）］［x ２＋x ＋１＋（ax ＋b ）］x ２＋x ＋１＋ax ＋b＝ｌｉｍx →＋∞（１－a ２）x ２＋（１－２ab ）x ＋（１－b ２）x ２＋x ＋１＋ax ＋b显然应有１－a ２＝０，即有a ＝±１．于是原式＝ｌｉｍx →＋∞（１－２ab ）x ＋（１－b ２）x ２＋x ＋１＋ax ＋b＝ｌｉｍx →＋∞１－２ab ＋（１－b ２）／x１＋（１／x ）＋（１／x ２）＋a ＋（b ／x ）＝１－２ab１＋a＝k （a ≠－１）由上式可知，a ≠－１，于是a ＝１，从而有１－２b２＝k 痴b ＝１２－k ．１１．已知f （x ）＝２＋x１＋x（１－x ）／（１－x ）（１）ｌｉｍx →０f （x ）； （２）ｌｉｍx →１f （x ）； （３）ｌｉｍx →∞f （x ）．解 令g （x ）＝２＋x １＋x ，h （x ）＝１－x１－x．（１）因为ｌｉｍx →０g （x ）＝２，ｌｉｍx →０h （x ）＝１所以ｌｉｍx →０f （x ）＝ｌｉｍx →０g （x ）h （x ）＝２１＝２．（２）因为 ｌｉｍx →１g （x ）＝３２＞０ｌｉｍx →１h （x ）＝ｌｉｍx →１（１－x ）（１＋x ）（１－x ）（１＋x ）＝ｌｉｍx →１１１＋x ＝１２所以ｌｉｍx →１f （x ）＝ｌｉｍx →１g （x ）h （x ）＝３２１２（３）因为ｌｉｍx →∞g （x ）＝ｌｉｍx →∞１＋（２／x ）１＋（１／x ）＝１＞０ｌｉｍx →∞h （x ）＝ｌｉｍx→∞（１／x ）－（１－x ）（１／x ）－１＝０所以ｌｉｍx →∞f （x ）＝ｌｉｍx→∞g （x ）h （x ）＝１０＝１．１２．求下列极限：（１）ｌｉｍx →０ｓｉｎ３x ｓｉｎ２x ； （２）ｌｉｍx →０ｔａｎ５xｓｉｎ２x ；（３）ｌｉｍx →０ａｒｃｔａｎ４x ａｒｃｓｉｎ２x；（４）ｌｉｍx →∞x ｓｉｎ１x；（５）ｌｉｍx →０ｓｉｎ２（２x ）x２；（６）ｌｉｍx →０ｔａｎ３x －ｓｉｎ２xx；（７）ｌｉｍx →０１－ｃｏｓxx ｓｉｎx；（８）ｌｉｍx →０ax －ｓｉｎbxｔａｎkx（a ，b ，k ＞０）．解 （１）原式＝ｌｉｍx →０ｓｉｎ３x３x·２x ｓｉｎ２x ·３２＝３２．（２）原式＝ｌｉｍx →０ｔａｎ５x ５x ·２x ｓｉｎ２x ·５２＝５２．（３）原式＝ｌｉｍx →０ａｒｃｔａｎ４x ４x ·２x ａｒｃｓｉｎ２x ·４２＝２．（４）令u ＝１x，则x →∞时u →０．于是原式＝ｌｉｍu →０ｓｉｎu u＝１．（５）原式＝ｌｉｍx →０ｓｉｎ２（２x ）（２x ）２·４＝４ｌｉｍx →０ｓｉｎ２x ２x ２＝４．（６）原式＝３ｌｉｍx →０ｔａｎ３x ３x －２ｌｉｍx →０ｓｉｎ２x２x ＝３－２＝１（７）因为１－ｃｏｓx ～１２x ２（x →０），所以原式＝１２ｌｉｍx →０x ２x ｓｉｎx ＝１２ｌｉｍx →０x ｓｉｎx ＝１２（８）原式＝ｌｉｍx →０a k ·kx ｔａｎkx －b k ·ｓｉｎbx bx ·kxｔａｎkx＝a k －b k ＝a －bk．１３．求下列极限：（１）ｌｉｍx →∞１－１xx； （２）ｌｉｍx →∞１＋５xx；（３）ｌｉｍx →０（１－ｓｉｎx ）１／x；（４）ｌｉｍx →０（１＋３x ）１／x；（５）ｌｉｍx →０１－x２２／x；（６）ｌｉｍx →∞x －２x ＋２x．解（１）原式＝ｌｉｍx→∞１＋１－x－x－１＝１ｅ．（２）原式＝ｌｉｍx→∞１＋１x ／５x ／５５＝ｅ５．（３）令u ＝ｓｉｎx ，则x →０时，u →０．于是原式＝ｌｉｍu →０（１＋u ）１／u u ／ａｒｃｓｉｎ（－u ）＝ｅ－１．（４）原式＝ｌｉｍx →０［（１＋３x ）１／（３x ）］３＝ｅ３（５）原式＝ｌｉｍx →０１－x ２－２／x－１＝ｅ－１（６）原式＝ｌｉｍx →∞１－４x ＋２x＝ｌｉｍx→∞１－４x ＋２－（x ＋２）／４－４x ／（x ＋２）＝ｅ－４另解，令u ＝－x ＋２４，则x ＝－４u －２，且u →∞（x →∞时），于是原式＝ｌｉｍu →∞１＋１u－４u －２＝ｌｉｍu →∞１＋１uu －４·ｌｉｍu →∞１＋１u－２＝ｅ－４．