最新不确定度与数据处理
测量的不确定度和数据处理
设计思路
引入先进的测量技术和高效的 数据处理算法，提高测量精度 和数据处理效率。
优化测量流程
对测量过程进行精细化管理， 减少人为误差。
构建数据处理平台
搭建数据处理平台，实现数据 自动化处理和分析。
效果评估与持续改进方向
效果评估：经过实践验证，该解决方案 显著提高了测量精度和数据处理效率， 降低了生产成本，提高了产品质量。
数据处理与分析方法
介绍了数据处理的基本步骤和方法，包括数据筛选、异常值处理、误差分析、回归分析等，以及这些 方法在解决实际问题中的应用。
实验设计与优化
探讨了实验设计的基本原则和方法，如随机化、重复、区组化等，以及实验优化的策略，如响应面方 法、遗传算法等，旨在提高实验的效率和准确性。
未来发展趋势预测
数学、统计学、计算机科学、物理学等多学科知识，推动该领域理论和
方法的不断完善和发展。
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2023 WORK SUMMARY
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REPORTING
案例分析与实践应用
分析测量不确定度对数据处理的影响，以 及如何在数据处理中考虑测量不确定度。
结合具体案例，分析测量不确定度和数据 处理在实际应用中的效果和价值。
PART 02
测量不确定度概述
定义与分类
定义
测量不确定度是与测量结果关联的一个参数，用于表征合理赋予被测量的值的 分散性。
分类
根据性质可分为随机不确定度和系统不确定度；根据来源可分为A类不确定度和 B类不确定度。
来源及影响因素
来源
测量仪器、测量环境、测量方法、测 量人员等。
影响因素
仪器的分辨率和稳定性、环境的温度 和湿度、方法的准确性和可靠性、人 员的技能水平和经验等。
物理实验技术的数据处理与不确定度分析
物理实验技术的数据处理与不确定度分析在物理实验中，数据处理和不确定度分析是非常重要的环节。
通过对实验数据的处理和分析，科学家和研究人员可以得出准确的结论，并对实验结果的可靠性进行评估。
本文将探讨物理实验技术中的数据处理和不确定度分析方法，希望能为读者提供一些思路和技巧。
一、数据处理的基本原则数据处理是物理实验中必不可少的一步，其目的是从实验测量中获得有用的信息。
在进行数据处理时，有一些基本原则需要遵循：1.合理选择数据处理方法。
不同的实验会涉及到不同的数据处理方法，需要根据实验的性质选择合适的方法。
常见的数据处理方法有平均值、标准差、拟合曲线等。
2.检查数据的准确性和一致性。
在进行数据处理之前，需要对实验数据进行检查，确保数据的准确性和一致性。
如果发现数据存在问题，应该找出原因并进行修正。
3.选择合适的数学模型。
在进行拟合曲线处理时，需要选择合适的数学模型，并根据实验数据找到最佳拟合参数。
选择合适的数学模型可以提高数据处理的准确性。
4.评估数据处理结果的可靠性。
在进行数据处理之后，需要评估数据处理结果的可靠性。
通常可以使用标准差、残差分析等方法来评估处理结果的可靠性。
二、不确定度的定义与计算方法不确定度是对物理量测量结果不确定性的度量。
在进行不确定度分析时，有一些基本概念和计算方法需要了解：1.随机误差与系统误差。
随机误差是由于测量仪器、测量方法等造成的，通常呈现随机分布。
系统误差是由于实验条件、测量方法等原因引起的误差，通常具有一定的规律性。
2.不确定度的定义与表示。
不确定度是对测量结果的估计，通常用标准偏差或标准误差表示。
标准偏差表示测量结果的离散程度，而标准误差表示测量结果与真值之间的差异。
3.不确定度的计算方法。
不确定度的计算需要考虑到随机误差和系统误差。
常见的计算方法有多次测量法、标准差传递法、最小二乘法等。
4.不确定度的合成方法。
在实验中，常常会有多种误差来源。
对于多个误差来源，可以使用不确定度合成方法来计算总的不确定度。
测量的不确定度与数据处理整理资料
测量的不确定度与数据处理1.1测量、测量误差与误差处理1.测量与测量误差1）直接测量与间接测量直接测量：是用能直接读出被测值的仪器进行测量的方法。
间接测量：是先用直接测量的方法测出几个物理量，然后代入公式计算得到所需物理量。
