最新-【数学】北京市东城区2018学年高二上学期期末考试(数学) 精品
红星区第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
红星区第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．抛物线y=4x2的焦点坐标是（）A．（0，1）B．（1，0）C．D．2．若函数f（x）=﹣2x3+ax2+1存在唯一的零点，则实数a的取值范围为（）A．[0，+∞）B．[0，3] C．（﹣3，0] D．（﹣3，+∞）3．直线x﹣2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．4．设集合,,则( )ABCD5．设集合A={x|﹣2＜x＜4}，B={﹣2，1，2，4}，则A∩B=（）A．{1，2} B．{﹣1，4} C．{﹣1，2} D．{2，4}6．函数y=2sin2x+sin2x的最小正周期（）A．B．C．πD．2π7．定义在R上的奇函数f（x），满足，且在（0，+∞）上单调递减，则xf（x）＞0的解集为（）A．B．C．D．8．设抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则C的方程为（）A．y2=4x或y2=8x B．y2=2x或y2=8xC．y2=4x或y2=16x D．y2=2x或y2=16x9． “”是“A=30°”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也必要条件10．实数x ，y满足不等式组，则下列点中不能使u=2x+y 取得最大值的是（ ）A ．（1，1）B ．（0，3） C．（，2） D．（，0）11．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则P ﹣DCE 三棱锥的外接球的体积为（ ）A． B． C． D．12．已知向量=（﹣1，3），=（x ，2），且，则x=（ ）A． B．C．D．二、填空题13．若命题“∀x ∈R ，|x ﹣2|＞kx+1”为真，则k 的取值范围是 ．14．设p ：f （x ）=e x +lnx+2x 2+mx+1在（0，+∞）上单调递增，q ：m ≥﹣5，则p 是q 的 条件．15．已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a n+2=（1+cos2）a n +sin2，则该数列的前16项和为 ．16．已知x ，y 为实数，代数式2222)3(9)2(1y x x y ++-++-+的最小值是 .【命题意图】本题考查两点之间距离公式的运用基础知识，意在考查构造的数学思想与运算求解能力.17．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数()211{52128lnx x xf x m x mx x +>=-++≤，，，，若()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围是________．18．（﹣2）7的展开式中，x 2的系数是 ．三、解答题19．等差数列{a n }的前n 项和为S n ．a 3=2，S 8=22． （1）求{a n }的通项公式； （2）设b n=，求数列{b n }的前n 项和T n ．20．已知函数f （x ）=e ﹣x （x 2+ax ）在点（0，f （0））处的切线斜率为2． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）设g （x ）=﹣x （x ﹣t﹣）（t ∈R ），若g （x ）≥f （x ）对x ∈[0，1]恒成立，求t 的取值范围； （Ⅲ）已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=（1+）a n ， 求证：当n ≥2，n ∈N 时 f（）+f（）+L+f（）＜n •（）（e 为自然对数的底数，e ≈2.71828）．21．（本题满分15分）若数列{}n x 满足：111n nd x x +-=（d 为常数， *n N ∈），则称{}n x 为调和数列，已知数列{}n a 为调和数列，且11a =，123451111115a a a a a ++++=. （1）求数列{}n a 的通项n a ；（2）数列2{}nna 的前n 项和为n S ，是否存在正整数n ，使得2015n S ？若存在，求出n 的取值集合；若不存在，请说明理由.【命题意图】本题考查数列的通项公式以及数列求和基础知识，意在考查运算求解能力.22．某机床厂今年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x 年后数控机床的盈利总额y 元． （1）写出y 与x 之间的函数关系式； （2）从第几年开始，该机床开始盈利？（3）使用若干年后，对机床的处理有两种方案：①当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；②当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．23．如图，边长为2的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC=，M 为BC 的中点．（Ⅰ）证明：AM ⊥PM ； （Ⅱ）求点D 到平面AMP 的距离．24．在△ABC中，D为BC边上的动点，且AD=3，B=．（1）若cos∠ADC=，求AB的值；（2）令∠BAD=θ，用θ表示△ABD的周长f（θ），并求当θ取何值时，周长f（θ）取到最大值？红星区第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题1． 【答案】C【解析】解：抛物线y=4x 2的标准方程为 x 2=y ，p=，开口向上，焦点在y 轴的正半轴上，故焦点坐标为（0，），故选C ．【点评】本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用；把抛物线y=4x 2的方程化为标准形式，是解题的关键．2． 【答案】 D【解析】解：令f （x ）=﹣2x 3+ax 2+1=0，易知当x=0时上式不成立；故a==2x ﹣，令g （x ）=2x ﹣，则g ′（x ）=2+=2，故g （x ）在（﹣∞，﹣1）上是增函数，在（﹣1，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数；故作g （x ）=2x ﹣的图象如下，，g（﹣1）=﹣2﹣1=﹣3，故结合图象可知，a＞﹣3时，方程a=2x﹣有且只有一个解，即函数f（x）=﹣2x3+ax2+1存在唯一的零点，故选：D．3．【答案】A【解析】直线x﹣2y+2=0与坐标轴的交点为（﹣2，0），（0，1），直线x﹣2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点；故．故选A．【点评】本题考查了椭圆的基本性质，只需根据已知条件求出a，b，c即可，属于基础题型．4．【答案】C【解析】送分题,直接考察补集的概念,,故选C。
北京市朝阳区2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试题
北京市朝阳区2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 命题“，”的否定是A．，B．，C．，D．，2. 设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题为假命题的是A．若，，，则B．若，，则D．若，，，则C．若，，则3. “”是“直线与圆相切”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4. 如图，在三棱锥中，，，分别是侧棱，，的中点. 给出下列三个结论：①平面；②平面平面；③三棱锥与三棱锥的体积比为．其中正确的个数是A．B．C．D．5. 已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为A．外离B．外切C．相交D．内切6. 已知如图为某三棱锥的三视图,则该三棱锥的表面积为A．B．C．D．7. 设是抛物线：的焦点，是抛物线上一点，点在抛物线的准线上，若，则直线的方程为A．B．C．D．8. 已知点，过点作直线，不同时为的垂线，垂足为，则的最小值为A．B．C．D．二、填空题9. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为____________．10. 若直线与圆相交于A,B两点，且（O为坐标原点），则=_____.11. 设双曲线的—个焦点为，虚轴的—个端点为，如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为_______.12. 如图，已知正方体的棱长为，，，分别为棱，和的中点，则三棱锥的体积为_________．13. 已知平面内圆心为的圆的方程为，点是圆上的动点，点是平面内任意一点，若线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹可能是_________．（请将下列符合条件的序号都填入横线上）①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线；⑥一个点.三、双空题14. 设平面内到点和直线的距离相等的点的轨迹为曲线，则曲线的方程为_______；若直线与曲线相交于不同两点，，与圆相切于点，且为线段的中点．在的变化过程中，满足条件的直线有条，则的所有可能值为____________．四、解答题15. 如图，在四棱锥中，四边形为菱形，底面．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，分别为线段，的中点，求证：平面．16. 在平面直角坐标系中，设动点到两定点，的距离的比值为的轨迹为曲线．（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）若直线过点，且点到直线的距离为，求直线的方程，并判断直线与曲线的位置关系．17. 如图1，在中，，，，分别为，的中点．将沿折起到的位置，使，如图2，连结，．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）线段上是否存在一点，使二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．18. 已知椭圆的右焦点为，离心率为．过定点的直线交椭圆于不同的两点，（点在点，之间）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若，求实数的取值范围；（Ⅲ）若射线交椭圆于点（为原点），求面积的最大值．。
2023-2024学年北京市东城区高一上学期期末统一检测数学试卷+答案解析
2023-2024学年北京市东城区高一上学期期末统一检测数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则()A. B. C. D.2.下列函数中，与是同一函数的是()A. B. C. D.3.下列函数在定义域内既是奇函数又是增函数的是()A. B. C. D.4.下列命题中正确的是()A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则5.若，，则的值为()A. B. C. D.6.下列函数中，满足对任意的，，都有的是()A. B. C. D.7.已知，，，则A. B. C. D.8.“角与的终边关于直线对称”是“”的()A.充分必要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件9.某品牌可降解塑料袋经自然降解后残留量y与时间单位：年之间的关系为其中为初始量，k为降解系数．已知该品牌塑料袋2年后残留量为初始量的若该品牌塑料袋需要经过n年，使其残留量为初始量的，则n的值约为参考数据：，A.20B.16C.12D.710.已知是定义在上的偶函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为()A. B.C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.函数的定义域为__________.12.设，则的最小值为__________.13.已知，若，则__________.14.在平面直角坐标系中，角的终边不在坐标轴上，则使得成立的一个值为__________.15.已知函数，则_______________用“>”“<”“=”填空；的零点为__________.16.已知符号表示不超过x的最大整数，若函数，给出下列四个结论：①当时，；②为偶函数；③在单调递减；④若方程有且仅有3个根，则a的取值范围是其中所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本题共5小题，共60分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
北京市东城区2022-2023学年高三上学期期末考试数学试题(含答案)
北京市东城区2022—2023学年度第一学期期末统一检测高 三 数 学 2023.1本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{12}A x x =-<<，{1}B x x =≤，则AB =（A ）(,2)-∞（B ）(1,)-+∞（C ）(1,1]- （D ）[1,2) （2）在下列函数中，为偶函数的是（A ）()cos f x x x =- （B ）()cos f x x x =（C ）()ln f x x = （D ）()f x =（3）在1()nx x+的展开式中，若第3项的系数为10，则n =（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7 （4）在等比数列{}n a 中，11a =，238a a =，则7a =（A ）8 （B ）16 （C ）32 （D ）64（5）北京中轴线是世界城市建设历史上最杰出的城市设计范例之一. 其 中钟鼓楼、万宁桥、景山、故宫、端门、天安门、外金水桥、天安门广场及建筑群、正阳门、中轴线南段道路遗存、永定门，依次是自北 向南位列轴线中央相邻的11个重要建筑及遗存.某同学欲从这11个 重要建筑及遗存中随机选取相邻的3个游览，则选取的3个中一定有 故宫的概率为（A ）111 （B ）19 （C ）311 （D ）13（6）在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边位于第一象限，且与单位圆O 交于点P ，PM x ⊥轴，垂足为M ．若OMP △的面积为625，则sin2α= （A ）625（B ）1225 (C)1825（D ）2425（7）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，其渐近线方程为2y x =±，P 是C 上一点，且12PF PF ⊥.若△12PF F 的面积为4，则C 的焦距为（A ）（B ） （C ） （D ）（8）在△ABC 中，“对于任意1t ≠，BA tBC AC ->”是“△ABC 为直角三角形”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（9）在平面直角坐标系xOy 中，若点(,)P a b 在直线430ax by a +++=上，则当,a b 变化时，直线OP 的斜率的取值范围是（A ）3(,[,)3-∞+∞ （B ）[（C ）5(,][,)22-∞-+∞ （D ）[,22- （10）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中， Q 是棱1DD 上的动点，下列说法中正确的是①存在点Q ，使得11//C Q AC ； ②存在点Q ，使得11C Q AC ⊥；③对于任意点Q ，Q 到1AC 的距离为定值； ④对于任意点Q ，△1ACQ 都不是锐角三角形. （A ）① ③ （B ）② ③ （C ）② ④ （D ）① ④第二部分（非选择题 共110分）二、填空题 共5小题，每小题5分，共25分． （11）若复数z 满足(i)i 3z +=-，则____.z =（12）已知函数()cos f x x x =-，则()3f π= ；若将()f x 的图象向左平行移动6π个单位长度后得到()g x 的图象，则()g x 的一个对称中心为 . （13）经过抛物线22(0)ypx p =>焦点F 的直线与抛物线交于不同的两点,A B ，经过点A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D ，则点B 的纵坐标B y 与点D 的纵坐标D y 的大小关系为B y D y .(用“>”“<”“=”填写）（14）设函数21,,()1,.x x a f x x a x a ⎧->⎪=⎨--≤⎪⎩当0a =时，()f x 的值域为__________；若()f x 的最小值为1，则a 的取值范围是___________.（15）对于数列{}n a ，令11234(1)n n n T a a a a a +=-+-++-L ，给出下列四个结论：①若n a n =，则20231012T =； ②若n T n =，则20221a =-；③存在各项均为整数的数列{}n a ，使得1n n T T +>对任意的n *∈N 都成立； ④若对任意的N n *∈，都有n T M <，则有12n n a a M +-<.其中所有正确结论的序号是 .三、解答题共6小题，共85分。
北京市东城区2023-2024学年高二上学期期末考试历史试卷(无答案)
东城区2023—2024学年度第一学期期末统一检测高二历史2024.1本试卷共12页，共100分。
考试时长90分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共60分）本部分共40题，每题1.5分，共60分。
在每题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。
1．郭店楚简中的《尚书·洪范》记述了周武王与箕子的对话，箕子陈述“天地之大法”，其中包括王者遇大事，要“谋及卿士，谋及庶人，谋及卜筮”。
由此可见（）A．西周形成天子、诸侯、卿、士等级制B．周初仍保有民众议政的原始民主遗风C．敬鬼神是周人政治生活中首要之事D．庶人与卿士具有完全相同的政治地位2．《韩非子·八经》提出：“凡治天下，必因人情。
人情有好恶，故赏罚可用，故禁令可立，而治道具矣。
”据此判断，韩非认为“治天下”应重视（）A．人情好恶B．道德教化C．法治建设D．轻刑薄赋3．下图反映了中国某朝的中央行政中枢权力分配情况，对其解读正确的是（）A．中外朝共同辅佐皇帝决策B．丞相与尚书台共议国政C．太尉与御史大夫共掌监察D．中枢权力的分散及转移4．司马光在《资治通鉴》中论述东汉时写道：“自公卿、大夫至于郡县之吏，咸选用经明行修之人，虎贲卫士皆习孝经，匈奴子弟亦游太学，是以教立于上，俗成天下。
”这表明（）①郡县由中正官依据德行和家世选拔人才②东汉王朝在国家治理中重视教化风俗③匈奴逐渐汉化，民族交往交流得以推进④汉代理学兴起，儒学士人投身基层教化A．①②B．①④C．②③D．③④5．下表是魏晋南北朝时期的部分律令内容，其共通之处是（）政权（或时期）律令内容曹魏贼斗杀人，以劾而亡，许依古义，听子弟得追杀之西晋峻礼教之防，准五服（血缘亲疏）以制罪也北魏居三年之丧而冒哀求仕，五岁刑A．以尊卑亲疏作为量刑依据B．礼法结合的立法特色C．法律不完善实施血亲复仇D．开始尝试“引经注律”6．2015年10月，屠呦呦获得诺贝尔生理学或医学奖，理由是她发现了青蒿素，该药品可以有效降低疟疾患者的死亡率。
2018届高三上学期期末联考数学(理)试题有答案-精品
2017—2018学年度第一学期期末联考试题高三数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分全卷满分150分，考试时间120分钟．注意：1. 考生在答题前，请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上．2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷上无效．3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内．答在试题卷上无效．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效．1．设集合{123}A =，，，{45}B =，，{|}M x x a b a A b B ==+∈∈，，，则M 中的元素个数为A ．3B ．4C ．5D ．62．在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率为 A ．125B ．925C ．1625D ．24253．设i 为虚数单位，则下列命题成立的是A ．a ∀∈R ，复数3i a --是纯虚数B ．在复平面内i(2i)-对应的点位于第三限象C ．若复数12i z =--，则存在复数1z ，使得1z z ∈RD ．x ∈R ，方程2i 0x x +=无解4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3215109S a a a =+=，，则1a =A ．19B ．19-C ．13D ．13-5．已知曲线421y x ax =++在点(1(1))f --，处切线的斜率为8，则(1)f -=试卷类型：A天门 仙桃 潜江A ．7B ．－4C ．－7D ．4 6．84(1)(1)x y ++的展开式中22x y 的系数是A ．56B ．84C ．112D ．1687．已知一个空间几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是 A ．4cm 3B ．5 cm 3C ．6 cm 3D ．7 cm 38．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图像如图所示，则(1)(2)(3)(18)f f f f ++++的值等于ABC 2D ．19．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1，2，3…，24 这24个整数中等可能随机产生。
北京市东城区2023届高三上学期期末考试数学试题
故选：D.