１４．求下列极限：（１）ｌｉｍx →０（ｃｏｓx ）１／（１－ｃｏｓx ）； （２）ｌｉｍx →０（ｓｅｃ２x ）ｃｏｔ２x；（３）ｌｉｍx →π／２（１＋ｃｏｓx ）５ｓｅｃx；（４）ｌｉｍx →０ｓｉｎx －ｔａｎxｓｉｎx３；（５）ｌｉｍx →０（ｓｉｎx ３）ｔａｎx１－ｃｏｓx ２；（６）ｌｉｍx →π／６１－２ｓｉｎxｓｉｎ（x －π／６）；（７）ｌｉｍx →π／４（ｔａｎ２x ）ｔａｎπ４－x ．解（１）令u ＝１－ｃｏｓx ，则ｃｏｓx ＝１－u ，且u →０（x →０时），因此原式＝ｌｉｍu →０（１－u ）１／u＝ｅ－１．（２）令u ＝ｃｏｔ２x ，则ｓｅｃ２x ＝１＋１ｃｏｔ２x＝１＋１u ，且x →０时，u →＋∞．因此原式＝ｌｉｍu →＋∞１＋１uu＝ｅ（３）令u ＝ｃｏｓx ，则ｓｅｃx ＝１u ，且x →π２时，u →０．因此原式＝ｌｉｍu →０（１＋u ）５／u＝ｌｉｍu →０（１＋u ）１／u ５＝ｅ５．（４）因为x →０时，ｓｉｎx ～x ，ｓｉｎx ３～x ３，ｃｏｓx －１～－x２２所以 原式＝ｌｉｍx →０ｓｉｎx （ｃｏｓx －１）ｃｏｓx ·ｓｉｎx３＝ｌｉｍx →０x ·（－x ２／２）x ３ｃｏｓx＝－１２ｌｉｍx →０１ｃｏｓx ＝－１２．（５）因为x →０时，ｓｉｎx ３～x ３，ｔａｎx ～x ，１－ｃｏｓx ２～１２（x ２）２，所以原式＝ｌｉｍx →０x ３·xx ４／２＝２（６）令u ＝x －π６，则x →π６时，u →０，且有ｓｉｎx ＝ｓｉｎu ＋π６＝１２（３ｓｉｎu ＋ｃｏｓu ）于是有 原式＝ｌｉｍu →０１－（３ｓｉｎu ＋ｃｏｓu ）ｓｉｎu＝ｌｉｍu →０１－ｃｏｓu ｓｉｎu －３＝ｌｉｍu →０u ２／２ｓｉｎu－３＝－３．（７）因为ｔａｎ２x ＝ｓｉｎ２x ｃｏｓ２x ＝ｓｉｎ２xｃｏｓ２x －ｓｉｎ２xｔａｎπ４－x ＝ｓｉｎπ４－x ｃｏｓπ４－x ＝ｃｏｓx －ｓｉｎx ｃｏｓx ＋ｓｉｎx所以ｔａｎ２x ｔａｎπ４－x ＝ｓｉｎ２x ｃｏｓ２x －ｓｉｎ２x ·ｃｏｓx －ｓｉｎx ｃｏｓx ＋ｓｉｎx ＝ｓｉｎ２x （ｃｏｓx ＋ｓｉｎx ）２从而原式＝ｌｉｍx →π／４ｓｉｎ２x （ｃｏｓx ＋ｓｉｎx ）２＝１２２＋２２２＝１２．１５．讨论下列函数的连续性：（１）f （x ）＝x１－１－x ，x ＜０，x ＋２，x ≥０；（２）f （x ）＝ｅ１／x，x ＜０，０，x ＝０，１xｌｎ（１＋x ２），x ＞０．解 （１）由题设知f （０）＝２，且f （０－０）＝ｌｉｍx →０－x １－１－x＝ｌｉｍx →０－x （１＋１－x ）x ＝２f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋（x ＋２）＝２可见ｌｉｍx →０f （x ）＝２＝f （０）．所以，该函数在x ＝０处连续．另一方面，x１－１－x 在（－∞，０）内为初等函数，连续；x ＋２在（０，＋∞）内为线性函数，连续．综上所述，该函数在（－∞，＋∞）内连续．（２）因f （０）＝０，且 f （０－０）＝ｌｉｍx →０－ｅ１／x＝０， f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋１xｌｎ（１＋x ２）＝ｌｉｍx →０＋x ｌｎ（１＋x ２）１／x ２＝０·１＝０所以 ｌｉｍx →０f （x ）＝０＝f （０）．因此，该函数在x ＝０处连续．另一方面，ｅ１／x在（－∞，０）内连续，１xｌｎ（１＋x ２）在（０，＋∞）内连续．综上所述，该函数在（－∞，＋∞）内连续．１６．指出下列函数的间断点及其类型；如为可去间断点，将相应函数修改为连续函数；作出（１）、（２）、（３）的图形：（１）f （x ）＝１－x２１＋x ，x ≠－１，０，x ＝－１；（２）f （x ）＝x ２，x ≤０，ｌｎx ，x ＞０；（３）f （x ）＝x x ； （４）f （x ）＝x ｓｉｎ１x．