高考文科数学压轴题
2020-2021学年最新高考总复习数学(文)高考压轴卷及答案解析
2. y '
(sin x)'
cos x ,则 k
cos
1 ,即切线方程为 y
3 1 (x ) ,整理得 x 2 y
3 0.
32
22 3
3
故选 B.
3.
a
b
2( x
2)
6( x
1)
8x
10
0
,则
x
5
,又
a,b
不共线,所以
26
(x
1)(x
2)
0
,则
4
x
5
且
x
2
,所以实数
x
y2 a2
x2 b2
1(a 0,b 0) .渐进线方程 x 3y 0 变形为
y
1 x ，所以 3
a 1 ，即 b 3a ，即 c a2 b2 10a .所以 e c 10a 10 .故选 B.
b3
aa
6. 由三角形的边长全为 2，即底面三角形的高为 3 ，所以左视图的面积为 s 3 2 2 3 .故选 C.
xa xc
32
b x b 0 的解集为（
）
xa xc
A. (1,1)
B. (1, 1) (1 ,1) 23
C. (, 1) (1 ,1) 23
D. (, 1) (1 ,) 23
本卷包括必 考生都必须 二、（本大题
13. 已 知 函
14. 已知一 则循环体的
第Ⅱ卷 考题和选考题两部分.第 13 题～第 21 题为必考题，每个试题 做答.第 22 题～第 24 题为选考题，考生根据要求做答. 共 4 小题，每小题 5 分）
(m 2)(m 2) 3m(m 2) 0 ，得 m 2 或 1 ；④抛物线的标准方程为 x 2 2 1 y ，由准线方
2024年高考数学(新高考压轴卷)(全解全析)
2024年高考压轴卷【新高考卷】数学·全解全析一、单选题1．已知集合105x A x x ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭，(){}22log 16B x y x ==-，则()R A B ⋂=ð（）A ．()1,4-B ．[]1,4-C ．(]1,5-D ．()4,52．宋代是中国瓷器的黄金时代，涌现出了五大名窑：汝窑、官窑、哥窑、钧窑、定窑．其中汝窑被认为是五大名窑之首．如图1，这是汝窑双耳罐，该汝窑双耳罐可近似看成由两个圆台拼接而成，其直观图如图2所示．已知该汝窑双耳罐下底面圆的直径是12厘米，中间圆的直径是20厘米，上底面圆的直径是8厘米，高是14厘米，且上、下两圆台的高之比是3:4，则该汝窑双耳罐的体积是（）A ．1784π3B ．1884π3C ．2304π3D ．2504π33．如图，左车道有2辆汽车，右车道有3辆汽车等待合流，则合流结束时汽车通过顺序共有（）种.A ．10B ．20C ．60D ．120【答案】A【分析】合流结束时5辆车需要5个位置，第一步从5个位置选2个位置安排左边的2辆汽车，第二步剩下3个位置安排右边的3辆汽车，从而由分步乘法计数原理可得结果.【详解】设左车辆汽车依次为12,A A ，右车辆汽车依次为123,,B B B ，则通过顺序的种数等价于将12,A A 安排在5个顺序中的某两个位置（保持12,A A 前后顺序不变），123,,B B B 安排在其余3个位置（保持123,,B B B 前后顺序不变），123,,B B B ，所以，合流结束时汽车通过顺序共有2353C C 10=.故选：A.4．已知等比数列{}n a 的各项均为负数，记其前n 项和为n S ，若6467813,8S S a a a -=-=-，则2a =（）A ．－8B ．－16C ．－32D ．－485．已知圆C ：22()1x y m +-=，直线l ：()1210m x y m ++++=，则直线l 与圆C 有公共点的必要不充分条件是（）A ．11m -≤≤B ．112m -≤≤C ．10m -≤≤D ．102m ≤≤6．已知函数2()log f x x =，则对任意实数,a b ，“0a b +≤”是“()()0f a f b +≤”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件故选：C.7．已知0.50.2a =，cos2b =，lg15c =，则（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．b a c<<8．从椭圆22:1(0)x y C a b a b+=>>外一点()00,P x y 向椭圆引两条切线，切点分别为,A B ，则直线AB 称作点P关于椭圆C 的极线，其方程为00221x x y ya b+=.现有如图所示的两个椭圆12,C C ，离心率分别为12,e e ，2C 内含于1C ，椭圆1C 上的任意一点M 关于2C 的极线为l ，若原点O 到直线l 的距离为1，则2212e e -的最大值为（）A ．12B ．13C ．15D ．14二、多选题9．已知非零复数1z ，2z 在复平面内对应的点分别为1Z ，2Z ，O 为坐标原点，则下列说法正确的是（）A ．若1211z z -=-，则12=z z B ．若1212z z z z +=-，则120OZ OZ ⋅=C ．若1212z z z z +=-，则120z z ⋅=D ．若1212z z z z +=+，则存在实数t ，使得21z tz =10．已知四面体ABCD的一个平面展开图如图所示，其中四边形AEFD是边长为B，C分别为AE，FD的中点，BD=）⊥A．BE CDB．BE与平面DCE所成角的余弦值为15C．四面体ABCD的内切球半径为30D．四面体ABCD的外接球表面积为8π【点睛】11．对于数列{}n a （N n a +∈），定义k b 为1a ，2a ，…，k a 中最大值（1,2,,k n =⋅⋅⋅）（N n +∈），把数列{}n b 称为数列{}n a 的“M 值数列”.如数列2，2，3，7，6的“M 值数列”为2，2，3，7，7，则（）A ．若数列{}n a 是递减数列，则{}n b 为常数列B ．若数列{}n a 是递增数列，则有n na b =C ．满足{}n b 为2，3，3，5，5的所有数列{}n a 的个数为8D ．若()1()2N n n a n -+=-∈，记n S 为{}n b 的前n 项和，则1001002(21)3S =-三、填空题12．已知向量()1,1,4a b == ，且b 在a 上的投影向量的坐标为()2,2--，则a 与b的夹角为.13．已知公比q 大于1的等比数列{}n a 满足135a a +=，22a =.设22log 7n n b a =-，则当5n ≥时，数列{}n b 的前n 项和n S =.14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 且斜率为34-的直线与C 交于,A B两点．若112AF F F ⊥，则C 的离心率为；线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点D ，则22BF DF =．5.【点睛】方法点睛：椭圆求离心率或者范围关键是找到关于,a c 的齐次式求得.四、解答题15．如图，在平面四边形ABCD ，已知1BC =，3cos 5BCD ∠=-.（1）若AC 平分BCD ∠，且2AB =，求AC 的长；（2）若45CBD ∠=︒，求CD 的长.16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC △是边长为2的正三角形，侧面11BB C C 是矩形，11AA A B =．(1)求证：三棱锥1A ABC -是正三棱锥；(2)若三棱柱111ABC A B C -的体积为221AC 与平面11AA B B 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)23【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及性质定理，证明1A O ⊥平面ABC 即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角正弦即可.【详解】（1）分别取AB ，BC 中点D ，E ，连接CD ，AE 交于点O ，则点O 为正三角形ABC 的中心．因为11AA A B CA CB ==，得1CD AB AD AB ⊥⊥，，又11,,A D CD D A D CD =⊂ 平面1A CD ，所以AB ⊥平面1A CD ，又1A O ⊂平面1A CD ，则1AB A O ⊥；取11B C 中点1E ，连接111A E E E ，，则四边形11AA E E 是平行四边形，因为侧面11BB C C 是矩形，所以1BC EE ⊥，又BC AE ⊥，又11,,EE AE E EE AE =⊂ 平面11AA E E ，所以BC ⊥平面11AA E E ，又1A O ⊂平面11AA E E ，则1BC A O ⊥；又AB BC B ⋂=，,AB BC ⊂平面ABC ，所以1A O ⊥平面ABC ，所以三棱锥1A ABC -是正三棱锥．17．