精品解析：【市级联考】江苏省苏州市2019届高三高考模拟最后一卷数学试题(原卷版)
g (x)
m
f ( x ) g ( x ) ，求实数 m
的取值范围.
附加题
【选做题】本题包括 21，22，23 三小题，请选定其中两小题作答，若多做则按作答的前两小
题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
21.矩阵与变换:变换T 是逆时针旋转 的旋转变换，对应的变换矩阵是 M 变换T 对应用的变换矩阵是
江苏省苏州市 2019 届高三最后一卷数学试题
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置 上．）
1.已知集合 A = { x | 0
， x 2 }
B
= x
x
1 ，则 A
B = ____.
2.设 i 是虚数单位，复数 z = a − i 的模为 1，则正数 a 的值为_______．
恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是
cm。
2
2
10.在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A，F 分别为椭圆 C： x
y +
= 1 (a＞b＞0)的右顶点和右焦点，过坐
2
2
a
b
标原点 O 的直线交椭圆 C 于 P，Q 两点，线段 AP 的中点为 M，若 Q，F，M 三点共线，则椭圆 C 的离心率
n
1
24
3
5
2
1
x
2 + 2， x 1
8.已知函数 f ( x ) =
，若 f [ f ( 0 ) ] = 2 ，则实数 a 的值是_______．
lo g a ( x − 1 )， x 1
9.圆柱形容器内部盛有高度为 8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水
2
2
17.已知椭圆 C ： x
y +
= 1(a
b
0
)
的左、右焦点分别为 F 1
，F
2
，离心率为
1
，点 P
是椭圆 C
上的一
2
2
a
b
2
个动点，且 P F F 面积的最大值为 12
3.
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设斜率不为零的直线 P F 与椭圆 C 的另一个交点为 Q ，且 P Q 的垂直平分线交 y 轴于点T ( 0 , 1 ) ，求 2 8
则点 P 的纵坐标取值范围是_______．
13.如图，已知 P 是半径为 2，圆心角为 的一段圆弧 AB 上一点， A B = 2 B C ，则 P C P A 的最小值为
3
_______．
14.已知实数 a，b，c 满足 e a + c
+
2 b − c −1
e
a
+
2b
+ 1 （e 为自然对数的底数），则 a 2
2i
3.为了解某团战士的体重情况，采用随机抽样的方法．将样本体重数据整理后，画出了如图所示的频率分布
直方图．已知图中从左到右前三个小组频率之比为 1：2：3，第二小组频数为 12，则全团共抽取人数为_______．
4.执行如图所示的程序框图，输出的 k 的值为_______．
5.设 x
[﹣1，1]， y
[﹣2，2]，记“以(x，y)为坐标的点落在不等式 x 2
+
2
y
1
所表示的平面区域内”为事件
A，则事件 A 发生的概率为_______．
6.已知△ABC 的三边 a，b，c 所对的角分别为 A，B，C，若 a＞b 且 s i n A = c o s C ，则 A＝_______．
a
b
7.已知等比数列 a 满足 a = 1 ，且 a a = 4 ( a − 1 ) ，则 a ＝_______．
cos
2
1 + 3 cos
值；
2
（2）若 a = b ， 0 ，求 值. 16.如图，四棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形，平面 PBD⊥平面 ABCD，PB＝PD，PA⊥PC，CD⊥PC， O，M 分别是 BD，PC 的中点，连结 OM．
的
（1）求证：OM∥平面 PAD； （2）求证：OM⊥平面 PCD．
（1）试判断 f ( x ) =
与 x
g (x) =
2
x+
ax +
b
是否是一对“ P ( 1 ) 函数”；
（2）若 f ( x )
=
与 x
e
g (x) =
2
x
+
ax
+ 1 是一对“ P ( t ) 函数”.
①求 a 和 t 的值；
②当 a
0 时，若对于任意 x
，恒有 [ 1 , + )
f (x) +
直线 P Q 的斜率.
18.如图为一块边长为 2km 等边三角形地块 ABC，为响应国家号召，现对这块地进行绿化改造，计划从
BC 的中点 D 出发引出两条成 60°角的线段 DE 和 DF，与 AB 和 AC 围成四边形区域 AEDF，在该区域内种
上草坪，其余区域修建成停车场，设∠BDE＝ ．
的
（1）当 ＝60°时，求绿化面积； （2）试求地块的绿化面积 S ( ) 的取值范围．
2
（2）求证：数列{ a } 等差数列； n
（3）若 q 2 ，是否存在整数 m ， k ，使得 A = 8 6 B ，若存在，求出 m ， k 的值；若不存在，请说明理
k
m
由.
是 20.若函数 f ( x ) + g ( x ) 和 f ( x ) g ( x ) 同时在 x = t 处取得极小值，则称 f ( x ) 和 g ( x ) 为一对“ P ( t ) 函数”.
+
b 2 的最小值是_______．
二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤．）
15.已知向量 a
=
(s in , c o s
， − 2 s i n )
b
=
. ( 1 , 2 )
（1）若 a
/ /b
，求 s i n
为_______．
11.设函数 f ( x ) = s i n ( 2 x + ) ，若 x x
，且 ，则 0
f (x ) + f (x ) = 0
x
−x
的取值范围是_______．
12
1
2
2
1
3
12.已知圆 C： ( x
−
2
1)
+
(y
−
2
4)
=
10
上存在两点 A，B，P 为直线 x＝5 上的一个动点，且满足 AP⊥BP，
3
19.已知数列{ a } n
的前 n
项和记为 A n
，且 A n
=
n (a + 1
a) n
，数列{ b
} 是公比为 q 的等比数列，它的前 n
项
n
2
和记为 B .若 a
n
1=Βιβλιοθήκη b 10 ，且存在不小于 3 的正整数 k
，m
，使得 a k
=
b. m
（1）若 a
， = 1
a
= 5 ，求 a
的值；
1
3
2019-2020年高三模拟考试最后一卷(数学).doc
2019-2020年高三模拟考试最后一卷（数学）一、选择题：本大题共10小题；每小题5分．共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A B y x y x A ==+=∈{}{|}01122，，，，则A 与B 的关系为 A. A B =B. A B ⊂≠C. A B ⊃≠D. A B ⊇2.在抽查某产品尺寸过程中,将其尺寸分成若干组,[,]a b 是其中的一组,已知该组的频率为m ,该组上的直方图的高为h ,则||a b -等于A. mhB.h m C. mhD. m h + 3.若,m n 均为非负整数，在做m n +的加法时各位均不进位（例如:134＋3802＝3936），则称(,)m n 为“简单的”有序对，而m n +称为有序数对(,)m n 的值，那么值为1942的“简单的”有序对的个数是A. 20B. 16C. 150D. 3004.设0a b ⋅>,则以下不等式中不恒成立的是A.2a bb a+≥C. 22222a b a b ++≥+ D. 3322a b ab a b +≥+ 5.若数列{}n a 中，311=a ，且对任意的正整数p 、q 都有q p q p a a a =+，则=n a A. 11()3n - B. 12()3n C. 1()3n D. 111()32n -6.定义在R 上的函数()f x 即是偶函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当[0,]2x π∈时，()sin f x x =，则1()2f x = 的解为A.6π B. 522()66x k x k k Z ππππ=+=+∈或 C. 566ππ或 D. 5()66x k x k k Z ππππ=+=+∈或 7.过正三棱锥S ABC -侧棱SB 与底面中心O 作截面SBO ，已知截面是等腰三角形，则侧面和底面所成角的余弦值为A.13 C. 138.已知D 为ABC ∆的边BC 的中点，ABC ∆所在平面内有一点P ，满足0PA BP CP ++=，设||,||AP PD λ=则λ的值为A. 2B. 1C.129.点P 到点(0,1),(2,)A B a 及直线1y =-的距离都相等,如果这样的点恰好只有一个,那么a 的值是A. 1-或1B. 1或0C. 0D. 1 10.一次研究性课堂上，老师给出函数)(||1)(R x x xx f ∈+=，四位同学甲、乙、丙、丁在研究此函数时分别给出命题：甲：函数f (x )的值域为（－1，1）； 乙：若x 1≠x 2，则一定有f (x 1)≠f (x 2)； 丙：函数在R 上不单调；丁：若规定||1)()),(()(),()(11x n x x f x f f x f x f x f n n n +===-则对任意*∈N n 恒成立. 你认为上述三个命题中正确的个数有A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11.若5(1)ax -的展开式中3x 的系数是80-,则实数a 的值是 .12.双曲线2214x y k +=的离心率3e <,则k 的取值范围是____________. 13.已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 边长为1，高AA 1=2，它的八个顶点都在同一球面上，则A ，B 两点的球面距离为 . 14.在ABC ∆中，已知3tan =B，sin C =，63=AC ，则ABC ∆的面积为 ___________.15.已知函数()y f x =的图象如图，则满足2(1)12(log )(2)0x x f f ---⋅≥的x 的取值范围为 _______.16.数列{}n a 中，如果存在非零常数T ，使得n T n a a +=对于任意的非零自然数n 均成立，那么就称数列{}n a 为周期数列，其中T 叫做数列{}n a 的周期。
(完整版)2019年江苏卷数学高考试题精校版(含答案)(1),推荐文档
参考公式: 2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学I_ 1 n x x i . n i 12 1 n 样本数据x 1, x 2, ^ ,x n 的方差s n i 1 柱体的体积V Sh ,其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高. 1 锥体的体积V - Sh ,其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高.3 本大题共 14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上A { 1,0,1,6},B 、填空题:已知集合已知复数 (a 2i)(1 i)的实部为 F 图是一个算法流程图，则输出的 X i 2 x ，其中 {x|x 0,x R}，则 AI B 0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是 ▲S 的值是 ▲ 函数y 7 6x x 2的定义域是 ▲ 已知一组数据6，7，8，8，9，10,则该组数据的方差是 _▲ 从3名男同学和2名女同学中任选 2名同学参加志愿者服务，则选出的 学中至少有1名女同学的概率是 ▲. 开始2名同 Y输出S7 .在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线x 2 2 占 1（b 0）经过点（3, 4）,贝y 该双 b 曲线的渐近线方程是结束8.已知数列{a n }（n N ）是等差数列，S n 是其前n 项和若a ?a 5 a * 0, S 9 27 , 则S 8的值是 ▲ 9 .如图，长方体 ABCD A 1B 1C 1D 1的体积是 E-BCD 的体积是 ▲ . 120, E 为CC i 的中点，则三棱锥 10.在平面直角坐标系 xOy 中，P 是曲线yx 4（x 0）上的一个动点，则点 X P 到直线x+y=0的距离的最小值是^ 11.在平面直角坐标系 xOy 中，点A 在曲线 对数的底数），则点A 的坐标是 ▲ . y=lnx 上，且该曲线在点 A 处的切线经过点（-e , -1）（e 为自然 12.如图，在 △ ABC 中，D 是BC 的中点，一—uuu uuu ABCE 交于点0 •若AB AC 6 AO EC ，贝U 的值是厶 ACE 在边 AB 上, BE=2EA , AD 与uuu UULT14.设f(x),g(x)是定义在R 上的两个周期函数, f(x)的周期为4, g(x)的周期为2，且f (x)是奇函数•k(x 2),0 x 11 ，其中k>0.若在区间(0，9］上，关于x 的,1x2 2方程f(x) g(x)有8个不同的实数根，则 k 的取值范围是▲二、解答题：本大题共 6小题，共计90分•请在答题卡指定区域.