6.在平面直角坐标系 中，角 以 为始边，终边位于第一象限，且与单位圆 交于点 ， 轴，垂足为 .若 的面积为 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由三角函数的定义结合三角形面积列出方程，再由倍角公式求出答案.
【详解】由三角函数的定义可知： ，
故 ，故 ，
【详解】由题知，在正方体 中，点 是棱 上的动点，
建立以 为原点，分别以 的方向为 轴， 轴， 轴正方向得空间直角坐标系 ，设正方体边长为1，
所以 ，设 ，其中 ，
所以 ，
当 时， 无解，故①错误；
当 时，解得 ，故②正确；
因为 ，其中 ，
所以 到 的距离为
，不是定值，故③错误；
因为 ，其中 ，
所以 ，
【答案】B
【解析】
【分析】将点 代入直线方程中得出点 为圆上的动点，
结合图像分析即可求出直线 的斜率的取值范围.
【详解】因为点 在直线 上，
所以 ，
即 ，
则 表示圆心为 ，半径为1的圆上的点，
如图：
由图可知当直线 与圆相切直线相切，故有圆心 到直线 的距离为半径1，
【答案】①. ②. (答案不唯一)
【解析】
【分析】化简 ，代入即可求出 ；由三角函数的平移变换求出 ，再由三角函数的性质求出 的对称中心，即可得出答案.
【详解】 ，
所以 ，
将 的图象向左平行移动 个单位长度得到 的图象，
则 ，
所以 的对称中心为 .
故 的一个对称中心为 .
故答案为： ； (答案不唯一).
东城区2022—2023学年度第一学期期末统一检测
高三数学
2023-2024学年北京市东城区东直门中学高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市东城区东直门中学高二（上）期中数学试卷一.选择题：（本题有12道小题，每小题4分，共48分） 1．已知α∈(π2，π)，且sin α=35，则tan α＝（ ） A ．34B ．−34C ．43D ．−432．在等差数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝5，则a 8＝（ ） A ．9B ．11C ．13D ．153．已知数列{a n }是公比为正数的等比数列，S n 是其前n 项和，a 2＝2，a 4＝8，则S 7＝（ ） A ．31B ．63C ．127D ．2554．已知α，β是两个不同的平面，直线m ⊂α，下列命题中正确的是（ ） A ．若α⊥β，则m ∥β B ．若α⊥β，则m ⊥βC ．若m ∥β，则α∥βD ．若m ⊥β，则α⊥β5．向量a →=（2，1，x ），b →=（2，y ，﹣1），若|a →|=√5，且a →⊥b →，则x +y 的值为（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣4D ．46．在△ABC 中，a ＝2，B =π3，△ABC 的面积等于√32，则b 等于（ ） A ．√32B ．1C ．√3D ．27．设{a n }是公差不为0的无穷等差数列，则“{a n }为递增数列”是“存在正整数N 0，当n ＞N 0时，a n ＞0”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边与单位圆交于点P(x 0，√63)，则cos2α＝（ ） A ．−13B ．±13C ．2√33D ．139．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF =12，给出下列三个结论： ①AC ⊥BE ；②△AEF 的面积与△BEF 的面积相等； ③三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值． 其中，所有正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．310．已知公差不为零的等差数列{a n }，首项a 1＝﹣7，若a 5，a 6，a 9成等比数列，记T n ＝a 1•a 2•⋯•a n （n ＝1，2，3，⋯），则数列{T n }（ ） A ．有最小项，无最大项 B ．有最大项，无最小项 C ．无最大项，无最小项D ．有最大项，有最小项11．ISO 216是国际标准化组织所定义的纸张尺寸国际标准，该标准定义了A ，B 系列的纸张尺寸．设型号为A i （i ＝0，1，2，3，4，5，6）的纸张面积分别是a i （i ＝0，1，2，3，4，5，6），它们组成一个公比为12的等比数列，设型号为B i （i ＝1，2，3，4，5，6）的纸张的面积分别是b i （i ＝1，2，3，4，5，6），已知b i 2=a i−1a i (i =1，2，3，4，5，6)，则a 4b 5的值为（ ）A ．12B ．√22 C ．√2D ．212．已知数列{a n }满足a n+1=14(a n −6)3+6(n =1，2，3，⋯)，则（ ） A ．当a 1＝3时，{a n }为递减数列，且存在常数M ≤0，使得a n ＞M 恒成立 B ．当a 1＝5时，{a n }为递增数列，且存在常数M ≤6，使得a n ＜M 恒成立 C ．当a 1＝7时，{a n }为递减数列，且存在常数M ＞6，使得a n ＞M 恒成立 D ．当a 1＝9时，{a n }为递增数列，且存在常数M ＞0，使得a n ＜M 恒成立 二.填空题：（本题有6道小题，每小题5分，共30分）13．已知函数f(x)=√3sinx −cosx ，则f(π3)= ；若将f （x ）的图象向右平行移动π6个单位长度后得到g （x ）的图象，则g （x ）的一个对称中心为 ． 14．在△ABC 中，若BC =3，AC =2√6，B =2A ，则B ＝ ．15．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝﹣2，且a n +1＝a n +a n +2，n ∈N *，则a 5＝ ；数列{a n }的前2023项的和为 ．16．已知平面α和三条不同的直线m ，n ，l ．给出下列六个论断：①m ⊥α；②m ∥α；③m ∥l ；④n ⊥α；⑤n ∥α；⑥n ∥l ．以其中两个论断作为条件，使得m ∥n 成立．这两个论断可以是 ．（填上你认为正确的一组序号）17．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列{a n }，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a 1＝1，a 5＝12，a 9＝192，则a 7＝ ，数列{a n }的所有项的和为 ． 18．已知函数f(x)=λsin(π2x +φ)(λ＞0，0＜φ＜π)的部分图象如图1所示，A ，B 分别为图象的最高点和最低点，过A 作x 轴的垂线，交x 轴于点A '，点C 为该部分图象与x 轴的交点．将绘有该图象的纸片沿x 轴折成直二面角，如图2所示，此时|AB|=√10，则λ＝ ．给出下列四个结论： ①φ=π3；②图2中，AB →⋅AC →=5；③图2中，过线段AB 的中点且与AB 垂直的平面与x 轴交于点C ；④图2中，S 是△A 'BC 及其内部的点构成的集合．设集合T ＝{Q ∈S ||AQ |≤2}，则T 表示的区域的面积大于π4．其中所有正确结论的序号是 ． 三.解答题：（本题有6小题，共72分）19．（10分）已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4． （1）求{a n }和{b n }的通项公式；（2）设c n ＝a n +b n ，求数列{c n }的前n 项和．20．（10分）已知函数f （x ）＝A sin x cos x −√3cos2x 的一个零点为π6．（1）求A 和函数f （x ）的最小正周期；（2）当x ∈[0，π2]时，若f （x ）≤m 恒成立，求实数m 的取值范围．21．（12分）在△ABC 中，2asinB =√2b ． （1）求A ；（2）若b =2√6，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得△ABC 存在且唯一确定，求△ABC 的面积．条件①：cosC =−√1010；条件②：a ＝2；条件③：sinB =√55． 注：如果选择了不合适的条件，则第（2）问记0分．22．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝AD ＝2，AB ＝4，点E 在线段AB 上，且AE =34AB ． （1）求证：CE ⊥平面PBD ； （2）求二面角P ﹣CE ﹣D 的余弦值； （3）求点A 到平面PCE 的距离．23．（14分）如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ，四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AB ＝AD ＝1，BC ＝3． （Ⅰ）求证：AF ⊥CD ；（Ⅱ）求直线BF 与平面CDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段BD 上是否存在点M ，使得直线CE ∥平面AFM ？若存在，求BM BD的值；若不存在，请说明理由．24．（14分）设λ为正实数，若各项均为正数的数列{a n }满足：∀n ∈N *，都有a n +1≥a n +λ．则称数列{a n }为P （λ）数列．（Ⅰ）判断以下两个数列是否为P （2）数列：数列A ：3，5，8，13，21； 数列B ：log 25，π，5，10．（Ⅱ）若数列{b n }满足b 1＞0且b n +1＝b n +√n +3−√n +1，是否存在正实数λ，使得数列{b n }是P （λ）数列？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．（Ⅲ）若各项均为整数的数列{a n }是P （1）数列，且{a n }的前m （m ≥2）项和a 1+a 2+a 3+⋯+a m 为150，求a m +m 的最小值及取得最小值时a m 的所有可能取值．2023-2024学年北京市东城区东直门中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：（本题有12道小题，每小题4分，共48分） 1．已知α∈(π2，π)，且sin α=35，则tan α＝（ ） A ．34B ．−34C ．43D ．−43解：α∈(π2，π)，且sinα=35，∴cos α＜0，cos α=−√1−sin 2α=−√1−(35)2=−45， ∴tan α=sinαcosα=−34． 故选：B ．2．在等差数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝5，则a 8＝（ ） A ．9B ．11C ．13D ．15解：在等差数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝5，∴{a 1+d =1a 1+3d =5，解得a 1＝﹣1，d ＝2，则a 8＝a 1+7d ＝﹣1+14＝13． 故选：C ．3．已知数列{a n }是公比为正数的等比数列，S n 是其前n 项和，a 2＝2，a 4＝8，则S 7＝（ ） A ．31B ．63C ．127D ．255解：设等比数列{a n }的公比为q （q ＞0），由a 4＝a 2q 2，得8＝2q 2，解得q ＝2或q ＝﹣2（舍去），又a 1=a 2q =22=1，所以S 7=1−271−2127．故选：C ．4．已知α，β是两个不同的平面，直线m ⊂α，下列命题中正确的是（ ）A ．若α⊥β，则m ∥βB ．若α⊥β，则m ⊥βC ．若m ∥β，则α∥βD ．若m ⊥β，则α⊥β解：对于选项A ：若α⊥β，则m ∥β也可能m ⊥β，故错误． 对于选项B ：若α⊥β，则m ⊥β也可能m ∥β，故错误． 对于选项C ：若m ∥β，则α∥β也可能α与β相交，故错误． 对于选项D ，直线m ⊂α，m ⊥β，则α⊥β是面面垂直的判定，故正确． 故选：D ．5．向量a →=（2，1，x ），b →=（2，y ，﹣1），若|a →|=√5，且a →⊥b →，则x +y 的值为（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣4D ．4解：向量a →=（2，1，x ），若|a →|=√5， 则√22+12+x 2=√5，解得x ＝0； 又向量b →=（2，y ，﹣1），且a →⊥b →， 则a →•b →=4+y +0＝0，解得y ＝﹣4； 所以x +y ＝﹣4． 故选：C ．6．在△ABC 中，a ＝2，B =π3，△ABC 的面积等于√32，则b 等于（ ） A ．√32B ．1C ．√3D ．2解：∵a ＝2，B =π3，△ABC 的面积等于√32=12ac sin B =12×2×c ×√32， ∴解得：c ＝1，∴由余弦定理可得：b =√a 2+c 2−2accosB =√4+1−2×2×1×12=√3． 故选：C ．7．设{a n }是公差不为0的无穷等差数列，则“{a n }为递增数列”是“存在正整数N 0，当n ＞N 0时，a n ＞0”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：因为数列{a n }是公差不为0的无穷等差数列，当{a n }为递增数列时，公差d ＞0，令a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＞0，解得n ＞1−a 1d ，[1−a1d ]表示取整函数，所以存在正整数N0＝1+[1−a1d]，当n＞N0时，a n＞0，充分性成立；当n＞N0时，a n＞0，a n﹣1＜0，则d＝a n﹣a n﹣1＞0，必要性成立；是充分必要条件．故选：C．8．在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边与单位圆交于点P(x0，√63)，则cos2α＝（）A．−13B．±13C．2√33D．13解：∵平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边与单位圆交于点P(x0，√63 )，∴OP2=x02+69=1，∴x0＝±√33，∴cosα＝±√33，则cos2α＝2cos2α﹣1＝2×x02−1=−1 3，故选：A．9．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=12，给出下列三个结论：①AC⊥BE；②△AEF的面积与△BEF的面积相等；③三棱锥A﹣BEF的体积为定值．其中，所有正确结论的个数是（）A．0B．1C．2D．3解：对于①，根据题意，结合图形知，AC⊥面DD1B1B，BE⊂平面DD1B1B，∴AC⊥BE，命题①正确；对于②，∵点B到直线EF的距离与点A到直线EF的距离不相等，∴△AEF与△BEF的面积不相等，命题②错误；对于③，三棱锥A ﹣BEF 的体积为V 三棱锥A ﹣BEF =13•S △BEF •h =13×12×12×1×√22=√224， ∴三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值，命题③正确； 对于综上，正确的命题有2个． 