某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了500名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位:小时）分配情况等数据，并将样本数据分成[0,2],(2,4]，(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],(14,16]，(16,18]九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在(12,14],(14,16],(16,18]三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记参加公益劳动时间在(14,16]内的学生人数为X ，求X 的分布列和期望；(2)以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生，用“20()P k ”表示这20名学生中恰有k 名学生参加公益劳动时间在(10,12]（单位:小时）内的概率，其中0,1,2,,20k = .当20()P k 最大时，写出k 的值.18．已知双曲线(22:10,0x y C a b a b-=>>）的左右焦点分别为12,F F ，C 的右顶点到直线2:a l x c =的距离为1，双曲线右支上的点到1F 的最短距离为3(1)求双曲线C 的方程；(2)过2F 的直线与C 交于M 、N 两点，连接1MF 交l 于点Q ，证明：直线QN 过x 轴上一定点.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.19．函数()e xf x a x=-图像与x 轴的两交点为()()()1221,0,0A x B x x x >，(1)令()()ln h x f x x x =-+，若()h x 有两个零点，求实数a 的取值范围；(2)证明：121x x <；(3)证明：当5a ≥时，以AB 为直径的圆与直线)1y x =+恒有公共点．（参考数据：0.25 2.5e 1.3e 12.2≈≈，）。
全国卷Ⅲ2020届高三高考压轴卷数学试题(文科)(含解析)
又 a2 = 3 ，所以 an = a2qn−2 = 3 3n−2 = 3n−1
所以 bn = log3 an = log3 3n−1 = n − 1
所以T9 = b1 + b2 +
+ b9
=
9(b1 + b9 )
2
=
9(1−1+ 9 −1)
2
=
36
故选：A
9、【答案】D
【解析】由 f (x) = a ln x + bx2 可得： f (x) = a + 2bx ， x
18.（12 分）
已知数列 an
满足
1 2a1 −
5
+
2 2a2 −
5
+
3 2a3 −
5
+
（1）求数列an 的通项公式；
+ n =n 2an − 5 3
（2）设数列
an
1 an+1
的前
n
项和为
Tn
,求
Tn
.
19 ．(12 分) 将棱长为 2 的正方体 ABCD − A1B1C1D1 截去三棱锥 D1 − ACD 后得到如图所示几何体，
23.已知函数 f (x) = x − 2 ． （1）解不等式： f (x) 4 − f (x +1) （2）若函数 g(x) = x − 3, (x 4) 与函数 y = m − f (x) − 2 f (x − 2) 的图象恒有公共点，求 实数 m 的取值范围．
5 / 16
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
标值进行统计分析，得到表格如表：
质量指标值
等级
频数
福建省2021高考数学压轴卷试题 文
2021福建省高考压轴卷文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．本试卷共6页，总分值150分．考试时刻120分钟． 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案写在答题卡上．请依照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案利用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案利用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．维持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试终止后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：样本数据1x ,2x ,…,n x 的标准差：s =x 为样本平均数； 柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高；锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高； 球的表面积、体积公式：24S R π=，343V R π=，其中R 为球的半径．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．设全集U ={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，集合B={3，5}，那么A C B U =A ．{5}B ．{1，2，3，4，5}C ．{1，3，5}D ．∅2. 已知i 为虚数单位，那么i 1i+＝（ ）A ．1i 2- B ．1i 2+ C .1i 2-- D.1i 2-+3. 已知平面向量(1,2),(2,)m ==-a b , 且//a b , 则=b ( )11正视侧视图1 A.3 B. 5 C. 25 D. 224.已知命题p ：x ∈R ，2340-+≤x x ，那么以下说法正确的选项是（ ）A ．p ⌝：x ∈R ，2340-+>x x ，且p ⌝为假命题 B ． p ⌝：x ∈R ，2340-+>x x ，且p ⌝为真命题 C ．p ⌝：x ∈R ，2340-+>x x ，且p ⌝为假命题 D ．p ⌝：x ∈R ，2340-+>x x ，且p ⌝为真命题5.如图给出的是计算11113511++++的值的一个 程序框图，其中判定框内应填入的条件是（ ）A ．12i <B ．11i >C ．11i <D ．6i ≤6.已知直线l 通过坐标原点，且与圆22430x y x +-+=相切，切点在第四象限，那么直线l 的方程为( )A.3y x =B. 3y x =-C. 3y x =D. 3y x =7.记集合{}22(,)|16A x y x y =+≤和集合{}(,)|40,0,0B x y x y x y =+-≤≥≥表示的平面区域别离为12,ΩΩ，假设在区域1Ω内任取一点(,)M x y ，那么点M 落在区域2Ω的概率为A ．12π B ．112π- C ．14 D ．24ππ-8.假设变量,x y 知足约束条件8,24,0,0,x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩且x y 4z -=的最大值为a ,最小值为b ，则b a +的值是A ．10B ．20C ．4D ．129．现有四个函数：①sin y x x =⋅；②cos y x x =⋅；③|cos |y x x =⋅；④2xy x =⋅的部份图象如下： 那么依照从左到右图象对应的函数序号排列正确的一组是（）A ．①④②③B ．①④③②C ．④①②③D ．③④②① 10. , 那么此多面体的体积是（ ）xyy y x yA ．21cm 3 B ．32cm 3 C ．65cm 3 D ．87cm 311．已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的一条渐近线与函数1ln ln 2y x =++的图象相切，那么双曲线Γ的离心率等于（ ） AB．C．2D12．已知函数)(x f y =的概念域为A ，假设常数C 知足：对任意正实数ε，总存在A x ∈，使得ε<-<C x f )(0成立，那么称C 为函数)(x f y =的“渐近值”．现有以下三个函数：①1)(-=x xx f ；②⎩⎨⎧=为无理数，为有理数，x x x f 01)(；③xxx f sin )(=． 其中以数“1”为渐近值的函数个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分．将答案填在答题卡的相应位置．13．某校有高中学生2000人，其中高三学生800人，高一学生的人数与高二学生人数之比为3:2，为了解高中学生躯体素养，采纳分层抽样，共抽取一个100人的样本，那么样本中高一学生人数为__ ____人.14．已知()()()()1233,33log 6,3,x e x f x f f x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩则的值为__________. 15．已知sin =+)6(απ31，那么2cos(2)3πα-= . 16．设a 是已知的平面向量，向量a ，b ,c 在同一平面内且两两不共线，有如下四个命题: ①给定向量b ,总存在向量c ,使=+a b c ;②给定向量b 和c ,总存在实数λ和μ,使λμ=+a b c ;③给定单位向量b 和正数μ,总存在单位向量c 和实数λ,使λμ=+a b c ;④若→a =2，存在单位向量b 、c 和正实数λ，μ,使λμ=+a b c ，那么633≥+μλAPMNBC(第18题图)其中真命题是____________.