第二章平面向量复习(教、学案)
高一数学必修四第二章平面向量复习学案.
第二章平面向量复习学案一.知识回顾 （一）向量的基本概念：1.向量的定义: 既有_____又有_____的量叫做向量.向量的______也即向量的长度,叫做向 量的_____.2.零向量: 模为_____的向量叫做零向量,记作_______.零向量方向任意。
3.单位向量: 模等于______________的向量叫做单位向量. 与AB u u u r共线的单位向量是____. （二）向量之间的关系：共线向量(平行向量):方向______________的非零向量叫做共线向量.规定:_______与任意向量共线.其中模相等方向相同的向量叫做____________;模相等且方 向相反的向量叫做___________;（四）两个定理：1.向量共线定理:向量与非零向量共线⇔有且只有一个实数λ,使得____________. 推论：平面上三点A,B,C 共线⇔对于平面内任意一点O ,存在实数λ,μ, 使μλ+=其中λ+μ=____.2.平面向量基本定理: 如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数21,λλ,使a =_______________. （五）向量的坐标表示及运算1. 平面向量的正交分解及其坐标表示: ),(y x j y i x a =+=ρρρ.2. 平面向量的坐标运算: 若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),λ∈R,则+=_____________; -=______________ ;λ=__________. 3. 向量平行的坐标表示: b a // ⇔_____________________ .4. 向量模的公式: 设=(x,y),=____________________5. 若已知点A(x 1,y 1), B(x 2,y 2) , 则向量AB =____________;若M(x O ,y O )是线段AB 的中点，则有中点坐标公式⎩⎨⎧==____________________00y x（六）平面向量的数量积1.平面向量数量积的定义:两个非零向量,,其夹角为θ,a b ⋅r r=________叫做和的数量积.其中_____________叫做向量在方向上的投影. 2.数量积的坐标运算:设=(x 1,y 1),=(x 2,y 2),a b ⋅r r=________________; 3.两个向量垂直的等价条件:设两个非零向量b a ,,则有向量式: a ⊥b ⇔__________； 坐标式：a ⊥b ⇔ ___________ 4.几个重要性质:①22a a a a =⋅=r r r r ；②若与同向，则a b ⋅r r =_____;若与反向，则a b ⋅r r =______;③两个非零向量,,其夹角为θ,则θcos =___________.④ a b a b ⋅≤⋅r r r r（七）向量中一些常用的结论：在ABC ∆中，①若()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则其重心的坐标为__________②0PA PB PC P ++=⇔u u u r u u u r u u u r r为ABC ∆的_____心；③PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r为ABC ∆的______心；④||||||==(或222==)⇔O 是ABC ∆的_____心；⑤向量()(0)||||AC AB AB AC λλ+≠u u u r u u u ruu u r u u u r 所在直线过ABC ∆的______心.二.典例剖析题型一：平面向量及其线性运算例 1.如图所示，OADB 是以向量b OB a OA ρρ==,为邻边的平行四边形，又31,31==，试用b a ρρ, 表示.,,MN ON OM题型二：平面向量的坐标运算()()().,//211,3.2是坐标原点的坐标的试求满足，，，已知例O =+⊥-==题型三：平面向量的数量积的应用 （一）与长度，距离有关的问题例3.已知向量r r a 与b 的夹角为60o，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-r r r r r ,求向量a r 的模.（二）与垂直有关的问题例4.已知,1||,2||==b a ϖϖa ϖ与b ϖ的夹角为3π,若向量b k a ϖϖ+2与b a ϖϖ+垂直, 求k .（三）与夹角有关的问题例5.三角形ABC 中，A(5，－1)、B(－1，7)、C(1，2)， 求：(1)BC 边上的中线AM 的长；(2)cos ∠ABC 的值.（四）与最值有关的问题B D例6.已知()()ββααsin cos sin cos ，，，==b a ρρ且()03>-=+k b k a b a k ρρρρ. （1）用k 表示数量积b a ρρ•；（2）求b a ρρ•的最小值，并求出此时a ρ与b ρ的夹角θ的大小.