第2章 2.5向量

§2.5向量的应用学习目标 1.学习用向量方法解决某些简单的平面几何问题及某些物理学中的问题.2.体会向量是一种处理几何及物理问题的有力工具.3.培养运算能力、分析和解决实际问题的能力．知识点一几何性质与向量的关系设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为θ.用向量解决常见平面几何问题的技巧问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0垂直问题数量积的运算性质a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，其中a＝(x1，y1)，b ＝(x2，y2)，且a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cos θ＝a·b|a||b|(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量长度问题数量积的定义|a|＝a2＝x2＋y2，其中a＝(x，y)，a为非零向量知识点二向量方法解决平面几何问题的步骤1．建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．2．通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题．3．把运算结果“翻译”成几何关系．知识点三物理中的量和向量的关系1．物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是向量．2．物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加法运算与减法运算．1．功是力F与位移s的数量积．(√)2．力的合成与分解体现了向量的加减法运算．(√)3．某轮船需横渡长江，船速为v1，水速为v2，要使轮船最快到达江的另一岸，则需保持船头方向与江岸垂直．(√)4．求力F1和F2的合力可按照向量加法的平行四边形法则．(√)题型一 用平面向量求解平面几何问题例1 如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE .考点 平面几何中的向量方法 题点 向量在平面几何中的应用 证明 方法一 设AD →＝a ，AB →＝b ， 则|a |＝|b |，a·b ＝0.又DE →＝DA →＋AE →＝－a ＋b 2，AF →＝AB →＋BF →＝b ＋a 2，所以AF →·DE →＝⎝⎛⎭⎫b ＋a 2·⎝⎛⎭⎫－a ＋b 2＝－a 22－34a·b ＋b 22＝－12|a |2＋12|b |2＝0. 故AF →⊥DE →，即AF ⊥DE .方法二 如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A (0,0)，D (0,2)，E (1,0)，F (2,1)，则AF →＝(2,1)，DE →＝(1，－2)．因为AF →·DE →＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0. 所以AF →⊥DE →，即AF ⊥DE .反思感悟 用向量证明平面几何问题的两种基本思路： (1)向量的线性运算法的四个步骤：①选取基底．②用基底表示相关向量．③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系．④把几何问题向量化．(2)向量的坐标运算法的四个步骤：①建立适当的平面直角坐标系．②把相关向量坐标化．③用向量的坐标运算找出相应关系．④把几何问题向量化．跟踪训练1 如图，在正方形ABCD 中，P 为对角线AC 上任一点，PE ⊥AB ，PF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，连结DP ，EF ，求证：DP ⊥EF .证明 方法一 设正方形ABCD 的边长为1，AE ＝a (0<a <1)， 则EP ＝AE ＝a ，PF ＝EB ＝1－a ，AP ＝2a ，∴DP →·EF →＝(DA →＋AP →)·(EP →＋PF →)＝DA →·EP →＋DA →·PF →＋AP →·EP →＋AP →·PF →＝1×a ×cos 180°＋1×(1－a )×cos 90°＋2a ×a ×cos 45°＋2a ×(1－a )×cos 45° ＝－a ＋a 2＋a (1－a )＝0. ∴DP →⊥EF →，即DP ⊥EF .方法二 如图，以A 为原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系． 设正方形ABCD 的边长为1，AP ＝λ(0<λ<2)， 则D (0,1)，P ⎝⎛⎭⎫22λ，22λ，E⎝⎛⎭⎫22λ，0，F ⎝⎛⎭⎫1，22λ. ∴DP →＝(22λ，22λ－1)，EF →＝(1－22λ，22λ)．∴DP →·EF →＝22λ－12λ2＋12λ2－22λ＝0，∴DP →⊥EF →，即DP ⊥EF .题型二 向量在物理学中的应用命题角度1向量的线性运算在物理中的应用例2在重300 N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°(如图)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小．→＋OB→＝OC→，解如图，两根绳子的拉力之和OA且|OC→|＝|OG→|＝300 N，∠AOC＝30°，∠BOC＝60°.