解 （１）由题设知f （－１）＝０，而ｌｉｍx →－１f （x ）＝ｌｉｍx →－１１－x ２１＋x ＝ｌｉｍx →－１（１－x ）＝２≠f （０）所以，x ＝－１为该函数的可去间断点．令f （－１）＝２，则f ～（x ）＝１－x ２１＋x ，x ≠－１２，x ＝－１＝１－x在（－∞，＋∞）内连续．f （x ）的图形如图２．１所示．图２．１图２．２（２）由题设有f （０）＝０，而f （０－０）＝ｌｉｍx →０－x ２＝０，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋ｌｎx ＝－∞所以，x ＝０为该函数的无穷间断点．f （x ）的图形如图２．２所示．（３）该函数在x ＝０处无定义，而f （０－０）＝ｌｉｍx →０－xx ＝ｌｉｍx →０－x－x ＝－１，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋x x＝ｌｉｍx →０＋x x＝１．图２．３因为左、右极限均存在但不相等，所以，x ＝０为该函数的跳跃间断点．f （x ）的图形如图２．３所示．（４）该函数在x ＝０处无定义．因ｌｉｍx →０f （x ）＝ｌｉｍx →０x ｓｉｎ１x＝０，故x ＝０为该函数的可去间断点．若令f （０）＝０，则函数f ～（x ）＝x ｓｉｎ１x，x ≠００，x ＝０在（－∞，＋∞）内连续．１７．确定下列函数的定义域，并求常数a ，b ，使函数在定义域内连续：（１）f （x ）＝１x ｓｉｎx ，x ＜０，a ，x ＝０，x ｓｉｎ１x＋b ，x ＞０；（２）f （x ）＝ax ＋１，x ≤１，x ２＋x ＋b ，x＞１；（３）f （x ）＝１－x ２，－４５＜x ＜３５，a ＋bx ，其他．解 （１）D f ＝（－∞，＋∞）．因f （x ）在D f 的子区间（－∞，０）与（０，＋∞）内均为初等函数．因此，f （x ）在（－∞，０）∪（０，＋∞）内连续．现讨论f （x ）在分界点x ＝０处的连续性．已知f （０）＝a ，而且f （０－０）＝ｌｉｍx →０－ｓｉｎxx ＝１，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋x ｓｉｎ１x＋b ＝b 当f （０－０）＝f （０＋０）＝f （０）时，即当a ＝b ＝１时，f （x ）在x ＝０处连续．综上所述，当a ＝b ＝１时，该函数在其定义域（－∞，＋∞）内连续．（２）D f ＝（－∞，＋∞）．因为f （－１）＝１－a ，且f （－１－０）＝ｌｉｍx →（－１）－（x ２＋x ＋b ）＝bf （－１＋０）＝ｌｉｍx →（－１）＋（ax ＋１）＝１－a 所以，当a ＋b ＝１时，f （x ）在x ＝－１处连续．又因f （１）＝１＋a ，且f （１－０）＝ｌｉｍx →１－（ax ＋１）＝a ＋１f （１＋０）＝ｌｉｍx →１＋（x ２＋x ＋b ）＝２＋b所以，当a ＋１＝２＋b ，即a －b ＝１时，f （x ）在x ＝１处连续．综上所述，当a ＋b ＝１且a －b ＝１，即a ＝１，b ＝０时，f （x ）在x ＝－１和x ＝１处连续，从而f （x ）在其定义域（－∞，＋∞）内连续．（３）D f ＝（－∞，＋∞）．因f －４５＝a －４５b ，且f －４５－０＝ｌｉｍx →－４５－（ax ＋b ）＝a －４５b f －４５＋０＝ｌｉｍx →－４５＋１－x ２＝３５所以，当a －４５b ＝３５，即５a －４b ＝３时，f （x ）在点x ＝－４５处连续．又因f３５＝a ＋３５b ，且f３５－０＝ｌｉｍx →３５－１－x ２＝４５f３５＋０＝ｌｉｍx →３５＋（a ＋bx ）＝a ＋３５b 所以，当a ＋３５b ＝４５，即５a ＋３b ＝４时，f （x ）在点x ＝３５处连续．综上所述，当５a －４b ＝３且５a ＋３b ＝４，即a ＝５７，b ＝１７时，f（x）在x＝－４５与x＝３５处连续，从而f（x）在其定义域（－∞，＋∞）内连续．（B）１．