三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （本小题总分值12分）某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率散布直方图都受到不同程度的破坏，其可见部份如下，据此解答如下问题：（Ⅰ）计算频率散布直方图中[80,90)间的矩形的高；（Ⅱ）假设要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情形，求在抽取的试卷中，至少有一份试卷的分数在[90,100]之间的概率；(Ⅲ) 依照频率散布直方图估量这次测试的平均成绩． 18．(本小题总分值12分)如图,通过村落A 有两条夹角为60°的公路AB,AC,依照计划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ,别离在两条公路边上建两个仓库M 、N (异于村落A),要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位:千米).如何设计, 能够使得工厂产生的噪声对居民的阻碍最小(即工厂与村落的距离最远)． 19．（本小题总分值12分）已知实数0a >，且3,1,22+a a 按某种顺序排列成等差数列．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）假设等差数列}{n a 的首项和公差都为a ，等比数列}{n b 的首项和公比都为a ，数列}{n a 和}{n b 的前n 项和别离为n n T S ,，且23822->+n nn S T ，求知足条件的自然数n 的最大值． 20. （本小题总分值12分）已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右极点别离为)0,2(),0,2(B A -，离心率23=e ．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）假设点C 为曲线E :422=+y x 上任一点（C 点不同于B A ,），直线AC 与直线2=x 交于点R ，D 为线段RB 的中点，试判定直线CD 与曲线E 的位置关系，并证明你的结论．21. (本小题总分值12分)D ，E 别离是如图，1AA ，1BB 为圆柱1OO 的母线，BC 是底面圆O 的直径，1AA ，1CB 的中点，1DE CBB ⊥面．(Ⅰ)证明：//DE ABC 面； (Ⅱ)证明：AC A B A 111面⊥；(Ⅲ)假设这是个大容器，有条体积能够忽略不计的小鱼能在容器的任意地址游捕的概率.弋，若是鱼游到四棱锥11C ABB A - 内会有被捕的危险，求鱼被22． (此题总分值14分) 已知函数()xax b f x e x+=(,,0a b R a ∈>且). (Ⅰ)若2,1a b ==,求函数()f x 的极值; (Ⅱ)设()(1)()xg x a x e f x =--．① 当1a =时,对任意)(0,x ∈+∞,都有()1g x ≥成立,求b 的最大值; ② 设()()g x g x '为的导函数.假设存在1x >,使()()0g x g x '+=成立,求ba的取值范围. 2021福建省高考压轴卷文科数学参考答案 1．【答案】A解析：u C A ={1,5} 那么A C B U ={ 5} 应选A 2. 【答案】B 解析：(1)11(1)(1)2i i i i i i i -+==++-, 应选B3. 【答案】C解析：//a b 可得m+4=0 解得4m =- 那么2(2)b =-= ，应选C4. 【答案】D解析：否命题，既否定假设，又否定结论。
高考文科数学压轴题
1．已知关于x 的不等式)0(022≠>++a b x ax 的解集是},1|{R x ax x ∈-≠，且a>b,则ba b a -+22的最小值是A ．22B ．2C ．2D ．12．在△ABC 中，∠B=6π，,6||,33||==BC AB 设D 是AB 的中点，O 是△ABC 所在平面内一点，且023=++OC OB OA ，则||DO 的值是A ．21B ．1C ．3D ．2 3．设集合}1)(|),{(},4|),{(2+-==-==b x k y y x B x y y x A ，若对任意10≤≤k 都有φ≠B A ，则实数b 的取值范围是 A ．]221,221[+- B ．]221,3[+-C ．]3,221[-D ．]3,3[-4．设函数)()(x f x f '的导函数为，对任意)()(x f x f R x >'∈都有成立，则 A ．)3(ln 2)2(ln 3f f > B ．)3(ln 2)2(ln 3f f =C ．)3(ln 2)2(ln 3f f <D ．)3(ln 2)2(ln 3f f 与的大小不确定5.若函数32()|1|f x x a x a R =+-∈,则对于不同的实数a ,则函数()f x 的单调区间个数不可能是( )A.1个B. 2个C.3个D.5个6．八个一样的小球按顺序排成一排，涂上红、白两种颜色，5个涂红色，三个涂白色，求恰好有个三个的连续的小球涂红色，则涂法共有 （ ）A 24种B 30种C 20种D 36种7．若不等式)(2222y x a xy x +≤+对于一切正数x 、y 恒成立，则实数a 的最小值为 （ ）A 2 B212+ C 23D215+ 8．若25(21)x +=24100125a a x a x a x +++，则135a a a ++的值为( )(A) 121 (B)122 (C)124 (D)1209．如图，直角梯形ABCD 中，AD ⊥AB, AB//DC , AB=4,AD=DC=2,设点N 是DC 边的中点，点M 是梯形ABCD 内或边界上的一个动点，则AM AN ⋅的最大值是( )（A ）4（B ） 6 （C ） 8 （D ）1010．把已知正整数n 表示为若干个正整数（至少3个，且可以相等）之和的形式，若这几个正整数可以按一定顺序构成等差数列，则称这些数为n 的一个等差分拆．将这些正整数的不同排列视为相同的分拆．如：（1，4，7）与（7，4，1）为12的相同等差分拆．问正整数36的不同等差分拆的个数是（ ）．（A ）20 （B ）18 （C ）19 （D ）2111．双曲线12222=-by a x 的左右焦点为21,F F ，P 是双曲线上一点，满足||||211→→=F F PF ，直线PF 1与圆222a y x =+相切，则双曲线的离心率e 为 （ ） （A ）3 （B ）332 （C ） 35 （D ）4512．集合}5,4,3,2,1,0{=S ,A 是S 的一个子集，当A x ∈时，若有且,1A x ∉-A ∉+1x ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，那么S 中无“孤立元素”的非空子集有（ ）个（A ）16 （B ）17 （C ）18 （D ）19 13．如图，直线l ⊥平面α，垂足为O ，正四面体ABCD 的棱长为4，C 在平面α内，B 是直线l 上的动点，则当O 到AD 的距离为最大时，正四面体在平面α上的射影面积为 （ ） A ．422+ B ．222+ C ．4 D ．43 14．已知函数(),()f x g x ''分别是二次函数()f x 和三次函数()g x 的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示，设函数()()()h x f x g x =-，则（ ）A ．(1)(0)(1)h h h <<-B ．(1)(1)(0)h h h <-<C ．(0)(1)(1)h h h <-<D ．(0)(1)(1)h h h <<-15．数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意n N *∈，总有2,,n n n a S a 成等差数列。
2019-2020年高考压轴卷文科数学含解析
∴ f（ a） +2a=f （b） +3b ＞f （b） +2b ， 即 g（ a）＞ g（ b）， ∵ g（ x） =f （ x） +2x 为递增函数， ∴ a＞ b， 故选： A． 11. 【 KS5U答案】 30.
【 KS5U解析】落在 [80 ,100] 上的频率为 (0.005 0.025) 10 0.3 ，所以落在 [80 ,100] 上的 人数为 0.3 100 30 .
所以 V= Sh= ×6×4=8
故选 B
6. 【 KS5U答案】 A. 【 KS5U解析】解：模拟程序框图执行过程，如下； 开始，
输入 x：2014，
a=x=2014 ，
i=1 ，
b=
=
=﹣
，
b≠x？ 是， i=1+1=2 ，
a=b=﹣
，
b=
=
；
b≠x？ 是，
i=2+1=3 ，
a=b=
，
b=
=2014 ；
3. 【 KS5U答案】 A.
【 KS5U解析】当 / / 时，由 l 平面 得，l
，又直线 m ∥平面 ，所以 l m 。若 l m ，
则推不出 / / ，所以“ / / ”是“ l m ”的充分不必要条件，选 A.