2）等精度测量和不等精度测量等精度测量：对某一物理量进行多次测量时，如果测量条件保持不变（同一的测量者、仪器、方法及相同的外部环境），这样进行的重复测量称为等精度测量。
不等精度测量：如果测量条件中，一个或几个发生了变化，这时所进行的测量称为不等精度测量。
3）测量误差真值：在一定条件下，任何待测物理量都是客观存在的，不依人的意志为转移的确定值。
测量误差：测量结果与真值之间的差值。
它反映了测量结果的准确程度，可用绝对误差表示，也可用相对误差表示：绝对误差=测量结果-被测量的真值()00100⨯=被测量真值绝对误差相对误差E2.误差分类 1）系统误差系统误差总是使测量结果向一个方向偏离，其数值是一定的或以可预知的方式变化的。
它来源于仪器本身的缺陷，或来源于理论公式和测量方法的近似性。
消除和纠正系统误差的方法是对仪器进行校正，修正实验方法，或在计算公式中引入修正项。
2）随机误差由于随机的或不确定的因素所引起的每一次测量值无规律的涨落而造成的误差。
它服从一定的统计分布规律，常见的一般性测量中，基本上属于正态分布，因此可用统计的方法处理随机误差。
3.随机误差的处理方法 1） 随机误差的正态分布 2）残差、偏差和误差残差为单次测量值x i 与有限次测量平均值x 之差。
即x x x i -=∆ (i=1,2, …,n)偏差为单次测量值x i 与总体平均值μ之差。
注意，偏差即为随机误差，系统误差为0时，偏差才是误差。
误差为单次测量值x i 与被测量真值x 0之差。
3）σ，S ，x S（1）总体标准偏差σ()nx i ni n 21limμμ-∑==∞→（2）有限次测量时的单次测量值标准差S()121--∑==n x x S i ni（3）x 的标准偏差x S ()()121--∑===n n xx nS S i ni x1.2 测量的不确定度 1. 不确定度1）不确定度是指由于测量误差的存在而对测量值不能肯定的程度，是表征被测量的真值所处的量值范围的评定。
测量的不确定度及数据处理
1、所谓测量：就是用计量仪器对被测物理量进行量度。 2、测量值：用测量仪器测定待测物理量所得的数值。 3、真值：任一物理量都有它的客观大小，这个客观量称 为真值。
最理想的测量就是能够测得真值，但由于测量是利 用仪器，在一定条件下通过人来完成的，受仪器的灵敏 度和分辨能力的局限性，环境的不稳定性和人的精神状 态等因素的影响，使得待测量的真值是不可测得的。
差超出 的数据可以剔除，但要在原始数据记 系统误差反映了多次测量总体平均值偏离真值的程度。
设被测量的真值为 X,测量值为x,则测量误差为 △=x－X , 我们所测得的一切数据都毫无例外地包含一定的误差，因而误差存在于一切
录表格中保留，并用红色笔做删除标记。 测量之中。
l 系统误差：在同一条件下（观察方法、仪器、环境、观察者不变）多次测量同一物理量时，符号和绝对值保持不变的误差叫系统
l 算术平均值的标准偏差δ :
3、 可疑数字的剔除
一般测量的误差出现在
内的概率为68.3%,误差出现
在
内的概率为95.5%,而出现在
区
间内的概率为99.7%,而一般我们的测量次数又不是很多，
故测量值误差超出 1、所谓测量：就是用计量仪器对被测物理量进行量度。
区间的可能性及小，对误
（1）在给定仪器误差情况下，单次测量的误差取仪器误差；
（3）运算：加减（最先）、乘除（最少）、乘方，立方， 系统误差不能通过多次测量取平均值的方式来减小或消除，但它可归结为一个或几个因素的函数，并可用解析公式、曲线或列表的方
式表示，这些曲线或表格称为误差修正曲线或误差修正表，。
开方（底）、常数e，h等（多取一位） Байду номын сангаас、 多次测量的误差估计
大学物理实验测量的不确定度和数据处理
⼤学物理实验测量的不确定度和数据处理测量的不确定度和数据处理测量不确定度采⽤不确定度的必然性国际计量局等七个国际组织于1993年指定了具有国际指导性的“测量不确定度表⽰指南ISO 1993（E）”（以下简称《指南》）。
⼏年来国际与国内的科技⽂献开始采⽤不确定度概念，我国各个⾼校也不断开展这⽅⾯的讨论，改⾰教学内容与⽅法，以求与国际接轨。
虽然⼀些学者对《指南》的有些内容持批评态度[注1]，但总的趋势是在贯彻《指南》的同时，不断改善它。