填空题：（１）ｌｉｍn→∞１n２＋１（n＋１）２＋…＋１（２n）２＝ ；（２）ｌｉｍx→０ｌｎ（x＋a）－ｌｎax（a＞０）＝ ；（３）ｌｉｍx→a＋x－a＋x－ax２－a２（a＞０）＝ ；（４）若ｌｉｍx→＋∞xx n＋１－（x－１）n＋１＝k≠０，n为正整数，则n＝ ，k＝ ；（５）x→０时，１＋x－１－x是x的 无穷小；（６）设f（x）＝ｓｉｎx·ｓｉｎ１x，则x＝０是f（x）的 间断点；（７）设f（x）＝x x，则x＝０是f（x）的 间断点；（８）函数f（x）＝１x２－５x＋６的连续区间是 ．答 （１）０； （２）１a； （３）１２a；（４）２００８，１２００８； （５）等价；（６）可去； （７）跳跃； （８）（－∞，２）∪（３，＋∞）．解 （１）因为１４n≤１n２＋１（n＋１）２＋…＋１（２n）２≤１n且ｌｉｍn→∞１４n＝０，ｌｉｍn→∞１n＝０．所以，由夹逼定理可知，原式＝０．（２）原式＝ｌｉｍx→０ｌｎ１＋x a１／x＝１aｌｉｍx→０ｌｎ１＋x a a／x＝１aｌｎｌｉｍx→０１＋x a a／x＝１aｌｎｅ＝１a．（３）因为x－a＋x－ax２－a２＝x－ax＋a（x＋a）＋１x＋a且ｌｉｍx→a＋x－ax＋a（x＋a）＝０，ｌｉｍx→a＋１x＋a＝１２a所以，原式＝１２a．（４）因为x n＋１－（x－１）n＋１＝［x－（x－１）］［x n＋x n－１（x－１）＋…＋x（x－１）n－１＋（x－１）n］＝x n１＋１－１x＋…＋１－１x n－１＋１－１x n所以，由题设有原式＝ｌｉｍx→＋∞x２００８－n１＋１－１x＋…＋１－１x n－１＋１－１x n＝k≠０显然，要上式成立，应有２００８－n＝０，即n＝２００８．从而原式＝ｌｉｍx→＋∞１１＋１－１x＋…＋１－１x n－１１－１x n＝１n＝k所以，k＝１n＝１２００８．（５）因为ｌｉｍx→０１＋x－１－xx＝ｌｉｍx→０２１＋x＋１－x＝１所以，x→０时，１＋x－１－x是x的等价无穷小．（６）因为ｌｉｍx→０ｓｉｎx·ｓｉｎ１x＝ｌｉｍx→０ｓｉｎx x·ｌｉｍx→０xｓｉｎ１x＝１×０＝０．所以，x＝０是f（x）的可去间断点（令f（０）＝０，即可）．（７）因为f （０－０）＝ｌｉｍx →０－－x x ＝－１，f （０＋０）＝ｌｉｍx →０＋xx＝１左、右极限存在，但不相等，故x ＝０为跳跃间断点．（８）该函数有定义的条件是x ２－５x ＋６＝（x －２）（x －３）＞０由此得x ＜２或x ＞３．因此，该函数的连续区间为（－∞，２）或（３，＋∞）．２．单项选择题：（１）函数f （x ）在点x ０处有定义，是极限ｌｉｍx →x ０f （x ）存在的 ．（Ａ）必要条件； （Ｂ）充分条件；（Ｃ）充分必要条件；（Ｄ）无关条件．（２）下列“结论”中，正确的是 ．（Ａ）无界变量一定是无穷大；（Ｂ）无界变量与无穷大的乘积是无穷大；（Ｃ）两个无穷大的和仍是无穷大；（Ｄ）两个无穷大的乘积仍是无穷大．（３）设函数f （x ）＝１，x ≠１，０，x ＝１，则ｌｉｍx →１f （x ）＝ ．（Ａ）０； （Ｂ）１； （Ｃ）不存在； （Ｄ）∞．（４）若ｌｉｍx →２x ２＋ax ＋bx ２－３x ＋２＝－１，则 ．（Ａ）a ＝－５，b ＝６； （Ｂ）a ＝－５，b ＝－６；（Ｃ）a ＝５，b ＝６；（Ｄ）a ＝５，b ＝－６．（５）设f （x ）＝１－x １＋x，g （x ）＝１－３x ，则当x →１时， ．（Ａ）f （x ）与g （x ）为等价无穷小；（Ｂ）f （x ）是比g （x ）高阶的无穷小；（Ｃ）f （x ）是比g （x ）低阶的无穷小；（Ｄ）f （x ）与g （x ）为同阶但不等价的无穷小．（６）下列函数中，在定义域内连续的是 ．（Ａ）f （x ）＝ｃｏｓx ，x ≤０，ｓｉｎx ，x ＞０； （Ｂ）f （x ）＝１x，x ＞０，x ，x ≤０；（Ｃ）f （x ）＝x ＋１，x ≤０，x －１，x ＞０；（Ｄ）f （x ）＝１－ｅ－１／x ２，x ≠０，１，x ＝０．（７）下列函数在区间（－∞，１）∪［３，＋∞］内连续的是 ．（Ａ）f （x ）＝x ２＋２x －３； （Ｂ）f （x ）＝x ２－２x －３；（Ｃ）f （x ）＝x ２－４x ＋３；（Ｄ）f （x ）＝x ２＋４x ＋３．