4. 【 KS5U答案】 A
【 KS5U解析】当 / / 时，由 l 平面 得，l
【 KS5U解析】解：∵
是公差为 1 的等差数列，
∴
，
∴
，
∴
∴数列 {lga n} 的前 9 项和为： S9=（ lg2﹣ lg1 ） +（ lg3﹣ lg2 ） +…+（ lg10 ﹣lg9 ） =lg10=1 ． 故答案为： 1． 14. 【 KS5U答案】（﹣ ∞，﹣ 5] . 【 KS5U解析】 解：∵当 x≥0 时， f（ x） =x 2， ∴此时函数 f（ x）单调递增， ∵ f（ x）是定义在 R 上的奇函数， ∴函数 f （ x）在 R 上单调递增， 若对任意 x∈[a， a+2]，不等式 f（ x+a） ≥f（3x+1 ）恒成立，
天津市202X年高考压轴卷数学(文)试题(含解析)
202X 天津市高考压轴卷文科数学一、选择题(每小题5分,共40分)1.若复数iia 213++（a ∈R,i 是虚数单位）是纯虚数，则a 的值为 ( ) A.6B.-6C.23 D. 23- 2.命题“若4πα=，则tan 1α=”的逆否命题是（ ） A ．若4πα≠，则tan 1α≠ B ． 若4πα=，则tan 1α≠C ．若tan 1α≠，则4πα≠ D ． 若tan 1α≠，则4πα=3.将)63cos(2π+=xy 图像按向量)2,4(--=πa 平移，则平移后所得函数的周期及图象的一个对称中心分别为（ ）A.π3 ，⎪⎭⎫⎝⎛-2,4π B. π6 ，⎪⎭⎫ ⎝⎛2,43π C. π6 ，⎪⎭⎫⎝⎛-2,43π D. π3 ，⎪⎭⎫⎝⎛2,4π 4.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ） A ．2865+ B ．3065+ C ．56125+ D ． 60125+5.设不等式组0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D.在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）A ．4π B ． 22π- C ． 6π D ． 44π-6.如右图的流程图，若输出的结果132=s ，则判断框中应填 A ．?10≥i B ．?11≥i C ．?11≤iD ．?12≥i7.直线12+=x y 的参数方程是（ ）A ⎩⎨⎧+==1222t y t x （t 为参数） B ⎩⎨⎧+=-=1412t y t x （t 为参数）C ⎩⎨⎧-=-=121t y t x （t 为参数） D ⎩⎨⎧+==1sin 2sin θθy x （θ为参数） 8.已知双曲线2221(0)x y a a-=>,过点C （0，1）且斜率为1的直线交双曲线的两渐近线于A 、B 两点,若2AC CB =，则双曲线的离心率为A52510310二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.如果不等式组0210x y x kx y ≥⎧⎪≥⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域是一个直角三角形，则k =_______________.10.由正整数组成的一组数据1234,,,x x x x ，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为__________。
高考数学压轴题100题汇总(含答案)
高考数学压轴题100题汇总(含答案)1. 设函数f(x) = x^3 3x + 1，求f(x)的极值点和极值。
答案：f(x)的极值点为x = 1和x = 1，极值分别为f(1) = 1和f(1) = 3。
2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn = n^2 + n，求该数列的通项公式。
答案：an = 2n + 1。
3. 已知三角形ABC中，AB = AC = 5，BC = 8，求三角形ABC的面积。
答案：三角形ABC的面积为12。
4. 设直线y = kx + b与圆x^2 + y^2 = 1相切，求k和b的值。
答案：k = ±√3/3，b = ±√6/3。
5. 已知函数f(x) = log2(x^2 + 1)，求f(x)的导数。
答案：f'(x) = 2x/(x^2 + 1)ln2。
6. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (1, 4)，求向量a和向量b的夹角。
答案：向量a和向量b的夹角为arccos(1/√5)。
7. 已知矩阵A = [1 2; 3 4]，求矩阵A的逆矩阵。
答案：矩阵A的逆矩阵为[4 2; 3 1]。
8. 已知函数f(x) = x^3 6x^2 + 9x + 1，求f(x)的零点。
答案：f(x)的零点为x = 1和x = 3。
9. 已知函数f(x) = sin(x) cos(x)，求f(x)在区间[0, π/2]上的最大值。
答案：f(x)在区间[0, π/2]上的最大值为√2。
10. 已知函数f(x) = x^2 + 4x + 4，求f(x)的顶点坐标。
答案：f(x)的顶点坐标为(2, 0)。
高考数学压轴题100题汇总(含答案)11. 已知函数f(x) = e^x 2x，求f(x)的导数。
答案：f'(x) = e^x 2。
12. 已知函数f(x) = x^2 4x + 4，求f(x)的极值点和极值。
答案：f(x)的极值点为x = 2，极值为f(2) = 0。
高考数学高三模拟考试试卷压轴题高考数学试卷文科
高考数学高三模拟考试试卷压轴题高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合S={x|x＞﹣2}，T={x|﹣4≤x≤1}，则S∩T=（）A．[﹣4，+∞） B．（﹣2，+∞）C．[﹣4，1] D．（﹣2，1]2．（5分）已知i是虚数单位，则（2+i）（3+i）=（）A．5﹣5i B．7﹣5i C．5+5i D．7+5i3．（5分）若α∈R，则“α=0”是“sinα＜cosα”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β5．（5分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．108cm3 B．100cm3 C．92cm3 D．84cm36．（5分）函数f（x）=sinxcosx+cos2x的最小正周期和振幅分别是（）A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，27．（5分）已知a、b、c∈R，函数f（x）=ax2+bx+c．若f（0）=f（4）＞f（1），则（）A．a＞0，4a+b=0 B．a＜0，4a+b=0 C．a＞0，2a+b=0 D．a＜0，2a+b=0 8．（5分）已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A．B．C．D．9．（5分）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．10．（5分）设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b= a∨b=若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（）A．a∧b≥2，c∧d≤2B．a∧b≥2，c∨d≥2C．a∨b≥2，c∧d≤2D．a∨b≥2，c∨d≥2二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．（4分）已知函数f（x）=，若f（a）=3，则实数a=．12．（4分）从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的概率等于．13．（4分）直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长等于．14．（4分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于．15．（4分）设z=kx+y，其中实数x、y满足若z的最大值为12，则实数k=．16．（4分）设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，则ab等于．17．（4分）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于．三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（14分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．19．（14分）在公差为d的等差数列{an}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．（Ⅰ）求d，an；（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|．20．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与平面PAC所成的角的正切值；（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求的值．21．（15分）已知a∈R，函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若|a|＞1，求f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．22．（14分）已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N 两点，求|MN|的最小值．