内作答，解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤.15. (本小题满分14分)在厶ABC 中，角A , B , C 的对边分别为 a , b , c .2(1 )若 a=3c , b= 2 , cosB=，求 c 的值；3si nA cosB(2)右，求sin( B -)的值.a 2b 216. (本小题满分14分)如图，在直三棱柱 ABC — A 1B 1C 1中，D , E 分别为BC , AC 的中点，AB=BC . 求证：(1) A 1B 1 // 平面 DEC 1；(2) BE 丄 C 1E .13.已知 ta n tan2，则 sin 237t的值是 ▲当 x (0,2］时，f (x)1 (x 1)2，g(x)17. (本小题满分14分)2 2x y如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：p 每1(a b 0)的焦点为F i (-、0), F2 (1, 0).过a b2 2 2F2作x轴的垂线I，在x轴的上方，I与圆F2：(X 1) y 4a交于点A，与椭圆C交于点D.连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E,连结DF1.& 5已知DF1=.2(1)求椭圆C的标准方程;(2)求点E的坐标.18. (本小题满分16分)如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路I，湖上有桥AB(AB是圆0的直径).规划在公路I上选两个点P、Q,并修建两段直线型道路PB、QA.规划要求：线段PB、QA上的所有点到点O 的距离均不小于.圆.O 的半径.已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD (C、D为垂足)，测得AB=10,AC =6, BD=12 (单位:百米).(1)若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；(2)在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；(3)对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d (单位：百米)•求当d最小时，P、Q两点间的距离.打<r 1~r~1Lr)19. (本小题满分16分)设函数 f(x) (x a)(x b)(x c),a,b,c R 、f'(x)为 f (x )的导函数. (1 )若 a=b=c , f (4) =8，求 a 的值；(2) 若a 电b=c ,且f (x )和f' (x)的零点均在集合｛3,1,3｝中，求f (x )的极小值;4(3) 若a 0,0 b, 1,c 1，且f ( x )的极大值为 M ，求证：M <2720. (本小满分 16分) 定义首项为1且公比为正数的等比数列为 “M -数列”.(1)已知等比数列｛a n ｝(n N *)满足：a 2a 4 a 5,a 3 4a 2 4a 1 0 ,求证 澈列｛a n ｝为“M—数列”;① 求数列｛b n ｝的通项公式；② 设m 为正整数，若存在 “M—数列” c n ｝ (n N *)，对任意正整数k ,当k 奇时，都有C k 剟b k C k 1成 立，求m 的最大值.(2)已知数列｛b n ｝满足：d诗bS n bn—，其中 bn 1S n 为数列｛b n ｝的前n 项和.•若多做，则按数学I附加题)21. 【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答作答的前两小题评分•解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. ［选修4-2 :矩阵与变换］(本小题满分10分)已知矩阵A(1 )求A2;(2)求矩阵A的特征值.B. ［选修4-4 :坐标系与参数方程］(本小题满分10分)在极坐标系中，已知两点A3,— ,B J,—，直线I的方程为sin - 3.4 2 4(1 )求A, B两点间的距离；(2)求点B到直线I的距离.C. ［选修4-5:不等式选讲］(本小题满分10分) 设x R，解不等式|x|+|2x 1|>2.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分•请在答题卡指定区域.内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22. (本小题满分10分)设(1 x)n a0a1x a2x2L a n x n,n—4, n N*.已知a；2a2a4.(1 )求n的值；(2)设(1 ,3)n a b；3，其中a,b N*，求a2 3b2的值.23. (本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，设点集A n {(0,0),(1,0),(2,0), ,( n,0)}B n (0,1),( n,1)},C n {(0,2),(1 ,2),(2,2), L ,(n,2)}, n N .令M n A n UB n UC..从集合M n 中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离.(1 )当n=1时，求X的概率分布；(2)对给定的正整数n(n 3)，求概率P(x n)(用n表示)2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.证明：(1)因为D , E 分别为BC , AC 的中点， 所以 ED //AB.在直三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 中，AB//A 1B 1, 所以 A 1B 1 //ED.又因为 ED //平面DEC 1, A 1B 1 平面DEC 1, 所以A 1B 1 //平面DEC 1.(2)因为AB=BC , E 为AC 的中点，所以 BE //AC.因为三棱柱 ABC-A 1B 1C 1是直棱柱，所以 CC 1 /平面ABC. 又因为BE //平面ABC ，所以、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法5.532.23.54.[ 1,7] 8.16 9.10 10.4ii.(e, 1)数学I 参考答案.每小题5分, 6.上1013辽10共计70分. 7. y12. .314.3二、解答题15.本小题主要考查正弦定理、分14分.余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力•满解：(1)因为a3c,b ,2,COS B由余弦定理COS Ba 2c 2b 22ac232 ，得3 初 c2("，即 c 2 12 3c c3所以c3 . ―si nA(2)因为 一 a由正弦定理-^―sin AcosB 2b ，旦，得sin BCOS B2b，所以 cosB 2sin B . b2从而cos B(2sin B)2，即 2 ocos B因为sinB0，所以COS B2sinB 2244 1 cos B ，故 cos B - 52苗因此sin BncosB □25fitCC1//BE.因为C1C// 平面A1ACC1, AC //平面A1ACC1, C1C A AC=C, 所以BE //平面A1ACC1. 因为C1E//平面A1ACC1，所以BE//C1E.17.本小题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础 知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力解：（1）设椭圆C 的焦距为2C . 因为 F 1（ - 1, 0）, F 2（1, 0）,所以 又因为DF1= 5 , AF2//X 轴，所以2因此 2a=DF 1 + DF 2=4，从而由 b 2=a 2-c 2，得 b 2=3. F IF 2=2， c=1. DF 2= DF2 2 1 F 1F 2a=2. .满分14分.5 2(2)22 因此，椭圆C 的标准方程为 2 y- 1. 3 （2 ）解法一: 2 y 3 因为AF 2 /x 轴，所以点A 的横坐标为 将x=1代入圆F 2的方程（x-1） 2+y 2=16 , 因为点A 在x 轴上方，所以A （1, 4）. 又 F 1（-1 , 0），所以直线 AF 1: y=2x+2.X 2由（1 ）知，椭圆C ：4 1，a=2， 1.解得y=± 4.2x 2 1)2y 216，得5x 26x 11 0，解得115 因此 B( 11代入511122x2，得 y12 V ，y由 2x 4又因为 53(x2y3.又F 2（1 , 0），所以直线BF 2： y 1)，得 7x26x 13 0，解得 xE 是线段 1代入yBF 2与椭圆的交点, 3—（x 1），得 4所以 x3.因此 2 1.E( 1, 解法二:34(x32)1).132C:— 42y_3BF 2=2a , EF 1 + EF 2=2a ，所以 EF 1=EB , //BF 1E=//B.F 2A=F 2B ，所以 //A=//B , //A= //BF 1E ,从而 EF 1//F2A. 由（1）知，椭圆 1.如图，连结 EF 1.因为 从而 因为 所以 因为AF 2//x 轴，所以EF1//X 轴.1y 2 ，得13x因为 F 1(-1 , 0)，由X 2 43又因为E是线段BF2与椭圆的交点，所以y2因此E（ 1, 3）.218.本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.满分16分.解：解法一：综上，当PB 丄AB ,点Q 位于点C 右侧，且CQ=3、、21时，d 最小，此时P , Q 两点间的距离 PQ=PD+CD+CQ=17+3i 21.因此，d 最小时，P , Q 两点间的距离为17+3 21 (百米). 解法二：(1)如图，过0作0H 丄I ，垂足为H.以0为坐标原点，直线 0H 为y 轴，建立平面直角坐标系.（1 ）过A 作 AE BD ，垂足为E. 由已知条件得，四边形 ACDE 为矩形，DE 因为PB 丄AB ,8 4所以 cos PBD sin ABE10 5“ BD 12所以PB -15.cos PBD 45因此道路PB 的长为15 （百米）\\：BE AC 6, AE CD 8.'（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上, 所以P 选在D 处不满足规划要求. 则线段BE 上的点（除B , E ）到点0的距离均小于圆0的半径, ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知AD 从而 cos BAD AD AB.AE 2 ED 210 ,0 ,所以/ BAD 为锐角.2AD AB所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆 因此，Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3 ）先讨论点P 的位置.当/ OBP<90时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当/ OBP > 90时，对线段PB 上任意一点F , OF 俎B ,即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆 O 的半 径，点P 符合规划要求.设P 为I 上一点，且PB AB ，由（1）知，此时 RD RB sin RBDRB cos EBA当/ OBP>90 时，在△ PPB 中，PB PB P B=15,315—9 ;5 15.由上可知，d > 15. 再讨论点Q 的位置.由（2 ）知，要使得QA > 15点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，CQQA 2 AC 2 -152 62 3 =21.此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.F bf c I因为BD=12 , AC=6，所以0H=9，直线I的方程为y=9,点A, B的纵坐标分别为3, -3. 因为AB为圆0的直径，AB=10，所以圆0的方程为x2+y2=25.3从而A (4, 3), B (-4, -3),直线AB的斜率为一.44因为PB丄AB,所以直线PB的斜率为—,34 25直线PB的方程为y — x .3 3所以P (-13, 9), PB , ( 13 4)2(9 3)215.因此道路PB的长为15 (百米).(2)①若P在D处，取线段BD上一点E (-4, 0),则EO=4<5，所以P选在D处不满足规划要求②若Q在D处，连结AD，由(1)知D (-4, 9),又A (4, 3),所以线段AD: y 3x46（ 4剟X 4）.15），因为0M , 322在线段AD上取点M（3,15.32425 , 4 .4所以线段AD上存在点到点0的距离小于圆0的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.(3 )先讨论点P的位置.当/ OBP<90时，线段PB上存在点到点0的距离小于圆0的半径，点P不符合规划要求；当/ OBP> 90°,对线段PB上任意一点F, OF RB，即线段PB上所有点到点0的距离均不小于圆0的半径，点P 符合规划要求•设P 为I上一点，且RB AB，由(1)知，R B=15,此时P (- 13, 9);当/ OBP>90 时，在△ PRB 中，PB RB 15.