故选：C ．10．已知公差不为零的等差数列{a n }，首项a 1＝﹣7，若a 5，a 6，a 9成等比数列，记T n ＝a 1•a 2•⋯•a n （n ＝1，2，3，⋯），则数列{T n }（ ） A ．有最小项，无最大项 B ．有最大项，无最小项 C ．无最大项，无最小项D ．有最大项，有最小项解：在等差数列{a n }中，由a 5，a 6，a 9成等比数列，得a 62=a 5⋅a 9，即（﹣7+5d ）2＝（﹣7+4d ）（﹣7+8d ）， 解得d ＝2或d ＝0（舍），则a n ＝2n ﹣9，当n ≤4，n ∈N *时，a n ＜0；当n ≥5，n ∈N *时，a n ＞0． ∴{a n }的前6项为：﹣7，﹣5，﹣3，﹣1，1，3， 又T n ＝a 1•a 2•⋯•a n ，故T 3最小，没有最大值． 故选：A ．11．ISO 216是国际标准化组织所定义的纸张尺寸国际标准，该标准定义了A ，B 系列的纸张尺寸．设型号为A i （i ＝0，1，2，3，4，5，6）的纸张面积分别是a i （i ＝0，1，2，3，4，5，6），它们组成一个公比为12的等比数列，设型号为B i （i ＝1，2，3，4，5，6）的纸张的面积分别是b i （i ＝1，2，3，4，5，6），已知b i 2=a i−1a i (i =1，2，3，4，5，6)，则a 4b 5的值为（ ）A ．12B ．√22C ．√2D ．2解：∵b i 2=a i−1a i ，令i ＝5，∴b 52=a 4a 5，又∵a 0，a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6组成一个公比为12的等比数列，∴b 52=a 4a 5=a 4⋅a 4⋅12=12a 42， 又a 4＞0，b 5＞0， ∴a 4b 5=√2．故选：C ．12．已知数列{a n }满足a n+1=14(a n −6)3+6(n =1，2，3，⋯)，则（ ）A ．当a 1＝3时，{a n }为递减数列，且存在常数M ≤0，使得a n ＞M 恒成立B ．当a 1＝5时，{a n }为递增数列，且存在常数M ≤6，使得a n ＜M 恒成立C ．当a 1＝7时，{a n }为递减数列，且存在常数M ＞6，使得a n ＞M 恒成立D ．当a 1＝9时，{a n }为递增数列，且存在常数M ＞0，使得a n ＜M 恒成立 解：因为a n+1=14(a n −6)3+6，故a n+1−6=14(a n −6)3， 对于A ，若a 1＝3，可用数学归纳法证明：a n ﹣6≤﹣3，即a n ≤3， 证明：当n ＝1时，a 1﹣6＝﹣3≤﹣3，此时不等关系a n ≤3成立； 设当n ＝k 时，a k ﹣6≤﹣3成立， 则a k+1−6=14(a k −6)3∈(−54，−274)，故a k +1﹣6≤﹣3成立， 由数学归纳法可得a n ≤3成立．而a n+1−a n =14(a n −6)3−(a n −6)=(a n −6)[14(a n −6)2−1]，14(a n −6)2−1≥94−1=54＞0，a n ﹣6＜0，故a n +1﹣a n ＜0，故a n +1＜a n ，故{a n }为减数列，注意a k +1﹣6≤﹣3＜0，故a n+1−6=14(a n −6)3=(a n −6)×14(a n −6)2≤94(a n −6)，结合a n +1﹣6＜0， 所以6−a n+1≥94(6−a n )，故6−a n+1≥3(94)n−1，故a n+1≤6−3(94)n−1， 若存在常数M ≤0，使得a n ＞M 恒成立，则6−3(94)n−1＞M ， 故6−M 3＞(94)n−1，故n ＜1+log 946−M3，故a n ＞M 恒成立仅对部分n 成立， 故A 不成立．对于B ，若a 1＝5，可用数学归纳法证明：﹣1≤a n ﹣6＜0，即5≤a n ＜6， 证明：当n ＝1时，﹣1≤a 1﹣6＝﹣1≤0，此时不等关系5≤a n ＜6成立； 设当n ＝k 时，5≤a k ＜6成立，则a k+1−6=14(a k −6)3∈(−14，0)，故﹣1≤a k +1﹣6＜0成立， 即由数学归纳法可得5≤a k +1＜6成立．而a n+1−a n =14(a n −6)3−(a n −6)=(a n −6)[14(a n −6)2−1]，14(a n −6)2−1＜0，a n ﹣6＜0，故a n +1﹣a n ＞0，故a n +1＞a n ，故{a n }为增数列，若M ＝6，则a n ＜6恒成立，故B 正确．对于C ，当a 1＝7时，可用数学归纳法证明：0＜a n ﹣6≤1，即6＜a n ≤7， 证明：当n ＝1时，0＜a 1﹣6≤1，此时不等关系成立； 设当n ＝k 时，6＜a k ≤7成立，则a k+1−6=14(a k −6)3∈(0，14]，故0＜a k +1﹣6≤1成立，即6＜a k +1≤7 由数学归纳法可得6＜a n ≤7成立．而a n+1−a n =(a n −6)[14(a n −6)2−1]＜0，故a n +1＜a n ，故{a n }为减数列，又a n+1−6=(a n −6)×14(a n −6)2≤14(a n −6)，结合a n +1﹣6＞0可得：a n+1−6≤(a 1−6)(14)n ，所以a n+1≤6+(14)n ，若a n+1≤6+(14)n ，若存在常数M ＞6，使得a n ＞M 恒成立，则M −6≤(14)n 恒成立，故n ≤log 14(M −6)，n 的个数有限，矛盾，故C 错误．对于D ，当a 1＝9时，可用数学归纳法证明：a n ﹣6≥3即a n ≥9， 证明：当n ＝1时，a 1﹣6＝3≥3，此时不等关系成立； 设当n ＝k 时，a k ≥9成立， 则a k+1−6=14(a k −6)3≥274＞3，故a k +1≥9成立 由数学归纳法可得a n ≥9成立．而a n+1−a n =(a n −6)[14(a n −6)2−1]＞0，故a n +1＞a n ，故{a n }为增数列，又a n+1−6=(a n −6)×14(a n −6)2＞94(a n −6)，结合a n ﹣6＞0可得：a n+1−6＞(a 1−6)(94)n−1=3(94)n−1，所以a n+1≥6+3(94)n−1，若存在常数M ＞0，使得a n ＜M 恒成立，则M ＞6+3(94)n−1， 故M ＞6+3(94)n−1，故n ＜log 94(M−63)+1，这与n 的个数有限矛盾，故D 错误． 故选：B ．二.填空题：（本题有6道小题，每小题5分，共30分）13．已知函数f(x)=√3sinx −cosx ，则f(π3)= 1 ；若将f （x ）的图象向右平行移动π6个单位长度后得到g （x ）的图象，则g （x ）的一个对称中心为 (π3，0)（答案不唯一） ． 解：f(x)=√3sinx −cosx =2sin(x −π6)，f(π3)=2sin π6=1，则g(x)=2sin(x−π3)，取x−π3=kπ，k∈Z，即x=π3+kπ，k∈Z，取k＝0，x=π3，此时对称中心为(π3，0)．故答案为：1；(π3，0)（答案不唯一）．14．在△ABC中，若BC=3，AC=2√6，B=2A，则B＝arccos13．解：由正弦定理得BCsinA =ACsinB，即3sinA=2√6sin2A，所以cos A=√63，所以cos B＝cos2A＝2cos2A﹣1=13，因为0＜B＜π，所以B=arccos 1 3．故答案为：arccos 1 3．15．已知数列{a n}满足a1＝1，a2＝﹣2，且a n+1＝a n+a n+2，n∈N*，则a5＝2；数列{a n}的前2023项的和为1．解：依题意，由a n+1＝a n+a n+2，可得a n+2＝a n+1﹣a n，则a1＝1，a2＝﹣2，a3＝a2﹣a1＝﹣2﹣1＝﹣3，a4＝a3﹣a2＝﹣3﹣（﹣2）＝﹣1，a5＝a4﹣a3＝﹣1﹣（﹣3）＝2，a6＝a5﹣a4＝2﹣（﹣1）＝3，a7＝a6﹣a5＝3﹣2＝1，a8＝a7﹣a6＝1﹣3＝﹣2，…∴数列{a n}是以6为最小正周期的周期数列，∵2023÷6＝337……1，∴a2023＝a1＝1，a1+a2+a3+a4+a5+a6＝1﹣2﹣3﹣1+2+3＝0，∴数列{a n}的前2023项的和为：a1+a2+…+a2023＝（a1+a2+a3+a4+a5+a6）+（a7+a8+a9+a10+a11+a12）+…+（a2017+a2018+a2019+a2020+a2021+a2022）+a2023＝0+0+…+0+1＝1．故答案为：2；1．16．已知平面α和三条不同的直线m，n，l．给出下列六个论断：①m⊥α；②m∥α；③m∥l；④n⊥α；⑤n∥α；⑥n∥l．以其中两个论断作为条件，使得m∥n成立．这两个论断可以是①④（或③⑥）．（填上你认为正确的一组序号）解：由平面α和三条不同的直线m，n，l．①m⊥α；②m∥α；③m∥l；④n⊥α；⑤n∥α；⑥n∥l．得：若①m⊥α，④n⊥α，则由线面垂直的性质得m∥n，若③m∥l，⑥n∥l，则由平行公理得m∥n．∴以其中两个论断作为条件，使得m∥n成立．这两个论断可以是①④（或③⑥）．故答案为：①④（或③⑥）．17．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列{a n}，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a1＝1，a5＝12，a9＝192，则a7＝48，数列{a n}的所有项的和为384．解：∵数列{a n}的后7项成等比数列，a n＞0，∴a7=√a5a9=√12×192=48，∴a3=a52a7=12248=3，∴公比q=√a5a3=√123=2．∴a4＝3×2＝6，又该数列的前3项成等差数列，∴数列{a n}的所有项的和为3(a1+a3)2+6×(26−1)2−1=3×(1+3)2+378＝384．故答案为：48；384．18．已知函数f(x)=λsin(π2x+φ)(λ＞0，0＜φ＜π)的部分图象如图1所示，A，B分别为图象的最高点和最低点，过A作x轴的垂线，交x轴于点A'，点C为该部分图象与x轴的交点．将绘有该图象的纸片沿x轴折成直二面角，如图2所示，此时|AB|=√10，则λ＝√3．给出下列四个结论： ①φ=π3；②图2中，AB →⋅AC →=5；③图2中，过线段AB 的中点且与AB 垂直的平面与x 轴交于点C ；④图2中，S 是△A 'BC 及其内部的点构成的集合．设集合T ＝{Q ∈S ||AQ |≤2}，则T 表示的区域的面积大于π4．其中所有正确结论的序号是 ②③ ． 解：在图2中，过B 作BD 垂直x 轴于D ， 由题意可得T =2ππ2=4，∴A ′D ＝2，∴A ′B =√λ2+4，∴AB =√A′B 2+AA′2=√2λ2+4=√10，解得λ=√3或λ=−√3（舍去），∴f （x ）=√3sin （π2x +φ），当x ＝0时，√3sin φ=√32，∵0＜φ＜π，∴φ=π6或φ=5π6，当φ=π6显然不符合图象的变化情况，故舍去， ∴φ=5π6，故①错误； 由题意可得AC =√3+1=2，BC ＝2， ∴cos ∠BAC =10+4−42√10×2=√104，∴AB →•AC →=|AB →|•|AC →|•cos ∠BAC =√10×2×√104=5，故②正确；∵AC ＝BC ＝2，∴过线段AB 的中点且与AB 垂直的平面与x 轴交于点C ，故③正确； ∵|AQ |≤2，二面角为直二面角可得|A ′Q |≤1，∴T 表示的区域的面积为π×12×∠BA′C 2π＜π4，故④错误． 故答案为：√3；②③．三.解答题：（本题有6小题，共72分）19．（10分）已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4． （1）求{a n }和{b n }的通项公式；（2）设c n ＝a n +b n ，求数列{c n }的前n 项和． 解：（1）设{a n }是公差为d 的等差数列， {b n }是公比为q 的等比数列， 由b 2＝3，b 3＝9，可得q =b 3b 2=3， b n ＝b 2q n ﹣2＝3•3n ﹣2＝3n ﹣1； 即有a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝27， 则d =a 14−a 113=2， 则a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1； （2）c n ＝a n +b n ＝2n ﹣1+3n ﹣1，则数列{c n }的前n 项和为[1+3+…+（2n ﹣1）]+（1+3+9+…+3n ﹣1）=12n •2n +1−3n 1−3＝n 2+3n−12．20．（10分）已知函数f （x ）＝A sin x cos x −√3cos2x 的一个零点为π6．（1）求A 和函数f （x ）的最小正周期；（2）当x ∈[0，π2]时，若f （x ）≤m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解：（1）∵f （x ）＝A sin x cos x −√3cos2x =A2sin2x −√3cos2x 的一个零点为π6，∴f （π6）=A 2×√32−√32=0， ∴A ＝2，f （x ）＝sin2x −√3cos2x ＝2sin （2x −π3）， ∴T =2π2=π； （2）当x ∈[0，π2]时，2x −π3∈[−π3，2π3]，2sin （2x −π3）∈[−√3，2]，∴f （x ）max ＝2，∴m ≥2，即m ∈[2，+∞）．21．（12分）在△ABC 中，2asinB =√2b ．（1）求A；（2）若b=2√6，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求△ABC的面积．条件①：cosC=−√1010；条件②：a＝2；条件③：sinB=√55．注：如果选择了不合适的条件，则第（2）问记0分．解：（1）在△ABC中，2asinB=√2b⇒2sinAsinB=√2sinB，因为B∈（0，π），sin B＞0，所以2sinA=√2⇒sinA=√22，又A∈（0，π），所以A=π4或A=3π4．（2）若选①，即cosC=−√1010，则π2＜C＜π，所以0＜A＜π2，0＜B＜π2，sinC=3√1010，则A=π4，则sinB=sin(π−(A+C))=sin(A+C)=sin(π4+C)=√22×(−√1010)+3√1010×√22=√55，由正弦定理得：a sinA =bsinB=csinC，a=2655√22=2√15，c=26553√1010=6√3，则△ABC存在且唯一确定，△ABC面积为S=12acsinB=12×2√15×6√3×√55=18．若选②，即a＝2，又b=2√6，2asinB=√2b，所以sinB=√3，矛盾，所以②不成立．若选③，由sinB=√55，b=2√6，2asinB=√2b，得a=2√15，由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，当A=π4时，60＝24+c2﹣2bc cos A，得c2−4√3c−36=0⇒c=6√3或c=−2√3舍；当A=3π4时，60＝24+c2﹣2bc cos A，得c2+4√3c−36=0⇒c=2√3或c=−6√3舍，此时△ABC存在但不唯一确定，所以不合题意．