弹性力学复习提纲
弹性力学期末复习提纲_854903739
《弹性力学》期末复习提纲第七章、平面问题1. 会正确区分是否是平面问题，如果是，具体属于哪类平面问题（平面应力、平面应变、广义平面应力、广义平面应变）？2. 明确各类平面问题中的各种非零变量，能够正确写出平面问题的平衡方程、几何方程、本构方程（注意平面应力和平面应变问题的区别，应力→应变、应变→应力）和边界条件。
极坐标下的方程不用专门记忆。
3. 知道根据应变协调条件，严格的平面应力问题必须满足线性条件：ax by c =++Θ或z Ax By C ε=++。
4. 知道根据几何方程，严格的平面应力问题必须满足变形后是平截面的条件：()w Ax By C z =++。
5. 会用位移法求解简单的平面问题，特别是轴对称问题和轴反对称问题（比如7-19题）。
6. 会用Airy 应力函数求解平面问题（直角坐标系、极坐标系，轴对称、非轴对称）。
要求能根据Airy 应力函数的基本性质来构造应力函数，并进一步通过双调和方程得到应力函数的通解，最后由边界条件确定其中的待定常数。
附录B 、泛函极值与变分法（不会专门考，但要求会用）1. 知道泛函和容许自变函数的概念。
2. 会正确计算给定泛函的变分。
3. 会求泛函的无条件极值问题。
4. 会求泛函的条件极值问题。
第十章、能量原理1. 明确“真实状态”、“变形可能状态”和“静力可能状态”的相关概念。
2. 理解“可能功”、“变形功”和“虚功”的概念。
对具体问题能正确写出其广义力和广义位移。
3.明确系统的总势能（应变能+外力势）和总余能（应变余能+余势）的物理意义、相互关系和具体的表达式。
对于具体问题，能够正确写出系统的总势能和总余能。
（注意：总势能中的基本未知量为位移或应变，总余能中的基本未知量为力或应力）4.明确“可能功原理”、“功的互等定理”、“虚功原理”、“极小势能原理”、“最小势能原理”、“余虚功原理”、“极小余能原理”和“最小余能原理”的：(1)表达式(2)物理意义（比如正定理、逆定理）(3)适用范围(4)各种能量原理的相互关系5.会使用“功的互等定理”解题（关键在于通过易求的状态得到难解的状态）6.会根据“虚功原理”、“极小势能原理”和“最小势能原理”，由变分法求得具体问题的欧拉方程和自然边界条件。
弹性力学复习第一～四章
平面应力物理方程也可表示为：
E x ( x y ) 2 1
E y ( y x ) 2 1
xy
E xy 2(1 )
二、平面应变问题的基本方程
平面应变与平面应力问题的平衡微分方程和几何 方程完全相同 。 作代换
E E , 2 1 1
fx
在x＝±l 的次要边界上，列出三个主矢量和主 矩对等的积分边界条件：
圣维南原理推广
如果物体一小部分边界上的面力是一个 平衡力系，（主矢量为0，对于同一点的主 矩也为0），那么，这个面力就只会使近处 产生显著的应力，而远处的应力可以不计。
例题 写出图所示悬臂梁的应力边界条件（用直角坐标形式）
( y )
连续性,小变形,均匀性
x
u v u v ; y ; xy x y y x
运用基本假定: 物理方程
连续性,小变形,均匀性
1 x x y E
1 y y x E
xy
1 xy G
运用基本假定: 连续性,均匀性,完全弹性,各向同性,小变形
三 弹性力学的基本假定
（1）连续性假设 （2）线弹性假设 （3）均匀性假设 （4）各向同性假设 符合以上四个假定的物体称为理想弹性体。 （5）小变形假设 本课程所讨论的问题，都是理想弹性体的小变 形问题。
第二章 平面问题的基本理论
§2-1 平面应力问题与平面应变问题 平面应力问题，就是只有平面应力分量 （σx ,σy ,τxy）存在，且仅为x、y的函 数的弹性力学问题。 平面应变问题，就是只有平面应变分量 （εx ，εy ，γxy）存在，且仅为x、y的 函数的弹性力学问题。 总结：平面应力和平面应变问题是性质不 同的两类问题，但其共同特点是应力分量 和应变分量都只是x 、y的函数，与z坐标无 关，故统称为平面问题。