高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合S={x|x＞﹣2}，T={x|﹣4≤x≤1}，则S∩T=（）A．[﹣4，+∞） B．（﹣2，+∞）C．[﹣4，1] D．（﹣2，1]【分析】找出两集合解集的公共部分，即可求出交集．【解答】解：∵集合S={x|x＞﹣2}=（﹣2，+∞），T={x|﹣4≤x≤1}=[﹣4，1]，∴S∩T=（﹣2，1]．故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）已知i是虚数单位，则（2+i）（3+i）=（）A．5﹣5i B．7﹣5i C．5+5i D．7+5i【分析】直接利用多项式的乘法展开，求出复数的最简形式．【解答】解：复数（2+i）（3+i）=6+5i+i2=5+5i．故选：C．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力．3．（5分）若α∈R，则“α=0”是“sinα＜cosα”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】当“α=0”可以得到“sinα＜cosα”，当“sinα＜cosα”时，不一定得到“α=0”，得到“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必要条件．【解答】解：∵“α=0”可以得到“sinα＜cosα”，当“sinα＜cosα”时，不一定得到“α=0”，如α=等，∴“α=0”是“sinα＜cosα”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查了必要条件，充分条件与充要条件的判断，要求掌握好判断的方法．4．（5分）设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β【分析】用直线与平面平行的性质定理判断A的正误；用直线与平面平行的性质定理判断B的正误；用线面垂直的判定定理判断C的正误；通过面面垂直的判定定理进行判断D的正误．【解答】解：A、m∥α，n∥α，则m∥n，m与n可能相交也可能异面，所以A不正确；B、m∥α，m∥β，则α∥β，还有α与β可能相交，所以B不正确；C、m∥n，m⊥α，则n⊥α，满足直线与平面垂直的性质定理，故C正确．D、m∥α，α⊥β，则m⊥β，也可能m∥β，也可能m∩β=A，所以D不正确；故选：C．【点评】本题主要考查线线，线面，面面平行关系及垂直关系的转化，考查空间想象能力能力．5．（5分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．108cm3 B．100cm3 C．92cm3 D．84cm3【分析】由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．据此即可得出体积．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．∴该几何体的体积V=6×6×3﹣=100．故选：B．【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．6．（5分）函数f（x）=sinxcosx+cos2x的最小正周期和振幅分别是（）A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，2【分析】f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的我三角函数值化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域，确定出振幅，找出ω的值，求出函数的最小正周期即可．【解答】解：f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+），∵﹣1≤sin（2x+）≤1，∴振幅为1，∵ω=2，∴T=π．故选：A．【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，二倍角的正弦函数公式，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握公式是解本题的关键．7．（5分）已知a、b、c∈R，函数f（x）=ax2+bx+c．若f（0）=f（4）＞f（1），则（）A．a＞0，4a+b=0 B．a＜0，4a+b=0 C．a＞0，2a+b=0 D．a＜0，2a+b=0 【分析】由f（0）=f（4）可得4a+b=0；由f（0）＞f（1）可得a+b＜0，消掉b变为关于a 的不等式可得a＞0．【解答】解：因为f（0）=f（4），即c=16a+4b+c，所以4a+b=0；又f（0）＞f（1），即c＞a+b+c，所以a+b＜0，即a+（﹣4a）＜0，所以﹣3a＜0，故a＞0．故选：A．【点评】本题考查二次函数的性质及不等式，属基础题．8．（5分）已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）A．B．C．D．【分析】根据导数的图象，利用函数的单调性和导数的关系，得出所选的选项．【解答】解：由导数的图象可得，导函数f′（x）的值在[﹣1，0]上的逐渐增大，故函数f（x）在[﹣1，0]上增长速度逐渐变大，故函数f（x）的图象是下凹型的．导函数f′（x）的值在[0，1]上的逐渐减小，故函数f（x）在[0，1]上增长速度逐渐变小，图象是上凸型的，故选：B．【点评】本题主要考查函数的单调性和导数的关系，属于基础题．9．（5分）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（）A．B．C．D．【分析】不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．【解答】解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：+y2=1上的点，∴2a=4，b=1，c=；∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①又四边形AF1BF2为矩形，∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2c=2，∴双曲线C2的离心率e===．故选：D．【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．10．（5分）设a，b∈R，定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b= a∨b=若正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，则（）A．a∧b≥2，c∧d≤2B．a∧b≥2，c∨d≥2C．a∨b≥2，c∧d≤2D．a∨b≥2，c∨d≥2【分析】依题意，对a，b赋值，对四个选项逐个排除即可．【解答】解：∵a∧b=，a∨b=，正数a、b、c、d满足ab≥4，c+d≤4，∴不妨令a=1，b=4，则a∧b≥2错误，故可排除A，B；再令c=1，d=1，满足条件c+d≤4，但不满足c∨d≥2，故可排除D；故选：C．【点评】本题考查函数的求值，考查正确理解题意与灵活应用的能力，着重考查排除法的应用，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．（4分）已知函数f（x）=，若f（a）=3，则实数a=10．【分析】利用函数的解析式以及f（a）=3求解a即可．【解答】解：因为函数f（x）=，又f（a）=3，所以，解得a=10．故答案为：10．【点评】本题考查函数解析式与函数值的应用，考查计算能力．12．（4分）从三男三女6名学生中任选2名（每名同学被选中的概率均相等），则2名都是女同学的概率等于．【分析】由组合数可知：从6名学生中任选2名共有=15种情况，2名都是女同学的共有=3种情况，由古典概型的概率公式可得答案．【解答】解：从6名学生中任选2名共有=15种情况，满足2名都是女同学的共有=3种情况，故所求的概率为：=．故答案为：．【点评】本题考查古典概型及其概率公式，涉及组合数的应用，属基础题．13．（4分）直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长等于4．【分析】求出圆的圆心与半径，利用圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，求解弦长即可．【解答】解：圆x2+y2﹣6x﹣8y=0的圆心坐标（3，4），半径为5，圆心到直线的距离为：，因为圆心距，半径，半弦长满足勾股定理，所以直线y=2x+3被圆x2+y2﹣6x﹣8y=0所截得的弦长为：2×=4．故答案为：4．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，弦长的求法，考查转化思想与计算能力．14．（4分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于．【分析】由题意可知，该程序的作用是求解S=1++++的值，然后利用裂项求和即可求解．【解答】解：由题意可知，该程序的作用是求解S=1++++的值．而S=1++++=1+1﹣+﹣+﹣+﹣=．故答案为：．【点评】本题考查了程序框图中的循环结构的应用，解题的关键是由框图的结构判断出框图的计算功能．15．（4分）设z=kx+y，其中实数x、y满足若z的最大值为12，则实数k=2．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=kx+y对应的直线进行平移．经讨论可得当当k＜0时，找不出实数k的值使z的最大值为12；当k≥0时，结合图形可得：当l经过点C时，zmax=F（4，4）=4k+4=12，解得k=2，得到本题答案．