由上可知，d> 15.再讨论点Q的位置.由(2)知，要使得QA>15,点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，设Q ( a, 9),由AQ (a 4)2(9 3)215(a 4)，得a=4 3 21，所以Q ( 4 3 21 , 9)，此时，线段QA上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径•综上，当P (- 13, 9), Q ( 4 3、一习,9)时，d 最小，此时P , Q 两点间的距离 PQ 4 3. 21 ( 13) 17 3 21 . 因此，d 最小时，P , Q 两点间的距离为 19 •本小题主要考查利用导数研究函数的性质， 能力.满分16分. 解： 因为 (2) 所以 17 3,21 (百米). 考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理 从而 (1)因为a b c ，所以f (x) f(4) 8，所以(4 a)3 8，解得 a 因为b c , 3 f (x) (x a)(x b) x (a 2b)x b) x ----------- .令 f'(x) 3 f'(x) 3(x 2a b(X a)(x b)(x c) (x 2 • a)3 • 2b(2a b)x ab , 0，得x b 或x 2a b3 都在集合｛ 3,1,3｝中，且a 因为a, b, 32a b , 所以 1,a 32 此时 f(x) (x 3)(x 3) , f' (x) 3(x 3)(x 1).3,b 3.32 .x 3 (b 1)x 2 bx ,令f'(x)0,得x 3或x 1.列表如下： 所以f(x)的极小值为f(1) (1 3)(1 3)2 (3)因为 a 0,c1，所以 f (x) x(x2f'(x) 3x 2(b 1)x b .因为 0 b 1，所以 4(b 1)212b则f'(X )有2个不同的零点，设为 X 1,X 2 %b 1 b 2 b 1由 f (x) 0，得 X 1, X 23 b)(x 1)(2 b 1)2列表如下:X 2•• b 2 b 1 3所以f (x)的极大值M f x 1 . 解法一：M f x-!x 3 (b 1)x ； bx-!整理得b n 1所以数列｛b n ｝是首项和公差均为1的等差数列.2 b 2 b 19b(b 1) 92 b 2 b 1 (b 1)b(b 1)2b 2 3b 127927b(b 1)2(b 1)2(b 1) 2(b(b 1)1)3272727b(b 1) 2 4 因此M 42722727解法二：3x2 2(b 1)x 1b专罟X i因为0 b 1，所以x i(0,1).2当 x (0,1)时，f(x) x(x b)(x 1) x(x 1).2令 g(x) x(x 1) ,x (0,1)，则 g'(x)1 3 x3 (x 1)-1令g'(x)0，得x — •列表如下:所以当x 1时，g(x)取得极大值，且是最大值，故g(X )max g - — 332744(0,1)时，f(x) g(x) ，因此 M —.2727 20.本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综 合运用数学知识探究与解决问题的能力•满分 所以当x 16分. 因此数列｛a n ｝为“ M —数列”. 1 2 2 (2) ①因 ----- --------- 所以b n S n b nb n11 2 2 由0 1,S 1 b 1得1 1 b 2 ，则 b 221 22b n b n 1S n b n2时, 由b n2(b n 1 b n )'b n 1 '解：(1)设等比数列｛a n ｝的公比为q ，所以a 1M0 q z 0.2 4 4 a ?a 4 a 5 a 〔 q aq由 ，，c ，得2 ，解得 a 3 4a 2 4q 0 qq 4aQ 4q 0 b n b nS n5 1，得 b n2 b n 1 b nb n 1加 2 b nb n 1 ，2b n .bn 1因此，数列｛b n ｝的通项公式为b n = n n N ②由①知，b k =k , k N因为数列｛C n ｝为“ M 数列”设公比为q ，所以C 1=1 , q>0. 因为 c k 住k<C k+i ，所以 q k 1 k q k ，其中 k=1, 2, 3,…， 当k=1时，有q >1当k=2 , 3,…，m 时，有世lnq 此kk 1 Inx1 In x设f (x ) = (x 1)，则 f '(x) 2—xx0，得x=e.列表如下:经检验知q k 也成立. 因此所求m 的最大值不小于5.若m >6分别取k=3, 6,得3马3,且q 5<6从而q 15> 243且q 15w 216 所以q 不存在•因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5.数学I 附加题)21.【选做题】本题包括 A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答•若多做，则按作答的前两小题评分•解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A. ［选修4-2 :矩阵与变换］(本小题满分10分) 已知矩阵A (1 )求 A 2；(2)求矩阵A 的特征值.B. ［选修4-4:坐标系与参数方程］(本小题满分10分) 在极坐标系中，已知两点 A 3,, B " 2,，直线I 的方程为 sin 3.42 4(1 )求A , B 两点间的距离；(2)求点B 到直线I 的距离. C. ［选修4-5 :不等式选讲］(本小题满分10分) 设x R ，解不等式|x|+|2 x 1|>2.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分•请在答题卡指定区域.内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤.m.令 f'(x)ln8 ln96 6—，所以3f(k)m a X f(3)捋取 q 33，当 k=1, 2,3, 4, 5时, ln kk*, lnq，即 k q ，22. (本小题满分10分)设(1 x)n a0a-i x a2x2L a n x n, n・・4, n N*.已知a；2a2a4.(1 )求门的值；(2)设(1 '、3)n a b-,3，其中a,b N*，求a2 3b2的值.23. (本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，设点集A n ｛(0,0),(1,0),(2,0), ,(n ,0)｝令M n A n U B n U C n •从集合M n中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离(1 )当门=1时，求X的概率分布；(2)对给定的正整数n (n》3，求概率P (Xq)(用n表示).数学1(附加题)参考答案21.【选做题】A .［选修4乞：矩阵与变换］本小题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识，考查运算求解能力.满分31解：(1)因为A22，3131所以A2222233 1 231 1 2115=23 2 221 2 2 ==106令f ( ) 0，解得A的特征值1 1, 2 4.B .［选修4Z :坐标系与参数方程］本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力•满分解：(1)设极点为0•在△ OAB 中，A ( 3, ), B (,),4 2由余弦定理，得AB=,32( ;2)22 3 .2 cos(— -) . 5 .(2)因为直线l的方程为sin( ) 3 ,4则直线I过点(3'. 2,—)，倾斜角为-.2 4又BC，2,?)，所以点B到直线l的距离为(3.2 .2) sin(〒-)2.C .［选修4七：不等式选讲］本小题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力.满分1 解：当x<0时，原不等式可化为x 1 2x 2，解得x< —:31当0強W—时，原不等式可化为x+1 -x>2，即x< -，无解；21当x> —时，原不等式可化为x+2x - >2，解得x>1.10分.(2) f() 矩阵A的特征多项式4.10分.10分.21 综上，原不等式的解集为{x|x 3或X 1}.解法一：因为 a,b N ，所以 a C 5 3C 5 9C 5 76,b C 5 3C 5 9C 5 44 ,从而 a 2 3b 2 762 3 44232 •解法二：(1、、3)5 C ° C ；(3) C ；( .3)2 C ；( .,3)3c 5(,3)4c ；(、3)5c 0 c ； .3 c5c 、3)2 c ；(•一3)3 c ：(G )4 C 5C .3)5 •因为 a,b N *，所以(1 . 3)5 a b = 3 •因此 a 2 3b 2 (a b .3)(a b .3) (1 G)5 (1 .3) 5 ( 2)532 •23.【必做题】本小题主要考查计数原理、古典概型、随机变量及其概率分布等基础知识，考查逻辑思维能 力和推理论证能力.满分 10分.解：(1)当i n 1时，X 的所有可能取值是1,2,2八5 •77c 、 4 4 X 的概率分布为 P(X 1)2,P(X ■2) 2—C615 C6152 2f —2 2P(X 2) 亠,P(X -52C 615C 6 15(2)设A(a ,b)和B(c, d)是从M n 中取出的两个点.因为P(X n) 1 P(X n)，所以仅需考虑Xn 的情况.①若b d ，贝V AB n ，不存在X n 的取法；②若b0 ,d 1 ,则AB■ (a c)2 1n1，所以Xn 当且仅当AB• , n 2 1 ,此时 a 0, c n 或an , c 0 ,有2种取法；③若b 0,d 2，则 AB、(a c)2 4n 2 4,因为当n3 时，〔(n 1)24 n ,所以X n当且仅当AB ，n 2 4，此时a 0,c n或an, c 0，有2种取法；④若b1,d 2,则AB■ (a c)2 1n1，所以Xn 当且仅当AB• , n 2 1 ,此时a 0, c n 或an , c 0 ,有2种取法.10分.解：(1)因为(1 x)n C 0 C ；x C ：x 2 L c !J x n , n 所以a 2c nn(n 1),a 3 2c 3n(n 1)( n 2)6a 4 C 4n(n 1)(n 2)(n 3)24因为a ；2a ?a 4,所以［n(n 1)(n2) 2]2n(n 1) n(n 1)(n 2)(n 3)6224 解得n 5 •(2)由( 1)知,n 5 •(1彳(1 322.【必做题】本小题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力，满分4，C 0 cl 3a b, 3 •3)3c 5(、.3)4C5(.3)5c ；(、3)2综上, P(X 因此, 当X n时，X的所有可能取值是n~1和、.n2•,厂1) £,p(x ,nL4) •C2n 4 C2n 4P(X n) 1 P(X , n2—1) P(X ,n2一4)，且6C2n 4。
【精品试题】【市级联考】江苏省苏州市2019届高三高考模拟最后一卷数学试题(解析版)