当堂检测:1．下列命题正确的是 （ ）A ．单位向量都相等B ．若，，c b b a ρρρρ////则c a ρρ//.C ．||||b a b a ρρρρ-=+，则0a b ⋅=r rD ．若0a 与0b 是单位向量，则001a b ⋅=rr2．若三点(2,3),(3,),(4,)A B a C b 共线，则有（ ）A ．3,5a b ==-B ．10a b -+=C ．23a b -=D ．20a b -= 3.O 是平面上的一定点，C B A ,,是平面上不共线的三个点，动点P 满足 +=OA OP+λ，[)+∞∈,0λ, 则P 点的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心4．已知向量()()()，，，，，，143221=-==c b a ρρρ若用a ρ和b ρ表示c ρ，则=→c _____________.5．若)3,2(=a ρ，)7,4(-=b ρ，则a ρ在b ρ上的投影为________________.6．已知)2,1(=→a ，),1(m b =→，如果→a 与→b 的夹角为锐角，则m 的取值范围是_________7．已知)1,2(=a ρ与)2,1(=b ρ，要使b t a ρρ+最小，则实数t 的值为___________.8.已知(1,2)a =r,)2,3(-=,当k 为何值时，（1）ka b +r r 与3a b -r r垂直？（2）ka +rb 与3a -r 平行？平行时它们是同向还是反向？。
高中数学 第二章《平面向量》复习教案 北师大版必修4
第二章平面向量复习课（2课时）[第一部分：知识归纳]1.知识结构中的应用中的应用何中的应用何中的应用平面向量2.重要公式、定理①.平面向量基本定理：如果1e，2e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e+λ22e.②. 向量共线的两种判定方法：a∥b(0≠b)01221=-=⇔yxyxbaλ③. a = (x, y) |a|2 = x2 + y2 |a| =22yx+④.若A = (x1, y1)，B = (x2, y2)，则−→−AB=221221)()(yyxx-+-⑤.cos =||||baba∙∙222221212121yxyxyyxx+++=⑥.a b a•b = 0 即x1x2 + y1y2 = 0（注意与向量共线的坐标表示）3.学习本章应注意的问题及高考展望①.在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系，注意用向量的语言和方法来表述和解决物理问题。
②.向量是数形结合的载体，在本章的学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题.同时向量的坐标表示为我们用代数方法研究几何问题提供了可能，丰富了我们研究问题的范围和手段。
③.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质，这类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题。
④.以解答题出现的题目，一般结合其它数学知识，综合性较强，难度大，以解决几何问题为主.在学习本章时应立足于课本，掌握双基，精读课本是关键. [第二部分：基础测试]（供选用） 教材P125—126第1、2、3题[第三部分：应用举例]（供选用）例1.如图△ABC 中，−→−AB = c ，−→−BC = a ，−→−CA = b ，则下列推导不正确的是……………（ ）A ．若a •b < 0，则△ABC 为钝角三角形。
平面向量复习课(学案)
《平面向量》复习课（学案）【复习要求】1、理解和掌握平面向量有关的概念；2、熟练掌握平面向量的几何运算和坐标运算；3、熟悉平面向量的平行、垂直关系和夹角公式的应用；4、明确平面向量作为工具在复数、解析几何、实际问题等方面的应用；【知识提要】1、平面向量有关的概念：（1）向量；（2）向量模；（3）相等的向量；（4）负向量；（5）零向量；（6）单位向量；（7）平行向量；（8）垂直向量；（9）向量的夹角；（10）位置向量；（11）向量的坐标。
2、向量的运算：（1）加减法；（2）实数与向量的乘积；（3）向量的数量积。
3、几个重要的结论：设11a (x ,y )= ，22b (x ,y )= 。
（1）a b = ⇔1212x x y y =⎧⎨=⎩；（2）a b ⊥ ⇔a b 0⋅= ⇔1212x x y y 0+=；（3）∥b ⇔存在0λ≠，使得a b =λ ⇔1221x y x y 0-=；（4）12P P 定比分点P 的坐标由12P P PP =λ 确定；（5）三角形中线向量公式：1m (a b)2=+ ；（6）模的性质：|a ||b ||a b ||a ||b |-≤±≤+ 。