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（2，0），B（2，3），C（4，4）设z=F（x，y）=kx+y，将直线l：z=kx+y进行平移，可得①当k＜0时，直线l的斜率﹣k＞0，由图形可得当l经过点B（2，3）或C（4，4）时，z可达最大值，此时，zmax=F（2，3）=2k+3或zmax=F（4，4）=4k+4但由于k＜0，使得2k+3＜12且4k+4＜12，不能使z的最大值为12，故此种情况不符合题意；②当k≥0时，直线l的斜率﹣k≤0，由图形可得当l经过点C时，目标函数z达到最大值此时zmax=F（4，4）=4k+4=12，解之得k=2，符合题意综上所述，实数k的值为2故答案为：2【点评】本题给出二元一次不等式组，在目标函数z=kx+y的最大值为12的情况下求参数k 的值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．16．（4分）设a，b∈R，若x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，则ab等于﹣1．【分析】由题意，x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b≤（x2﹣1）2，考察（x2﹣1）2，发现当x=1时，其值为0，再对照不等式左边的0，可由两边夹的方式得到参数a，b满足的方程，再令f（x）=x4﹣x3+ax+b，即f（x）≥0在x≥0恒成立，利用导数研究函数在x≥0的极值，即可得出参数所满足的另一个方程，由此解出参数a，b的值，问题即可得解．【解答】解：验证发现，当x=1时，将1代入不等式有0≤a+b≤0，所以a+b=0，当x=0时，可得0≤b≤1，结合a+b=0可得﹣1≤a≤0，令f（x）=x4﹣x3+ax+b，即f（1）=a+b=0，又f′（x）=4x3﹣3x2+a，f′′（x）=12x2﹣6x，令f′′（x）＞0，可得x＞，则f′（x）=4x3﹣3x2+a在[0，]上减，在[，+∞）上增，又﹣1≤a≤0，所以f′（0）=a＜0，f′（1）=1+a≥0，又x≥0时恒有0≤x4﹣x3+ax+b，结合f（1）=a+b=0知，1必为函数f（x）=x4﹣x3+ax+b的极小值点，也是最小值点．故有f′（1）=1+a=0，由此得a=﹣1，b=1，故ab=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查函数恒成立的最值问题及导数综合运用题，由于所给的不等式较为特殊，可借助赋值法得到相关的方程直接求解，本题解法关键是观察出不等式右边为零时的自变量的值，及极值的确定，将问题灵活转化是解题的关键．17．（4分）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于2．【分析】由题意求得=，||==，从而可得===，再利用二次函数的性质求得的最大值．【解答】解：∵、为单位向量，和的夹角等于30°，∴=1×1×cos30°=．∵非零向量=x+y，∴||===，∴====，故当=﹣时，取得最大值为2，故答案为 2．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算，求向量的模，利用二次函数的性质求函数的最大值，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（14分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，求出sinA的值，由A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（Ⅱ）由余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a，b+c及cosA的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）由2asinB=b，利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB，∵sinB≠0，∴sinA=，又A为锐角，则A=；（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc，∴bc=，又sinA=，则S△ABC=bcsinA=．【点评】此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．19．（14分）在公差为d的等差数列{an}中，已知a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列．（Ⅰ）求d，an；（Ⅱ）若d＜0，求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|．【分析】（Ⅰ）直接由已知条件a1=10，且a1，2a2+2，5a3成等比数列列式求出公差，则通项公式an可求；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的结论，得到等差数列{an}的前11项大于等于0，后面的项小于0，所以分类讨论求d＜0时|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|的和．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，即，整理得d2﹣3d﹣4=0．解得d=﹣1或d=4．当d=﹣1时，an=a1+（n﹣1）d=10﹣（n﹣1）=﹣n+11．当d=4时，an=a1+（n﹣1）d=10+4（n﹣1）=4n+6．所以an=﹣n+11或an=4n+6；（Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn，因为d＜0，由（Ⅰ）得d=﹣1，an=﹣n+11．则当n≤11时，．当n≥12时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=﹣Sn+2S11=．综上所述，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=．【点评】本题考查了等差数列、等比数列的基本概念，考查了等差数列的通项公式，求和公式，考查了分类讨论的数学思想方法和学生的运算能力，是中档题．20．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=，PA=，∠ABC=120°，G为线段PC上的点．（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若G是PC的中点，求DG与平面PAC所成的角的正切值；（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，求的值．【分析】（Ⅰ）由PA⊥面ABCD，可得PA⊥BD；设AC与BD的交点为O，则由条件可得BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BD⊥AC．再利用直线和平面垂直的判定定理证得BD⊥面PAC．（Ⅱ）由三角形的中位线性质以及条件证明∠DGO为DG与平面PAC所成的角，求出GO 和AC的值，可得OC、OD的值，再利用直角三角形中的边角关系求得tan∠DGO的值．（Ⅲ）先证 PC⊥OG，且 PC==．由△COG∽△CAP，可得，解得GC 的值，可得PG=PC﹣GC 的值，从而求得的值．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，∴PA⊥BD．∵AB=BC=2，AD=CD=，设AC与BD的交点为O，则BD是AC的中垂线，故O为AC的中点，且BD⊥AC．而PA∩AC=A，∴BD⊥面PAC．（Ⅱ）若G是PC的中点，O为AC的中点，则GO平行且等于PA，故由PA⊥面ABCD，可得GO⊥面ABCD，∴GO⊥OD，故OD⊥平面PAC，故∠DGO为DG与平面PAC所成的角．由题意可得，GO=PA=．△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=4+4﹣2×2×2×cos120°=12，∴AC=2，OC=．∵直角三角形COD中，OD==2，∴直角三角形GOD中，tan∠DGO==．（Ⅲ）若G满足PC⊥面BGD，∵OG⊂平面BGD，∴PC⊥OG，且 PC==．由△COG∽△CPA，可得，即，解得GC=，∴PG=PC﹣GC=﹣=，∴==．【点评】本题主要考查直线和平面垂直的判定定理的应用，求直线和平面所成的角，空间距离的求法，属于中档题．21．（15分）已知a∈R，函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）若|a|＞1，求f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．【分析】（Ⅰ）求导函数，确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）分类讨论，利用导数确定函数的单调性，从而可得极值，即可得到最值．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f′（x）=6x2﹣12x+6，所以f′（2）=6∵f（2）=4，∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=6x﹣8；（Ⅱ）记g（a）为f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值．