江苏省苏州市2019届高三最后一卷数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1.已知集合{|02}A x x =<<，{}1B x x =，则A B =____.【答案】{}|12x x << 【解析】 【分析】利用交集定义直接求解． 【详解】集合A {x |0x 2}=<<，{}B x x 1=，A B {x |1x 2}∴⋂=<<．故答案为：{x |1x 2}<<．【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.设i 是虚数单位，复数i2ia z -=的模为1，则正数a 的值为_______．【解析】 【分析】先化简复数，再解方程21144a +=即得解.【详解】由题得i 1i 2i 22a az -==--， 因为复数z 的模为1，所以21144a +=，解之得正数a【点睛】本题主要考查复数的除法和模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.为了解某团战士的体重情况，采用随机抽样的方法．将样本体重数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图．已知图中从左到右前三个小组频率之比为1：2：3，第二小组频数为12，则全团共抽取人数为_______．【答案】48【解析】【分析】先求出频率分布直方图左边三组的频率和，再求全团共抽取的人数.【详解】由题得频率分布直方图左边三组的频率和为15(0.03750.0125)0.75-⨯+=所以全团抽取的人数为：212(0.75)6÷⨯＝48.故答案为：48【点睛】本题主要考查频率分布直方图频率和频数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.执行如图所示的程序框图，输出的k的值为_______．【答案】4 【解析】试题分析：程序执行中的数据变化如下：133130,3,,,1,,,22244k a q a k a =====<= 313313312,,,3,,,4,,4488416164k a k a k =<==<==<成立，输出4k =考点：程序框图5.设x ∈[﹣1，1]，y ∈[﹣2，2]，记“以(x ，y)为坐标的点落在不等式221x y +≥所表示的平面区域内”为事件A ，则事件A 发生的概率为_______． 【答案】1﹣8π 【解析】 【分析】利用几何概型的概率公式求事件A 发生的概率.【详解】由题得x ∈[﹣1，1]，y ∈[﹣2，2]，对应的区域是长方形， 其面积为24=8⨯.设事件A 发生的概率为P ，故P ＝88π-＝1﹣8π．故答案为：1﹣8π【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，若a ＞b 且sin A cosCa b=，则A ＝_______． 【答案】2π【解析】 【分析】由题得sinB ＝cosC ，再求A 的大小. 【详解】因为sin cos A C a b =，所以sin cos sin sin A CA B=，则sinB ＝cosC ， 由a ＞b ，则B ，C 都是锐角，则B ＋C ＝2π，所以A ＝2π． 故答案为：2π【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.已知等比数列{}n a 满足112a =，且2434(1)a a a =-，则5a ＝_______． 【答案】8 【解析】 【分析】先求出3a 的值，再求5a 的值. 【详解】∵2434(1)a a a =- ∴2334(1)a a =-，则3a ＝2∴223512812a a a ===． 故答案为：8【点睛】本题主要考查等比中项的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.已知函数221()log (1)1x a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，，，若[(0)]2f f =，则实数a 的值是_______．【解析】 【分析】解方程[(0)]2f f =即得a 的值. 【详解】∵0(0)223f =+= ∴[(0)](3)log 2a f f f == ∵[(0)]2f f = ∴log 22a =， 因0,a >所以解得a【点睛】本题主要考查分段函数求值，考查指数对数运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.圆柱形容器内部盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是 cm 。
江苏省苏州市2019-2020学年高考数学联考试题
2019-2020学年高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，矩形ABCD中，1AB=，2BC=，E是AD的中点，将ABE△沿BE折起至A BE'，记二面角A BE D'--的平面角为α，直线A E'与平面BCDE所成的角为β，A E'与BC所成的角为γ，有如下两个命题：①对满足题意的任意的A'的位置，αβπ+≤；②对满足题意的任意的A'的位置，αγπ+≤，则( )A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立2．著名的斐波那契数列{}n a：1，1，2，3，5，8，…，满足121a a==，21n n na a a++=+，*Nn∈，若2020211nnka a-==∑，则k=( )A．2020 B．4038 C．4039 D．40403．已知函数f(x)＝223,1ln,1x x xx x⎧--+≤⎨>⎩,若关于x的方程f(x)＝kx－12恰有4个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是()A．1e2⎛⎝B ．12e⎡⎢⎣C ．1,2ee⎛⎝⎦D ．12ee⎛⎝⎭4．下列函数中，值域为R且为奇函数的是（）A．2y x=+B．y sinx=C．3y x x=-D．2xy=5．已知平面向量a，b，c满足：0,1a b c⋅==，5a cb c-=-=，则a b-的最小值为( ) A．5 B．6 C．7 D．86．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为1r，大圆柱底面半径为2r，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为1h，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为2h，则12hh=（）A ．21r rB ．212r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．321r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭D 21r r 7．设函数()f x 的定义域为R ，满足(2)2()f x f x +=，且当2(]0,x ∈时，()(2)f x x x =--.若对任意(,]x m ∈-∞，都有40()9f x ≤，则m 的取值范围是（ ）. A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．19,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(,7]-∞D ．23,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8．函数()sin()f x x π=-223的图象为C ，以下结论中正确的是（ ）①图象C 关于直线512x π=对称； ②图象C 关于点(,0)3π-对称；③由y =2sin2x 的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C. A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③9．已知点P 在椭圆τ：2222x y a b+=1(a>b>0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设34PD PQ =，直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ，若PA ⊥PB ，则椭圆τ的离心率e=（ ） A ．12B 2C 3D 310．某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均数据,绘制如下折线图,那么,下列叙述错误的是( )A ．各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B ．全年中,2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C ．全年中各月最低气温平均值不高于10°C 的月份有5个D ．从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势11．如图所示，已知某几何体的三视图及其尺寸（单位：cm ），则该几何体的表面积为( )A ．15π2cmB ．21π2cmC ．24π2cmD ．33π2cm12．已知复数552iz i i=+-，则||z =（ ） A ．5B ．52C ．32D ．25二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年全国普通高等院校统一招生考试数学试卷(终极押题江苏卷)+word版含解析
数学I注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求1．本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、解析题（第15题～第20题）．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效．4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．参考公式：一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合，，则_________________【答案】【解析】，本题正确结果：2．已知复数满足，则________.【答案】【解析】解：因为所以所以.3．甲、乙两位同学的5次考试成绩如茎叶图所示，则成绩较稳定的那位学生成绩的方差为______．【答案】2【解析】由茎叶图可得：甲的平均成绩为，所以方差为；乙的平均成绩为，所以方差为；因此，所以甲稳定，方差为2.故答案为24．执行如下的程序框图，最后输出结果为k=10,那么判断框应该填入的判断是,则实数的取值范围是______．【答案】（36,45]【解析】由题意，模拟程序的运行，根据循环结构的程序框图的计算公式，可得当时，求得，而当时，求得，要使的输出的结果为，判断框应该填入的判断是时，则.5．函数的定义域为______．【答案】【解析】要使原函数有意义，则：；；原函数的定义域为：．故答案为：．6．欧阳修的《卖油翁》中写道：“(翁)乃取一葫芦，置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．”可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．已知铜钱是直径为3的圆，中间有边长为1的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油(油滴的直径忽略不计)，则油正好落入孔中的概率是________．【答案】【解析】由题意可知铜钱所在圆的半径为，所以其面积为，又由中间边长为的正方形，则正方形的面积为，由几何概型的概率公式可得概率为.7．函数的最小正周期为，则函数在内的值域为______．【答案】【解析】函数的最小正周期为，∴，，则在内，，，故答案为：．8．已知点是双曲线的右焦点，过原点且倾斜角为的直线与的左、右两支分别交于，两点，且，则的离心率为__________..【答案】【解析】解：设F'为双曲线的左焦点，连接AF'，BF'，由•0，可得AF⊥BF，可得四边形AFBF'为矩形，又∠BOF=，∴∠BF'F=∵F'F=2c，∴BF=c，BF'=由双曲线定义可知：BF'- BF=2a即∴e=故答案为：9．函数满足，且在区间（-2,2]上，，则的值为_________【答案】1【解析】因为，所以函数的最小正周期为，所以，又在区间（-2,2]上，，所以，所以.故答案为110．如图，正三棱锥的高，底面边长为4，，分别在和上，且，当三棱锥体积最大时，三棱锥的内切球的半径为________．【答案】【解析】设，，当时，取得最大值，此时为中点，经过点，且，，所以可求，，因此易求，，，，又∵，∴.11．已知，，若成立，则实数t的取值范围是______．【答案】【解析】解：根据题意，，则，则函数为偶函数，当时，，其导数，则函数在为增函数，则，解可得：，即t的取值范围为；故答案为：12．过点作圆（）的切线，切点分别为、，则的最小值为________【答案】【解析】圆C：（xm）2+（y﹣m+1）2＝1的圆心坐标为（m，m﹣1），半径为1，∴PC，PA＝PB，cos∠APC，∴cos∠APB＝2（）2﹣1＝1，∴•（PC2﹣1）×（1）＝﹣3+PC23+23+2，当且仅当PC时取等号，∴的最小值为23．故答案为：23．13．已知在中，角所对的边分别为.为上一点且则的最小值为__________ . 【答案】【解析】，，，又，故即，所以.又，当且仅当，时等号成立，故的最小值为，填.14．已知集合，从集合中取出个不同元素，其和记为；从集合中取出个不同元素，其和记为．若，则的最大值为____．【答案】44【解析】欲使m,n更大，则所取元素尽可能小，所以从最小开始取，S=即令2n-1=t,则m+2n=t+m+1,t为奇数,m为整数，则，由基本不等式当且仅当m=t=22时取等，∵t为奇数，∴的最大值在t=22附近取到，则t=21,m=23（舍）；t=21,m=22,成立；t=23,m=21（舍）; t=23,m=20,成立；故m+t的最大值为43，所以的最大值为44故答案为44二、解答题（本大题共6小题，计90分.解析应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15．如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，A1B1⊥B1C1．设A1C与AC1交于点D，B1C与BC1交于点E．求证：（1）DE∥平面ABB1A1；（2）BC1⊥平面A1B1C．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以侧面ACC1 A1为平行四边形．又A1C与AC1交于点D，所以D为AC1的中点，同理，E为BC1的中点．所以DE∥AB．又AB⊂平面ABB1 A1，DE⊄平面ABB1 A1，所以DE∥平面ABB1A1．（2）因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥平面A1B1C1．又因为A1B1⊂平面A1B1C1，所以BB1⊥A1B1．又A1B1⊥B1C1，BB1，B1C1⊂平面BCC1B1，BB1∩B1C1 = B1，所以A1B1⊥平面BCC1B1．