弹性力学复习提纲课件
边界元法
边界元法是一种只对问题 的边界进行离散化处理的 方法。
边界元法的优点在于其计 算量较小，适用于处理复 杂形状和边界条件的问题。
ABCD
边界元法通过将偏微分方 程转化为边界上的积分方 程，然后利用数值方法进 行求解。
边界元法的缺点在于其对 于内部应力分布的计算精 度较低。
多尺度弹性力学研究还关注多场耦合效应，即在温度、磁场、电场等多
种外部场的作用下，材料的弹性行为和力学性能的变化规律。
非线性弹性力学研究
非线性行为
非线性弹性力学研究关注材料在 受力作用下的非线性响应和失稳 现象，如屈曲、断裂、塑性变形等。
高强度材料
非线性弹性力学研究对于高强度 材料的性能评估和设计优化具有 重要意义，如复合装甲、航空航 天材料等。
02
应变张量
描述应变在三维空间中的分布，包括正应变和剪应变。
03
应变协调方程
确保物体在变形过程中保持连续性和协调性。
弹性力学的基本方程
平衡方程
描述物体在力的作用下保持平衡的方程。
几何方程
描述物体在变形过程中形状变化的方程。
物理方程
描述材料在受力时应力与应变关系的方程。
02
本构方程
描述材料在受力时应力与应变之间关系的方 程，通常由实验确定。
03
基于弹性力学原理，开发新型材料并优化现有材料的性能，以
满足各种工程需求。
谢谢聆听
数值模拟与实验验
证
非线性弹性力学研究需要结合数 值模拟和实验验证，以深入理解 材料的非线性行为和失稳机制， 为工程应用提供理论支持和实践 指导。
弹性力学与其他学科的交叉研 究
05
弹性力学与流体力学的交叉研究
有限元复习提纲
复习提纲1.弹性力学问题的基本假设；a.连续性假设根据这一假设，物体的所有物理量，例如位移、应变和应力等均成为物体所占空间的连续函数。
b.均匀性假设假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的，物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标位置的变化而改变。
在处理问题时，可以取出物体的任意一个小部分讨论。
c.各向同性假设假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质，物体的弹性常数不随坐标方向变化。
像木材、竹子以及纤维增强材料等，属于各向异性材料，它们是复合材料力学研究的对象。
d.完全弹性假设应力和应变之间存在一一对应关系，与时间及变形历史无关。
满足胡克定理。
e.小变形假设在弹性体的平衡等问题讨论时，不考虑因变形所引起的几何尺寸变化，使用物体变形前的几何尺寸来替代变形后的尺寸。
采用这一假设，在基本方程中，略去位移、应变和应力分量的高阶小量，使基本方程成为线性的偏微分方程组。
2.有限元法的基本思想；有限元法的基本思想是：把连续的几何结构离散成有限个单元，并在每一个单元中设定有限个节点，从而将连续体看作仅在节点处相连接的一组单元的集合体，同时选定场函数的节点值作为基本未知量，并在每一单元中假设一个近似插值函数以表示单元中场函数的分布规律，再建立用于求解节点未知量的有限元方程组，从而将一个连续域中的无限自由度问题转化为离散域中的有限自由度问题，求解得到节点值后就可以通过设定的插值函数确定单元上以至整个集合体上的场函数。
3.有限元分析的基本步骤；一般完整的有限元程序包含前置处理、解题程序和后置处理。
前置处理：（1）建立有限元素模型；（2）材料特性；（3）元素切割的产生；（4）边界条件；（5）负载条件。
解题程序:（1）元素刚度矩阵计算；（2）系统外力向量的组合；（3）线性代数方程的求解；（4）通过资料反算法求应力、应变、反作用等。
后置处理：将解题部分所得的解答如变位、应力、反力等资料，通过图形接口以各种不同表示方式把等位移图、等应力图等显示出来。