f′（x）=6x2﹣6（a+1）x+6a=6（x﹣1）（x﹣a）令f′（x）=0，得到x1=1，x2=a当a＞1时，x 0 （0，1）1 （1，a）a （a，2a）2af′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）0 单调递增极大值3a﹣1单调递减极小值a2（3﹣a）单调递增4a3比较f（0）=0和f（a）=a2（3﹣a）的大小可得g（a）=；当a＜﹣1时，X 0 （0，1） 1 （1，﹣2a）﹣2a f′x）﹣0 +f（x）0 单调递减极小值3a﹣1 单调递增﹣28a3﹣24a2∴g（a）=3a﹣1∴f（x）在闭区间[0，|2a|]上的最小值为g（a）=．【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的最值，考查学生的计算能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．22．（14分）已知抛物线C的顶点为O（0，0），焦点F（0，1）（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过F作直线交抛物线于A、B两点．若直线OA、OB分别交直线l：y=x﹣2于M、N 两点，求|MN|的最小值．【分析】（I）由抛物线的几何性质及题设条件焦点F（0，1）可直接求得p，确定出抛物线的开口方向，写出它的标准方程；（II）由题意，可A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1，将直线方程与（I）中所求得方程联立，再结合弦长公式用所引入的参数表示出|MN|，根据所得的形式作出判断，即可求得最小值．【解答】解：（I）由题意可设抛物线C的方程为x2=2py（p＞0）则=1，解得p=2，故抛物线C的方程为x2=4y（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1，由消去y，整理得x2﹣4kx﹣4=0，所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4，从而有|x1﹣x2|==4，由解得点M的横坐标为xM===，同理可得点N的横坐标为xN=，所以|MN|=|xM﹣xN|=|﹣|=8||=，令4k﹣3=t，t≠0，则k=，当t＞0时，|MN|=2＞2，当t＜0时，|MN|=2=2≥．综上所述，当t=﹣，即k=﹣时，|MN|的最小值是．【点评】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力，本题考查了数形结合的思想及转化的思想，将问题恰当的化归可以大大降低题目的难度，如本题最后求最值时引入变量t，就起到了简化计算的作用．高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
高中数学函数压轴题(精制)
高考数学函数压轴题：1. 已知函数 f (x)1 x 3 ax b(a, b R) 在 x2 处取得的极小值是4 . 33(1) 求 f (x) 的单调递增区间；(2) 若 x[ 4,3] 时，有 f ( x) m 2m10恒成立，求实数m 的取值范围 .32. 某造船公司年最高造船量是20 艘 . 已知造船 x 艘的产值函数 R (x)=3700x + 45x2– 10x 3( 单位：万元 ), 成本函数为 C (x) = 460x + 5000 ( 单位：万元 ). 又在经济学中，函数 f(x) 的边际函数 Mf (x) 定义为 : Mf (x) = f (x+1)– f(x). 求 : （提示：利润 = 产值 – 成本）(1) 利润函数 P(x) 及边际利润函数 MP(x);(2) 年造船量安排多少艘时 , 可使公司造船的年利润最大 ?(3)边际利润函数 MP(x) 的单调递减区间 , 并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？3. 已知函数(x) 5x 25x 1 ( x R) ，函数 yf ( x) 的图象与 (x) 的图象关于点 (0, 1) 中心对称。
2（ 1）求函数 yf ( x) 的解析式；（ 2）如果( )( ) ， ，试求出使( ) 0 成 g 1 xf xg n (x) f [ g n 1 ( x)]( n N ,n 2) g 2 x立的 x 取值范围；（ 3）是否存在区间E ，使 Ex f ( x) 0对于区间内的任意实数x ，只要 nN ，且 n2 时，都有g n (x) 0 恒成立？4．已知函数： f ( x)x 1 a(a R 且 x a)a x（Ⅰ）证明： f(x)+2+f(2a－ x)=0 对定义域内的所有x 都成立 .（Ⅱ）当 f(x) 的定义域为 [a+1,a+1] 时，求证： f(x) 的值域为 [ － 3，－ 2] ；2（Ⅲ）设函数 g(x)=x 2+|(x － a)f(x)| , 求 g(x) 的最小值 .5. 设 f (x) 是定义在 [0,1] 上的函数，若存在 x *(0,1) ，使得 f ( x) 在 [0, x * ] 上单调递增，在 [ x * ,1] 上单调递减，则称 f ( x)为 [0,1] 上的单峰函数， x *为峰点，包含峰点的区间为含峰区间.对任意的 [0,1] 上的单峰函数f ( x) ，下面研究缩短其含峰区间长度的方法 .（ 1）证明：对任意的 x 1 ,x 2 (0,1) ， x 1 x 2 ，若 f ( x 1 ) f ( x 2 ) ，则 (0, x 2 ) 为含峰区间；若 f ( x 1 ) f ( x 2 ) ，则 ( x 1 ,1)为含峰区间；（ 2）对给定的 r ( 0 r 0.5) ，证明：存在x 1 , x 2 (0,1) ，满足 x 2 x 1 2r ，使得由（ 1）所确定的含峰区间的长度不大于 0.5 r ；6. 设关于x的方程2x2ax 20 的两根分别为、，函数 f (x) 4 x ax 21（ 1）证明f ( x)在区间,上是增函数；（ 2）当a为何值时， f (x) 在区间, 上的最大值与最小值之差最小7.甲乙两公司生产同一种新产品，经测算，对于函数 f x x 8 ， g x x 12 ，及任意的x 0，当甲公司投入 x 万元作宣传时，乙公司投入的宣传费若小于 f x 万元，则乙公司有失败的危险，否则无失败的危险；当乙公司投入 x 万元作宣传时，甲公司投入的宣传费若小于g x 万元，则甲公司有失败的危险，否则无失败的危险.设甲公司投入宣传费 x 万元，乙公司投入宣传费y 万元，建立如图直角坐标系，试回答以下问题：(1)请解释 f 0 , g 0 ；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(2)甲、乙两公司在均无失败危险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问此时各应投入多少宣传费？(3)若甲、乙分别在上述策略下，为确保无失败的危险，根据对方所投入的宣传费，按最少投入费用原则，投入自己的宣传费：若甲先投入a112 万元，乙在上述策略下，投入最少费用b1；而甲根据乙的情况，调整宣传费为a2；同样，乙再根据甲的情况，调整宣传费为b2 , , 如此得当甲调整宣传费为a n时，乙调整宣传费为b n；试问是否存在lima n，lim b n的值，若存在写出此极限值（不必证明），若不存在，说明理由.n n8.设 f ( x)是定义域在[1, 1] 上的奇函数，且其图象上任意两点连线的斜率均小于零.（ l ）求证 f (x)在[1,1] 上是减函数；（ ll ）如果 f ( x c) ， f ( x c2 ) 的定义域的交集为空集，求实数 c 的取值范围；（ lll）证明若 1 c 2 ，则 f ( x c) ， f ( x c2 ) 存在公共的定义域，并求这个公共的空义域.9.已知函数 f （ x）＝ ax2＋bx＋ c，其中 a∈ N*，b∈ N， c∈Z。
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第二章测试(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1解析 由条件可知p 2＝7，∴p ＝14，抛物线开口向右，故方程为y 2＝28x . 答案 B2解析 由题可知a ＝5，P 为椭圆上一点，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10.答案 D3解析 把方程化为标准形式－x 2－1m ＋y 2－3m＝1， ∴a 2＝－3m ，b 2＝－1m. ∴c 2＝－3m －1m＝4， 解得m ＝－1.答案 A4解析 |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10，∴|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝25. 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝5时，取得最大值，此时P 点是短轴端点，故选C.答案 C5解析 本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程，属于容易题．依题意知⎩⎪⎨⎪⎧ b a ＝3，c ＝6，c 2＝a 2＋b 2，⇒a 2＝9，b 2＝27，所以双曲线的方程为x 29－y 227＝1. 答案 B6解析 如图所示，直线l 为抛物线y ＝2x 2的准线，F 为其焦点，PN ⊥l ，AN 1⊥l ，由抛物线的定义知，|PF |＝|PN |，∴|AP |＋|PF |＝|AP |＋|PN |≥|AN 1|，当且仅当A ，P ，N 三点共线时取等号，∴P 点的横坐标与A 点的横坐标相同即为1，则可排除A 、C 、D 项，故选B.7解析 由题可知，p 2－(－2)＝4，∴p ＝4. ∴抛物线的方程为x 2＝－8y .将(m ，－2)代入可得m 2＝16，∴m ＝±4.故选A.