又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1．又因为侧面BCC1B1为正方形，所以BC1⊥B1C．又A1B1∩B1C = B1，A1B1，B1C ⊂平面A1B1C，所以BC1⊥平面A1B1C．16．已知，为钝角且，．求的值；求的值．【答案】（1）-2；（2）【解析】（1）由题意，因为，为钝角，所以，所以，所以．（2）因为，为钝角，且，．，，，，，．．17．某公司拟购买一块地皮建休闲公园，如图，从公园入口沿，方向修建两条小路，休息亭与入口的距离为米（其中为正常数），过修建一条笔直的鹅卵石健身步行带，步行带交两条小路于、处，已知，．（1）设米，米，求关于的函数关系式及定义域；（2）试确定，的位置，使三条路围成的三角形地皮购价最低．【答案】(1)，定义域为 (2)见解析【解析】（1）法一：由得，且由题可知所以得即所以由得定义域为法二：由得，设中，由正弦定理所以同理可得由即整理得，由得定义域为（2）设三条路围成地皮购价为元，地皮购价为元/平方米，则（为常数），所以要使最小，只要使最小由题可知定义域为令则当且仅当即时取等号所以，当时，最小，所以最小，此时y=答：当点距离点米,F距离点米远时，三条路围成地皮购价最低18．椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为A，上顶点为B，且满足向量.（1）若，求椭圆的标准方程;（2）设为椭圆上异于顶点的点，以线段PB为直径的圆经过F1，问是否存在过F2的直线与该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）存在满足条件的直线，斜率.【解析】（1）易知，因为，所以为等腰直角三角形，所以b=c，由可知，故椭圆的标准方程为：；（2）由已知得，设椭圆的标准方程为，的坐标为，因为,所以，由题意得,所以，又因为在椭圆上，所以,由以上两式可得，因为不是椭圆的顶点，所以，故，设圆心为，则，圆的半径假设存在过的直线满足题设条件，并设该直线的方程为，由相切可知,所以，即，解得故存在满足条件的直线.19．已知函数，其中为自然对数的底数，．（1）讨论函数的单调性，并写出相应的单调区间；（2）已知，，若对任意都成立，求的最大值；（3）设，若存在，使得成立，求的取值范围．【答案】(1) 见解析(2) (3)或．【解析】（1）由，知．若，则恒成立，所以在上单调递增；若，令，得，当时，，当时，，所以在上单调递减；在上单调递增．综上，增区间是，无减区间，增区间是，减区间是（2）由（1）知，当时，．因为对任意都成立，所以，所以．设，（），由，令，得，当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减，所以在处取最大值，且最大值为．所以，当且仅当，时，取得最大值为．（3）设，即题设等价于函数有零点时的的取值范围．① 当时，由，，所以有零点．② 当时，若，由，得；若，设h(x)=故h(x)单增，所以h(x)> h(0)=0,所以无零点．③ 当时，，又存在，，所以有零点．综上，的取值范围是或．20．设各项均为正数的数列的前项和为，且，（，），数列满足（）.（1）求数列、的通项公式；（2）设，是的前项和，求正整数，使得对任意的，均有；（3）设，且，其中（，），求集合中所有元素的和. 【答案】（1），；（2）；（3）见解析.【解析】（1）①a1＝1，a n2＝S n+S n﹣1（n∈N*，n≥2），∴S n+1+S n，相减可得： a n+1+a n，化为：（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣1）＝0，∵a n+1+a n＞0，∴a n+1﹣a n＝1，又S2+S1，可得a2﹣2＝0，a2＞0，解得：a2＝2，∴a2﹣a1＝1，∴数列{a n}设等差数列，a n＝1+n﹣1＝n．②数列{b n}满足（n∈N*）．n≥2时，b1b2•…b n﹣1，∴．（2）c n，∴T n（1）．T n+1﹣T n（）．n≤3时，T n+1≥T n．n≥4时，T n+1≤T n．当m＝4时，使得对任意的n∈N*，均有T m≥T n．（3）x＝k1b1+k2b2+…+k n b n，且x＞0，其中k1，k2，…，k n∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），①要使x＞0，则必须k n＝1．其它k1，k2，…，k n﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，﹣1．证明：若k n＝﹣1，则x＝k1•2+k2•22+…+k n﹣1•2n﹣1﹣k n•2n≤2+22+……+2n﹣1﹣2n2n＝﹣2＜0，此时x恒为负数，不成立．∴k n＝1．此时：x≥﹣2﹣22﹣……﹣2n﹣1+2n2n＝2＞0，故k1，k2，…，k n﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，﹣1．②其它k1，k2，…，k n﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），可任取1，﹣1．此时集合内的元素x共有2n﹣1个互不相同的正数．证明：k1，k2，…，k n﹣1∈{﹣1，1}（n∈N*，n≥2），利用乘法原理可得：表示x的式子共有2n﹣1个．下面证明这2n﹣1个式子所表示的x互不相等，具体如下：证明：假如这2n﹣1个式子所表示的x存在相等的数，x1＝2n+k n﹣1•2n﹣1+……+k2•22+k1•2＝x2＝2n•2n﹣1•22•2．k i，∈{﹣1，1}（i∈N*，n﹣1≥i≥2），即满足k i∈{﹣1，1}（i∈N*，n﹣1≥i≥2）的第一组系数的下标数为m．则•2m•2m﹣1+（）•2m﹣2+……+（）•2，而|•2m﹣1+（）•2m﹣2+……+（）•2|≤2•2m﹣1+2•2m﹣2+……+2×2＝2m+1﹣4＜|•2m|＜2m+1．因此，假设不成立，即这2n﹣1个式子所表示的x互不相等．③这2n﹣1个x互不相等的正数x（每个均含k n b n＝2n）．又k i＝1或﹣1（i＝1，2，……，n﹣1）等可能出现，因此所有k i b i（i＝1，2，……，n﹣1）部分的和为0．故集合B中所有元素的和为所有k n b n＝2n的和，即2n•2n﹣1＝22n﹣1．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答．解析应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.[选修4-1：几何证明选讲]如图，四边形是圆的内接四边形，，的延长线交的延长线于点.求证：平分.【答案】见解析【解析】借助题设条件设法证明：证明：因为四边形是圆的内接四边形，所以. 因为，所以.又，，所以，即平分.B.[选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵，10=12N⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且，求矩阵．【答案】【解析】由题意，，则．因为10=12N⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则．所以矩阵.C.[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系中（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，极轴与x轴的非负半轴重合），圆C的方程为，求直线l被圆C截得的弦长．【答案】【解析】将直线l的参数方程为化为方程：圆的方程为化为直角坐标系方程：，即，，其圆心，半径为∴圆心C到直线l的距离为∴直线l被圆C截得的弦长为．D.[选修4-5：不等式选讲]设均为正数，且，求证：.【答案】见解析【解析】先将式子进行巧妙变形，再借助基本不等式进行推证：证明：因为均为正数，且，所以，（当且仅当时等号成立）所以.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．如图，在边长为8的菱形中，，将沿折起，使点到达的位置，且二面角为.（1）求异面直线与所成角的大小；（2）若点为中点，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】（1）连接AC，交BD于点O，连接OA1，因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，从而OA1⊥BD，OC⊥BD，又因为OA1∩OC＝O，所以BD⊥平面A1OC，因为A1C 平面A1OC，所以BD⊥A1C，所以异面直线A1C与BD所成角的大小为90°．（2）由（1）可知，∠A1OC即为二面角A1-BD-C的平面角，所以∠A1OC＝60°．以O为坐标原点，，为x，y轴正方向，建立空间直角坐标系O-xyz，则B(4，0，0)，D(－4，0，0)，C(0，4，0)，A1(0，2，6)，E(0，3，3)．所以＝(－4，3，3)，＝(4，2，6)，＝(4，4，0)．设平面A1DC的法向量为＝(x，y，z)，则即取x＝3，则＝(3，－，－1)，设直线BE与平面A1DC所成角为sin＝，所以直线BE与平面A1DC所成角的正弦值为．23．在某次投篮测试中，有两种投篮方案：方案甲：先在A点投篮一次，以后都在B点投篮；方案乙：始终在B点投篮.每次投篮之间相互独立.某选手在A点命中的概率为，命中一次记3分，没有命中得0分；在B点命中的概率为，命中一次记2分，没有命中得0分，用随机变量表示该选手一次投篮测试的累计得分，如果的值不低于3分，则认为其通过测试并停止投篮，否则继续投篮，但一次测试最多投篮3次. （1）若该选手选择方案甲，求测试结束后所得分的分布列和数学期望.（2）试问该选手选择哪种方案通过测试的可能性较大？请说明理由.【答案】（1）数学期望为3.05，分布列见解析（2）选择方案甲【解析】（1）在A点投篮命中记作,不中记作；在B点投篮命中记作,不中记作，其中，的所有可能取值为，则，，，．的分布列为：，，，．所以，所以，的数学期望为．（2）选手选择方案甲通过测试的概率为，选手选择方案乙通过测试的概率为，因为，所以该选手应选择方案甲通过测试的概率更大．。
江苏省苏州市2019届高三最后一卷高三数学练习卷 及答案含附加题
高三数学练习卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上.1. 己知集合则= ▲ .2. 设i是虚数单位，复数的模为1，则正数a的值为▲ .3. 为了解某团战士的体重情况，采用随机抽样的方法，将样本体重数据整理后，画出了如图所示的频率分布直方图，己知图中从左到右前三个小组频率之比为1：2：3，第二小组频数为12，则全团共抽取人数为▲ .4. 执行如图所示的程序框图，输出的k的值为▲ .5. 设记“以（x，y)为坐标的点落在不等式所表示的平面区域内”为事件A，则事件A发生的概率为▲ .6.已知△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若a>b且则A= ▲ .7. 已知等比数列满足且则▲.8. 己知函数若则实数a的值是▲ .9. 如图，在一个圆柱形容器内盛有高度为8cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则此圆柱底面的半径是▲ cm.10.在平面直角坐标系中，己知点A，F分别为椭圆的右顶点和右焦点，过坐标原点O的直线交椭圆C于P，Q两点，线段AP的中点为M，若Q，F，M三点共线，则椭圆C的离心率为▲ .11. 设函数若且则的取值范围是▲ .12.已知圆上存在两点A，B，P为直线x=5上的一个动点，且满足AP⊥BP，则点P的纵坐标取值范围是▲ .13. 如图，已知P是半径为2，圆心角为的一段圆弧AB上一点，则的最小值为▲ .14. 己知实数a，b，c满足（e为自然对数的底数），则的最小值是▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分14分）己知向量(1)若a∥b，求的值；(2)若求的值.16.（本小题满分14分）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，平面PBD⊥平面ABCD，PB= PD，P A⊥PC，CD⊥PC，O、M分别是BD，PC的中点，连结OM.求证：(1) OM∥平面P AD；(2) OM⊥平面PCD.己知椭圆的左、右焦点分别为离心率为，P 是椭圆C上的一个动点，且面积的最大值为(1)求椭圆C的方程；(2)设斜率不为零的直线与椭圆C的另一个交点为Q，且PQ的垂直平分线交y轴于点求直线PQ的斜率.18.（本小题满分16分）如图为一块边长为2km的等边三角形地块ABC，为响应国家号召，现对这块地进行绿化改造，计划从BC的中点D出发引出两条成60°角的线段DE和DF，与AB和AC围成四边形区域AEDF，在该区域内种上草坪，其余区域修建成停车场，设∠(1)当时，求绿化面积；(2)试求地块的绿化面积的取值范围.数列的前n项和记为，且数列是公比为q的等比数列，它的前n项和记为若且存在不小于3的正整数k，m，使(1)若求(2)证明：数列为等差数列；(3)若是否存在整数m，k，使若存在，求出m，k的值；若不存在，说明理由.20.（本小题满分16分）若函数和同时在x=t处取得极小值，则称和为一对“P(t)函数”.(1)试判断与是否是一对“P(1)函数”；(2)若与是一对“P(t)函数”.①求a和t的值；②若a<0，若对于任意∞恒有求实数m的取值范围.高三数学练习卷附加题21. 【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A选修4-2：矩阵与变换变换是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是变换对应用的变换矩阵是求曲线的图象依次在变换的作用下所得曲线的方程.B.选修4-4:极坐标与参数方程在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为设点P是曲线上的动点，求P到直线l距离的最大值.C.选修4-5:不等式选讲已知函数若存在实数x，使不等式成立，求实数m的最小值，【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.（本小题满分10分）在四棱锥中∠△P AD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD.(1)求二面角P-EC-D的余弦值；(2)线段PC上是否存在一点M，使得异面直线DM和PE所成的角的余弦值为？若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由.23.（本小题满分10分）已知非空集合M满足M N*若存在非负整数使得当时，均有则称集合M具有性质P，记具有性质P的集合M的个数为（1)求的值；(2)求的表达式.。