【超级链接】相关知识：（1）方向向量；（2）法向量；（3）复数的向量表示；（4）两直线的夹角；（5）相关的三角比公式；（6）正弦定理、余弦定理。
【热身训练】1．下列命题中：①若a b ⊥ ，则|a b||a b|+=- ；②若∥b ，则a b |a||b|⋅=⋅ ；③若与b 反向，则|a b ||a ||b |-=+ ；④若与b 不平行，且存在实数p 、q ，使得pa qb 0+=，则p q 0==。
其中真命题的个数为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）42． 设P 是△ABC 所在平面上一点，若PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅ ，则P 是△ABC 的（ ） （A ） 内心 （B ） 外心 （C ） 重心 （D ） 垂心3．已知OA (1,2)=- ，OB (3,m)= ，且OA AB ⊥ ，则m ＝ 。
高中数学第二章平面向量章末复习课学案新人教A版必修4
第二章平面向量章末复习课[ 整合·网络建立][ 警告·易错提示]1．相关向量的注意点(1)零向量的方向是随意的．(2)平行向量无传达性，即 a∥ b， b∥ c 时， a 与 c 不必定是平行向量．(3)注意数目积是一个实数，不再是一个向量．2．向量的运算律中的注意点(1)向量运算和实数运算有近似的地方也有差别：关于一个向量等式，能够移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不可以两边同除以一个向量，即两边不可以约去一个向量，牢记两向量不可以相除(相约)．(2) 向量的“乘法”不知足联合律，即( a·b) c≠a( b·c).专题一相关向量共线问题相关向量平行或共线的问题，常用共线向量定理：a∥ b? a＝λ b( b≠0) ? x1y2－ x2y1＝0.[ 例 1]已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，若k a＋2b与2a－4b平行，务实数k 的值．解：法一：向量 k a＋2b 与2a－4b 平行，则存在独一实数λ，使k a＋2b＝λ (2a－4b)．因为 k a＋2b＝4(1，2)＋2(－3，2)＝( k －6， 2 ＋4)．k2a－ 4b＝ 2(1 ， 2) － 4( － 3， 2) ＝ (14 ，－ 4) ，因此 ( k－ 6， 2k＋ 4) ＝λ(14 ，－ 4) ．1因此 k－6＝14λ，解得λ ＝－2，2k＋ 4＝－ 4λ，k＝－1.即实数 k 的值为－1.法二：因为k a＋2b＝ k(1，2)＋2(－3，2)＝( k－ 6， 2k＋ 4) ，2a－ 4b＝ 2(1 ， 2) － 4( － 3， 2) ＝ (14 ，－ 4) ，ka＋2b 与2a－4b 平行，因此 ( k－ 6)( － 4) － (2 k＋4) ×14＝ 0.解得 k＝－1.概括升华1．向量与非零向量 a 共线?存在独一实数λ 使b＝λa.2. 在解相关向量共线问题时，应注意运用向量共线的坐标表达式，a＝( x1，y1)与 b＝( x2，y2) 共线 ? x1y2－x2y1＝ 0.[ 变式训练 ]平面内给定三个向量a＝(3，2)， b＝(－1，2)，c＝(4，1)．(1)求知足 a＝ m b＋ n c 的实数 m、n；(2)若 ( a＋k c ) ∥ (2 b－a) ，务实数k.解： (1) 因为a＝mb＋nc，因此 (3 ， 2) ＝ ( －m＋ 4n，2m＋n) ．m＝5－ m＋4n＝3，，9因此解得82＋＝2，m nn＝9.(2) 因为 ( a＋k c) ∥ (2 b－a) ，a＋k c＝ (3 ＋4k， 2＋k) ， 2b－a＝ ( － 5，2) ．16因此 2(3 ＋ 4k ) ＋ 5(2 ＋ k ) ＝ 0，即 k ＝－ 13.专题二 相关向量的夹角、垂直问题非零向量 a ＝ ( x 1，y 1) ， b ＝ ( x 2， y 2) 的夹角为 θ，则a ⊥b ? a ·b ＝ 0? x 1x 2＋ y 1y 2＝ 0，a ·bx x y y 2cos θ＝＝1 2＋ 12.2＋ 2·2| a || b |x 1 y 1 x 2＋ y 1[ 例 2] 已知向量 ， 知足 | a | ＝ 3，| | ＝2，|a ＋ | ＝ 13，求向量 ＋ 与 －b 的a bb ba b a夹角 θ 的余弦值．解： 由已知 | a | ＝ 3， | b | ＝ 2， | a ＋ b | ＝ 13，因此 ( a ＋ b ) 2＝ 13. 因此 a 2＋2a ·b ＋ b 2＝13，则 ( 3) 2＋ 2a ·b ＋ 22＝ 13，得 2a ·b ＝ 6. ( a － b ) 2＝a 2－ 2a ·b ＋ b 2＝ ( 3) 2－ 6＋ 22＝ 1，因此 | a － b | ＝ 1.（ a ＋ b ）·（ a － b ）因此 cos θ ＝＝| a ＋ b || a － b |a 2－b 2 （ 3）2－2213 13× 1 ＝13＝－13.