弹性力学期中复习提纲_552107552
《弹性力学》期中复习提纲一、张量分析（不专门出题考，但要求会基本的运算） 1. 张量的基本记法、求和约定、自由指标、亚指标、换标 2. Kronecker ij δ符号的换标作用，3=ii δ3. 置换符号ijk e 的定义（下标是两两反对称的，指标轮流换位等）、矢量叉积运算的分量表示、δe -恒等式：ks jt kt js ist ijk e e δδδδ-=4. 正交单位基矢量的坐标转换关系i j i j e e '='β、坐标转换系数的互逆关系ij k j k i δββ=''5. 张量的坐标转换运算：j j i i a a '='β、m n n j m i ij T T ''='ββ（写成矩阵形式时要注意坐标转换矩阵中sin 的符号问题） 6. 张量的代数运算和商判则7. 特殊张量及其基本性质（比如加法分解、球偏分解、对称张量和反对称张量的双点积为零张量）8. 会求实对称二阶张量的主分量和主方向，知道三个不变量的概念（不用死记） 9. 掌握笛卡尔坐标系中的张量场运算和性质（梯度、散度、旋度、Laplace 算子、高斯定理）10. 了解一般正交曲线坐标系中张量分析的基本概念（拉梅系数、对基矢量的导数、场论），但不要求做具体计算。
二、绪论1. 什么是弹性固体？2. 弹性力学中的载荷分类3. 弹性力学的基本假设：主要：连续性假设（知道这是统计平均意义上的抽象，要求弹性力学中的点是宏观充分小、微观充分大的）、弹性假设辅助性：均匀性、各向同性、小变形、无初应力（无后两项，解的唯一性定律就不成立）三、应力理论1. 知道应力的定义、真实（柯西）应力和工程（名义）应力的区别2. 理解“一点的应力状态”：对“点”的要求应力分量正方向的规定（笛卡尔坐标系和圆柱坐标系）3. 熟练掌握斜截面应力公式()ν=⋅σνσ，能正确写出应力边界条件j i ij p νσ=，会计算斜面的应力矢量、斜面正应力矢量和斜面剪应力矢量的大小（()ννσ==σ=n ij i j σσνν、τ=） 4. 会对应力分量进行坐标转换（注意坐标转换矩阵的表达式） 5. 会计算应力主方向和主应力6. 了解八面体正应力、剪应力。
弹性力学复习总结提纲
2011土木工程专业《弹性力学》复习提纲一、选择题1、弹性力学建立的基本方程多是偏微分方程，还必须结合（）求解这些微分方程，以求得具体问题的应力、应变、位移。
A．相容方程B．近似方法C．边界条件D．附加假定2、根据圣维南原理，作用在物体一小部分边界上的力系可以用下列（）的力系代替，则仅在近处应力分布有改变，而在远处所受的影响可以不计。
A．静力上等效B．几何上等效C．平衡D．任意3、弹性力学平面问题的求解中，平面应力问题与平面应变问题的三类基本方程具有下列关系（）。
A．平衡方程、几何方程相同，物理方程不同B．平衡方程、几何方程、物理方程完全相同C．平衡方程、物理方程相同，几何方程不同4、不计体力，在极坐标中按应力求解平面问题时，应力函数必须满足（）①区域内的相容方程；②边界上的应力边界条件；③满足变分方程；④如果为多连体，考虑多连体中的位移单值条件。
A. ①②④B. ②③④C. ①②③D. ①②③④5、如下图所示三角形薄板，按三结点三角形单元划分后，对于与局部编码ijm对应的整体编码，以下叙述正确的是（）。
①I单元的整体编码为162 ②II单元的整体编码为426③II单元的整体编码为246 ④III单元的整体编码为243⑤IV单元的整体编码为564A. ①③B. ②④C. ①④D. ③⑤二、判断题（正确的打√，错误的打×）1、满足平衡微分方程又满足应力边界条件的一组应力分量必为正确解（设该问题的边界条件全部为应力边界条件）。
( )2、本构方程直接给出了位移和应力之间的关系。
（）3、理想弹性体中主应力方向和主应变方向相重合。
（）4、应力张量的三个主应力与坐标系无关。
（）5、弹性力学规定，当微分面的外法向与坐标轴正方向一致时，其上的应力分量指向坐标轴的正方向为正。