测量不确定度定义为测量结果带有的⼀个参数，⽤以表征合理赋予被测量量的分散性，它是被测量客观值在某⼀量值范围内的⼀个评定。
不确定度理论将不确定度按照测量数据的性质分类：符合统计规律的，称为A类不确定度，⽽不符合统计规律的统称为B类不确定度。
测量不确定度的理论保留系统误差的概念，也不排除误差的概念。
这⾥的误差指测量值与平均值之差或测量值与标准值（⽤更⾼级的仪器的测量值）的偏差。
测量不确定度的 B类分量仪器的最⼤允差Δ仪测量中凡是不符合统计规律的不确定度统称为B类不确定度，记为ΔB 。
它包含了由测量者估算产⽣的部分Δ估和仪器精度有限所产⽣的最⼤允差Δ仪。
Δ仪包含了仪器的系统误差，也包含了环境以及测量者⾃⾝可能出现的变化（具随机性）对测量结果的影响。
Δ仪可从仪器说明书中得到，它表征同⼀规格型号的合格产品，在正常使⽤条件下，⼀次测量可能产⽣的最⼤误差。
⼀般⽽⾔，Δ仪为仪器最⼩刻度所对应的物理量的数量级（但不同仪器差别很⼤，⼀些常⽤仪器的最⼤允差见第26页）。
测量者的估算误差Δ估测量者对被测物或对仪器⽰数判断的不确定性会产⽣估算误差Δ估。
对于有刻度的仪器仪表，通常Δ估为最⼩刻度的⼗分之⼏，⼩于Δ仪（因为最⼤允差已包含了测量者正确使⽤仪器的估算误差）。
⽐如，估读螺旋测微器最⼩刻度的⼗分之⼀为0.001毫⽶，⼩于其最⼤允差0.004毫⽶；估读钢板尺最⼩刻度的⼗分之⼀为0.1毫⽶，⼩于其最⼤允差0.15毫⽶。
不确定度与数据处理
不确定度与数据处理不确定度与数据处理一、不确定度1. 不确定度1）不确定度是指由于测量误差的存在而对测量值不能肯定的程度，是表征被测量的真值所处的量值范围的评定。
2）不确定度与误差的关系不确定度和误差是两个不同的概念，前者实在后者理论基础上发展起来的，它们都是由于测量过程的不完善性引起的。
误差用于定性地描述理论和概念的场合，不确定的用于给出具体数值或进行定量运算分析的场合。
2.直接测量结果不确定度的估计直接测量结果总不确定度表示为1）A类不确定度当进行有限次测量时，A类不确定度的表达式为式中是与测量次数，置信度有关的量，可以从表1.2.1中查得。
在要求精度不高的情况下，当6≤n≤10时当n不在上述范围内时或要求精度误差估计时，应查表得到相应的值。
2）B类不确定度B类不确定度分量的误差与不确定度的系统误差相对应。
一般由仪器误差来代替。
常用仪器的误差或误差限值由生产厂家或实验室给出。
即3）总不确定度的合成当测量次数n符合6≤n≤10条件时，简化为当，或对测量结果影响甚小，或只进行了一次测量，可简单地用表示。
3.间接测量结果不确定度的估计设间接测量所用的数学表达式为式中为间接测量结果，为直接测量结果，且它们相互独立。
的不确定度（分别为）必然影响间接测量结果，使也有相应的不确定度。
不确定度是微小量，相当于数学中的“增量”，所以间接测量结果不确定度的计算公式和数学中的全微分公式基本相同。
不同之处在于不确定度替代了dx，dy，dz，…以及不确定度用“方和根”合成的统计性质。
即间接测量结果的表示方法为二、. 数据处理1. 测量结果的有效数字1）有效数字的定义测量结果的若干位准确数字和最后一位存疑数字的全体称为有效数字。
有效数字位数的多少，反映了测量结果的准确度，位数越多，准确度越高。
测量结果取几位有效数字是件严肃的事，不可任意取舍。
有效数字与小数点的位置无关，单位换算时，有效数字的位数不应发生变化。
还应注意，表示小数点位置的“0”不是有效数字，数字中间或数字后面的零是有效数字，不能任意增减。
不确定度与数据处理
不确定度与数据处理一、 误差与不确定度1．误差与不确定度的关系（1）误差：测量结果与客观真值之差x =x -A其中A 称为真值，一般不可能准确知道，常用约定真值代替：⎪⎩⎪⎨⎧理论公式计算结果—理论值更高精度仪器测量结果—标准值如物理常数等—公认值对一个测量过程，真值A 的最佳估计值是平均值x 。
在上述误差公式中，由于A 不可知，显然x 也不可知，对误差的最佳估计值是不确定度u (x )。
（2）不确定度：对误差情况的定量估计，反映对被测量值不能肯定的程度。
通常所说“误差”一般均为“不确定度”含义。
不确定度分为A 、B 两个分量，其中A 类分量是可用统计方法估计的分量，它的主要成分是随机误差。