概括升华1．本例的本质是已知平行四边形的一组邻边和对角线的长，求两对角线组成的向量的夹角，经过模的平方，交流了向量的模与向量内积之间联系；2．两个向量的夹角与两条直线的夹角取值范围是不一样的.2 2[ 变式训练 ](1) 若非零向量 a ， b 知足 | a | ＝ 3 | b | ，且 ( a －b ) ⊥(3 a ＋ 2b ) ，则 a 与 b的夹角为 ()ππ3πA. 4B. 2C. 4 D ．π(2)(2016 ·全国Ⅰ卷 ) 设向量 a ＝ ( ， ＋1)， ＝ (1 ，2) ，且 ⊥ ，则 ＝ ________．x x b a b x(1) 分析： 由 ( a － b ) ⊥(3 a ＋2b ) 得 ( a － b ) ·(3 a ＋2b ) ＝ 0，即 3a 2－ a ·b － 2b 2＝0. 又因2 2为| a | ＝ 3 | b | ，设〈 a ， b 〉＝ θ，即 3| a |2 － | a | · | b | · cos θ－ 2| b |2 ＝0，8 2 2因此 | b |2 －| b |2 · cos θ－ 2| b |2 ＝ 0.332π因此 cos θ ＝ 2 . 又因为 0≤ θ ≤π，因此 θ＝ 4 .2(2) 因为 a ⊥ b ，因此 a · b ＝ 0，即 x ＋ 2( x ＋ 1) ＝ 0，因此 x ＝－ 3.2答案： A(2) －3专题三 相关向量的模的问题利用数目积求解长度问题是数目积的重要应用，要掌握此类问题的办理方法：(1)| a | 2＝a 2＝ a ·a ；(2)| a ± b | 2＝ a 2± 2a ·b ＋ b 2；(3) 若 a ＝ ( x ， y ) ，则 | a | ＝x 2＋ y 2；(4) 应用三角形或平行四边形法例．→→→→→[例 3] 设点 M 是线段 BC 的中点，点2A 在直线 BC 外， BC ＝ 16，| AB ＋ AC | ＝| AB －AC | ，→则| AM |＝()A ．8B ．4C ．2D ．1(2) 设向量 a ＝ (0 ，－ 1) ，向量 b ＝(cosx ，sinx )，则| ＋ | 的取值范围为 ________．a b→→2分析： 法一：因为 BC ＝ 16，因此 | BC | ＝ 4.→ → →又| AB － AC |＝ | CB |＝4，→ → → →因此 | AB ＋ AC | ＝ 4，因为 M 为 BC 的中点，因此 BM ＝－ CM .→ → → → →→1→→因此 AM ＝ AB ＋ BM ＝AC ＋ CM ，因此 AM ＝ 2( AB ＋ AC ) ，→1→→ 1因此 | AM | ＝ 2| AB ＋AC | ＝ 2× 4＝ 2.→ →→ →法二：如下图，四边形ABDC 是平行四边形，又 | AB ＋ AC | ＝ | AB － AC | ，→→因此 | AD | ＝ | CB | ，因此四边形 ABDC 是矩形，→1 →因此 | AM | ＝ 2 |BC |，→2又 BC ＝ 16，→因此 | BC | ＝4，→因此 | AM |＝2.4因此 a ＋ b ＝ (cos x ， sin x － 1) ．因此 | ＋ | ＝ cos2 x ＋（ sinx － 1） 2＝ 2－ 2sin x ＝a b2（ 1－ sin x ）因为－ 1≤ sinx ≤ 1，因此 0≤| ＋ | ≤2.a b答案： (1)C (2)[0 ， 2]概括升华解答该类题目有以下几个重点点：1．依据题意找寻或画出三角形或平行四边形，察看图形以便直观地得出一些结论．2．利用三角形法例、平行四边形法例求相关的向量，并注意一些公式性质的运用，例如模与向量的平方的关系，相反向量的和为0 等．3．数形联合法的运用可使解题简捷．→→[ 变式训练 ]已知向量 a 和 b 的模都是2，其夹角为60°，又知 OP ＝ a ＋ 2b ， OQ＝－ 2a→＋ b ，则 | PQ | ＝ ________．→ → →分析： PQ ＝ OQ － OP ＝－ 3a －b ，→→ →| PQ | 2＝ PQ · PQ ＝ ( －3a － b ) 2＝ 9a 2＋ 6a ·b ＋ b 2.因为 | a | ＝ | b | ＝2， a ·b ＝ | a || b |cos 60 °＝ 2，→2＝ 9a 2＋ 6a ·b ＋ b 2＝9×4＋6×2＋ 4＝ 52. 因此 | PQ | →因此| |＝2 13.PQ答案： 213专题四 数形联合思想平面向量的线性运算和数目积运算的定义及运算法例、运算律的推导中都浸透了数形结合的思想． 引入向量的坐标表示，使向量运算完整代数化，将数和形密切联合起来．运用数形联合的思想解决了三点共线，两条线段平行、垂直、夹角、距离、面积等问题．[ 例 4]已知向量 a 与 b 不共线，且 | a | ＝ | b | ≠0，则以下结论正确的选项是 ( )A ．向量 a ＋ b 与 a － b 垂直B ．向量 a － b 与 a 垂直C ．向量 a ＋ b 与 a 垂直D ．