在△OAC中，∠ACO＝∠BOC＝60°，∠AOC＝30°，则∠OAC＝90°，从而|OA→|＝|OC→|·cos 30°＝1503(N)，|AC→|＝|OC→|·sin 30°＝150(N)，所以|OB→|＝|AC→|＝150(N)．答与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N. 反思感悟利用向量法解决物理问题有两种思路，第一种是几何法，选取适当的基底，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量运算法则，运算律或性质计算．第二种是坐标法，通过建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，转化为代数运算．跟踪训练2河水自西向东流动的速度为10 km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度为10 3 km/h，求小船的实际航行速度．→＝a，OB→＝b，解设a，b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内一点O作OA以OA→，OB→为邻边作矩形OACB，连结OC→，如图，则OC→＝a＋b，并且OC→即为小船的实际航行速度．∴|OC →|＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＝20(km/h)，tan ∠AOC ＝10310＝3，∴∠AOC ＝60°，∴小船的实际航行速度为20 km/h ，按北偏东30°的方向航行． 命题角度2 向量的数量积在物理中的应用例3 已知力F 的大小|F |＝10，在F 的作用下产生的位移s 的大小|s |＝14，F 与s 的夹角为60°，则F 做的功为( ) A ．7 B ．10 C ．14 D ．70 考点 向量在力学中的应用 题点 求做功 答案 D解析 F 做的功为F·s ＝|F ||s |cos 60°＝10×14×12＝70.反思感悟 物理上的功实质上就是力与位移两矢量的数量积．跟踪训练3 质量m ＝2.0 kg 的木块，在平行于斜面向上的拉力F ＝10 N 的作用下，沿倾斜角θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s |＝2.0 m 的距离．(g ＝9.8 N/kg) (1)分别求物体所受各力对物体所做的功；(2)在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？ 考点 向量在力学中的应用 题点 求做功解 (1)木块受三个力的作用，重力G ，拉力F 和支持力F N ，如图所示，拉力F 与位移s 方向相同，所以拉力对木块所做的功为 W F ＝F ·s ＝|F ||s |cos 0°＝20(J)； 支持力F N 与位移方向垂直，不做功， 所以W N ＝F N ·s ＝0； 重力G 对物体所做的功为W G ＝G ·s ＝|G ||s |cos(90°＋θ)＝－19.6(J)．(2)物体所受各力对物体做功的代数和为 W ＝W F ＋W N ＋W G ＝0.4(J)．1．已知一个物体在大小为6 N 的力F 的作用下产生的位移s 的大小为100 m ，且F 与s 的夹角为60°，则力F 所做的功W ＝________ J. 答案 300解析 W ＝F ·s ＝|F ||s |cos 〈F ，s 〉 ＝6×100×cos 60°＝300(J)．2．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：N)的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为__________． 答案 27解析 由已知，得F 1＋F 2＋F 3＝0，则F 3＝－(F 1＋F 2)，即F 23＝F 22＋2F 1·F 2＋F 21＝F 21＋F 22＋2|F 1|·|F 2|·cos 60°＝28，故|F 3|＝27.3．用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N ，则每根绳子的拉力大小为______ N.答案 10解析 设重力为G ，每根绳的拉力分别为F 1，F 2，则由题意得F 1，F 2与－G 都成60°角， 且|F 1|＝|F 2|.∴|F 1|＝|F 2|＝|G |＝10 N ， ∴每根绳子的拉力都为10 N.4.如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________．答案 22解析 由CP →＝3PD →，得DP →＝14DC →＝14AB →，AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝AP →－AB →＝AD →＋14AB→－AB →＝AD →－34AB →.因为AP →·BP →＝2，所以(AD →＋14AB →)·(AD →－34AB →)＝2，即AD →2－12AD →·AB →－316AB→2＝2.又因为AD →2＝25，AB →2＝64，所以AB →·AD →＝22.5．如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________．答案 2解析 连结AO ，∵O 是BC 的中点， ∴AO →＝12(AB →＋AC →)．又∵AB →＝mAM →，AC →＝nAN →， ∴AO →＝m 2AM →＋n 2AN →.又∵M ，O ，N 三点共线， ∴m 2＋n2＝1，则m ＋n ＝2.1．