（８）若f （x ）在区间 上连续，则f （x ）在该区间上一定取得最大、最小值．（Ａ）（a ，b ）； （Ｂ）［a ，b ］； （Ｃ）［a ，b ）； （Ｄ）（a ，b ］．答 （１）Ｄ； （２）Ｄ； （３）Ｂ；（４）Ａ；（５）Ｄ； （６）Ｄ； （７）Ｃ； （８）Ｂ．解 （１）ｌｉｍx →x ０f （x ）是否存在与f （x ）在点x ０是否有定义无关，故应选（Ｄ）．（２）（Ａ）、（Ｂ）、（Ｃ）都不正确．例如n →∞时n ｓｉｎn 是无界变量，而不是无穷大；n →∞时，n ｓｉｎn 是无界变量，n 是无穷大，而n ·n ｓｉｎn ＝n ２ｓｉｎn 是无界变量，不是无穷大；n →∞时，n 与－n 都是无穷大，但n ＋（－n ）＝０是一常量，不是无穷大．（Ｄ）正确．例如，设ｌｉｍu →∞u ０＝∞， ｌｉｍu →∞v n ＝∞则对任意给定的M ＞０，存在正整数N １，N ２，使当n ＝N １，n ＞N ２时，恒有u n＞M ，v n ＞M取N ＝ｍａｘ｛N １，N ２｝，则当n ＞N 时，恒有u n v n＝u n ·v n＞M ·M ＝M２这表明ｌｉｍn →∞u n v n ＝∞．（３）易知f （１－０）＝f （１＋０）＝１，从而ｌｉｍx →１f （x ）＝１，故应选（Ｂ）．（４）因为ｌｉｍx →２（x ２－３x ＋２）＝ｌｉｍx →２（x －２）（x －１）＝０，因此，分子的极限也应为０，即应有x ２＋ax ＋b ＝（x －２）（x －c ）＝x ２－（２＋c ）x ＋２c由此得a ＝－（２＋c ），b ＝２c于是，由题设有ｌｉｍx →２x ２＋ax ＋b x ２－３x ＋２＝ｌｉｍx →２（x －２）（x －c ）（x －２）（x －１）＝ｌｉｍx →２x －cx －１＝２－c ＝－１由此得c ＝３，从而得a ＝－５，b ＝６．故应选（Ａ）．（５）因为。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
习 题 六 （A ）1．根据定积分的几何意义说明下列各式的正确性 （1）0d cos 20=⎰x x π（2）x x x x d )1(2d )1(22222+=+⎰⎰-（3）0d 311=⎰-x x （3）x x dx x d 42111⎰⎰==解：（1）该定积分的几何意义如右图所示阴影部分面积的代数和，由对称性可知正确． （2）该定积分的几何意义如右图所示阴影部分面积的代数和，且在) 2 , 2(-范围内对称，所以是正确的．（3）该定积分的几何意义如右图所示阴影部分面积的代数和，且关于原点对称，所以正确． （4）原式dx x ⎰-=112等式左边的定积分的几何意义是右边图形阴影部分面积的代数和的2倍，且又因为阴影部分在1) , 1(-范围内关于轴对称，所以等式两边相等．2．不计算积分，比较下列积分值的大小 （1）x x d 210⎰与x x d 310⎰ （2）x x d 231⎰与x x d 331⎰（2）x x d ln 43⎰与x x d )(ln 243⎰ （4）x x d sin 2⎰π与x x d 2⎰π解：（1）由定积分的比较性可知在1) , 0(范围内32x x >，所以前者大于后者． （2）由定积分的比较性可知在3) , 1(范围内32x x <，所以前者小于后者． （3）由定积分的比较性可知在4) , 3(范围内2)(ln ln x x <，所以前者小于后者．1=a （4）由定积分的比较性可知在）2, 0(π范围x x <sin ，所以前者小于后者．3．用定积分性质估计下列积分值 （1）x d e2x -1⎰（2）x x d )sin 1(2454+⎰ππ（3）x xx d 151+⎰（4）x xxd sin 2⎰π解：（1）因为2x e -在]1 , 0[范围内的最大值为1，最小值为1-e 所以由定积分的估值定理可知：dx dx e dx e x l 12111⎰⎰⎰≤≤--1211≤≤⇒--⎰dx e e x（2）因为x 2sin 1+在22]45, 4[ππ的最大值为2，最小值为1。