2．随机误差： 多数随机误差服从正态分布。
定量描述随机误差的物理量叫标准差。
（1）标准差与标准偏差标准差 kA x i k ∑-=∞→2)(limσ∵真值A 不可知，且测量次数k 为有限次 ∴实际上也不可知，于是：用标准偏差S 代替标准差 ： 1)()(2--=∑k x x x S i ——单次测量的标准偏差结果表述： x i ± S (x ) （置信概率~68.3%）单次测量标准差最佳估计值S (x )的物理意义：在有限次测量中，每个测量值平均所具有的标准偏差。
（并不是只做一次测量）通常不严格区分标准差与标准偏差，统称为标准差。
（2）平均值的标准差真值的最佳估计值是平均值，故结果应表述为： x ± S (x ) （置信概率~68.3%）真值的最佳估计值 平均值的标准差最佳估计值其中 )1()()(2--=∑k k x x x S i ——平均值的标准偏差例1：某观察量的n 次独立测量的结果是X 1, X 2, , X n 。
试用方差合成公式证明平均值的标准偏差是样本标准偏差的n1，即nX S X S )()(=。
解： nX X i∑=由题知X i 相互独立，则根据方差合成公式有 nX u X u X u n )()()(212++=利用样本标准偏差的定义，可知 u (X i )=S (X ) i =1,2, ,n 故 nX S nX nS nX S X S X S X u )()()()()()(222==++==3．系统误差与仪器误差（限）（1）系统误差：在同一被测量的多次测量过程中，保持恒定或以可以预知方式变化的那一部分误差称为系统误差。
实验测量不确定度与数据处理
数据处理流程
了解数据处理流程，明确各步骤对测 量不确定度的影响，以便更好地控制 和减小不确定度。
统计方法
采用合适的统计方法对数据进行处理， 如最小二乘法、蒙特卡洛模拟等，以 减小数据处理过程中的不确定度。
03 数据处理方法与技术
数据清洗与筛选
01
02
03
数据清洗
去除异常值、缺失值和重 复数据，确保数据质量。
有机化合物分析
有机化合物分析中，测量不确定度可能来源于色谱柱性能、检测器响应等。数据处理方法包括峰面积归一化法、 外标法等，用于定性和定量分析有机化合物。
生物实验的数据处理
蛋白质电泳
蛋白质电泳实验中，测量不确定度主要来源于电泳过程中的电压稳定性、染色过程以及人为读数误差 。数据处理方法包括图像分析、灰度值测量等，用于蛋白质定量和定性分析。
实验测量不确定度的定义
实验测量不确定度是指由于测量过程中随机效应和系统效应 的影响，导致测量结果的不确定性。
它反映了测量结果的可信程度和可靠范围，是评估测量质量 的重要指标。
数据处理的重要性
数据处理是实验过程中的关键环节，它不仅关系到实验数据的准确性和可靠性， 还直接影响到科学结论的正确性和可靠性。
决策依据
在工程、技术、经济和医学等领域，实验测量不确定度与数据处理 的结果是制定决策的重要依据，有助于提高决策的科学性和准确性。
促进技术发展
实验测量不确定度与数据处理技术的发展和应用，有助于推动相关领 域的技术进步和创新。
未来研究方向与挑战
高级数据处理方法
跨学科融合
随着科学技术的不断发展，需要研究和开 发更高级的数据处理方法，以应对更复杂 的数据分析任务和更高的数据处理要求。
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不确定度与数据处理 1 一、 误差与不确定度21．误差与不确定度的关系3 （1）误差：测量结果与客观真值之差 x =x -A4 其中A 称为真值，一般不可能准确知道，常用约定真值代替：⎪⎩⎪⎨⎧理论公式计算结果—理论值更高精度仪器测量结果—标准值如物理常数等—公认值5对一个测量过程，真值A 的最佳估计值是平均值x 。
6 在上述误差公式中，由于A 不可知，显然x 也不可知，对误差的最佳估计值是不确定度u (x )。
7 （2）不确定度：对误差情况的定量估计，反映对被测量值不能肯定的程度。
8 通常所说“误差”一般均为“不确定度”含义。
9 不确定度分为A 、B 两个分量，其中A 类分量是可用统计方法估计的分量，它的主要成分是随机误0 差。
12．随机误差： 多数随机误差服从正态分布。