22．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝2，AB＝4，点E在线段AB上，且AE=34 AB．（1）求证：CE ⊥平面PBD ； （2）求二面角P ﹣CE ﹣D 的余弦值； （3）求点A 到平面PCE 的距离．解：（1）证明：因为PD ⊥平面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥CE ， 因为AB ＝4，AE =34AB ，所以AE ＝3，BE ＝1， 所以ABAD=BC BE=2，∠ABC ＝∠EBC ，所以Rt △CBE ∽Rt △BAD ，所以BD ⊥CE ，又因为PD ⊥CE ，PD ∩BD ＝D ，PD ，BD ⊂平面PBD ， 所以CE ⊥平面PBD ；（2）因为PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， 所以PD ⊥AD ，PD ⊥CD ，又因为ABCD 是矩形，AD ⊥CD ， 所以AD ，CD ，PD 两两垂直，如图建立空间直角坐标系D ﹣xyz ，则C （0，4，0），P （0，0，2），E （2，3，0），A （2，0，0）， 所以PC →=（0，4，﹣2），CE →=（2，﹣1，0）， 设平面PCE 的一个法向量为n →=（x ，y ，z ）， 则有{n →⋅PC →=4y −2z =0n →⋅CE →=2x −y =0，令x ＝1，则y ＝2，z ＝4，于是n →=（1，2，4），因为PD ⊥平面ABCD ，取平面CED 的法向量为m →=（0，0，1），则cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →||n →|=41×1+4+16=4√2121，由图可知二面角P ﹣CE ﹣D 为锐角， 所以二面角P ﹣CE ﹣D 的余弦值为4√2121； （3）由（2）知AP →=（﹣2，0，2）， 而平面PCE 的一个法向量为n →=（1，2，4），所以点A 到平面PCE 的距离为|AP⋅n →||n →|=√1+4+16=2√217． 23．（14分）如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ，四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AB ＝AD ＝1，BC ＝3． （Ⅰ）求证：AF ⊥CD ；（Ⅱ）求直线BF 与平面CDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段BD 上是否存在点M ，使得直线CE ∥平面AFM ？若存在，求BM BD的值；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）证明：∵四边形ADEF 为正方形， ∴AF ⊥AD ，又∵平面ADEF ⊥平面ABCD ， ∴AF ⊥平面ABCD ， ∴AF ⊥CD ；（Ⅱ）取BC 的三等分点G ，H 如图，连接EG ，可由EF ∥AD ，AD ∥BC ，得EF ∥BG ， 且EF ＝AD ＝BG ＝1，∴四边形BGEF 为平行四边形， ∴GE ∥BF ， ∵DE ∥AF ， ∴DE ⊥平面ABCD ， ∴平面EDC ⊥平面ABCD ， 作GN ⊥CD 于N ， 则GN ⊥平面EDC ， 连接EN ，则∠GEN 为GE 与平面EDC 所成的角， 在Rt △CGD 中，求得GN =2√5， 又GE ＝BF =√2， ∴sin ∠GEN =GNGE =√105，故直线BF 与平面CDE 所成角的正弦值为：√105；（Ⅲ）连接FH ，易证四边形EFHC 为平行四边形， ∴EC ∥FH ， ∴EC ∥平面AFH ， 连接AH 交BD 于M ， 则CE ∥平面AFM ， 此时BM MD=BH AD=2，∴BM BD=23．24．（14分）设λ为正实数，若各项均为正数的数列{a n }满足：∀n ∈N *，都有a n +1≥a n +λ．则称数列{a n }为P （λ）数列．（Ⅰ）判断以下两个数列是否为P （2）数列： 数列A ：3，5，8，13，21； 数列B ：log 25，π，5，10．（Ⅱ）若数列{b n }满足b 1＞0且b n +1＝b n +√n +3−√n +1，是否存在正实数λ，使得数列{b n }是P （λ）数列？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．（Ⅲ）若各项均为整数的数列{a n }是P （1）数列，且{a n }的前m （m ≥2）项和a 1+a 2+a 3+⋯+a m 为150，求a m +m 的最小值及取得最小值时a m 的所有可能取值． 解：（Ⅰ）根据定义，P （2）数列应满足∀n ∈N *，a n +1≥a n +2， 即a n +1﹣a n ≥2恒成立，对于数列A ：有5﹣3＝2≥2，8﹣5＝3≥2，13﹣8＝5≥2，21﹣13＝8≥2， 均满足，∴数列A 是P （2）数列；对于数列B ：∵5﹣π＜2，不满足，∴数列B 不是P （2）数列； （Ⅱ）不存在正实数λ，使得数列{b n }是P （λ）数列． 理由如下：假设存在正实数λ，使得数列{b n }是P （λ）数列， 则∀n ∈N *，都有b n +1≥b n +λ，∴b n +1﹣b n ≥λ恒成立， ∵b n+1=b n +√n +3−√n +1， ∴b n +1﹣b n =√n +3−√n +1=2√n+3+√n+11√n ， 当n ＞1λ2时，b n +1﹣b n 1√n λ，这与假设矛盾，∴不存在正实数λ，使得数列{b n }是P （λ）数列； （Ⅲ）∵数列{a n }是P （1）数列，∴a n +1≥a n +1， ∴a m ≥a m ﹣1+1≥a m ﹣2+2≥…≥a 1+m ﹣1≥m ，∴a m ﹣1≤a m ﹣1，a m ﹣2≤a m ﹣1﹣1，a m ﹣3≤a m ﹣2﹣1≤a m ﹣3，…，a 2≤a 3﹣1≤a m ﹣（m ﹣2）， a 1≤a 2﹣1≤a m ﹣（m ﹣1），∴a 1+a 2+a 3+…+a m ≤ma m ﹣[1+2+3+…+（m ﹣1）]=ma m −m(m−1)2，∴150≤ma m −m(m−1)2，∴a m ≥150m +m 2−12， ∴a m +m ≥150m +m 2−12=30−12=592， ∵数列{a n }是整数数列，∴a m +m 的最小值不小于30， 假设a m +m ＝30，必有150m+3m 2−12≤30，解得253≤m ≤12，∵m ∈N *，∴m 可取9，10，11，12， 当m ＝9时，a m ＝21，存在满足条件的数列，a 1＝10，a 2＝14，a 3＝15，a 4＝16，a 5＝17，a 6＝18，a 7＝19，a 8＝20，a 9＝21， 当m ＝10时，a m ＝20，存在满足条件的数列，a 1＝6，a 2＝12，a 3＝13，a 4＝14，a 5＝15，a 6＝16，a 7＝17，a 8＝18，a 9＝19，a 10＝20， 当m ＝11时，a m ＝19，存在满足条件的数列，a 1＝5，a 2＝10，a 3＝11，a 4＝12，a 5＝13，a 6＝14，a 7＝15，a 8＝16，a 9＝17，a 10＝18，a 11＝19， 当m ＝12时，a m ＝18，存在满足条件的数列，a 1＝7，a 2＝8，a 3＝9，a 4＝10，a 5＝11，a 6＝12，a 7＝13，a 8＝14，a 9＝15，a 10＝16，a 11＝17，a 12＝18， 以上都是a m +a n ＝30的充分条件， ∴a m +m 的最小值为30，此时取得最小值时a m 的所有可能取值为18，19，20，21．。
北京市海淀区中关村中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学(理)试题Word版含解析
北京市海淀区中关村中学2018-2019学年上学期期中考试高二数学（理）试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一个正确答案，请将正确答案的序号涂在答题卡上）1．线段AB 在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系是（ ）．A ．AB α⊂B ．AB α⊄C ．线段AB 的长短而定D ．以上都不对【答案】A【解析】∵线段AB 在平面α内， ∴直线AB 上所有的点都在平面α内，∴直线AB 与平面α的位置关系是：直线AB 在平面α内， 即AB α⊂， 故选A ．2．如图，1111ABCD A B C D -为正方体，下列结论错误．．的是（ ）．DABC C 1D 1B 1A 1A ．BD ∥平面11CB D B ．1AC BD ⊥C ．1AC ⊥平面11CB DD ．异面直线AD 与1CB 角为60︒【答案】D【解析】异面直线AD 与CB 所成的角为45︒， 所以结论错误， 故选D ．3．ABC △的斜二侧直观图如下图所示，则ABC △的面积为（ ）．A ．1B ．2CD ．以上都不对【答案】B【解析】根据斜二测画法的原则可知：ABC △为直角三角形，底为2，高为2，所以面积是2， 故选B ．4．下列说法正确的是（ ）．A ．a b ∥，b a αα⊂⇒∥B ．a b ⊥，b a αα⊂⇒⊥C ．a α⊥，b a b α⊥⇒∥D ．αβ⊥，a a βα⊂⇒⊥【答案】C【解析】由线面垂直的性质定理可知：a α⊥，b α⊥，则a b ∥， 故选C ．5．已知三棱锥的主视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的左视图可能是（ ）．俯视图主视图2211A ．1122 B ．32 C ．22D ．22【答案】B【解析】根据正视图和俯视图，作出该三棱锥的几何直观图，如图所示，223O DABC则侧视图为直角三角形，且底边边长为||AD =，高为||2OC =， 故选B ．6．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成的角的大小为（ ）．A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒【答案】C【解析】DACO折叠后的三棱锥如图，易知当平面ACD 垂直于平面ABC 时三棱锥的体积最大， 设AC 的中点为O ，则DBO ∠即为所求， 而DOB △是等腰直角三角形， 所以45DBO ∠=︒， 故选C ．7．如下图所示，已知A ，B ，C 三点不共线，P 为平面ABC 内一定点，O 为平面ABC 外任一点，则下列能表示向量OP 的为（ ）．A BCOPA ．22OA OB OC ++ B ．32OA AB AC -- C ．23OA AB AC +-D ．32OA AB AC +-【答案】D【解析】以AP 为对角线，以AB ，AC 所在直线为邻边做平行四边形， 则32AP AB AC =-，∴32OP AP AO AB AC OA =-=-+， 故选D ．8．如下图在直三棱柱111ABC A B C -中，π2BAC ∠=，11AB AC AA ===，已知G 与E 分别为11A B 和1CC 的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点），若GD EF ⊥，则线段DF 长度的取值范围为（ ）．DGABC EFC 1B 1A 1A．⎫⎪⎭B．⎣⎦C．D．【答案】A【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，10,1,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,0,12G ⎛⎫⎪⎝⎭，(,0,0)F x ，(0,,0)D y ．∵GD EF ⊥，∴210x y +-=，∴DF∵01x <<，01y <<， ∴102y <<， ∴当25y =时，线段DF，当0y =时，线段DF 长度的最大值是1，（因为不包括端点，故0y =不能取，即DF 长度不能等于1）， 故线段DF的长度的取值范围是：⎫⎪⎭， 故选A ．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸中）9．已知αβ⊥，平面α与平面β的法向量分别为m ，n ，且(1,2,5)m =-，(3,6,)n z =-，则z =__________．【答案】3【解析】∵αβ⊥，且平面α与平面β的法向量分别为m ，n ， ∴(1,2,5)(3,6,)31250m n z z ⋅=--=--+=， 解得：3z =．10．已知正四棱锥V ABCD -的底面面积为16，一条侧棱长为，则它的斜高．．为__________． 【答案】6【解析】设VO 为正四棱锥V ABCD -的高，连接OB ，则VO OB ⊥，VD ABCO∵底面正方形ABCD 的面积为16， ∴4BC =，OB =又∵VB =∴6VO =， ∴正四棱锥V ABCD -的高为6．11．若一个圆锥的底面半径为1，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥的体积为__________．【解析】设圆锥的母线长为l ，∵2ππS r ==底，【注意有文字】∴π2πS rl ==侧，【注意有文字】 ∴2l =，∴圆锥的高h∴圆锥的体积11π33V S h ==⨯底．【注意有文字】12．若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如下图所示，则其表面积等于__________．【答案】6+【解析】由题意知三棱柱的底面是一个边长为2的正三角形， 侧棱长是1，且侧棱与底面垂直，∴三棱柱的表面积是：12232162⨯⨯⨯⨯=+13．二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ．已知4AB =，6AC =，8BD =，CD =__________．DA BC【答案】60︒【解析】E CBA D如图，过点B 作BE AC ∥，使得BE AC =， 连接CE ，DE ，则四边形ABEC 为平行四边形， ∴6BE AC ==，BE AB ⊥，CE AB ∥，CE AB =， 而BD AB ⊥，∴DBE ∠即是二面角AB αβ--的平面角， ∵BE AC ∥，AC AB ⊥，BD AB ⊥，CE AB ∥， ∴BE CE ⊥，BD CE ⊥， ∴CE ⊥平面BDE ， ∴CE DE ⊥，在Rt CDE △中，4CE AB ==，CD =∴DE ==在BDE △中，2221cos 22BE BD DE DBE BE BD +-∠==⋅，∴60DBE ∠=︒，故该二面角的大小为60︒．14．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面为S ，则下列命题正确的是__________（写出所有正确命题的编号）．