所以由定积分的估值定理可知：dx dx x dx 2)sin 1(l 4542454454⎰⎰⎰≤+≤ππππππππππ2)sin 1(2454≤+≤⇒⎰dx x （3）设xx x f +=1)(5则)1(12)910(112x 15x)( ' 454x x x x x x x x f +++=++-+= 令0)( ' =x f则01 , 0)910(4≠+=+x x x 解得：910x , 0-==x 所以)(x f 在) , 0(∞+上单调递增所以)(x f 在1] , 0[的最小值为0，最大值是22 所以由定积分的估值定理可知：dx dx x x dx 22101511⎰⎰⎰≤+≤221051≤+≤⇒⎰dx xx（4）由图中易知：ADAB AB<∧<其中x AB sin =，x AD tan =，x AC = 即：x x x tan sin ≤≤ 亦得到：xx x cos 1sin 1≤≤20π<<x ，从中1sin cos ≤≤xxx由定积分性质有：dx dx xxxdx ⋅≤≤⎰⎰⎰1sin cos 222πππ2sin 12ππ≤≤⇒⎰∂dx x x4．利用定积分的几何意义计算下列积分（1）dx x 2222-⎰- （2）dx x x )21(221--⎰解：（1）该定积分的几何意义是以原点为圆心2为半径的一个圆面积的一半，且在x 轴的上方．所以原式221R π=π=（2）该定积分的几何意义是以1) , 1(为圆心，以1为半径的一个圆面积的一半且在x 轴的上方．所以原式221R π= π21= 5．求下列函数的导数 （1）t tex f t x d )(212--⎰（2）dt t x f xe x )1ln()(2+=⎰（3）dt e x f t x x23)(⎰= （4）dt sin )()(330t x t x f x-=⎰解：（1）设⎰=-)(2t g dt te t则m x g x g x e g x f =--=-=222)1()(1)()(令 434222x ' )(' g )( ' x x x e x e m m x f --===（2）设⎰=+)()1ln(2t g dt t 则m e x g e g x f x x =-=令)()()()ln()ln(e )( ' g ' )( ' g )( ' 22x x x e x x m m x f x +-+=-=（3）设⎰=)(2t g dt e ty x x 0 A B D C 1则n m x x g x g x f ==-=x , )()()(33令xe x e n n m m gf xx 213 ' )( ' g ' )( ' (x) ' 26-=-=（4）设⎰=-)(sin )(33t g t x t 则)0()()(g x g x f -=0(0) ' g )( ' g )( ' =-=x x f6．求下列极限 （1）⎰→t t x x x d sin 01lim 230 （2）⎰→t t xxx d arctan 01lim 20 （3）⎰--+→tt t xx x d )11(01lim223（4）⎰--+→t t xx x d )1ln(011lim20（5）t t xt xx d )2sin 1(1lim10+⎰→ （6）211)1(d 1ln lim -+⎰→x t t txx （7）2210d lim x t xx t e ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎰+∞→ （8）t e t t x x txx d )(1lim 2220-+∞→+⎰（9）xx x tx t xx arctan sin d e lim 2∙∙--→⎰解：（1）⎰→=dt t x x x 23001limdt t x x 330311lim-=→ 31=（2） ⎰→=tdt xx x 01lim2021 1lim 220x x x x →=21=（3）⎰---=→dt t t xx x )sin 1tan 1(01lim 2230 ⎰-=→dt x x x x x )cos cos 1(01lim 