向量 a ＋ b 与 a － b 共线→ →分析： 如下图，作 OA ＝ a ， OC ＝ b ，以 OA 和 OC 为邻边作 ?OABC .因为 | a | ＝ | b | ≠0，→→又因为 a＋ b＝OB， a－ b＝CA，因此( a＋ b)⊥(a－ b)．答案： A概括升华经过此题能够得出：模相等且不共线的两向量的和与两向量的差垂直．以上能够作为结论记着．→→[ 变式训练 ]已知△ ABC是边长为2 的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA·( PB＋→PC)的最小值是()3 4A．－2 B ．－2 C ．－3 D ．－1分析：成立如下图的平面直角坐标系，则 A(0，3)，B(－1，0)， C(1，0)．→→设 P( x， y)，则 PA＝(－ x，3－y) ，PB＝ ( －1－x，－y) ，→PC＝(1－x，－ y)，→→→PA·( PB＋ PC)＝( －x， 3 －y) ·( － 2x，－ 2y)＝2x2＋ 2y2－ 2 3y＝2 （x－0）2＋y－3 2－3，223 →→ →3因此当 x＝0， y＝2 时， [ PA· ( PB＋PC)] min＝－2. 答案： B。
高中数学 第二章《平面向量》单元复习学案 新人教A版必修4
第二章《平面向量》单元复习一、 知识点梳理本章，我们主要学习了向量的概念、表示及运算，平面向量的基本定理，向量共线、垂直的条件，向量在几何和物理问题中的简单应用.二、 学法指导1.学习本章应注意类比，如向量的运算法则及运算律可与实数相应的运算法则及运算律进行横向类比.而一维情形下向量的共线条件，到二维的情形下平面向量基本定理，进而今后推广到三维情形下的空间向量基本定理，又可进行纵向类比.2.在学习向量时或在学习向量后，要有意识地将向量与三角恒等变形，与几何、代数之间的相应内容进行有机的联系，并通过比较和感受向量在处理三角、几何、代数等不同数学分支问题中的独到之处和桥梁作用，认识数学的整体性.3.向量是数形结合的载体，在本章学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，数形结合地解决数学和物理的有关问题.同时，向量的坐标表示为我们用代数方法研究几何问题提供了可能，丰富了我们研究问题的范围和手段.因此，数形结合是本章最重要的数学思想方法. 三、 单元自测一、填空题(每小题5分，共70分)：1．已知平面向量(21,3),(,2)a m b m =+=，且a ∥b ，则实数m 的值等于 ． 2．已知：D 为△ABC 的边BC 上的中点，E 是AD 上的一点，且AE =3ED ，若AD a =，则EA +EB +EC =_____________．(用a 表示)3．若向量a b ，的夹角为60，1a b ==，则()a ab -= ．4．若平面内不共线的四点,,,O A B C 满足1233OB OA OC =+，则||||AB BC =_______． OAPQBab5．已知 |a |=7，|b |=4，|a +b |=9，则|a -b |=____________．6．设a =(-2，3)，则求与a 垂直的单位向量的坐标为______________________．7．己知P 1(2,－1) 、P 2(0,5) 且点P 在P 1P 2的延长线上,||2||21PP P P =， 则P 点坐标_____． 8．已知b a a b a λ+==与且),1,1(),2,1(的夹角为锐角，则实数λ的取值范围 ．9．已知ABC V 和点M 满足0MA MB MC ++=uuu r uuu r uuu r r .若存在实数m 使得AB AC mAM +=uu u r uu u r uuu r 成立，则m = ．10. 在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若2AM =，则()OA OB OC ⋅+的最小值是 ．11．在ABC ∆中，有命题：①BC AC AB =-； ②0AB BC CA ++=；③若0)()(=-⋅+AC AB AC AB ，则ABC ∆为等腰三角形； ④若0>⋅AB AC ，则ABC ∆为锐角三角形．其中正确的命题序号是 ．(把你认为正确的命题序号都填上)12．已知非零向量AB →和AC →满足0AB AC BC AB AC ⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎝⎭，且12AB AC AB AC⋅=，则△ABC 形状为 .13．如图所示，在△ABC 中，0120,2,1,BAC AB AC D ∠===是边BC 上一点(包括端点)，则AD BC ⋅的取值范围是_ _______．14．已知,a b 是平面内两个单位向量，且夹角为60，若向量a c -与b c -的夹角为120，则c 的最大值是_________. 二、解答题(共90分)：15.