（）6、瑞利-李兹法一般用于求解弹性力学问题的近似解。
（）三、填空题1、在弹性力学变分解法中，位移变分方程等价于（方程和边界条件），而应力变分方程等价于（方程和边界条件）2、弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为：____________，____________。
弹性力学复习资料
弹性力学复习资料一． 简答题（24分）1. （8分)弹性力学中引用了哪五个基本假定？五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途?答:弹性力学中主要引用的五个基本假定及各假定用途为：（答出标注的内容即可给满分)1）连续性假定:引用这一假定后，物体中的应力、应变和位移等物理量就可看成是连续的，因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。
2）完全弹性假定：这一假定包含应力与应变成正比的含义，亦即二者呈线性关系,复合胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程。
3)均匀性假定：在该假定下,所研究的物体内部各点的物理性质显然都是相同的.因此，反应这些物理性质的弹性常数（如弹性模量E 和泊松比μ等）就不随位置坐标而变化.4)各向同性假定：各向同性是指物体的物理性质在各个方向上都是相同的，也就是说，物体的弹性常数也不随方向变化。
5）小变形假定：研究物体受力后的平衡问题时，不用考虑物体尺寸的改变,而仍然按照原来的尺寸和形状进行计算。
同时，在研究物体的变形和位移时，可以将它们的二次幂或乘积略去不计,使得弹性力学的微分方程都简化为线性微分方程.2. （8分）弹性力学平面问题包括哪两类问题？分别对应哪类弹性体？两类平面问题各有哪些特征？答：弹性力学平面问题包括平面应力问题和平面应变问题两类，两类问题分别对应的弹性体和特征分别为：平面应力问题:所对应的弹性体主要为等厚薄板，其特征是:面力、体力的作用面平行于xy 平面,外力沿板厚均匀分布，只有平面应力分量x σ,y σ，xy τ存在，且仅为x ，y 的函数。
平面应变问题:所对应的弹性体主要为长截面柱体，其特征为：面力、体力的作用面平行于xy 平面，外力沿z 轴无变化,只有平面应变分量x ε,y ε，xy γ存在，且仅为x ，y 的函数。
3. （8分)常体力情况下，按应力求解平面问题可进一步简化为按应力函数Φ求解，应力函数Φ必须满足哪些条件？答：（1)相容方程：04=Φ∇（2）应力边界条件（假定全部为应力边界条件，σs s =)：()()()上在στστσs s f l m f m l y s xy y x s yx x =⎪⎩⎪⎨⎧=+=+（3）若为多连体，还须满足位移单值条件.一、简答题1．试写出弹性力学平面问题的基本方程,它们揭示的是那些物理量之间的相互关系？在应用这些方程时，应注意些什么问题？答:平面问题中的平衡微分方程：揭示的是应力分量与体力分量间的相互关系。
弹性力学期末考试复习
千里之行，始于足下。
弹性力学期末考试复习弹性力学是争辩物体在受力作用下的形变和应力的学科。
它在工程力学中有着重要的地位，对于理解材料的力学性能和结构的稳定性有着重要的意义。
弹性力学期末考试复习主要包括以下内容：1. 应力和应变弹性力学的基本概念是应力和应变。
应力是单位面积上的力，可以分为正应力和剪应力。
应变是物体在受力作用下的形变程度，可以分为线性应变和剪应变。
弹性力学通过应力和应变的关系来争辩材料的力学性能。
2. 弹性力学的假设弹性力学的争辩基于一些假设，如线弹性假设、小变形假设和均匀介质假设。
线弹性假设指材料的力学性能在肯定范围内是线性的，即应力和应变之间的关系是线性的。
小变形假设是指应变小到可以忽视不计。
均匀介质假设是指材料的性质在整个物体内是均匀的。