2019年全国普通高等学校招生统一考前模拟数学试题(江苏卷)Word版含解析
2019年全国普通高等学校招生统一考前模拟数学试题（江苏卷）一、填空题1．已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=A B ________________.【答案】{}1,2- 【解析】试题分析：{}{}{}1,2,3,6231,2AB x x =--<<=-．故答案应填：{}1,2- ，【考点】集合运算2．复数(12i)(3i),z =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是________________. 【答案】5【解析】试题分析：(12)(3)55z i i i =+-=+．故答案应填：5 【考点】复数概念3．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是________________.【答案】【解析】试题分析：222227,3,7310,2a b c a b c c ==∴=+=+=∴=，焦距为2c【考点】双曲线性质4．已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________________. 【答案】0.1【解析】试题分析：这组数据的平均数为1(4.7 4.8 5.1 5.4 5.5) 5.15++++=，2222221(4.7 5.1)(4.8 5.1)(5.1 5.1)(5.4 5.1)(5.5 5.1)0.15S ⎡⎤∴=-+-+-+-+-=⎣⎦．故答案应填：0.1， 【考点】方差5．函数的定义域是 . 【答案】[]3,1-【解析】试题分析：要使函数有意义，必须2320x x --≥，即2230x x +-≤，31x ∴-≤≤．故答案应填：[]3,1-，【考点】函数定义域6．如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是 .【答案】9【解析】试题分析：第一次循环：5,7a b ==，第二次循环：9,5a b ==，此时a b >循环结束9a =，故答案应填：9【考点】循环结构流程图7．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 . 【答案】5.6【解析】点数小于10的基本事件共有30种，所以所求概率为305.366= 【考点】古典概型概率8．已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3，S 5=10，则a 9的值是 . 【答案】20.【解析】由510S =得32a =，因此2922(2d)33,23620.d d a -+-=-⇒==+⨯= 【考点】等差数列性质9．定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x 的图象与y=cosx 的图象的交点个数是 . 【答案】7【解析】由1sin 2cos cos 0sin 2x x x x =⇒==或，因为[0,3]x π∈，所以3551317,,,,,,,2226666x πππππππ=共7个【考点】三角函数图像10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b+=＞＞0 的右焦点，直线2by = 与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠= ,则该椭圆的离心率是 .【解析】由题意得),C(),22b b B，因此22222()0322b c c a e -+=⇒=⇒= 【考点】椭圆离心率11．设f （x ）是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[ −1,1）上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中.a ∈R若59()()22f f -= ，则(5)f a 的值是 . 【答案】25-【解析】51911123()()()()22222255f f f f a a -=-==⇒-+=-⇒=， 因此32(5)(3)(1)(1)155f a f f f ===-=-+=-【考点】分段函数，周期性质12． 已知实数x ，y 满足240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则x 2+y 2的取值范围是 .【答案】4[,13]5【解析】由图知原点到直线220x y +-=距离平方为22x y +最小值，为245=，原点到点(2,3)距离平方为22x y +最大值，为13，因此22x y +取值范围为4[,13]5【考点】线性规划13．如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅ 的值是 .【答案】78【解析】因为2222436444AO BC FO BC BA CA --⋅===,22414FO BCBF CF -⋅==-,因此22513,BC 82FO ==，22224167448EO BC FO BC BE CE --⋅===【考点】向量数量积14．在锐角三角形ABC 中，若sinA=2sinBsinC ，则tanAtanBtanC 的最小值是 . 【答案】8.【解析】sin sin(B C)2sin sin tan tan 2tan tan A B C B C B C =+=⇒+=，因此tan tan tan tan tan tan tan 2tan tan tan tan tan 8A B C A B C A B C A B C =++=+≥≥，即最小值为8.【考点】三角恒等变换，切的性质应用二、解答题15．在ABC △中，AC=6，4πcos .54B C ==， （1）求AB 的长； （2）求πcos(6A -)的值. 【答案】（1）（2【解析】试题分析：（1）利用同角三角函数关系求3sin 5B ，= 再利用正弦定理求值，（2）利用诱导公式及两角和与差正余弦公式分别求sin sin()cos()A B C A B C =+==-+=，cos(A )6π-试题解析：解（1）因为4cos ,0,5B B π=<<所以3sin ,5B ==由正弦定理知sin sin AC ABB C=，所以6sin 23sin 5AC C AB B ⋅===（2）在三角形ABC 中A B C π++=，所以().A B C π=-+于是cosA cos(B C)cos()cos cossin sin ,444B B B πππ=-+=-+=-+又43cos ,sin ,55B B ==，故43cos 55A =-+=因为0A π<<，所以sin A因此1cos()cos cossin sin6662A A A πππ-=+==【考点】同角三角函数关系，正余弦定理，两角和与差公式16．如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥.求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ； （2）平面B 1DE ⊥平面A 1C1F. 【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】试题分析：（1）利用线面平行判定定理证明线面平行，而线线平行的寻找往往结合平几知识，如中位线性质（2）利用面面垂直判定定理证明，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明，往往需要多次利用线面垂直性质与判定定理试题解析：证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，11//AC AC 在三角形ABC 中，因为D,E 分别为AB,BC 的中点. 所以//DE AC ，于是11//DE AC又因为DE ⊄平面1111,AC F AC ⊂平面11AC F 所以直线DE//平面11AC F（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AA ⊥平面A B C 因为11A C ⊂平面111A B C ，所以111AA ⊥A C又因为111111*********,,AC A B AA ABB A A B ABB A A B AA A ⊥⊂⊂=，平面平面所以11AC ⊥平面11ABB A因为1B D ⊂平面11ABB A ，所以111A C B D ⊥又因为1111111111111C F,C F,B D A AC A A F A AC A F A ⊥⊂⊂=F ，平面平面所以111C F B D A ⊥平面因为直线11B D B DE ⊂平面，所以1B DE 平面11.A C F ⊥平面【考点】直线与直线、平面与平面位置关系17．现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A BC D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A BC D -（如图所示），并要求正四棱柱的高1PO 的四倍.（1）若16,PO 2,AB m m ==则仓库的容积是多少？（2）若正四棱柱的侧棱长为6m,则当1PO 为多少时，仓库的容积最大？【答案】（1）312（2）1PO =【解析】试题分析：（1）明确柱与锥体积公式区别，分别代入对应公式求解（2）根据体积关系建立函数解析式，()()32636,063V V V h h h =+=-<<锥柱再利用导数求其最值 试题解析：解：（1）由PO 1=2知OO 1=4PO 1=8.因为A 1B 1=AB=6，所以正四棱锥P-A 1B 1C 1D 1的体积()22311111=6224;33V A B PO m ⋅⋅=⨯⨯=柱 正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积()2231=68288.V AB OO m ⋅=⨯=柱所以仓库的容积V=V 锥+V 柱=24+288=312（m 3）. （2）设A 1B 1=a （m ）,PO 1=h （m ），则0<h<6,OO 1=4h.连结O 1B 1. 因为在11RT PO B ∆中，222111OB PO PB +=，所以22362h ⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭，即()22236.a h =- 于是仓库的容积()()222311326436,06333V V V a h a h a h h h h =+=⋅+⋅==-<<锥柱， 从而()()2226'36326123V h h =-=-.令'0V =，得h =或h =-.当0h <<'0V > ，V 是单调增函数；当6h <<时，'0V <，V 是单调减函数.故h =V 取得极大值，也是最大值.因此，当1PO = 时，仓库的容积最大.【考点】函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M:221214600x y x y +--+=及其上一点A（2，4）（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x=6上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B 、C 两点，且BC=OA,求直线l 的方程；（3）设点T （t,o ）满足：存在圆M 上的两点P 和Q,使得TA TP TQ +=,求实数t 的取值范围。
苏州市2019~2020高三数学一模试卷含答案
江苏 2020 届高考备考系列试卷 第 3 页 (共 4 页)
19. (本小题满分 16 分)
已知数列 {an} 满足 2Sn = nan + a1，a3 = 4，其中 Sn 是数列 {an} 的前 n 项和．
(1) 求 a1 和 a2 的值及数列 {an} 的通项公式；
(2)
设 Tn =
1
1
1
+
(0, b)，若 ∠F1PF2 = 120◦，则该双曲线的离心率为
.
x ⩾ 0
8.