定量描述随机误差的物理量叫标准差。
2 （1）标准差与标准偏差3 标准差 kA x i k ∑-=∞→2)(limσ4 ∵真值A 不可知，且测量次数k 为有限次 ∴ 实际上也不可知，于是：5用标准偏差S 代替标准差 ： 1)()(2--=∑k x x x S i ——单次测量的标准偏差6 结果表述： x i S (x ) （置信概率68.3%）7 真值的估计值 单次测量标准差最佳估计值8 S (x )的物理意义：在有限次测量中，每个测量值平均所具有的标准偏差。
（并不是只做一次测量）9 通常不严格区分标准差与标准偏差，统称为标准差。
0 （2）平均值的标准差1 真值的最佳估计值是平均值，故结果应表述为：2 x S (x ) （置信概率68.3%）3 真值的最佳估计值 平均值的标准差最佳估计值4 其中 )1()()(2--=∑k k x x x S i ——平均值的标准偏差5 例1：某观察量的n 次独立测量的结果是X 1, X 2,, X n 。
试用方差合成公式证明平均值的标准偏差是6 样本标准偏差的n1，即nX S X S )()(=。
7 解： nX X i∑=由题知X i 相互独立，则根据方差合成公式有 nX u X u X u n )()()(212++=8 利用样本标准偏差的定义，可知 u (X i )=S (X ) i =1,2, ,n9故 nX S nX nS nX S X S X S X u )()()()()()(222==++==0 3．系统误差与仪器误差（限）1 （1）系统误差：在同一被测量的多次测量过程中，保持恒定或以可以预知方式变化的那一部分误差2 称为系统误差。
已被确切掌握了其大小和符号的系统误差，称为可定系统误差；对大小和符号不能确切掌3握的系统误差称为未定系统误差。
前者一般可以在测量过程中采取措施予以消除或在测量结果中进行修4正；而后者一般难以作出修正，只能估计出它的取值范围。
5在物理实验中，对未定系统误差的估计常常利用仪器误差限来进行简化处理。
6 （2）仪器误差（限）：由国家技术标准或检定规程规定的计量器具的允许误差或允许基本误差，经过7 适当简化称为仪器误差限，用以代表常规使用中仪器示值和（作用在仪器上的）被测真值之间可能产生的8最大误差。
9常用仪器的仪器误差（限）：0 ① 长度测量仪器：游标卡尺的仪器误差限按其分度值估计；钢板尺、螺旋测微计的仪器误差限按其1 最小分度的1/2计算。
2② 指针式仪表：仪＝a %N m 式中N m 是电表的量程，a 是准确度等级。
3 数字仪表： △仪＝a %N x +b %N m 或 △仪＝a %N x +n 字4 式中a 是数字式电表的准确度等级，N x 是显示的读数，b 是误差的绝对项系数，N m 是仪表的满度值，n5 代表仪器固定项误差，相当于最小量化单位的倍数。
6③ 电阻箱：仪＝∑+⋅ii i R R a 0%7式中R 0是残余电阻，R i 是第i 个度盘的示值，a i 是相应电阻度盘的准确度级别。
8 ④ 直流电位差计： △仪＝a % (10U U x +) 9式中a 是电位差计的准确度级别，U x 是标度盘示值，U 0是有效量程的基准值，规定为该量程中最大的0 10的整数幂。
1直流电桥： △仪＝a %(10R R x +) 2式中R x 是电桥标度盘示值，a 是电桥的准确度级别，R 0是有效量程的基准值，意义同上。
3 （3）B 类不确定度的处理4 在物理实验中，B 类不确定度的来源通常包括以下三种：仪器误差仪、灵敏度误差灵和估计误差限5估。
其中灵敏度误差可表示为 xn S ∆∆==∆/2.02.0灵 。
6B 类不确定度与各种误差限之间的关系为 3∆=b u 。
74．不确定度的合成8 （1）直接测量 x ： u a (x ) ，u b (x )9 则 )()()(22x u x u x u b a += （称为合成不确定度）（2）间接测量 y =f (x 1, x 2, , x n ) 其中x 1, x 2, , x n 为相互独立的直接测量量1 则 ∑∂∂=ii i x u x f y u )()()(22 或 2 ∑∂∂=ii i x u x f y y u )()ln ()(22（3）最终结果表述形式： N u (N )= （单位）3 结果有效数字的确定原则：① 不确定度u (N )只保留一位有效数字；4 ② 测量结果N 与不确定度u (N )小数位数对齐。