3. 单轴拉伸和挤压单轴拉伸和挤压是弹性力学的基本问题。
在单轴拉伸和挤压的问题中，通过应力和应变的关系来争辩材料的刚度和延展性。
其中，杨氏模量是衡量材料刚度的重要参数，可以通过材料的应力和应变来计算。
4. 弯曲弯曲是弹性力学中的一个重要问题。
在弯曲的问题中，争辩物体在受弯力作用下的形变和应力分布。
弹性力学的基本方程是弯曲方程，通过求解弯曲方程可以得到物体的外形和应力分布。
5. 圆柱壳的弹性力学第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
圆柱壳是弹性力学争辩的另一个重要问题。
圆柱壳是指直径较大、壁厚较薄的圆柱体，如水箱、气管等。
圆柱壳在受压力作用下的变形和应力分布是争辩的重要内容。
通过求解圆柱壳的弹性力学方程可以得到其外形和应力分布。
6. 稳定性分析稳定性分析是弹性力学争辩的另一个重要问题。
在稳定性分析中，争辩物体在受压力作用下的稳定性和失稳现象。
稳定性分析可以通过求解物体的特征值问题来争辩。
以上是弹性力学期末考试复习的基本内容，重点是把握应力和应变的关系、弹性力学的假设、单轴拉伸和挤压、弯曲、圆柱壳的弹性力学和稳定性分析等。
通过对这些内容的复习和理解，可以挂念我们更好地理解和应用弹性力学的学问。
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在极坐标和圆柱坐标系的分量表示及推演； 8、空间问题按位移求解有关方程的推演； 9、空间问题按应力求解有关方程的推演； 10、平面应力问题、平面应变问题；
13
11、常体力情况的解法，应力函数； 12、能用给定应力函数或自行假定应力函数求解具体弹
性力学问题； 13、掌握典型解答并能灵活运用，如简支梁纯弯曲、简
支梁受匀布荷载、楔形体受各种荷载、半无限体表 面受各种荷载、圆孔应力集中解答； 14、扭转问题的位移解法、应力解法； 15、位移函数解法。位移势函数、伽辽金位移函数、拉 甫位移，他们所要满足的方程及其应用； 16、应变能的概念及计算； 17、虚位移原理、最小势能原理，等价于什么方程及证明； 18、基于最小势能原理近似计算，用瑞兹法和伽辽金求解 具体问题。
物理方程（6个）：
ij
1 E
(1 ) ij kk ij
边界条件 （6个）
应力边界条件（3个）： ijn j X i
位移边界条件（3个） ： ui ui
求解方法
—— 数学上构成偏微分方程的定解问题
求解方法
函数解 精确解； 近似解；（如：基于能量原理的解）
数值解（如：有限差分法、有限单元法等）
x y
yx y Y 0
x y
（2）相容方程（形变协调方程）
（1）对应力边界问题，且为单连 通问题，满足上述方程的解 是唯一正确解。
（2）对多连通问题，满足上述方 程外，还需满足位移单值条 件，才是唯一正确解。
2 y 2
2 x2
(
x
y)
0
（常体力情形）
（3）边界条件：
l( x )s m( xy )s X m( y )s l( xy )s Y
ur , u 为边界上已知位移， kr , k 为边界上已知的面力分量。
4. 平面问题Airy应力函数 的选取： 直角坐标下
y 0
O
b
x
l
y
y 0
y f ( y)
O
y xf ( y)
x
g
x
(x, y)
gy
ax3 bx2 y cxy2 dy3
g
y
极坐标下 （1） 轴对称问题
应力函数 Aln r Br 2 ln r Cr2 D
5. 最小势能原理解题步骤：
（1）假设位移函数，使其位移边界条件；
（2） 计算系统的总势能 ； （3） 由最小势能原理： =0 ，确定待定系数；
（4）回代求解位移、应力等。
四 柱形杆的扭转
• 扭转问题的位移解法(圣维南扭转函数） • 扭转问题的应力解法(普朗特应力函数） • 扭转问题的薄膜比拟法 • 应用
实验方法
二、弹性力学平面问题的求解
1. 平面问题的求解方法 （1）按未知量的性质分：