A 1①当102CQ <<时，S 为四边形；②当12CQ =时，S 为等腰梯形；③当34CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足114C R =；④当314CQ <<时，S 为五边形； ⑤当1CQ =时，S． 【答案】①②④ 【解析】①项，12CQ =时，S 为APQD ， 而102CQ <<时，线段1DD 上同理，存在一点，与PQ 平行， 此时，S 为四边形，且是梯形，故命题①为真；M Q P D 1C 1A 1B 1CB AD②项，1AP D Q =，1AD PQ ∥，1APQD 是等腰梯形，故命题②为真；③项OQPD 1C 1A 1B 1C B AD当34CQ =时，如图所示，0AP DC =， ∵点P 是BC 的中点，∴CO CD AB ==， ∴1113C R C Q CO QC ==， ∴S 与11CD 的交点R 满足113C R =，故命题③为假．④项，如图所示，S 为五边形，故命题④为真；QP D 1C 1A 1B 1CB AD⑤项，如图所示，S2=， DAB C B 1A 1C 1D 1PQ故命题⑤为假．综上所述，命题正确的是：①②④．三、解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程） 15．已知向量(2,1,2)a =--，(1,1,4)b =-． （I ）计算23a b -和23a b -． （II ）求,a b ． 【答案】见解析【解析】解：（I ）232(2,1,2)3(1,1,4)(4,2,4)(3,3,12)(1,5,8)a b -=----=----=-．2|23|1(a b -=+=（2）cos ,||||33a b a b a b ⋅===⨯，又[],0,πa b ∈， 故π,4a b =．16．如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且2PA =，E 是侧棱PA 上的动点．A BCPE（I ）如果E 是PA 的中点，求证PC ∥平面BDE ．（II ）是否不论点E 在侧棱PA 的任何位置，都有BD CE ⊥？证明你的结论． 【答案】见解析【解析】OECBA（1）证明：连接AC 交BD 于O ，连接EO ， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴O 是AC 的中点， 又∵E 是PA 的中点， ∴PC OE ∥，∵PC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ， ∴PC ∥平面BDE ．（2）不论点E 在何位置，都有BD CE ⊥，证明如下： ∵四边形ABCD 是正方形， ∴BD AC ⊥，∵PA ⊥底面ABCD ，且BP ⊂平面ABCD ， ∴BD PA ⊥， 又∵ACPA A =，∴BD ⊥平面PAC ，∵不论点E 在何位置，都有CEC 平面PAC ， ∴不论点E 在何位置，都有BD CE ⊥．17．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且120ABC ∠=︒，点E 是棱PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点F ．D ABC EF P（1）求证：AB EF ∥．（2）若2PA PD AD ===，且平面PAD ⊥平面ABCD ， 求①二面角E AF D --的锐二面角的余弦值．②在线段PC 上是否存在一点H ，使得直线BH 与平面AEF 所成角等于60︒，若存在，确定H 的位置，若不存在，说明理由． 【答案】见解析【解析】（1）证明：∵AB CD ∥，CD ⊂平面PCD ，AB ⊄平面PCD ， ∴AB ∥平面PCD ，又∵AB ⊂平面ABEF ，且平面ABEF 平面PCD EF =，∴AB EF ∥，（2）①取AD 的中点O ，连接PO ，OB ，BD ， ∵ABCD 是菱形，且120ABC ∠=︒，PA PD AD ==， ∴ABD △，PAD △是等边三角形， ∴PO AD ⊥，OB AD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，∴PO ⊥平面ABCD ，以O 为原点，以OB ，OD ，OP 为坐标轴建立空间坐标系O xyz -，则：(0,1,0)A =-，(0,1,0)D，P，B，C，E ⎝⎭，10,2F ⎛ ⎝⎭．30,2AF ⎛= ⎝⎭，1,02EF ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面AEF 的法向量为(,,)n x y z =，则： 00n AF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴302102y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 令1x =得：(1,3,3)n =-； ∵OB ⊥平面PAD ，∴(3,0,0)OB =为平面PAD 的一个法向量．∴cos ,||||13OB n OB n OB n ⋅===故二面角E AF D -- ②假设PC 上存在点H 便得直线BH 与平面AEF 所成角等于60︒， 则BH 与n 所成夹角为30︒，设(,2)(01)CH CP λλλ==-≤≤，则：(,22)BH BC CH λ=+=-，cos ,||||13BH n BH n BH n ⋅===， 化简得：2191260λλ--=，解得：λλ， ∴线段PC 上存在一点H ，使得直线BH 与平面AEF 所成的角等于60︒．。
北京市东城区2024届高三下学期综合练习(一)(一模)数学试题(含答案与解析)_4942
北京市东城区2023~2024学年度第二学期高三综合练习（一）数学本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 如图所示，U 是全集，,A B 是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A. A B ⋂B. A B ⋃C. ()U A B ⋂ðD. ()U A B ⋃ð2. 已知,R,0a b ab ∈≠，且a b <，则（ ） A.11a b> B. 2ab b < C. 33a b <D. lg lg a b <3. 已知双曲线221x my -=的离心率为2，则m =（ ） A 3B.13C. 3-D. 13-4. 设函数()11ln f x x=+，则（ ） A. ()12f x f x ⎛⎫+=⎪⎝⎭ B. ()12f x f x ⎛⎫-=⎪⎝⎭C. ()12f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D. ()12f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.5. 已知函数()sin cos (0,0)f x t x x t ωωω=+>>的最小正周期为π，则函数()f x 的图象（ ）A. 关于直线π4x =-对称B. 关于点π,04⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C. 关于直线π8x =对称 D. 关于点π,08⎛⎫⎪⎝⎭对称 6. 已知443243210()x m a x a x a x a x a +=++++，若0123481++++=a a a a a ，则m 的取值可以为（ ） A. 2B. 1C. 1-D. 2-7. 《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法.某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为20cm ，高为20cm .首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为2cm 的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同学制作四片瓦，全年级共500人，需要准备的粘土量（不计损耗）与下列哪个数字最接近.（参考数据：π 3.14≈）（ ）A 30.8mB. 31.4mC. 31.8mD. 32.2m8. 设等差数列{}n a 公差为d ，则“10a d <<”是“{}na n为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 如图1，正三角形ABD 与以BD 为直径的半圆拼在一起，C 是弧BD的中点，O 为ABD △的中心.现将ABD △沿BD 翻折为1A BD ，记1A BD 的中心为1O ，如图2.设直线1CO 与平面BCD所成的角为.的θ，则sin θ的最大值为（ ）A.13B.12C.D.10. 已知()f x 是定义在R 上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，设函数()()()()a f x f a g x a x a-=∈-R ，下列说法正确的是（）A. 若()f x 在R 上单调递增，则存在实数a ，使得()a g x 在(),a ∞+上单调递增B. 对于任意实数a ，若()a g x 在(),a ∞+上单调递增，则()f x 在R 上单调递增C. 对于任意实数a ，若存在实数10M >，使得()1f x M <，则存在实数20M >，使得()2a g x M <D. 若函数()a g x 满足：当(),x a ∞∈+时，()0a g x ≥，当(),x a ∞∈-时，()0a g x ≤，则()f a 为()f x 的最小值第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 若复数1i iz +=，则z =_________.12. 设向量()()1,,3,4a m b ==- ，且a b a b ⋅=，则m =______. 13. 已知角,αβ的终边关于直线y x =对称，且()1sin 2αβ-=，则,αβ的一组取值可以是α=______，β=______.14. 已知抛物线21:4C y x =的焦点为1F ，则1F 的坐标为______；抛物线22:8C y x =的焦点为2F ，若直线()0y m m =≠分别与12,C C 交于,P Q 两点；且121PF QF -=，则PQ =______.15. 已知数列{}n a 的各项均为正数，满足21n n n a ca a +=+，其中常数c ∈R .给出下列四个判断：①若11,0a c =<，则()121n a n n <≥+； ②若1c =-，则()121n a n n <≥+； ③若()1,2n c a n n =>≥，则11a >； ④11a =，存实数c ，使得()2n a n n >≥. 其中所有正确判断的序号是______.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 在ABC中，cos cos cos a C c A B +=. （1）求B ∠；（2）若12,a D =为BC 边的中点，且3AD =，求b 的值.17. 某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图：（1）若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数；（2）用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为X ，求X 的分布列与数学期望()E X ；（3）若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为Y ，试在判断数学期望()E Y 与（2）中的()E X 的大小.（结论不要求证明） 18. 如图，在五面体ABCDEF 中，底面ABCD 为正方形，4,1AB EF ==.（1）求证：//AB EF ；（2）若H 为CD 的中点，M 为BH的中点，,EM BH EM ⊥=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线CF 与平面ADE 所成角的正弦值. 条件①：ED EA =； 条件②：5AE =.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分 19. 已知函数()()ln 1f x x x =-.（1）求曲线()y f x =在2x =处的切线方程； （2）设()()g x f x '=，求函数()g x 的最小值；（3）若()2f x x a>-，求实数a 的值. 20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>短轴长为e =（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，直线l 是圆221x y +=的一条切线，且直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，若平行四边形OMPN 的顶点P 恰好在椭圆C 上，求平行四边形OMPN 的面积.21. 有穷数列12,,,(2)n a a a n > 中，令()()*1,1,,p p q S p q a a a p q n p q +=+++≤≤≤∈N ，（1）已知数列3213,,,--，写出所有的有序数对(),p q ，且p q <，使得(),0S p q >；（2）已知整数列12,,,,n a a a n 为偶数，若(),11,2,,2n S i n i i ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，满足：当i 为奇数时，的(),10S i n i -+>；当i 为偶数时，(),10S i n i -+<.求12n a a a +++ 的最小值；（3）已知数列12,,,n a a a 满足()1,0S n >，定义集合(){}1,0,1,2,,1A i S i n i n =+>=- .若{}()*12,,,k A i i i k =∈N 且为非空集合，求证：()121,k i i i S n a a a >+++ .参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 如图所示，U 是全集，,A B 是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）A. A B ⋂B. A B ⋃C. ()U A B ⋂ðD. ()U A B ⋃ð【答案】D 【解析】【分析】由给定的韦恩图分析出阴影部分所表示的集合中元素满足的条件，再根据集合运算的定义即可得解.【详解】由韦恩图可知阴影部分所表示的集合是()U A B ð. 故选：D.2. 已知,R,0a b ab ∈≠，且a b <，则（ ） A.11a b> B. 2ab b < C. 33a b <D. lg lg a b <【答案】C 【解析】【分析】举出反例即可判断ABD ，利用作差法即可判断C. 