30 ⎰→=dt x x xx x sin tan 01lim3⎰→=dt x x x x 23001lim31 1lim 330x t x x →= 31=（4）dt t x xx )1ln(11lim20---+=⎰→)1()1ln(11lim20-t d t x xx ----+=⎰→0)1ln (11lim20=---+=→ππx x （5）dtt xt xx 10)2sin 1(1lim +⋅⎰→dt t txx 1)2sin 1(lim+=⎰→洛必达法则xx x 1)sin 1(lim 0+→221)21(lim 0⋅+=→xx x 2e =（6）211)1(1ln lim -+⎰→x dt t txx221ln lim 1-+=→x x x x 4121lim 211ln 21lim 121==-=→→x x x x x x （7）22221lim 10)ln(lim x t xx t xx dt e e dt e x ⎰⎰+∞→=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→e ex x edte xtx x ===⋅⎰⋅+∞→222021ln 1lim（8）2201)(arctan limxdt t xx +⎰+∞→2201lim arctan)lim (xdtx x x+=+∞→+∞→⎰01lim422=+=+∞→xx π（9）dt e t t xx txx 22)(120lim -+⎰⎰+∞→dt e x e t t xt xx 22)(lim20⋅+=⎰+∞→洛必达法则21)21()(lim2222=+++∞→x x xx e e x x7．设)(x F 在]b , [a 上连续，且0)(>x ft t f t t f x F xbxad )(1d )()(⎰⎰+=求证：（1）2)( ' ≥x F ；（2）)( ' x F 在]b , [a 内有且仅有一个实根．解：证明： （1）设⎰⎰==)(1)()(t h dt f(t)t g dt t f f(t)f(t)b)h x h g x g x F b h x h a g x g x F 1( ' -)( ' (a) ' -)( ' )( ' )()()()()(+=+=∴-+-= 又因为2)( ' , 0)(≥∴>x F t f（2）因为b] , [a F(x)在上单调增加，又因为0)(1)(1)(<-==⎰⎰de t f de t f a F baab0)()(>=⎰dt t f b F ba又因为F(x)在区间] , [b a 上连续． 所以在区间] , [b a 内紧有一个实根．8．设)(x f 为连续函数，且存在常数a 满足dt t f x axx-)(e 1⎰=-求)(x f 及常数a ．解：设⎰=)()(t g de e f则)()(1x g a g x e x -=-- 对等式两边求导，得：)(( ' )( ' 1x f x)g a g x e x -=-=--所以11)(--=x e x f 所以x e e a x ae x dx e dt tf x a x x axax-+-=--==----⎰⎰11111)( 所以1=a 9．设x dt t f t x xcos 1)()(0-=-⎰，说明1)(20=⎰dx x f π．解：xdt x Q dtt Q xt tQ Q x Q x t tdQ Q x Q x t Q td Q x Q x dtt tf Q x Q x dtt f t x t Q t t f t Q xx x x xxcos 1)()(0)()]0()([)()]0()([)(()]0()([)()]0()([)()()()( ' P , )()( ' 0000-==+--=--=--=--=-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 即12sin )(cosxf (x)sinx Q(x)cosx -1P(0)-)P(2===∴=∴=⎰ππx dx x f x10．