若
x，y
满足约束条件
xx
− +
y y
⩽0 −1 ⩽
0
，则 z = x + 3y 的最大值为
.
9. 如图，某品牌冰淇淋由圆锥形蛋筒和半个冰淇淋小球组成，其中冰淇淋小球的半径与圆锥底面半径相同，已
知圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为 2 π，弧长为 4π cm 的扇形，则该冰淇淋的体积是 5
。
，因此
【点评】将双曲线与三角函数对称性勾连到一起，利用三角函数得到 b 与 c 的关系，从而建立 a 与 c 的关 系，属于中档题。
8．若 x，y 满足约束条件
，则 z＝x＋3y 的最大值为
．
【答案】3.
【分析】由约束条件画出（x,y）的区域，再考察 z=x+3y 的最大值。
【解答】画出（x,y）满足的区域，不难看出当 z=x+3y 过点（0,1）时取最大值 3.
【解答】[5，7)之间的
=0.24+0.20=0.44，因此车辆总数=440÷0.44=1000。所以[8，9)之间通过的车辆
数为 1000×0.10=100 辆。 【点评】考察对学生频率分布直方图的读取和理解，颇具新意。
2019年江苏省高考最后一卷数学试卷含答案解析
2019江苏高考最后一卷数学一、填空题（本大题共14 小题，每小题 5 分，共70 分）1.已知复数z 的实部为 2 ，虚部为1，则z 的模等于.2.已知集合A1,0,,3，集合B x y x 2，则A B.3.右图 1 是一个算法流程图，若输入x 的值为 4 ，则输出y 的值为.图 2(图 1)4.函数f ( x)12x的定义域为.log 2 ( x1)5.样本容量为 10的一组数据，它们的平均数是5，频率如条形图 2 所示，则这组数据的方差等于．6.设, 是两个不重合的平面，m, n 是两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若n, n || ,m, 则 n || m ；②若m, n， m∥ , n∥，则∥；③若,m, n, n m ，则 n；④若 m,, m∥ n ，则 n∥.其中正确的命题序号为7.若圆( x 3)2( y5) 2r 2上有且只有两个点到直线l : 4x3y 2 的距离等于1，则半径 r 的取值范围是.8. 已知命题P : b, 2 ,f x 2 x b x在 c , 1上为减函数；命题，使得x0.则在命题P Q，P Q，P Q，y 0P Q 中任取一个命题，则取得真命题的概率是12bx c1x 9.若函数f ( x)( a, b, c R) ( a,b, c, d R)，其图象如图x2ax 123 所示，则a b c.图 310.函数f ( x)x 3 a x22a 2 x3 a 的的图象经过四个象限，则22取值范围是．11.在ABC 中,已知角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin Asin C sin B ，则函数b c a cf ( x)cos2 ( xA)sin2 (xA) 在2,3上的单调递增区间是. 22212. “已知关于x的不等式ax2bx c0 的解集为 (1,2)，解关于 x 的不等式cx 2bx a0 .”给出如下的一种解法：1211解：由 ax 2bx c0 的解集为(1,2)，得 a b c0 的解集为 (,1) ，即关于x x2x 的不等式 cx2bx a0的解集为 (1,1) .2参考上述解法：若关于 x 的不等式b x b0 的解集为 (1,1)( 1,1) ，则关于 x 的x a x c32不等式b x b0 的解集为. x a x c13.2019 年第二届夏季青年奥林匹克运动会将在中国南京举行，为了迎接这一盛会，某公司计划推出系列产品，其中一种是写有“青奥吉祥数”的卡片.若设正项数列a n满足n n 1 a n2a n10 ，定义使log2a k为整数的实数k 为“青奥吉祥数” ，则在区间 [1，2019]内的所有“青奥吉祥数之和”为________14.已知f x x2 2 x,0A y y f x, 1x 1 ，3x2x ,，设集合B y y ax,1x 1，若对同一x 的值，总有y1y2，其中 y1A, y2 B ，则实数a的取值范围是二、解答题（本大题共 6 小题，共90 分）15. 在ABC中，角A，B， C的对边分别为 a ，b， c ，向量C，且 m n.2（1）求sin C的值；（ 2）若a2b2 4 a b8，求边c的长度.16.如图 4，在四棱锥P ABCD中，平面PAD平面ABCD△ PAD，AB∥DC，是等边三角形，P已知 BD 2AD 8，AB 2DC 4 5．MD C（1）设M是PC上的一点，证明：平面MBD平面 PAD ；A B （2）求四棱锥P ABCD 的体积．图 417.如图 5， GH 是东西方向的公路北侧的边缘线，某公司准备在GH 上的一点 B 的正北方向的 A 处建一仓库，设AB = y km ，并在公路同侧建造边长为x km 的正方形无顶中转站CDEF（其中边EF在 GH 上），现从仓库 A 向 GH 和中转站分别修两条道路AB，AC，已知 AB = ACo1，且∠ ABC = 60 ．（1）求 y 关于 x 的函数解析式；（2）如果中转站四周围墙造价为 1 万元 /km ，两条道路造价为 3 万元 /km ，问： x 取何值时，该公司建中转站围墙和两条道路总造价M 最低？AC DG B F E H公路图 518. 如图 6，椭圆x2y2 1 (a b 0) 过点 P(1,3) ，其左、右焦点分别为F1 , F2，离心率a2b221F1M F2N 0 ．e，M , N是椭圆右准线上的两个动点，且2（1）求椭圆的方程；M （2）求MN的最小值；y（3）以MN为直径的圆 C 是否过定点？请证明你的结论．F1O F2xN（图 6）19.已知函数 f ( x) a x x 2x ln a(a 0, a1).（1）求曲线y f ( x)在点(0, f (0))处的切线方程；（2）求函数 f ( x )的单调增区间；（3）若存在x1, x2[ 1,1] ，使得f ( x1) f ( x2) e 1(e 是自然对数的底数)，求实数a的取值范围．20. 已知数列 {a n}中， a2=a(a 为非零常数 )，其前 n 项和 S n满足 S n=n(a n－ a1 )2(n N*) ．（1）求数列 {a n}的通项公式；（2）若 a=2，且1a m2S n 11 ，求 m、n 的值；4（3）是否存在实数a、 b，使得对任意正整数p，数列 {a n}中满足 a n b p 的最大项恰为第3p 2 项？若存在，分别求出 a 与 b 的取值范围；若不存在，请说明理由．数学Ⅱ（附加题）21A．[选修4-1：几何证明选讲] （本小题满分10 分）如图，从圆 O 外一点 P 引圆的切线PC 及割线 PAB ， C 为切点．C 求证： AP BC AC CP ．O PAB（第 21- A题）21B．已知矩阵M 2 1,3，计算 M2．1 2521C．已知圆C的极坐标方程是4sin，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立x 3 t平面直角坐标系，直线l 的参数方程是2(t 是参数）．若直线 l 与圆 C 相切，求正1y t m2数 m 的值．21D．（本小题满分10 分，不等式选讲）已知不等式 a b2c ≤| x2 1| 对于满足条件 a 2b2 c 21的任意实数a, b, c 恒成立,求实数 x 的取值范围．【必做题】第22、 23 题，每小题10 分，共计20 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时．．．．．．．应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10 分）22. 如图，在四棱锥P－ ABCD 中，PA底面 ABCD，底面ABCD 是边长为 2 的菱形，ABC 60 ， PA 6 ， M 为 PC的中点．（ 1）求异面直线PB 与 MD 所成的角的大小；P（ 2）求平面PCD与平面 PAD所成的二面角的正弦值．MA DB C（第 22 题）23．（本小题满分10 分）袋中共有 8 个球，其中有 3 个白球， 5 个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n 次后，袋中白球的个数记为X n．（1）求随机变量 X2的概率分布及数学期望 E(X2)；（2）求随机变量 X n的数学期望 E(X n)关于 n 的表达式．2019江苏高考最后一卷数学答案一、填空题1.52..1,03.24. (1,2)(2,)5.7.219.4 6. ①③ 7. 8.410.,81(1,)11.0,12. (1,1113.204714.1,0 44)(,1)23提示：1. z 2 i ，则z 2 i ，则 z( 2)2( 1)2 5 .2. B x y2x x 2x 0x x2，又 A1,0,,3 ，所以 A B1,0 .3. 当x4时， 4 3 ，则 x7 ；当 x7时， 7 3 ， x4 ；当 x4时， 4 3 ，x 1 ；当 x1时， 1 3 不成立，则输出y21 2 .4.要使原式有意义，则x101且 x 2 . x1，即 x15.2 出现100.44次，5出现 100.22次，8出现100.4 4 次，所以s214(25)22(55)24(55)27.2 .10m, n 相交时6.逐个判断。
苏州最后一卷高三数学练习卷参考答案2019.5
高三数学练习卷参考答案一、填空题1．(1,2) 23．48 4．7 5．186．27．8 89．4 10．13 11．π312．[2,6]13．5 14．15解答与提示：1．, (0,2)(1,+)A B ，所以(1,2)A B ．2．2i |i |||||132i |2i |a a z a ，因为0a，所以a ．3．31(0.0125+0.0375)5=4 ，12483241+2+3． 4．执行第一次循环后3, 3S k ；执行第二次循环后9, 5S k ； 执行第三次循环后45, 7S k ；终止循环． 5．241248P． 6．在ABC △中，由正弦定理，sin cos sin cos cos 1sin sin sin A C A C Ca b A B B， cos 0C ，又a b A B ，所以(0,)2B,sin()21()sin 2C A B C B．7．由2434(1)a a a ，得3234(1)a a ，得32a ，所以23518a a a ． 8．(0)3f ，[(0)](3)log 22a f f f，所以a ．9．设圆柱底面的半径为r ，则32246383r V r r r ，即3228r r ，解得4r ．10．法一：设(,), (,)p m n Q m n ，又(,0), (,0), (,)22a m nA a F c M ，1(,)(,()()22223a m n n a m c FQ FM m c n c m c n c e a ∥∥．法二：连结AQ ，则F 是APQ △的重心，下略．11．不妨设120x x ，则2121||x x x x ，由图可知210()33x x．12．如图1，设(5,)P t ，弦AB 的中点为D ，圆心C 到的距离为d，可知AB则由PC PD CD ≤得到2ABPC CD d ≤，[2,6]t ．法二：过点(5,)P t 作圆的两条切线，若满足=APB ，则90 ≥时适合题意，由直线定理可知：sin 90sin 2PC，即sin2PC，有解得[2,6]t ．13．以圆心为原点，AB 垂直平分线所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则( A C ，设2(2cos ,2sin )()33P≤≤，(22cos 2sin )(12cos 2sin )52cos PC PA，5) ，其中0tan 63，所以06 ，当2时，PC PA 的最小值为5 ．14．设()e (1)x u x x ，则'()e 1x u x ，可知()(0)0u x u ≥，即e 1x x ≥； 可知21e e 1221a c b c a c b c a b ≥，当且仅当210a c b c 时，取等；即21e e 21a c b c a b ，210a c b c ，解得22222(1)511=44245c c a b c c ≥，当且仅当15c 时，取等号．二、解答题15．解：（1）因为∥a b ，所以2sin cos 2sin ，于是4sin cos ； ··· 3分 当cos 0 时，sin =0 ，与22sin cos 1 矛盾，所以cos 0 ，故1tan 4， ·············································································· 5分 所以2222sin cos sin cos tan 413cos sin 4cos tan 465． ··························· 7分 （2）由|||| a b 知，22sin (cos 2sin )5 ，即214sin cos 4sin 5 ， ······················································· 9分 从而2sin 22(1cos 2)4 ，即sin 2cos21 ，于是πsin(242． ····························································· 12分又由0π 知，ππ9π2444， 所以π5π244或π7π244 ，因此π2 或3π4． ····················· 14分 16．