辽宁省葫芦岛市2015届高三上学期期末考试 数学(理)试卷及答案

2014---2015学年度上学期高三期末考试

数学试题(理科)

参考答案及评分标准 一.选择题:每小题5分,总计60分

题号 1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A A C

D C D A B B D B C 二.填空题:每小题5分,总计20分. 13. 0

14. 15. 1813

16.41[1-(31)n ] 三.解答题:

17.(本小题满分12分)

解：(1) 由题

， 则

，化简得， …2分 即

，，所以 (4)

分 从而

，故. ……………………………………………6分

(2) 由

，可得. 所以或. ………………………………………7分 当

时，,则,; ………8分

当

时，由正弦定理得.

所以由

，可知. ………………10分

所以. 综上可知

……………12分

18．（本小题满分12分） (1)∵DE ∥AB,ABÌ平面PAB ∴DE ∥平面PAB ……………………2分

又∵DEÌα且α∩平面PAB=FG ∴DE ∥FG ……………………4分

(2) 图建立空间直角坐标系E-xyz ，

则E(0,0,0)，D(1,0,0)，C （2，1，0），B(2,2,0),A(0,2,0),P(0,0,2)，F(0,1,1)

→CD =(-1,-1,0), →ED =(1,0,0) , →EF =(0,1,1)

设平面α的法向量为→n =(x,y,z),

由→n ·→ED =0且→n ·→EF =0得：y+z=0x=0,取y=-1得： =（0,-1, 1）

设直线BC 与平面ABF 所成角为 ，则

sin q ＝|cos 〈→n ，→CD 〉|＝|CD ＝21.

因此直线CD 与平面α所成角的大小为6π.…………………………………………8分

设点H 的坐标为(u ，v ，w )．

因为点H 在棱PC 上，所以可设→PH ＝λ→PC (0<λ<1)．

即(u ，v ，w －2)＝λ(2，1，－2)，所以u ＝2λ，v ＝λ，w ＝2－2λ.

因为→n 是平面ABF 的一个法向量，

所以→n ·→EH ＝0，

即(0，－1，1)·(2λ，λ，2－2λ)＝0，

解得λ＝32，所以点H 的坐标为32.

所以PH ＝24＝2. …………………………………………12分

19．（本小题满分12分）

解： “顾客A 第i 次闯第一关成功”记作事件A i ,(i=1,2), “顾客A 第i 次闯第二关成功”

记作事件B i ,(i=1,2), “顾客A 闯第一关成功”记作事件A, “顾客A 闯第二关成功”

记作事件B,则P(A i )=P(B i )= 43，P(A)=1-P(-A1-A2)=1-41×41=1615, P(B)=1-P(-B1-B2)=1-41×41=

1615…………2分

(1)设事件C=“顾客A 只获得512元代金券”，则

P(C)= P(A 1-B1-B2)+P(-A1A 2-B1-B2)=43×41×41+41×43×41×41=25615

(或由P(A)=(1-41×41)×41×41求得，同样赋分）……………………………………………6分

（2）X 的可能取值为：0，512，1024

P(X=0)=P(-A1-A2)=41×41=161

P(X=512)= P(A)= P(A 1-B1-B2)+P(-A1A 2-B1-B2)=43×41×41+41×43×41×41=25615

P(X=1024)=P(AB)= 1615×1615=256225

∴EX=0×161+512×25615+1024×256225=930(元）……………………………………………10分 ∴顾客A 所获得的代金券金额X 的数学期望为930(元）

（3）由题意，Y ～B(4, 256225) ∴EY=4×256225=64225≈3.2(人）…………………………12分

20.(本小题满分12分)

解：（1）∵点P 在抛物线C 1上，∴（34）2=2p ·31 ∴ p=38 ∴抛物线C 1的方程为：x 2=3

16y

又∵点P 在椭圆C 2上 ∴由椭圆定义可知：2a=21+21=2 ∴a=

又∵c=1 ∴b=1 ∴椭圆C 2的方程为：2x2+y 2=1 (6)

分

(2) (i)由x 2

=316y 得：y=163x 2 ∴y ¢=83x 设M(x 1,y 1)、N(x 2,y 2) 、B(x B ,y B ) 设直线l 1、l 2的斜率分别为k 1、k 2,则k 1=y¢|x=x 1=83x 1, k 2=y¢|x=x 2

=83x 2 ∴直线l 1的方程为：y-y 1=83x 1 (x-x 1) 3x 1x-8y-3x 12+8y 1=0 又∵M 在抛物线上 ∴x 12=316y 1

∴直线l 1的方程为：3x 1x-8y-8y 1=0 同理直线l 2的方程为：3x 2x-8y-8y 2=0

∵直线l 1与直线l 2交于B 点 ∴3x2xB-8yB-8y2=03x1xB-8yB-8y1=0 ∴直线3x B x-8y B -8y=0过M 、N 两点

即直线MN 的方程为：3x B x-8y B -8y=0 ∵直线MN 过点A(21,23) ∴3x B ×21-8y B -8×23 =0

整理得是：3x B -16y B -24=0 即B 点在定直线3x-16y-24=0上。………………………8分

(ii)联立方程组：3x1x-8y-8y1=0+y2=1 消元整理得：

（18x 12+64)x 2-96x 1y 1x+128y 12

-128=0……………………①

△=(-96x 1y 1)2-4×(18x 12+64)(128y 12-128)=16×64(9x 12-32y 12+32)>0

∴9x 12-32y 12+32>0 ……………………………………②

设P(x 3,y 3)、Q(x 4,y 4),则x 3、x 4是方程①的两个解，由韦达定理得：

x 3+x 4=18x12+6496x1y1, x 3x 4=18x12+64128y12-128

∴|PQ|=23x1·18x12+64128y12-128=89x12+64·18x12+649x12-32y12+32

=·9x12+329x12-32y12+32

将x 12=316y 1代入得： |PQ|=·9x12+3248y1-32y12+32=·48y1+323y1-2y12+2=21··3y1+23y1-2y12+2

设E 到直线l 1的距离为d,则d=9x2+64-8y1|=38·9x12+643y1+2

∴S △EPQ =21·|PQ|·d=21·21··3y1+23y1-2y12+2·38·9x12+643y1+2=32

=32825≤32×25=62

∴△EPQ 的最大值为62，此时y 1=43,x 1=-2……………………………………………10分

将y 1=43,x 1=-2代入②，经检验②式成立。∴直线l 1的方程为3x+4y+3=0与3x-16y+24=0联立

解得B 坐标为（54,-1027) ……………………………………………12分

21. (本小题满分12分)

(1)h¢(x)=f¢(x)-h¢(x)=-e 1-x +t-x 1 h¢(1)=-1+t-11=0 ∴t=2

∴h ¢(x)= -e 1-x

+2-x 1 令m(x)= -e 1-x +2-x 1 则=m ¢(x)=e 1-x +21>0 m ∴m(x)在（-∞，2） 上单调递增 即h ¢(x)在（-∞，2） 上单调递增 ∵h ¢(1)=0 ∴当x ∈(-∞,1)时，h ¢(x)h¢(1)=0,h(x)在（1，2）上单调递增；

综上：h(x)的单调减区间为(-∞,1)，h(x)的单调增区间为（1，2）………………………6分

（2）当t ≤3，x ∈(-∞,t)时，ln(t-x)≤ln(3-x)