5 例2：用分光计测棱镜材料的折射率公式为2sin 2sinA A n δ+=。
已测得A =600' 2' ，黄光（汞灯光源）6所对应的 =5058' 3' ，则黄光所对应的折射率n u (n )= 1.64790.0007 。
7 解： 6479.12060sin 28550060sin2sin 2sin='︒'︒+'︒=+=A A n δ 2sin ln 2sin ln ln A A n -+=δ8δδδδδδd 2ctg 21d )2ctg 2ctg (212sind 212cos 2sin )d 21d 21(2cosd ++-+=⋅-+++=A A A A A A A A A A nn9000426.0)180603(28550060ctg 41)180602()2060ctg 28550060ctg (41)(2ctg 41)()2ctg 2ctg (41)(22222222=⨯'︒+'︒+⨯'︒-'︒+'︒=++-+=ππδδδ u A A u A A n n u0007.0000426.06479.1)()(=⨯=⋅=nn u n n u ∴ n u (n )=1.64790.00071 5．有效数字及其运算法则2 （1） 有效数字：由若干位可靠数字加一位可疑数字构成。
3 在不计算不确定度的情况下，结果的有效数字由运算法则决定。
4 （2）运算法则5① 加减法：以参加运算各量中有效数字最末一位位数最高的为准并与之取齐。
6 N =A +B -C -D ，则 )()()()()(2222D u C u B u A u N u +++=7 取决于u (A )、u (B )、u (C )、u (D )中位数最高者，最后结果与之对齐。
8 ② 乘除法：以参加运算各量中有效数字最少的为准，结果的有效数字个数与该量相同。
9 CD AB N =，则 2222)()()()()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=D D u C C u B B u A A u N N u 0取决于其中相对不确定度最大者，即有效数字个数最少者。
1 ③ 混合四则运算按以上原则按部就班执行。
23例3：某物理量的计算公式为 Hd Y /6.11k+=，其中k 为常数，1.6为准确数，H ≈16cm ，d =0.1500cm 。
4若使Y 的表示式中分母的值具有4位有效数字，正确测H 的方法是（ d ）。
5 (a) 用游标卡尺估读到cm 千分位 (b) 用米尺估读到cm 百分位6 (c) 用米尺只读到mm 位 (d) 用米尺只读到cm 位7 解：015.0161500.06.16.1=⨯≈H d 分母 015.16.11≈+Hd为4位有效数字 8 即H 只需2位有效数字即可，故应选 (d) 。
91④ 特殊函数的有效数字：根据不确定度决定有效数字的原则，从不丢失有效位数的前提出发，通2过微分关系传播处理。
3 45例4： tg452' =1.00116423 最多可取几位有效数字？6解： 令 y =tg x ，其中x =452' 取)rad (00029.01806011=='=∆πx 7 则 00058.000029.0245cos 1cos 122=⨯'︒=∆=∆x x y 即小数点后第四位产生误差 8 ∴ tg452' =1.0012 ，有五位有效数字。
9例5：双棱镜测波长的计算公式为SS b b x '+'∆=λ，对实验数据进行处理的计算结果如下表所示。
1 x =0.28144mm b =5.9325mm b'=0.7855mm S =27.65cm S'=75.90cmu (x )=2.01010-4mm(b )/b =0.025(b')/b'=0.025(S ) =0.5cm(S') =0.5cm(b )=0.005mm(b')=0.005mm(S ) =0.05cm(S') =0.05cm注：下标1代表来自方法误差，下标2代表来自仪器误差。
2 要求：（1）给出测量结果的正确表述（包括必要的计算公式）。