答案 A8解析 抛物线y 2＝12x 的准线方程为x ＝－3，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝3，c a ＝3，c 2＝a 2＋b 2.解得a 2＝3，b 2＝6，故所求双曲线的方程为x 23－y 26＝1. 答案 C9答案 B10解析 由椭圆的定义可知d 1＋d 2＝2a ，又由d 1,2c ，d 2成等差数列，∴4c ＝d 1＋d 2＝2a ，∴e ＝c a ＝12.答案 A11解析 由y ＝14x 2⇒x 2＝4y ，焦点F (0,1)， 设PF 中点Q (x ，y )、P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝0＋x 0，2y ＝1＋y 0，4y 0＝x 20，∴x 2＝2y －1.答案 C12解析 |PF 2|2|PF 1|＝(|PF 1|＋2a )2|PF 1| ＝|PF 1|＋4a 2|PF 1|＋4a ≥8a ， 当|PF 1|＝4a 2|PF 1|，即|PF 1|＝2a 时取等号． 又|PF 1|≥c －a ，∴2a ≥c －a .∴c ≤3a ，即e ≤3.∴双曲线的离心率的取值范围是(1,3]答案 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13解析 由题意知b 2＝12，解得b ＝1. 答案 114解析 若焦点在x 轴上，则a ＝4，由e ＝32，可得c ＝23， ∴b 2＝a 2－c 2＝16－12＝4，椭圆方程为x 216＋y 24＝1， 若焦点在y 轴上，则b ＝4，由e ＝32，可得c a ＝32，∴c 2＝34a 2. 又a 2－c 2＝b 2，∴14a 2＝16，a 2＝64. ∴椭圆方程为x 216＋y 264＝1. 答案 x 216＋y 264＝1，或x 216＋y 24＝115解析 由题设知⎩⎪⎨⎪⎧ ||PF 1|－|PF 2||＝4，①|PF 1|2＋|PF 2|2＝20，②)②－①2得|PF 1|·|PF 2|＝2.∴△F 1PF 2的面积S ＝12|PF 1|·|PF 2|＝1. 答案 116.解析 如图，设双曲线一个焦点为F ，则△AOF 中，|OA |＝a ，|OF |＝c ，∠FOA ＝60°.∴c ＝2a ，∴e ＝c a＝2. 答案 2 三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)求与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦距，且离心率为55的椭圆的标准方程． 解 把方程4x 2＋9y 2＝36写成x 29＋y 24＝1， 则其焦距2c ＝25，∴c ＝ 5.又e ＝c a ＝55，∴a ＝5. b 2＝a 2－c 2＝52－5＝20，故所求椭圆的方程为x 225＋y 220＝1，或y 225＋x 220＝1. 18．(12分)已知抛物线y 2＝6x ，过点P (4,1)引一条弦P 1P 2使它恰好被点P 平分，求这条弦所在的直线方程及|P 1P 2|.解 设直线上任意一点坐标为(x ，y )，弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．∵P 1，P 2在抛物线上，∴y 21＝6x 1，y 22＝6x 2.两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝6(x 1－x 2)．∵y 1＋y 2＝2，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝6y 1＋y 2＝3. ∴直线的方程为y －1＝3(x －4)，即3x －y －11＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3x －11，得y 2－2y －22＝0， ∴y 1＋y 2＝2，y 1·y 2＝－22.∴|P 1P 2|＝ 1＋1922－4×(－22)＝22303. 19．(12分)已知椭圆方程为x 29＋y 24＝1，在椭圆上是否存在点P (x ，y )到定点A (a,0)(其中0＜a ＜3)的距离的最小值为1，若存在，求出a 的值及P 点的坐标；若不存在，说明理由．解 设存在点P (x ，y )满足题设条件，则|AP |2＝(x －a )2＋y 2.又∵x 29＋y 24＝1，∴y 2＝4(1－x 29)． ∴|AP |2＝(x －a )2＋4(1－x 29) ＝59(x －95a )2＋4－45a 2. ∵|x |≤3，当|95a |≤3，又0<a <3 即0＜a ≤53时，|AP |2的最小值为4－45a 2. 依题意，得4－45a 2＝1，∴a ＝±152∉⎝⎛⎦⎤0，53， 当95a ＞3，即53＜a ＜3. 此时x ＝3，|AP |2取最小值(3－a )2.依题意，得(3－a )2＝1，∴a ＝2.此时P 点的坐标是(3,0)．故当a ＝2时，存在这样的点P 满足条件，P 点坐标为(3,0)．20．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，直线l 为圆O ：x 2＋y 2＝b 2的一条切线，记椭圆C 的离心率为e . (1)若直线l 的倾斜角为π3，且恰好经过椭圆C 的右顶点，求e 的大小； (2)在(1)的条件下，设椭圆C 的上顶点为A ，左焦点为F ，过点A 与AF 垂直的直线交x 轴的正半轴于B 点，且过A ，B ，F 三点的圆恰好与直线l ：x ＋3y ＋3＝0相切，求椭圆C 的方程．解(1)如图，设直线l 与圆O 相切于E 点，椭圆C 的右顶点为D ，则由题意易知，△OED 为直角三角形，且|OE |＝b ，|OD |＝a ，∠ODE ＝π3， ∴|ED |＝|OD |2－|OE |2＝c (c 为椭圆C 的半焦距)．∴椭圆C 的离心率e ＝c a ＝cos π3＝12. (2)由(1)知，c a ＝12， ∴可设a ＝2m (m >0)，则c ＝m ，b ＝3m ，∴椭圆C 的方程为x 24m 2＋y 23m 2＝1. ∴A (0，3m )，∴|AF |＝2m .直线AF 的斜率k AF ＝3，∴∠AFB ＝60°.在Rt △AFB 中，|FB |＝|AF |cos ∠AFB＝4m ， ∴B (3m,0)，设斜边FB 的中点为Q ，则Q (m,0)，∵△AFB 为直角三角形，∴过A ，B ，F 三点的圆的圆心为斜边FB 的中点Q ，且半径为2m ，∵圆Q 与直线l ：x ＋3y ＋3＝0相切， ∴|m ＋3|1＋3＝2m . ∵m 是大于0的常数，∴m ＝1.故所求的椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. 21．(12分)设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，抛物线C 2：x 2＋by ＝b 2.(1)若C 2经过C 1的两个焦点，求C 1的离心率；(2)设A (0，b )，Q (33，54b )，又M ，N 为C 1与C 2不在y 轴上的两个交点，若△AMN 的垂心为B (0，34b )，且△QMN 的重心在C 2上，求椭圆C 1和抛物线C 2的方程． 解 (1)由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上，可得c 2＝b 2，由a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，有c 2a 2＝12⇒e ＝22.(2)由题设可知M 、N 关于y 轴对称，设M (－x 1，y 1)，N (x 1，y 1)(x 1>0)，由△AMN 的垂心为B ，有BM →·AN →＝0⇒－x 21＋(y 1－34b )(y 1－b )＝0. 由点N (x 1，y 1)在抛物线上，x 21＋by 1＝b 2， 解得y 1＝－b 4，或y 1＝b (舍去)， 故x 1＝52b ，M (－52b ，－b 4)，N (52b ，－b 4)， 得△QMN 重心坐标(3，b 4)． 由重心在抛物线上得3＋b 24＝b 2， ∴b ＝2，M (－5，12)，N (5，－12)， 又∵M ，N 在椭圆上，得a 2＝163，椭圆方程为x 2163＋y 24＝1， 抛物线方程为x 2＋2y ＝4.22．(12分)(2010·北京)已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是63，直线y ＝t 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，以线段MN 为直径作圆P ，圆心为P . (1)求椭圆C 的方程；(2)若圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标；(3)设Q (x ，y )是圆P 上的动点，当t 变化时，求y 的最大值．解 (1)∵c a ＝63，且c ＝2， ∴a ＝3，b ＝a 2－c 2＝1.∴椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1. (2)由题意知P (0，t )(－1<t <1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝t ，x 23＋y 2＝1，得x ＝±3(1－t 2)， ∴圆P 的半径为3(1－t 2).∴3(1－t 2)＝|t |，解得t ＝±32. ∴点P 的坐标是(0，±32)． (3)由(2)知，圆P 的方程为x 2＋(y －t )2＝3(1－t 2)．∵点Q (x ，y )在圆P 上，∴y ＝t ±3(1－t 2)－x 2≤t ＋3(1－t 2).设t ＝cos θ，θ∈(0，π)，则t ＋3(1－t 2)＝cos θ＋3sin θ＝2sin(θ＋π6)， 当θ＝π3，即t ＝12，且x ＝0，y 取最大值2.。