利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量；另一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标． 2．用向量理论讨论物理中相关问题的步骤一般来说分为四步：(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题．(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型．(3)参数的获取，求出数学模型的相关解．(4)问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象．一、选择题1．已知A ，B ，C ，D 四点的坐标分别为(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则此四边形为( ) A ．梯形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形 答案 A解析 ∵AB →＝(3,3)，CD →＝(－2，－2)， ∴AB →＝－32CD →，∴AB →与CD →共线．又|AB →|≠|CD →|，∴该四边形为梯形．2.如图，BC ，DE 是半径为1的圆O 的两条直径，BF →＝2FO →，则FD →·FE →的值是( )A ．－34B ．－89C ．－14D ．－49答案 B解析 FD →＝FO →＋OD →，FE →＝FO →＋OE →，且OD →＝－OE →， 所以FD →·FE →＝(FO →＋OD →)·(FO →＋OE →)＝FO →2－OD →2＝19－1＝－89.3．在四边形ABCD 中，若AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为( ) A. 5 B ．2 5 C ．5 D ．10 答案 C解析 ∵AC →·BD →＝0，∴AC ⊥BD . ∴四边形ABCD 的面积 S ＝12|AC →||BD →|＝12×5×25＝5. 4．如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝4，点E 为AB 的中点，且DE →⊥AC →，则|DE →|等于( )A.52 B ．2 3 C ．3 D ．2 2答案 B解析 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系．设|AD →|＝a (a >0)，则A (0,0)，C (4，a )，D (0，a )，E (2,0)， 所以DE →＝(2，－a )，AC →＝(4，a )． 因为DE →⊥AC →，所以DE →·AC →＝0， 所以2×4＋(－a )·a ＝0，即a 2＝8. 所以a ＝22，所以DE →＝(2，－22)， 所以|DE →|＝22＋(－22)2＝2 3.5．当两人提起重量为G 的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为|F |，若|F |＝|G |，则θ的值为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120° 答案 D解析 作OA →＝F 1，OB →＝F 2，OC →＝－G (图略)， 则OC →＝OA →＋OB →，当|F 1|＝|F 2|＝|G |时，△OAC 为正三角形， 所以∠AOC ＝60°，从而∠AOB ＝120°.6．质点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量ν＝(4，－3)(即点P 的运动方向与ν相同，且每秒移动的距离为|ν|个单位)．设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后点P 的坐标为( ) A ．(－2,4)B ．(－30,25)C ．(10，－5)D ．(5，－10)考点 向量在运动学中的应用 题点 求位移 答案 C解析 设点(－10,10)为点A,5秒后P 点的坐标为A 1(x ，y )，则AA 1→＝(x ＋10，y －10)， 由题意可知，AA 1→＝5ν， 即(x ＋10，y －10)＝(20，－15)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋10＝20，y －10＝－15，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝－5.7．点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的( )A ．三个内角的角平分线的交点B ．三条边的垂直平分线的交点C ．三条中线的交点D ．三条高的交点考点 平面几何中的向量方法 题点 向量在平面几何中的应用 答案 D解析 ∵OA →·OB →＝OB →·OC →，∴(OA →－OC →)·OB →＝0， ∴OB →·CA →＝0，∴OB ⊥AC .同理OA ⊥BC ，OC ⊥AB ，∴O 为三条高的交点．8．若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足3AM →－AB →－AC →＝0，则△ABM 与△ABC 的面积之比为( ) A ．1∶2 B ．1∶3 C ．1∶4D ．2∶5考点 平面几何中的向量方法 题点 向量在平面几何中的应用 答案 B解析 如图，D 为BC 边的中点，则AD →＝12(AB →＋AC →)．因为3AM →－AB →－AC →＝0，所以3AM →＝2AD →，所以AM →＝23AD →，所以S △ABM ＝23S △ABD ＝13S △ABC .