【详解】当2,1a b =-=时，11,lg >lg a b a b<，故AD 错误； 当2,1a b =-=-时，221ab b =>=，故B 错误；对于C ，因a b <，所以0a b -<，因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，为则()()()3322213024a b a b a ab ba b a b b ⎡⎤⎛⎫-=-++=-++< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以33a b <，故C 正确. 故选：C.3. 已知双曲线221x my -=的离心率为2，则m =（ ） A. 3 B.13C. 3-D. 13-【答案】B 【解析】【详解】由双曲线221x my -=可得：2211,a b m==，2c e a ====，所以13m =，故选：B . 4. 设函数()11ln f x x=+，则（ ） A. ()12f x f x ⎛⎫+=⎪⎝⎭ B. ()12f x f x ⎛⎫-=⎪⎝⎭ C. ()12f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D. ()12f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据函数解析式，分别计算即可得解.【详解】函数()11ln f x x=+的定义域为()()0,11,+∞ ， 对于A ，()1111111221ln ln ln lnf x f x x x x x⎛⎫+=+++=++= ⎪-⎝⎭，故A 正确； 对于B ，()111112111ln ln ln ln lnf x f x x x x x x⎛⎫-=+--=--=⎪-⎝⎭，故B 错误； 对于CD ，当e x =时，()11112,1011f x f x ⎛⎫=+==+= ⎪-⎝⎭，故CD 错误. 故选：A.5. 已知函数()sin cos (0,0)f x t x x t ωωω=+>>的最小正周期为π，则函数()f x 的图象（ ）A. 关于直线π4x =-对称B. 关于点π,04⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C. 关于直线π8x =对称 D. 关于点π,08⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】C 【解析】【分析】先利用辅助角公式化一，再根据周期性求出ω，根据最值求出t ，再根据正弦函数的对称性逐一判断即可.【详解】()()sin cos f x t x x x ωωωϕ=+=+，其中1tan tϕ=，因为函数的最小正周期为π， 所以2ππω=，解得2ω=，，=1t =（1t =-舍去），所以()πsin 2cos 224x x x f x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为ππ144f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以函数图象不关于直线π4x =-对称，也不关于点π,04⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故AB 错误；因为ππ82f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以函数图象关于直线π8x =对称，不关于点π,08⎛⎫⎪⎝⎭对称，故C 正确，D 错误.故选：C .6. 已知443243210()x m a x a x a x a x a +=++++，若0123481++++=a a a a a ，则m 取值可以为（ ） A. 2 B. 1 C. 1- D. 2-【答案】A 【解析】【分析】借助赋值法计算即可得.【详解】令1x =，有()443210118m a a a a a ++++==+， 即2m =或4m =-. 故选：A.7. 《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法.某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为20cm ，高为20cm .首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为2cm 的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦.每位同学制作四片瓦，全年级共500人，需要准备的粘土量（不计损耗）与下列哪个数字最接近.（参考数据：π 3.14≈）（ ）A. 30.8mB. 31.4mC. 31.8mD. 32.2m【答案】B 【解析】【分析】结合圆柱体积公式求出四片瓦体积，再求需准备的粘土量.【详解】由条件可得四片瓦的体积22π1220π1020880πV =⨯⨯-⨯⨯=（3cm ） 所以500名学生，每人制作4片瓦共需粘土的体积为500880π440000π⨯=（3cm ）， 又π 3.14≈，的的所以共需粘土的体积为约为31.3816m ， 故选：B.8. 设等差数列{}n a 的公差为d ，则“10a d <<”是“{}na n为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用等差数列通项公式求出na n，再利用单调数列的定义，结合充分条件、必要条件的意义判断即得.【详解】由等差数列{}n a 的公差为d ，得1n a a d nd =-+，则1n a a d d n n-=+， 当10a d <<时，10a d -<，而111n n >+，则111a d a d n n --<+，因此11n n a a n n +<+，{}n a n为递增数列；当{}n a n为递增数列时，则11n n a a n n +<+，即有111a d a dn n --<+，整理得1a d <，不能推出10a d <<，所以“10a d <<”是“{}n an为递增数列”的充分不必要条件.故选：A9. 如图1，正三角形ABD 与以BD 为直径的半圆拼在一起，C 是弧BD的中点，O 为ABD △的中心.现将ABD △沿BD 翻折为1A BD ，记1A BD 的中心为1O ，如图2.设直线1CO 与平面BCD 所成的角为θ，则sin θ的最大值为（ ）A.13B.12C.D.【答案】C 【解析】【分析】结合题意，可得1EO EC =1CO 在平面BCD 的投影为直线CE，借助正弦定理计算可得tan θ=tan θ的最大值即可得sin θ的最大值.【详解】取BD 中点E ，连接CE ，1A E ，由三角形ABD 为正三角形，故1O 在线段1A E 上，且1113EO A E BD ===，即1EO EC =， 由题意可得BD EC ⊥，1BD A E ⊥，1A E 、EC ⊂平面1ECO ，1A E EC E = ， 故BD ⊥平面1ECO ，又1CO ⊂平面1ECO ，故直线1CO 在平面BCD 的投影为直线CE ， 即1ECO θ=∠，则有()111sin sin sin sin πEO EC CO E O EC θθθ===∠--∠，整理可得tan θ=()10,πO EC ∠∈，令()()0,πf x x =∈，()f x =='，故当cos x ⎛∈- ⎝时，()0fx '<，当cos x ⎫∈⎪⎪⎭时，()0f x '>，令()00,πx ∈，且0cos x =，则0sin x ==， 则()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,πx 上单调递减，即()f x 有最大值()0f x ===即tan θ，则sin θ=故选：C.【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助正弦定理表示出θ与1O EC ∠的关系，通过导数计算出tan θ的最大值从而得到sin θ的最大值.10. 已知()f x 是定义在R 上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，设函数()()()()a f x f a g x a x a-=∈-R ，下列说法正确的是（）A. 若()f x 在R 上单调递增，则存在实数a ，使得()a g x 在(),a ∞+上单调递增B. 对于任意实数a ，若()a g x 在(),a ∞+上单调递增，则()f x 在R 上单调递增C. 对于任意实数a ，若存在实数10M >，使得()1f x M <，则存在实数20M >，使得()2a g x M <D. 若函数()a g x 满足：当(),x a ∞∈+时，()0a g x ≥，当(),x a ∞∈-时，()0a g x ≤，则()f a 为()f x 的最小值【答案】D 【解析】【分析】首先理解函数()a g x 表达的是函数()f x 图像上两点割线的斜率，当x a →时，表示的为切线斜率，然后举反例设()f x x =可判断A 错误；设()2f x x =可得B 错误；设()sin f x x =可得C 错误；由函数单调性的定义可以判断D 正确. 【详解】函数()()()()a f x f a g x a x a-=∈-R 表达的是函数()f x 图象上两点割线的斜率，当x a →时，表示的为切线斜率；所以对于A ：因为()f x 是定义在R 上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，且()f x 在R 上单调递增， 所以设()f x x =，则()f a a =，此时()()()()1a f x f a x ag x a x ax a--===∈--R 为常数，即任意两点的割线的斜率为常数，故A 错误； 对于B ：设()2f x x =，由图象可知，当x ∈R 时，随x 增大，点()(),x f x 与点()(),a f a 连线的割线斜率越来越大，即单调递增，但()f x 在R 不是单调函数，故B 错误；对于C ：因为对于任意实数a 存在实数10M >，使得()1f x M <，说明()f x 为有界函数，所以设()sin f x x =，但割线的斜率不一定有界，如图当0x +→时，割线的斜率趋于正无穷，故C 错误；对于D ：因为函数()a g x 满足：当(),x a ∞∈+时，()0a g x ≥， 即()()()()()()()00,a f x f a g x f x f a x a x a x a-⎡⎤=≥⇒--≥≠⎣⎦-，因为x a >，0x a ->，所以()()f x f a ≥； 同理，当(),x a ∞∈-时，()0a g x ≤， 即()()()()()()()00,a f x f a g x f x f a x a x a x a-⎡⎤=≤⇒--≤≠⎣⎦-，因为x a <，0x a -<，所以()()f x f a ≥； 所以()f a 为()f x 的最小值，故D 正确；故选：D.【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解函数()a g x 表达的是函数()f x 图像上两点割线的斜率，当x a →时，表示的为切线斜率，然后通过熟悉的函数可逐项判断.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 若复数1i iz +=，则z =_________.【解析】 【分析】利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，然后利用复数的模长公式可计算出z 的值.【详解】()()21111i i i z i i i i i++===-+=- ，因此，z ==..【点睛】本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的除法运算，考查计算能力，属于基础题.12. 设向量()()1,,3,4a m b ==- ，且a b a b ⋅=，则m =______.【答案】43-##113- 【解析】【分析】根据数量积的定义，向量共线的坐标表示，结合已知条件，求解即可. 【详解】设,a b的夹角为θ，cos a b a b a b θ⋅== ，故cos 1θ=，又[]0,πθ∈，故0θ=，,a b方向相同， 又()()1,,3,4a m b ==- ，则43m -=，解得43m =-，满足题意.故答案为：43-.13. 已知角,αβ的终边关于直线y x =对称，且()1sin 2αβ-=，则,αβ的一组取值可以是α=______，β=______.【答案】 ①.π3（答案不唯一，符合题意即可） ②. π6（答案不唯一，符合题意即可） 【解析】【分析】由角,αβ的终边关于直线y x =对称，可得π2π2k αβ+=+，再由()1sin 2αβ-=可得ππ6k β=+或ππ6k β=-+，即可求出答案. 【详解】因为角,αβ的终边关于直线y x =对称， 则π2π2k αβ+=+，Z k ∈，则π2π2k αβ=-+， 因为()1sin 2αβ-=，所以ππ1sin 2πsin 22πcos 2222k k ββββ⎛⎫⎛⎫-+-=-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所有π22π3k β=+或π22π3k β=-+，Z k ∈， 解得：ππ6k β=+或ππ6k β=-+，Z k ∈，取0k =，β的一个值可以为π6，α的一个值可以为π3.故答案为：π3（答案不唯一，符合题意即可）；π6（答案不唯一，符合题意即可）.14. 已知抛物线21:4C y x =的焦点为1F ，则1F 的坐标为______；抛物线22:8C y x =的焦点为2F ，若直线()0y m m =≠分别与12,C C 交于,P Q 两点；且121PF QF -=，则PQ =______.【答案】 ①. ()1,0 ②. 2【解析】【分析】根据抛物线的方程即可得出焦点坐标，根据抛物线的定义求出12,PF QF ，进而可得出PQ . 【详解】由抛物线21:4C y x =，可得()11,0F ，设()()1122,,,P x y Q x y ， 则11221,2PF x QF x =+=+，故121211PF QF x x -=--=，所以122x x -=， 所以122PQ x x =-=.故答案为：()1,0；2.15. 已知数列{}n a 的各项均为正数，满足21n n n a ca a +=+，其中常数c ∈R .给出下列四个判断：①若11,0a c =<，则()121n a n n <≥+； ②若1c =-，则()121n a n n <≥+； ③若()1,2n c a n n =>≥，则11a >； ④11a =，存在实数c ，使得()2n a n n >≥. 其中所有正确判断的序号是______. 【答案】②③④ 【解析】【分析】①直接取13c =-找矛盾；②通过21111111n n nn n n a a a a a a ++⇒=--=>-+，利用累加法求n a 的范围；③假设11a ≤找矛盾；④取2c =，根据函数单调性来确定其成立.