按位移求解； 按应力求解；
（2）按采用的坐标系分： 直角坐标解答； 极坐标解答；
初等函数解； （3）按采用的函数类型分： 级数解；
复变函数解；
逆解法； 半逆解法；
2. 平面问题求解的基本方程
说明：
（1）平衡方程
x xy X 0
（1）
位移变分方程； 虚功方程；
最小势能原理；
伽辽金变分方程；
3. 求解弹性力学问题的变分法 （1）Ritz 法； （2）最小势能原理； （3）伽辽金法；
4. Ritz 法解题步骤： （1）假设位移函数，使其位移边界条件； （2） 计算形变势能 U ； （3）代入Ritz 法方程求解待定系数； （4）回代求解位移、应力等。
应力分量 位移分量
r
rA2rA2BB(1(3
2
ln r 2 ln
) r)
2C 2C
r r 0
ur
1 E
(1 )
A r
2(1 )Br (ln
r
1) (1 3)Br
2(1 )Cr I cos K sin
u
4Br
E
Hr
I
sin
K
cos
式中：A、B、C、H、I、K 由应力和位移边界条件确定。
(6-14)
（3） 再让 x , y , xy满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。
l( x )s m( xy )s X m( y )s l( xy )s Y
us u vs v
极坐标下
（1） 由问题的条件求出满足式（7－6）的应力函数 (r, )
4
2 r 2
1 r
r
1 r2
14
感谢下 载
（2） 楔形体问题 —— 由因次法确定 应力函数的分离变量形式
（1） 楔顶受集中力偶
y
( )
MO
2
2
（2） 楔顶受集中力
y
P
rf ( )
O
2
2
x x
（3） 楔形体一侧受分布力
r2 f ( )
r3 f ( )
（3） 曲梁问题
M ( ) f1(r) q( ) f2 (r) r Q( ) f3(r)
3. 常体力下平面问题求解的基本方程与步骤： 直角坐标下
（1） 先由方程（６-15）求出应力函
数4：
x4
2
4
x 2y 2
4
y 4
0
(x, y)
4 0
(6-15)
（2） 然后将 (x, y) 代入式（6-14）求出应力分量： x , y , xy
x
2
y 2
Xx
y
2
x2
Yy
xy
2
xy
一、弹性力学问题研究的基本框架：
基本假设与基本量
６个基本假设；
15个基本量： ui , ij, ij
基本原理 平衡原理 （单元体） 能量原理 （整体）
弹 性 力
控制方程（15 个）
平衡微分方程（3个）： ij, j X i 0
几何方程（6个）：
ij
1 2
(ui, j
u
j ,i
)
学 基本方程
问 题
– 椭圆截面杆件的扭转 – 带半圆形槽的圆轴的扭转 – 厚壁圆筒的扭转 – 矩形截面杆的扭转
复习提纲
1、应力、应变、位移等概念； 2、弹性力学的基本假定，在那些地方用到； 3、张量的代数运算和分析运算； 4、应力状态、应力矢量、主应力等的计算； 5、应变状态、应变转轴变换、主应变等的计算； 6、弹性力学基本方程，平衡方程、几何方程、物理方
其中： q 为曲梁圆周边界上的分布载荷。 M，
Q分别为梁截面上弯矩与剪力。
结合应力分量与应力函数的关系确定 应力函数：
2
r 2
f (r) f (r)sin f (r) cos
三、弹性力学问题求解的能量法
1. 基本概念与基本量 （1）形变势能U、比能U 1；
（2）总势能；
2. 变分方程与变分原理
2
2
2
0
（2） 由式（7－7）求出相应的应力分量： r , , r
（7－6）
r
1 r
r
1 r2
2 2
2
r 2
r
r
1 r
（7－7）
（3） 将上述应力分量 r , , r 满足问题的边界条件：
位移边界条件： ur s ur , u s u 应力边界条件： l r s m r s kr （位移单值条件） l r s m s k