证：（1）连结AC ．在平行四边形ABCD 中，因为O 是BD 中点，所以O 是AC 中点．又M 为PC 中点，所以OM ∥PA ． ················································ 3分又OM 平面PAD ，PA 平面PAD ，所以OM ∥平面PAD ． ············ 6分 （2）连结PO ，因为PB PD 且O 是BD 中点，所以PO BD ．又因为平面PBD 平面ABCD BD ，平面PBD 平面ABCD ，PO 平面PBD ， 所以PO 平面ABCD ． ································································ 9分 又因为CD 平面ABCD ，所以CD PO ．又CD PC ，PO PC P ，PO 平面PAC ，PC 平面PAC ，所以CD 平面PAC ． ································································· 11分 又OM 平面PAC ，所以OM CD ． 在平面PAC 中，由（1）得OM ∥PA ， 又PA PC ，所以OM PC ．又CD PC C ，PC 平面PCD ，CD 平面PCD ，所以OM 平面PCD ． ······························································· 14分17．解：（1）因为椭圆离心率为12，当P 为C 的短轴顶点时，12PF F △的面积有最大所以2221,2122,c a a b c c b所以2,1,a b c 故椭圆C 的方程为：22143x y ． ·· 4分（2）设直线PQ 的方程为(1)y k x ，当0k 时，(1)y k x 代入22143x y ，得：2222(34)84120k x k x k ． ·············································· 6分 设11(),P x y ，22(),Q x y ，线段PQ 的中点为00(),N x y ，212024234x x k x k ，120023(1)234y y ky k x k， 即22243(,3434k kN k k． ································································ 8分 因为TN PQ ，则1TN PQk k ，所以222314381443k k k k k ， ················· 10分化简得24830k k ，解得12k 或32k ， 即直线PQ 的斜率为12或32． ························································ 14分 18．解：（1）当60 时，//DE AC ，//DF AB ，四边形AEDF 是平行四边形，BDE和CDF 均为边长为1km的等边三角形，面积都是4km 2，所以绿化面积为222442km 2． ······································ 4分 （2）由题意知，3090 ，在BDE 中，120BED ， 由正弦定理得1sin sin(120)BE ，所以sin sin(120)BE ， 在CDF 中，120CDF ，CFD ， 由正弦定理得1sin sin(120)CF ，所以sin(120)sin CF， ·············· 8分 所以22sin(120)sin sin (120)sin sin sin(120)sin sin(120)BE CF2222153sin )sin sin cos cos (22222233(sin cos )11 31112sin(230)2， ··························································· 11分所以()()4ABC BDE CDF S S S S BE CF1(3090)18sin(230)2， 当3090 时，30230150 ，1sin(230)12 ≤，131sin(230)22≤， 21113sin(230)2≤，所以()82S ≤，答：地块的绿化面积()S的取值范围是(]82． ·························· 14分 19．解：（1）当3n 时，1331233()2a a A a a a， 因为131, 5a a ，所以23a ． ····················································· 3分 （2）由 12n n n a a A，得111(1)2n n n a a A ， 两式相减，得111(1)2n nn a n a na a，即11(1)0n n n a na a ，所以211(1)0n n na n a a ，两式相减，得122n n n a a a ，所以数列{}n a 为等差数列． ·················· 8分 （3）依题意：112m k m a b a ，由86k m A B 得：118621k ma a a qa k q， 即111112286212m m a a a a k ，128622486m k，所以151634421m k． ································································ 10分 因为92512 ，且3m ≥，所以219m ≤≤，又因为51641294343 ，且121m 为奇数， ··························· 12分 所以121129m 时，151621m 是整数，此时17m ，所以8m , 340k ． ·································································· 16分 20．解：令12()()(), ()()()h x f x g x h x f x g x ． （1）则212()21,'()32h x x a h x x ax b ， 因为()f x x 与2()g x x ax b 是一对“(1)P 函数”，所以12(1)30,(1)230,h a h a b 所以3,3.a b此时，因222()3633(1)0h x x x x ≥，2()h x 无极小值，故()f x x 与2()g x x ax b 不是一对“(1)P 函数”． ························· 4分 （2）①21()e 1x h x x ax ，22()e (1)x h x x ax ，1()e 2x h x x a ，22()e [(2)1]e (1)(1)x x h x x a x a x x a ，若()e x f x 与2()1g x x ax 是一对“()P t 函数”，由2()e (1)(1)0x h x x x a ，得121,1x x a ， ··················· 6分1 若0a ，则有2从而111(1)e 20,2eh a a ．经验证知211()e 21e x h x x x （在1x 处取得极小值，所以12,e 1.a t20a 当时，则有因为2从而11(1)e 20a h a a ， 令1()e 2,0a a a a ，()a 在(,0) 是减函数，且(1)0 ，所以1a ，从而1,0.a t经验证知21()e 1x h x x x 在0x 处取得极小值，所以1,0.a t3 当0a 时，22()e (1)0x h x x ≥，2()h x 是增函数，无极小值，与题设不符．综上所述：12e 1a t或10a t． ·················································· 12分 ② 因为0a ,由①之结论知，()e x f x ，2()1g x x x ， 易见()0f x ()0g x ，故不等式()()()()f x g x m f x g x 等价于：11()()m f x g x ， 令11()()()H x f x g x， 则max ()H x m ． 因为1x ≥，所以()H x 单调递减， 所以max 1()(1)1e H x H ，从而11em ． ····································16分高三数学练习卷附加题参考答案21-A 解：旋转变换矩阵10110M， ·················································· 3分 记21110111011010M M M， ············································· 6分 设x y 是变换后曲线上任一点，与之对应的变换前的点是00x y， 则00x x M y y ，也就是000,x x y y x ，即00,x y y y x ，代入22001x y ，得22()1y y x ，所以所求曲线的方程是22221x xy y ． ······································· 10分 21-B解：直线l y ··························································· 3分设点(cos ,sin )P，d··························· 5分|+)6=2|2≤， ································· 8分 当且仅当+=262k ，即223k 时取“=”，P 到直线l距离的最大值为． ·················································· 10分 21-C 解：由不等式()()()m g x f x x m R ≥可得min 21,21m x x m x ≥≥， ········································· 3分21213,3x x x x m ≥≥，····································· 8分故实数m 的最小值是3． ······························································ 10分 22．解：设O 是AD 中点，PAD 为正三角形，则PO AD ，平面PAD 平面ABCD ，PO ABCD 面，又2AD AE ，60DAB ，所以ADE 为正三角形，OE AD ，建立如图所示空间直角坐标系O xyz，则P E ，((1,0,0)C D ，于是(PC，PE ，DP， ·········································································· 1分（1）设平面PEC 的法向量为1(,,)n x y z，由120,0PC n PE n 得一个法向量为1(0,1,1)n，平面EDC 的一个法向量为2(0,0,1)n， ··········································· 3分设二面角P EC D 的平面角为 ，则12|cos ||cos ,|2n n ，由图知 为锐角，所以，二面角P EC D的余弦值为2． ··············· 5分 （2）设(01)PM PC ≤≤，则(2,)PM，(12)DM DP PM，PE ，所以|cos ,|||||||DM PE DM PE DM PE， ·········· 8分 解得13 或23，所以存在点M 为线段PC 的三等分点． ···················· 10分23．解：（1）当2n 时，{0},{1},{2},{0,2},{0,1,2}M 具有性质P ，对应的k 分别为0,1,2,1,1，故(2)5f ．············································ 3分A D CB PEOxy z（2）设当n t 时，具有性质P 的集合M 的个数为()f t ， 则当1n t 时，(1)()(1)f t f t g t ，其中(1)g t 表示1t M 时也具有性质P 的集合M 的个数， 下面计算(1)g t 关于t 的表达式， 此时应有21k t ≥，即12t k ≥，故对n t 分奇偶讨论， ① 当t 为偶数时，1t 为奇数，故应该有22t k ≥， 则对每一个k ，1t 和21k t 必然属于集合M ，且t 和2k t ，…，k 和k 共有1t k 组数，每一组数中的两个数必然同时属于或不属于集合M ，故对每一个k ，对应的具有性质P 的集合M 的个数为01111112t k t kt k t k t k C C C ， 所以21222(1)2221221tt t g t ，② 当t 为奇数时，1t 为偶数，故应该有12t k ≥，同理111222(1)222121t t t g t ，综上，可得22()221,(1)()21,ttf t t f t f t t 为偶数，为奇数， ······························· 7分 又(2)5f ，由累加法解得212625,()425,tt t t f t t t为偶数，为奇数， 即212625,()425,nn n n f n n n为偶数，为奇数. ·················································· 10分。