【详解】对于①：若11,0a c =<，则21211ca c a a =+=+，当13c =-时，223a =，与213a <矛盾，①错误；对于②：若1c =-，则210n n n a a a +=-+>，所以01n a <<，又2112a a a =-+，若12113a a <-+，该不等式恒成立，即2013a <<， 由()2111111*********n n n n n n n nn n n n a a a a a a a a a a a a ++++⇒=⇒=+⇒-=--=--+由于01n a <<，所以111na >-， 所以1111n n a a +->，所以3n ≥时，11232111111111nn n n a a a a a a ---⎧->⎪⎪⎪->⎪⎨⎪⎪⎪->⎪⎩ ，累加得2112n n a a ->-， 所以2112231n n n n a a >-+>-+=+，所以()131n a n n <≥+， 综合得()121n a n n <≥+，②正确； 对于③：若()1,2n c a n n =>≥，21n n n a a a +=+，假设11a ≤，则21122a a a =+≤，与22a >矛盾，故11a >，③正确；对于④：当11a =时，若2c =，则212n n n a a a +=+，此时2121232a a a =+=>，根据二次函数22y x x =+可得其在()0,∞+上单调递增，并增加得越来越快，但是函数y x =在()0,∞+上单调递增，但增加速度恒定，故在22a >的情况下，n a n >必成立，即存在实数c ，使得()2n a n n >≥，④正确，故答案为：②③④.【点睛】方法点睛：对于数列判断题，我们可以通过赋值，举例的方法对选项进行确认和排除.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 在ABC中，cos cos cos a C c A B +=. （1）求B ∠；（2）若12,a D =为BC 边的中点，且3AD =，求b 的值. 【答案】（1）π6； （2）【解析】【分析】（1）由正弦定理可得sin()cos A C B B +=，结合三角和为π及诱导公式可得cos B =，即可得答案；（2）在ABD △中，由正弦定理可求得π2BAD ∠=，从而可得AB =ABC 中，利用余弦定理求解即可. 【小问1详解】解：因为cos cos cos a C c A B +=，由正弦定理可得sin cos sin cos cos A C C A B B +=，即sin()cos A C B B +=，sin(π)sin cos B B B B -==， 又因为sin 0B ≠，所以1B =，解得cos B =，又因为(0,π)B ∈， 所以π6B =； 【小问2详解】解：因为D 为BC 边的中点，12a =， 所以6BD CD ==, 设BAD θ∠=,在ABD △中，由正弦定理可得sin sin BD ADBθ=， 即6361sin 2θ==，解得sin 1θ=， 又因为(0,π)θ∈，所以π2θ=，在Rt △ABD 中，AB ===在ABC 中，π12,6AB BC B ===，由余弦定理可得：2222cos 1442721263AC AB BC AB AC B =+-⋅⋅=+-⨯⨯=，所以AC =即b =17. 某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图：（1）若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数；（2）用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为X ，求X 的分布列与数学期望()E X ；（3）若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为Y ，试判断数学期望()E Y 与（2）中的()E X 的大小.（结论不要求证明） 【答案】（1）600（2）分布列见解析，() 2.4E X =（3）()()E X E Y =【解析】【分析】（1）借助频率分布直方图计算即可得；（2）借助频率分布直方图可得阅读速度达到540字/分钟及以上的概率，得到X 的可能取值及其对应概率即可得，再计算期望即可； （3）借助期望计算公式计算即可得. 【小问1详解】()15000.003750.0010.0002580600⨯++⨯=，故可估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数为600人； 【小问2详解】从中任取一人，其阅读速度达到540字/分钟及以上的概率为：()0.0050.003750.0010.00025800.8+++⨯=，X 的可能取值为0、1、2、3，()0330C 0.20.008P X ==⨯=， ()1231C 0.80.20.096P X ==⨯⨯=， ()2232C 0.80.20.384P X ==⨯⨯=， ()0333C 0.80.512P X ==⨯=，则其分布列为：X12 3P0.008 0.0960.384 0.512其期望为：()30.8 2.4E X =⨯=； 【小问3详解】()()E X E Y =，理由如下：这10名学生中，阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为8人，Y 的可能取值为1、2、3，()1282310C C 811C 12015P Y ====，()2182310C C 5672C 12015P X ====，()3082310C C 5673C 12015P X ====，则()177123 2.4151515E Y =⨯+⨯+⨯=， 故()()E X E Y =.18. 如图，在五面体ABCDEF 中，底面ABCD 为正方形，4,1AB EF ==.（1）求证：//AB EF ；（2）若H 为CD 的中点，M 为BH的中点，,EM BH EM ⊥=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线CF 与平面ADE 所成角的正弦值. 条件①：ED EA =； 条件②：5AE =.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）先证明//AB 平面EFCD ，再利用线面平行的性质证明//AB EF ；（2）选①②：证明 EM ⊥平面ABCD ，建立以M 为原点的空间坐标系，求出平面ADE 的法向量，利用线面角公式求解 【小问1详解】证明：底面ABCD 为正方形,则//AB CD ，又AB ⊄平面EFCD ，CD ⊂平面EFCD ， 则//AB 平面EFCD ，又平面EFCD 平面EFBA EF =，AB ⊂平面EFBA ，故//AB EF . 【小问2详解】选①，取AD 中点G ,连接,EG MG ，因为ED EA =，所以EG AD ⊥， 易知GM 为梯形ABHD 的中位线，则MG AD ⊥，又,,MG EG G MG EG ⋂=⊂平面EGM ，故AD ⊥平面EGM ，EM ⊂平面EGM ，则,,AD EM EM BH ⊥⊥,AD BH ⊂平面ABCD ，且,AD BH 必相交，故EM ⊥平面ABCD ， 延长GM 交BC 于P ,则P 为中点，易得//,EF MP EF MP =，故EFPM 为矩形.以M 为原点，EM 所在直线为z 轴，MG 所在直线为x 轴，过M 作CB 平行线为y 轴，建立空间直角坐标系如图：则()()()((3,2,0,3,2,0,1,2,0,0,0,0,1,A D C E F ----，，则()0,4,0AD =-，(3,2,AE =--，(1,1,CF = ，设平面ADE 的法向量为(),,m x y z =，则00m AD m AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即40320y x y -=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，令x =()m = ， 设直线CF 与平面ADE所成角为,sin cos ,m CF θθ===选②：取AD 中点G , 连接GM ，易知GM 为梯形ABHD 的中位线，3GM =，则AM =5AE =，EM =，则222AE EM AM =+，故,EM AM ⊥ 又,,,EM BH AM BH M AM BH ⊥⋂=⊂平面ABCD ，故EM ⊥平面ABCD ， 延长GM 交BC 于P ,则P 为中点，易得//,EF MP EF MP =，故EFPM 为矩形.以M 为原点，EM 所在直线为z 轴，MG 所在直线为x 轴，过M 作CB 平行线为y 轴，建立空间直角坐标系如图：则()()()((3,2,0,3,2,0,1,2,0,0,0,0,1,A D C E F ----，，则()0,4,0AD =-，(3,2,AE =--，(1,1,CF = ，设平面ADE 的法向量为(),,m x y z =，则00m AD m AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即40320y x y -=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，令x =()m = ， 设直线CF 与平面ADE所成角为,sin cos ,m CF θθ===19. 已知函数()()ln 1f x x x =-.（1）求曲线()y f x =在2x =处的切线方程； （2）设()()g x f x '=，求函数()g x 的最小值；（3）若()2f x x a>-，求实数a 的值. 【答案】（1）24y x =-（2）2（3）2a = 【解析】【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；（2）利用导数求出函数()g x 的单调区间，进而可求出最小值；（3）分1a ≤和1a >两种情况讨论，在1a >时，再分x a >和1x a <<两种情况讨论，分离参数，构造函数并求出其最值，即可得解. 【小问1详解】()()()ln 111xf x x x x '=-+>-， 则()()22,20f f '==，所以曲线()y f x =在2x =处的切线方程为()22y x =-，即24y x =-； 【小问2详解】()()()()ln 111xg x f x x x x '==-+>-， ()()()22112111x x x g x x x x ---'=+=---， 当12x <<时，()0g x '<，当2x >时，()0g x '>，所以函数()g x ()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增， 所以()()min 22g x g ==； 【小问3详解】函数()f x 的定义域为()1,+∞， 当1a ≤时，0x a ->， 则()2f x x a>-，即()()2f x x a >-， 即()22a f x x -<-， 由（2）得()2f x '≥，令()()2h x f x x =-，则()()()201h x f x x ''=-≥>， 所以()h x 在()1,+∞上单调递增， 又当1x →时，()h x →-∞， 因为1a ≤，所以22a -≥-，此时()22a f x x -<-不恒成立，故1a ≤不符题意； 当1a >时，若x a >，则0x a ->， 则()2f x x a>-，即()()2f x x a >-，即()22a f x x -<-， 由上可知函数()()2h x f x x =-在(),a +∞上单调递增， 所以()()()()ln 12h x h a a a a x a >=-->，在所以()2ln 12a a a a -≤--，解得2a ≥①，若1x a <<，则()2f x x a>-，即()()2f x x a <-，即()22a f x x ->-， 由上可知函数()()2h x f x x =-在()1,a 上单调递增， 所以()()()()ln 1211h x h a a a a a <=--<<， 所以()2ln 12a a a a -≥--，解得2a ≤②， 由①②可得2a =， 综上所述，2a =.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为e =（1）求椭圆C 的方程；（2）设O 为坐标原点，直线l 是圆221x y +=的一条切线，且直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，若平行四边形OMPN 的顶点P 恰好在椭圆C 上，求平行四边形OMPN 的面积.【答案】（1）22163x y +=（2 【解析】【分析】（1）根据题意求出,a b ，即可得解；（2）分切线斜率是否存在两种情况讨论，当切线的斜率存在时，设切线方程为y kx m =+，先求出,k m 的关系，设()()1122,,,M x y N x y ，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理求出1212,x x x x +，进而可求得线段MN 的中点坐标，从而可求得点P 的坐标，再根据点P 在椭圆上，即可求得,k m ，再利用弦长公式求出MN ，即可得解.【小问1详解】由题意可得2222b ca ab c⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得222633a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的方程为22163x y +=； 【小问2详解】当圆的切线斜率不存在时，切线方程为1x =±， 当切线方程为1x =时，由椭圆的对称性可得()2,0P ， 因为4021633+=<，所以点()2,0P 不在椭圆上，不符题意， 当切线方程为=1x -时，由椭圆的对称性可得()2,0P -， 因为4021633+=<，所以点()2,0P -不在椭圆上，不符题意， 所以切线的斜率存在，设切线方程为y kx m =+，1=，所以221m k =+①，联立22163y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()222214260k x kmx m +++-=，则()()()()()22222222Δ16421261614212160k m k m k kk k ⎡⎤=-+-=+-++->⎣⎦，解得R k ∈，设()()1122,,,M x y N x y ，则2121222426,2121km m x x x x k k -+=-=++， 故()()221212222221422212121m k k m m y y k x x m k k k ++=++=-+=+++，所以线段MN 的中点坐标为222,2121km m k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭， 因为四边形OMPN 为平行四边形，所以2242,2121km m P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 又因为点P 在椭圆C 上， 所以()()22222221641621321k m m k k +=++②，将①代入②得()()()()222222281411321321k k kk k+++=++，解得k =，所以m =所以MN =====，所以12212OMPN OMN S S ==⨯=. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式； （5）代入韦达定理求解.21. 有穷数列12,,,(2)n a a a n > 中，令()()*1,1,,p p q S p q a a a p q n p q +=+++≤≤≤∈N ，（1）已知数列3213,,,--，写出所有的有序数对(),p q ，且p q <，使得(),0S p q >； （2）已知整数列12,,,,n a a a n 为偶数，若(),11,2,,2n S i n i i ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，满足：当i 为奇数时，(),10S i n i -+>；当i 为偶数时，(),10S i n i -+<.求12n a a a +++ 的最小值；（3）已知数列12,,,n a a a 满足()1,0S n >，定义集合(){}1,0,1,2,,1A i S i n i n =+>=- .若{}()*12,,,k A i i i k =∈N 且为非空集合，求证：()121,k i i i S n a a a >+++ .【答案】（1）()1,4、()2,3、()2,4、()3,4（2）n 1-（3）证明见解析 【解析】【分析】（1）结合题意，逐个计算即可得；（2）由题意可得()1,0S n >，()2,10S n -<，可得当2n i ≠时，有12i n i a a -++≥，当2ni =时，1221n na a ++≥，结合11i n i i n i a a a a -+-++≥+，即可得解；（3）将()()121,k i i i S n a a a -+++ 展开，从而得到证明m i a 与1m i a +之间的项之和，1121i a a a -+++ ，112k k i i n a a a -+++++ 都为正数，即可得证.【小问1详解】(),p q ()1,4时，()(),321310S p q =-++-+=>， (),p q 为()2,3时，()(),2110S p q =+-=>， (),p q 为()2,4时，()(),21340S p q =+-+=>， (),p q 为()3,4时，()(),1320S p q =-+=>，故p q <，且使得(),0S p q >的有序数对有()1,4、()2,3、()2,4、()3,4； 【小问2详解】由题意可得()1,0S n >，()2,10S n -<，为又n a 为整数，故()1,1S n ≥，()2,11S n -≤-， 则()()11,2,12n S n S n a a --=+≥，同理可得()()212,13,22n S n S n a a ----=+≤-， 即有212n a a -+≥， 同理可得，当2ni ≠时，有12i n i a a -++≥， 即当2ni ≠时，有112i n i i n i a a a a -+-++≥+≥， 当2n i =时，122,1122n n n n S a a +⎛⎫+=+≥ ⎪⎝⎭，故()()12121122n n n n na a a a a a a a a -+⎛⎫+++=++++++ ⎪ ⎪⎝⎭()()121122n n n na a a a a a -+⎛⎫++++++ ⎪ ⎪⎝⎭≥ 22112n n -⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭；【小问3详解】{}()*12,,,k A i i i k =∈N 时，当11i ≠时，()()()()2112111211211,k i i i i i i i S n a a a a a a a a a -++--+++=+++++++()()()22111312112112k k k k k i i i i i i i i n a a a a a a a a a ---++-++-+++++++++++++++ ，令m i A ∈且1m i A -∉，则有()1,0m S i n +>，(),0m S i n ≤， 又()1,0S n >，故()()1211,,0m m i S n S i n a a a --=+++> ， 即有11210i a a a -+++> ，1120k k i i n a a a -+++++> ，令1m i A +∈且11m i A +-∉，则有()11,0m S i n ++>，()1,0m S i n +≤， 则()()111211,,0m m m i m m i i S i n S i n a a a ++++-+-=+++> ，即有()()()112212311211211210k k k i i i i i i i i i a a a a a a a a a --++-++-++-++++++++++++> ，故()()121,0k i i i S n a a a -+++> ，即()121,k i i i S n a a a >+++ ， 当11i =时，()()()121211211,k i i i i i i S n a a a a a a ++--+++=+++()()()322111*********k k k k k i i i i i i i i n a a a a a a a a a ---++-++-+++++++++++++++> ，即()121,k i i i S n a a a >+++ 亦成立，即得证.【点睛】关键点点睛：本题最后一小问关键点在于将()()121,k i i i S n a a a -+++ 展开，从而得到证明m i a 与1m i a +之间的项之和，1121i a a a -+++ ，112k k i i n a a a -+++++ 都为正数，即可得证.。
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北京市东城区
2018-2018学年度高二第一学期期末教学目标检测
数学 模块2-1(A 卷)
一、选择题：本大题共12小题．每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1.椭圆22
2516
x y ＋=1的离心率是 ( )
A.
1625 B.925 C.53 D.45
2．设x ∈R ，则命题p ∶x ＞0是命题q ∶x ＞－1的 ( )
A.充分但不必要条件
B.必要但不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
3.已知椭圆22
169
x y ＋＝1上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为
( )
A.2
B.3
C.4
D.5
4.在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AC ＝a ，CB ＝b ，1CC ＝c ，则1A B ＝ ( ) A.a ＋b －c B. a －b ＋c C.－a ＋b ＋c D.－a ＋b －c
5.下列说法中正确的是 ( ) A.一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真 B.“a ＞b ”与“a ＋c ＞b ＋c ”不等价
C.“a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 全不为0，则a 2＋ b 2
≠0” D.一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
6．若抛物线y 2
=x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为 ( )
A.144⎛± ⎝⎭，
B. 184⎛± ⎝⎭，
C. 144⎛ ⎝⎭，
D. 184⎛ ⎝⎭
， 7.在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1DC 、11AC 一定是 ( ) A.有相同起点的向量 B.等长向量
C.共面向量
D.不共面向量
8.已知命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是 ( ) A.（⌝p ）∨q B. p ∧q C.（⌝ p ）∧（⌝q ） D.（⌝ p ）∨（⌝q ） 9.已知椭圆的焦点为F 1（－1，0）和F 2 （1，0），点P 是椭圆上的一点，且12F F 是1PF 和2PF 的等差中项。
则该椭圆的方程为 ( )
A.
221169x y +＝ B.2211612x y +＝ C.22143x y +＝ D.22
134
x y +＝ 10.在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，B 1 C 和C 1D 与底面A 1B 1C 1D 1所成的角分别为60°和45°，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为 ( )
A.
436
D.6 11.已知F 1，F 2是双曲线的两个焦点，过F 2作垂直于实轴的直线PQ 交双曲线于P ，Q 两点，若∠PF 1Q ＝
2
π
，则双曲线的离心率e 等于 ( )
2
12.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的侧面ABB 1A 1内有一动点P ，点P 到直线A 1B 1和直线BC 的距离相等，则动点P 所在曲线形状为 ( )
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在题中横线上．
13.命题：∀x ∈R ，x ＞0的否定是 ．
14.已知a=3i ＋2j －k ，b ＝i －j ＋2k ，则5a 与3b 的数量积等于 ．
15.双曲线8k x 2－k y 2
＝8的一个焦点为（0，3），则k 的值为 ． 16.已知空间三点O （0，0，0），A （－1，1，0），B （0，1，1），若直线OA 上的一点H 满足BH ⊥OA ，则点H 的坐标为 ．
三、解答题：本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本小题满分12分）
已知椭圆22221y x a b
＋＝（a ＞b ＞0）的焦点分别是F 1（0，－1），F 2（0，1），且3a 2＝4b 2
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点P 在这个椭圆上，且1PF －2PF ＝1，求∠F 1PF 2的余弦值．
已知双曲线的焦点在y轴上，两顶点间的距离为4，渐近线方程为y=±2x．（Ⅰ）求双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设（Ⅰ）中双曲线的焦点F1，F2关于直线y＝x的对称点分别为F1′，F2′，求以F1′，F2′为焦点，且过点P（0，2）的椭圆方程．
如图，已知P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC 的中点．
(Ⅰ)求证：EF∥平面PAD；
(Ⅱ)求证：EF⊥CD；
(Ⅲ)若，∠PDA=45°，求EF与平面ABCD所成角的大小．
东城区2018—2018学年度第一学期期末教学目标检测
高二数学模块2－1（A卷）参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）
1.C
2.A
3.D
4.D
5.D
6.B
7.C
8.D
9.C 10.A 11C. 12.C
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13.∃x ∈R ，x ≤0 14.－15 15.－1 16.1122
⎛⎫ ⎪⎝
⎭
－，，0 三、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）
17.(本小题满分12分)
解：（Ⅰ）由已知c ＝1，则a 2－b 2
＝1．
又3a 2＝4b 2
，
故a 2＝4，b 2
＝3.
所求椭圆方程为22
134
x y ＋＝．……………………………………………6分
（Ⅱ）由121241PF PF PF PF ⎧⎪⎨⎪⎩＋＝，
－＝，
解得1253.22
PF PF ＝－，＝ 又122F F ＝，
于是12259
4
344cos .535222
F PF ⨯⨯＋－＝＝ ……………………………………12分
18.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为双曲线的焦点在y 轴上，设所求双曲线的方程为22
221y x a b
－＝
． 由题意，得24
2.a a b
⎧⎪
⎨⎪⎩＝＝解得a ＝2，b ＝1．
所求双曲线的方程为22
1.4
y x －＝
…………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可求得F 1（0
，F 2（0
．
点F 1，F 2关于直线y ＝x 的对称点分别为F 1′
0），F 2′
0），
又P （0，2），设椭圆方程为22
221x y m n
＋＝（m ＞n ＞0）．
由椭圆定义，得2m=126 3.PF PF m ''＋＝
，＝ 因为m 2
－n 2
＝5，所以n 2
＝4．
所以椭圆的方程为22
194
x y ＋＝
.………………………………12分 19.（本小题满分12分）
证明：如图，建立空间直角坐标系A －xyz ，设AB ＝2a ，BC ＝2b ，PA ＝2c ，
则A （0，0，0），B （2a ，0，0），C （2a ，2b ，0），D （0，2b ，0），P （0，0，2c ）. ∵E 为AB 的中点，F 为PC 的中点， ∴E （a ，0，0），F （a ，b ，c ）.
（Ⅰ）∵EF ＝（0，b ，c ），AP ＝（0，0，2c ），
AD ＝（0，2b ，0）， ∴EF ＝
1
2
（AP ＋AD ）. ∴EF 与AP 、AD 共面.
又∴E ∉平面PAD ，
∴EF ∥平面PAD.……………………4分 （Ⅱ）∵CD =（-2a ，0，0），
∴CD ·EF ＝（-2 a ，0，0）·（0，b ，c ）＝0.
∴EF ⊥CD.…………………………………………………………8分 （Ⅲ）若∠PDA ＝45°则有2b ＝2c ，即b ＝c.
∴EF ＝（0，b ，b ），AP ＝（0，0，2b ）.
∴cos ＜EF ，AP 2222b b
＝
∴＜EF ，AP ＞＝45°. ∵AP ⊥平面ABCD ，
∴AP 是平面ABCD 的法向量.
∴EF 与平面ABCD 所成的角为90°－＜EF ，AP ＞＝45°.……12分。