(本小题14分)已知(1,0),(2,1).a b == (1)求|3|a b +；(2)当k 为何实数时, k a －b 与a +3b 平行, 平行时它们是同向还是反向？ 16．(本小题14分)已知向量a =(6，2)，b =(-3，k )，k 为何值时 (1)a //b ；BACODE(2)a ⊥b ；(3)a ，b 的夹角为钝角？17．(本小题14分)已知A 、B 、C 的坐标分别是A (3，0)，B (0，3)，C (cos α，sin α). (1)若AC BC =，求角α的值；(2)若1,AC BC ⋅=- 求22sin 2sin cos 1tan αααα++的值． 18．(本小题16分)如图，已知△OAB 中，点C 是点B 关于A 的对称点，点D 是线段OB 的一个靠近B 的 三等分点，DC 和OA 交于E ，设AB ＝a ，AO ＝b(1)用向量a 与b 表示向量OC 、CD ； (2)若,OE OA λ= 求实数λ的值．19．(本小题16分)已知(3,1)a =-，13(,)22b =，且存在实数k 和t ，使得2(3)x a t b =+-，y ka tb =-+，且x y ⊥，试求2k t t+的最小值． 20．(本小题16分)已知等边三角形ABC 的边长为2，⊙A 的半径为1，PQ 为⊙A 的任意一条直径．（1）判断BP CQ AP CB ⋅-⋅的值是否会随点P 的变化而变化，请说明理由； （2）求BP CQ ⋅的最大值．AB CP Q。
平面向量复习课教案
平面向量复习课教案第一章：向量的概念与运算1.1 向量的定义与表示介绍向量的概念，解释向量的定义展示向量的表示方法，包括箭头表示和坐标表示强调向量的方向和模长的意义1.2 向量的运算复习向量的加法、减法和数乘运算解释向量加法和减法的几何意义探讨数乘向量的性质和运算规则第二章：向量的数量积2.1 数量积的定义与性质引入数量积的概念，解释数量积的定义展示数量积的计算公式和性质强调数量积的交换律、分配律和消去律2.2 数量积的应用探讨数量积在向量投影中的应用解释夹角和向量垂直的概念展示数量积在向量长度和方向判断中的应用第三章：向量的坐标运算3.1 坐标系的建立介绍坐标系的定义和建立方法解释直角坐标系和笛卡尔坐标系的区别和联系强调坐标系中点的表示方法3.2 向量的坐标运算复习向量在坐标系中的表示方法介绍向量的坐标运算规则，包括加法、减法和数乘强调坐标运算与几何意义的联系第四章：向量的线性相关与基底4.1 向量的线性相关性引入线性相关的概念，解释线性相关的定义探讨线性相关性的性质和判定方法强调线性相关性与向量组的关系4.2 向量的基底介绍基底的概念，解释基底的定义和作用探讨基底的选择方法和基底的性质强调基底与向量表示和线性相关的联系第五章：向量的线性空间5.1 线性空间的概念引入线性空间的概念，解释线性空间的定义探讨线性空间的性质和运算规则强调线性空间与向量组的关系5.2 向量组的线性表示介绍线性表示的概念，解释线性表示的定义探讨线性表示的方法和性质强调线性表示与基底和线性空间的关系第六章：向量的叉积与外积6.1 叉积的定义与性质引入叉积的概念，解释叉积的定义和几何意义展示叉积的计算公式和性质强调叉积的交换律、分配律和消去律6.2 叉积的应用探讨叉积在面积计算和力矩中的应用解释向量垂直和向量积的关系展示叉积在几何图形判断中的应用第七章：向量场的概念与运算7.1 向量场的定义与表示介绍向量场的概念，解释向量场的定义和表示方法展示向量场的图形表示和箭头表示强调向量场的物理意义和应用领域7.2 向量场的运算复习向量场的加法和乘法运算解释向量场的叠加原理和运算规则强调向量场的运算与物理意义的联系第八章：向量函数的概念与性质8.1 向量函数的定义与表示引入向量函数的概念，解释向量函数的定义和表示方法展示向量函数的图像和性质强调向量函数的应用领域和数学意义8.2 向量函数的性质与应用探讨向量函数的连续性、可导性和可微性解释向量函数在物理和工程中的应用展示向量函数的图像和性质第九章：向量微积分的基本定理9.1 向量微积分的定义与性质介绍向量微积分的基本概念，解释向量微积分的定义和性质展示向量微积分的运算规则和公式强调向量微积分在物理和工程中的应用9.2 向量微积分的基本定理复习格林定理、高斯定理和斯托克斯定理解释向量微积分基本定理的意义和应用强调向量微积分基本定理在几何和物理中的重要性第十章：向量的进一步应用10.1 向量在几何中的应用探讨向量在几何图形判断和证明中的应用解释向量积和向量场的几何意义展示向量在几何问题解决中的应用10.2 向量在物理中的应用解释向量在物理学中的重要性，包括力学和电磁学探讨向量在力学中速度、加速度和力矩的应用展示向量在电磁学中电场和磁场的应用10.3 向量在工程中的应用介绍向量在工程领域中的应用，如土木工程和航空工程解释向量在结构分析和流体动力学中的应用展示向量在工程问题解决中的作用重点和难点解析1. 向量的概念与表示：向量的定义和表示方法是理解向量运算和应用的基础。
平面向量复习教案
平面向量复习一、基本概念：1、向量：既有大小又有方向的量叫向量．2、单位向量：长度为一个单位长度的向量。