二、填空题9．已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，则(AE →＋AF →)·BD →＝________. 答案 －92解析 如图，以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (2,0)，D (0,1)， ∴C (2,1)．∵E ，F 分别为BC ，CD 的中点，∴E ⎝⎛⎭⎫2，12，F (1,1)， ∴AE →＋AF →＝⎝⎛⎭⎫3，32，BD →＝(－2,1)， ∴(AE →＋AF →)·BD →＝3×(－2)＋32×1＝－92.10.如图，已知边长为2的正六边形ABCDEF ，连结BE ，CE ，点G 是线段BE 上靠近B 的四等分点，连结GF ，则GF →·CE →＝________.答案 9解析 根据题意，BE →＝2CD →，GB →＝－12CD →，所以GF →＝GB →＋BA →＋AF →＝－12CD →＋DE →＋CD →＝12CD →＋DE →，又CE →＝CD →＋DE →，且∠CDE ＝120°，所以GF →·CE →＝⎝⎛⎭⎫12CD →＋DE →·(CD →＋DE →)＝12CD →2＋32CD →·DE →＋DE →2＝2＋32×2×2×12＋4＝9.11．在直角坐标系xOy 中，已知点A (0,1)和点B (－3,4)，若点C 在∠AOB 的平分线上且|OC →|＝2，则OC →＝________. 答案 ⎝⎛⎭⎫－105，3105解析 如图，已知A (0,1)，B (－3,4)，设E (0,5)，D (－3,9)， ∴四边形OBDE 为菱形，∴∠AOB 的角平分线是菱形OBDE 的对角线OD . 设C (x 1，y 1)，|OD →|＝310， ∴OC →＝2310OD →.∴(x 1，y 1)＝2310×(－3,9)＝⎝⎛⎭⎫－105，3105，即OC →＝⎝⎛⎭⎫－105，3105.12．在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ＝________. 答案 45解 如图，连结MN 并延长交AB 的延长线于点T .由已知易得AB ＝45AT ，∴45AT →＝AB →＝λAM →＋μAN →，即AT →＝54λAM →＋54μAN →，∵T ，M ，N 三点共线，∴λ＋μ＝45.三、解答题13．在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km /h 的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？解 如图，设AB →表示水流的速度，AD →表示渡船的速度，AC →表示渡船实际垂直过江的速度．因为AB →＋AD →＝AC →，所以四边形ABCD 为平行四边形．在Rt △ACD 中，∠ACD ＝90°，|DC →|＝|AB →|＝12.5，|AD →|＝25， 所以∠CAD ＝30°，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°.14.如图所示，在正三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，BC 上的一个三等分点，且分别靠近点A ，点B ，且AE ，CD 交于点P .求证：BP ⊥DC .证明 设P D →＝λC D →，并设△ABC 的边长为a ，则有P A →＝P D →＋D A →＝λC D →＋13B A →＝λ⎝⎛⎭⎫23B A →－B C →＋13B A →＝13(2λ＋1)B A →－λB C →， E A →＝B A →－13B C →.∵P A →∥E A →，∴13(2λ＋1)B A →－λBC →＝kBA →－13kBC →.于是有⎩⎨⎧13(2λ＋1)＝k ，λ＝13k ，解得λ＝17.∴P D →＝17C D →，∴B P →＝B C →＋C P →＝17B C →＋47B A →，C D →＝23B A →－BC →，从而B P →·C D →＝⎝⎛⎭⎫17B C →＋47B A →·⎝⎛⎭⎫23B A →－B C →＝821a 2－17a 2－1021a 2cos 60°＝0， ∴BP →⊥CD →， ∴BP ⊥DC .15．在平面直角坐标系中，已知三点A (4,0)，B (t,2)，C (6，t )，t ∈R ，O 为坐标原点． (1)若△ABC 是直角三角形，求t 的值；(2)若四边形ABCD 是平行四边形，求|OD →|的最小值． 考点 平面几何中的向量方法 题点 向量在平面几何中的应用解 (1)由题意得，AB →＝(t －4,2)，AC →＝(2，t )，BC →＝(6－t ，t －2)， 若∠A ＝90°，则AB →·AC →＝0，即2(t －4)＋2t ＝0，∴t ＝2； 若∠B ＝90°，则AB →·BC →＝0，即(t －4)(6－t )＋2(t －2)＝0， ∴t ＝6±22；若∠C ＝90°，则AC →·BC →＝0， 即2(6－t )＋t (t －2)＝0，无解，∴t 的值为2或6±2 2.(2)若四边形ABCD 是平行四边形，则AD →＝BC →， 设点D 的坐标为(x ，y )， 即(x －4，y )＝(6－t ，t －2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10－t ，y ＝t －2，即D (10－t ，t －2)， ∴|OD →|＝(10－t )2＋(t －2)2＝2t 2－24t ＋104，∴当t ＝6时，|OD →|取得最小值4 2.。