用牛顿-莱布尼茨公式计算下列积分 （1）381d xx ⎰（2）x e e x x d )(11---⎰（3）dx x x e 21)(ln 2⎰（4）x xx d 1arcsin 22221-⎰（5）x x d cos 0⎰π（6）x x d 21⎰- （7）2114d xx -⎰- （8）2204d x x +⎰（9）x xx x ed ln 221-⎰（10）x x d tan 36⎰ππ （11）xdx 236tan ⎰ππ （12）x x x d 1241⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎰（13）x d sin 212-⎰π（14）x x d 2sin 10-⎰π （15）x x x xx x d )sin (sin cos 224+⎰ππ （16）x x d } , 1max{231⎰-解：（1）29182332381==⎰x x dx（2）011)()(11=-+=----⎰x x x x e e dx e e （3）1)(ln 31)(ln )(ln )(ln 23212122e x x d x dx xx e e ==⎰⎰（4）x xd dx xx arcsin arcsin 1arcsin 222122221⎰⎰=-)3616(21122arcsin 21222ππ-==sx28852π= （5）2sin 02sin cos cos 2cos 2200=-=-+=⎰⎰⎰x xxxx x x xdx xdx dx x ππ（6）2510210221222121=--=+-=⎰⎰⎰--x x xdx xdx dx x （7）3112arcsin4211π=-=-⎰-x x dx（8）8022214220π==+⎰x arctg x dx （9）xxd ex dx x x xdx dx xx x eeeeln ln 2121ln 21ln 1211221⎰⎰⎰⎰-=-=-)3(211)(ln 212)1(21222-=--=e e x e（10）3ln 2163cos ln tan 36=-=⎰ππππx xdx （11）dx x dx xxdx )1(sec l cos 1tan 236236236-=-=⎰⎰⎰ππππππ12ln 2-=)633()33(ππ---= 6332π-=（12）dx xxdx xx x dx xx 12112)1(4141241+-=+-=-⎰⎰⎰14ln 44(x x +-=12ln 2-=（13）dx x dx x dx x )21(sin )sin 21(6sin 212602-+-=-⎰⎰⎰ππππ62)21cos (06)cos 21(πππx x x x --++= 1213π--=（14）dx x x dx x x dx x x dx x xx xx)cos (sin )sin (cos cos sin 2sin 144-+-=-=-⎰⎰⎰⎰π22)sin cos (04)cos (sin 4=--++=xx x x x x π（15）πππππππ22442sin 1)sin ()sin (1)sin (sin cos 224224-=-==+⎰⎰x x x x d x x dx x x x x x （16）321013311l } x , 1max{223111231=+-++=⎰⎰⎰--x x dx x dx dx11．设t t t x f txd e)l ()(20--=⎰，问x 取何值时，)(x f 取极大值或极小值．解：设⎰)(l)e (-2t t g de t t =-则)()()(e g x g x f -=所以x x e x x e x x x x f 22)1()1()( ' g )( ' ----=-==因为)( ' x f 在,0) (-∞，) , (-1 , ) , 1(∞∞--上大于0，在1) , 0(内小于0所以)(x f 在), (1 , 0) , (+∞-∞上单调递增，在1) , 0(内单调递增． 所以当0x =时，f (x)取极大值，1x =时，f (x)取极小值。