与非零向量共线的单位向量3. 平行向量：若非零向量方向相同或相反，则；规定零向量与任一向量平行4、向量相等：模相等，方向相同；相反向量：模相等，方向相反5、两个非零向量、的夹角：做=；；叫做与的夹角。
6、坐标表示：、分别是与轴、轴同向的单位向量，若，则叫做的坐标。
7.向量在方向上的投影：设为、的夹角，则为方向上的投影二、基本运算：运算向量形式坐标形式：；加法<1>平行四边形法则：起点相同，对角线为和向量。
<2>三角形加法法则：首尾相连记：+=减法起点相同的两个向量的差，（箭头指向被减向量）记：-=数乘是一个向量，方向：时，与同向；时，与反向；时，数量积·= ·=三、基本定理、公式：1、平面向量基本定理：若与不共线，则对平面内的任意一个向量，有且只有一对实数、；使得。
2、向量的模：＝＝；非零向量与的夹角：3、向量平行：∥；向量垂直：⊥四、基础训练1. 在四边形ABCD中, 已知, 试判断四边形ABCD是什么样的四边形?2. （1）______；（2）_____；（3）_____．3. 已知平面内三点，则x的值为_______．4. 已知为平面上不共线的三点，若向量=（1，1），=（1，－1），且·=2，则·等于________．5. 已知向量则的坐标是_____．6. 已知=(-1，2)，=(3，m)，若⊥，则m的值为__________．7. 已知，且，则向量在向量上的投影为8. 设向量与的夹角为，，，则_______．9. 已知A（3，y），B（，2），C（6，）三点共线，则y=_________.10. 非零向量和满足：，则与的夹角等于 .五、典例讲解.例1. 已知向量a、b不共线，实数x、y满足向量等式3xa+(10－y)b=2xb+(4y+4)a,则x=_____________,y=_____________．例2. 若向量，满足且与的夹角为，则________例3. 已知，，（1）证明：三点共线.（2）为何值时，① 向量与平行② 向量与垂直例4.设两个向量，满足，，，的夹角为，若向量与夹角是钝角，求实数的取值范围.例5.平面内有向量，点Q为直线OP上一动点，1）求取最小值时，点Q的坐标 2）当点Q满足1）的条件和结论时，求的值。
平面向量复习课教案
平面向量复习课一．考试要求：1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
2、掌握向量的加法和减法。
3、掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。
4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
5、掌握平面向量的数量积及其几何意义。
了解用平面向量的数量积可以处理有关长度，角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
二．知识梳理1．向量的概念：向量，零向量，单位向量，平行向量（共线向量），相等向量，向量的模等。
2．向量的基本运算 （1） 向量的加减运算几何运算：向量的加减法按平行四边行法则或三角形法则进行。
坐标运算：设a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2)则a +b =(x 1+x 2,y 1+y 2 ) a -b =(x 1-x 2,y 1-y 2)(2) 平面向量的数量积 ： a •b=a b cos θ设a =(x 1,y 1), b =(x 2,y 2)则a •b=x 1x 2+y 1y 2（3）两个向量平行的充要条件 ∥ =λ 若 =(x 1,y 1), =(x 2,y 2)，则 ∥ x 1y 2-x 2y 1=03．两个非零向量垂直的充要条件是 ⊥· =0设 =(x 1,y 1)， =(x 2,y 2)，则 ⊥ x 1x 2+y 1y 2=0 三．教学过程（一）基础知识训练1.下列命题正确的是 （ ）)(A 单位向量都相等 )(B 任一向量与它的相反向量不相等 )(C 平行向量不一定是共线向量 )(D 模为0的向量与任意向量共线2. 已知正六边形ABCDEF 中，若=a ， =b ，则=（ ）)(A )(21b a - )(B )(21b a + )(C b a - )(D b a +213. 已知向量,01≠e R ∈λ，+=1e a λb e ,2=21e 若向量a 与b 共线，则下列关系一定成立是 （ ）)(A 0=λ )(B 02=e )(C 1e ∥2e )(D 1e ∥2e 或0=λ4. 若向量),1(x a -=，)2,(x b -=共线且方向相同，x =__________。
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第二章 平面向量复习课（一）
一、教学目标
1. 理解向量.零向量.向量的模.单位向量.平行向量.反向量.相等向量.两向量的夹角等概念。
2. 了解平面向量基本定理.