3 （2）定量讨论各不确定度的分量中，哪些是主要的，哪些是次要的，哪些是可以忽略的？如果4 略去次要因素和可以忽略项的贡献，不确定度的计算将怎样简化？结果如何？5解： （1） mm 1086716.5)0.7595.276(7855.09325.528144.04-⨯=+⨯⨯='+'∆=S S b b x λ 6 )ln(ln 21ln 21ln ln S S b b x '+-'++∆=λ S S S S S S b b b b x x '+'-'+-''++∆∆=d d 2d 2d )(d d λλ 70111.0)()(2)(2)()()(22222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'+⎥⎦⎤⎢⎣⎡'++⎥⎦⎤⎢⎣⎡''+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆=S S S u S S S u b b u b b u x x u u λλ 8其中 000714.028144.010010.2)(4=⨯=∆∆-x x u ；9⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯=∆===∆⨯=∆=000243.039325.52005.023/)(2)(00722.032025.0)(32123/)(2)(22111b b b b u b b b b b b u 222122)(2)(2)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→b b u b b u b b u 0⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯=''∆=''==''∆⨯=''∆=''00184.037855.02005.023/)(2)(00722.032025.0)(32123/)(2)(22111b b b b u b b b b b b u 222122)(2)(2)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡''+⎥⎦⎤⎢⎣⎡''=⎥⎦⎤⎢⎣⎡''→b b u b b u b b u 1⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+='+∆='+=+='+∆='+000279.03)90.7565.27(05.03/)()(00279.03)90.7565.27(5.03/)()(2211S S S S S S u S S S S S S u 22212)()()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡'++⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+→S S S u S S S u S S S u 2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+='+'∆='+'=+='+'∆='+'000279.03)90.7565.27(05.03/)()(00279.03)90.7565.27(5.03/)()(2211S S S S S S u S S S S S S u 22212)()()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'+⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+'→S S S u S S S u S S S u 3于是得 u ()=0111.01086716.5)(4⨯⨯=⋅-λλλu =6.5310-6mm u ()=5877nm4 （2）由前面的计算可知，不确定度主要来自b b u 2)(1和bb u ''2)(1，次要因素是b b u ''2)(2、S S S u '+)(1和S S S u '+')(1，可5 以忽略的因素是xx u ∆∆)(、b b u 2)(2、S S S u '+)(2和S S S u '+')(2。