3. 向量的加法的平行四边形法则（共起点）和三角形法则（首尾相接）。
4. 了解向量形式的三角形不等式：|||-||≤|±|≤||+||(试问：取等号的条件
是什么?)和向量形式的平行四边形定理：2(|a |2+|b |2)=|a －b |2+|a +b |2
.
5. 了解实数与向量的乘法（即数乘的意义）：
6. 向量的坐标概念和坐标表示法
7. 向量的坐标运算（加.减.实数和向量的乘法.数量积）
8. 数量积（点乘或内积）的概念，·=||||cos θ=x 1x 2+y 1y 2注意区别“实数与向量的乘法；向量与向量的乘法”
二、知识与方法
向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直
三、教学过程
（一）重点知识：
1. 实数与向量的积的运算律： b a b a a a a a a λλλμλμλλμμλ+=++=+=)( (3) )( (2) )()( (1)
2. 平面向量数量积的运算律:
)1(a b b a ⋅=⋅ )()()( )2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅ c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+ )( )3(
3. 向量运算及平行与垂直的判定:
).0(),,(),,(2211≠==b y x b y x a 设 则),(2121y y x x b a ++=+ ),(2121y y x x b a --=- 2121y y x x b a +=⋅
.0//1221=-⇔y x y x b a .02121=+⇔⊥y y x x b a
4. 两点间的距离:
221221)()(||y y x x AB -+-=
5. 夹角公式
:
222221212121
cos y x y x y y x x +⋅++==θ
6. 求模：
= 22y x += 221221)()(y y x x -+-=
（二）习题讲解：第二章 复习参考题
（三）典型例题
例1． 已知O 为△ABC 内部一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，设=，=，OC =c ，
且|a |=2，|b |=1，| c |=3，用a 与b 表示c
解：如图建立平面直角坐标系xoy ，其中i , 是单位正交基底向量, 则B （0，1），C （-3，0），
设A （x ，y ），则条件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A （1，-3），也就是a =i －3, b =， c =-3i 所以-3a =33b +c |即c =3a －33b
（四）基础练习：
（五）、小结：掌握向量的相关知识。
（六）、作业：
第二章 平面向量复习课（二）
一、教学过程
（一）习题讲解：
（二）典型例题
例1．已知圆C ：4)3()3(22=-+-y x 及点A （1，1），M 是圆上任意一点，点N 在线
段MA 的延长线上，且N A A M 2=，求点N 的轨迹方程。
练习：1. 已知O 为坐标原点，=（2，1），=（1，7），=（5，1），
=x ,y=· （x ，y ∈R ） 求点P （x ，y ）的轨迹方程；
2. 已知常数a >0，向量)0,1(),,0(==a ，经过定点A （0，－a ）以λ+为方向向量的直线与经过定点B （0，a ）以λ2+为方向向量的直线相交于点P ，其中R ∈λ.求点P 的轨迹C 的方程；
例2.设平面内的向量)7,1(=, )1,5(=, )1,2(=，点P 是直线OM 上的一个动点，求当⋅取最小值时，的坐标及∠APB 的余弦值．
解 设),(y x OP =．∵ 点P 在直线OM 上，
∴ OP 与OM 共线，而)1,2(=OM ，∴ x －2y =0即x =2y ， 有),2(y y OP =．∵ )7,21(y y OP OA PA --=-=，
)1,25(y y OP OB PB --=-=，
∴ )1)(7()25)(21(y y y y PB PA --+--=⋅
= 5y 2－20y +12
= 5(y －2)2－8．
从而，当且仅当y =2，x =4时，⋅取得最小值－8， 此时)2,4(=，)5,3(-=，)1,1(-=． 于是34||=，2||=，8)1(51)3(-=-⨯+⨯-=⋅，
∴ 17
1742348
cos -=⋅-==∠APB 小结：利用平面向量求点的轨迹及最值。
作业：。